最新两角和与差的三角函数练习题及答案
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.已知，，那么的值为________ ．【答案】【解析】因为=，所以===．【考点】角的配凑；两角差的正切公式2.的值为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由和差化积公式原式=．【考点】和差化积公式．3.已知函数，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由和差化积公式得，，即，可得，解得．【考点】1、和差化积；2、三角函数的取值．4.若为锐角，且sin＝，则sin的值为________．【答案】【解析】 sin＝，为锐角，故，cos=,，故答案为：.【考点】两角和的正弦公式；三角函数求值.5.函数是( )A．周期为的偶函数B．周期为2的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为2的奇函数【答案】【解析】利用余弦和差角公式,化简函数式有,所以周期为.又因为.【考点】余弦和差角公式;周期公式.6. .【答案】【解析】根据两角和的正切公式可得，所以，所以.【考点】两角和的正切公式.7.在中，已知．（1）求角的值；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）运用正余弦的二倍角公式将化简得到，结合，进而得到的值，从中可确定的值；（2）先由角的大小及的值，结合正弦定理得到，进而由三角形的内角和定理算出，再由两角和差公式算出的值，最后由三角形的面积计算公式即可求得的面积．试题解析：（1）因为，所以因为，所以，从而所以 6分（2）因为，，根据正弦定理得所以因为，所以所以△的面积 12分．【考点】1．正、余弦的二倍角公式；2．正弦定理；3．三角形的面积计算公式．8.= ．【答案】【解析】根据两角和的正弦公式：得：【考点】两角和的正弦公式9.为第二象限角，且，求的值.【答案】．【解析】先利用两角和与差的正弦函数和二倍角公式将待求式子化成只含有角的三角函数，再由三角函数的同角公式求出角余弦值，从而求出结果即可．试题解析：为第二象限角，且,．====．【考点】1、两角和与差的正弦函数; 2、二倍角公式；3、同角三角函数基本关系．10.已知，为第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）,; （2）,.【解析】（1）由同角间的基本关系式与的范围可得；（2）由两角和的正弦和倍角的正切公式展开可得.试题解析：解：（1），为第三象限角，； 3分； 6分由（1）得， 9分． 12分【考点】同角间的基本关系，两角和的正弦，倍角公式的正切公式.11. sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是 ( )A．B．C．－D．－【答案】C【解析】。
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。
6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。
7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。
8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。
9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。
两角和与差的三角函数 同步习题 高中数学新苏教版必修第二册(2022年)
10.1 两角和与差的三角函数一、单选题1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为（）A．12B．－12C D【答案】C【分析】根据两角差的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由cos56cos26sin56sin64cos56cos26sin56sin26+=+3cos(5626)cos302=-==.故选：C.2．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为（）A．3365B．－3365C．5465D．－5465【答案】A【分析】利用同角三角函数的平方关系以及两角差的余弦公式即可求解.【详解】∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝513⎛⎫-⎪⎝⎭×35＋1213×45＝3365.故选：A.3．已知点(P 是角α终边上一点，则cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．36+BC ．D ．36【答案】A【分析】由三角函数的定义可得sinα=3，cosα=3，再利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】解析：由题意可得，cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 6πcos α+sin 6πsinα=2× 3+12×336+=.故选：A4． sin 75︒︒+=（ ）A ． 2B ．1C ． D【答案】C【分析】直接利用辅助角公式及特殊角的三角函数计算可得；【详解】sin 75cos15︒︒︒︒+=+()12sin15cos152sin 15302sin 452222︒︒︒︒︒⎛⎫=+=+==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭故选：C5．已知cos α＝－35，α∈(,)2ππ，sin β＝－1213，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是（ ）A ．－3365B ．3365 C ．－6365 D ．－1665 【答案】C【分析】 先求出sin ,cos αβ，再利用差角的余弦公式求解.【详解】因为cos α＝－35，α∈(,)2ππ，所以4sin 5α==，因为sin β＝－1213，β是第四象限角，所以5cos 13β==. 则cos(β－α)＝cos βcos α＋sin αsin β＝513×(－35)＋(－1213)×45＝－6365. 故选：C【点睛】 易错点睛：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=求正弦和余弦时，要注意角的象限，决定“±”的取舍. 6．已知α∈（2π，π），sinα+cosα15=-，那么tan （α4π+）的值为（ ） A ．17- B ．17C ．﹣7D ．7 【答案】B【分析】由sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-，联立这两个方程解出sin α和cos α，进而求出tan α，再利用两角和的正切公式可求出结果.【详解】∵（sinα+cosα）2＝（15-）2125= ∴sin2α+2sinαcosα+cos2α＝1+2sinαcosα125=∴2sinαcosα2425=-， ∴1﹣2sinαcosα4925=，即（cosα﹣sinα）24925=∵α∈（2π，π），∴cos sin αα<， ∴cosα﹣sinα75=-， 联立1cos sin 57cos sin 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以3tan 4α=-， ∵tan （α4π+）3tan tan1tan 114431tan 71tan tan 144πααπαα+-++====--+. 故选：B.【点睛】关键点点睛：利用sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-是解题关键. 7．要得到函数()sin 2cos 26f x x x π=-+()的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】D【分析】 利用两角差的正弦、余弦公式化简()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象变换规律得出结论． 【详解】 函数()sin 2cos 26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12cos2cos22x x x =-+1cos 22cos 2cos 2263x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故将函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位，可得()f x 的图象， 故选：D ．8．已知实数a ，b 均不为零，sin cos tan cos sin a b a b ααβαα+=-，且6πβα-=，则b a等于（ ） AB．3 C． D．3-【答案】B【分析】 根据题设用ba 、tan α表示tan β即可.【详解】tan tan()6πβα=+tan tan tan 61tan tan 63πααπα++==- 又tan sin cos tan cos sin 1tan ba b ab a b aαααβααα++==--∴b a =故选:B.二、多选题9． (多选题)若[]440,2,sin sin cos cos 0,3333αααααπ∈+=则α的值是（）A ．6πB ．4πC ．2πD ．32π【答案】CD【分析】根据两角差的余弦公式，化简整理，结合α的范围，即可求得答案.【详解】 由已知得444cos cos sin sin cos cos 0333333ααααααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭又[]0,2απ∈， 所以2πα=或32πα=.故选：CD10．在ABC 中，给出下列四个式子，其中为常数的是( )A ．sin()sin ABC ++B ．cos()cos A BC ++ C ．sin(22)sin 2A B C ++D ．cos(22)cos 2A B C ++【答案】BC【分析】由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：在ABC 中，对于选项:sin()sin 2sin A A B C C ++=；对于选项:cos()cos cos cos 0B A B C C C ++=-+=；对于选项:sin(22)sin 2sin[2()]sin 2sin[2()]sin 2C A B C A B C C C π++=++=-+ sin(22)sin 2sin 2sin 20C C C C π=-+=-+=；对于选项:cos(22)cos 2cos[2()]cos 2cos[2()]cos 2D A B C A B C C C π++=++=-+cos(22)cos 2cos 2cos 22cos 2C C C C C π=-+=+=，故选：BC ．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式，属于基础题.11．在ABC 中，120C ︒=，tan tan A B +=）A ． 2ABC +=B ． tan()A B +=C ． tan tan A B =D ． cos B A =【答案】CD【分析】根据三角形的内角和定理和正切的和角公式推导可得选项.【详解】 120C ︒=，60A B ︒∴+=，2()A B C ∴+=，tan()A B ∴+=A ，B 错误；tan tan tan tan )A B A B +=-⋅=， 1tan tan 3A B ∴⋅=①，又tan tan A B +=联立①②解得tan tan 3A B ==，cos B A ∴=，故选项C ，D 正确， 故选：CD.【点睛】 本题考查正切的和角公式，三角形中的角之间的关系，属于基础题.12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +512π）﹣cos （ωx +512π）（0＜ω＜6）的图象关于直线x ＝1对称，则满足条件的ω的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．43πD ．73π 【答案】BC【分析】利用两角差的正弦公式得())6f x x πω=+，根据正弦函数的对称轴求出函数()f x 的对称轴x =k πω3πω+，k Z ∈，结合已知可得3k πωπ=+，k Z ∈，根据06ω<<可得ω=3π或43πω=.由此可得答案. 【详解】因为5()))1246f x x x πππωω=+-=+， 由62x k ωππ+=π+，k Z ∈， 因为06ω<<，所以x =k πω3πω+，k Z ∈， 由题意可得13k ππωω+=，k Z ∈，得3k πωπ=+，k Z ∈， 因为06ω<<，所以ω=3π或43πω=. 故选：BC.【点睛】本题考查了两角差的正弦公式，考查了正弦函数的对称轴，属于基础题.三、填空题13．求值：11tan12π=________.【答案】2-+【分析】利用诱导公式以及两角差的正切公式直接求解.【详解】111tan tan tan2121246ππππ⎛⎫=-=--==-+⎪⎝⎭故答案为：2-+14．已知α是锐角，sin α＝23，则cos(3π－α)＝________.【答案】6【分析】由正弦值根据角的范围求得余弦值，代入两角差余弦公式即可求得结果.【详解】因为α是锐角，2sin3α=，所以5cosα3，所以12cos cos cos sin sin33323πππααα⎛⎫-=+==⎪⎝⎭15．函数()()sinf x x x x R=∈的值域是________.【答案】[]22-,【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为()siny A x bωϕ=++，再根据正弦函数的有界性计算可得；【详解】解：()1sin 2sin 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[]sin 1,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以()[]2,2f x ∈-故答案为：[]22-,16．化简：sin 22cos 45sin 23cos 22sin 45sin 23︒︒︒︒︒︒+-＝________. 【答案】1【分析】 化简得原式为sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+--，再进一步化简即得解. 【详解】 原式＝sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+-- sin 45231cos 45cos 23cos ︒︒︒︒==. 故答案为：1【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.