专题【三角函数】11

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2023年新高考数学大一轮复习专题11 函数的图象(解析版)

专题11 函数的图象【考点预测】一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换（1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的；（2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）；若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.（3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 【方法技巧与总结】(1)若)()(x m f x m f -=+恒成立，则)(x f y =的图像关于直线m x =对称.(2)设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)(m x f y -=与)(x m f y -=)0(>m 的图象关于直线m x =对称.(3)若)()(x b f x a f -=+，对任意∈x R 恒成立，则)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称.(4)函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ba x +=对称. (5)函数)(x f y =与函数)2(x a f y -=的图象关于直线a x =对称. (6)函数)(x f y =与函数)2(2x a f b y --=的图象关于点)(b a ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.【题型归纳目录】题型一：由解析式选图（识图）题型二：由图象选表达式题型三：表达式含参数的图象问题题型四：函数图象应用题题型五：函数图像的综合应用【典例例题】题型一：由解析式选图（识图）例1．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫<⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案. 【详解】因为2()sin 12x f x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xx x f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B. 33223322sin()10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.例2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））函数2ln x y x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域与奇偶性，排除A 、B 选项；结合导数求得函数在(1,)+∞上的单调性，排除D 选项，即可求解. 【详解】由题意，函数()2ln x f x x =的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞，关于原点对称，且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 选项；当1x >时，可得()2ln x f x x =，则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；排除A 选项当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以排除D 选项，选项C 符合. 故选：C.例3．（2022·天津·二模）函数sin exx xy =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===，所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项，当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy =>，排除C 选项. 故选：D.例4．（2022·全国·模拟预测）已知函数())lnsin f x x x =⋅则函数()f x 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据()0,x π∈时，函数值的正负判断. 【详解】易知函数)lny x =为奇函数，sin y x =也是奇函数，则函数())ln sin f x x x =⋅为偶函数，故排除选项B ，C ；因为)lnln y x ⎛⎫==，当0x >1x >恒成立，所以ln 0⎛⎫<恒成立，且当()0,x π∈时，sin 0x >，所以当()0,x π∈时，()0f x <，故选项A 正确，选项D 错误，故选：A ．例5．（2022·全国·模拟预测）函数()22e xx xf x -=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解．【详解】由()0f x =得0x =或2，故排除选项A ；当x →+∞时，函数值无限靠近x 轴，但与x 轴不相交，只有选项B 满足．例6．（2022·河北·模拟预测）函数4cos3()cos (ππ)33xf x x x =---≤≤的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解. 【详解】由已知条件得函数()f x 的定义域关于原点对称， ∵()()cos 34()cos 33x f x x --=---()4cos3cos 33x x f x -=-=， ∴()f x 为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，则排除选项B 、C , 又∵4cos3π(π)cos π33f =--4181333=++=， ∴排除选项D ，故选：A .【方法技巧与总结】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型二：由图象选表达式例7．（2022·全国·模拟预测）已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（）A ．311log 0x y --=B ．321xx y-=C ．120x y --=D ．ln 1x y =-【答案】A 【解析】【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数12x y -=的图象，可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质，可判断D.【详解】由311log 0x y --=，得31log 1x y=-，所以3log 1y x -=-，即3log 1y x =--，化为指数式，得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的，即为题中所给图象，所以选项A 正确；对于选项B ，取1x =-，则由()31121y---=，得21y =>，与已知图象不符，所以选项B 错误；由120x y --=，得12x y -=，其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：与题中所给的图象不符，所以选项C 错误；由ln 1x y =-，得ln 1y x =+，该函数为偶函数，图象关于y 轴对称，显然与题中图象不符，所以选项D 错误，故选：A.例8．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半【详解】12()()(1)(12)x xx x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半故选：C.例9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可以是（）A ．()()2211--=xxex y eB ．()21sin -=xxex y eC ．()()2211-+=xxex y eD ．()21cos -=xxex y e【答案】B【解析】【分析】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ，根据C 项函数没有零点，排除C 项，最终选出正确结果. 【详解】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ；对于C ，当0x >时，22110,2-+>≥x xe x e x ，函数显然不存在零点，排除C ．故选：B ．例10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为( )A ．()sin πf x x x =B ．()()1πsin f x x x =-C ．()()sin π1f x x x =+D ．()()1cos πf x x x =-【答案】B 【解析】【分析】根据已知图象的对称性，结合AC 的奇偶性可排除AC ，根据已知图象f (0)=0可排除D ，从而正确可得B 为正确选项．【详解】对于A ，()()()sin πsin πf x x x x x f x -=--==，故()sin πf x x x =为偶函数，图象应该关于y 轴对称，与已知图象不符；对于C ，()()sin ππf x x x =+sin πx x =-也为偶函数，故排除AC ；对于D ，()01f =-，与已知图象不符，故排除D ．对于B ，()()()()()()221sin 2(1)sin π1sin ππf x x x x x x x f x -=---=--=-=，故f (x )关于x =1对称，f (0)=0，均与已知图象符合，故B 正确．故选：B ．例11．（2022·河北沧州·模拟预测）下列图象对应的函数解析式正确的是（）A ．()cos f x x x =B ．()sin f x x x =C ．()sin cos f x x x x =+D ．()cos sin f x x x x =+【答案】D 【解析】【分析】由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对选项B 、C ：由函数()f x 为偶函数即可判断，对选项A ：函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==即可判断；对选项D ：函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>即可判断.【详解】解：由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对A ：因为()()()cos cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==，故选项A 错误；对B ：因为()()()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，所以函数()f x 为偶函数，故选项B 错误；对C ：因为()()()()sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，故选项C 错误；对D ：因为()()()()cos sin cos sin ()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-，所以函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>，符合题意，故选项D 正确. 故选：D.例12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()sin f x x =，()e e x x g x -=+，下图可能是下列哪个函数的图象（）A ．()()2f x g x +-B ．()()2f x g x -+C ．()()⋅f x g xD ．()()f xg x【答案】D 【解析】【分析】根据图象体现的函数性质，结合每个选项中函数的性质，即可判断和选择. 【详解】由图可知，图象对应函数为奇函数，且()011f <<；显然,A B 对应的函数都不是奇函数，故排除；对C ：()()()sin e e x xy f x g x x -=⋅=⋅+，其为奇函数，且当1x =时，11sin1e e 1e 2⎛⎫⋅+>⨯> ⎪⎝⎭，故错误；对D ：y =()()f xg x sin e e x xx-=+，其为奇函数，且当1x =时，sin110112e e<<<+，故正确. 故选：D .【方法技巧与总结】1.从定义域值域判断图像位置；2.从奇偶性判断对称性；3.从周期性判断循环往复；4.从单调性判断变化趋势；5.从特征点排除错误选项．题型三：表达式含参数的图象问题（多选题）例13．（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】【分析】讨论0,0,0a b c >=>、0,0,0a b c <=<、0,0,0a b c =><、0,0,0a b c =<<四种情况下，()f x 的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性. 【详解】当0,0a b ≠=时，22()()()ax axf x f x x c x c--==-=--++；当0,0a c >>时，()f x 定义域为R 且为奇函数，在(0,)+∞上()0f x >，在上递增，在)+∞上递减，A 可能；当0,0a c <<时，()f x 定义域为{|x x ≠且为奇函数，在上()0f x >且递增，在)+∞上()0f x <且递增，B 可能；当0,0,0a b c =≠<时，22()()()b bf x f x x c x c-===-++且定义域为{|x x ≠，此时()f x 为偶函数，若0b >时，在(上()0f x <(注意(0)0f <)，在(,)-∞+∞上()0f x >，则C 不可能；若0b <时，在(上()0f x >，在(,)-∞+∞上()0f x <，则D 可能；故选：ABD（多选题）例14．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D 选项，然后对a 的取值进行分类讨论，比如0a =，可判断A 可能，再对a 分大于零和小于零的情况讨论，结合求导数判断函数单调性，即可判断B,C 是否可能. 【详解】因为2||()x f x x a=+为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，所以D 不可能.由于()f x 为定义域上的偶函数，只需考虑,()0x ∈+∞的情况即可. ①当0a =时，函数2||11()||x f x x x x===，所以A 可能； ②当0a >时，2()xf x x a =+，()222()a x f x x a '-=+，所以()f x 在单调递增，在)+∞单调递减，所以C 可能； ③当0a <时，2()x f x x a =+，()222()0a x f x x a -'=<+，所以()f x 在单调递减，在)+∞单调递减，所以B 不可能；故选:AC.（多选题）例15．（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC 【解析】【分析】根据a 的取值分类讨论函数f (x )的单调性、奇偶性、值域，据此判断图像即可. 【详解】若a ＝0，则f (x )＝1x，图像为C ；若a ＞0，则f (x )定义域为{x |x ，f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，x ∈(－∞，时，f (x )＜0，x ∈(0)时，f (x )＞0，x ∈(0，f (x )＜0，x ∈＋∞)时，f (x )＞0，又x ≠0时，f (x )＝1a x x-，函数y ＝x －ax 在(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f (x )在(－∞，(0)，(0，∞)均单调递减，综上f (x )图像如A 选项所示；若a ＜0，则f (x )定义域为R ，f (x )为奇函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＞0，当x ＜0时，f (x )＜0，当x ≠0时，f (x )＝1a x x-+，函数y ＝x ＋ax-时双勾函数，x ∈((),时，y 均单调递减，x ∈)(,,+∞-∞时，y 均单调递增，∴f (x )在((),单调递增，在)(,,+∞-∞单调递减，结合以上性质，可知B 图像符合.故选：ABC.（多选题）例16．（2022·湖北武汉·高一期末）设0a >，函数21axx y e ++=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】令()21,0g x ax x a =++>，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为12x a=-，再根据0,0∆=∆<和0∆>三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数21axx y e ++=，令()21,0g x ax x a =++>，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为102x a=-<，当140a ∆=-=时，即14a =时，可得()21104g x x x =++≥，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，且(2)0g -= 可得21axx y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a -+∞上递增，且(2)1g e -=；当140a ∆=-<时，即14a >时，可得()0g x >，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，由复合函数的单调性，可得21ax x y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a-+∞上递增，且1y >，此时选项B 符合题意；当当140a ∆=->时，即104a <<时，此时函数()21g x ax x =++有两个零点，不妨设另个零点分别为12,x x 且1212x x a<-<，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，可得()y g x =在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()0g x g x ==，则21axx y e ++=在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()1g x g x e e ==，此时选项D 符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD. 