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第五章 常用概率分布
第一节 二项分布
一、二项分布的概念与特征 基本概念：如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的发生
概率均为（1－）；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察 n 个人，发生阳性结果的人数 X 的概率分布为二项分布，记作 B（n,π）。
二项分布的概率函数：
P(
X
第三节 正态分布
2．Poisson 分布的正态近似 随着总体均数 的增大，Poisson 分布趋向对称。理论上可以证明, 随着
，Poisson 分布也渐近正态分布。一般，当 20 时 Poisson 分布资料可按 正态分布处理。
和二项分布相同，Poisson 分布也是离散型变量分布。为了借用连续型变量 的分布函数计算概率，也要对概率函数作校正。校正后 Poisson 分布的正态近似 计算方法为
第二节 Poisson分布
二、Poisson 分布的应用 如果某稀有事件发生次数的总体均数为 λ，那么发生次数至多为 k 次的概率
为
P( X k) k P( X ) k e X
X 0
X 0
X!
发生次数至少为 k 次的概率为
P( X k) 1 P( X k 1)
第三节 正态分布
一、正态分布的概念 基本概念：正态分布是自然界最常见的一种分布，正态分布的特点是中间频
由于二项分布为离散型变量分布，为了借用连续型变量的分布函数计算概 率，要对概率函数作校正。
二项分布累计概率的正态近似计算公式为：
P( X
K)
k
C
X n
pX
q nX
X 0
( k 0.5 n ) n (1 )
P( X
k)
n
C
X n
pX
q nX
X k
1 ( k 0.5 n ) n (1 )
X 1.96S
其中， X 和 S 分别为样本的均数和标准差
第三节 正态分布
（二）二项分布、泊松分布的正态分布近似
1．二项分布的正态近似 随着 n 的增大，二项分布趋于对称。理论上可以 证明:当 n 相当大时，只要 π 不太靠近 0 或 1， 特别是当 nπ 和 n(1－π)都大于 5 时，二项分布近似于正态分布。
第三节 正态分布
二、 正态曲线下面积的分布规律 标准正态分布：总体均数为 0、总体标准差为 1 的正态分布称为标准正态分
布，用 N (0.1) 表示。
对任意一个服从正态分布 N (, 2 ) 的随机变量 X，经过如下的标准化变换 Z X
可以转变为标准正态分布。
正态曲线下面积的分布规律 由标准正态分布曲线下面积分布表给出。标准 正态分布的分布函数值等于标准正态曲线下 Z 值左侧的面积，记作 (z) 。
按正态分布规律，标准正态曲线下面积分布规律为： 单侧： P(Z Z ) 或 P(Z Z ) 双侧： P(Z Z / 2 ) + P(Z Z / 2 )
第三节 正态分布
三、正态分布的应用 （一）确定医学参考值范围
基本概念：医学参考值范围是指特定的“正常”人群（排除了对所研究指标有 影响的疾病和有关因素的特定人群）的解剖、生理、生化指标及组织代谢产物含 量等数据中大多数个体取值所在的范围。人们习惯用该人群中 95%的个体某项医 学指标的取值范围作为该指标的医学参考值范围。
Poisson 分布的概率函数：
P(X ) e X X!
式中， n 为 Poisson 分布的总体均数，X 为观察单位内某稀有事件的发生次 数，e 为自然对数的底， 为常数，约等于 2.71828。
Poisson 分布的特征 Poisson 分布当总体均数 值小于 5 时为偏峰， 愈小分布愈偏，随着 增 大，分布趋向对称。 Poisson 分布的总体均数与总体方差相等, 均为 ，且 Poisson 分布的观察结 果具有可加性。 特点：凡个体有传染性、聚集性，均不能视为二项分布或 Poisson 分布。
数最多，两边频数渐少且对称。 正态分布的概率密度函数：
f wenku.baidu.comX)
1
(X )2
e 2 2
2
其中, 为总体均数， 为总体标准差
正态分布密度曲线的特点:
（1）关于 x= 对称。
（2）在 x=μ 处取得该概率密度函数的最大值，在 x 处有拐点，表现 为钟形曲线。
（3）曲线下面积为 1。 （4） 决定曲线在横轴上的位置， 增大，曲线沿横轴向右移；反之， 减小，曲线沿横轴向左移。 （5） 决定曲线的形状，当 恒定时， 越大，数据越分散，曲线越“矮胖”’； 越小, 数据越集中，曲线越‘瘦高’。
p X n
p
p
(1 ) n
第一节 二项分布
二、二项分布的应用 二项分布出现阳性的次数至多为 k 次的概率为
k
k
P(X k) P(X )
n! X (1 )nX
X 0
X 0 X!(n X )!