四、解答题17．计算：sin 57sin 27cos30cos 27︒-︒︒︒ 【答案】12【分析】直接利用两角和的正弦公式化简.【详解】由sin 57sin 27cos30sin(3027)sin 27cos30cos 27cos 27︒︒︒︒︒︒︒︒︒-+-= sin 30cos 27cos30sin 27sin 27cos30cos 27︒︒︒︒︒︒︒+-=． sin 30cos 271sin 30cos 272︒︒︒︒=== 18．证明：()sin cos a x b x x ϕ±=±，其中tan b a ϕ=. 【答案】证明见解析【分析】结合两角和的正弦以及三角函数的定义式直接证明.【详解】证明：（如图）sin cos a x b x x x ⎫±=⎪⎭)sin cos cos sin x x ϕϕ=±()x ϕ=±.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45.（1）求sin α的值；（2）求αβ+.【答案】（1）35；（2）2π. 【分析】（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出cos α、sin β、cos β的值，再计算()cos αβ+的值即可出αβ+的值.【详解】（1）因为点P 的为角α终边与单位圆的交点，且纵坐标为35， 将35y =代入221x y +=，因为α是锐角，0x > ，所以45x =，43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可得：3sin 5α=， （2）由3sin 5α=，α是锐角，可得4cos 5α=， 因为锐角β的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为45， 将45y =代入221x y +=，因为β是锐角，0x > ，可得35x =，34,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以4sin 5β=，3cos 5β=， 所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π， 所以2παβ+=. 20．已知312sin ,,,cos ,5213πααπββ⎛⎫=∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求 （1）cos α与sin β的值；（2）cos()αβ-．【答案】（1）4cos =5α-，5sin 13β=-；（2）3365 【分析】（1）根据平方关系计算即可得出cos α，sin β；（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α===-.又由12cos 13，β是第三象限角，得5sin 13β===-. （2）由（1）得4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P ⎛ ⎝⎭. （1）求sin α，()cos πα-；（2）若角β满足()1tan 3αβ-=，求()tan 2αβ-的值.【答案】（1）sin 5α=，cos()5πα-=；（2）1-. 【分析】 （1）利用三角函数的定义求sin α，cos α，对()cos πα-用诱导公式转化后求解；（2）由（1）先求出tan α，利用两角和的正切公式求出()tan 2αβ-.【详解】解：（1）∵P ⎛ ⎝⎭，∴||1OP ==∴sin α=，cos α=，∴cos()cos παα-=-=. （2）由（1）得：sin tan =2cos ααα∴[]tan(2)tan ()αβααβ-=+-()12tan tan()3111tan tan()123ααβααβ-++-===-----⨯. 即()tan 2=1αβ--【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2)利用三角公式求三角函数值的关键：根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 22．如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)Q ，当2()k k απβ≠+∈Z 时，以x 轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Q ββ．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．（附：平面上任意两点()111,P x y ，()222,P x y间的距离公式12PP=【答案】（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先构造向量()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，再利用数量积111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+-⎪⎝⎭，再结合两角差的余弦公式展开即得结论. 【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.证明：依题意，()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==， 则11cos cos sin sin OP OQ αβαβ⋅=+，11111,OP AQ POQ αβ==∠=- 故由111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠得，()cos cos sin sin 11cos αβαβαβ+=⨯⨯-，即cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，当()2k k απβ=+∈Z 时，容易证明上式仍然成立．故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立；（2）证明：由诱导公式可知，()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭. 而cos cos 22ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos cos sin αβαβ=-+，故[]sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=--+=-.即证结论.【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点.。
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.己知，则tan 2a=_________．【答案】【解析】由得，=，代入整理得，，解得=或=，当=时，=，所以=2，所以==；当=时，=-，所以=，所以==，综上所述，的值为．【考点】同角三角函数基本关系式，二倍角公式，分类整合思想2.在中，内角所对的边分别为，且（1）若，求的值;（2）若，且的面积，求和的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由及可得，而后由余弦定理可求的值;（2）由降幂公式又因为，最后解方程组可得和的值.解:（1）由题意可知：由余弦定理得：（2）由可得：化简得因为，所以由正弦定理可知：，又因，故由于，所以，从而，解得【考点】1、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式；2、正弦定理与余弦定理.3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求证：；（2）若，且，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）要求证角的范围，我们应该求出或的取值范围，已知条件是角的关系，首先变形（通分，应用三角公式）得，结合两角和与差的余弦公式，有，即，变形为，解得，所以有，也可由正弦定理得，再由余弦定理有，从而有，也能得到；（2）要求向量的模，一般通过求这个向量的平方来解决，而向量的平方可由向量的数量积计算得到，如，由及可得，由（1），于是可得，这样所要结论可求.（1）因为 2分所以,由正弦定理可得， 4分因为，所以，即 6分（2）因为，且，所以B不是最大角，所以． 8分所以，得，因而． 10分由余弦定理得，所以． 12分所以即 14分【考点】（1）三角恒等式与余弦定理；（2）向量的模.4.如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形,其中位于边上，位于边上.已知米，,设,记，当越大，则污水净化效果越好.(1)求关于的函数解析式，并求定义域；(2)求最大值，并指出等号成立条件？【答案】（1）；（2）时，取得最大值3．【解析】(1)我们只要求出两边，就能求出的面积，从图中易知在中，，在中，，由此；（2）由表达式可知，要求其最大值，必须把它转化为一个三角函数，且为一次的函数形式，即化为形式，，这样问题可利用正弦函数的性质解决．试题解析：（1）, +2分+4分+6分， +7分（2） +11分当时，即时 +13分答：当时，的最大值为3． +14分【考点】（1）三角形的面积；（2）三角函数的最值问题．5. sin2012°=（）A．sin32°B．﹣sin32°C．sin58°D．﹣sin58°【答案】B【解析】sin2012°=sin（5×360°+212°）=sin212°=sin（180°+32°）=﹣sin32°．故选B6.函数y=sin(+x)cos(-x)的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵sin(+x)cos(-x)=cosx(cos cosx+sin sinx)=cos2x+sinxcosx=(1+cos2x)+sin2x=+cos2x+sin2x=+(cos2x+sin2x)=+sin(2x+)∴函数y=sin(+x)cos(-x)的最大值为7.已知函数的最小正周期是．(1)求的单调递增区间；(2)求在[，]上的最大值和最小值．【答案】(1) ； (2)最大值、最小值【解析】(1)首先利用三角恒等变换将函数解析式化为，然后根据周期公式确定的值.最后利用正弦函数的单调性求出的单调递增区间(2)由试题解析：解：(1)＝ 3分最小正周期是所以，从而 5分令，解得 7分所以函数的单调递增区间为 8分(2)当时， 9分11分所以在上的最大值和最小值分别为、. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换；2、函数的性质；8.【答案】【解析】，．【考点】两角和与差的正切公式．9.求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．【答案】【解析】(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋＋sin10°·(cos10°－sin10°)＝(sin210°＋cos210°)＝.(解法2)设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x－y＝cos80°－cos20°－＝－sin50°－＝－cos40°－.因此2x＝，故x＝10.已知α＋β＝，则cos2α＋cos2β＋cosαcosβ＝________．【答案】【解析】原式＝＋cosαcosβ＝1＋(cos2α＋cos2β)＋cosαcosβ＝1＋cos(α＋β)cos(α－β)＋[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝1－cos(α－β)＋×＋cos(α－β)＝11.已知α、β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．【答案】【解析】∵ α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴＝1＋tan2(α－β)＝.∴ cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.又sinα＝，∴ cosα＝.∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝12.=（）A．4B．2C．D．【答案】D【解析】，故选D.【考点】1.倍角公式；2.两角差的正弦公式.13.△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若(2a＋c)·cos B＋b·cos C＝0，则B 的值为________．【答案】【解析】由正弦定理可将(2a＋c)cos B＋bcos C＝0转化为2sin A·cos B＋sin C·cos B＋sin Bcos C＝0，即2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0，得2sin Acos B＋sin A＝0，又由A为△ABC内角，可知sin A≠0，则cos B＝－，则B＝14.已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为()．A．B．C．D．或【答案】A【解析】依题意得sin β＝，cos β＝；注意到sin(α＋β)＝<sin β，因此有α＋β> (否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝.15.（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】1.两角和的正弦公式；2.特殊角函数值.16.已知．，其中、为锐角，且．（1）求的值；（2）若，求及的值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）要求的值，由于，因此我们寻找这两个积（或积的和），这只能应用唯一的已知条件，由两点间距离公式可得；（2）已知，要求，可直接利用公式，而要求，要注意灵活应用两角和与差的正弦与余弦公式，我们要把看作为，因此有，从而只要求出和，在求解过程中，的值是确定的，但的值是一确定的（有两解，至少在开始求解时是这样的），只是在求时，要舍去不符合题意的结论．试题解析：（1）由，得，得，得． 4分（2），． 6分， 10分当时，．当时，．为锐角， 14分【考点】（1）两点间的距离公式与两角差的余弦公式；（2）平方关系与两角差的余弦公式．17.已知则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴.【考点】两角和与差的正弦、余弦公式.18.已知圆O的半径为R(R为常数),它的内接三角形ABC满足成立,其中分别为的对边,求三角形ABC面积S的最大值.【答案】【解析】本题主要考查解三角形中的正弦定理余弦定理的应用以及运用倍角公式、两角和与差的正弦公式等三角公式进行三角变换的能力和利用三角形面积求最值，考查基本运算能力.先利用正弦定理将角换成边，再利用余弦定理求出，得到特殊角的值，利用三角形面积公式列出表达式，利用正弦定理将边换成角，将用表示，利用两角和与差的正弦公式、倍角公式化简表达式，求三角函数的最值.试题解析：由,由正弦定理得代入得,由余弦定理---6分所以=当且仅当时, 12分【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.两角和与差的正弦公式；4.三角形面积公式；5.三角函数最值.19.函数的最小正周期为．【答案】【解析】由，得函数的最小正周期为.【考点】三角函数的周期.20.（本小题满分12分）在中,角的对边分别为且,bsin（+C）－c sin （+B）="a" ，(1)求证：(2)若,求的面积.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】（1）利用正弦定理，把已知等式中的边转化为相应角的正弦表示，然后利用两角和的余弦公式展开整理，再利用两角和的余弦公式可得到，解之即可；（2）首先求出三个内角，然后根据正弦定理求出边b和c，最后由三角形面积公式求解即可.试题解析：(1)由及正弦定理得:,即整理得:,所以,又所以(2) 由(1)及可得,又所以, 所以三角形ABC的面积【考点】1.两角和差公式；2.正弦定理；3.三角形的面积公式.21.已知，且，，则______．【答案】【解析】由，，得，所以，又由，知.【考点】同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数.22.设是方程的两个根，则的值为A．-3B．-1C．1D．3【答案】A【解析】因为是方程的两个根，所以由二次方程根与系数的关系可以得到，所以【考点】本题主要考查二次方程的根与系数的关系，以及两角和的正切公式。
