(合集)八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答案通用
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题14 多边形的边与角_答案[精品]
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专题14 多边形的边与角例1 5 7 例2 B例3 n ＝17 提示：设此角为，则（n －2）×180°＝＋2570°，得2570360180x n +︒+︒=︒，＝130°，此时n ＝17.例4 双向延长AB ，CD ，EF ，GH 得四边形MNPQ ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为(82)1801358-⨯︒=︒，每一外角均为45°，因此MNPQ 为长方形，△BPC ，△DQE ，△FMG ，△ANH 都是等腰直角三角形.设GH ＝，HA ＝y ，由MQ ＝NP ，得MF ＋FE ＋EQ ＝NA ＋AB ＋BP ，∴6722y +=++3y =∵MN ＝QP ，∴＝3＋，∴周长＝7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋＋332.例5 将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M 点时走的总路程是180米.A 级1. 7；540°2. 363. 540°4. 1＜＜135. D6. C7. C8.A9. BC ＝10，DC ＝6 10. n ＝611. 提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面, 必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n ×108°=360°的n 值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面.⑵⑶略.B 级1.52.143.180°;(n －4)180°4.B5.D 由OA=OB=OC 得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°6.D7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\ 150°四种可能,设这些角的个数分别为,y ,,w ,则116090120150(112)180x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=-⨯⎩解得=y=0,=1,w=10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略.8.n=3249.649提示：从A1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原图形周长的43倍.10.(1)108°;120°; ()02180nn-⨯(2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有块正边形地砖，由于正n边形的所有内角都相等，则()02180360nkn-⨯=g即24222nkn n==+--.因为整数，故n－2|4，n—2=1，2，4，得 n=3,4 或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如正方形和正八边形，草图如下，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解.即2m+3n=8的整数解.∵这个方程的整数解只有12mn=⎧⎨=⎩一组∴符合条件的图形只有一种.。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题28 整体与完形_答案
专题28 整体与完形——补形法例1 134 例2 B 提示：由已知得b a ca b+=例3 （1）()12FG AB AC BC =+-，分别延长AG 、AF 交BC 于H ，K ，则AF=KF ，AB=KB,AG=HG,AC=HC.()()111222FG HK BK BH AB AC BC ==-=+-.（2）()12FG BC AC AB =+-例4 提示：作DG ⊥BC 交BC 延长线于Q ，AM ⊥CB 交CB 延长线于M ，DN ⊥MA 于N ，则MNDQ 为矩形，AD =例5 延长A 8A 1，A 3A 2相交于M ，延长A 2A 3，A 5A 4相交于N ，延长A 4A 5、A 7A 6相交于P ，延长A 6A 7、A 1A 8相交于Q. ∵∠A 1=∠A 5, ∠A 2=∠A 6，∴∠MA 1A 2=∠PA 5A 6, ∠MA 2A 1=∠PA 6A 5, ∴∠M=∠P ，同理可证：∠N=∠Q 。
∴MNPQ 为平行四边形，即A 1A 8∥A 4A 5，A 2A 3∥A 7A 6。
同理可证：A 1A 2∥A 6A 5,A 3A 4∥A 8A 7∴凸八连形内任意一点到边A 2A 3和A 6A 7的距离的和为平行线A 2A 3和A 6A 7间的距离，是一个定值.同样,这一点到边54A A 和18A A 的距离的和为平行线18A A 和54A A 间的距离；这一点到边21A A 和65A A 的距离的和为平行线21A A 和65A A 间的距离；这一点到边43A A 和87A A 的距离的和为平行线43A A 和87A A 间的距离，都是定值.所以，凸八边形内任意一点到8条边的距离的和是一个定值.例6 (1)证明略.(2)如图,过点A 分别作C B D C BC '',,的垂线,垂足分别为G F E ,,.由︒=∠45ABC 及已证结论BC C B ⊥',知四边形AGBE 是正方形, 由︒=∠45ABC ,︒=∠60ADC 及D C A '∆是ACD ∆沿AD 作对称变换得到,知点A 均在D GC GBC '∠∠,的平分线上，∴AG AF AE ==.于是，ADE R ∆t ≌ADF R ∆t ,F C A R '∆t ≌G C A R '∆t . 故︒=∠=∠='∠4521CAD EAG C DA . 则在ADC ∆中，︒=∠+∠-︒=∠75)(180DAC ADC C .能力训练1. 34 提示：延长CB 至E ，使DC BE =.2. 373. 424.76提示:延长ED AM ,及DC AB ,分别交于Q 及R ,则ARM ∆∽QDM ∆,ABP ∆∽QNP ∆. 5. < 如图,将OB C '∆沿B B '方向平移2S 到B RP '∆位置, 再将O A C '∆沿A A '方向平移3S 到QRA ∆位置, 则 OQP ∆为等边三角形,且边长为2，因321S S S ++=OQP B AR OQR S S S ∆'∆∆<-=32432=⨯ 6. D 7. D 8. C 9. B10. 提示：把ABC ∆补成一个边长为1的正三角形,延长BA 至G ,使1==BC BG ,连接CG ，在AG 上取点F ，使GF BA =,连接CF ，则A B C ∆≌FGC ∆,ACF ∆～CDE ∆,832=+∆∆CDE ABC S S . 11. 提示：以AB 为直角边向三角形外作等腰BAD R ∆t ,再作CA DE ⊥的延长线于E ，则BCED 为直角梯形，BD EC ≤.12. 证明：设八边形的边长分别为,,,,,,,,7654321b a a a a a a a a 且,,,,,,,,7654321b a a a a a a a a 都是整数，因为内角都等于︒135， 所以延长对边,,51a a 与,,73a a 这对边的延长线依次交出 N M Q P ,,,四点，则PQMN 为矩形。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题19 平行四边形、矩形、菱形_答案[精品]
