不等式解法.ppt

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一元二次不等式的解法-PPT课件

b x x a
一元一次不等式 b b x x x x ax+b>0的解集 a a 一元一次不等式 x x b b x x a a ax+b<0的解集
3、2 一元二次不等式的解法
解不等式 (写出相应的一元二次方程及一元二次不等式的解集）方程的解集为不等式的解集为求不等式的解集 2 不等式的解集为 x x 6 0 2 x 2 x 3 观察函数 y x x 6 0 的图象
yx x6
2
-2
的解集
不等式 2
ax bx cx x x x 1 2

＜0的解集

3、2 一元二次不等式的解法
例1 求不等式解:注意到
4 x 4 x 1
2
＞0的解集
1 x x 2
2 4 x 4 x 1= 2x 1 2≥0
所以原不等式的解集为
x 例2 求不等式解：不等式可化为
2 (3) 4 x 4 x 1 <0 2 2、若代数式 6 的值恒取非负数,则实数x的 x x 2 取值范围是 2 1
1 x x 2 0 , 开口向上，图象与 x 轴无交点，x R 3
x 3 x 5>0
2

x x 或 x 3 2
0
3
x
3、2 一元二次不等式的解法
讨论一元二次不等式与（a>0) 如果相应的一元二次方程分别有两个不等实根、两个相等实根、无实根，其对应的二次函数的图象与x轴的位置关系如何？二次函数的图象开口向上且分别与x轴交于两点、一点及无交点．

高中数学一元二次不等式及解法 PPT课件图文

y<0
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b
x1=x2= 2 a
{x|x<x1,或 x>x2}
b {x|x≠ 2 a }
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
函数、方程、不等式的关系
a<0时如何求解呢？
自主练习
1．下列是关于x的一元二次不等式化为(x＋2a)(x－a)＜0 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a， (1)当a＞－2a，即a＞0时，－2a＜x＜a， (2)当a＝－2a，即a = 0时，原不等式化为x^2＜0，无解, (3)当a＜－2a, 即a＜0时, a＜x＜－2a. 综上所述，原不等式的解集为：当a＞0时，{x|－2a＜x＜a} 当a＝0时， ∅ 当a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：不等式的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故
选C. 答案： C
课堂讲义
求解一元二次不等式
例一求下列一元二次不等式的解集:
(1)－x2＋5x＜－6
解：原不等式可化为 x2－5x－6>0
集。
变式训练
求下列不等式的解集:
(1)－2x2＋3x＋2 ≤ 0；
{ x|x2或 x 2 }
y x1 O x2 x
变式训练
(2)4x2＋4x＋1>0
{x
|x

1} 2
y
O x1
x
变式训练

一元二次不等式解法课件

一元二次不等式的解法思路
解一元二次不等式的思路一般包括三个步骤：将不等式转化为一元二次方程、求解一元二次方程的解、确定不等式解的范围。我们将详细讲解每个步骤的方法和技我们将演示一元二次不等式解法的具体步骤和思路。这将帮助您更好地理解和应用所学的解题方法。
问题解答或提问与讨论
如果您对本课程内容有任何问题或想要讨论相关话题，请随时提问或参与讨论。我们愿意为您提供帮助并回答您的疑问。
应用实例：一元二次不等式在生活中的应用
一元二次不等式在生活中有着广泛的应用，例如在经济学、物理学和工程学领域中。我们将探讨一些实际问题，并展示如何使用不等式解法来解决这些问题。
总结
在本课程中，我们学习了一元二次不等式的定义和解法思路，以及如何应用到实际问题中。通过这些知识，您将能够更好地理解和解决一元二次不等式。
一元二次不等式解法ppt 课件
欢迎来到我们的一元二次不等式解法ppt课件！在这个课程中，我们将详细介绍一元二次不等式的定义和解法思路，并提供举例和应用实例。让我们一起开始探索吧！
一元二次不等式的定义
一元二次不等式是指一个只含有一个变量的二次不等式，例如ax^2 + bx + c > 0。我们将详细介绍不等式的符号表示和一些常见的特性。