两角和与差练习题(供参考)
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+A ．1318B ．322C ．1322D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝⎫⎭⎪232则等于A ．-12B ．-32C ．12D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=；8、已知=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ；12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 两角和与差练习题一、选择题：2．已知)2,0(πα∈,sin(6πα+)=53,则cos α的值为( )A ．－10334+ B ．10343- C ．10334- D ．10334+7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ( )A ．－235 B.235 C ．－45 D.458.f(x)＝sinx cosx1＋sinx ＋cosx 的值域为( )A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1)B ．[－2－12,―1] ∪(―1, 2－12)C ．(－3－12,3－12)D ．[－2－12,2－12]解析：令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[―2,―1]∪(―1, 2)． 则f(x)＝t 2－121＋t ＝t －12∈[－2－12,―1]∪(―1, 2－12)．B9 .sin()cos()cos()θθθ+︒++︒-+︒7545315的值等于（ ） A. ±1B. 1C. -1D. 010．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m有意义，则m 的取值范围是( ) A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]11、已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8γ=，则αβγ++的值（ ） Ａ．π6Ｂ．π4Ｃ．π3Ｄ．5π412．已知α,β是锐角，sin α=x,cos β=y,cos(α+β)=－53，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y=－5321x -+54x (53<x<1) B ．y=－5321x -+54x (0<x<1)C ．y=－5321x -－54x (0<x<53)D ．y=－5321x -－54x (0<x<1)13、若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2 C1 D2 15. 设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=016.若()1cos 3A B -=, 则()()22cos cos sin sin B A B A +++的值是（ ）A. 83-B . 83 C. 73D. 5317. 若()()17tan 411tan 4=-+βα,则()βα-tan 的值为（ ） A. 14 B. 12C . 4 D. 1218. 已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是 （ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a19．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21B ．22C ．22-D ．22±21．已知tan α,tan β是方程x 2+4=0的两根,且2π-<α<2π,2π-<β<2π,则α+β等于 （ ）A ．23π- B ．3π C ．3π或23π- D ．－3π或23π22．如果sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα等于（ ）Ａ．m n m n -+ Ｂ．m nm n+- Ｃ．n mn m-+ Ｄ．n mn m+-23．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形24．在ABC ∆中,若3tan =C , 且()B B B A sin 120cos cos sin 0-=,则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B.等腰但非直角三角形C. 等腰直角三角形 D . 等边三角形25．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值（ ） Ａ．不大于1 Ｂ．小于1 Ｃ．等于1 Ｄ．大于126．在ABC △中，90C >，sin E C =，sin sin F A B =+，cos cos G A B =+，则E F G ，，之间的大小关系为（ ） Ａ．G F E >> Ｂ．E F G >>Ｃ．F E G >> Ｄ．F G E >>27.ABC ∆中，若135cos ,53in ==B A s ，则C cos 的值是（ ） Ａ。
高三数学两角和与差的三角函数试题
高三数学两角和与差的三角函数试题1.若sin＝，则cos＝________.【答案】－【解析】cos＝cos＝－sin＝－.2.设，且．则的值为．【答案】【解析】由题意，又，∴且，由于，且，∴，∴，∴.【考点】三角函数的恒等变形与求值.3.已知函数f(x)＝cos，x∈R.(1)求f的值；(2)若cos θ＝，θ∈，求f.【答案】（1）1 （2）【解析】(1)因为f(x)＝cos，所以f＝cos＝cos＝cos ＝×＝1.(2)因为θ∈，cos θ＝，所以sin θ＝－＝－＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－，sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.所以f＝cos＝cos＝×＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝.4.若，则=（）A．B．C．D．【答案】（C）【解析】由所以.故选（C）.【考点】1.角的和差公式.2.解方程的思想.5.正方形和内接于同一个直角三角形中，如图所示，设，若，，则 .【答案】【解析】依题意可得，所以，,所以.所以，所以即.，所以.即可得.即.令.则.所以可得.解得或（由于，所以舍去.），所以.【考点】1.解三角形的知识.2.三角形相似的判定与性质.3.三角的运算.6.已知，，则．【答案】3【解析】因为，所以【考点】两角和的正切公式7.【答案】【解析】，．【考点】两角和与差的正切公式．8.已知，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以.【考点】两角和与差正切9.已知，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以.【考点】两角和与差正切10.已知α∈，tanα＝，求：(1)tan2α的值；(2)sin的值．【答案】（1）（2）【解析】(1)因为tanα＝，所以tan2α＝.(2)因为α∈，所以2α∈(0，π)．又tan2α>0，所以sin2α＝，cos2α＝.所以sin＝sin2αcos＋cos2αsin.11.已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β.【答案】β＝【解析】∵ 0＜β＜α＜，∴ 0＜α－β＜.又cos(α－β)＝，∴ sin(α－β)＝，∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.又0＜β＜，∴ β＝12.已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________．【答案】1【解析】∵tanβ＝，∴tanβ＝＝tan .又∵α、β均为锐角，∴β＝－α，即α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1.13.如图所示，角A为钝角，且sin A＝，点P，Q分别是在角A的两边上不同于点A的动点．(1)若AP＝5，PQ＝3，求AQ的长；(2)若∠APQ＝α，∠AQP＝β，且cos α＝，求sin(2α＋β)的值．【答案】（1）2.（2）【解析】∵角A是钝角，sin A＝，∴cos A＝－.(1)在△APQ中，由余弦定理得PQ2＝AP2＋AQ2－2AP·AQ cos A，所以AQ2＋8AQ－20＝0，解得AQ＝2或－10(舍去负值)，所以AQ＝2.(2)由cos α＝，得sin α＝，在△APQ中，α＋β＋A＝π，得sin(α＋β)＝sin(π－A)＝sin A＝，cos(α＋β)＝－cos A＝，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝×＋×＝.14.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－(x)＝，【解析】f(x)＝sin(x－φ)，则fmax依题意sin θ－2cos θ＝，即sin θ＝＋2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得(cos θ＋2)2＝0.∴cos θ＝－.15.若α，β∈(0，π)，cos α＝－，tan β＝－，则α＋2β＝________.【答案】【解析】由条件得α∈，β∈，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－，tan β＝－，所以tan 2β＝＝－，tan(α＋2β)＝＝－1，所以α＋2β＝.16.已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由易得，代入式子中可约去为求出其值；（2）先求出，再对两边平方化简可得关于和的关系式，联立正弦余弦的平方关系解方程组可得和的值，代入的展开式，就可求出其值.试题解析：⑴由可知，，所以， 2分所以． 6分（2）由可得，，即，① 10分又，且②，由①②可解得，， 12分所以． 14分【考点】向量的数量积、模的计算，同角三角函数的关系、两角和与差的正弦.17.已知．，其中、为锐角，且．（1）求的值；（2）若，求及的值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）要求的值，由于，因此我们寻找这两个积（或积的和），这只能应用唯一的已知条件，由两点间距离公式可得；（2）已知，要求，可直接利用公式，而要求，要注意灵活应用两角和与差的正弦与余弦公式，我们要把看作为，因此有，从而只要求出和，在求解过程中，的值是确定的，但的值是一确定的（有两解，至少在开始求解时是这样的），只是在求时，要舍去不符合题意的结论．试题解析：（1）由，得，得，得． 4分（2），． 6分， 10分当时，．当时，．为锐角， 14分【考点】（1）两点间的距离公式与两角差的余弦公式；（2）平方关系与两角差的余弦公式．18.函数的最小正周期为．【答案】【解析】由，得函数的最小正周期为.【考点】三角函数的周期.19.在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．（1）求角的大小；（2）设，求T的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理将边转化为角进行化简，然后借助内角和定理和两角和的正弦公式求解B；（2）利用降幂公式和第一问的结论，将条件中的三个角变成一个角A表示T,然后借助角A的范围，利用正弦函数的图像和整体思想求解T的取值范围．试题解析：（1）在△ABC中，， 3分因为，所以，所以， 5分因为，所以，因为，所以． 7分（2）11分因为，所以，故，因此，所以． 14分【考点】1.正，余弦定理；2.两角和与差的三角函数．20.（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若、，求．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】本试题主要爱是考查了解三角形的运用。
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.若，那么（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】，．【考点】两角差的正切公式．2.；【答案】.【解析】把原式提取即，然后利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简得原式．【考点】两角和与差的正弦函数．3.在中，角的对边分别为，（1）若，求的值；（2）设，当取最大值时求的值。