故选：BD.（多选题）例17．（2022·广东东莞·高一期末）已知函数()af x x x=+()a R ∈，则其图像可能为（） A ． B ．C ．D ．【答案】BC 【解析】【分析】按照0a =，0a >，0a <讨论a 的取值范围，利用排除法解决. 【详解】 0a =，()(0)af x x x x x=+=≠，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A 选项错误；0a <时，y x =在(,0),(0,)-∞+∞上递增，ay x=也在(,0),(0,)-∞+∞递增，两个增函数相加还是增函数，即()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上递增，故D 选项错误，C 选项正确.；0a >时，由对勾函数的性质可知B 选项正确. 故选：BC.（多选题）例18．（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,x f x a a a g x a x =->≠=-且的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件对a 值进行分类讨论函数()f x 的单调性及0一侧的函数值，再结合()g x a x =-图象与y 轴交点位置即可判断作答. 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足；当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足，所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC（多选题）例19．（2021·河北·高三阶段练习）函数()211ax f x x +=+的大致图象可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】【分析】对a 的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象. 【详解】当0a =时，()01f =，令21y x =+，易知，其在(),0-∞上为减函数，()0,∞+上为增函数，所以()211f x x =+在(),0-∞上为增函数，在()0,∞+上为减函数，故D 正确；当0a <时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y <，当0x >且0x →时，0y <，所以()'0f x <，故A 正确；当0a >时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y >，当0x >且0x →时，0y >，所以()'0f x >，故B 正确；综上，()f x 的图象不可能为C. 故选：ABD.（多选题）例20．（2022·全国·高三专题练习）已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ．【方法技巧与总结】根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.题型四：函数图象应用题例21．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ；在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ，又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ，故选：A例22．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H =⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒=而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓， A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A例23．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可．【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ，故选B ．【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．例24．（2021·山东济南·高三阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB BO OA →→)，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.【详解】小明沿AB走时，与О点的直线距离保持不变，沿BO走时，随时间增加与点О的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与点О的距离越来越大.故选：D.例25．（2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP ＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图像是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分两段，当P点在AO之间时，当P点在OB之间时，再由二次函数的性质及增长趋势可知．【详解】当P 点在AO 之间时，f （x ）12=x 2（0＜x ≤1），排除B,D 当P 点在OB 之间时，y 随x 的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A 正确故选A ．【点睛】本题主要考查了函数图像的识别的性质，考查分类讨论思想及排除法应用，属于基础题．【方法技巧与总结】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.题型五：函数图像的综合应用例26．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【解析】【分析】由题可知函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，利用数形结合即得. 【详解】∵()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数，故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.例27．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【解析】【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得. 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-，作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.例28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,0,43,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】利用数形结合可得210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】设()t f x =，则()21y g t t mt ==++，作出函数()f x 的大致图象，如图所示，则函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点等价于()0g t =在[)3,1-上有两个不同的实数根，则()()24039310,1110,31,2m g m g m m ⎧->⎪-=-+≥⎪⎪⎨=++>⎪⎪-<-<⎪⎩解得1023m <≤.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合，把问题转化为方程210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，即二次方程根的分布问题，利用二次函数的性质即解.例29．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（） A ．0m >且0n > B ．0m <且0n > C ．01m <<且0n = D ．10m -<<且0n =【答案】C 【解析】【分析】令()u f x =，利用换元法可得20u mu n ++=，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根1u 、2u ，作出函数()f x 的图象，结合题意和图象可得10u =、2u m =-，进而得出结果. 【详解】令()u f x =，作出函数()u f x =的图象如下图所示：由于方程20u mu n ++=至多两个实根，设为1u u =和2u u =，由图象可知，直线1u u =与函数()u f x =图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则关于u 的二次方程20u mu n ++=的一根为10u =，则0n =，则方程20u mu +=的另一根为2u m =-，直线2u u =与函数()u f x =图象的交点个数必为4，则10m -<-<，解得01m <<. 所以01m <<且0n =. 故选：C.例30.（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数21244,1(),1x x x x f x e x x -⎧-+>=⎨+≤⎩，若不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，则实数m 的取值范围为（） A ．1,52ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,53ln 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,62ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,63ln 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立.根据相切找临界位置，结合函数的单调性以及图像特征，即可求解. 【详解】不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立. 当1x >时,2()=244,f x x x -+此时()f x 在1x >上单调递增,当11,()=,x x f x e x -≤+则1()=-1,x f x e -'+当<1x 时,0()<f x ',故()f x 在<1x 上单调递减.当2-y x m =与2()=244f x x x -+相切时,设切点为()00,x y ,所以00()4-4=2f x x '=,解得032x =,35()22f =,此时切线方程为35y=2x-+22⎛⎫ ⎪⎝⎭,该切线与x 轴的交点为1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭,同理可得当-2+y x m =与1()=x f x e x -+相切时,切线与x 轴的交点为33-ln 3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,又因为=|2|y x m -与x 轴的交点为,02mC ⎛⎫⎪⎝⎭要使()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立,则点C 在,A B 之间移动即可.故133-ln 3422m ≤≤,解得16-3ln 32m ≤≤故选:D例31．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩，若函数()()()1g x f x k x =--有4个零点，则实数k 的取值范围为_______________. 【答案】1(0,)4【解析】【分析】转化求()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像与()1y k x =-图像交点，求出直线与1()11f x x =--相切时的k ，进而得到有4个交点时k 的范围即可【详解】因为()()()1g x f x k x =--有4个零点，所以方程()()1f x k x =-有4个实数根，画出()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像，以及()1y k x =-，则两函数的图象有4个公共点．其中直线()1y k x =-经过定点(1,0)，斜率为k当直线与()f x 相切时，联立111(1)y x y k x ⎧=-⎪-⎨⎪=-⎩，22(12)40k k ∆=--=，可求出14k =，由图可知，当104x <<时，方程()()1f x k x =-有4个交点，故k 的取值范围为1(0,)4故答案为1(0,)4.【点睛】方法点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点：（1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理；（2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解；（3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线(1)y k x =-经过定点(1,0)等．例32．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤--⎥⎝⎦【解析】【分析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意转化为函数()g x 与直线y m =的图象有3个公共点，利用导数求得函数()g x 的极值，画出函数()g x 的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意函数()f x 恰有3个零点，即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点，当12x ≥时，可得2()(3ln 1)g x x x '=+，令()0g x '=，得131e 2x -=>，当131[,e )2x -∈时，函数()g x 单调递减；当13(e ,)x -∈+∞时，函数()g x 单调递增，所以当13e x -=时，函数()g x 取得极小值，极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由11()ln 2028g =-<，作出()g x 的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．故答案为：1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．例33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝244,01,43,1x x x x x -<≤⎧⎨-+>⎩和函数g （x ）＝2log x ，则函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数是________．【答案】3 【解析】【分析】函数零点个数可转化为()y g x =与()y f x =图象交点的个数问题，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出()y g x =与()y f x =的图象如图，由()()()0h x f x g x =-=可得，()()f x g x =，即函数的零点为(),()y f x y g x ==图象交点的横坐标，由图知()y f x =与()y g x =的图象有3个交点，即()h x 有3个零点．故答案为：3例34．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在等边三角形ABC 中， AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是____. 【答案】①② 【解析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解. 【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根故正确的是①②. 故答案为：①② 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解。

