第一章线性空间与线性变换

第一章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间．§1.1 线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R )和复数域(记为C )，统称数域F ．一、线性空间的定义及性质定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质：对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++；3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=；6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+．则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间．V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间．需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．线性空间{0}V =称为零空间．例1 任何数域F (作为集合)，对于通常的数的加法与乘法(作为数乘)运算，都构成此数域F 上的线性空间．例2 实数域R 作为集合，对于通常的数的加法及乘法(作为数乘)运算，不能构成复数域C 上的线性空间．因为,,a R k i C ka ai R ∈=∈=∉．例3 以数域F 上的数为系数的多项式称为数域F 上的多项式．数域F 上的、以x 为变量的全体多项式的集合记为[]F x ；次数小于n 的全体多项式的集合记为[]n F x ．可以证明，[]n F x 对于通常的多项式加法及多项式数乘运算构成数域F 上的线性空间．对于多项式(),()[]n f x g x F x ∈，设121210()n n n n f x a x a x a x a ----=++++，121210()n n n n g x b x b x b x b ----=++++，这里,,0,1,2,,1i i a b F i n ∈=-，于是1211221100()()()()()()[]n n n n n n n f x g x a b x a b x a b x a b F x ------+=++++++++∈，对于任何k F ∈，有121210()[]n n n n n kf x ka x ka x ka x ka F x ----=++++∈．易证明线性空间定义中的八条性质都成立，因此[]n F x 是F 上的线性空间．类似可证[]F x 对于通常的多项式加法及数乘运算也构成数域F 上的线性空间．例4 数域F 上的n 维列(或行)数组向量的全体所构成集合记为n F ，它对于数组向量加法、数乘运算构成F 上的线性空间．例 5 数域F 上的m n ⨯矩阵的全体构成的集合记为m n F ⨯，它对于矩阵加法、数乘运算构成数域F 上的线性空间．例6 定义在[,]a b 上的实函数全体的集合V ，对于函数加法、数乘运算构成实数域R 上的线性空间．例7 常系数二阶齐次线性微分方程320y y y '''-+=的解的集合D ，对于函数加法及数与函数乘法有：若12,y y D ∈，则12y y D +∈，当k R ∈时，则1ky D ∈，即D 关于这两种运算是封闭的，且满足定义１中的八条性质，故D 构成了R 上的线性空间．定理1 设V 是数域F 上的线性空间，则 1) V 中零元素惟一；2) V 中任一元素的负元素惟一；V α∀∈，用α-表示α的负元素； 3) 00k =；特别有00α=，(1)αα-=-； 4) 如果0k α=，那么00k α==或．证 这里仅证明2)，其余的证明留给读者去完成．假设α有两个负元素β与γ，则0αβ+=，0αγ+=，从而0()()0βββαγβαγγγ=+=++=++=+=．二、向量的线性相关性在线性代数中，已讨论了n 维数组向量的性质：线性表示，等价性，线性相关性等，对于一般的数域F 上的线性空间V 也有类似结果．定义2 设V 是数域F 上的线性空间，12,,,(1)r r ααα≥是V 中一组向量，12,,,r k k k 是数域F 中的数，如果V 中向量α可以表示为1122r r k k k αααα=+++，则称α可由12,,,r ααα线性表示(线性表出)，或称α是12,,,r ααα的线性组合．定义3 设12,,,r ααα与12,,,s βββ是线性空间V 中两个向量组，如果12,,,r ααα中每个向量都可由向量组12,,,s βββ线性表示，则称向量组12,,,r ααα可以由向量组12,,,s βββ线性表示．如果向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ可以互相线性表示，则称向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ是等价的．容易证明向量组之间的等价具有如下性质： (1) 自反性 每一个向量组都与它自身等价； (2) 对称性 如果向量组12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，那么向量组12,,,s βββ也与12,,,r ααα等价；(3) 传递性 若向量组12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，而且向量组12,,,s βββ与12,,,t γγγ等价，则向量组12,,,r ααα与12,,,t γγγ等价．定义4 设V 为数域F 上的线性空间，12,,,(1)r r ααα≥是V 中一组向量，如果存在r 个不全为零的数12,,,,r k k k F ∈使得11220r r k k k ααα++=，则称12,,,r ααα线性相关；如果向量组12,,,r ααα不线性相关，就称为线性无关．由定义4可得向量组线性相关定义的另一说法．定理 2 设V 为数域F 上的线性空间，V 中一个向量α线性相关的充分必要条件是0α=；V 中一组向量12,,,(2)r r ααα≥线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合．