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专题19 平行四边形、矩形、菱形例1 75° 例2 A 只有命题③正确.例3 （1）△BEF 为正三角形 提示：由△ABD 和△BCD 为正三角形，可证明△BDE ≌△BCF ， 得：BE=BF ，∠DBE =∠CBF .∵∠DBC=∠CBF +∠DBF =∠DBE +∠DBF =60°，即∠EBF=60°，故△BEF 为等边三角形.(2)设BE BF EF x ===，则可得：24S x =，当BE ⊥AD 时，x .∴2minS ==当BE 与AB 重合时，x 有最大值为2，∴()2max 2S =⨯=S ≤≤例4 提示：PC=EF=PD ，4545CPB PFC EPG GPA BPD ︒︒∠=+∠=+∠=∠=∠，可证明 △CPB ≌△DPB .例5 （1）略 （2）45° （3）60°如图，延长AB 至H ，使AH=AD ，连DH ，则 △AHD 是等边三角形. ∵AH=AD=DF ，∴BH=GF ， 又∠BHD=∠GFD=60°，DH=DF ， ∴△DBH ≌△DGF ，∠BDH=∠GDF ，∴()1206060BDG ADC ADB GDF ADC ADB BDH ︒︒︒∠=∠-∠-∠=∠-∠+∠=-=例6 如图过M 作ME AN ，连NE ，BE ，则四边形AMEN 为平行四边形，得NE=AM ，ME ⊥BC . ∵ME=CM ，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC .∴△BEM ≌△AMC ，得BE=AM=NE ，∠1=∠2，∠3=∠4. ∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE . ∴△BEN 为等腰直角三角形，∠BNE=45°. ∵AM ∥NE ，∴∠BPM=∠BNE=45°.A 级1. 2α3. 26° 提示：作FG 边上中线，连接EC ，则EF=EC=AC .4. 20° 提示：连接AC ，则△AFC ≌△AEB ，△AEF 为等边三角形.5.C6.B7.D8. A 提示：E 、F 分别为AB 、BC 中点.9.从6个条件中任取2个，只有15种组合，其中能推出四边形ABCD 是平行四边形的有以下9种 情形：①与③；②与④；⑤与⑥；①与②；③与④；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥. 10. 提示：（2）当D 为BC 中点时，满足题意.11. 提示：连AM ，证明△AMF ≌△BME ，可证△MEF 为等腰直角三角形.12. 6 提示：由△ABC ≌△DBF ，△ABC ≌△EFC 得：AC=DF=AE ，AB=EF=AD .故四边形AEFD 为平行四边形.又∠BAC=90°，则∠DAE =360°－90°－60°－60°=150°，则∠ADF=∠AEF=30°，则F 到AD 的距离为2，故326AEFDS=⨯=.B 级1. 92cm2. 提示：可以证明2222PA PC PB PD +=+. 3.152cm 4. 10 提示：可先证：AF=CF .设AF CF x ==，则8BF x =-， ∴()22284x x =-+. ∴5x =. ∴11541022AFC S AF BC ∆==⨯⨯=. 5.6013提示：过A 作AG ⊥BD 于G 可证PE+PF=AG ， 由AG BD AB AD =可得：512601313AG ⨯==.6. 提示：A ，C 关于BD 对称，连AE 交BD 于P . ∴PE+PC=AE .又∵AE ⊥BC 且∠BAE=30°，∴AE =. 7. B8. B 提示：取DE 中点为G ，连结AG ，则AG=DG=EG .9. C10.(1)=；图略 （2）1；图略 （3）3；图略 （4）以AB 为边的矩形周长最小，用面积法证明．11．证明：连AC ，如图，则易证△ABC 与△ADC 都为等边三角形． (1)若∠MAN ＝60°，则△ABM ≌△ACN ． ∵AM ＝AN ，∠MAN ＝60°， ∴△AMN 为等边三角形．(2)∠AMN ＝60°，过M 作CA 的平行线交AB 于P ． ∵∠BPM ＝∠BAC ＝60°，∠B ＝60°，∴△BPM 为等边三角形，BP ＝BM ，BA ＝BC ．∴AP ＝MC ． 又∠APM ＝120°＝∠MCN ．∠PAM ＝∠AMC －∠B ＝∠AMC －60°＝∠AMC －∠AMN ＝∠CMN ， ∴△PAM ≌△CMN ．∴AM ＝MN ，又∠AMN ＝60°． 故△AMN 为等边三角形．12．提示：如图，分别过点A 作AM ∥EF ，过点C 作CP ∥AB ，过点E 作EN ∥AF ，它们分别交于N ，M ，P 点，得□ABCM 、□CDEP 、□EFAN ，则EF ＝AN ，AB＝CM ，CD ＝PE ，BC ＝AM ，CP ＝DE ，AF ＝NE ，由条件得△NMP 为等边三角形，可推得六边形的每个内角均为120°．AMNPBDA B CD EP N MF。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题08 分式方程_答案-精编
专题08 分式方程例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C xB A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111AC B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----． （2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x x y x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++ 例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2． 例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解．例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时， 111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-±9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x +=． 于是221()x x +331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250． 10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得123111.x x x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==aB 级1. 3或 － 72. x ₁=8 , x ₂=－1 , x ₃=－8 , x ₄=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或 －106. A7.0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a : a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则1x y +=++a yz yz xz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得 111111a 1=+++++c b 得.,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x 当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a253,,10.28a a <-=∴=故应当舍去 22232006()2321006,1,10.? 1x x y x x x y x x -+=-+≠--∴=把原方程变形为 200521,2005120055401,11,5,401,2005,1(x,y)=(2,2008),(6,412),(402,808),(2006,4012)x x x =-+=⨯=⨯-=-分别取从而 1000008000011 (1),,10004000,4000,4000.(2),48003500+3000(15)50000,6x 10.x ,,,,,.x x xx x x x x =+==≤-≤≤≤设今年三月份甲种电脑每台售价元由题意得解得经检验是原方程的根所以甲种电脑每台售价元设购进甲种电脑台由题意得解得因为的正整数解为678910所以共有5种进货方案 (3)设总获利为W 元,则W=(4000-35000)x+(3800-3000-a)(15-x)=(a-300)x+12000-15a当a=300时,(2)中所有方案获利相同,此时购买甲种电脑6台,乙钟电脑9台时对公司更有利。
八年级数学竞赛培优专题及答案 02 乘法公式