高考数学2022题型通关21讲第11讲三角函数中的范围最值问题(含答案)

高考数学题型通关：第12讲三角函数中的范围、最值问题【方法总结】以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键．并保持纵坐标不变,得到函数h(x)的图象,若h(x 1)h(x 2)=-4,其中x 1,x 2∈[-π,π],则|x 1-x 2|【解析】解法一由题意可知h(x)=2sin(2x+π3),所以-2≤h(x)≤2,因为h(x 1)h(x 2)=-4,所以{h(x 1)=2,h(x 2)=-2或{h(x 1)=-2,h(x 2)=2.当{h(x 1)=2,h(x 2)=-2时,2x 1+π3=2k 1π+π2(k 1∈Z),即x 1=k 1π+π12(k 1∈Z),2x 2+π3=2k 2π-π2(k 2∈Z),即x 2=k 2π-5π12(k 2∈Z),因为x 1,x 2∈[-π,π],所以x 1=-11π12或x 1=π12,x 2=-5π12或x 2=7π12,所以当x 1=-11π12,x 2=7π12时,|x 1-x 2|取得最大值,最大值是3π2.同理,当{h(x 1)=-2,h(x 2)=2时,|x 1-x 2|的最大值也是3π2.故选D. 解法二由题意可知h(x)=2sin(2x+π3),所以-2≤h(x)≤2,因为h(x 1)h(x 2)=-4,所以{h(x 1)=2,h(x 2)=-2或{h(x 1)=-2,h(x 2)=2.因为函数h(x)的最小正周期T=π,当x ∈[-π,π]时,h(x)有两个周期,即出现两次最大值和最小值,所以|x 1-x 2|的最大值为32T=32π.故选D.【解析】f(x)=asin ωx+cos(ωx-π6)=asin ωx+cos ωxcos π6+sin ωxsin π6=(12+a)sin ωx+√32cos ωx=(12+a)2+(√32)2·sin(ωx+φ),其中tan φ=√3212+a .对于任意的x 1,x 2∈R,都有f(x 1)+f(x 2)-2√3≤0,即f(x 1)+f(x 2)≤2√3,当且仅当f(x 1)=f(x 2)=f(x)max 时取等号,故2(12+a)2+(√32)2=2√3,解得a=1或a=-2(舍去),故f(x)=32sin ωx+√32cos ωx=√3sin(ωx+π6).因为0≤x ≤π,所以π6≤ωx+π6≤ωπ+π6.又f(x)在[0,π]上的值域为[√32,√3],所以π2≤ωπ+π6≤5π6,解得13≤ω≤23,选B.【解析】将函数f(x)=sin(2x-π3)的图象向左平移a(a>0)个单位长度,可得函数y=sin[2(x+a)-π3]=sin[2x+(2a-π3)]的图象,所以y=sin[2x+(2a-π3)]的图象与g(x)=cos 2x 的图象重合.因为g(x)=cos 2x=sin(2x+π2),所以2a-π3=2k π+π2,k ∈Z,即a=k π+5π12,k ∈Z,当k=0时,可得a min =5π12,故选B.【解析】解法一由题图知, f(-4π9)=0,∴-4π9ω+π6=π2+k π(k ∈Z),解得ω=-3+9k 4(k ∈Z).设f(x)的最小正周期为T,易知T<2π<2T,∴2π|ω|<2π<4π|ω|,∴1<|ω|<2,由ω=-3+9k 4(k ∈Z)知当且仅当k=-1时,符合题意,此时ω=32,∴T=2πω=4π3.故选C.解法二由题图知,f(-4π9)=0且f(-π)<0,f(0)>0,∴-4π9ω+π6=-π2(ω>0),解得ω=32,∴f(x)的最小正周期T=2πω=4π3.故选C.6.[2020全国卷Ⅲ,16,5分][理]关于函数f(x)=sin x+1sinx 有如下四个命题: ①f(x)的图象关于y 轴对称; ②f(x)的图象关于原点对称; ③f(x)的图象关于直线x=π2对称; ④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是 .【解析】由题意知f(x)的定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z},且关于原点对称.又f(-x)=sin(-x)+1sin (−x)=-(sin x+1sinx )=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以①为假命题,②为真命题.因为f(π2-x)=sin(π2-x)+1sin (π2-x)=cosx+1cosx ,f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin (π2+x)=cos x+1cosx ,所以f(π2+x)=f(π2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=π2对称,③为真命题.当sin x<0时,f(x)<0,所以④为假命题.【解析】由于对任意的实数x 都有f(x)≤f(π4)成立,故当x=π4时,函数f(x)有最大值,故f(π4)=1,∴πω4−π6=2k π(k ∈Z),∴ω=8k+23(k ∈Z),又ω>0,∴ωmin =23.【解析】f(x)=sin 2x+√3cos x-34=-cos 2x+√3cos x+14=-(cos x-√32)2+1.因为x ∈[0,π2],所以cosx ∈[0,1],因此当cos x=√32时,f(x)max =1.(2)[2018全国卷Ⅰ,16,5分][理]已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值③f(x)在[-π,π]上有4个零点;④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是 ( ) A.①②④B.②④C.①④D.①③【解析】因为f(x)=2sin x+sin 2x,所以f '(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x-2=4(cos x-12)·(cos x+1).由f '(x)>0得12<cos x<1,即2k π-π3<x<2k π+π3,k ∈Z,由f '(x)<0得-1<cosx<12,即2k π-5π3<x<2k π-π3,k ∈Z,所以当x=2k π-π3,k ∈Z 时,f(x)取得最小值,且f(x)min =f(2k π-π3)=2sin(2k π-π3)+sin 2(2k π-π3)=-3√32.【解析】f(x)=12(1-cos ωx)+12sin ωx-12=12sin ωx-12cos ωx=√22sin(ωx-π4).解法一因为x ∈(π,2π),所以ωx-π4∈(ωπ-π4,2ωπ-π4).因为f(x)在(π,2π)内无零点,故T 2≥π,即0<ω≤1,且{kπ≤ωπ−π4,2ωπ−π4≤kπ+π(k ∈Z).当k=-1时,解得ω∈(0,18];当k=0时,解得ω∈[14,58],当k ≤-1或k ≥1时,不满足题意,故ω∈(0,18]∪[14,58].故选D.解法二当ω=12时, f(x)=√22sin(12x-π4),x ∈(π,2π)时,f(x)∈(12,√22],无零点,排除A,B;当ω=316时,f(x)=√22sin(316x-π4),x ∈(π,2π)时,当x=43π时,f(x)=0,所以f(x)有零点,排除C.选D.【解析】当0≤x ≤2π3时,π3≤ωx+π3≤2πω3+π3.若f(x)在[0,2π3]上恰有两个零点,则2π≤2πω3+π3<3π,解得52≤ω<4.【解析】由题意知,函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤π2),其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,故函数的最小正周期为T=2πω=π,解得ω=2.所以f(x)=2sin(2x+φ)+1.由题意,f(x)>1对任意的x ∈(-π12,π3)恒成立,即当x ∈(-π12,π3)时,sin(2x+φ)>0恒成立.令t=2x+φ,因为x ∈(-π12,π3),所以t ∈(φ-π6,φ+2π3).