不等式恒成立问题的解法PPT

故（*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立，故m=1适合(*) ；
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 解，得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
1
一、方法引入：
１.数形结合法 : (1）若f(x)=ax+b,x ∈[α,β]，
则：
f()>0
f(x)>0恒成立 f()>0
f(x)<0恒成立 y
f()<0 f()<0
α
o
βx
2
（2）ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 C>0_________Δ_=_b_2_-_4_a_c__<_0___。
≤a
≤
1 x
+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x
≥
2
b (x=
1时取等号
b
)
又
bx
-
1 x
在(0,1]上递增
∴ ( bx- 1x)max=b-1 (x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:
_____________;

基本不等式(共43张)ppt课件

解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进行合并，并把未知数移到不等式的一边，常数移到另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化后的不等式，得到原无理不等式的解集。
综合应用举例
例1

第4讲------不等式的解法

第4讲不等式的解法一、简单一元高次不等式解法（解一元高次不等式，一般采取数轴标根法）其步骤如下：（1）将f(x)的最高次项的系数化为正数；（2）将f(x)分解为若干个一次因式的积；（3）将每一个根顺次表在数轴上，再从右到左依次标出区间；（4）f(x)>0时取奇数区间；f(x)<0时取偶数区间.例1、解不等式（1）2 >0；（2）（x+4） <0.解析：（1）原式=x （2 -x-15）>0⟹x （x-3）（2x+5）>0，得不等式的解集为奇数区间，即{x ∣- <x <0或x >3}.（2）学生自行解决.答案：{x ∣x <-5或-5<x <-4或x >2}.二、分式不等式的解法例2、解不等式： > . 解析：原式变为 >0，通分（）（）>0， ⟹ （）（）>0⟹ >0⟹ 或0<x<1. 练习：1、解下列不等式（1）2 ；（2）-4 ；（3）（x-2）( ；（4）（x-3）(x+2) (x-4)>0.2、解不等式：<0. 三、无理不等式解法（1） g(x)⇔ 或；-5/203（2）g(x)⇔ ；（3）f(x)>g(x)0.例3、若不等式+的解集为（4，b），求a、b的值.解析：设=u，则原不等式为u>a+，即a-u+<0，∵不等式的解集为（4，b），∴方程a-u+=0的两个根分别为2，，由韦达定理得解得.练习：解不等式（1）<x-1；（2）>x+3.解析：（1）<x-1，⟹x∈(2，3]；①等价转化法：⟹或②换元法：设t=（t0）x=3-，即t<3--1， ⟹（t-1）(t+2)<0，-2<t<1，故0t<1,0<1⟹2<x3.