专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．4199210．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．第2题图11 2 1 1 3 31146 4 11 5 10 10 5 1 … … … … … … …10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若x y a b +=+，且2222x y a b +=+， 求证：2003200320032003x y a b +=+．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如222222420,1242,2064,=-=-=-因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）专题02 乘法公式例1 73 提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．例2 （1）B x －y ＝（2a ＋4a ＋a ）＋（2b －8b ＋16）＝()22a +＋()24b -≥0，x ≥y ．（2）B 3个等式相加得：()23a -＋()21b +＋()21c -＝0，a ＝3，b ＝－1，c ＝1．a ＋b ＋c ＝3－1＋1＝3．例3 （1）167 （2）4 （3）－5050例4718 提示：由a ＋b ＝1，2a ＋2b ＝2得ab ＝－12，利用1n a +＋1n b +＝（n a ＋n b ）（a ＋b )－ab (1n a -＋1n b -)可分别求得3a ＋3b ＝52，4a ＋4b ＝72，5a ＋5b ＝194，6a ＋6b ＝264，7a ＋7b ＝718．例5 （1）设n 为自然数，则n （n ＋1)(n ＋2)(n ＋3）＋1＝()2231n n ++ （2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝24006001．例6（1）设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①.3,2,1333222c b a c b a c b a2①－②，得ab ＋b c ＋a c ＝21-，∵333c b a ++－3ab c ＝（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ）， ∴ab c ＝31（333c b a ++）－31（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ）＝31×3－31×1×（2＋21）＝61． （2）将②式两边平方，得,4222222222444=+++++a c c b b a c b a ∴()2222224442224a c c b b a c b a ++-=++ ＝4－2()[])(22c b a abc ac bc ab ++-++＝4－2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1612212＝625．A 级1．0或6 2．26，28 3．2 4．40 5．34 6．0 7．D 8．A 9．C10.原有136或904名学生．设⎪⎩⎪⎨⎧=-=+②①.1208,120822m x m xm ，n 均为正整数，且m ＞n ，①－②得（m ＋n ）（m －n ）＝240＝5324⨯⨯．2m ，2n 都是8的倍数，则m ，n 能被4整除，m ＋n ，m －n 均能被4整除．得⎩⎨⎧=-=+460n m n m 或⎩⎨⎧=-=+1220n m n m ， ∴⎩⎨⎧==2812n m 或⎩⎨⎧==416n m8x ＝2m －120＝904或8x ＝2m －120＝136．11.因为a ＝910＋338－2＝（910－1）＋（338－1）＝999 999 999＋37×（238＋38＋1），而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001 001）． 所以37|999 999 999，且37|37×（238＋38＋1），因此a 是37的倍数．12.第2003行式子为：()2222004200420032003+⨯+＝()2120042003+⨯．第n 行式子为：()()222211++++n n n n ＝()221++n n ．证明略B 级 1．1．0942．76 提示：由13＋a ＝9＋b ＝3＋c 得a －b ＝－4，b －c ＝－6，c －a ＝10 3．13 4．156 5．D6.C 提示：（x ＋y ）（x －y ）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：⎩⎨⎧------=-------=+.1,7,41,49,287,2009,1,7,41,49,287,2009;2009,287,49,41,7,1,2009,287,49,41,7,1y x y x 故（x ，y ）共有12组不同的表示． 7．B 8．C9．提示：不存在符合条件的整数对（m ，n ），因为1954不能被4整除．10．设所求两位数为AB ，由已知得22BA AB -＝2k （k 为整数），得2119.k A B A B =⨯+⨯-而11A B +=⎧11A B +=⎧解得65A B =⎧⎨=⎩或56A B =⎧⎨=⎩，即所求两位数为65，5611. 设2222x y a bx y a b+=+⎧⎨+=+⎩①②, 则由2,-①②得22xy ab = ③②-③, 得22()()x y a b -=-, 即x y a b -=- x y a b ∴-=-或x y b a -=-分别与x y a b +=+联立解得x a y b =⎧⎨=⎩或x by a =⎧⎨=⎩2003200320032003x y a b ∴+=+12. (1)22284786,=⨯=- 2220124503504502=⨯=-, 故28和2012都是神秘数 （2）22(22)(2)4(21),k k k +-=+为4的倍数（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. 22(21)(21)8n n n +--=,故两个连续奇数的平方差不是神秘数。
人教版数学八年级培优和竞赛二合一讲炼教程15、三角形总复习
15、三角形总复习【知识精读】1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；3. 全等三角形的性质与判定；4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5. 直角三角形的性质与判定。
三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。
从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。
因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。
因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。
【分类解析】1. 三角形内角和定理的应用例1. 如图1，已知中，于D ，E 是AD 上一点。
∆ABC ∠=︒⊥BAC AD BC 90， 求证：∠>∠BED C证明：由AD ⊥BC 于D ，可得∠CAD ＝∠ABC 又∠=∠+∠ABD ABE EBD 则∠∠ABD EBD > 可证∠∠CAD EBD > 即∠∠BED C>说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。
2. 三角形三边关系的应用例2. 已知：如图2，在中，，AM 是BC 边的中线。
∆ABC AB AC > 求证：()AM AB AC >-12证明：延长AM 到D ，使MD ＝AM ，连接BD在和中，∆CMA ∆BMD AM DM AMC DMB CM BM===，∠∠，∴≅∴=∆∆CMA BMD BD AC在中，，而∆ABD AB BD AD -<AD AM=2()∴-<∴>-AB AC AMAM AB AC 212说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得，然后通过倍长中2AM AB AC >-线的方法，相当于将绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC 、AB 、2AM 转∆AMC 化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。
八年级数学竞赛培优专题及答案 29 几何变换
