二元一次方程组--难题技巧(整理版)学习资料

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二元一次方程组知识点整理、典型例题练习总结

⼆元⼀次⽅程组知识点整理、典型例题练习总结⼆元⼀次⽅程组（拓展与提优）1、⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数（ x 和 y ），并且含有未知数の项の次数都是 1，像这样の整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程，它の⼀般形式是 ax by c（a 0,b 0）.例 1、若⽅程（ 2m-6）x|n|-1+（n+2）ym2-8=1是关于x 、yの⼆元⼀次⽅程，求 m 、n の值.2、⼆元⼀次⽅程の解：⼀般地，能够使⼆元⼀次⽅程の左右两边相等の两个未知数の值，叫做⼆元⼀次⽅程の解.【⼆元⼀次⽅程有⽆数组解】3、⼆元⼀次⽅程组：含有两个未知数（ x 和 y ），并且含有未知数の项の次数都是 1，将这样の两个或⼏个⼀次⽅程合起来组成の⽅程组叫做⼆元⼀次⽅程组 .4、⼆元⼀次⽅程组の解：⼆元⼀次⽅程组中の⼏个⽅程の公共解，叫做⼆元⼀次⽅程组の解 . 【⼆元⼀次⽅程组解x y 1 x y 1x y 1 x y 1の情况：①⽆解，例如： x y 6，2x 2y 6；②有且只有⼀组解，例如： 2x y 2 ；③有⽆数组解，例如： 2x 2y 2】例 2、已知2x +（m -1）y ＝2nx+ y ＝1の解，试求（m+n ） 2016の值例 3、⽅程 x 3y 10 在正整数范围内有哪⼏组解？5、⼆元⼀次⽅程组の解法：代⼊消元法和加减消元法。

例 4、将⽅程 10 2（3 y ） 3（2 x ）变形，⽤含有 x の代数式表⽰ y .例 5、⽤适当の⽅法解⼆元⼀次⽅程组ax y 1例 6、若⽅程组有⽆数组解，则 a 、 b の值分别为（）6x by 2B. a 2,b 1C.a=3,b=-2D. a 2 b, 2x2x 2是关于 x 、 y の⼆元⼀次⽅程组A. a=6,b=-1例 7、已知关于 x, y の⽅程组 3x 5y m 2の解满⾜ x y 10,求式⼦ m 2 2m 1の值. 2x 3y m6、三元⼀次⽅程组及其解法：⽅程组中⼀共含有三个未知数，含未知数の项の次数都是1，并且⽅程组中⼀共有两个或两个以上の⽅程，这样の⽅程组叫做三元⼀次⽅程组。

解二元一次方程组的常见方法与技巧

解二元一次方程组的常见方法与技巧解二元一次方程组是代数学中的基本概念之一。

在学习代数学的过程中，我们常常会遇到需要解决二元一次方程组的问题。

本文将介绍解二元一次方程组的常见方法与技巧，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

1. 直接代入法直接代入法是解二元一次方程组最简单直接的方法之一。

当方程组中的一元系数非常容易消除时，我们可以使用直接代入法解决方程组。

以方程组为例，假设我们需要解决以下方程组：```2x + y = 5x - y = 1```我们可以将第二个方程中的 x 表达式替换到第一个方程中，即将 x - y 的 x 表达式替换为 1 - y，得到：```2(1 - y) + y = 5```通过简化方程，我们可以得到 y 的值，并将其代入到另一个方程中求解 x 的值。

2. 消元法消元法是解二元一次方程组最常用的方法之一。

当方程组中的一元系数相等或相差一个常数时，我们可以使用消元法求解方程组。

以方程组为例，假设我们需要解决以下方程组：```2x + 3y = 74x - y = -3```我们可以通过将两个方程相加或相减，消去一个变量的系数。

若我们将第一个方程乘以 2 后与第二个方程相减，则可以消去 x 的系数，得到：```6y = 17```通过简化方程，我们可以得到 y 的值，并将其代入到另一个方程中求解 x 的值。

3. 代入法代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。

当方程组中的一元系数不易消去时，我们可以使用代入法求解方程组。

以方程组为例，假设我们需要解决以下方程组：x + 2y = 43x - 2y = 1```我们可以通过将一个方程中的一个变量表达式替换到另一个方程中，得到一个只包含一个变量的方程。

例如，我们将第一个方程中的 x 表达式替换到第二个方程中，即将 x 的表达式替换为 4 - 2y，得到：```3(4 - 2y) - 2y = 1```通过简化方程，我们可以得到 y 的值，并将其代入到另一个方程中求解 x 的值。

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一、知识点归纳在代数学中，二元一次方程组是由两个含有两个未知数的方程组成的。

通常表示为：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f为已知系数，x、y为未知数。

1. 方程组解的类型二元一次方程组的解可以分为以下三种类型：a) 有唯一解：方程组中的两个方程可以通过消元法或代入法得到唯一解。

b) 无解：方程组中的两个方程无法通过消元法或代入法得到一致的解，此时方程组为矛盾方程组。

c) 无穷解：方程组中的两个方程可以通过消元法或代入法得到多个解，此时方程组为同解方程组。

2. 消元法消元法是求解二元一次方程组的常用方法，它的基本思路是通过变换方程式，将两个方程中的一个未知数消去，从而得到只含有一个未知数的方程，再通过代入法求解。

以下是消元法的步骤：a) 将两个方程中的同一未知数系数相等，若系数不等，则可通过乘法变换，使其相等；b) 将两个方程式相减，将其中一个未知数消去，得到只含有另一个未知数的方程；c) 求解得到该未知数的值；d) 将求得的未知数的值带入其中一个方程，求解得到另一个未知数的值。

3. 代入法代入法也是求解二元一次方程组的有效方法，它的基本思路是将一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，再将其代入另一个方程进行求解。

以下是代入法的步骤：a) 选择一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，比如设x = g(y)；b) 将该式子代入另一个方程，得到只含有一个未知数的方程；c) 求解得到该未知数的值；d) 将求得的未知数的值带入其中一个方程，求解得到另一个未知数的值。