【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用二倍角公式，化简方程，可得B，利用余弦定理，可求c的值；（2）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，结合A的范围，即可得t取最大值时求A的值．试题解析：解：∵∴∴，即B= （3分）（1）由即∴（5分）当时，＜＜,C＜A＜B=与三角形内角和定理矛盾，应舍去，∴（7分）（2）（10分）∵A∈（0，），∴∈，）即∈，1]当=，即A=时，（12分）【考点】1．二倍角的余弦；2．两角和与差的正弦函数；3．余弦定理．4.若，则 __________ ．【答案】【解析】,根据,,代入上式，得到原式=2.【考点】两角和的正切公式的应用5.若,则________.【答案】【解析】∵,∴＝＝＝＝．【考点】1、两角和与差的余弦函数；2、二倍角的余弦．6.为第二象限角，且，求的值.【答案】．【解析】先利用两角和与差的正弦函数和二倍角公式将待求式子化成只含有角的三角函数，再由三角函数的同角公式求出角余弦值，从而求出结果即可．试题解析：为第二象限角，且,．====．【考点】1、两角和与差的正弦函数; 2、二倍角公式；3、同角三角函数基本关系．7.若均为锐角，且，则的大小关系为（）A．B．C．D．不确定【答案】Ｂ【解析】因为由，联系已知有，又均为锐角，故，即，均为锐角，所以【考点】两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性8.求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在上的单调递增区间.【答案】函数最小正周期是；最小值是-2；单增区间是【解析】利用同角函数的基本关系式、辅助角公式先把函数化简成为的形式，再根据三角函数的性质求解.试题解析：故该函数最小正周期是；最小值是-2；单增区间是 .【考点】本题考查同角函数的基本关系式、辅助角公式，三角函数的周期性、最值性、单调性.9.（1）求值：；（2）已知求的值．【答案】（1），（2）.【解析】（1）原式有弦又有切，先＂切化弦＂，在括号内通分，对分子利用配角公式化为，再根据诱导公式及倍角公式化简求值，本小题难点在于多个公式的综合运用，需对公式的结构有深刻的理解.本题还有解法二：利用，原式这样可避开运用配角公式，（2）本题关键在于角的变换，只要看出就可实现条件角向目标角的转化，本题如对条件简单展开，就会陷入迷茫.在三角函数解题中，尤其注重对角的分析，这是考核的重点.试题解析：（1）原式7分（2）由已知，得，13分【考点】两角和与差正弦公式，配角公式.10.下列等式中恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由两角和与差的三角函数公式，，正确，共线D。
(完整版)两角和与差的三角函数测试题
两角和与差的三角函数测试题1． =+-)12sin 12)(cos 12sin12(cosππππ（ ）A ．23- B ．21- C ．21 D ．23 2． 若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =（ ）A ．97- B ．31- C ．31 D ．97 3．已知sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+为（ ） ()4A π()4B π或34π ()34C π()D 非以上答案 4． 设0000sin15cos15,sin16cos16,a b =+=+则下列各式正确的是（ ）()()()()22222222,,2222a b a b a b a b A a b B a b C b a D b a ++++<<<<<<<< 5． 已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为（ ） A 、725 B 、18C 、725-D 、1825-6． 11080sin sin -o o 的值是（ ）A 、1 B 、2 C 、4 D 、147． 已知35sin ,αα=是第二象限角，且1tan()αβ+=，则tan β的值为（ ）A 、－7B 、7C 、34-D 、348． “()tan 0αβ+=”是“tan tan 0αβ+=”的（ ）(A)充分必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9． 函数y=sinxcosx+3cos 2x －23的最小正周期是（ ）A ．π B ．2π C ．4πD ．2π 10． 函数f(x) =x xx cos cos 3cos -的值域为（ ）A ．[0,4] B ．[)0,4- C ．[－4,0] D ．(]0,4-11． 已知tan(α+β) =53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4π)为（ ）A ．1813B ．2313 C ．227 D ．18312． 已知函数f(x)=2asin 2x －23sinxcosx+a+b(a<0)的定义域是]2,0[π,值域为[5,1]-,则a 、b 值分别为（ ） A ．a=2, b=－5 B ．a ＝－2,b=2 C ．a=－2, b=1 D ．a=1,b=－213． 已知14462sin(x )sin(x ),x (,)ππππ+-=∈，则4sin x = 。
4.5-两角和与差的正弦、余弦、正切练习题
§4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切一、选择题1.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.12C.2解析 原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A. 答案 A2.已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－22解析：由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α＋sin α) 由α为锐角知cos α＋sin α≠0. ∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝12. ∴sin 2α＝12.答案：A3．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )．A.724 B ．－724 C.247 D ．－247 解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45.∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34.∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案 D4．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ ( )． A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析 由α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4. 答案 A 5．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )． A.33B ．－33 C.539D ．－69解析 对于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，而π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.答案 C6．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为( )A.45 B ．－237 C ．－247 D ．－83解析 由sin (π＋α)＝－35，得sin α＝35，又α是第二象限角，故cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝－34，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案 C7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )．A ．－235 B.236 C ．－45 D.45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案 C 二、填空题8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223.故cos α＝cos [⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝13×22＋223×22＝4＋26.答案：4＋269．化简[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°的结果是________．解析 原式＝2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2sin 80°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋2sin 10°·cos －cos 10°·2cos 10° ＝22(sin 50°cos 10°＋sin 10°cos 50°)＝22sin 60°＝ 6. 答案 610．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________． 解析 法一 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3， 解得tan θ＝12.∵sin 2θ－2cos 2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2 θ－1－tan 2 θ1＋tan 2 θ－1 ＝45－35－1＝－45. 法二 sin 2θ－2cos 2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2 θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ－1＝－1－tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ1＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ1＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝－1－91＋9－2×31＋9－1＝－45.答案 －4511．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．解析 ∵f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )min ＝1－ 2. 答案 1－ 212．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.解析 由已知，得cos αcos β－sin αsin β＝15，cos αcos β＋sin αsinβ＝35，则有cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，sin αsin βcos αcos β＝12，即tan αtanβ＝12.答案12三、解答题13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求1－tan x 1＋tan x .解析 ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴π4＋x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－1213，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－512，∴1－tan x1＋tan x＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－125. 14．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x ∈R.(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解析 (1)f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx ，当ω＝12时，f(x)＝sin x 2－cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，而－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4≤1，所以f(x)的最大值为2，此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x的集合为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝3π2＋4k π，k ∈Z .(2)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，所以，x ＝π8是f (x )的一个零点⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π.15．在△ABC 中，A 、B 、C 为三个内角，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2＋3cos 2B－2cos B .(1)若f (B )＝2，求角B ；(2)若f (B )－m ＞2恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)f (B )＝4cos B ×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B 2＋3cos 2B －2cos B＝2cos B (1＋sin B )＋3cos 2B －2cos B ＝2cos B sin B ＋3cos 2B＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3.∵f (B )＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝2，π3＜2B ＋π3＜73π，∴2B ＋π3＝π2.∴B ＝π12. (2)f (B )－m ＞2恒成立，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＞2＋m 恒成立．∵0＜B ＜π，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3∈[－2,2]，∴2＋m ＜－2.∴m ＜－4.16． (1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β)．解析 (1)证明 ①如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox 轴非负半轴，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3，角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.②由①易得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α. sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin(－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan β＝－13，∴cos β＝－31010，sin β＝1010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1010＝31010.。