专题29 几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.l图3图2图1F 1F 21.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线. 3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角.旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR 的最小值.O【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CP A的大小之比是5:6:7，则以P A，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）B C解题思路：解本例的关键是如何构造以P A，PB，PC为边的三角形，若把△P AB，△PBC，△PCA中的60，就可以把P A，PB，PC有效地集中在一起.任一个，绕一个顶点旋转0【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.C【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD ＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1） 如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2） 如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.A图2图1MA B B能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）B(第1题) （第2题） （第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题） 4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（ ）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 0150（第6题）（第5题）（第4题）ACB ABDABDA'6.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A BCD ''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '的1. 其中正确的结论有（ ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（ ）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（ ）.A. x y <B. x y =C. x y >D. x 与y 的大小关系不确定l第8题图第7题图CB9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）DB10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）A B C A'11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）B12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值； （3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ； （2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）图2图1ACBBCA15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）B专题29 几何变换例1 210例2 A 提示：将ABP ∆绕B 点顺时针旋转︒60得CBD ∆，则ABP ∆≌CBD ∆，BPD ∆为等边三角形. 例3 提示:延长BD 至E ,使AB BE =,连接AE ,E ABC ∠=∠2.例4 提示:过E 作ER ∥,CD 过C 作CP ∥AB ,过A 作AQ ∥EF ,则PQR ∆为等边三角形.例5 (1)如图a ，由DCM ∆≌ACM ∆则AM DM AC DC ==,,,ACM DCM ∠=∠A CDM ∠=∠.又由CB CA =，得CB CD =.由DCM DCN ∠-︒=∠45,得BCN DCN ∠=∠,又CN CN =,则DCN ∆≌BCN ∆,有BN DN =,B CDN ∠=∠, ∴︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ∴222DN MD MN +=即222BN AM MN +=(2)关系式: 222BN AM MN +=仍成立,方法同上,如图b 例6 如图,作ACD ∆关于AD 所在直线的轴对称图形,APD 则,12,60,APD ACD PAD CAD PAB AP AB AC ∠=∠∠=∠=∠===，连接PB ，则PAB 为正三角，得12PBD ∠=.123648,,,DAB DBA AD BD PAD PBD ∠=+==∠∴=∴≅故30.30APD BPD ACD APD ∠=∠=∴∠=∠=能力训练1. 452. 1503. 12 提示: 如图, 设4(,)3A a a 过A 作AD x ⊥轴, 交于点D , 过B 作BE x ⊥轴, 交于点E由,2AO AD OD AOD BCE BC BE CE ∴===, 则2912,,(,)23223a CE BE a B a a ==+ ,A B 都在双曲线上, 4291()3322a a a a ∴=+, 解得 123,0a a ==(舍去) 3412k ∴=⨯=4. 15 提示: 分别以,AB AC 为对称轴作D 点的对称点,E F , 连接,FC EB 相交于G , 证明四边形AFGE 为正方形5. B6. C7. B8. D9. 提示: 延长FD 至G , 使DG FD =, 连接EG10. 提示: 作//,//,//EQ FG PG KH KR DE ，交成等边三角形PQR11. 提示: 作//CD BQ , 连,PD CD ，∴四边形QBCD 为菱形, DQ QB = , 由,AP QB CD AQ PC === ,A PCD ∠=∠ 得,,DCP PAQ PD PQ QB QD ≅=== QPD ∴为等边三角形,又,CDP A PQA ∠=∠=∠2,QPC A ∠=∠360QPD A ∠=∠=20,A ∴∠=80B ACB ∠=∠=又,QB BC = 50QCB ∴∠= 30PCQ ∠=12. 提示: (1) 作(4,1)B -关于x 轴对称点'(4,1)B ,连','AB AB 交x 轴于P ,PAB 周长最短, (3.5,0)P ∴ (2) 将点(4,1)B -向左平移3个单位得1(1,1)B -，再作1B 关于x 的对称点2(1,1)B ，连2AB 交x 轴于C ， 再将C 向右平移3个单位得点D ，(1.25,0), 1.25C a ∴= (3) 作点A 关于y 轴对称点'(2,3)A --,作点B 关于x 轴的对称点'(4,1)B ,连''A B 交x 轴于M , 交y 轴于N 5(2.5,0),(0,)3M N ∴-13. 提示: 过N 作'//NQ DF ,作'//,NP AE 作//,//.NS DC NR AB 由','PP N LNR RN AB AE P N ∠=∠=== 则''Rt PP N Rt LNR PP LN ≅∴= 同理可证: ''PP QQ =又 '//,'//EP AN FQ ND , 又''AN ND EP FP =∴= 从而'',''PE PP P E FQ FQ QQ =+=+则 PE FQ =(1) 11,,22BM EC DM EC BM DM ==∴= 由2BME BCM ∠=∠ 2,DME DCM ∠=∠ 2()90BMD BME DME BCM DCM ∴∠=∠+∠=∠+∠= BM DM ∴⊥(2) 延长DM 至点F ,使DM FM =,连,,BD BF FC . 可证:EMD CMF ≅,ED AD CF DEM FCN ∴==∠=∠ //ED CF延长AD ,交BC 于T ,交CF 延长线于S 90EDS CST ∠=∠= 又BTA CTS ∠=∠BAD BCF ∠=∠,,,AB CB ABD CBF BD BF ABD CBF =∴≅∴=∠=∠,又90ABD DBC CBF DBC ∠+∠=∠+∠=, BDF ∴为等腰三角形, ,BM DM BM DM ∴=⊥15. 如图, 以AB 为对称轴作ADB 的对称AGB ,以AC 为对称轴作ADC 的对称AFC ,并延长,GB FC 交于点E ,则易知四边形AGEF 是正方形, 不妨设AD h =,则2,3,BE h CE h =-=-由2222222(2)(3)5560BC BE CE h h h h =+⇒-+-=⇒--=116561522ABCh S BC AD ⇒=⇒==⨯⨯=。