证 如果一个向量α线性相关，由定义4可知，有0k ≠，使 0k α=， 由定理1 的4)知0α=．反之，若0α=，由对任意数0k ≠都有0k α=．由定义4知，向量α线性相关．如果向量组12,,,r ααα线性相关，则存在不全为零的数12,,,r k k k ，使得11220r r k k k ααα+++=，因为12,,,r k k k 不全为零，不妨设0r k ≠，于是上式可改写为121121r r r r rrk kk k k k αααα--=----， 即向量r α是其余向量121,,,r ααα-的线性组合．反过来，如果向量组12,,,r ααα中有一个向量是其余向量的线性组合，譬如说112211r r r l l l αααα--=+++，上式可写为112211(1)0r r r l l l αααα--++++-=，因为11,,,1r l l --不全为零，由定义4知，向量组12,,,r ααα线性相关．例8 实数域R 上线性空间22R ⨯的一组向量(矩阵)1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是线性无关的．事实上，如果1112123214220k E k E k E k E+++=，即12340k k k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则12340k k k k ====．因此，满足1112123214220k E k E k E k E +++=的1234,,,k k k k 只能全为零，于是11122122,,,E E E E 线性无关．定理3 设V 为数域F 上的线性空间，如果V 中向量组12,,,r ααα线性无关，并且可由向量组12,,,s βββ线性表示，则r s ≤．证 采用反证法．假设r s >，因为向量组12,,,r ααα可由向量组1,β2,β,s β线性表示，即1,1,,si ji j j a i r αβ===∑，做线性组合11221111()rssrr r i ji j ji i j i j j i x x x x a a x αααββ====+++==∑∑∑∑，考虑齐次线性方程组1111221211222211220,0,0.r r r r s s sr r a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为上述齐次线性方程组未知数12,,r x x x 的个数r 大于方程的个数s ，从而有非零解12,,,r x x x ，即我们可找到不全为零的数12,,r x x x ，使得11220r r x x x ααα+++=．因此，向量组12,,,r ααα线性相关，这与12,,,r ααα线性无关矛盾，于是r s ≤．由定理3直接可得如下结论．推论1 两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量． 定理4 设线性空间V 中向量组12,,,r ααα线性无关，而向量组1,α2,α,,r αβ线性相关，则β可由12,,,r ααα线性表示，并且表示法是惟一的．证 向量组12,,,,r αααβ线性相关，故存在不全为零的数12,,,k k1,r r k k ，使112210r r r k k k k αααβ+++++=，并且10r k +≠；否则向量组12,,,r ααα线性相关，这与条件矛盾．从而1212111rr r r r k kk k k k βααα+++=----， 即β可由12,,,r ααα线性表示．假设β可由12,,,r ααα线性表示为11221122r r r r k k k l l l βαααααα=+++=+++，则111222()()()0r r r k l k l k l ααα-+-++-=．因为向量组12,,,r ααα线性无关，从而0(1,2,,)i i k l i r -==．因此，β可惟一的表示为12,,,r ααα的线性组合．定义5 设12,,,s ααα是线性空间V 中一组向量，如果12,,,s ααα中存在r 个线性无关的向量12,,,(1,1,2,,)r i i i j i s j r ααα≤≤=，并且12,,,s ααα中任一向量都可由向量组12,,,r i i i ααα线性表示，则称向量组12,,,r i i i ααα为向量组12,,,s ααα的一个极大线性无关组，数r 称为向量组12,,,s ααα的秩，记为{}12,,,s rank r ααα=．一般说来，向量组的极大线性无关组不惟一，但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价．由等价的传递性可知，一个向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的，并且任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价．由推论1知，一个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量，即向量组的秩是惟一的，并且等价的向量组具有相同的秩．三、基与维数现在引入线性空间的基与维数的概念，它是线性空间的重要属性． 定义6 设V 是数域F 上的线性空间，如果V 中存在n 个向量12,,,n εεε，满足 1) 12,,,n εεε线性无关；2) V 中任何向量α均可由12,,...,n εεε线性表示．即存在12,,,n k k k F ∈，使得1122n n k k k αεεε=+++，则称12,,,n εεε为V 的一组基(或基底)，基中向量的个数n 称为线性空间V的维数，记为维V 或dim V ．若dim V <+∞，称V 为有限维线性空间，否则，称V 为无限维线性空间，本书主要讨论有限维线性空间．关于线性空间的基与维数，有(1) n 维线性空间中任一向量α必可由V 的基12,,,n εεε线性表示，并且表示法惟一．(2) 线性空间的基(只要存在)必不惟一． (3) 有限维线性空间的维数是惟一确定的．定理5 n 维线性空间中任意n 个线性无关的向量均可构成一组基． 证 设V 是n 维线性空间，12,,,n εεε是V 的一组基，12,,,n ααα是V 中一个线性无关的向量组．