(完整版)高等数学下册电子教案
(完整word版)《高等数学》(下)课程教学大纲
《高等数学》（下）课程教学大纲教研室主任：王树泉执笔人：蔡俊青一、课程基本信息开课单位：经济学院课程名称：高等数学下册课程编号：101001212英文名称：Advanced Mathematics课程类型：专业基础课总学时： 72理论学时： 72 实验学时： 0学分：3开设专业：所有专业先修课程：《高等数学》(上)二、课程任务目标（一）课程任务本课程是理科院校经济管理类专业的一门专业基础课，又是全国硕士研究生入学考试统考科目。
通过本课程的学习，要使学生掌握多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。
（二）课程目标基本了解多元函数微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。
掌握多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。
能较熟练地应用微积分学、无穷级数和微分方程的思想方法解决应用问题。
三、教学内容和要求第六章多元函数微积分1．内容概要空间解析几何简介，多元函数基本概念，偏导数，全微分，多元复合函数微分法与隐函数微分法，多元函数的极值及其求法，二重积分的概念与性质，直角坐标系下二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算。
2．重点和难点重点：多元函数的概念；偏导数与全微分的概念；多元复合函数的求导法则；多元函数的极值问题；二重积分的概念及其计算难点：全微分的概念；多元复合函数的求导法则与隐函数微分法；二重积分的计算。
3．学习目的与要求（1）理解多元函数的极限与连续性，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
（2）理解偏导数、全微分的概念。
（3）熟练掌握复合函数求导法；会求二阶偏导。
（4）会求隐函数的偏导数。
高等数学下电子教案
高等数学下电子教案一、引言1.1 课程介绍本课程是高等数学下的电子教案，主要面向大学本科生和研究生，涵盖高等数学的基本概念、理论和方法。
1.2 教学目标通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本知识，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、极限与连续2.1 极限的定义与性质2.1.1 极限的定义2.1.2 极限的性质2.1.3 极限的存在性定理2.2 无穷小与无穷大2.2.1 无穷小的概念2.2.2 无穷小的比较2.2.3 无穷大2.3 极限的运算法则2.3.1 极限的四则运算法则2.3.2 复合函数的极限2.4 极限的求解方法2.4.1 直接代入法2.4.2 因式分解法2.4.3 洛必达法则2.5 连续函数的性质2.5.1 连续函数的定义2.5.2 连续函数的性质2.5.3 连续函数的例子三、导数与微分3.1 导数的定义与性质3.1.1 导数的定义3.1.2 导数的性质3.1.3 导数的计算法则3.2 高阶导数3.2.1 二阶导数3.2.2 三阶导数及更高阶导数3.3 隐函数求导3.3.1 隐函数求导的基本方法3.3.2 隐函数求导的例子3.4 微分3.4.1 微分的定义3.4.2 微分的性质3.4.3 微分的计算四、微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理4.1.1 罗尔定理4.1.2 拉格朗日中值定理4.1.3 柯西中值定理4.2 导数的应用4.2.1 函数的单调性4.2.2 函数的极值4.2.3 函数的凹凸性五、不定积分与定积分5.1 不定积分5.1.1 不定积分的概念5.1.2 不定积分的性质5.1.3 不定积分的计算方法5.2 定积分5.2.1 定积分的概念5.2.2 定积分的性质5.2.3 定积分的计算方法5.3 定积分的应用5.3.1 面积的计算5.3.2 弧长的计算5.3.3 质心、转动惯量的计算六、定积分的进一步应用6.1 定积分在几何中的应用6.1.1 计算平面区域的面积6.1.2 计算曲线围成的面积6.1.3 计算旋转体的体积6.2 定积分在物理中的应用6.2.1 计算物体的质量6.2.2 计算物体受到的力6.2.3 计算物体的动能和势能6.3 定积分在概率论中的应用6.3.1 概率密度函数的定义6.3.2 计算概率6.3.3 计算期望和方差七、微分方程7.1 微分方程的基本概念7.1.1 微分方程的定义7.1.2 微分方程的阶数7.1.3 微分方程的解7.2 一阶微分方程7.2.1 