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.已知0<α<π，sin 2α＝sin α，则tan＝________.【答案】－2－【解析】由sin 2α＝sinα，可得2sin αcos α＝sin α，又0<α<π，所以cos α＝.故sin α＝，tan α＝.所以tan＝＝＝－2－.2.函数y=sin(+x)cos(-x)的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵sin(+x)cos(-x)=cosx(cos cosx+sin sinx)=cos2x+sinxcosx=(1+cos2x)+sin2x=+cos2x+sin2x=+(cos2x+sin2x)=+sin(2x+)∴函数y=sin(+x)cos(-x)的最大值为3.在中，.(1)求的值；(2)求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理进行边角转化.由正弦定理得：，.（2）由（1）及条件知三角形三边，故用余弦定理求角. 由，得，由同角三角函数关系，可得，再由二倍角公式得到，，因此=.试题解析：（1）因为 ,（2）=所以 ,【考点】正余弦定理, 同角三角函数关系, 二倍角公式4.已知，，则．【答案】3【解析】因为，所以【考点】两角和的正切公式5.已知，，则．【答案】3【解析】因为，所以【考点】两角和的正切公式6.已知向量，，，函数.（1）求函数的表达式；（2）求的值；（3）若，，求的值.【答案】(1) (2) (3)【解析】(1)利用两向量内积的坐标计算公式(两向量的横纵坐标对应相乘再相加)即可得到的函数解析式.(2)由(1)可得的函数解析式,把带入函数即可得到的值.(3)把等式带入,利用诱导公式(奇变偶不变符号看象限)化简等式即可得到的值,正余弦的关系即可求出的值,再把带入函数即可得到,再利用和差角和倍角公式展开并把的值带入即可得到的值.试题解析：（1）∵，，，∴，即函数. （3分）（2）（6分）（3）∵，又，∴，即. （7分）∵，∴. （8分）∴，（9分）. （10分）∴（11分）. （12分）【考点】正余弦和差角与倍角公式诱导公式内积公式7.若sinα＝，sinβ＝，且α、β为锐角，则α＋β的值为__________．【答案】【解析】(解法1)依题意有cosα＝＝，cosβ＝＝，∴cos(α＋β)＝＞0.∵α、β都是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.(解法2)∵α、β都是锐角，且sinα＝＜，sinβ＝＜，∴ 0＜α，β＜，0＜α＋β＜，∴cosα＝＝，cosβ＝＝，sin(α＋β)＝.∴α＋β＝.8.已知0＜β＜＜α＜π，cos(－α)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．【答案】【解析】∵＜α＜，∴－＜－α＜－，∴－＜－α＜0.又cos(－α)＝，∴ sin(－α)＝－.∵ 0＜β＜，∴＜＋β＜π.又sin(＋β)＝，∴ cos(＋β)＝－.∴sin(α＋β)＝－cos ＝－cos[(＋β)－(－α)]＝－cos cos－sin(＋β)·sin＝9.已知α、β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．【答案】【解析】∵ α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴＝1＋tan2(α－β)＝.∴ cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.又sinα＝，∴ cosα＝.∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝10.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－(x)＝，【解析】f(x)＝sin(x－φ)，则fmax依题意sin θ－2cos θ＝，即sin θ＝＋2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得(cos θ＋2)2＝0.∴cos θ＝－.11.如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.(1)求·＋S的最大值；(2)若CB∥OP，求sin的值．【答案】（1）＋1（2）【解析】(1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cos θ，sin θ)，因为四边形OAQP是平行四边形，所以＝＋＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)．所以·＝1＋cos θ.又平行四边形OAQP的面积为S＝||·| |sin θ＝sin θ，所以·＋S＝1＋cos θ＋sin θ＝sin ＋1.又0<θ<π，所以当θ＝时，·＋S的最大值为＋1.(2)由题意，知＝(2,1)，＝(cos θ，sin θ)，因为CB∥OP，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos2θ＋sin2θ＝1，解得sin θ＝，cos θ＝，所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝.所以sin＝sin 2θcos－cos 2θsin＝×－×＝.12.若α，β∈(0，π)，cos α＝－，tan β＝－，则α＋2β＝________.【答案】【解析】由条件得α∈，β∈，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－，tan β＝－，所以tan 2β＝＝－，tan(α＋2β)＝＝－1，所以α＋2β＝.13.求证：(1)(2)【答案】证明见解析．【解析】三角恒等式的证明也遵循从繁化简的原则，当然三角函数还有函数名称的转化与角的转化．(1)本题从左向右变化，首先把左边分子用两角差的正弦公式展开，就能证明，当然也可从右向左转化(切化弦)，；(2)这个证明要求我们善于联想，首先左边的和怎么求？能否变为两数的差(利用裂项相消的思想方法)？这个想法实际上在第(1)小题已经为我们做了，只要乘以(因为每个分母上的两角的差都是)，每个分式都化为两数的差，而且恰好能够前后项相消．试题解析：证明：（1） 3分6分（2）由（1）得（） 8分可得10分12分即. 14分【考点】两角差的正弦公式，同角三角函数关系．14.若对∀a∈(－∞，0)，∃θ∈R，使asin θ≤a成立，则cos的值为 ()．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵asin θ≤a⇔a(sin θ－1)≤0，依题意，得∀a∈(－∞，0)，有asin θ≤a.∴sin θ－1≥0，则sin θ≥1.又－1≤sin θ≤1，因此sin θ＝1，cos θ＝0.故cos＝sin θsin＋cos θcos＝.15.已知向量，，函数（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）在中，设角，的对边分别为，若，且，求角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由向量数量积的定义只需将其化为一个角的三角函数就能求出的最大值.（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果和正弦定理：,又 ,所以，，由以上两式即可解出,.试题解析：（Ⅰ） 2分4分（注：也可以化为）所以的最大值为． 6分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）（Ⅱ）因为，由（1）和正弦定理，得． 7分又，所以，即， 9分而是三角形的内角，所以，故，， 11分所以，，． 12分【考点】1.正弦定理；2、两角和与差的在角函数公式、倍角公式；3、三角函数的性质.16.已知是方程的两根，则=_______.【答案】1【解析】本题考查两角和的正切公式，，而与可由韦达定理得．【考点】韦达定理与两角和的正切公式．17.在中，角的对边分别为，已知：，且．（Ⅰ）若，求边；（Ⅱ）若，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先由条件用和差公式化简，再根据三角形内角范围得到角.再由得到角，最后由正弦定理得到；（Ⅱ）先由余弦定理及条件得到，又因为，从而可知为直角三角形，其中角为直角.又，所以.既而得到三角形的面积.试题解析：（Ⅰ）由已知，所以，故，解得. (4分)由，且，得.由，即，解得. (7分)（Ⅱ）因为，所以，解得. (10分)由此得，故为直角三角形.其面积. (12分)【考点】1.两角和差公式；2.正弦定理；3.余弦定理.18.设向量，，其中，若，则.【答案】【解析】两边平方化简得，，又，是单位向量，所以即，又，所以.【考点】三角函数、平面向量.19.如图,在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点,作扇形的内接矩形,使点在上,点在上,设矩形的面积为.(Ⅰ) 按下列要求写出函数关系式：①设,将表示成的函数关系式；②设,将表示成的函数关系式.(Ⅱ) 请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,求的最大值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）①要用表示矩形的面积，关键是把用表示，在中可表示出，在中可表示出，即得；②在中，可用表示和，在在中可用即表示出，即得；（Ⅱ）对（Ⅰ）中函数，是常见的函数或三角函数问题，较为容易解答，求出其最大值.试题解析：(Ⅰ) ①因为,所以,又,所以 2分故() 4分②当时, ,则,又,所以6分故() 8分(Ⅱ)由②得= 12分故当时,取得最大值为 15分【考点】函数的应用、三角函数.20.设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且.(1)求角的值；(2)若，求（其中）.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得，又为锐角，所以；(2)由可得，即，然后利用余弦定理得的另一个关系，从而解出.试题解析：(1)因为，所以，又为锐角，所以.(2)由可得①由（1）知，所以②由余弦定理知，将及①代入，得③③+②×2，得，所以因此，是一元二次方程的两个根.解此方程并由知.【考点】两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理.21.，，则的值为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，则.【考点】两角和与差的正余弦公式.22.设是方程的两个根，则的值为A．-3B．-1C．1D．3【答案】A【解析】因为是方程的两个根，所以由二次方程根与系数的关系可以得到，所以【考点】本题主要考查二次方程的根与系数的关系，以及两角和的正切公式。
高三数学两角和与差的三角函数试题
高三数学两角和与差的三角函数试题1.在△ABC中，己知，sinB= sinCcos，又△ABC的面积为6(Ⅰ)求△ABC的三边长；(Ⅱ)若D为BC边上的一点，且CD=1，求．【答案】(Ⅰ) 3，4，5；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由及sinB= sinCcos得sinCcos= =，所以=0，因为，所以，所以，由平面向量数量积及三角形面积公式即可求出tanA的值，在Rt△ACB中，tanA=，求出，代入三角形面积公式求出，利用勾股定理求出c；(Ⅱ)由(Ⅰ)知tan∠BAC=，由三角函数定义知tan∠DAC=，利用两角差的正切公式可求得tan∠BAD．试题解析：(Ⅰ)设三边分别为∵，∴sin（A+C）=sinCcosA，化为sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA，∴sinAcosC=0，可得又两式相除可得令则三边长分别为3，4，5，（8分）(Ⅱ)由(Ⅰ)知tan∠BAC=，由三角函数定义知tan∠DAC=，所以tan=tan(∠BAC-∠DAC)=== (12分)【考点】三角变换，平面向量数量积，三角形面积公式，运算求解能力2.函数y=sin(+x)cos(-x)的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵sin(+x)cos(-x)=cosx(cos cosx+sin sinx)=cos2x+sinxcosx=(1+cos2x)+sin2x=+cos2x+sin2x=+(cos2x+sin2x)=+sin(2x+)∴函数y=sin(+x)cos(-x)的最大值为3.已知函数的最小正周期是．(1)求的单调递增区间；(2)求在[，]上的最大值和最小值．【答案】(1) ； (2)最大值、最小值【解析】(1)首先利用三角恒等变换将函数解析式化为，然后根据周期公式确定的值.最后利用正弦函数的单调性求出的单调递增区间(2)由试题解析：解：(1)＝ 3分最小正周期是所以，从而 5分令，解得 7分所以函数的单调递增区间为 8分(2)当时， 9分11分所以在上的最大值和最小值分别为、. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换；2、函数的性质；4. sin75°cos30°－sin15°sin150°＝__________．【答案】【解析】sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°·sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝5.已知tan(α＋β)＝，tan β＝－，则tan α＝________.【答案】1【解析】tan α＝tan[(α＋β)－β]＝＝1.6.已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由易得，代入式子中可约去为求出其值；（2）先求出，再对两边平方化简可得关于和的关系式，联立正弦余弦的平方关系解方程组可得和的值，代入的展开式，就可求出其值.试题解析：⑴由可知，，所以， 2分所以． 6分（2）由可得，，即，① 10分又，且②，由①②可解得，， 12分所以． 14分【考点】向量的数量积、模的计算，同角三角函数的关系、两角和与差的正弦.7.已知函数f(x)＝2cos2x―sin(2x―).（Ⅰ）求函数的最大值，并写出取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f(A)＝,b＋c＝2，求实数a的最小值。