为证12,,,n ααα是基，只须证明V 中任一向量α可由12,,,n ααα线性表示．此时，向量组12,,,n ααα中每个向量都可由基12,,,n εεε线性表示．这是1n +个向量被n 个向量线性表示的情况，即知12,,,n ααα，α线性相关．再由定理4，便知α可由12,,,n ααα线性表示，定理得证．例9 求实数域R 上线性空间3R 的维数和一组基． 解 考虑3R 中向量组1231000,1,0.001E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然满足1) 123,,E E E 线性无关；2) 对于3R 中任一向量123(,,)T a a a α=，有112233a E a E a E α=++．由定义6知123,,E E E 为3R 的一组基，从而3R 的维数为3．例10 求数域F 上线性空间23F ⨯的维数和一组基． 解 23F ⨯中向量组111213100010001,,,000000000E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212223000000000,,100010001E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然满足1) 111213212223,,,,,E E E E E E 线性无关，2) 对于23F ⨯中任一元素111213212223aa a A a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有 111112121313212122222323A a E a E a E a E a E a E =+++++，于是知111213212223,,,,,E E E E E E 为23F ⨯的一组基，从而23dim()6F ⨯=．类似可知，线性空间m n F ⨯的维数为mn ，其一组基为 ,1,2,...,;1,2,...,ij E i m j n ==，其中ij E 是m n ⨯矩阵，它的(,i j )元素为1，其余全为0．例11 设V 是二阶实对称矩阵全体的集合，对于通常的矩阵加法、矩阵数乘两种运算构成的实数域R 上的线性空间，求出V 的维数和一组基．解 V 中一般元素可表示为a b b c ⎛⎫⎪⎝⎭，,,a b c R ∈，,,a b c 所在位置各体现一个自由度．考虑V 中向量组123100100,,001001A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足 1) 123,,A A A 线性无关；2) 对V 中任一矩阵，a b A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有123A aA bA cA =++，可见12,,A A 3A 为V 的一组基，dim()3V =．四、坐标与坐标变换定义7 设V 是数域F 上的n 维线性空间，12,,...,n εεε是V 的一组基，对于V 中任一向量α，有数域F 中惟一的一组数12,,...,n a a a ，使1122...n n a a a αεεε=+++，称有序数组12,,...,n a a a 为向量α在基12,,...,n εεε下的坐标，记为ˆα．如果借用矩阵乘法的形式，记12112212(,,...,)n n n n a a a a a a εεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭，则α的坐标可以方便地用一个n 维列(数组向量)表示出来12ˆn a aa α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 例12 []n F x 中向量121210()n n n n f x a x a x a x a ----=++++在基21,,,...,x x1n x -下的坐标为011(,,...,)T n a a a -．例13 设V 是二阶实对称矩阵全体的集合，对于矩阵加法与矩阵数乘运算构成实数域R 上的线性空间，求V 中向量1223A ⎛⎫= ⎪⎝⎭在基123200001,,000110εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标．解 因为1231322A εεε=++，所以A 在基123,,εεε下的坐标为1(,3,2)2T ．引理1 在n 维线性空间中，对于任一组基，向量α为零向量的充分必要条件是α的坐标为(0,0,...,0)T ．引理2 设V 是数域F 上的n 维线性空间，在基12,,...,n εεε下，如果α的坐标记为ˆα，β的坐标记为ˆβ，则 1) αβ+的坐标为ˆˆαβ+； 2) k α的坐标为ˆ()k k F α∈． 证 设1212ˆˆ(,,...,),(,,...,)T T n na a ab b b αβ==，便有 1122n n a a a αεεε=+++， 1122n n b b b βεεε=+++．于是，111222()()()n n n a b a b a b αβεεε+=++++++，可见αβ+的坐标为1122ˆˆn n a b a b a b αβ+⎛⎫⎪+ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭．对任意k F ∈，有1122n n k ka ka ka αεεε=+++，故k α的坐标为ˆk α．定理6 设V 是数域F 上的n 维线性空间，在V 的一组基12,,...,n εεε之下，向量组12,,...,s ααα线性相关的充分必要条件是它们的坐标12ˆˆˆ,,...,s ααα(作为数域F 上的n 维数组向量)线性相关．证 利用引理1，2，便知以下四种说法等价1 V 中向量组12,,...,s ααα线性相关．2 有数域F 中不全为零的数12,,...,s k k k ，使1122...0s s k k k ααα+++= ．3 有数域F 中不全为零的数12,,...,s k k k 使1122ˆˆˆ...0s s k k k ααα+++=，这里0(0,0,...,0)T =． 4 数域F 上的n 维数组向量12ˆˆˆ,,...,s ααα线性相关． 