分离变量法7.2.2 积分因子法7.2.3 变量替换法7.3 高阶微分方程7.3.1 线性高阶微分方程7.3.2 非线性高阶微分方程7.3.3 常系数线性微分方程八、线性代数8.1 矩阵8.1.1 矩阵的定义8.1.2 矩阵的运算8.1.3 矩阵的性质8.2 线性方程组8.2.1 高斯消元法8.2.2 克莱姆法则8.2.3 矩阵的逆8.3 向量空间与线性变换8.3.1 向量空间的概念8.3.2 线性变换的概念8.3.3 特征值与特征向量九、概率论与数理统计9.1 概率论基本概念9.1.1 随机试验与样本空间9.1.2 事件与概率9.1.3 条件概率与独立性9.2 离散型随机变量9.2.1 离散型随机变量的定义9.2.2 离散型随机变量的分布律9.2.3 离散型随机变量的期望与方差9.3 连续型随机变量9.3.1 连续型随机变量的定义9.3.2 连续型随机变量的分布函数9.3.3 连续型随机变量的期望与方差9.4 数理统计的基本概念9.4.1 统计量与抽样分布9.4.2 估计理论9.4.3 假设检验十、复变函数10.1 复数的基本概念10.1.1 复数的定义10.1.2 复数的运算10.1.3 复数的性质10.2 复变函数的基本概念10.2.1 复变函数的定义10.2.2 复变函数的运算10.2.3 复变函数的性质10.3 复变函数的积分10.3.1 复变函数的积分公式10.3.2 复变函数的积分计算10.3.3 复变函数的line integral10.4 复变函数的应用10.4.1 复变函数在几何中的应用10.4.2 复变函数在物理中的应用10.4.3 复变函数在工程中的应用重点和难点解析一、极限与连续1.1 极限的定义与性质：理解极限的概念，特别是无穷小和无穷大的比较，以及极限的存在性定理。
《高等数学电子教案》课件
《高等数学电子教案》PPT课件第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：理解函数的概念，掌握函数的性质，了解函数的图像。
教学内容：函数的定义，函数的性质，函数的图像。
1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质，学会求极限。
教学内容：极限的定义，极限的性质，极限的求法。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质教学目标：理解导数的概念，掌握导数的性质，学会求导数。
教学内容：导数的定义，导数的性质，求导数的方法。
2.2 微分的概念与性质教学目标：理解微分的概念，掌握微分的性质，学会求微分。
教学内容：微分的定义，微分的性质，求微分的方法。
第三章：积分与微分方程3.1 不定积分的概念与性质教学目标：理解不定积分的概念，掌握不定积分的性质，学会求不定积分。
教学内容：不定积分的定义，不定积分的性质，求不定积分的方法。
3.2 定积分的概念与性质教学目标：理解定积分的概念，掌握定积分的性质，学会求定积分。
教学内容：定积分的定义，定积分的性质，求定积分的方法。
第四章：向量与线性方程组4.1 向量的概念与性质教学目标：理解向量的概念，掌握向量的性质，学会求向量的运算。
教学内容：向量的定义，向量的性质，向量的运算。
4.2 线性方程组的概念与性质教学目标：理解线性方程组的概念，掌握线性方程组的性质，学会解线性方程组。
教学内容：线性方程组的定义，线性方程组的性质，解线性方程组的方法。
第五章：矩阵与行列式5.1 矩阵的概念与性质教学目标：理解矩阵的概念，掌握矩阵的性质，学会求矩阵的运算。
教学内容：矩阵的定义，矩阵的性质，矩阵的运算。
5.2 行列式的概念与性质教学目标：理解行列式的概念，掌握行列式的性质，学会求行列式的值。
教学内容：行列式的定义，行列式的性质，求行列式的方法。
第六章：级数与泰勒公式6.1 级数的概念与性质教学目标：理解级数的概念，掌握级数的性质，学会求级数的收敛性。
教学内容：级数的定义，级数的性质，求级数的收敛性。
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。
2. 学习曲面的方程表示方法，掌握常见曲面的方程。
3. 能够利用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学内容：一、曲面的概念与基本性质1. 曲面的定义2. 曲面的基本性质2.1 曲面的导数2.2 曲面的切线和法线2.3 曲面的曲率2.4 曲面的切平面和法平面二、曲面的方程表示方法1. 参数方程表示法2.1 参数方程的定义2.2 参数方程的求导和积分2. 普通方程表示法2.1 普通方程的定义2.2 普通方程的求导和积分3. 柱面和二次曲面的方程3.1 柱面的方程3.2 二次曲面的方程三、常见曲面的方程1. 圆锥面的方程2. 椭圆面的方程3. 双曲面的方程4. 抛物面的方程5. 直纹面的方程四、曲面的绘制和分析1. 利用参数方程绘制曲面2. 利用普通方程绘制曲面3. 曲面的切线和法线分析4. 曲面的曲率分析5. 曲面的切平面和法平面分析教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形状和性质。
