第一章线性空间与线性变换

第一章 线性空间与线性变换

线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间．

§1.1 线性空间

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R )和复数域(记为C )，统称数域F ．

一、线性空间的定义及性质

定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质：

对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++；

3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=；

6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+．

则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间．

V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘

法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间．

需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．

线性空间{0}V =称为零空间．

例1 任何数域F (作为集合)，对于通常的数的加法与乘法(作为数乘)运算，都构成此数域F 上的线性空间．

例2 实数域R 作为集合，对于通常的数的加法及乘法(作为数乘)运算，不能构成复数域C 上的线性空间．

因为,,a R k i C ka ai R ∈=∈=∉．

例3 以数域F 上的数为系数的多项式称为数域F 上的多项式．数域F 上的、以x 为变量的全体多项式的集合记为[]F x ；次数小于n 的全体多项式的集合记为[]n F x ．

可以证明，[]n F x 对于通常的多项式加法及多项式数乘运算构成数域F 上的线性空间．

对于多项式(),()[]n f x g x F x ∈，设

121210()n n n n f x a x a x a x a ----=++

++，

121210()n n n n g x b x b x b x b ----=++

++，

这里,,0,1,2,

,1i i a b F i n ∈=-，于是

1211221100()()()()()()[]n n n n n n n f x g x a b x a b x a b x a b F x ------+=++++

++++∈，

对于任何k F ∈，有121210()[]n n n n n kf x ka x ka x ka x ka F x ----=++

++∈．易证明

线性空间定义中的八条性质都成立，因此[]n F x 是F 上的线性空间．

类似可证[]F x 对于通常的多项式加法及数乘运算也构成数域F 上的线性空间．

例4 数域F 上的n 维列(或行)数组向量的全体所构成集合记为n F ，它对于数组向量加法、数乘运算构成F 上的线性空间．

例 5 数域F 上的m n ⨯矩阵的全体构成的集合记为m n F ⨯，它对于矩阵加法、数乘运算构成数域F 上的线性空间．

例6 定义在[,]a b 上的实函数全体的集合V ，对于函数加法、数乘运算构成实数域R 上的线性空间．

例7 常系数二阶齐次线性微分方程

320y y y '''-+=

的解的集合D ，对于函数加法及数与函数乘法有：若12,y y D ∈，则12y y D +∈，

当k R ∈时，则1ky D ∈，即D 关于这两种运算是封闭的，且满足定义１中的八条性质，故

D 构成了R 上的线性空间．

定理1 设V 是数域F 上的线性空间，则 1) V 中零元素惟一；

2) V 中任一元素的负元素惟一；V α∀∈，用α-表示α的负元素； 3) 00k =；特别有00α=，(1)αα-=-； 4) 如果0k α=，那么00k α==或．

证 这里仅证明2)，其余的证明留给读者去完成．

假设α有两个负元素β与γ，则0αβ+=，0αγ+=，从而

0()()0βββαγβαγγγ=+=++=++=+=．

二、向量的线性相关性

在线性代数中，已讨论了n 维数组向量的性质：线性表示，等价性，线性相关性等，对于一般的数域F 上的线性空间V 也有类似结果．

定义2 设V 是数域F 上的线性空间，

12,,,(1)r r ααα≥是V 中一组向量，

12,,

,r k k k 是数域F 中的数，如果V 中向量α可以表示为

1122r r k k k αααα=++

+，

则称α可由12,,,r ααα线性表示(线性表出)，或称α是12,,

,r ααα的线性组

合．

定义3 设12,,

,r ααα与12,,

,s βββ是线性空间V 中两个向量组，如果

12,,,r ααα中每个向量都可由向量组12,,,s βββ线性表示，则称向量组

12,,,r ααα可以由向量组12,,,s βββ线性表示．如果向量组12,,

,r ααα与向量组12,,,s βββ可以互相线性表示，则称向量组12,,

,r ααα与向量组

12,,

,s βββ是等价的．

容易证明向量组之间的等价具有如下性质： (1) 自反性 每一个向量组都与它自身等价； (2) 对称性 如果向量组12,,

,r ααα与12,,,s βββ等价，那么向量组12,,,s βββ也与12,,,r ααα等价；

(3) 传递性 若向量组12,,

,r ααα与12,,

,s βββ等价，而且向量组

12,,

,s βββ与12,,

,t γγγ等价，则向量组12,,

,r ααα与12,,

,t γγγ等价．