(完整word版)八年级上数学培优及答案
八年级数学———培优精品教案◆◆◆ 认真解答，一定要细心哟！一、填空题 1、设ABC 的三边长分别为a ，b ,c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ,则第三边的长c 的取值范围是 ．2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。
3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O,若∠BOC=α，则∠A=_________。
4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。
5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限,则a 的取值范围是 .6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。
7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中,汽车离出发地的距离s(km ）和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法:①汽车共行驶了120km;②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为803km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。
其中正确的说法有_______________。
8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，•两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克,你呢？”小丽思考了一会儿说:“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系,你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我,你现在加工了___D_____千克．” 二、选择题1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( ）A.m B.2mC.(90—m) D 。
（90-2m)2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验,测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升）与服药后时间x (时）之间的函数关系如图所示，则Oy (微克/毫升) x (时)314 8 4 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是( ） A ．错误!≤y ≤错误! B ．错误!≤y ≤8 C ．错误!≤y ≤8 D ．8≤y ≤16八年级数学—--培优精品教案◆◆◆认真解答,一定要细心哟！3、水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到 6点,该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列论断：①0点到1点,打开两个进水口,关闭出水口；②1点到3点,同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关闭两个进水口,打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是( ）A ．①③B 。
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超级资源：（合集）八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答案（15套）1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式.提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法. 它的理论依据就是乘法分配律. 多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂.（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式. 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号.解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换.解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 )243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果. 解：原式)521456268123(1368987+++⨯= =⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值.分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果.解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6.4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数. 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可. 323233222222n n n n n n n n ++++-+-=+--=+-+=⨯-⨯3312211035222n n n n ()()对任意自然数n ，103⨯n 和52⨯n 都是10的倍数.∴-+-++323222n n n n 一定是10的倍数5、中考点拨：例1. 因式分解322x x x ()()---解：322x x x ()()---=-+-=-+322231x x x x x ()()()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到.例2．分解因式：412132q p p ()()-+-解：412132q p p ()()-+- =-+-=--+=--+412121211212213222q p p p q p p q pq ()()()[()]()()说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简.题型展示：例1. 计算：200020012001200120002000⨯-⨯精析与解答：设2000=a ，则20011=+a∴⨯-⨯200020012001200120002000=+++-++=+⨯-+⨯=+⨯-=a a a a a a a a a a a a [()()]()()()()()()1000011110000110001110001110001100010说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大. 其中2000、2001重复出现，又有200120001=+的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算.例2. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值.分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b 、c ，但比较麻烦. 注意到x bx c 2++是362542()x x ++及3428542x x x +++的因式. 因而也是-+++()3428542x x x 的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式.解： x bx c 2++是362542()x x ++及3428542x x x +++的公因式∴也是多项式3625342854242()()x x x x x ++-+++的二次因式而362534285142542422()()()x x x x x x x ++-+++=-+b 、c 为整数得：x bx c x x 2225++=-+∴=-=b c 25，说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式1428702x x -+，从而简便求得x bx c 2++.