2. 通过例题讲解和练习，使学生掌握曲面方程的求解和分析方法。
3. 引导学生运用曲面方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解和练习的参与度。
2. 学生对曲面方程的掌握程度。
3. 学生能够运用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学资源：1. 教学PPT和动画演示。
2. 曲面方程的相关教材和参考书。
3. 计算机软件进行曲面的绘制和分析。
六、曲面的切平面和法线1. 切平面的定义与性质6.1 切平面的定义6.2 切平面的性质2. 法线的定义与性质6.3 法线的定义6.4 法线的性质3. 切平面和法线的求法6.5 切平面和法线的求法七、曲面的曲率1. 曲率的定义与性质7.1 曲率的定义7.2 曲率的性质2. 曲率的计算7.3 曲率的计算方法3. 曲面的弯曲程度分析7.4 曲面的弯曲程度分析八、曲面的绘制与分析实例1. 实例一：圆锥面的绘制与分析8.1 圆锥面的参数方程8.2 圆锥面的普通方程8.3 圆锥面的切平面和法线分析2. 实例二：椭圆面的绘制与分析8.4 椭圆面的参数方程8.5 椭圆面的普通方程8.6 椭圆面的切平面和法线分析3. 实例三：双曲面的绘制与分析8.7 双曲面的参数方程8.8 双曲面的普通方程8.9 双曲面的切平面和法线分析九、曲面在实际问题中的应用1. 曲面在工程中的应用9.1 曲面在机械设计中的应用9.2 曲面在建筑设计中的应用2. 曲面在自然科学中的应用9.3 曲面在光学中的应用9.4 曲面在声学中的应用十、复习与练习1. 复习本章内容10.1 复习曲面的概念与基本性质10.2 复习曲面的方程表示方法10.3 复习常见曲面的方程2. 课堂练习10.4 完成课堂练习题3. 课后作业10.5 布置课后作业教学方法：1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解曲面的绘制与分析方法。
高数(下)教案 - 广西大学
重点 难点
多元函数定义域 多元函数连续性概念 多元函数极限的求法
教学 方法 和手 段 课后 作业 练习
多媒体演示法、讲解法
P12：4（1） （ 3） ， 5（1） （ 3） （ 5） ，6 预习：同济第五版 P12~18 的内容
8
课题 时间
第 8 讲：偏导数、全微分及其应用 2006 年 3 月 17 日第一大节
12
课题 时间
第 12 讲：二重积分的性质、利用直角坐标计算二重积分 2006 年 3 月 31 日第一大节
教学 目的 要求
1、 理解二重积分的概念，了解二重积分的性质 2、 掌握利用直角坐标计算二重积分的方法 3、 了解二重积分的中值定理
主要 内容 与时 间分 配
二重积分的概念和性质 二重积分的计算方法（利用直角坐标） 例题分析 课堂练习
主要 内容 与时 间分 配
重点内容小结 典型题求解方法归类 课堂练习 随堂小测验
20 分钟 30 分钟 30 分钟 40 分钟
重点 难点
教学 方法 和手 段 课后 作业 练习
以讲授为主，采用多媒体演示法，讲解法，并进行课堂讨论
作业： 同济第五版
P 337
1，3，6，8，9，13，16，20
预习：同济第五版下 P1~11 的内容
10 分钟 30 分钟 40 分钟 40 分钟
重点 难点
多元函数极值和条件极值的概念 多元函数极值存在的必要条件，二元函数极值存在的充分条件 拉格朗日乘数法，极值的求法 实际问题转为数学模型问题
教学 方法 和手 段 课后 作业 练习
以讲授为主，辅以典型特例分析及课堂练习
P61：2，5，7，8，9，10
重点 难点
全微分存在的必要条件和充分条件 微分应用
高等数学 电子教案(下)