高中数学两角和与差的三角函数精选题
两角和与差的三角函数精选题一．选择题（共7小题）1．sin 20co s 10co s 160sin 10(︒︒-︒︒= )A ．2-B 2C ．12-D ．122．若1ta n 3α=，1ta n ()2αβ+=，则ta n (β=)A ．17B ．16C ．57D ．563．若()co s sin f x x x=-在[0，]a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．4πB ．2πC ．34πD ．π 4．若()co s sin f x x x=-在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．4πB ．2πC ．34πD ．π5．若s i n25α=，s in ()10βα-=，且[4πα∈，]π，[βπ∈，3]2π，则αβ+的值是()A ．74πB ．94πC ．54π或74π D ．54π或94π6．已知2ta n ta n ()74πθθ-+=，则ta n (θ=)A ．2-B ．1-C ．1D ．27．s in 47s in 17c o s 30(c o s 17︒-︒︒=︒)A ．2-B ．12- C ．12D 2二．填空题（共13小题） 8．已知sin co s 1αβ+=，co s sin 0αβ+=，则sin ()αβ+=．9．已知(0,)2πα∈，ta n 2α=，则c o s ()4πα-=．10．设当x θ=时，函数()sin 2co s f x x x=-取得最大值，则c o s θ=．11．已知θ是第四象限角，且3s in ()45πθ+=，则ta n ()4πθ-=．12．已知ta n 2α=-，1ta n ()7αβ+=，则tan β的值为 ．13．设θ为第二象限角，若1ta n ()42πθ+=，则s in c o s θθ+=．14．函数2()sin sin c o s 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是 ．15．在平面直角坐标系x O y 中，角α与角β均以O x 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1s in 3α=，则c o s()αβ-=．16．已知α为锐角，且3c o s ()45πα+=，则s in α=．17．设a ，b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()c o s g x b x=+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b += ．18．设()c o s 3f x x x=+，若对任意实数x 都有|()|f x a…，则实数a 的取值范围是 ．19．已知α为第三象限的角，3c o s 25α=-，则ta n (2)4πα+=．20．已知11s in s in ,c o s c o s 32αβαβ-=-+=，则c o s()αβ+=．三．解答题（共5小题）21．已知函数()in ()(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<…的图象关于直线3xπ=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）若2())2463f αππα=<<，求3c o s ()2πα+的值．22．已知ta n 2α=． （1）求ta n ()4πα+的值；（2）求2sin 2sin sin c o s c o s 21ααααα+-- 的值．23．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5-．（Ⅰ）求sin ()απ+的值；（Ⅱ）若角β满足5s in ()13αβ+=，求co s β的值．24．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知ab>，5a=，6c=，3s in 5B =．（Ⅰ）求b 和s in A的值；（Ⅱ）求s in (2)4A π+的值．25．设常数a R∈，函数2()sin 22c o s f x a x x=+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=+，求方程()1f x =-在区间[π-，]π上的解．两角和与差的三角函数精选题25道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．sin 20co s 10co s 160sin 10(︒︒-︒︒= )A．2-B2C ．12-D ．12【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【解答】解：s in 20c o s 10c o s 160s in 10︒︒-︒︒s in 20c o s 10c o s 20s in 10=︒︒+︒︒s in 30=︒12=．故选：D ．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查． 2．若1ta n 3α=，1ta n ()2αβ+=，则ta n (β=)A ．17B ．16C ．57D ．56【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tan tan [()]βαβα=+-的值．【解答】解：1ta n3α=，1ta n ()2αβ+=，则11ta n ()ta n 123ta n ta n [()]111ta n ()ta n 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选：A ．【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题． 3．若()co s sin f x x x=-在[0，]a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【分析】利用两角和差的正弦公式化简()f x ，由22242k x k πππππ-+-+剟，kZ∈，得32244k xk ππππ-++剟，kZ∈，取0k=，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，结合已知条件即可求出a 的最大值．【解答】解：()c o s sin (sin c o s )()4f x x x x x x π=-=--=--，由22242k x k πππππ-+-+剟，kZ∈，得32244k x k ππππ-++剟，kZ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[0，]a 是减函数， 得34a π…．则a 的最大值是34π．故选：C ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题． 4．若()co s sin f x x x=-在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【分析】利用两角和差的正弦公式化简()f x ，由22242k x k πππππ-+-+剟，kZ∈，得32244k xk ππππ-++剟，kZ∈，取0k=，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，结合已知条件即可求出a 的最大值． 【解答】解：()c o s sin (sin c o s )()4f x x x x x x π=-=--=--，由22242k x k πππππ-+-+剟，kZ∈，得32244k x k ππππ-++剟，kZ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[a -，]a 是减函数，得434a a ππ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩……，∴4a π…．则a 的最大值是4π．故选：A ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．5．若s i n25α=，s in ()10βα-=，且[4πα∈，]π，[βπ∈，3]2π，则αβ+的值是()A ．74π B ．94π C ．54π或74π D ．54π或94π【分析】依题意，可求得[4πα∈，]2π，2[2πα∈，]π，进一步可知[2πβα-∈，]π，于是可求得co s()βα-与c o s 2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】解：[4πα∈，]π，[βπ∈，3]2π，2[2πα∴∈，2]π，又10s in 252α<=<，52(6πα∴∈，)π，即5(12πα∈，)2π，(2πβα∴-∈，13)12π，c o s 25α∴==-；又s in ()10βα-=，(2πβα∴-∈，)π，c o s ()10βα∴-==-c o s ()c o s [2()]c o s 2c o s ()s in 2s in ()(5105102αβαβααβααβα∴+=+-=---=---． 又5(12πα∈，)2π，[βπ∈，3]2π，17()(12παβ∴+∈，2)π，74παβ∴+=，故选：A ．【点评】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．6．已知2ta n ta n ()74πθθ-+=，则ta n (θ=)A ．2-B ．1-C ．1D ．2【分析】利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可． 【解答】解：由2ta n ta n ()74πθθ-+=，得ta n 12ta n 71ta n θθθ+-=-，即22tan 2tan tan 177tan θθθθ---=-，得22tan 8tan 80θθ-+=，即2tan 4tan 40θθ-+=，即2(ta n 2)0θ-=，则ta n 2θ=，故选：D ．【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合两角和差的正切公式以及配方法是解决本题的关键．难度中等． 7．s in 47s in 17c o s 30(c o s 17︒-︒︒=︒)A ．2-B ．12-C ．12D 2【分析】将原式分子第一项中的度数471730︒=︒+︒，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值． 【解答】解：sin 47sin 17c o s 30c o s 17︒-︒︒︒s in (1730)s in 17c o s 30c o s 17︒+︒-︒︒=︒s in 17c o s 30c o s 17s in 30s in 17c o s 30c o s 17︒︒+︒︒-︒︒=︒1s in 302=︒=．故选：C ．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 二．填空题（共13小题） 8．已知sin co s 1αβ+=，co s sin 0αβ+=，则sin ()αβ+=12-．【分析】把已知等式两边平方化简可得22(sin co s co s sin )1αβαβ++=，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin ()1αβ+=-，可得结果．【解答】解：sin co s 1αβ+=，两边平方可得：22sin 2sin c o s c o s 1ααββ++=，①，co s sin 0αβ+=，两边平方可得：22c o s 2c o s sin sin 0ααββ++=，②，由①+②得：22(sin co s co s sin )1αβαβ++=，即22sin ()1αβ++=，2sin ()1αβ∴+=-． 1s in ()2αβ∴+=-．故答案为：12-．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．9．已知(0,)2πα∈，ta n 2α=，则c o s ()4πα-=10 ．【分析】根据同角的三角函数的关系求出s in 5α=，c o s 5α=，再根据两角差的余弦公式即可求出． 【解答】解：(0,)2πα∈，ta n 2α=，s in 2c o s αα∴=，22sin co s 1αα+=，解得s in 5α=，c o s 5α=c o s ()c o s c o s s in s in444525210πππααα∴-=+=+=，10【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．10．设当x θ=时，函数()sin 2co s f x x x=-取得最大值，则c o s θ=5-．【分析】()fx ，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x θ=时，函数()f x 取得最大值，得到sin 2c o s θθ-=，与22sin co s 1θθ+=联立即可求出c o s θ的值．【解答】解：方法一：()s in 2c o s in o s )in ()55f x x x x x x α=-=-=-（其中c o s 5α=，s in 5α=，x θ=时，函数()f x 取得最大值，sin ()1θα∴-=，即sin 2c o s θθ-=又22sin co s 1θθ+=，联立得22(2c o s c o s 1θθ++=，解得c o s 5θ=-．