二、解题技巧1. 观察方程组特征：通过观察方程组的系数和常数项，判断方程组的解类型。

当系数和常数项满足某种特定条件时，可以直接判断方程组的解类型，避免不必要的计算。

例如，当两个方程的系数比例相同，而常数项不同时，方程组无解；当两个方程的系数和常数项都相等，方程组有无穷解。

(完整版)二元一次方程组知识点及典型例题

二元一次方程组小结与复习一、知识梳理（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。

2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。

任何一个二元一次方程都有无数个解。

3．方程组和方程组的解（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。

（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。

4．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。

（二）二元一次方程组的解法： 1．代入消元法 2．加减消元法二、典例剖析题型一1．二元一次方程及方程组的概念。

二元一次方程的一般形式：任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成0=++c by ax （a,b,c 为已知数，且a ≠0，b ≠0）的形式，这种形式叫二元一次方程的一般形式。

练习1、下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？12).().(711)(6526)(=++-=++=-y x xy D y x C yx B x z x A练习2、若方程的值。

的二元一次方程，求、是关于）（n n mm y x y xm 43195=+--练习3、（1）若方程(2m －6)x |n |－1+(n +2)y 82-m =1是二元一次方程，则m =_______，n =__________．专题二：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。

（一）、代入消元法：1、直接代入例1 解方程组②①y x x y ⎩⎨⎧=--=.134,32跟踪训练：解方程组：（1）90152x y x y+=⎧⎨=-⎩ （2）⎩⎨⎧-==+73825x y y x2、变形代入例2 解方程组②①y x y x ⎩⎨⎧=+=-.1043,95跟踪训练：（1）⎩⎨⎧-=--=-.2354,42y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+②①77322y x y x(3) ⎩⎨⎧=-=+.123,205y x y x (4) ⎩⎨⎧=-=+②①5231284y x y x（二）、加减消元法例题、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-322543y x y x （3）．⎩⎨⎧=+=+.1034,1353y x y x跟踪训练：（1）（2）（3）⎩⎨⎧=+=-1023724y x y x(4) (5)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--9275320232y y x y x (6)11,233210;x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（三）、选择适当的方法解下列方程组（1）⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）⎩⎨⎧-=+---=+--23)3(5)4(44)3()4(2y x y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-++=+3)43(4)1(3)2(311y x y x （4）x 2y+2=02y+22x536⎧⎪⎨⎪⎩－－－＝题型三：代数式的变形 1、在方程＝5中，用含的代数式表示为：＝，当＝3时，＝。

二元一次方程组--难题技巧(整理版)

二元一次方程组技巧攻略典型例题分析(1）（2）（3）（4）361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩ (5）()1232111x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩ （6)()()9185232032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩（7)7231x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩ （7）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+504060z x z y y x (9）1. 若已知方程()()()221153a x a x a y a -+++-=+，则当a = 时，方程为一元一次方程；当a = 时，方程为二元一次方程.2。

求二元一次方程3220x y +=的:⑴所有正整数解；⑵一组分数解;⑶一组负数解.3。

如果21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解,则a c 与的关系是（）A 。

49a c += B. 29a c += C. 49a c -= D 。

29a c -=4。

已知方程组由于甲看错方程①中的a 得方程组解31x y =-⎧⎨=-⎩；乙看错方程②中b 得方程组解为54x y =⎧⎨=⎩，若按正确的a b 、计算,求原方程组的解。

5、已知代数式1312a x y -与23b a b x y -+-是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ) A.21a b =⎧⎨=-⎩B.21a b =⎧⎨=⎩C.21a b =-⎧⎨=-⎩6。

如果()43713x y kx k y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解x y 、的值相等，则k 的值是（） A 。

1 B.0 C 。

2 D. 2-7、如果()25x y +-与3210y x -+互为相反数，那么x = ，y = 。

8、若23x y =-⎧⎨=⎩是方程33x y m -=和5x y n +=的公共解,则23m n -= 。

9、已知231x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则()()a b a b +-的值是 .10、已知关于x y 、的方程组2647x ay x y -=⎧⎨+=⎩有整数解,即x y 、都是整数，a 是正整数，求a 的值.11、足球比赛记分规则：胜一场得三分，平一场得一分,负一场得零分。

总结解二元一次方程组的方法与技巧

总结解二元一次方程组的方法与技巧解二元一次方程组是初中数学课程中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。

在学习解二元一次方程组的过程中，我们需要熟练掌握一系列的解题方法和技巧。

本文将总结解二元一次方程组的方法与技巧，并带你深入了解解题过程。

一、方法一：代入法代入法是解二元一次方程组中最常用的方法之一。

其基本思路是将一个方程中的一个变量表示出来，然后带入另一个方程中进行求解。

以下是一个例子：例题：解方程组{ 2x + y = 7{ x - y = 1解法：首先，将第二个方程稍微变形，得到x = y + 1。

然后，将这一表达式代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 7。

化简后得到3y = 5，进而解得y = 5/3。

将y的值代入x = y + 1中，可求得x = 8/3。

因此，方程组的解为{x = 8/3，y = 5/3}。

二、方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。

它的核心思想是通过加减乘除操作，将方程组化成较简单的形式，进而求解未知数。

以下是一个例子：例题：解方程组{ 2x - 3y = 8{ 3x + 2y = 17解法：首先，将两个方程的系数对应乘上合适的常数，使得两个方程的x的系数相等或者y的系数相等。

这里我们可以将第一个方程乘以2，将第二个方程乘以3，得到如下方程组：{ 4x - 6y = 16{ 9x + 6y = 51然后，将第二个方程减去第一个方程，得到13x = 35。

进而解得x = 35/13。

将x的值代入第一个方程中，可求得y = -4/13。

因此，方程组的解为{x = 35/13，y = -4/13}。

三、技巧一：消元法的选择在应用消元法解题时，我们可以通过合理的选择消元顺序，简化计算过程。

一般来说，我们应选择将系数较小的方程乘以合适的常数，使其与系数较大的方程的系数相等。

这样可以避免出现过大的计算结果，提高解题效率。

四、技巧二：检验解的合理性在解二元一次方程组后，我们需要检验解的合理性，以验证求得的解是否正确。

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一，基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