高等数学电子教案（下）《高等数学》2008 ,2009 学年第二学期教师姓名: 李石涛授课对象:1.化学工程与工艺0801,0803，应用化学0801，08022.高分子材料工程0801，0802;环境工程0801，0802授课学时: 128/64选用教材《高等数学》史俊贤主编大连理工大学出版社 2006/2基础部数学教研室沈阳工业大学教案第 1 周授课日期 09.2.18授课章节:第六章 6.1 定积分元素法教学目的: 1、理解定积分元素法的基本思想,2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,平面图形的面积、平面曲线的弧长,教学重点:平面图形的面积、平面曲线的弧长教学难点:平面图形的面积教学内容纲要:一、定积分的元素法,二、平面图形的面积、教学三、平面曲线的弧长、实采用的教学形式:讲授施过教学方法:启发式教学程教学步骤: 设1、复习定积分的概念～引出定积分的元素法, 计2、举例讲解平面图形的面积3、举例讲解平面曲线的弧长课后复习及作业或思考题:1、复习定积分的元素法。
2、课后习题6-2 1、2、4、5。
教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 1 周授课日期 09.2.20授课章节:6.2 定积分在几何学上的应用教学目的:1、理解定积分元素法的基本思想,2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积,教学重点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积教学难点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积教学内容纲要:一、旋转体的体积、二、平行截面面积为已知的立体体积, 教学采用的教学形式:讲授实教学方法:启发式教学施教学步骤: 过1、复习定积分的元素法, 程2、举例讲解旋转体的体积设3、举例讲解平行截面面积为已知的立体体积计课后复习及作业或思考题:3、复习定积分的概念。
4、习题1～ 1 4、5、7、8、10、13。
教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 2 周授课日期 09.2.25授课章节:6.3 定积分在物理学上的应用教学目的:1、理解定积分元素法的基本思想,2、掌握用定积分表达和计算一些物理量,变力做功、压力,。
《高等数学(下册)》教案---第15课--多元复合函数及其求导法则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w ． y u y v y w y
， （10-4）
链式法则式（10-3）、式（10-4）与前面的式（10-1）、式（10-2） 相比，因为现在有两个自变量，所以前面的全导数 dz 就变成
dt 了现在的偏导数 z ，z ．
并说明求导过程中出现的 z 与 f ，z 与 f 有何区别？ x x y y
深学生对知识点 的理解
【学生】讨论、发言
6
15 多元复合函数及其求导法则 第
课
课堂测验 （15 min）
【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧
通过测试，了解 学生对知识点的 掌握情况，加深学 生对本节课知识 的印象
课堂小结 （5 min）
【教师】简要总结本节课的要点
本节课介绍了多元复合函数的概念，中间变量为各种情形时偏 导数的求导法则（链式法则）。课后要多加练习，巩固认知。
【学生】总结回顾知识点
总结知识点，巩 固印象
教学反思
【教师】布置课后作业：习题 10.5
x y
例 2 设 z eu sin v ，而 u xy ，v x y ，求 z 和 z ． x y
解 本例中的变量有函数 z ，中间变量 u ，v ，自变量 x ，y ，根 据链式法则式（10-3），有
z z u z v eu sin v y eu cosv 1 x u x v x eu ( y sin v cos v) exy[ y sin(x y) cos(x y)]， z z u z v eu sin v x eu cos v 1 y u y v y
高等数学下电子教案
高等数学下电子教案一、引言1.1 课程简介本课程是高等数学下的电子教案，主要面向大学本科阶段的学生。
通过本课程的学习，学生将掌握高等数学的基本概念、方法和技巧，为后续专业课程的学习和科研工作打下坚实的基础。
1.2 教学目标（1）理解并掌握高等数学的基本概念和原理；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力；（3）提高学生的数学素养和科学研究的初步能力。
二、极限与连续2.1 极限的概念（1）极限的定义；（2）极限的性质；（3）极限的存在条件。
2.2 极限的计算（1）基础极限公式；（2）无穷小和无穷大的比较；（3）极限的运算法则。
2.3 连续性（1）连续性的定义；（2）连续函数的性质；（3）连续函数的判定定理。
三、导数与微分3.1 导数的概念（1）导数的定义；（2）导数的几何意义；（3）导数的物理意义。