出现阳性的次数至少为 k 次的概率为
k
k
P(X k) P(X )
n! X (1 )nX
X 0
X 0 X!(n X )!
第二节 Poisson分布
一、Poisson 分布的概念与特征 基本概念：Poisson 分布可以看作是每个观察对象阳性结果的发生概率很
小，而观察例数 n 很大时的二项分布。除二项分布的三个基本条件以外，Poisson 分布还要求 接近于 0。有些情况和 n 都难以确定，只能以观察单位（时间、 空间、面积等）内某种稀有事件的发生数 X 来近似。
计算方法：确定医学参考值范围的方法有两种： （1）百分位数法 双侧 95%医学参考值范围是 (P25 , P975 ) ，单侧范围是 P95 以下（如血铅、发汞），或 P5 以上（如肺活量）。该法适用于任何分布类型的资 料。 （2）正态分布法 若 X 服从正态分布，医学参考值范围还可以依正态分 布规律计算。正态分布资料双侧医学参考值范围一般按下式作近似估计：
)
C
X n
X
(1
)n
X
二项分布的特征：
二项分布图的形态取决于与 n，高峰在=n处。当接近 0.5 时，图形是
对称的；离 0.5 愈远，对称性愈差，但随着 n 的增大，分布趋于对称。
二项分布的总体均数为
n
方差为
2 n (1 )
标准差为
n (1 )
如果将出现阳性结果的频率记为
则 p 的总体均数为 标准差为
第一节 二项分布
一、二项分布的概念与特征 基本概念：如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的发生
概率均为（1－）；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察 n 个人，发生阳性结果的人数 X 的概率分布为二项分布，记作 B（n,π）。
二项分布的概率函数：
P(
X
第三节 正态分布
2．Poisson 分布的正态近似 随着总体均数 的增大，Poisson 分布趋向对称。理论上可以证明, 随着
，Poisson 分布也渐近正态分布。一般，当 20 时 Poisson 分布资料可按 正态分布处理。
和二项分布相同，Poisson 分布也是离散型变量分布。为了借用连续型变量 的分布函数计算概率，也要对概率函数作校正。校正后 Poisson 分布的正态近似 计算方法为
第二节 Poisson分布
二、Poisson 分布的应用 如果某稀有事件发生次数的总体均数为 λ，那么发生次数至多为 k 次的概率
为
P( X k) k P( X ) k e X
X 0
X 0
X!