故要使sin t>0恒成立,只需{φ-π6≥2kπ,φ+2π3≤2kπ+π(k ∈Z),解得2k π+π6≤φ≤2k π+π3(k ∈Z).显然,当k=0时,π6≤φ≤π3,故选D.【解析】 y ＝1－cos 2x ＋acos x ＋8a －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12. ∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1.①若a2>1，即a>2，则当cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝2013<2(舍去)；②若0≤a2≤1，即0≤a ≤2，则当cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，∴a ＝32或a ＝－4<0(舍去)；③若a2<0，即a<0，则当cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1⇒a ＝125>0(舍去)．综上可得，a ＝32.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3acos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________．【解析】在△ABC 中，因为3acos C ＋b ＝0，所以C 为钝角，由正弦定理得3sin Acos C ＋sin(A ＋C)＝0， 3sin Acos C ＋sin Acos C ＋cos Asin C ＝0，所以4sin Acos C ＝－cos A ·sin C ，即tan C ＝－4tan A. 因为tan A>0，所以tan B ＝－tan(A ＋C)＝－tan A ＋tan C1－tan Atan C＝tan A ＋tan C tan Atan C －1＝－3tan A －4tan 2A －1＝34tan A ＋1tan A≤324＝34，当且仅当tan A ＝12时取等号，故tan B 的最大值是34.【解析】 f(x)＝cos x 向右平移3个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3的图象，再将各点横坐标变为原来的1ω(ω>0)得g(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，ωπ2－2π3，又此时g(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴0≤ωπ2－2π3≤2π3，∴43≤ω≤83.【解析】方法一将f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象，该图象关于y 轴对称，即g(x)为偶函数，因此π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝－k π2－π8(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ的最小正值为3π8. 方法二将f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象，令2x －2φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8＋φ(k ∈Z )，此即为g(x)的对称轴方程，又g(x)的图象关于y 轴对称，所以有k π2＋π8＋φ＝0，k ∈Z ，于是φ＝－k π2－π8(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.【方法总结】(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等．(2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象．【解析】函数f(x)的周期T ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＝π，则ω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.【解析】 f(x)＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，由－2＋2k π≤x ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2－φ＋2k π≤x ≤π2－φ＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－φ，π2－φ，所以αmax＝π2－φ，所以当α取最大值时，sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin 2φ＝2sin φcos φsin 2φ＋cos 2φ＝2tan φtan 2φ＋1＝45.【解析】由题意得T ＝ω≤5，∴ω≥10π，∵ω>0，∴ω≥10π.【解析】令ωx ＋3＝k π，k ∈Z ，得x ＝3k π－π3ω，k ∈Z ，∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为5π3ω，8π3ω，∴⎩⎪⎨⎪⎧5π3ω≤2π3，8π3ω>2π3，解得52≤ω<4，令－π2＋2k π≤ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－5π6ω＋2k πω≤x ≤π6ω＋2k πω，k ∈Z ，令k ＝0，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6ω，π6ω上单调递增，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π24⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6ω，π6ω， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－5π6ω≤－π4，π6ω≥π24，ω>0⇒0<ω≤103，综上得ω的取值范围是52≤ω≤103.【解析】.(1)f(x)=cos ωx(sin ωx+√3cos ωx)=12sin 2ωx+√32(1+cos 2ωx)=sin(2ωx+π3)+√32.由-1≤sin(2ωx+π3)≤1,得f(x)的值域是[√32-1,√32+1]. (2)∵0≤x ≤π,ω>0,∴π3≤2ωx+π3≤2ωπ+π3,由正弦函数的图象可知,要使f(x)=√32在区间[0,π]上恰有两个实数解,必须2π≤2ωπ+π3<3π,解得56≤ω<43.6.. 如图4-3-4,点A,点B 分别是圆心在坐标原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A 从初位置B 0(2,0)开始,按顺时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动.记t 时刻,点A,点B 的纵坐标分别为y 1,y 2.(1)求t=π4时,A,B 两点间的距离;(2)若y=y 1+y 2,求y 关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t ∈(0,π2]时,y 的取值范围.【答案】(1)连接OA,OB,AB,当t=π4时,∠xOA=π2+π3=5π6,∠xOB=π2,所以在△AOB 中,∠AOB=2π3.又OA=1,OB=2,所以AB 2=12+22-2×1×2cos 2π3=7,所以A,B 两点间的距离为√7.(2)依题意,y 1=sin(2t+π3),y 2=-2sin 2t,所以y=sin(2t+π3)-2sin 2t=√32cos 2t-32sin 2t=√3cos(2t+π3), 即函数关系式为y=√3cos(2t+π3)(t>0), 当t ∈(0,π2]时,2t+π3∈(π3,4π3],所以cos(2t+π3)∈[-1,12),故当t ∈(0,π2]时,y ∈[-√3,√32).。

