14-17高数

2015年福建省普通高校专升本招生考试高等数学 试卷（考试时间120分钟，满分150分）考生答题注意事项：1、答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2、本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上的相应代码涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案代码。

非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答无效。

3、考试结束后，考生必须将试卷和答题卡一并交回。

4、合理安排答题空间，超出答题区域无效。

第一部分 选择题一、单项选择题（本大题共1 0小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请选出并将答题卡上对应的答案代码涂黑，错涂、多涂或未涂均不得分）1．若()()()=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<-=2,2,1,22,0,2,1f f x x x x f 则【 】 A ．-1 B ．0 C ．1 D ．22．当x →0时，无穷小tan2x 是x 的【 】 A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶非等价无穷小3．下列各式中正确的是【 】A ．B ．()exx x 221lim =++∞→ C ．2021lim e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→ D ．()e x xx =+→1lim 04．函数exy 2015=的一阶导函数='y 【 】 A ． e 2015xB ．2015xe 2015xC ．2015e 2015xD ．2015e x5．曲线x y 3=在区间()+∞,0上【 】A ．单调上升且是凹的B ．单调上升且是凸的C ．单调下降且是凹的D ．单调下降且是凸的6．下列函数在区间［-1,1］上满足罗尔中值定理所有条件的是【 】 A ．y=2x+1B ．y=|x|-1C ．y=x 2 + 1D ．y=112-x7．已知()()=+=⎰x f C x dx x f 则,sin 【 】A ．sinxB ．-sinxC ．cosxD ．-cosx8．点（1，2，3）关于x 轴的对称点是【 】 A ．（-1，-2，-3）B ．（1，-2，-3）C ．（-1，2，-3）D ．（-1，-2，3）9．二阶常系数齐次线性微分方程06'''=-+y y y 的通解是【 】 A ．x xe C eC y 2231--+=B ．x xe C eC y 2231+=-C ．x xe C eC y 2231-+=D ．x xe C eC y 2231+=10．设()c bx ax x x f +++=23，0x 是方程()0=x f 的最小的根，则必有【 】 A ．()0'0<x fB ．()0'0>x fC ．()0'0≤x fD ．()0'0≥x f第二部分 非选择题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在答题卡的相应位置上） 11．函数()()21ln x x f -=的连续区间为 .12．极限()=--→11sin lim21x x x . 13．曲线⎩⎨⎧==te y t x 3在t=1处的切线方程是 . 14．()=+-⎰dx x 3sin 2115 . e xx x 221lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→15．=∞-⎰dx e x1 .16．记costdt t -0）（）（χχχ⎰=Φ，则)('χΦ= . 三、计算题（本大题共6小题，每小题7分，共42分。

请在答题卡上作答） 17．求极限xxx 211cos 1lim 0+--→.18．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=∈≠+=02,,,sin 2x Z k k x xax x x f ，π在点x=0处连续，求a 的值.19．已知函数()x y y =由方程22x xy e y=+确定，求()x y '.20．求定积分dx xnx 111e +⎰.21．求过直线L ：12312zy x =-=-与平面π：022=-++z y x 的交点，且与直线L 垂直的平面方程.22．求常微分方程x xy y 22'=+的通解.四、应用题（本大题共2小题，每小题11分，共22分。

请在答题卡上作答） 23．已知平面图形D 由曲线xe y =，x y =，0=x ，1=x 围城. （1）求D 的面积A ；（2）求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V.24．设A 生活区位于一直线河AC 的岸边，B 生活区与河岸的垂足C 相距2km ，且A 、B 生活区相距29km.现需要再、在河岸边修建一个水厂D （如图所示），向A 、B 生活区供水.已知从水厂D 向A 、B 生活区铺设水管的费用分别是30万元/km 和50万元/km ，求当水厂D 设在离C 多少km 时，才能使铺设水管的总费用最省？五、应用题（本大题共2小题，每小题11分，共22分。