二，解的状况：二元一次方程组的解有三种状况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24∕7y=59∕7为方程组的解2.有多数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程事实上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有多数组解。

3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相冲突，所以此类方程组无解。

三，二元一次方程的解法：1,一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：1,代入消元法2,加减消元法3,教科书中没有的几种解法（一）加减•■代入混合运用的方法.例：i3x+14y=41（1）^14x+13y=40（2）解:（2）-⑴得x-y=-1x=y-1（3）把（3）代入⑴得13（y-1）+14y=41y=2把y=2代入⑶得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个X或单个y,这样就适用接下来的代入消元.（二）换元法例3：rx:y=1:4>5x+6y=29令X=1y=41 则方程2可写为：5t+6×4（=2929t=29t=1所以x=1,y=4四，列方程（组）解应用题（一）,其详细步骤是：⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

绝对经典二元一次方程组知识点整理、典型例题练习总结

一、知识点总结1、二元一次方程：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠.2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，1226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩】5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。

例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②例：解方程组x+y=9①x-y=5②(一)加减-代入混合使用的方法.例1, 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)特点:两方程相加减,单个x 或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2， (x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

6、三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。

解三元一次方程组的关键也是“消元”：三元→二元→一元 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+=-+3113y x z x z y z y x7、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、设、找、列、解、答”六步：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，；（2）设：设未知数；（3）找：找出能够表示题意两个相等关系；并用字母表示其中的两个未知数（4）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（5）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（6）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.1、若方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值.2、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y .3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？4、若23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解，求m n 、的值.5、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值.6、已知关于,x y 的方程组35223x y m x y m+=+⎧⎨+=⎩的解满足10,x y +=-求式子221m m -+的值.7、解二元一次方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+35351343z y x z y x z y x8、在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为，乙看错了方程组中的b ，而得解为．（1）甲把a 看成了什么，乙把b 看成了什么？（2）求出原方程组的正确解.题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套题型二、列二元一次方程组解决行程问题2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。

二元一次方程组--难题技巧(整理版)教学文稿

各种学习资料，仅供学习与交流二元一次方程组技巧攻略典型例题分析(1) (2) (3)（4）361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩ (5）()1232111x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩ （6）()()9185232032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩（7）7231x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩ （7）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+504060z x z y y x (9)1. 若已知方程()()()221153a x a x a y a -+++-=+,则当a = 时,方程为一元一次方程; 当a = 时,方程为二元一次方程.2. 求二元一次方程3220x y +=的:⑴所有正整数解;⑵一组分数解;⑶一组负数解.3.如果21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解,则a c 与的关系是( )A.49a c +=B. 29a c +=C. 49a c -=D. 29a c -= 4. 已知方程组由于甲看错方程①中的a 得方程组解31x y =-⎧⎨=-⎩;乙看错方程②中b 得方程组解为54x y =⎧⎨=⎩,若按正确的a b 、计算,求原方程组的解.5、已知代数式1312a x y -与23b a bx y -+-是同类项，那么a 、b 的值分别是（） A.21a b =⎧⎨=-⎩ B.21a b =⎧⎨=⎩ C.21a b =-⎧⎨=-⎩ 6. 如果()43713x y kx k y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解x y 、的值相等,则k 的值是( ) A.1 B.0 C.2 D. 2-7、如果()25x y +-与3210y x -+互为相反数，那么x = ，y = . 8、若23x y =-⎧⎨=⎩是方程33x y m -=和5x y n +=的公共解,则23m n -= .9、已知231x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解,则()()a b a b +-的值是 .10、已知关于x y 、的方程组2647x ay x y -=⎧⎨+=⎩有整数解,即x y 、都是整数,a 是正整数,求a 的值.11、足球比赛记分规则：胜一场得三分，平一场得一分，负一场得零分。

第10讲---二元一次方程组的解法精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版第八讲二元一次方程组的解法一、知识梳理（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。

2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。

任何一个二元一次方程都有无数个解。

3．方程组和方程组的解（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。

（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。

4．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。

（二）二元一次方程组的解法： 1．代入法 2．加减法二、典例剖析专题一：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。

（一）、代入消元法：1、直接代入例1 解方程组②①y x x y ⎩⎨⎧=--=.134,32跟踪训练：解方程组：（1）90152x y x y+=⎧⎨=-⎩ （2）⎩⎨⎧-==+73825x y y x2、变形代入例2 解方程组②①y x y x ⎩⎨⎧=+=-.1043,95跟踪训练：（1）⎩⎨⎧-=--=-.2354,42y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+②①77322y x y x(3) ⎩⎨⎧=-=+.123,205y x y x (4) ⎩⎨⎧=-=+②①5231284y x y x（二）、加减消元法例3、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-322543y x y x （3）．⎩⎨⎧=+=+.1034,1353y x y x跟踪训练：（1）（2）（3）(4) (5)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--9275320232y y x y x (6)11,233210;x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（三）、选择适当的方法解下列方程组（1）⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）⎩⎨⎧-=+---=+--23)3(5)4(44)3()4(2y x y x⎪⎩⎪⎨⎧=+=+15251102y x y x ⎩⎨⎧=+=-1023724y x y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-++=+3)43(4)1(3)2(311y x y x （4）x 2y+2=02y+22x536⎧⎪⎨⎪⎩－－－＝专题二：有关二元一次方程组的解：例4、（1）若方程(2m －6)x |n |－1+(n +2)y 82-m =1是二元一次方程，则m =_______，n =__________．（2）二元一次方程3a +b =9在正整数范围内的解的个数是_________.（3）已知(3x －2y +1)2与|4x －3y －3|互为相反数，则x =__________，y =________（4）若方程组⎩⎨⎧-=-+=+122323m y x m y x 的解互为相反数，求m 的值。

二元一次方程组(难点、考点、易错点)