3.2 导数的计算（1）基本导数公式；（2）导数的运算法则；（3）高阶导数。
3.3 微分（1）微分的定义；（2）微分的运算法则；（3）微分在近似计算中的应用。
四、积分与面积4.1 不定积分（1）不定积分的概念；（2）基本积分公式；（3）积分的换元法和分部法。
4.2 定积分（1）定积分的概念；（2）定积分的性质；4.3 面积计算（1）平面区域的面积计算；（2）曲线的面积计算；（3）旋转体的体积计算。
五、微分方程5.1 微分方程的基本概念（1）微分方程的定义；（2）微分方程的解法；（3）微分方程的应用。
5.2 线性微分方程（1）线性微分方程的定义；（2）线性微分方程的解法；（3）线性微分方程的解的存在性定理。
5.3 非线性微分方程（1）非线性微分方程的定义；（2）非线性微分方程的解法；（3）非线性微分方程的应用。
六、级数6.1 级数的基本概念（1）级数的定义；（2）级数的收敛性；6.2 幂级数（1）幂级数的概念；（2）幂级数的收敛半径；（3）幂级数的运算。
6.3 泰勒级数和麦克劳林级数（1）泰勒级数的概念；（2）泰勒级数的展开；（3）麦克劳林级数。
高一下册数学教案全册 高一下册数学教案电子版(三篇)
高一下册数学教案全册高一下册数学教案电子版(三篇)高一下册数学教案全册高一下册数学教案电子版篇一1、结合实际问题情景，理解分层抽样的必要性和重要性；2、学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本；3、并对简单随机抽样、系统抽样及分层抽样方法进行比较，揭示其相互关系。
教学重点：通过实例理解分层抽样的方法。
教学难点：分层抽样的步骤。
教学过程：一、问题情境1、复习简单随机抽样、系统抽样的概念、特征以及适用范围。
2、实例：某校高一、高二和高三年级分别有学生名，为了了解全校学生的视力情况，从中抽取容量为的样本，怎样抽取较为合理？二、学生活动能否用简单随机抽样或系统抽样进行抽样，为什么？指出由于不同年级的学生视力状况有一定的差异，用简单随机抽样或系统抽样进行抽样不能准确反映客观实际，在抽样时不仅要使每个个体被抽到的机会相等，还要注意总体中个体的层次性。
由于样本的容量与总体的个体数的比为100∶2500=1∶25，所以在各年级抽取的个体数依次是。
即40，32，28。
三、建构数学1、分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫“层”。
说明：①分层抽样时，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，每一个个体被抽到的可能性都是相等的；②由于分层抽样充分利用了我们所掌握的信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以根据具体情况采取不同的抽样方法，所以分层抽样在实践中有着非常广泛的应用。
高一下册数学教案全册高一下册数学教案电子版篇二教学目标：1、知识与技能目标：理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程，能从圆的标准方程熟练地写出它的圆心坐标与半径。
2、过程与方法目标：通过对圆的标准方程的推导及应用，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法，提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力。
高等数学下册教案
高等数学下册教案教案标题：高等数学下册教案教案目标：1. 理解高等数学下册的主要内容和学习要求。
2. 设计有效的教学活动，帮助学生掌握高等数学下册的核心概念和方法。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教案步骤：第一步：引入（5分钟）引入高等数学下册的学习主题和重点，激发学生对数学的兴趣和学习动力。
第二步：知识讲解（20分钟）1. 介绍高等数学下册的主要内容和学习要求。
2. 解释高等数学下册中的核心概念和方法，包括但不限于微积分、线性代数、概率论等。
3. 提供具体的实例，帮助学生理解和应用这些概念和方法。
第三步：示范演示（15分钟）通过示范演示，展示如何运用高等数学下册的知识解决实际问题。
鼓励学生积极参与讨论和提问。
第四步：小组合作（20分钟）将学生分成小组，让他们一起解决一些高等数学下册的练习题或问题。
鼓励学生互相合作、讨论和分享解题思路。
第五步：个人练习（15分钟）让学生独立完成一些高等数学下册的练习题，巩固所学知识并提高解题能力。
第六步：总结和反思（10分钟）总结本节课的学习内容，强调重点和难点。