设V 是数域F 上的n 维线性空间，12,,...,n εεε及12,,...,n εεε''' 是V 的两组基，并设11112121212122221122...,...,....n n n nn n n nn n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε'=+++⎧⎪'=+++⎪⎨⎪⎪'=+++⎩ (1)若令111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭， 则A 中第i 列恰是向量i ε'在基12,,...,n εεε下的坐标，矩阵A 是惟一确定的，并且是可逆的，把(1)式形式地表达为1212(,,...,)(,,...,)n n A εεεεεε'''=． (2) 把(2)式称为基变换公式，其中的n 阶矩阵A 称为由基12,,...,n εεε到基12,,...,n εεε'''的过渡矩阵(或称变换矩阵)． 在(2)式两端同时右乘1A -，便得11212(,,...,)(,,...,)n n A εεεεεε-'''=．这说明由基12,,...,n εεε'''到基12,,...,n εεε的过渡矩阵恰是由基12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵的逆矩阵． 下面研究同一向量在两组基下的坐标间的关系． 设基12,,,εεεn 与12,,,εεε'''n之间的关系如(2)式，向量α在这两组基下的坐标分别为12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12nx x x '⎛⎫ ⎪' ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭， 于是，有11221212(,,...,)(,,...,)n n n n x x x xA x x αεεεεεε''⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪'' ⎪ ⎪'''== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭．根据向量在取定基下坐标的惟一性，得1122n nx x x xA x x '⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪' ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭， (3) 或写成11221n n x x x x A x x -'⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪' ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭． (3)＇(3)式或(3)＇式叫做坐标变换公式．定理7 在n 维线性空间V 中，设向量α在两组基12,,...,n εεε及12,,...,n εεε'''之下的坐标分别为12(,,...,)T n x x x 及()12,,...,Tn x x x '''，如果两组基向量的变换公式如(2)，则坐标变换公式为(3)或(3)＇．例14 在线性空间3R 中，求出由基1232121,0,5311ααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭到基1231000,1,0001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的变换公式，并求向量(4,12,6)T ξ=在基123,,ααα下的坐标123(,,)T x x x ．解 首先容易得到由基123,,εεε到基123,,ααα的变换公式为123123(,,)(,,)A αααεεε=，其中 212105311A ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，可求得1535222746111222A -⎛⎫- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭．于是，由基123,,ααα到基123,,εεε的变换公式为1123123(,,)(,,)A εεεααα-=．又因为向量ξ在基123,,εεε下的坐标显然为(4,12,6)T ，依坐标变换公式便有112347121661x x A x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．例15 对于数域F 上的线性空间22F ⨯，证明123410000101,,,00011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是一组基，并求11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在该基下的坐标． 解 取基123410010000,,,00001001εεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则有 1124323423,,,.A A A A εεεεεε=⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪=-⎩即1234123410000011(,,,)(,,,)00110100A A A A εεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，过渡矩阵10000011,20,00110100B B ⎛⎫ ⎪ ⎪==-≠ ⎪- ⎪⎝⎭故1234,,,A A A A 是一组基．因为A 在1234,,,εεεε下的坐标为11122122(,,,)T a a a a ，则A 在1234,,,A A A A 下的坐标为()()11111222121112212321112212224a x a a x a B a a x a a a a x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 例16 已知矩阵空间22R ⨯的两组基(Ⅰ) 123410100101,,,01011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ) 123411111110,,,11100000B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵．解 为了计算简单，采用中介基方法．引进22R ⨯的简单基(Ⅲ) 1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直接写出由基(Ⅲ)到基(Ⅰ)的过渡矩阵111000*********00C ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭， 即1234111221221(,,,)(,,,)A A A A E E E E C =．再写出由基(Ⅲ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵21111111011001000C ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1234111221222(,,,)(,,,)B B B B E E E E C =．所以有11234123412(,,,)(,,,)B B B B A A A A C C -=．于是得由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵1121001111121111001111001111101101100221022011010000010C C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．§1.2 线性子空间一、线性子空间的概念在通常的三维几何空间中，考虑过原点的一条直线或一个平面．不难验证这条直线或这个平面上的所有向量对于向量加法及数乘运算，分别形成一个一维和二维的线性空间．这就是说，它们一方面都是三维几何空间的一部分，另一方面它们自身对于原来的运算也都构成一个线性空间．针对这种现象，引入下面定义．定义8 设1V 是数域F 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 中已有的线性运算满足以下条件(1) 对任意的1,x y V ∈，有1x y V +∈，(2) 对任意的1,x V k F ∈∈，有1kx V ∈，则称1V 为V 的线性子空间或子空间．例如，n 阶齐次线性方程组的解空间是n R 的子空间．值得指出，线性子空间1V 也是线性空间．这是因为1V 为V 的子集合，所以1V 中的向量不仅对线性空间V 已定义的线性运算封闭，而且还满足相应的八条运算律．容易看出，每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称后者为零子空间．它们统称为平凡子空间．由于线性子空间也是线性空间，因此，前面引入的关于维数、基和坐标等概念，亦可应用到线性子空间中去．由于零子空间不含线性无关的向量，因此它没有基，规定其维数为零． 因为线性子空间中不可能比整个线性空间中有更多数目的线性无关的向量，所以，任何一个线性子空间1V 的维数不大于整个线性空间V 的维数，即有1dim dim V V ≤ (1) 例如，n 阶齐次线性方程组当其系数矩阵的秩为(1)r r n ≤<时，其解空间的维数n r -小于n R 的维数n ．下面讨论线性子空间的生成问题．设12,,,m x x x 是数域F 上的线性空间V 的一组向量，其所有可能的线性组合的集合 {}111(,1,2,,)m m i V k x k x k F i m =++∈=是非空的，而且容易验证1V 对V 的线性运算是封闭的，因而1V 是V 的一个线性子空间．这个子空间称为由12,,,m x x x 生成(或张成)的子空间，记为 {}1211(,,,)m m m L x x x k x k x =++．(或},,,{21m x x x span ) (2)在有限维线性空间V 中，它的任何一个子空间都可以由式(２)表示．事实上，设1V 是V 的子空间， 1V 当然是有限维的，如果12,,,m x x x 是1V 的一个基，那么有112(,,,)m V L x x x =． (3) 特别地，零子空间就是由零元素生成的子空间(0)L ．矩阵的值域和核空间(零空间)的理论，在线性最小二乘问题和广义逆矩阵的讨论中都占有重要地位，现定义如下定义9 设()m n ij A a R ⨯=∈，以(1,2,,)i a i n =表示A 的第i 个列向量，称子空间12(,,,)n L a a a 为矩阵A 的值域(列空间)，记为 12()(,,,)n R A L a a a =． (4)由前面的论述及矩阵秩的概念可知()m R A R ⊂，且有dim ()rankA R A =．()R A 还可以这样生成：令12(,,,)T n x ξξξ=，则 12121122(,,,)(,,,)T n n n n Ax a a a a a a ξξξξξξ==+++，这表明Ax 为A 的列向量组的线性组合．反之，若y 为A 的列向量组的线性组合，则1122n n y a a a Ax ξξξ=+++=．可见所有乘积Ax 之集合 {}n Ax x R ∈与A 的列向量组的线性组合的集合12(,,,)n L a a a 相同，从而有 {}()n R A Ax x R =∈． (5) 同样可以定义T A 的值域(行空间)为 {}()T T m n R A A x x R R =∈⊂， (6) 且有dim ()dim ()T rankA R A R A ==． 定义10 设()m n ij A a R ⨯=∈，称集合{}0x Ax =为A 的核空间(零空间)，记为()N A ，即 {}()0N A x Ax == ． (7) 显见()N A 是齐次线性方程组0Ax =的解空间，它是n R 的一个子空间．A 的核空间的维数称为A 的零度，记为()n A ，即()dim ()n A N A =．例1 已知101011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求A 的秩及零度．解 记123(,,)A a a a =，显然有1230a a a +-=，即A 的三个列向量线性相关．但A 的任何两个列向量均线性无关，故2rankA =．又由0Ax =可求出(1,1,1),T x t t =-为任意参数，从而有()1n A =．