请在答题卡上作答）25．设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=.0,0,0,1sin 22x x xx xx f （1）证明()0=x x f 在处可导；（2）讨论是否存在点0=x 的一个邻域，使得()x f 在该领域内单调，并说明理由.CA2kmD B29km2015年福建省普通高校专升本招生考试高等数学 试卷参考答案一、选择题 1.B2.D3.A4.C5.A6.C7.C8.B9.B10.A二、填空题11.),1()1,(+∞--∞ 12.0.5 13.323e x e y +=14.615.e16.x sin三、计算题 17.0 18.2 19.xe yx y y 222+-=20.121.022=-++z y x 22.21x ce y -+=四、应用题 23.231-e ）（；⎪⎭⎫ ⎝⎛-652122e π）（ 24.0450)5(3045'''22＞验证求到令，，目标函数，，为设y y x x y x BD x DA x CD =++-=+=-=结论：23=x五、证明题 25.思路2101sin2lim 0)0()(lim 1200=-+=--→→x x x x x f x f x x ）用导数的定义证明：（ （2）不存在2016年福建省专升本高等数学标准答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1． C. 2． C. 3． B. 4． C. 5． D. 6． A. 7． B. 8． B. 9． D. 10． A.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．22+sin x . 12．1. 13．21x +. 14．3. 15. 2. 16．1-.三、计算题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）17．解：原式2202sin 12lim6124x xx →==⋅； 另解：原式0sin 1lim 66x x x →==. 18. 解：直线的方向向量是{}112m =-，由题意知，平面的法向量就是直线的方向向量，即{}112n m ==-；又平面过点(1,1,2)-，所以，平面方程为(1)2(1)(2)0x y z -++--=，即230x y z +-+=.19．解：1yy e y ''+=⋅，11yy e '=-. 20．解：原式1111()(1)1x x x x xd e xe e dx e e e e ==-=-=--=⎰⎰.21．解：232y x ax '=+，62y x a ''=+；由题意知，11620a b a ++=-⎧⎨+=⎩，31a b =-⎧⎨=⎩.22．解：111dy dx y x =--，1ln ln(1)y x C =--+，1C y x =-，(1C C e =). 四、应用题（本大题共2小题，每小题11分，共22分）23. 解： 设总利润为()L x ，由题意得()()()L x q P x C q =⋅-(420)(30000100)2qq q =--+2320300002q q =--，(0,)x ∈+∞， ()320L x q '=-，令()0L x '=，得320q =.依题意，最大利润存在，且驻点唯一. 所以，当生产320件时，获得的利润最大，此时产品的价格260P =元.24．解：220cos sin 1S xdx x ππ===⎰； 220cos x V xdx ππ=⎰222001cos 21(sin 2)2224x dx x x πππππ+==+=⎰. 五、证明题（本大题共1小题，每小题6分，共6分）25．证明（1）由题意知，220()0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，因为00()(0)lim lim 00x x f x f x x ++→→-==-，00()(0)lim lim 00x x f x f x x --→→-=-=-；所以，函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f '=；（2）当0x >时，()20f x x '=>，所以函数()f x 在(0,)+∞内单调递增；当0x <时，()20f x x '=->，所以函数()f x 在(,0)-∞内单调递增； 且(0)0f '=，所以，函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增.版权所有 翻印必究 212017高数真题答案1-10：DCCBA DACBC;11. 3; 12. 2; 13. 1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭; 14. 1; 15. 0; 16. 1-; 17.解：原式211lim 1x x x →-=-()()121lim 1x x x →'-='-11lim 2x x →=12=; 18.解：由()20y e x y '++=，得20y ey y ''⋅++=，即21y y e -'=+，故01y y ='=-，因此切线方程：1y x=-; 19.解：(2ln 4y x x '⎡⎤'=+⎢⎥⎣⎦2244x x x x '=+++22144x x x ⎛⎫=++++24x =+20.解：原式()()1420121212x d x =++⎰()3420122123x =⋅⋅+263=; 21.解：将直线的参数方程21321x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩代入平面方程可得4t =-，所以交点为:()7,10,5---; 22.解：由公式法：()()1P x Q x ==，所以dx dx y e C e -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭()x x e C e -=+; 23. 面积()2212A y y dy -⎡⎤=+-⎣⎦⎰92=, ()()2222211=3V V V h r rR R y dy -=-++-⎰ππ台圆内3372=2155-=πππ72=5π； 24. 解：(1) []0,2D ：，()()26661f x x x x x '=-=-，令()0f x '=，得10x =、21x =，比大小：()01f =、()10f =、()25f =，综上可得：最小值为()10f =; (2) (),D -∞+∞：，()()2666f x x kx x x k '=-=-，令()0f x '=，得10x =、2x k =， 由0k >，得()0f k <，即()1,k ∈+∞.。