鼓励学生提出问题和反思学习过程。
教案评估：1. 教师观察学生在小组合作和个人练习中的表现，评估他们对高等数学下册的理解和应用能力。
2. 收集学生的练习题答案，检查他们的解题过程和答案的准确性。
3. 鼓励学生提出问题和解释自己的思考过程，评估他们的数学思维能力和解决问题的能力。
教案扩展：1. 鼓励学生参加数学竞赛或挑战，提高他们的数学水平和竞争力。
2. 组织数学讲座或研讨会，让学生了解高等数学在实际应用中的价值和意义。
3. 引导学生进行数学研究或项目，培养他们的创新思维和问题解决能力。
以上是一份高等数学下册教案的基本框架，你可以根据具体的教学需求和学生特点进行适当的调整和补充。
希望这些建议和指导对你的教案撰写有所帮助！。
大学数学下学期教案
课程名称：高等数学（下）授课对象：大学本科生授课时间：16周教学目标：1. 使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。
2. 培养学生运用高等数学解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
教学内容：1. 重积分2. 线性代数3. 常微分方程4. 傅里叶级数与傅里叶变换5. 概率论与数理统计教学安排：第一周：课程导论与重积分基本概念教学目标：- 了解高等数学下学期的课程内容和结构。
- 掌握重积分的基本概念和性质。
教学内容：- 课程导论：介绍高等数学下学期的课程目标、教学方法和考核方式。
- 重积分的概念：定义、性质、几何意义。
- 重积分的计算方法：二重积分、三重积分。
教学活动：- 课堂讲解：讲解重积分的基本概念和性质。
- 练习题：布置相关练习题，巩固所学知识。
第二周：重积分的计算方法（一）教学目标：- 掌握二重积分的计算方法。
- 理解二重积分的换元法。
教学内容：- 二重积分的计算方法：迭代法、极坐标法。
- 二重积分的换元法：极坐标变换、柱坐标变换。
教学活动：- 课堂讲解：讲解二重积分的计算方法和换元法。
- 练习题：布置相关练习题，巩固所学知识。
第三周：重积分的计算方法（二）教学目标：- 掌握三重积分的计算方法。
- 理解三重积分的换元法。
教学内容：- 三重积分的计算方法：迭代法、柱坐标法、球坐标法。
- 三重积分的换元法：柱坐标变换、球坐标变换。
教学活动：- 课堂讲解：讲解三重积分的计算方法和换元法。
- 练习题：布置相关练习题，巩固所学知识。
第四周：线性代数基本概念教学目标：- 掌握线性代数的基本概念。
- 理解矩阵、向量、线性方程组等基本概念。
教学内容：- 矩阵的概念：定义、性质、运算。
- 向量的概念：定义、性质、运算。
- 线性方程组的概念：定义、性质、解法。
教学活动：- 课堂讲解：讲解线性代数的基本概念。
- 练习题：布置相关练习题，巩固所学知识。
第五周：线性代数运算与线性方程组教学目标：- 掌握线性代数的运算方法。
2024版年度高等数学下册教案
2024/2/3
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线性微分方程解结构
线性微分方程解的性质
叠加原理、解的独系数线性微分方程
形如$y''+py'+qy=0$的微分方程，其中$p,q$为常数，可通过特征 方程求解通解。
二阶常系数非齐次线性微分方程
形如$y''+py'+qy=f(x)$的微分方程，其中$f(x)$为已知函数，可通过 通解加特解的方式求解。
三重积分计算方法
三重积分的计算可以通过化为累次积分进行，即先 对$z$积分，再对$y$积分，最后对$x$积分。也可 以根据具体情况选择适当的坐标系（如柱面坐标、 球面坐标等）进行简化计算。
11
重积分在物理中应用
重积分在几何上的应用
利用重积分可以计算平面图形的面积、空间立体的体积以及曲面的面积等。
重积分在物理上的应用
二重积分性质
二重积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不 等式等性质。
9
二重积分计算方法
2024/2/3
利用直角坐标计算二重积分
01
将二重积分化为累次积分进行计算，即先对$y$积分，再对$x$
积分。
利用极坐标计算二重积分
02
当积分区域为圆域或环域时，利用极坐标变换可以简化计算。
利用换元法计算二重积分
理解对弧长曲线积分的定义、几何意义和基本性质，掌握计算对弧长曲线积分的方法。
对坐标曲线积分的基本概念与性质
理解对坐标曲线积分的定义、几何意义和基本性质，掌握计算对坐标曲线积分的方法。
2024/2/3
两类曲线积分之间的关系
理解两类曲线积分之间的联系和区别，能够相互转化并计算。
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其中p，q为常数，