同样可以求得2,()0T T rankA n A ==．由例1可见，()rankA n A A +=的列数，而()()T n A n A -=()A 的列数(A -的 )行数．这一事实具有一般性，即若()m n ij A a R ⨯=∈，则有下面的一般公式()rankA n A n += ， (8) ()()T n A n A n m -=-． (9) 事实上，因为0Ax =的解空间的维数为()n A n rankA =-，从而式(8)成立；又因()T T rankA n A m +=，由式(8)减去上式便得式(9)．值得指出的是，当m n A C ⨯∈时，同样有第一节中定义6和定义7，且式(8)与(9)仍成立．定理８ 设1V 是数域F 上的线性空间n V 的一个m 维子空间，12,,,m x x x 是1V 的基，则这m 个基向量必可扩充为n V 的一个基．换言之，在n V 中必可找到n m -个向量12,,,m m n x x x ++，使得12,,,n x x x 是n V 的一个基． 证 对维数差n m -作归纳法．当0n m -=时，定理显然成立，因为12,,,m x x x 已经是n V 的基．现在假定n m k -=时定理成立，考虑1n m k -=+的情形． 既然12,,,m x x x 还不是n V 的基，但它又是线性无关的，则由定义6可知，在n V 中至少有一个向量1m x +不能被12,,,m x x x 线性表出，把1m x +添加进去，121,,,,m m x x x x +必定是线性无关的(因为，若12,,,r x x x 线性无关，但12,,,,r x x x x 线性相关，那么x 可以被12,,,r x x x 线性表出，且表示法惟一)．由式(3)知子空间121(,,,,)m m L x x x x +是1m +维的．因为(1)()111n m n m k k -+=--=+-=， 由归纳法假定知121(,,,,)m m L x x x x +的基121,,,,m m x x x x +可以扩充为n V 的基，归纳法完成． 二、子空间的交与和前面讨论了由线性空间的元素生成子空间的方法与理论．这里将要讨论的子空间的交与和，可以视为由子空间生成的子空间．首先证明下面的定理． 定理9 如果12,V V 是数域F 上的线性空间V 的两个子空间，那么它们的交集12V V 也是V 的子空间．证 因为120,0V V ∈∈，所以120V V ∈．于是12V V 是非空的．又若12,x y V V ∈，则12,,,x y V x y V ∈∈．因12,V V 都是子空间，故12,x y V x y V +∈+∈，即12x y V V +∈．又因对任意的k F ∈，12,kx V kx V ∈∈，故12kx V V ∈．所以12V V 是V 的子空间．称12V V 为子空间12,V V 的交．由集合的交的定义可以推知，子空间的交满足交换律与结合律，即有1221V V V V =，123123()()V V V V V V =．定义11 设12,V V 都是数域F 上的线性空间V 的子空间，12,x V y V ∈∈，则所有x y +这样的元素的集合称为12V V 与的和，记为12V V +，即{}1212,,V V z z x y x V y V +==+∈∈．定理10 如果12,V V 都是数域F 上的线性空间V 的子空间，那么它们的和12V V +也是V 的子空间．证 显然12V V +非空．又对任意向量112212,x y x y V V ++∈+，设12,x x 1V ∈，122,y y V ∈，则有1122121212()()()()x y x y x x y y V V +++=+++∈+，111112,()k F k x y kx ky V V ∀∈+=+∈+，这就证明了12V V +是V 的子空间． 由子空间的和的定义可以推知，子空间的和适合交换律与结合律，即有 1221V V V V +=+ ，123123()()V V V V V V ++=++．例如，在线性空间3R 中，1V 表示过原点的直线1l 上所有向量形成的子空间．2V 表示另一条过原点的直线2l 上所有向量形成的子空间．显然12V V 是由1l 与2l 交点(原点)形成的零子空间；12V V +是在由1l 与2l 所决定的平面上全体向量形成的子空间．子空间的交与和可视为子空间之间的两种运算．如果子空间12,W V W V ⊂⊂，那么12W V V ⊂．这就是说12,V V 的子空间W 是12V V 的子空间；换言之，12V V 是包含在12,V V 中的最大子空间．如果子空间12,W V W V ⊃⊃，那么12W V V ⊃+．这就是说包含12V V 与的子空间W 也包含12V V +；或者说12V V +是包含12V V 及的最小子空间．关于两个子空间的交与和的维数，有如下的定理．定理11 (维数公式)如果12,V V 是数域F 上的线性空间V 的两个子空间，那么有下面公式121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++． (10)证 设112212dim ,dim ,dim()V n V n V V m ===．需要证明12dim()V V + 12n n m =+-．当1m n =时，由121V V V ⊂知121V V V =，再由122V V V ⊂，可得12V V ⊂，从而122V V V +=，故12212dim()dim V V V n n m +==+-．同理，当2m n =时，式(10)亦成立．当1m n <，且2m n <时，设12,,,m x x x 为12V V 的基．由定理8，将它依次扩充为12,V V 的基121111,,,,,;,,,,,,m n m m n m x x y y x x z z --只要证明向量组12111,,,,,,,,m n m n m x x y y z z -- 是12V V +的一个基，这样一来， 12V V +的维数就等于12n n m +-，则式(10)成立．因为1V 中任一向量可由111,,,,,m n m x x y y -线性表出，所以也可由12111,,,,,,,,m n m n m x x y y z z --线性表出．同理2V 中任一向量也可由它们线性表出．