高考数学 11 三角函数概念、基本关系式和诱导公式理

专题11 三角函数概念、基本关系式和诱导公式一、考纲要求:1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．4.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.5.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．二、概念掌握及解题上的注意点： 1.终边在某直线上角的求法四步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线． (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角．(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合． (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)终边位置的步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围． (2)再写出kα或αk的范围．(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．3．注意角度与弧度不能混用．4．终边落在x 轴上角的集合{}x|x ＝kπ，k∈Z .终边落在y 轴上角的集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝kπ＋π2，k∈Z. 终边落在坐标轴上的角的集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝kπ2，k∈Z.5.同角三角函数关系式及变形公式的应用方法1）利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用\f(sin α cos α)＝tan α可以实现角α的弦切互化.2）应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用＝1±2sin αcos α，可以知一求二.3）注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.6.利用诱导公式的方法与步骤(1)方法：利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．(2)步骤：三、高考考题题例分析：例1. (2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 －θ－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 －θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝35.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ－43.例2. （2018全国卷II ）已知sin α+cos β=l ，cos α+sin β=0，则sin （α+β）= ．例3.（2018全国卷Ⅲ）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣解析：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．例4（2018江苏卷）.已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．解析：（1）由，解得，∴cos2α=；例5（2018浙江卷）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．解析：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；三角函数概念概念、基本关系式和诱导公式练习题一、选择题1．与角9π4的终边相同的角可表示为( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )C 解析：94π＝94×180°＝360°＋45°＝720°－315°，∴与角94π的终边相同的角可表示为k ·360°－315°，k ∈Z .2．已知弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1D ．2sin 1C 解析：由题设知，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1. 3．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B 解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＜0，tan α＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限，故选B.4．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π65．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0.则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]A 解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.6．(2018·石家庄质检(二))若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则cos α＝( )A ．223B ．－223C ．－429D.429B 解析：由sin(π－α)＝13得sin α＝13，又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin2α＝－223，故选B.7．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D.π3D 解析：∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.8．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α的值为( )A ．45 B ．－45C ．2D ．－12B 解析：由题意可得tan α＝2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α＝－sin 2α＝－2sin αcos αsin2α＋cos2α＝－2tan αtan2α＋1＝－45，故选B.9.cos 350°－2sin 160°sin－190°＝( )A．－ 3 B．－32C．32D． 310．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin⎝⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcosθ2－sinθ2的值是( )A．1 B．－1C．±1D．0B解析：∵sin⎝⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cosθ2＝13.∵θ为第二象限角，∴θ2在第一象限，且cosθ2＜sinθ2，∴1－sin θcosθ2－sinθ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫cosθ2－sinθ2cosθ2－sinθ2＝－1.11．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosθ2＝－cosθ2，则θ2是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角12．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A ．43或34 B ．－34或－43C ．34或－43D ．－43或不存在D 解析：[由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cosα＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D. 二、填空题13．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，则cos α－sin α＝________.15解析：角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，不妨令x ＝－3，则y ＝－4，∴r ＝5，∴cos α＝x r ＝－35，sin α＝y r ＝－45，则cos α－sin α＝－35＋45＝15.14．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到点B ，则点B 的坐标为________.(－1，3) 解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 的坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．15．已知π2＜α＜π，3sin 2α＝2cos α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－9π2＝________. 223 解析：∵π2＜α＜π，∴cos α＜0. ∵3sin 2α＝2cos α，即6sin α·cos α＝2cos α，∴sin α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－9π2＝－cos α＝1－sin2α＝223.16．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.44.5 解析：因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°，两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5. 三、解答题17．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值.18．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . [解] (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，所以△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝10π3， S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3. 又S △AOB ＝12OA ·OB ·sin π3＝25 3.所以弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3219．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.[解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－si n 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 20．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.21．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求角α的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．[解] (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0， sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2 sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0， sin α2＜0，cos α2＞0，所以tan α2 sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号． 22．已知f (α)＝错误!.(1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值.。

三角函数的诱导公式 (11)

cos2π－αcos3π＋α 化简： . cos－π＋αcos3π－αcos－α－π
cos α－cos α 1 解析：原式＝＝cos α. －cos α－cos α－cos α
跟踪训练
π 11π cos 2＋α cos 2 －α 3．化简： . 9π sin－α－πsin 2 －α
10π 2．cos － 3 的值等于( B ) 1 A.2 1 B．－2 3 C. 2 3 D．－ 2
4π 练习 2：sin ＝________. 3 2π 练习 3：tan－ 3 ＝________. π 1 练习 4：若 cos α＝，则 sin2－α＝________. 3 π 1 练习 5：若 cos α＝，则 sin 2＋α＝________. 3
公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________， tan(π－α)＝________； π π 公式五：sin 2－α ＝______，cos 2－α ＝______； π π ＋ α 公式六：sin 2 ＝______，cos 2＋α ＝______.
函数名改变，符号看象限
思考应用 2．你能应用诱导公式求证下列各式吗？
3π－α (1)sin 2 ＝－cos α； 3π (2)cos 2 －α ＝－sin α ，
你能把诱导公式概括为一个公式吗？
3π π 解析： sin 2 －α ＝sin π＋ 2－α π ＝－sin 2－α＝－cos α， 3π π cos 2 －α ＝cos π＋ 2－α＝－sin α
思考应用 1．你能说出五组诱导公式各自的作用吗？解析：公式一：利用诱导公式一可把任意角三角函数转化为0～2π角的三角函数值．

高中数学第一章三角函数11任意角和弧度制111任意角知识巧解学案

1。

1.1 任意角疱工巧解牛知识•巧学一、正角、负角、零角1.一条射线的端点是O，它从初始位置OA旋转到终止位置OB,形成一个角α，点O是角α的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边、终边。

我们规定,按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就把角的概念推广到了任意角。

旋转一周角的大小记为360°，如图1—1-1.图1—1-12.由于图1-1-1（1）中的α、β分别是按逆时针、顺时针方向旋转的，所以α=45°，β=—315°；图1—1-1(2)中的α=30°,β=390°，γ=-60°。

显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转的方向有关.图1—1—2如图1-1-2，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置,接着再旋转-30°到OC的位置，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°）=60°。

学法一得引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化α—β为α+(-β)，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和。

3。

在画图表示角时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向,旋转的周数及角的绝对值的大小,旋转生成的角,又常称为转角。

显然,如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.二、象限角1。

若把角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除顶点外）在第几象限，我们说这个角是第几象限角.图1—1—3例如：由于图1—1-3甲中的角45°、405°、-315°都是始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角;同理图1-1-3乙中的角480°是第二象限的角，—70°、290°都是第四象限的角.2。

三角函数诱导公式---11

学科教师辅导讲义
教学主任签字：
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.
把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦y=sinx 的图象.
）余弦函数y=cosx 的图象
探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？
根据诱导公式cos sin()x x π
=+
,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移
π
单位即得余弦函数y=cosx。