发生次数至少为 k 次的概率为
P( X k) 1 P( X k 1)
第三节 正态分布
一、正态分布的概念 基本概念：正态分布是自然界最常见的一种分布，正态分布的特点是中间频
由于二项分布为离散型变量分布，为了借用连续型变量的分布函数计算概 率，要对概率函数作校正。
二项分布累计概率的正态近似计算公式为：
P( X
K)
k
C
X n
pX
q nX
X 0
( k 0.5 n ) n (1 )
P( X
k)
n
C
X n
pX
q nX
X k
1 ( k 0.5 n ) n (1 )
X 1.96S
其中， X 和 S 分别为样本的均数和标准差
第三节 正态分布
（二）二项分布、泊松分布的正态分布近似
1．二项分布的正态近似 随着 n 的增大，二项分布趋于对称。理论上可以 证明:当 n 相当大时，只要 π 不太靠近 0 或 1， 特别是当 nπ 和 n(1－π)都大于 5 时，二项分布近似于正态分布。
第三节 正态分布
二、 正态曲线下面积的分布规律 标准正态分布：总体均数为 0、总体标准差为 1 的正态分布称为标准正态分
布，用 N (0.1) 表示。
对任意一个服从正态分布 N (, 2 ) 的随机变量 X，经过如下的标准化变换 Z X
可以转变为标准正态分布。
正态曲线下面积的分布规律 由标准正态分布曲线下面积分布表给出。标准 正态分布的分布函数值等于标准正态曲线下 Z 值左侧的面积，记作 (z) 。
按正态分布规律，标准正态曲线下面积分布规律为： 单侧： P(Z Z ) 或 P(Z Z ) 双侧： P(Z Z / 2 ) + P(Z Z / 2 )
第三节 正态分布
三、正态分布的应用 （一）确定医学参考值范围
基本概念：医学参考值范围是指特定的“正常”人群（排除了对所研究指标有 影响的疾病和有关因素的特定人群）的解剖、生理、生化指标及组织代谢产物含 量等数据中大多数个体取值所在的范围。人们习惯用该人群中 95%的个体某项医 学指标的取值范围作为该指标的医学参考值范围。
Poisson 分布的概率函数：
P(X ) e X X!
式中， n 为 Poisson 分布的总体均数，X 为观察单位内某稀有事件的发生次 数，e 为自然对数的底， 为常数，约等于 2.71828。
Poisson 分布的特征 Poisson 分布当总体均数 值小于 5 时为偏峰， 愈小分布愈偏，随着 增 大，分布趋向对称。 Poisson 分布的总体均数与总体方差相等, 均为 ，且 Poisson 分布的观察结 果具有可加性。 特点：凡个体有传染性、聚集性，均不能视为二项分布或 Poisson 分布。
数最多，两边频数渐少且对称。 正态分布的概率密度函数：
f wenku.baidu.comX)
1
(X )2
e 2 2
2
其中, 为总体均数， 为总体标准差
正态分布密度曲线的特点:
（1）关于 x= 对称。
（2）在 x=μ 处取得该概率密度函数的最大值，在 x 处有拐点，表现 为钟形曲线。
（3）曲线下面积为 1。 （4） 决定曲线在横轴上的位置， 增大，曲线沿横轴向右移；反之， 减小，曲线沿横轴向左移。 （5） 决定曲线的形状，当 恒定时， 越大，数据越分散，曲线越“矮胖”’； 越小, 数据越集中，曲线越‘瘦高’。
p X n
p
p
(1 ) n
第一节 二项分布
二、二项分布的应用 二项分布出现阳性的次数至多为 k 次的概率为
k
k
P(X k) P(X )
n! X (1 )nX
X 0
X 0 X!(n X )!
出现阳性的次数至少为 k 次的概率为
k
k
P(X k) P(X )
n! X (1 )nX
X 0
X 0 X!(n X )!
第二节 Poisson分布
一、Poisson 分布的概念与特征 基本概念：Poisson 分布可以看作是每个观察对象阳性结果的发生概率很
小，而观察例数 n 很大时的二项分布。除二项分布的三个基本条件以外，Poisson 分布还要求 接近于 0。有些情况和 n 都难以确定，只能以观察单位（时间、 空间、面积等）内某种稀有事件的发生数 X 来近似。
计算方法：确定医学参考值范围的方法有两种： （1）百分位数法 双侧 95%医学参考值范围是 (P25 , P975 ) ，单侧范围是 P95 以下（如血铅、发汞），或 P5 以上（如肺活量）。该法适用于任何分布类型的资 料。 （2）正态分布法 若 X 服从正态分布，医学参考值范围还可以依正态分 布规律计算。正态分布资料双侧医学参考值范围一般按下式作近似估计：
)
C
X n
X
(1
)n
X
二项分布的特征：
二项分布图的形态取决于与 n，高峰在=n处。当接近 0.5 时，图形是
对称的；离 0.5 愈远，对称性愈差，但随着 n 的增大，分布趋于对称。
二项分布的总体均数为
n
方差为
2 n (1 )
标准差为
n (1 )
如果将出现阳性结果的频率记为
则 p 的总体均数为 标准差为