于是有 1212111(,,,,,,,,)m n m n m V V L x x y x z z --+=． 还须证明这12n n m +-个向量线性无关．假定11221111110m m n m n m n m n m k x k x p y p y q z q z ----++++++++=，令 2211111111n m n m m m n m n m x q z q z k x k x p y p y ----=++=------， 则由第一等式有2x V ∈；由第二等式有1x V ∈，因此有12x V V ∈，即x 可由12,,,m x x x 线性表出，令 1122m m x l x l x l x =----， 则有 221122110m m n m n m l x l x l x q z q z --++++++=．但211,,,,,m n m x x z z 是2V 的基，因此它们线性无关，所以有2110,0m n m l l q q -======， 从而0x =．于是又有 1111110m m n m n m k x k x p y p y --+++++=， 但111,,,,,m n m x x y y -是1V 的基，故它们线性无关，从而又有1110,0m n m k k p p -======． 这就证明了12111,,,,,,,,m n m n m x x y y z z --线性无关，因而它是12V V +的基．式(10)表明，和空间的维数往往要比空间维数的和小．给出和空间12V V +时，只知道其任一向量z 均可表示为12x V y V ∈∈与的和，即z x y =+．但是，一般说来这种表示法并不是惟一的．例如，在3R 中，若1V 表示1(1,0,0)x =与2(1,1,1)x =所生成的子空间；2V 表示1(0,0,1)y =与2(3,1,2)y =所生成的子空间．则其和12V V +中的零向量0，一方面可表示为000+=，即1V 中的零向量与2V 中的零向量之和，另一方面，零向量又可表示为12210(2)()x x y y =+--，这就说明零向量的表示法不惟一．针对这种现象，作如下定义．定义12 如果12V V +中的任一向量只能惟一地表示为子空间1V 的一个向量与子空间2V 的一个向量的和，则称12V V +为1V 与2V 的直和或直接和，记为1212()V V V V •⊕+或． 定理12 和12V V +为直和的充要条件是12(0)V V L =．证 充分性 设12(0)V V L =，对12z V V ∈+，若有121122,,z x x x V x V =+∈∈； 121122,,z y y y V y V =+∈∈，则有1122111222()()0,x y x y x y V x y V -+-=-∈-∈,，即 112212()()x y x y V V -=--∈11220,0,x y x y -=-=也就是1122,x y x y ==，于是z 的分解式惟一，12V V +为直和．必要性 假定12V V +为直和，如果12V V 不为零空间，则在12V V 中至少有一向量0x ≠．因12V V 是线性空间，故有12x V V -∈．今对12V V +中的零向量既有000+=，又有0()x x =+-．这与12V V +是直和的假定矛盾．推论1 设12,V V 都是线性空间V 的子空间，令12U V V =+，则12U V V =⊕的充要条件为1212dim dim()dim dim U V V V V =+=+． (11) 由定理12知，12V V +为直和的充要条件是12(0)V V L =．这与12dim()0V V =等价，也就是与12dim dim dim U V V =+等价． 推论2 如果1,,k x x 为1V 的基，1,,l y y 为2V 的基，且12V V +为直和，则1,,k x x ，1,,l y y 是12V V ⊕的基．证 1,,k x x ，1,,l y y 是12V V ⊕的k l +个向量，只需证明它们线性无关即可．设一组数1,,k c c ，1,,l d d 使 11110k k l l c x c x d y d y +++++=， 则有111112()(0)k k l l c x c x d y d y V V L ++=-++∈= ．故110,0k l c c d d ======，也就是1,,k x x ，1,,l y y 线性无关．子空间的直和概念可以推广到多个子空间的情形：设(1,2,,)i V i s =是线性空间V 的子空间．如果和1si i V =∑中每个向量x 的分解式1s x x x =++，(1,2,,)i i x V i s ∈=是惟一的，则称该和为直和，记为12s V V V ⊕⊕⊕．§1.3 线性变换及其矩阵线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，而线性变换则研究线性空间中元素之间的最基本联系，本节介绍线性变换的基本概念，并讨论它与矩阵之间的联系．一、线性变换及其运算定义13 对于线性空间V ，如果存在一种规则σ：对于V 中每个元素α，都有V 中一个确定元素α'与之对应，则称σ为线性空间V 的一个变换，并把这种对应关系记为()σαα'=， α'称为α在变换σ下的象，α称为α'在变换σ下的一个原象．1． V 中所有元素在变换σ下的象所成的集合称为变换σ的象集(或值域)，记为()V σ．显然，()V V σ⊆．定义14 设,στ都是线性空间V 的变换，如果对于任意的V α∈，总有()()σατα=，则说变换σ与变换τ相等，记作στ=．2． 几个特殊的变换恒等变换*1： *1()αα=，α∈V ；零变换*0： *0()0α=，α∈V ；数乘变换*()∈k k F ：*()αα=k k ，α∈V ．3． 设σ、τ都是线性空间V 的变换．可定义σ与τ的和变换στ+及乘积变换στ为：()()()()στασατα+=+，α∈V ；()[()]σταστα=，α∈V ．4． 如果V 是数域F 上的线性空间，对于F 中的数k 及V 的变换σ，可定义σ的数乘变换k σ为()()(),k k V σασαα=∈定义15 对于线性空间V 的变换σ，若有V 的变换τ，使*1σττσ==，则称σ为可逆变换，称τ为σ的逆变换，记为1σ-．定义16 设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 的一个变换．