方法二：()s in 2c o s in ()f x x x x ϕ=-=+（其中ta n 2ϕ=-，(,))22ππϕ∈-，因为当x θ=时，()f x 取得最大值，所以2()2k k Z πθϕπ+=+∈，所以2()2k k Z πθπϕ=+-∈，所以c o s c o s (2)s in 25k πθπϕϕ=+-==-．故答案为：5-【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键． 11．已知θ是第四象限角，且3s in ()45πθ+=，则ta n ()4πθ-=43-．【分析】由θ得范围求得4πθ+的范围，结合已知求得c o s ()4πθ+，再由诱导公式求得s in ()4πθ-及c o s ()4πθ-，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得ta n ()4πθ-的值． 【解答】解：θ是第四象限角，∴222k k ππθπ-+<<，则22,444k k k Zππππθπ-+<+<+∈，又3s in ()45πθ+=，4c o s()45πθ∴+===．3c o s ()s in ()445ππθθ∴-=+=，4s in ()c o s ()445ππθθ-=+=．则4s in ()454ta n ()ta n ()3443c o s ()45πθππθθπθ--=--=-=-=--．故答案为：43-．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 12．已知ta n 2α=-，1ta n ()7αβ+=，则tan β的值为 3 ．【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可． 【解答】解：ta n 2α=-，1ta n ()7αβ+=，可知ta n ta n 1ta n ()1ta n ta n 7αβαβαβ++==-，即2ta n 112ta n 7ββ-+=+，解得ta n 3β=．故答案为：3．【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查． 13．设θ为第二象限角，若1ta n ()42πθ+=，则s in c o s θθ+=5-．【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出ta n θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出s in θ与c o s θ的值，即可求出s in c o s θθ+的值．【解答】解：ta n 11ta n ()41ta n 2πθθθ++==-，1ta n 3θ∴=-，而222221c o s1c o s s in c o s ta n θθθθθ==++，θ为第二象限角，c o s 10θ∴==-s in 10θ==则s in c o s 10105θθ+==-故答案为：5-【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 14．函数2()sin sin c o s 1f x x x x =++的最小正周期是 π，单调递减区间是 ．【分析】由三角函数公式化简可得3()in (2)242f x x π=-+，易得最小正周期，解不等式3222242k x k πππππ+-+剟可得函数的单调递减区间．【解答】解：化简可得2()sin sin c o s 1f x x x x =++11(1c o s 2)s in 2122x x =-++3in (2)242x π=-+，∴原函数的最小正周期为22Tππ==，由3222242k x k πππππ+-+剟可得3788k x k ππππ++剟，∴函数的单调递减区间为3[8k ππ+，7]()8k k Z ππ+∈故答案为：π；3[8k ππ+，7]()8k k Z ππ+∈【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． 15．在平面直角坐标系x O y 中，角α与角β均以O x 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1s in 3α=，则c o s()αβ-=79-．【分析】方法一：根据教的对称得到1s in s in 3αβ==，co s co s αβ=-，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：角α与角β均以O x 为始边，它们的终边关于y 轴对称，1s in s in 3αβ∴==，co s co s αβ=-，22227c o s ()c o s c o s s in s in c o s s in 2s in 1199αβαβαβααα∴-=+=-+=-=-=-方法二：1s in 3α=，当α在第一象限时，c o s 3α=，α，β角的终边关于y 轴对称，β∴在第二象限时，1s ins in 3βα==，c o s c o s 3βα=-=-，117c o s ()c o s c o s s in s in 33339αβαβαβ∴-=+=-+⨯=-1:s in 3α=，当α在第二象限时，c o s 3α=-α，β角的终边关于y 轴对称，β∴在第一象限时，1s ins in 3βα==，c o s c o s 3βα=-=117c o s ()c o s c o s s in s in 33339αβαβαβ∴-=+=-+⨯=-综上所述7c o s ()9αβ-=-．方法三：α，β角的终边关于y 轴对称，2k αβππ∴+=+，kZ∈，17c o s ()c o s ((2))c o s (2)c o s 22s in 212()2139k αβαππααπαα∴-=-+-=-=-=-=⨯-=-．故答案为：79-．【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题16．已知α为锐角，且3c o s ()45πα+=，则s in α=10．【分析】由α为锐角求出4πα+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出s in ()4πα+的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：α为锐角，(44ππα∴+∈，3)4π，3c o s ()45πα+=，4s in ()45πα∴+==，则43s in s in [()]s in ()c o sc o s ()s in444444525210ππππππαααα=+-=+-+=⨯-⨯=．故答案为：10【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．17．设a ，b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()c o s g x b x=+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b +=4 ．【分析】利用()()f m g m =s in ()(1)m b a θ-=-，利用三角函数的有界性，推出a ，b 的关系，结合a ，b 均为大于1的自然数，讨论a ，b 的范围，求出a ，b 的值即可． 【解答】解：由()()f m g m =，即(sin )co s a bm b m+=+，s in c o s a m m b a b-=-，s in ()(1)[m b a θ-=-注：s in θ=1sin ()1m θ--剟(1)b a ∴-a，b 均为大于1的自然数10a ∴-<，(1)0b a -<，(1)b a ∴--…，(1)b a -…b =…． 4a …时221(1)a a <-，2b<，4a ∴<，当2a =时，b …，2b=，当3a=时，b …无解， 综上：2a=，2b=，4a b +=．故答案为：4．【点评】本题考查三角函数的有界性，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想．18．设()s i n 3c o s 3f x x x =+，若对任意实数x都有|()|f x a…，则实数a 的取值范围是2a … ．【分析】构造函数()|()||in 3c o s 3|F x f x x x ==+，利用正弦函数的特点求出()m a x F x ，从而可得答案． 【解答】解：不等式|()|f x a…对任意实数x 恒成立，令()|()||in 3c o s 3|F x f x x x ==+，则()m a x a F x …．()in 3c o s 32s in (3)6f x x x x π=+=+2()2f x ∴-剟0()2F x ∴剟()2m a x F x =2a ∴…．即实数a 的取值范围是2a … 故答案为：2a …．【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题． 19．已知α为第三象限的角，3c o s 25α=-，则ta n (2)4πα+=17-．【分析】方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又3c o s 205α=-<确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同． 【解答】解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2(2(21)k απ∈+，2(21))()k k Z ππ++∈，又3c o s 205α=-<，所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈，于是有4s in 25α=，s in 24ta n 2c o s 23ααα==-，所以41ta nta n 2134ta n (2)4471ta nta n 2143παπαπα-++===--+．方法二：α为第三象限的角，3c o s 25α=-，3224224322k k k k ππαππππαππα+<<+⇒+<<+⇒在二象限，s in (2)s in c o s 2c o s s in 24c o s 2s in 21444s in 2ta n (2)54c o s 2s in 27c o s (2)c o sc o s 2s ins in 2444πππαααπααααπππααααα+++=+====--+-【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能． 20．已知11s in s in ,c o s c o s 32αβαβ-=-+=，则c o s()αβ+=5972-．【分析】已知两等式分别平方，相加并利用同角三角函数间的基本关系化简，求出c o s c o s sin sin αβαβ-，即为co s()αβ+的值．【解答】解：已知两等式分别平方得：2221(sin sin )sin 2sin sin sin9αβααββ-=-+=①，2221(c o s c o s )c o s 2c o s c o s c o s 4αβααββ+=++=②，①+②得：1322(c o s c o s s in s in )36αβαβ+-=，即59c o s c o s s in s in 72αβαβ-=-，则59c o s ()c o s c o s s in s in 72αβαβαβ+=-=-．故答案为：5972-【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 三．解答题（共5小题） 21．已知函数()in ()(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<…的图象关于直线3xπ=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）若2())2463f αππα=<<，求3c o s ()2πα+的值．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数()f x 的最小正周期为π 求得2ω=．再根据图象关于直线3x π=对称，结合22ππϕ-<…可得ϕ 的值．（Ⅱ）由条件求得1s i n ()64πα-=．再根据6πα-的范围求得c o s ()6πα-的值，再根据3c o s ()s in s in [()]266πππααα+==-+，利用两角和的正弦公式计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数()f x 的最小正周期为π，∴2ππω=，2ω∴=．再根据图象关于直线3x π=对称，可得232k ππϕπ⨯+=+，kz∈．结合22ππϕ-<…可得6πϕ=-．（Ⅱ）2())2463fαππα=<<，∴in ()64πα-=，1s in ()64πα∴-=．再根据062ππα<-<，c o s ()64πα∴-==，3c o s ()s in s in [()]s in ()c o sc o s ()s in2666666πππππππααααα∴+==-+=-+-1142428=⨯=．【点评】本题主要考查由函数sin ()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题． 22．已知ta n 2α=． （1）求ta n ()4πα+的值；（2）求2sin 2sin sin c o s c o s 21ααααα+-- 的值．【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可． （2）利用二倍角公式化简求解即可． 【解答】解：ta n 2α=．（1）ta n ta n 214ta n ()34121ta n ta n4παπαπα+++===---；（2）2222s in 22s in c o s 2ta n 41s in s in c o s c o s 21s in c o s 121ta n 24s in c o s ta n αααααααααααααα====+--++--+-．【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力．23．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5-．（Ⅰ）求sin ()απ+的值；（Ⅱ）若角β满足5s in ()13αβ+=，求co s β的值．【分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r ，则sin ()απ+的值可得； （Ⅱ）由已知条件即可求s in α，c o s α，co s()αβ+，再由co sc o s [()]c o s (βαβααβααβα=+-=+++代值计算得答案． 【解答】解：（Ⅰ）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点3(5P -，4)5-．