高考数学重难点解析三角函数的图像及性质

三角函数的图像与性质【考纲说明】1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、周期性、图像与x 轴交点等）；3．结合具体实例，了解)sin(ϕω+=x y 的实际意义；【知识梳理】一、三角函数的图像与性质1 sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭函数性质2、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的性质振幅：A ；最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

二、三角函数图像的变换1、五点法作y=Asin （ωx+ϕ）的简图：五点取法是设t=ωx+ϕ，由t 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.2、三角函数的图像变换三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象。

11-专题训练：同角三角函数的基本关系式

1csc αsec αcot αtan αcos αsin α11-专题训练：同角三角函数的基本关系式一、基础知识：同角三角函数的基本关系公式:αααtan cos sin = αααcot sin cos = 1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα1.“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 22=+αα2tan 2cos2sinααα=2.上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立3.由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系)②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系)③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系)二、讲解范例：例1化简： 440sin 12-解：原式80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 1222==-=+-=例2 已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简解：)sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+----+++=原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222αααααααα--+=----+=0cos <∴αα是第三象限角， αααααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+=∴原式（注意象限、符号）例3求证：ααααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．证法1：左边==+=⋅--=-⋅xxx x x x x x x cos sin 1cos )sin 1(sin 1cos )sin 1(cos cos 2右边， ∴原等式成立证法2：左边=)sin 1)(sin 1(cos )sin 1(x x xx -+⋅+＝x x x 2sin 1cos )sin 1(-⋅+ x x x 2cos cos )sin 1(⋅+=＝=+xxcos sin 1右边证法3：∵0cos )sin 1(cos cos cos )sin 1()sin 1(cos cos sin 1sin 1cos 2222=⋅--=⋅---=+--xx xx x x x x x x x x ， ∴xxx x cos sin 1sin 1cos +=-证法4：∵cosx ≠0，∴1+sinx ≠0，∴xxcos sin 1+≠0，∴xx x xcos sin 1sin 1cos +-＝()()x x x sin 1sin 1cos 2-+＝x x 22sin 1cos -＝1，∴x x x x cos sin 1sin 1cos +=-． ,cos )sin 1(cos )sin 1(cos sin 1sin 1sin 1cos sin 1,cos )sin 1(cos cos cos sin 1cos :5222xx xx x x x x x x xx xx x x x -=--=--⋅+=⋅-=⋅-=右边左边证法 ∴左边=右边 ∴原等式成立．证法6：∵)sin 1)(sin 1(x x +-＝x 2sin 1-＝x 2cos ＝x x cos cos •∴xxx x cos sin 1sin 1cos +=-．证法7：∵1cos sin 22=+αα， ∴x 2cos =x 2sin 1-.cos sin 1sin 1cos )sin 1)(sin 1(cos cos xxx x x x x x +=-∴+-=⋅∴，例4已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是θθcos sin ，，求的值。

高三文科周末辅导11(三角函数专题练习)

1.已知函数2()2cos 3sin 2x f x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos21tan αα-的值．2.设函数23()3sin sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求()f x 的单调增区间，对称轴，对称中心；（III ）求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值； (IV)求()f x 在区间上的单调区间.3.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(2,),(cos ,cos ),p c a b q B C =-= p q ⊥ 且．（1）求角B 的大小；（2）若b =23，求△ABC 面积的最大值．4.在ABC ∆中,角A B C 、、的对边分别为a b c ,,,且满足2cos .c b A =（1）求证：A B =；（2）若ABC ∆的面积152S =,4cos 5C =,c 求的值.16、解：（Ⅰ）因为 ()1cos 3sin f x x x =+- ……………………1分 12cos()3x π=++， ……………………3分所以函数()f x 的周期为2π，值域为[1,3]-． ……………………5分（Ⅱ）因为 1()33f πα-=，所以 112cos =3α+，即1cos 3α=-． ……………………6分因为 22cos 2cos sin cos sin 1tan cos ααααααα-=-- ……………………8分 cos (cos sin )ααα=+2cos cos sin ααα=+， ……………………10分因为α为第二象限角，所以 22sin 3α=． ……………………11分所以 cos 21221221tan 999αα-=-=-．【解析】（1）p q ⊥ 由，可得(2)cos cos 0p q c a B b c =-+= ，由正弦定理：sin cos 2sin cos sin cos 0,sin()2sin cos .C B A B B C C B A B -+=+=从而（3分）又B + C =π– A ，sin(C + B ) = sin A ，且sin A ＞0，故1cos ,(0,),23B B B ππ=∈∴=又（6分）（2）由余弦定理b2 = a2 + c2– 2ac cos B = a2 + c2 –ac≥ac，又b =23，从而ac≤12 （9分）故113sin1233222ABCS ac B=≤⨯⨯=，因此当a = c =23时，△ABC的面积最大且最大值为33．。

高一第11讲三角函数概念(学生版)

四．典例剖析：
题型一终边相同的角与象限角
π 例 1 判断真假：(1)将表的分针拨快 10 分钟，则分针转过的角度是 .( ) 3 (2)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( ) (3)已知 A＝{小于 90°的角}， B＝{第一象限角}，则 A∩B＝{α|0°<α<90°}． ( (4)终边与坐标轴重合的角 α 的集合为{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}．( )
)
例2
在 0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
．课堂小结：解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k·360°，k∈Z，把所给的角化归到 0°～360°范围内，然后利用 0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
（B）2
（C）
1 2
（D） 2
5. (2008 年高考题四川理)设 0≤a＜2 .若 sin a＞ 3 cosα，则 α 的取值范围是
4 3 , ) （C） ( , ) ) （D） ( , 3 3 3 3 2 3 3 cos ( , ) 5 ，且 2 ，则 tanα＝__________. 6.(2011 年高考题重庆文)若
课堂小结：1.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． 1 1 2 2.记住下列公式：①l＝αR；②S＝ lR；③S＝ αR .其中 R 是扇形的半径，l 是弧长， 2 2 α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．
-4-/8
高一数学上第 11 讲
课堂练习 2：(1)已知扇形的半径为 10 cm，圆心角为 120°，则扇形的弧长为________，面积为________． 2 (2)设扇形的周长为 8 cm，面积为 4 cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________．

专题11 三角函数定义与三角函数恒等变换(解析版)