DSE 金牌数学专题系列二元一次方程组(难点、考点、易错点)一、导入:讲个故事：“从前有个太监…………………………”有人耐不住问：“下面呢？”继续讲故事：“下面？没了啊……”一、知识点回顾（一）二元一次方程组1.二元一次方程：像x＋y＝2这样的方程中含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.3.二元一次方程组：把两个方程x＋y＝3和2x＋3y＝10合写在一起为像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.5.代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.6.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法. （二）二元一次方程组的实际应用列方程组解应用题的常见类型主要有：１. 行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间；２. 工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.基本等量关系为：工作量＝工作效率×工作时间；3. 和差倍分问题.基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量；4. 航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速5. 几何问题、年龄问题和商品销售问题等.二、专题讲解专题一错题分析【误解】A或D．【思考与分析】二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，而中的一个方程的解，并不能让另一方程左、右两边相等，所以它们都不是这个方程组的解，只有C是正确的．验证方程组的解时，要把未知数的值代入方程组中的每个方程中，只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解．【正解】C．把式③代入式②得8-3y+3y=8，0×y=0.所以y可以为任何值.所以原方程组有无数组解．【正解】由式②得x=8-3y③把式③代入式①得2（8-3y）+5y=-21，解得y=37.把y=37代入式③得x=8-3×37，解得x=-103. 所以【例3】解方程组【错解】方程①- ②得：－3y=0，所以y=0，把y=0，代入②得x=－2，所以原方程组的解为【分析】在①- ②时出错.【正解】①- ②得：（x－2y）－（x－y）＝2－（－2）x－2y－x＋y＝4－y=4 y=－4把y=－4代入②得x=－6，所以原方程组的解为【小结】两方程相减时，易出现符号错误，所以要特别细心.【例4】某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？错解: 设晚会上男生有x人，女生有y人.根据题意，得把①代入②，得x=（2x-1），解得x=3.把x=3代入②，得y=5.所以答:晚会上男生3人，女生5人.【分析】本题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数.正解: 设晚会上男生有x人，女生有y人.根据题意，得把③代入④,得x=［2（x-1）－1－1］，解得x=12.把x=12代入④，得y=21.所以答：晚会上男生12人，女生21人.解二元一次方程组的问题看似简单，但如果你稍不注意，就有可能犯如下错误.【例5】解方程组【错解】方程①＋②得：2x=4，原方程组的解是：x=2【错因分析】错解只求出了一个未知数x，没有求出另一个未知数y.所以求解是不完整的.【正解】（接上）将x=2带入②得：y=0.所以原方程组的解为【小结】用消元法来解方程组时，只求出一个未知数的解，就以为求出了方程组的解，这是对二元一次方程组的解的意义不明确的表现.应牢记二元一次方程组的解是一组解，而不是一个解.【例6】解方程组【错解】由式①得y=2x-19 ③把式③代入式②得2（2x－19－【错因分析】“错解”在把变形后的式③代入式②时，符号书写出现了错误．当解比较复杂的方程组时，应先化简，在求出一个未知数后，可以将它代入化简后的方程组里的任意一个方程中，求出第二个未知数，这样使得运算方便，避免出现错误．【正解一】化简原方程组得【正解二】化简原方程组得①×6+②得17x=114，【小结】解二元一次方程组可以用代入法，也可以用加减法．一般地说，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入法比较方便；当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法比较方便．专题二思维点拨【例1】小红到邮局寄挂号信，需要邮资３元８角. 小红有票额为６角和８角的邮票若干张，问各需多少张这两种面额的邮票？【思考与解】要解此题，第一步要找出问题中的数量关系.寄信需邮资３元８角，由此可知所需邮票的总票额要等于所需邮资3.8元. 再接着往下找数量关系，所需邮票的总票额等于所需６角邮票的总票额加上所需８角邮票的总票额. 所需６角邮票的总票额等于单位票额６角与所需６角邮票数目的乘积. 同样的，所需８角邮票的总票额等于单位票额８角与所需８角邮票数目的乘积. 这就是题中蕴含的所有数量关系.第二步要抓住题中最主要的数量关系，构建等式.由图可知最主要的数量关系是：所需邮资=所需邮票的总票额.第三步要在构建等式的基础上找出这个数量关系中牵涉到哪些已知量和未知量.已知量是所需邮资３.8元，两种邮票的单位票额０.6元和0.8元，未知量是两种邮票的数目. 第四步是设元（即设未知量），并用数学符号语言将数量关系转化为方程. 设0.6元的邮票需x张，0.8元的邮票需y张，用字母和运算符号将其转化为方程：0.6x+0.8y=3.8. 第五步是解方程，求得未知量. 由于两种邮票的数目都必须是自然数，此二元一次方程可以用列表尝试的方法求解.方程的解是第六步是检验结果是否正确合理. 方程的两个解中两种邮票的数目均为正整数，将两解代入方程后均成立，所以结果是正确合理的.第七步是答，需要1张6角的邮票和4张8角的的邮票，或需要5张6角的邮票和1张8角的的邮票.【例2】小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片１２０张. 商店里有两种型号的胶卷：Ａ型每卷３６张底片，Ｂ型每卷１２张底片. 小聪一共买了４卷胶卷，刚好有１２０张底片. 求两种胶卷的数量.【思考与解】第一步：找数量关系. Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数. Ａ型胶卷的底片总数=每卷Ａ型胶卷所含底片数×Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷的底片总数＝每卷Ｂ型胶卷所含底片数×Ｂ型胶卷数.第二步：找出最主要的数量关系，构建等式. Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数.第三步：找出未知量和已知量. 已知量是：胶卷总数，度片总数，每卷Ａ型胶卷所含底片数，每卷Ｂ型胶卷所含底片数；未知量是：Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷数.第四步：设元，列方程组. 设Ａ型胶卷数为x，Ｂ型胶卷数为y，根据题中数量关系可列出方程组：第五步：答：Ａ型胶卷数为3，Ｂ型胶卷数为1.【小结】我们在解这类题时，一般就写出设元、列方程组并解出未知量和答这几步，如有必要可以加上验证这一步.