特征方程02qp
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
（1）当042qp，特征方程有两个不同的实根
，2
则方程的通解为xxeCeCy
1
1
（2）当042qp，特征方程有二重根
1
则方程的通解为xexCCy
二阶齐次线性方程 0yxqyxpy （1）
二阶非齐次线性方程 xfyxqyxpy （2）
1．若xy
，xy2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合
yCxyC
211（1C，2C为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当xyxy21（
，也即xy
由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次
因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常
四．二阶常系数非齐次线性方程
方程：xfqyypy 其中qp,为常数
通解：xyCxyCyy
211
其中xyCxyC
211为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关
所得微分方程
yxdydx4即31yxydydx
是一阶线性方程
yP1，3yyQ
yCdyeyexdyydyy4131
1
（4）此题把x看作未知函数，y看作自变量所得微分方程为
yxy
dxcoscot，yyPcot，yyQcos
Cy
Cdyyeexydyydy2cotcotsin21sin1cos
例6．求微分方程
222
xyxxyydxdy的通解。
例7．求微分方程2
22yxydxdy
例8．求微分方程
1xyxydxdy的通解
二．一阶线性方程及其推广
例．求下列微分方程的通解
（1）
51
2xxydxdy （2）xydxdyxsin2
典型例题
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一．变量可分离方程及其推广
例1．求下列微分方程的通解。
（1）022dyyxydxxxy
（2）0dyeedxeeyyxxyx
例2．求下列微分方程的通解。
（1）
yedxdyxy （2）
（13）
22
2121yxd
xydyxdx；
（14）
22
2121yxd
xydyxdx；
（15）22
2arctan21
yxdyxydyxdx；
（16）22
2arctan21
yxdyxydyxdx；
第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）
yx
xdyyxQdxyxPyxuyxu,,00
yxyxxyydxdy
令u
y，则12uudxduxu
01duuxudx
1C
dxduuu
lnCuxu
uuCCeexu
，xyCey
（3）
yxydxdyln，令uxy，则uudxduxuln
lnCxdxuudu Cxuln1lnln
yxdudyyxQdxyxP,,,
把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。
（1）
22yxdydyxdx；
（2）
22yxdydyxdx；
（3）xydxdyydx；
（4）xyd
xdyydxln；
（5）22
2ln
1yxdyxydyxdx；
5．积分曲线和积分曲线族
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一
6．线性微分方程
如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，
不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零
二．变量可分离方程及其推广
2
故所求方程的通解为 2
722311
21132xCxxCxy
（2）直接用通解公式（先化标准形式
xyxdxdysin2）
xP2，xxxQsin
通解 Cdxe
xeydxxdxx22sin
Cxxx
Cxdxxxcossin1sin122
（3）此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，
dyxydxdyxy22
（3）xyy
dyxlnln （4）214yxdxdy
解：（1）令u
y，则dxduxudxdy，原方程化为
ue
duxuu，1Cxdx
duu
CxCxeulnln
Cxexyln
（注：10,0Cxexy）
（2）022