例3. 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由. 解：1052+++x x x ()=+++=++52225()()()()x x x x xx x ++25，都是大于1的自然数∴++()()x x 25是合数说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数. 只能被1和本身整除的数叫质数.【实战模拟】1. 分解因式：（1）-+-41222332m n m n mn（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---3222222. 计算：()()-+-221110的结果是（ ） A. 2100 B. -210 C. -2 D. -13. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y.4. 证明：812797913--能被45整除.5. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…，且当x =0时，求原式的值.【试题答案】1. 分析与解答：（1）-+-41222332m n m n mn=--+226122mn mn m n ()（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--=+---ax ax bx cx d n 132()（3）原式=-+---a a b a a b ab a b ()()()322222=--+-=--=-a a b a b a b a a b a b a a b ()[()]()()()22222333注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底.2. B3. x x y y y x ()()---=12∴-+=()()x y x y 12x y 、是正整数∴12分解成1122634⨯⨯⨯，，又 x y -与x y +奇偶性相同，且x y x y -<+∴-=+=⎧⎨⎩∴==⎧⎨⎩x y x y x y 2642说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决.4. 证明： 812797913-- =--=--=⨯=⨯⨯=⨯333393135335345282726262624224()∴--812797913能被45整除5. 解：逐次分解：原式=++++++()()()()111121995x x x x x x …=++++=++++++==+()()()()()()()()11111111219953419951996x x x x x x x x x x x …………∴当x =0时，原式=12 、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式.主要有：平方差公式a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()()补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()=++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式.运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式. 但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式.用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用. 因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助.下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()().再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B.说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式. 同时要注意分解一定要彻底.2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值.分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值.解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()()则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()() 由此可得21112023a a b m b+=-+==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()由（1）得a =-1 把a =-1代入（2），得b =12把b =12代入（3），得m =123. 在几何题中的应用.例：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状.分析：因为题中有a b ab 22、、-，考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab 转成-2ab . 所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解. 解： a b c ab bc ac 2220++---=∴++---=2222220222a b c ab bc ac∴-++-++-+=()()()a ab b b bc c c ac a 2222222220∴-+-+-=()()()a b b c c a 2220()()()a b b c c a -≥-≥-≥222000，，∴-=-=-=a b b c c a 000，，∴==a b c∴∆ABC 为等边三角形.4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论.解：设这两个连续奇数分别为2123n n ++，（n 为整数）则()()232122n n +-+ =++++--=+=+()()()()2321232124481n n n n n n由此可见，()()232122n n +-+一定是8的倍数.5、中考点拨：例1：因式分解：x xy 324-=________.解：x xy x x y x x y x y 32224422-=-=+-()()()说明：因式分解时，先看有没有公因式. 此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底.例2：分解因式：2883223x y x y xy ++=_________.解：288244322322x y x y xy xy x xy y ++=++()=+222xy x y ()说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底.题型展示：例1. 已知：a m b m c m =+=+=+121122123，，， 求a ab b ac c bc 222222++-+-的值.解：a ab b ac c bc 222222++-+-=+-++()()a b c a b c 222=+-()a b c 2a mb mc m =+=+=+121122123，， ∴原式=+-()a b c 2=+++-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥=()()()1211221231422m m m m说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程.例2. 已知a b c a b c ++=++=00333，，求证：a b c 5550++=证明： a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()∴把a b c a b c ++=++=00333，代入上式，可得abc =0，即a =0或b =0或c =0若a =0，则b c =-，∴++=a b c 555若b =0或c =0，同理也有a b c 5550++=说明：利用补充公式确定a b c ，，的值，命题得证.