③求补集法：x-1⟹ 或⟹x2或x>3，故原不等式解集为(2，3].<即x∈（2，3].（2）>x+3，解析:用①②③④种方法由学生完成.答案：（-∞，-）.四、指数、对数不等式的解法例4、解关于x的不等式lg(2ax)-lg(a+x)<1.解析：⟹a>0，x>0⟹ lg(2ax)<lg(10a+10x)⟹2ax<10a+10x，即（a-5）x<5a.当0<a<5时，a-5<0，x>0当a=5时，不等式0x<25，得x>0；当a>5时，a-5>0，解得0<x<.五、含绝对值不等式的解法例5、解不等式：∣∣x+1∣+∣x-1∣∣<+1.解析：+1>0恒成立，x>-2.①当x1时，原不等式可以变形为2x<+1，，无解；②当-1x<1时，∣∣x+1∣+∣x-1∣∣=2，则原不等式可变形为无解；③当-2<x<-1时，原不等式可以变形为，无解.综合①②③可知，原不等式无解.六、含参不等式的解法例4、试求不等式>-1对一切实数x恒成立的θ取值范围.解析：∵>0，故原不等式变为（θθ）θθθθ>0，令θθ=t，则t∈[-，]，不等式变为（t+1）-(t-4)x+t+4>0对x∈R恒成立，由二次函数可知，∴t>0或t<(舍)，故0<θθ ，即2k-<θ2k+（k∈Z）.练习：1、解不等式（1）2ax>5-x(a∈R)；（2）mx>k-nx （m、n、k∈R）解析：（1）（2a+1）x>5，（2）（m+n）x>ka>-时，x>；m+n>0，x>；a<- 时，x<；m+n<0，x<；a=- 时，x∈∅. m+n=0，，∈，∈∅.2、解不等式>1.解析：原不等式变为>0⟹[(a-1)x-(a-2)]（x-2）>0，⟹（a-1）[x-](x-2)>0，当a>1时，[x-](x-2)>0⟹（-∞，）∪（2，+∞）；当a<1时，[x-](x-2)<0，∵2-=，①当0<a<1时，解是（2，）②当a=0时，解为空集，即x∈∅；③a<0时，解为（，2）.课外练习：一、选择题1、若0<a<1，则不等式（a-x）(x- )>0的解集为（）A 、{x∣a<x<}；B、{x∣<x<a}；C、{x∣x>或x<a}；D、{x∣x<或x>a}.2、不等式∣x+1∣(2x-1)0的解集为（）A、{x∣x=-1或x}；B、{x∣x-1或x}；C、{x∣x}；D、{x∣-1x}.3、若a>1且0<b<1，则不等式的解集为（）A、x>3；B、x<4；C、3<x<4；D、x>4.4、不等式2的解集是（）A、[-3，]；B、[- ,3]；C、[,1）∪（1,3]；D、[- ,1）∪（1,3].5、已知∣a-c∣<∣b∣，则（）A、a<b+c；B、a>c-b；C、∣a∣>∣b∣-∣c∣；D、∣a∣<∣b∣+∣c∣.6、设f(x)，，则不等式f(x)>2的解集为（）A、（1,2）∪（3，+∞）；B、（，+∞）；C、（1,2）∪（，+∞）；D、（1,2）.二、填空题7、不等式-∣x∣<0的解集是 .8、不等式的解集是.9、定义符号函数sgn x=，当x∈R时，则不等式x+2>的解集为.三、解答题10、解不等式（∣3x-1∣-1）（.11、已知函数f(x)=，当a>0时，解关于x的不等式f(x)<0.12、设有关于x的不等式lg（∣x+3∣+∣x-7∣）>a.（1）当a=1时，解此不等式；（2）求当a为何值时，此不等式的解集为R.。