专题11 三角函数定义与三角函数恒等变换考点36 三角函数定义1．（2018•新课标Ⅰ，文11）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= ) A ．15BCD ．1【答案】B【解析】角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，22cos22cos 13αα∴=-=，解得25cos 6α=，|cos |α∴=，|sin |α∴=，|sin ||tan |||||21|cos |b a a b ααα-==-===-，故选B ．2．（2014新课标I ，文2）若tan 0α>，则A. sin 20α> B ． cos 0α> C ． sin 0α> D ． cos20α> 【答案】A【解析】由tan 0α>知，α在第一、第三象限，即2k k ππαπ<<+（k Z ∈），∴222k k παππ<<+，即2α在第一、第二象限，故只有sin 20α>，故选A ．3．（2011全国课标理5文7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ= （A ）45-(B)35- (C) 35 (D) 45【答案】B【解析】在直线2y x =取一点P （1，2），则rsin θ=y r∴cos2θ=212sin θ-=35-，故选B ．4．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin()απ+的值；(2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±．由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-．考点37同角三角函数基本关系与诱导公式1．（2019•新课标Ⅱ，文11）已知(0,)2πα∈，2sin2cos21αα=+，则sin (α= )A ．15B C D 【答案】B 【解析】2sin2cos21αα=+，∴可得：24sin cos 2cos ααα=，(0,)2πα∈，sin 0α>，cos 0α>，cos 2sin αα∴=，22222sin cos sin (2sin )5sin 1ααααα+=+==，∴解得：sin α，故选B ． 2．（2016新课标卷3，理5）若，则 (A)(B) (C) 1 (D) 【答案】A 【解析】由，得或，所以，故选A ．3．（2013浙江）已知，则（） A ．B ．C ．D ．3tan 4α=2cos 2sin 2αα+=6425482516253tan 4α=34sin ,cos 55αα==34sin ,cos 55αα=-=-2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=210cos 2sin ,=+∈αααR =α2tan 344343-34-【答案】C【解析】由2210(sin 2cos )()2αα+=可得2222sin 4cos 4sin cos 10sin cos 4αααααα++=+，进一步整理可得23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，于是22tan 3tan 21tan 4ααα==--，故选C ． 4．(2012江西)若，则tan2α=（）A ．−B ．C ．−D ．【答案】B【解析】分子分母同除cos α得：sin cos tan 11,sin cos tan 12αααααα++==--∴tan 3α=-，∴22tan 3tan 21tan 4ααα==- 5．（2013广东）已知，那么 A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】，选C ． 6．（2016•新课标Ⅰ，文14）已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= ．【答案】43-【解析】θ是第四象限角，∴222k k ππθπ-+<<，则22,444k k k Z ππππθπ-+<+<+∈，又3sin()45πθ+=，4cos()45πθ∴+=，∴)4cos(θπ-=)4sin(θπ+ =53，4sin()cos()445ππθθ-=+=，则)4tan(πθ-=)4tan(θπ-- =)4cos()4sin(θπθπ---=5354- =34-． 7．（2013新课标Ⅱ，理15）若θ为第二象限角，1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+= ．【答案】sin cos 1sin cos 2αααα+=-3434434351sin()25πα+=cos α=25-15-152551sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭【解析】（法1）由1tan()42πθ+=得，tan θ=13-，即cos 3sin θθ=-，∵22sin cos 1θθ+=， θ为第二象限角，∴sin θcos θ=sin cos θθ+=． 8．(2014江苏)已知，．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）∵()sin 2ααπ∈π，，，∴cos α== ()sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=；（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()314cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π-=+=+⨯-=考点38三角恒等变换1．（2020全国Ⅰ理9）已知() 0,πα∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= （）AB ．23C ．13 D【答案】A【思路导引】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论．【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又()0,,sin 3απα∈∴==，故选A ．2．（2020全国Ⅱ理2）若α为第四象限角，则（）A ．02cos >αB ．02cos <αC ．02sin >αD ．02sin <α 【答案】D【思路导引】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．),2(ππα∈55sin =α)4sin(απ+)265cos(απ-【解析】当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确，故选D ．3．（2020全国Ⅲ文5）已知sin sin 13θθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 6θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12 B C ．23D ．2【答案】B【思路导引】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值．【解析】由题意可得：1sin sin 12θθθ++=，则：3sin 12θθ+=1cos 2θθ+=从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．故选B ． 4．（2020全国Ⅲ理9）已知2tan tan 74θθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan θ= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】D【思路导引】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271t t t +-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=．故选D ．5．（2019•新课标Ⅱ，理10）已知(0,)2πα∈，2sin2cos21αα=+，则sin (α= )A ．15B C D 【答案】B【解析】2sin2cos21αα=+，∴24sin cos 2cos ααα=，(0,)2πα∈，sin 0α>，cos 0α>，cos 2sin αα∴=，22222sin cos sin (2sin )5sin 1ααααα+=+==，∴sin α，故选B ．6．（2019•新课标Ⅲ，文5）函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数，即：2sin sin20x x -=在区间[0，2]π的根个数，即2sin sin2x x =，即0)cos 1(sin =-x x ，即0sin =x 或1cos =x ，∵∈x [0，2]π，∴ππ2,,0=x ，故选B ．7．（2019•新课标Ⅰ，文7）tan 255(︒= ) A．2-B．2-+C．2D．2【答案】D【解析】∵tan 255tan(18075)tan75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30+︒+︒======+-︒︒故选D ．8．（2018•新课标Ⅲ，理4文4）若1sin 3α=，则cos2(α= )A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【答案】B 【解析】1sin 3α=，217cos212sin 1299αα∴=-=-⨯=，故选B ． 9．（2017新课标卷3，文4）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【解析】因为()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===-- ，故选A ．10．（2016•新课标Ⅱ，理9）若3cos()45πα-=，则sin 2(α= )A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【解析】法31:cos()45πα︒-=，297sin 2cos(2)cos2()2cos ()1212442525πππαααα∴=-=-=--=⨯-=-，法32:cos()cos )45πααα︒-=+=，∴19(1sin 2)225α+=，97sin 2212525α∴=⨯-=-，故选D ．11．（2015新课标Ⅰ，理2）sin20°cos10°-con160°sin10°=A ．B C ．12- D ．12【答案】D【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D ． 12．（2014新课标Ⅰ，理8）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【答案】B【解析】∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B13．（2013新课标Ⅰ，文6 ）（A （B （C （D 【答案】A【解析】因为2sin 23α=，所以21cos ()[1cos 2()]424ππαα+=++=1(1sin 2)2α-=16，故选A ．， 14．（2015重庆）若tan 2tan5πα=，则3cos()10sin()5παπα--＝（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=-33cos2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=-33cos cos 2sin sin 510510sin cos55ππππππ+= ＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C ． 15．（2012山东）若，，则（） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由可得，，，故选D ． 16．（2011浙江）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+= A．33 B ．33- C ．539 D ．69- 【答案】C 【解析】cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα++-，而3(,)444πππα+∈，(,)4242πβππ-∈，因此sin()43πα+=，sin()423πβ-=，则1cos()233βα+=+= 17．（2020全国Ⅱ文13）设32sin -=x ，则=x 2cos ．【答案】19【思路导引】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可．【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=．故答案为：19． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ8732sin =θ=θsin 5354474342ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，],2[2ππθ∈812sin 12cos 2-=--=θθ4322cos 1sin =-=θθ18．（2020江苏8）已知22sin ()43πα+=，则sin2α的值是________．【答案】13【解析】∵22sin ()43πα+=，由2112sin ()(1cos(2))(1sin 2)42223ππααα+=-+=+=，解得1sin 23α=．19．（2020浙江13）已知tan 2θ=，则cos2θ= ；πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．【答案】35-；13【思路导引】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2θ，根据两角差正切公式得tan()4πθ-【解析】22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===-++，tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，故答案为：35-；13． 20．（2020北京14）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为．【答案】2π 【解析】∵()sin()cos f x x x ϕ=++sin cos cos sin cos x x x ϕϕ=++sin cos cos (sin 1)x x ϕϕ=++)x θ=+，则22cos(sin 1)4ϕϕ++=，22cos sin 2sin 1ϕϕϕ+++12sin 14ϕ=++=，∴sin 1ϕ=，∴2πϕ=． 21．（2018•新课标Ⅱ，理15）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= ．【答案】12-【解析】sin cos 1αβ+=，两边平方可得：22sin 2sin cos cos 1ααββ++=，①，cos sin 0αβ+=，两边平方可得：22cos 2cos sin sin 0ααββ++=，②，由①+②得：22(sin cos cos sin )1αβαβ++=，即22sin()1αβ++=，2sin()1αβ∴+=-，1sin()2αβ∴+=-． 22．（2018•新课标Ⅱ，文15）已知51tan()45πα-=，则tan α= ．【答案】32【解析】51tan()45πα-=，1tan()45πα∴-=，则11tan()tan1563544tan tan()14451421tan()tan 11445ππαππααππα+-++=-+=====----⨯． 23．（2017新课标卷，文14）已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为(0,)2πα∈，所以cos αα==，因为cos()cos cos sin sin444πππααα-=+，所以cos()4525210πα-=+=．24．（2019北京9）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是 ________．【解析】因为21cos 411sin 2cos 4222x f x x x -===-（）（），所以f x （）的最小正周期2π4T ==25．（2019江苏13）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_________．【解析】由tan 23tan()4αα=-π+，得tan 23tan tan 41tan tan4ααα=-π+π-，所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-．当tan 2α=时，22tan 4sin21tan 5ααα==+，221tan 3cos21tan 5ααα-==-+，43sin(2)sin2cos cos2sin 44455αααπππ+=+==当1tan 3α=-时，22tan 3sin21tan 5ααα==-+，221tan 4cos21tan 5ααα-==+，11 / 11所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=-⨯+⨯=．综上，sin(2)4απ+的值是10． 26．（2017北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________．【答案】79-【解析】∵角α与角β的终边关于y 轴对称，所以2k αβππ+=+，所以1sin sin(2)sin 3k βππαα=+-==，cos cos βα=-；222cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 1αβαβαβααα-=+=-+=-2172()139=⨯-=-．27．（2017江苏）若1tan()46πα-=，则tan α= ．【答案】75 【解析】tan()tan 744tan tan[()]4451tan()tan 44ππαππααππα-+=-+==--⨯．28．（2015四川）=+ 75sin 15sin ．【答案】2【解析】． 6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)+=+=+=。