例3. 若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值. 解： x y x y x xy y 332227+=+-+=()()且x xy y 229-+=)1(92322=++=+∴y xy x y x ，又x xy y 2292-+=() 两式相减得xy =0所以x y 229+=说明：按常规需求出x y ，的值，此路行不通. 用因式分解变形已知条件，简化计算过程.【实战模拟】1. 分解因式：（1）()()a a +--23122（2）x x y x y x 5222()()-+-（3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+-2. 已知：x x +=-13，求x x441+的值. 3. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：a b c bc 22220---<4. 已知：ωω210++=，求ω2001的值.5. 已知a b c ，，是不全相等的实数，且abc a b c abc ≠++=03333，，试求（1）a b c ++的值；（2）a b c b c a c a b ()()()111111+++++的值.【试题答案】1. （1）解：原式=++-+--[()()][()()]a a a a 231231 =+-+()()4123a a =-+-()()4123a a说明：把a a +-231，看成整体，利用平方差公式分解. （2）解：原式=---x x y x x y 5222()() =--x x y x 2321()()=--++x x y x x x 22211()()()（3）解：原式=-+-+-()[()()]x y a a x y x y 2222 =-+-()()x y a x y 222. 解： ()x x x x +=++121222 ∴+=+-=--=x xx x 2222112327()()∴+=∴++=()x x x x 222441491249， ∴+=x x441473. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明. 证明： a b c bc 2222---=-++=-+=++--a b bc c a b c a b c a b c 222222()()()()a b c ，，是三角形三边 ∴++>a b c 0且a b c <+ ∴++--<()()a b c a b c 0 即a b c bc 22220---< 4. 解 ωω210++=∴+++=()()ωωω1102，即ω310-=∴=∴==ωωω32001366711()5. 分析与解答：（1）由因式分解可知a b c abc a b c 3333++-=++()⋅++---()a b c ab bc ca 222故需考虑a b c ab bc ca 222++---值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形.解：（1） a b c abc 3333++= ∴++-=a b c abc 33330 又 a b c abc 3333++-=++++---()()a b c a b c ab bc ca 222∴++++---=()()a b c a b c ab bc ca 2220 而a b c ab bc ca a b b c c a 22222212++---=-+-+-[()()()] a b c ，，不全相等∴++--->a b c ab bc ca 2220 ∴++=a b c 0 （2） abc ≠0 ∴原式=+++++1222abca b c b c a c a b [()()()] 而a b c ++=0，即a b c =-+()∴原式=+--1333abc b c b c [()] =+13abcbc b c [()]=-=-133abc abc ()说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法.3、三角形及其有关概念【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （54. S S ABE ∆⋅ 基础.5.例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B分析：因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B 又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角，()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ，即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ，故选择C.例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状. 解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ，3x ∴+=23200x x 解得：x =40 2803120x x ==， 与80°相邻的内角为100°AF BE F EBC FAB ABE //，∠∠，∠∠∴== 又∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC ＝∠ABE ∴∠F ＝∠FAB ，∴AB ＝BF又∵AB ＋FB ＞AF ，即2AB ＞AF又∵AB AC AC AF ≤∴>12， ∴>∠∠F C ，又∵∠∠F ABC =12∴<∠∠C B 12.∴++<<++64()()a b c c a b c 故最小边在周长的16与14之间.中考点拨：∴++++=++=︒∠∠∠∠∠∠∠∠A B C E D A AGF AFG 180 所以选择C例2. 选择题：已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x 的范围是（ ） A. 大于2 B. 小于12 C. 大于2小于12 D. 不能确定 分析：根据三角形三边关系应有7575+>>-x ，即122>>x所以应选C在∆AEP 中，∠∠，∠∠，∠APE AEP AE AP AFE ACB AEF >∴>==︒=︒6060∴∆AEF 是等边三角形 ∴=AF EF()()() AE AP BE EP BP PF FC PC AE EB EP PE FC AP BP PCAB EF FC AP BP PC AB AF AC AP BP PCPB PA PC AB AC >+>+>⎧⎨⎪⎩⎪++++>++++>++++>++∴++<+=2 ()∴+>+>+>⎧⎨⎪⎩⎪∴++>++=∴>++>PA PB AB PB PC BC PC PA AC PA PB PC AB BC AC PA PB PC 23232题型展示：例1. 已知：如图，在∆ABC 中，D 是BC 上任意一点，E 是AD 上任意一点. 求证： （1）∠BEC ＞∠BAC ； （2）AB ＋AC ＞BE ＋EC.∴∠ ∴+>+∠∠∠∠BED DEC BAE CAE 即∠∠BEC BAC > （2）延长BE 交AC 于F 点AB AF BE EFEF FC ECAB AF EF FC BE EF EC+>++>∴+++>++又即AB AC BE EC +>+例2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°.BF ∴要转证∠EAB ＋∠ABD ＝270°又∵∠C ＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 ∴问题得证证明：∵∠EAB ＝∠ABC ＋∠C ∠ABD ＝∠CAB ＋∠C∠ABC ＋∠C ＋∠CAB ＝180°，∠C ＝90°∴+=+++=︒+︒=︒∠∠∠∠∠∠EAB ABD ABC C CAB C 18090270 ∵AF 、BF 分别平分∠EAB 及∠ABD ()∴+=+=⨯︒=︒∠∠∠∠FAB FBA EAB ABD 1212270135 在∆ABF 中，()∠∠∠AFB FAB FBA =︒-+=︒18045【实战模拟】1. 已知：三角形的三边长为3，8，12+x ，求x 的取值范围.2. 已知：∆∠=CAD β 3. 如图，∆ABC （ ） A. 68°4. 已知：如图， 求证：∠EAD5.【试题答案】1.分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可. 解：∵三边长分别为3，8，12+x ，由三边关系定理得： 51211<+<x∴<<∴<<421025x x2.