高中数学绝对值不等式的解法 PPT课件图文

绝对值不等式的解法
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0
|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0
2、绝对值的几何意义 |x|
x
0
|x－x1|
x
x1
3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0
y=|x|= 0 ,x=0
y
－x ,x<0
1
－1 o 1
x
1
二、探索解法
2
探索：不等式|x|<1的解集。
3 4
y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对
应的x的取值范围。
y
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
1
y=1
－1 o 1
x
②
①
②
-c
0
c
题型1: 如果 c 是正数，那么
① x c x 2 c 2 c x c
② x c x 2 c 2 x c ,或 x c
【解】 (1)问题可转化为对一切x∈R恒有 a<f(x)⇔a<f(x)min， ∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，即f(x)min＝5，∴a<5.
(2)问题可转化为a>f(x)的某些值，由题意a>f(x)min，同上得a>5.
(3)问题可转化为对一切x∈R恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想, 理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的_正__、__负__性，进而去掉绝对值符号. (3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.正确求出函数的_零__点__并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是关键.

《不等式》等式与不等式-PPT标准课件(第3课时一元二次不等式的解法)

栏目导引
第二章等式与不等式
不等式（xx－＋15）2≥2 的解是(
)
A.－3，12
B.－12，3
C.12，1∪(1，3]
D.－12，1∪(1，3]
解析：选
D.
x＋5 （x－1）2
≥
2⇔
x＋5≥2（x－1）2， x－1≠0
⇔－12≤x≤3，所以 x≠1，
x∈－12，1∪(1，3]．
栏目导引
第二章等式与不等式
栏目导引
第二章等式与不等式
法二：不等式－2x2＋x＋3<0 可化为 2x2－x－3>0，因为 Δ＝ (－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程 2x2－x－3＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝32，又二次函数 y＝2x2－x－3 的图像开口向上，所以不等式－2x2＋x＋3<0 的解集是xx<－1或x>32，故选 D.
第二章等式与不等式
)
A.{x|x<－1}
3 B.xx>2
C.x－1<x<32
D.xx<－1或x>32
解析：选 D.法一：因为－2x2＋x＋3＝－(2x2－x－3)＝－(x＋
1)(2x－3)，
所以－(x＋1)(2x－3)<0，即(x＋1)(2x－3)>0，
所以 x>32或 x<－1，
所以不等式的解集为x|x>32或x<－1.
栏目导引
第二章等式与不等式
(2)原不等式可化为23x－－41x－1>0，即34xx－－23<0. 等价于(3x－2)(4x－3)<0. 所以23<x<34. 所以原不等式的解集为x|23<x<34.

不等式的解法课件

f ( x)⋅ g ( x) ≤ 0 g ( x) ≠ 0
x − 2x − 8 3x − 1 ≥ 0 （2）（1） 2 ≥1 x + 2x − 3 2− x 2 x − 2x − 8 ≥0 解： 2 x + 2x − 3 ( x − 4 ) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x + 3 ) ⋅ ( x − 1) ≥ 0 ⇒ x ≠ 1且 x ≠ − 3
△≥0
b x≠− 2a
x< x1或x> x2
例1：解不等式4x2-4x +1>0 解不等式4
解: 由于4x2-4x+1=(2x-1)2≥0 4 故原不等式的解集为{ 故原不等式的解集为 x| x ≠ 1/2 }
例2：解不等式 x2 + 2x – 3 >0 ：解不等式解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 整理，因为△ 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根无实数根所以原不等式的解集为ф 所以原不等式的解集为
x2 −2 x
例4．解下列不等式：．
2
⇔
(x − 2) x < 0
∴ 原不等式的解集：0， ) ( 2
1 + x2 (2) log 2 x 1 + a < 0 2x > 1 0 < 2 x < 1 2 1+ x 2 log 或 1 + x2 < 0 ⇔ 1+ x 解： 2 x 1+ a <1 >1 0 < 1+ a 1+ a
f (x) ≥ 0 f (x) < g (x) ⇔ g (x) ≥ 0 2 f ( x ) < g ( x )

一元一次不等式(组)的解法课件(共22张PPT)

我们在初中已经知道，在上述问题情境列出的不等式中，未知数的个数是1，且它的次数为1，这样的整式不等式称为一元一次不等式．使不等式成立的未知数的值的集合，通常称为这个不等式的解集. 试一试：利用一元一次不等式解答本章导语中提到的问题（2）.
调动思维，探究新知在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
很多实际问题，通过设未知数列关系式，得到
的是一元一次不等式．上面解一元一次不等式的步骤对于任意一个一元一次不等式都有效．
巩固练习，提升素养在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 1.解不等式2x 1 x 2＞7x 1
32
解：由原不等式可得
数学
基础模块（上册）
第二章不等式
2.2.2 一元一次不等式（组）的解法
人民教育出版社
第二章不等式 2.2.2 一元一次不等式（组）的解法
学习目标
知识目标能力目标
理解一元一次不等式（组）概念及其解集的学习，掌握一元一次不等式（组）的解题方法
学生运用分组探讨、合作学习，掌握一元一次不等式（组）的解题方法，提高一元一次不等式（组）解决实际问题能力
12(x+1)+2(x-2)＞21x-6,（原式两边同乘以6)
12x+12+2x-4＞21x-6,
（分配律）
12x-14
（合并同类项）
x＜2.
（不等式的性质）
所以，原不等式的解集是{x丨x＜2}，即（- ,2).