如果对于V 中任意元素,αβ以及数域F 中任意的数k ，总有()()()σαβσασβ+=+， (1) ()()k k σασα=， (2) 则称σ为线性空间V 的一个线性变换．如果线性空间V 的线性变换σ还是可逆变换，则称σ为V 的一个可逆线性变换．5． (数域F 上的)线性空间V 的线性变换σ具有如下一些基本性质 1 (0)0;()(),()V σσασαα=-=-∈．证 (0)(0)0()0σσασα===，()[(1)](1)()()σασασασα-=-=-=-．2 线性变换保持线性组合关系不变，即对V 中任何向量12,,...,αααs 及数域F 中任何数12,,...,s k k k 总有11221122()()()()σααασασασα+++=+++s s s s k k k k k k ． 3 线性变换把线性相关组化为线性相关组．证 若V 中向量12,,...,αααs 线性相关，则有F 中不全为零的数12,,...,s k k k 使11220ααα+++=s s k k k ，于是，1122()(0)σααασ+++=s s k k k 利用1、2，上式即为1122()()()0σασασα+++=s s k k k ．说明12(),(),...,()σασασαs 是V 的一个线性相关组．4 若σ、τ都是线性变换，则σ+τ，στ，()k k F σ∈也都是线性变换．证 对任意的,V αβ∈及任意的k F ∈，有()()()()()()()()σταβσαβταβσασβτατβ++=+++=+++()()()()()()()()σατασβτβσταστβ=+++=+++；()()()()()()στασατασατα+=+=+k k k k k[()()]()()σαταστα=+=+k k ．所以σ+τ为线性变换．类似可以证明στ为线性变换．再由*()()(())k k σασα=，而*k 是线性变换，可知σk 亦为线性变换． 5 线性变换满足如下运算律：对于线性空间V 的线性变换σ，τ，ρ及数域F 上的数k ，l ，总有;()();()();();();()();();().kl k l k l k l k k k σττσστρστρστρστρστρστσρστρσρτρσσσσσστστ+=+++=++=+=++=+=+=++=+ 6 若σ是可逆线性变换，则1σ-是可逆线性变换．证 只需证1σ-为线性变换，对于线性空间中的任意向量,,αβ有1111()()()()[()][()]αβσσασσβσσασσβ----+=+=+11[()()]σσασβ--=+．以1σ-作用等式两端得111()()()σαβσασβ---+=+．又，对于V 中任意向量α及数域F 中的任意数k ，111()()[()][()]k k k k ασσασσασσα---===，以1σ-作用两端得 11()()k k σασα--=．于是知1σ-为线性变换，从而是可逆线性变换．例1 在线性空间n P 中，求微分是一个线性变换，这里用D 表示，即()(),()n Df t f t f t P '=∀∈事实上，对任意的(),()n f t g t P ∈，及,k l F ∈，有[()g()][()g()]'()g ()D kf t l t kf t l t kf t l t ''+=+=+[()][()]k Df t l Dg t =+． 例2 定义在闭区间[,]a b 上的所有实连续函数的集合(,)C a b 构成R 上的一个线性空间，在(,)C a b 上定义变换J ，即[()](),()(,)t a J f t f u du f t C a b =∀∈⎰．则J 是(,)C a b 的一个线性变换．二、线性变换的矩阵表示设V 是数域F 上的n 维线性空间，12,,...,εεεn 是V 的一组基．首先说明线性空间V 的一个线性变换σ，可以由它对基的作用完全确 定．即已知σ将i ε化为()σεi (1,2,...,)=i n ，则对V 中任意向量1122αεεε=+++n n k k k ，必有 1122()()()()σασεσεσε=+++n n k k k ． 这说明()σα被完全确定．由α的任意性，知线性变换σ被完全确定了． 从另一个角度看，()i σε作为V 中向量，又可以由基12,,...,εεεn 惟一地线性表示，设11112121212122221122()()()σεεεεσεεεεσεεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩n n n nn n n nn na a a a a a a a a (3)若记 111212121212⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n n n nn a a a a a a A a a a ， 则(3)式可表示为1212((),(),...,())(,,...,)σεσεσεεεε=n n A ． (4)引进记号12(,,...,)σεεεn 用来表示12((),(),...,())σεσεσεn ，故(４)又可表示为1212(,,...,)(,,...,)σεεεεεε=n n A ． (5) (5)式中的n 阶矩阵A 称为线性变换σ在基12,,...,εεεn 下的矩阵． 显然，当σ确定时，它在取定基12,,...,εεεn 下的矩阵A 是被σ惟一决定的．事实上，A 的第i 列正是()i σε在基12,,...,εεεn 下的坐标．反过来，若给定数域F 上一个n 阶矩阵⎡⎤=⎣⎦ij A a ，可以证明V 上存在惟一的线性变换σ，使得σ在基12,,...,εεεn 下的矩阵恰为A ．证明过程如下：先构造V 的一个变换σ，再证明它是线性变换，并且是满足(5)式的惟一的线性变换．记1122,1,2,...,αεεε=+++=i i i ni n a a a i n ．对于V 中向量1122αεεε=+++n n k k k ， 令 1122()σαααα=+++n n k k k ，显然σ是V 的一个变换．σ还满足1)对于V 中任意向量α，β，若 1122αεεε=+++n n k k k ， 1122βεεε=+++n n l l l ，按σ的定义应有1122()σαααα=+++n n k k k ，1122()σβααα=+++n n l l l ，。