35x ∴=-，45y=-，||1rO P ===，4s in ()s in 5y rαπα∴+=-=-=；（Ⅱ）由35x =-，45y=-，||1r O P ==，得4s in 5α=-，3c o s 5α=-，又由5s in ()13αβ+=，得12c o s ()13αβ+==±，则1235456c o s c o s [()]c o s ()c o s s in ()s in ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=⨯-+⨯-=-， 或1235416c o s c o s [()]c o s ()c o s s in ()s in ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=-⨯-+⨯-=．c o s β∴的值为5665-或1665．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．24．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知ab>，5a=，6c=，3s in 5B =．（Ⅰ）求b 和s in A的值；（Ⅱ）求s in (2)4Aπ+的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得c o s B ，再由余弦定理求得b ，利用正弦定理求得s inA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得c o s A，再由倍角公式求得s in 2A ，c o s 2A ，展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在A B C ∆中，a b>，故由3s in5B =，可得4c o s 5B=．由已知及余弦定理，有22242c o s 2536256135b a ca c B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=．由正弦定理s in s in a b AB=，得s in s in 13a B A b==b ∴=，s in13A =（Ⅱ）由（Ⅰ）及ac<，得c o s 13A =，12s in 22s in c o s 13AA A ∴==，25c o s 212s in13A A =-=-．故125s in (2)s in 2c o s c o s 2s in44413213226AA A πππ+=+=⨯-⨯=．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．25．设常数a R∈，函数2()sin 22c o s f x a x x=+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=+，求方程()1f x =-在区间[π-，]π上的解．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【解答】解：（1）2()sin 22c o s f x a x x=+，2()sin 22c o s f x a x x∴-=-+，()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，22sin 22co s sin 22co s a x x a x x ∴-+=+，2s in 20a x ∴=，a ∴=；（2）()14f π=+，2s in2c o s ()1124a a ππ∴+=+=，a ∴=2()in 22c o s in 2c o s 212s in (2)16f x x x x x x π∴=+=++=++，()1f x =-2s in (2)116x π∴++=-s in (2)62x π∴+=-， 2264x k πππ∴+=-+，或52264xk πππ+=+，k Z∈，524x k πππ∴=-+，或1324xk ππ=+，kZ∈，[x π∈-，]π， 1324x π∴=或1924xπ=或524xπ=-或1124xπ=-【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．。
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.已知分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，.（1）求A；（2）若，△ABC 的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由条件及正弦定理，进行边角的统一，可得到，注意到，因此，可将等式继续变形为，从而得到，由利用辅助角公式可变形为，因此，；（2）由（1）及面积为，可得，再根据余弦定理，联立方程即可解得.（1）由正弦定理及可得：，即，又∵，∴ 3分即，∴，； 7分由（1）及，∴，又由余弦定理及： 10分，联立方程，即可得 14分【考点】1.正弦定理与余弦定理解三角形；2.三角恒等变形.2.已知,,分别为三个内角,,的对边, =sin cos．(1)求；(2)若=,的面积为,求,．【答案】(1) ；(2)【解析】(1) 根据正弦定理可将变形为。
因为角三角形的内角，所以，可将上式变形为。
用化一公式即两角和差公式的逆用将上式左边化简可得，根据整体角的范围可得的值，即可得角的值。
(2)由三角形面积可得。
再结合余弦定理可得的值，解方程组可得的值。
解 (1)由=sin cos及正弦定理得sin sin+cos sin-sin=0,由sin≠0,所以sin（+）=,又0<<π,+故=．(2)△ABC的面积=sin=,故=4．由余弦定理知2=2+2-2cos,得代入=,=4解得,故【考点】1正弦定理；2三角形面积公式；3余弦定理。
3.（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据两角和的公式，,故选A.【考点】两角和的正弦公式4.为第二象限角，且，求的值.【答案】．【解析】先利用两角和与差的正弦函数和二倍角公式将待求式子化成只含有角的三角函数，再由三角函数的同角公式求出角余弦值，从而求出结果即可．试题解析：为第二象限角，且,．====．【考点】1、两角和与差的正弦函数; 2、二倍角公式；3、同角三角函数基本关系．5.已知，，求的值．【答案】【解析】将视为整体将已知条件用余弦的两角和公式变形可得的值，根据角的范围可得的值，再用二倍角公式分别求的值，最后用正弦两角和公式将展开计算即可。
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.的值为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由和差化积公式原式=．【考点】和差化积公式．2.已知函数，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由和差化积公式得，，即，可得，解得．【考点】1、和差化积；2、三角函数的取值．3.计算 = ．【答案】【解析】．【考点】两角差的正弦公式．4.已知分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，.（1）求A；（2）若，△ABC 的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由条件及正弦定理，进行边角的统一，可得到，注意到，因此，可将等式继续变形为，从而得到，由利用辅助角公式可变形为，因此，；（2）由（1）及面积为，可得，再根据余弦定理，联立方程即可解得.（1）由正弦定理及可得：，即，又∵，∴ 3分即，∴，； 7分由（1）及，∴，又由余弦定理及： 10分，联立方程，即可得 14分【考点】1.正弦定理与余弦定理解三角形；2.三角恒等变形.5.在中，为的对边，且，则（）A．成等差数列B．成等差数列C．成等比数列D．成等比数列【答案】D【解析】因为，所以，且由二倍角公式可得，所以可化为即也就是，根据正弦定理可得，所以成等比数列，选D.【考点】1.两角和差公式；2.二倍角公式；3.正弦定理；4.等比数列的定义.6.（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据两角和的公式，,故选A.【考点】两角和的正弦公式7.设△ABC的内角所对的边分别为,若,则的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】∴，则由正弦定理可得，即，可得，故，所以三角形为直角三角形，故选A．【考点】1．正弦定理；2．两角和与差的三角函数．8.若,则________.【答案】【解析】∵,∴＝＝＝＝．【考点】1、两角和与差的余弦函数；2、二倍角的余弦．9. sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是 ( )A．B．C．－D．－【答案】C【解析】。
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两角和与差的三角函数练习题及答案
一、选择题
1． sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为
( C ) A ．－
3
2
B ．－12
C.12
D.
32
2．已知sin(45°＋α)＝5
5，则sin 2α等于
( B ) A ．－4
5
B ．－35
C.35
D.45
3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝3
3，则sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6－cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值是 ( A ) A.2＋3
3
B ．－2＋33 C.2－3
3
D.－2＋3
3
4．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝
⎛⎭⎫α＋4π3等于 ( B ) A ．－
3
4
B ．－14
C.34
D.14
5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝1
3，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是
( A )
A ．－7
9
B ．－13
C.13
D.79
6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝2
33，则tan A tan B 的值为( B )
A.14
B.1
3
C.12
D.53
二、填空题
7．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.43
8． 3－sin 70°
2－cos 210°
＝________. 2
9．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. －5665 三、解答题 10．化简：
(1)2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π
4－x ； (2)2cos 2α－1
2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭
⎫π4＋α.
解 (1)原式＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32
·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤sin π6sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋cos π
6cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π6－π4＋x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫x －π12.
(2)原式＝
cos 2α
1－tan α
1＋tan α⎣
⎡⎦⎤
1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝
cos 2α
cos 2α
1＋sin 2α
(1＋sin 2α)
＝1.
11．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫
π4＋x －3cos 2x .
(1)求f (x )的周期和单调递增区间；
(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭
⎫π
2＋2x －3cos 2x
＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3＋1， 周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，
解得单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π
12(k ∈Z )．
(2)x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π
3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，
所以f (x )的值域为[2,3]．
而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．
12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π
2，2π，且a ⊥b .
(1)求tan α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫
α2＋π3的值．
解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0. 而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0.
解之，得tan α＝－43，或tan α＝1
2
. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，tan α<0，
故tan α＝12(舍去)． ∴tan α＝－4
3.
(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α
2
＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－25
5
，
cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π
3 ＝－255×12－55×32＝－25＋1510
.。