不等式高次不等式和分式不等式的解法ppt

例子1
解析1
例子2
解析2
分式不等式的例子及解析
01
02
03
04
04
特殊类型不等式的解法
绝对值不等式具有一些特殊的性质，例如，如果$|a| > |b|$，那么$a^2 > b^2$。利用这些性质可以简化绝对值不等式的证明过程。
绝对值不等式的性质
绝对值不等式的解法一般采用零点分段法，即根据绝对值的定义将不等式转化为若干个不等式组，然后分别求解。
优化问题
热力学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述热力学中的某些不等关系，例如在热力学第二定律中，热量总是自发地从高温物体传导到低温物体。
力学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述两个物体之间的作用力和反作用力，例如在牛顿第三定律中，作用力和反作用力总是相等且方向相反。
电学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述电路中的电压和电流之间的关系，例如在欧姆定律中，电流与电压成正比，与电阻成反比。
高次不等式的例子及解析
例子1
解不等式x^2 - 4x + 4 > 0
解析
原不等式转化为(x-2)^2 > 0，利用平方差公式可得解集为{x|x≠2}。
例子2
解不等式x^3 - x^2 - 2x + 2> 0
03
分式不等式的解法
定义
分式不等式是一种含有未知数的不等式，其分子是一个多项式，分母是一个多项式或一个一次式。
分解因式
将高次不等式转化为几个一次不等式的积的形式，便于求解。
高次不等式的定义
高次不等式的解法公式
利用平方差公式或者完全平方公式将高次不等式转化为几个一次不等式的积的形式。

第4课不等式的解法(2)

解：(1)1－3x>0， 3x<1，x<13. 3x＋a<2，3x<2－a，x<2－3 a. ∴2－a＝1，∴a＝1.
(2)由①得 x<2－3 a，由②得 x<13. ∴2－3 a≤13，∴a≥1.
谢谢！
3. 求不等式x－3 3－6x－6 1＞－3 的正整数解．
解：6×x－3 3－6x－6 1＞－18， 2x－6－6x＋1＞－18，－4x＞－13， x＜143. ∴正整数解为 1，2，3.
4. 不等式3x＋4 13＞3x＋2 的解集是_x_＞__－__3__．
5. 求不等式2x－6 5≤3x＋4 1－23的非正整数解．
3．则已关知于关于x 的x 不的等不式等式bx(－3aa－＞20b)的x＜解a集－为4b_x的_>_1解_96_或集__是_x_<_1x9_＞6_．－23，
4．已知关于 x 的两个不等式：①3x＋2 a＜1；②1－3x＞0. (1)若两个不等式的解集相同，求 a 的值； (2)若不等式①的解都是不等式②的解，求 a 的取值范围．
∴x＋y＝3－5 m.
∵x＋y＞3，∴3－5 m＞3，∴m＜－12.
1．已知 a 为正整数，若关于 x，y 的二元一次方程组 3x＋y＝1＋a， x＋3y＝2－3a 的解满足 x＋y＞－1，求 a 的值．
3x＋y＝1＋a，① 解： x＋3y＝2－3a，② ①＋②得 4x＋4y＝3－2a，∴x＋y＝3－42a. ∵x＋y>－1，∴3－42a>－1，3－2a>－4，－2a>－7，∴a<72， ∵a 是正整数，∴a＝1 或 2 或 3.
解：3(x－3)＜x＋1， 6x－9＜x＋1， 6x－x＜1＋9， 5x＜10， x＜2.