其他步骤可以省略.【例３】用加减法解方程组【思考与分析】经观察，我们发现两个方程中y的系数互为相反数，故将两方程相加，消去y.解：①＋②，得４x=8.解得x=2.把x=2代入①，得2+2y=3.解得y=.所以，原方程组的解为：【思考与分析】经观察，我们发现x的系数成倍数关系，故先将方程①×2再与方程②作差消去x较好.解：①×２，得4x-6y=16. ③②－③，得11y=-22.解得y=-2.把y=-2代入①，得２x-3×（-2）＝８. 解得x=1.所以原方程组的解为【思考与分析】如果用代入法解这个方程组，就要从方程组中选一个系数比较简单的方程进行变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，然后代入另一个方程.本题中，方程②的系数比较简单，应该将方程②进行变形.如果用加减法解这个方程组，应从计算简便的角度出发，选择应该消去的未知数.通过观察发现，消去x比较简单.只要将方程②两边乘以2 ，然后将两方程相减即可消去x.解法1：由②得x=8-2y.③把③代入①得2（8-2y）+5y=21，解得y=5.把y=5代入③得x=-2.所以原方程组的解为：解法2：②×2得2x+4y=16. ③①-③得2x+5y-（2x+4y）=21-16，解得y=5.把y=5代入②得x=-2.所以原方程组的解为【小结】我们解二元一次方程组时，用到的都是消元的思想，用代入法还是加减法解题，原则上要以计算简便为依据.【例6】用代入法解方程组【思考与分析】经观察，我们发现方程①为用y表示x的形式，故将①代入②，消去x.解：把①代入②，得３（y+3）-8y=14.解得y=-1.把y=-1代入①，得x=2.所以原方程组的解为【例7】用代入法解方程组【思考与分析】经观察比较，我们发现方程①更易于变为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，故选择①变形，消去y.解：由①，得y=2x-5. ③把③代入②，得３x+4（2x-5）=2.解得x=2.把x=2代入③，得y=-1.所以原方程组的解为：【例8】甲、乙两厂，上月原计划共生产机床90台，结果甲厂完成了计划的112％，乙厂完成了计划的110％，两厂共生产机床100台，求上月两厂各超额生产了多少台机床？【思考与分析】我们可以采用两种方法设未知数，即直接设法和间接设法.直接设法就是题目要求什么就设什么为未知数，本题中就是设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台；而间接设法就是问什么并不设什么，而是采用先设出一个中间未知数，求出这个中间未知数，再利用它同题中要求未知数的联系，解出所要求的未知数，题中我们可设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.解法一：直接设法.设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台，则共超额了100－90＝10（台），而甲厂计划生产的台数是台，乙厂计划生产的台数是台.根据题意，得答：上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.解法二：间接设法.设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.根据题意，得所以x×（112％－1）＝50×12％＝6，y×（110％-1）＝40×10％＝4.答：上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.【例9】某学校组织学生到100千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发.【思考与分析】我们从行程问题的3个基本量去寻找，可以发现，速度已明确给出，只能从路程和时间两个量中找出等量关系，有题意知，先坐车的一半人，后坐车的一半的人，车三者所用时间相同，所以根据时间来列方程组.如图所示是路程示意图，正确使用示意图有助于分析问题，寻找等量关系.解：设先坐车的一半人下车点距起点x千米，这个下车点与后坐车的一半人的上车点相距y千米，根据题意得化简得从起点到终点所用的时间为所以出发时间为：17－10＝7.即早晨7点出发.答：要使学生下午5点到达，必须早晨7点出发.【例10】小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）【思考与分析】设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.【反思】我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.专题三竞赛数学【例1】已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.（１）由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.（２）把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k 的值.（３）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.把代入①，得，解得k=-4.解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，解法三：①+②，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.【例2】某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品. 若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解. 我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式. 然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.解：设付出２元钱的张数为x，付出５元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数. 依题意可得方程：2x+5y=33.因为5y个位上的数只可能是０或５，所以2x个位上数应为３或８.又因为２x是偶数，所以２x个位上的数是８，从而此方程的解为：由得x+y=12；由得x+y=15. 所以第一种付款方式付出的张数最少.答：付款方式有３种，分别是：付出４张２元钱和５张５元钱；付出９张２元钱和３张５元钱；付出１４张２元钱和１张５元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少.【例3】解方程组【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.解：由①，得y=4－mx，③把③代入②，得2x+5（4－mx）=8，解得（2－5m）x=-12，当2－5m＝0，即m＝时，方程无解，则原方程组无解.当2－5m≠0，即m≠时，方程解为将代入③，得故当m≠时，原方程组的解为【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况．对于x、y的方程组中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数，且a1与b1、a2与b2都至少有一个不等于零，则①时，原方程组有惟一解；②时，原方程组有无穷多组解；③时，原方程组无解.