解： AB BC BCA BAC =∴∠=∠=，α 又 AD BC AD AB =∴=，∴∠=∠D B ，又∵∠=∠+∠BCA D B ∴∠=-∴∠=-D B αβαβ， 根据三角形内角和，得： 2180ααβ+-=︒ ∴-=︒3180αβ3.解： ∠=︒BPC 134 ∴∠+∠=︒PBC PCB 46又∵BP 、CP 为∠B 、∠C 的平分线()∴==∴+=+∴+=⨯︒=︒∴=︒--=︒∠∠，∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠PBC ABC PCB ACB PBC PCB ABC ACB ABC ACB BAC ABC ACB 1212122469218088 4.证明：∠∠∠EAD EAC CAD =- ∵AE 平分∠BAC ，∴=∠∠EAC BAC 12又∵AD ⊥BC ，∴=︒∠ADC 90 ∴=︒-∠∠CAD C 90又 ∠∠∠BAC B C =︒--180()()∴=-=︒---︒-=-∠∠∠∠∠∠∠∠EAD BAC CAD B C C C B 12121809012125.()==++∠∠∠ABC BAC ACB 12则()∠∠∠ADB DAB DBA =︒-+180()()()=++-+-=+∠∠∠∠∠∠∠∠ABC ACB BAC ABC BAC ACB ABC BAC 1212又() 1212∠∠∠ACG ABC BAC =+∴=∠∠ADB ACG 124、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式. 使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性. 能预见到下一步能继续分解. 而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键.应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用. 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解. 【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ）A a aB a aC a aD a a .().().().()222222221111+--+++--分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底. 解：原式=+++++211242a a a a a (()=++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 43243222222223212221211()()()()()故选择C例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+-分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解.解法1：原式=-+--+=--+=-++-+()()()()()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111解法2：原式=-+-+-=-+-+-=-++=-++-=-++-+()()()()()()()()()[()]()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 54324242422221111111211112. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a 、b 、c ，且满足a b a c b ac >+<+，2222证明：以a 、b 、c 为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明： a c b ac 2222+<+∴+--<∴-+-<--<∴-+--<-+>--∴-+>--<∴+>-<-<<+∴a c b ac a ac c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b c a b c a b c a ba b c 2222222220200000，即又，，即以、、为三边能构成三角形()()()3. 在方程中的应用例：求方程x y xy -=的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x 与y ，故可考虑借助因式分解求解 解： x y xy -=∴-+=∴-+-=--+-=-∴-+=-∴+=-=-⎧⎨⎩+=--=⎧⎨⎩xy x y xy x y x y y y x x y x y x y 01111111111111111即是整数或()()()(),∴==⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩x y x y 0022或4、中考点拨例1.分解因式：1222--+=m n mn _____________. 解：1222--+m n mn=--+=--=+--+12111222()()()()m mn n m n m n m n说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式.例2．分解因式：x y x y 22--+=____________ 解：x y x y 22--+=()()x y x y 22---=+---=-+-()()()()()x y x y x y x y x y 1说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式.例3. 分解因式：x x x 323412+--=____________ 解：x x x 323412+--=x x x 324312-+-=-+-=++-x x x x x x ()()()()()22434322说明：分组的目的是能够继续分解.5、题型展示：例1. 分解因式：m n mn n 222141()-+-+ 解：m n mn n 222141()-+-+=-+-+=++---=+--=-+++-+m n m mn n m n mn m mn n mn m n mn m n mn m n 222222222241212111()()()()()()说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn 分成2mn 和2mn ，配成完全平方和平方差公式.例2. 已知：a b c d ac bd 2222110+=+=+=，，且，求ab+cd 的值. 解：ab+cd=ab cd ⨯+⨯11=+++=+++=+++=+++=++ab c d cd a b abc abd cda cdb abc cdb abd cda bc ac bd ad bd ac ac bd bc ad ()()()()()()()()222222222222ac bd +=∴=00原式说明：首先要充分利用已知条件a b c d 222211+=+=，中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd 因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果.例3. 分解因式：x x 323+-分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项. 观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着x x x -+-1233是的一个因式，因此变形的目的是凑x -1这个因式. 解一（拆项）：x x x x x 333233322+-=--+=-++--=-++3112113222()()()()()x x x x x x x x解二（添项）：x x x x x x x x x x x x x 332222232311313+-=-++-=-+-+=-++()()()()()说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】 1. 填空题：（）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：13322444311222233a a b b x x xy y y mn mn m n --+=--++=---=()2. 已知：a b c a a c abc b c b ++=+-++03223，求的值。