dyxyxy；222
（6）22
2ln
1yxdyxydyxdx；
（7）
yd
ydxxdy2；
（8）
xdyxdyydx2；
Байду номын сангаас （9）
xdyxxdyydxarctan22；
（10）
ydyxydxxdyarctan22；
（11）
xyxd
xxdyydxln2122；
（12）
xyxdyxydxxdyln2122；
不满足
PxQ
但是存在yxR,
使得0,,,,dyyxQyxRdxyxPyxR为全微分方程，
也即满足
RPxRQ
则yxR,称为约当因子，
按全微分方程解法仍可求出yxdudyyxQyxRdxyxPyxR,,,,,
通解Cyxu,。
这种情形，求约当因子是关键。
1，
则
11111cucufbadxdybadxdu
属于变量可分离方程情形。
三．一阶线性方程及其推广
1．一阶线性齐次方程
0yxP
dy
它也是变量可分离方程，通解公式dxxPCey，（c为任意常数）
2．一阶线性非齐次方程
xQyxP
dy
用常数变易法可求出通解公式
2．变量可分离方程的推广形式
（1）齐次方程
yfdxdy
令u
y，
则uf
duxudxdy
cxc
dxuufdu||ln
（2）0,0bacbyaxf
dy
令ucbyax，
则ubfa
du
cxdx
bfadu
（3）
22111cybxacybxafdxdy
令dxxPexCy
代入方程求出xC
则得CdxexQeydxxPdxxP
3．贝努利方程
1,0yxQyxP
dy
令1yz
把原方程化为xQzxP
dz11
再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：
yPyQdxdy1
可化为yQxyP
dx
211为对应的二阶齐次线
C，2C为独立的任意常数）则xyCxyCxyy2211是此二阶非
5．设xy
与xy2分别是xfyxqyxpy1与
xfyxqyxpy
的特解，则xyxy21是
xfxfyxqyxpy
1的特解。
三．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程
1．二阶常系数齐次线性方程
0,,,,
y
xxdyyxQdxyxPyxu
0,,,000
第三种：不定积分法
由yxP
u,得
yCdxyxPyxu,,
对y求导，
得yCdxyxP
yuyxQ,,，
求出yC积分后求出yC
2．全微分方程的推广（约当因子法）
设0,,dyyxQdxyxP不是全微分方程。
3．微分方程的解、通解和特解
满足微分方程的函数称为微分方程的解；
通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；
通解有时也称为一般解但不一定是全部解；
不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4．微分方程的初始条件
要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满
（3）
xydxdy （4）0tansinydxdyyx
解：（1）直接用常数变易法
对应的齐次线性方程为
2xydxdy，通解21xCy
令非齐次线性方程
51
2xyxdxdy的通解为21xxCy
代入方程得
5211xxxC
11xxC， CxxC231
令py，把p看作y的函数，则dydppdxdydydpdxdpy 把y，y的表达式代入原方程，得pyfpdydp,1——一阶方程，
,,
Cygp即1,Cyg
dy，则原方程的通解为
,CxCygdy。
二．线性微分方程解的性质与结构
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分
y如何求？
我们根据xf的形式，先确定特解y的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方
1
（3）当042qp，特征方程有共轭复根i，
则方程的通解为xCxCeyx sin cos
1
2．n阶常系数齐次线性方程
0
2211ypypypypynnnnn
其中nip
,,2,1为常数。
相应的特征方程
2211nnnnnpppp
特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。
以y为自变量，x为未知函数
再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．全微分方程及其推广（数学一）
1．全微分方程
0,,dyyxQdxyxP，满足
PxQ
通解：Cyxu,，
其中yxu,满足dyyxQdxyxPyxdu,,,