【例4】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.【思考与解】（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生.根据题意，得所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人.（2）这栋楼最多有学生4×8×45=1440（人）.拥挤时5分钟4道门能通过5×2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）.因为1600>1440，所以建造的4道门符合安全规定.答:平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门符合安全规定.【例5】某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数.解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克．由题意，得0<x<25．①当0<x≤20，y≤40时，由题意，得②当0<x≤20，y>40时，由题意，得（与0<x≤20，y≤40相矛盾，不合题意，舍去）．③当20<x<25时，25<y<30．此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y）=5×50=250<264（不合题意，舍去）.综合①②③可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.答：张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克.【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意.【例6】用如图１中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图２的竖式和横式两种无盖纸盒. 现在仓库里有１０００张正方形纸板和２000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000，长方形纸板的总数2０００，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数. 而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：每个竖式纸盒要用的正方形纸板数×竖式纸盒个数+ 每个横式纸盒要用的正方形纸板数×横式纸盒个数= 正方形纸板的总数每个竖式纸盒要用的长方形纸板数×竖式纸盒个数+ 每个横式纸盒要用的长方形纸板数×横式纸盒个数= 长方形纸板的总数通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用１张正方形纸板和４张长方形纸板，每个横式纸盒分别要用２张正方形纸板和３张长方形纸板.解：由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系.设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个. 根据题意，得①×4-②，得５y=2000，解得y=400.把y=400代入①，得x+800=1000，解得x=200.所以方程组的解为因为200和400均为自然数，所以这个解符合题意.答：竖式纸盒做２００个，横式纸盒做４００个，恰好将库存的纸板用完.三、巩固练习：一）精心选一选（每题7分，共35分）1. 方程组的解是（）.2. 在一次小组竞赛中，遇到了这样的情况：如果每组7人，就会余3人；如果每组8人，就会少5人.问竞赛人数和小组的组数各是多少？若设人数为x，组数为y，根据题意，可列方程组（）.3. 买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的75%，设买甲种水x桶、乙种水y桶，则所列方程组中正确的是（）.4. 一个两位数被9除余2，如果把它的十位与个位交换位置，则所得的两位数被9除余5，设个位数字为x，十位数字为y，则下面正确的是（）.（以下选项中k1、k2都为整数）5. 用面值l元的纸币换成面值为l角或5角的硬币，则换法共有（）种.A. 4B. 3C. 2D. 1二）用心填一填（每题7分，共35分）1. 一艘轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米.则轮船在静水中的速度为 ______，水流速度为______.2. 一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件. 则这队工人有______人，全队每天制造的工件数额为______件.3. 已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时相向而行，1小时相遇.再同向而行如果甲比乙先走小时，那么在乙出发后小时乙追上甲.设甲、乙两人速度分别为x千米/时、y千米/时，则x＝______，y＝______.4. 甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果乙让甲先跑2秒钟，那么乙跑6秒钟落后于甲28米，甲每秒钟跑______，乙每秒钟跑______.5. 小强拿了十元钱去商场购买笔和圆规.售货员告诉他：这10元钱可以买一个圆规和三支笔或买两个圆规和一支笔，现在小强只想买一个圆规和一支笔，那么售货员应该找给他______元.三）耐心做一做（每题10分，共30分）1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达乙地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达.2. 一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元.若只选一个组单独完成，从节约开支角度考虑，这家商店应选择哪个组？3. 《参考消息》报道，巴西医生马廷恩经过10年研究得出结论：卷入腐败行列的人容易得癌症，心肌梗塞，脑溢血，心脏病等病，如果将贪污受贿的580名官员和600名廉洁官员进行比较，可发现，后者的健康人数比前者的健康人数多272人，两者患病或患病致死者共444人，试问贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数各自占统计人数的百分之几？答案一、精心选一选1. B2. C3. B4. C5. B二、用心填一填1.18千米/时，2千米/时.2. 25，155.3. 4，6.4. 8米，6米.5. 4.三、耐心做一做1. 【解题思路】由于甲地到乙地的距离不知道是多少，从甲地到乙地规定的时间也不知道，所以不能直接求速度.我们可以设甲地到乙地的路程和规定的时间为未知数，列方程求解，最后用速度＝路程÷时间得到标准速度.解：设甲、乙两地的之间距离为s千米，从甲地到乙地的规定时间为t小时.根据题意，得解得经检验，符合题意.则＝60（千米/小时）.答：他以每小时60千米/小时的速度行驶可准时到达.2. 【解题思路】由甲乙混做的时间和钱数我们可求出甲乙各自单独做需要的时间和费用，然后再进行比较.解：设甲组单独完成需x天，乙组单独完成需y天，则根据题意，得。

专题7 二元一次方程组及其解法-重难点题型(举一反三)(学生版)

专题2.1 二元一次方程组及其解法-重难点题型【知识点1 二元一次方程（组）的概念】1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

【题型1 二元一次方程（组）的概念】【例1】（2021春•常德期末）若方程（n ﹣1）x |n |﹣3y m ﹣2025＝5是关于x ，y 的二元一次方程，则n m ＝．【变式1-1】（2021春•平凉期末）方程组{y −(a −1)x =5y |a|+(b −5)xy =3是关于x ，y 的二元一次方程组，则a b 的值是．【变式1-2】（2017春•长宁县月考）已知方程组{3x −(m −3)y |m−2|−2=1(m +1)x =−2是二元一次方程组，求m 的值．【变式1-3】（2021春•自贡期末）已知关于x 、y 的方程（k 2﹣4）x 2+（k +2）x +（k ﹣6）y ＝k +8，试问：①当k 为何值时此方程为一元一次方程？②当k 为何值时此方程为二元一次方程？【知识点2 二元一次方程（组）的解】3、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

4、二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法【题型2 二元一次方程（组）的解】【例2】（2021春•开福区月考）已知关于x ，y 的二元一次方程组{mx +2y =103x −2y =0的解中x ，y 均为整数，且m 为正整数，则m 2﹣1的值为（）A ．3或48B ．3C ．4或49D ．48【变式2-1】（2021春•嵊州市期末）关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =9k x −y =5k的解也是二元一次方程2x +y ＝16的解，则k 的值为．【变式2-2】（2021春•遂宁期末）关于x ，y 的二元一次方程2x +3y ＝12的非负整数解有组．【变式2-3】（2020春•永定区期中）若{x =2y =1是二元一次方程ax ﹣by ＝5和ax +2by ＝8的公共解，求b ﹣2a 的值．【题型3 构建二元一次方程组】【例3】（2021春•江津区期末）如果|x ﹣y ﹣3|+（x +3y +1）2＝0，那么x ，y 的值为（）A ．{x =1y =2B ．{x =2y =−1C ．{x =−1y =−2D ．{x =−2y =−1 【变式3-1】（2020•奉贤区三模）如果单项式x 4y m ﹣n 与2019x m +n y 2是同类项，那么m +n 的算术平方根是．【变式3-2】（2021春•海陵区期末）已知a 、b 都是有理数，观察表中的运算，则m ＝．a 、b 的运算a +b a ﹣b （a +2b ）3 运算的结果 5 9 m【变式3-3】（2021春•三门峡期末）对于有理数x ，y ，定义一种新运算：x ⊕y ＝ax +by ﹣5，其中a ，b 为常数．已知1⊕2＝9，（﹣3）⊕3＝﹣2，则2a ﹣b ＝．【题型4 整体换元求值】【例4】（2021春•绥棱县期末）已知x ，y 满足方程组{2x +5y =m −145x +2y =−m，则11x +11y 的值为（） A ．﹣22 B ．22 C ．11m D ．14【变式4-1】（2021•安徽二模）若x 2﹣y 2＝2021，且x ﹣y ＝1．则x ＝．【变式4-2】（2021春•自贡期末）阅读以下材料：解方程组{x −y −1=0①4(x −y)−y =5②．解：由①得x ﹣y ＝1③，将③代入②得4×1﹣y ＝5，解得y ＝﹣1；把y ＝﹣1代入①解得{x =0y =−1，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组{2x −y −2=0①6x−3y+45+2y =12②．【变式4-3】（2021春•福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x +10y +y ＝5即2（2x +5y ）+y ＝5③，把方程①代入③得：2×3+y ＝5，∴y ＝﹣1，把y ＝﹣1代入①得x ＝4，∴方程组的解为{x =4y =−1．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5①9x −4y =19②；（2）已知x ，y 满足方程组{3x 2−2xy +12y 2=47①2x 2+xy +8y 2=36②，求x 2+4y 2与xy 的值；（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．【题型5 由方程组的错解问题求参数的值】【例5】（2020春•定州市校级期末）解方程组{ax +by =2cx −7y =8时，一学生把c 看错而得{x =−2y =2，正确的解是{x =3y =−2，那么a 、b 、c 的值是（）A ．不能确定B ．a ＝4，b ＝5，c ＝﹣2C ．a ，b 不能确定，c ＝﹣2D ．a ＝4，b ＝7，c ＝2【变式5-1】（2020春•牡丹江期中）甲乙两人解方程组{ax +5y =15，①4x −by =−2，②，由于甲看错了方程①中的a ，而得到方程组的解为{x =−3y =−1，乙看错了方程②中的b ，而得到的解为{x =5y =4，则a +b ＝．【变式5-2】（2021春•青川县期末）解关于x ，y 的方程组{ax +by =93x −cy =−2时，甲正确地解出{x =2y =4，乙因为把c 抄错了，误解为{x =4y =−1，求a ，b ，c 的值．【变式5-3】（2020春•邗江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下{▲x +■y =2(1)▲x −7y =8(2)，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为{x =3y =−2”，而小红说：“我求出的解是{x =−2y =2，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x 的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．【题型6 根据方程组解的个数求参数】【例6】（2021春•江夏区期末）如果关于x ，y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解是正数，那a 的取值范围是（） A ．﹣4＜a ＜5 B ．a ＞5 C ．a ＜﹣4 D ．无解【变式6-1】（2020秋•锦江区校级期中）若方程组{ax −y =14x +by =2有无数组解，则a +b ＝（） A ．2 B ．3 C ．﹣1 D ．0【变式6-2】（2021春•仓山区期中）关于x ，y 的方程（m ﹣1）x +4y ＝2和3x +（n +3）y ＝1，下列说法正确的有．（写出所有正确的序号）①当m ＝1，n ＝﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；②当m ＝1且n ≠﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；③当m ＝7，n ＝﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；④当m ＝7且n ≠﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．【变式6-3】（2021春•汉寿县期中）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x +3y ＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由2x +3y ＝12，得：y =12−2x 3=4−23x （x 、y 为正整数）．要使y ＝4−23x 为正整数，则23x 为正整数，可知：x 为3的倍数，从而x ＝3，代入y ＝4−23x ＝2．所以2x +3y ＝12的正整数解为{x =3y =2．问题：（1）请你直接写出方程3x +2y ＝8的正整数解 {x =2y =1．（2）若6x−3为自然数，则满足条件的正整数x 的值有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个（3）关于x ，y 的二元一次方程组{x +2y =92x +ky =10的解是正整数，求整数k 的值．。

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

5、消元法解二元一次方程组：(1) 基本思路：未知数又多变少。

(2) 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

6.解法：通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution)，简称代入法。

例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y ③把③带入②，得6(5-y)+13y=89y=59/7把y=59/7带入③，得x=5-59/7即x=-24/7&there4;x=-24/7y=59/7 为方程组的解加减消元法：例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+② 2x=14即 x=7把x=7带入①得7+y=9解得y=-2&there4;x=7y=-2 为方程组的解7. 二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6① 2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。

教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1, 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2， (x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

二元一次方程组知识点汇总及练习(超详细)

二元一次方程组知识点汇总及练习(超详细)二元一次方程组知识点梳理及经典练知识点1：二元一次方程组的定义1.二元一次方程1）定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

2）三个条件：①方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数。

②含有未知数的项的次数都是1.③二元一次方程的左右两边都必须是等式。

3）含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数均为1.即若ax+by=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1，n=1.2.二元一次方程组1）定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组。

2）三个条件：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1.③方程组中每个方程均为整式方程。

3.二元一次方程组的解1）定义：使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。

2）常考题型：①根据定义判断。

②已知方程组的解，求方程组待定系数（将解代入方程）。

③列方程组求相关字母的值。

知识点2：解二元一次方程组1.代入消元法1）定义：通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。

2）用代入消元法解二元一次方程组的步骤：①从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。

②把①中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数。

③解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值。

④把所求得的一个未知数的值代入①中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。

例：解方程组：2x-7y=83x-8y-10=02.加减消元法1）定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

2）加减消元法解方程步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等。

高中数学二元一次方程组解题技巧

高中数学二元一次方程组解题技巧高中数学中，二元一次方程组是一个重要的内容，也是考试中常见的题型之一。

解二元一次方程组需要掌握一些技巧和方法，本文将为大家介绍一些解题技巧，帮助读者更好地应对这类题目。

一、消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法。

通过将两个方程进行加减运算，消去其中一个未知数，从而得到只含有一个未知数的方程，再通过代入的方法求解。

例如，解方程组：2x + 3y = 73x - 5y = 1我们可以通过消元法来解决。

首先，将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，得到：6x + 9y = 216x - 10y = 2然后，将两个方程相减，消去x的项，得到：19y = 19y = 1将y的值代入第一个方程，可以求得x的值：2x + 3 = 72x = 4x = 2所以，方程组的解为x=2，y=1。

二、代入法代入法是解二元一次方程组的另一种常用方法。

通过将一个方程的解代入到另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程，再求解。

例如，解方程组：2x + y = 53x - 2y = 1我们可以通过代入法来解决。

首先，将第一个方程解出y的值：y = 5 - 2x然后，将y的值代入第二个方程中，得到：3x - 2(5 - 2x) = 13x - 10 + 4x = 17x - 10 = 17x = 11x = 11/7将x的值代入第一个方程，可以求得y的值：2(11/7) + y = 522/7 + y = 5y = 5 - 22/7y = 23/7所以，方程组的解为x=11/7，y=23/7。

三、图解法图解法是解二元一次方程组的直观方法。

通过将两个方程表示为直线的形式，找到两条直线的交点，即为方程组的解。

例如，解方程组：x + y = 42x - y = 1我们可以通过图解法来解决。

首先，将两个方程表示为直线的形式。

将x+y=4变形得到y=-x+4，将2x-y=1变形得到y=2x-1。

然后，将两条直线画在坐标系上：(插入图表，横坐标为x，纵坐标为y，画出两条直线)通过观察图像，可以看出两条直线在点(1,3)处相交，所以方程组的解为x=1，y=3。

绝对经典二元一次方程组知识点整理、典型例题练习总结

绝对经典二元一次方程组的解题技巧与注意事项
第五章
解题技巧
消元法：通过代入或加减消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。换元法：通过引入新变量替换原方程中的某些项，简化方程组或找到更简单的解法。
参数法：通过引入参数来简化方程组，并找到更有效的解法。
图像法：通过绘制二元一次方程组的平面图，直观地找到解集和解决方案。
分配问题：描述一组人或物按照一定规则进行分配的情况，可以通过建立二元一次方程组求解。
配套问题：描述不同部件或产品之间的配对关系，通常涉及数量、比例和单价等变量。
相遇问题
描述：二元一次方程组在解决相遇问题中的应用
实例：两个物体在某点相遇，通过方程组求解各自的运动轨迹和时间
解题思路：先设定变量，列出方程组，然后解方程组得出答案
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消元法：通过消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一个一元一次方程，再求解另一个未知数
公式法：通过使用二元一次程组的通解公式来求解未知数
整体代入法
定义：将方程组中的一个方程整体代入另一个方程，消元求解
适用范围：当方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数时，适合使用整体代入法
绝对经典二元一次方程组知识点整理、典型例题练习总结
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目录
CONTENTS
01 二元一次方程组的基本概念
02 绝对经典二元一次方程组的解法
03 绝对经典二元一次方程组的实际应用
04
绝对经典二元一次方程组的变式与拓展

七年级二元一次方程组重点难点

方程思想4、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.5、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.6、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.7、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.8、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式.9、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．以上都不对分析：一个方程是‎是二元一‎次方程，是‎ 或使‎ 三个‎条件：①含有两个未‎知数；②未知数的‎次数为1；③整式方程．解答：（1）方程①③不是整式方‎程，不是二‎元一次方程‎．mn的次数‎为2，方程④不是二元一‎次方程．方程②⑤ 二元一‎次方程的三‎个条件，方程②⑤是二元一次‎方程．此题选‎择B．（2）方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一‎次方程，条‎件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的‎解使方程‎ 两边的‎值相等，所以只将‎代入方程中‎，解关于a的‎一次方程即‎可．解答：是方程3x‎－ay=0的一个解‎，3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将确的解‎代入方程组‎中可求‎出c的值，但不能求a‎、b的值．错解有 ‎么作用呢？方程组的解‎ 一‎个方程，因此确解‎ax＋by=2，错的解同‎ 能方‎程a x＋by=2，那么就可以‎建立a、b的方程组‎，于是a、b、c的值均可‎求出．解答：都是方程①的解．又是方程②的解， c＋3=－2， c=－5．a、b、c的值分别‎为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5 ③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14， b=2.将b=2代入③，得a=2.原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b 的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。

(完整版)二元一次方程组知识点归纳

t at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t h i n二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

1.有一组解如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得 x=5-y ③ t at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t h i n把y=59/7带入③， x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解基本思路：未知数又多变少。

二元一次方程组应用题解题技巧

二元一次方程组应用题解题技巧
一、二元一次方程组的四种解法
1、消元法
用消元法求解二元一次方程组，是最常用的一种方法，它要求给定的二元一次方程组有唯一解，通常通过下列三步可以解出方程组的解：
（1）将方程组化为上三角形；
（2）从最下面开始，用逐步消元法；
（3）求出两个未知数的值。

2、代入法
当计算机不能解如何求解时，可以用代入法近似的求解，原理是：给定的方程组有个解，可以先猜测其中一个未知数的值，然后代入方程组，解出另一个未知数的值，再代入一个不同的初值，解出另一个未知数的值，再代入另一个不同的初值，如此反复，直到与初始初值一致。

3、特殊因式法
特殊因式法是根据一些特殊的性质来求解二元一次方程组的一
种方法，如满足同差定理的方程组的解，可以用同差定理来求解；如果满足等差数列的方程组的解，可以用等差数列的性质来求解，等等。

4、图像法
图像法是指把二元一次方程组的两个变量作图，找出图形上关于变量的判别规律，从而求出变量的确定值的一种方法，主要有三点：
（1）对二元一次方程组的两个变量，取候选值构成一定的点对；
（2）根据给出的方程组，绘制它们的点对；
（3）求出方程组的解。

二、解题技巧
1、先用考题的条件分析出这个问题的特点，然后确定用哪一种解法解决。

2、如果题目中给出条件，需要充分的利用这些条件，根据条件的特殊性选择相应的求解方法
3、对于增加便捷解决方程的繁琐操作和准确率，可采用计算机辅助处理。

4、一般情况，在解题过程中，要把问题抽象成几个简单的步骤。

5、解题的过程中要随时记录计算的步骤，以免出现书写漏洞的现象。

6、在解题过程中，要熟练掌握运用各种技巧。