专题11 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式(重难点突破) 解析版

（2）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()
A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋ π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋ (k∈Z)
【答案】C
【解析】与的终边相同的角可以写成2kπ＋ (k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.
故答案为：C
（3）．（2020·海南临高二中高二期末）（多选题）下列结论正确的是（）
选项D：角为锐角时，，所以D不正确，故选:BC
【变式训练1-1】．（1）终边在直线上的角的集合是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】与终边在一条直线上的角的集合为，
∴与终边在同一直线上的角的集合是 .故选A.
（2）. 的角属于第ຫໍສະໝຸດ ________象限.【答案】二
【解析】在第二象限,所以的角属于第二象限
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝ .
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tanθ化成正切
表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ＝tan
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．若角的终边过点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
【答案】BC
【解析】选项A：终边与相同，为第二象限角，所以A不正确；

中考数学专练11(三角函数大题)(30题)(老师版)

2022中考考点必杀500题专练11（三角函数大题）（30道）1．（2022·浙江绍兴·一模）如图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点,,B E D 均为可转动点，现测得20cm AB BE ED CD ====，经多次调试发现当点,B E 都在CD 的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．(1)求放置最平稳时灯座DC 与灯杆DE 的夹角的大小；(2)当A 点到水平桌面（CD 所在直线）的距离为42cm 43cm -时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将ABE ∠调节到105︒，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin150.26,cos150.97,tan15 1.73︒=︒=︒==）【答案】(1)灯座DC 与灯杆DE 的夹角为60°(2)此时光线最佳【解析】(1)解：延长BE 交DC 于点F ，则由题可知EF ⊥CD 且FD =12CD =10cm ； ⊥1cos 2DF D DE ∠== ⊥⊥D =60° 即灯座DC 与灯杆DE 的夹角为60°；(2)解：作AM ⊥DC 于点M ，作BG ⊥AM 于点G ，则四边形GMFB 是矩形⊥⊥GBF=90°⊥sin=⋅，EF DE D⊥2037.3cm=+=+≈，GM BE EF⊥⊥ABE =105°，⊥⊥ABG =15°⊥sin15 5.2=⋅=cmAG AB⊥AM=37.3+5.2=42.5cm⊥此时光线最佳．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2．（2022·安徽·东至县教育体育局教学研究室一模）如图1，某游乐场建造了一个大型摩天轮，工程师介绍：若你站在摩大轮下某处（A点）以30的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（C点），可测得AC的长度为30m，以63︒的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方（D点），如图2，设摩天轮圆轮的直径CD垂地面于点B，点A，B在同一水平面上．（人的身高忽略不计， 1.73,sin630.89,cos630.45,tan63 1.96≈︒≈︒≈︒≈，结果精确到个位）(1)求AB的长；(2)求摩天轮的圆轮直径（即CD的长）．【答案】(1)26m ；(2)36m【解析】(1)解：根据题意知30,30,90=∠=∠︒︒=AC CAB B ，⊥cos 30cos303026(m)=⋅∠=⨯=︒≈AB AC CAB ．答：AB 的长约为26m ．(2)解：根据题意知30,30,90,63=∠=︒∠︒=︒∠=AC CAB B DAB ， ⊥1sin 30sin303015(m)2=⋅∠=⨯︒=⨯=BC AC CAB ．由（1）知26AB =， ⊥tan ,∠=DB DAB AB ⊥tan 26tan 6326 1.9651(m)=⋅∠=⨯︒≈⨯≈DB AB DAB⊥511536()=-=-=CD DB BC m ．答：摩天轮的圆轮直径约为36m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数解直角三角形是解题的关键．3．（2021·陕西渭南·二模）西安汉城湖景区巨大的汉武帝塑像背北朝南，一手执剑安边，广布王道与蛮夷；一手樾泽众生，推行儒术与天下，展示了汉武帝一统江山、胸怀万里的豪迈气概（如图1）．小明想利用所学知识测量汉武帝塑像的高度BE ，测量方法如下：如图2，在地面上的点C 处测得塑像顶端E 的仰角为37︒，从点C 走到点D ，测得24CD =米，从点D 测得塑像底端B 的仰角为26.5︒，已知A ，B ，E 在同一条垂直于地面的直线上，点C 、D 、A 在一条直线上，7AB =米，请你根据题中提供的相关信息，求塑像BE 的高度（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，sin26.50.45︒≈，cos26.50.89︒≈，tan26.50.50︒≈）【答案】塑像BE 的高度约为21.5米．【解析】解：由题意知，在Rt ABD △中，26.5ADB ∠=︒，7AB =米， ⊥714tan 26.50.5AB AD =≈=︒（米）， ⊥24CD =米，⊥142438AC AD CD =+=+=（米），在Rt ACE △中，37ACE ∠=︒，⊥38tan37380.7528.5AE =⨯︒≈⨯=（米），⊥7AB =米，⊥28.5721.5BE AE AB =-=-=（米），答：塑像BE 的高度约为21.5米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握“利用锐角三角函数求解直角三角形的边长”是解本题的关键． 4．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室二模）风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，中国风筝问世后，很快被用于传递信息，飞跃险阻等军事需要，唐宋以后传入民间，成为人们休闲娱乐的玩具．上周末，小伟和爸爸一起去野外放风筝，不慎，两个风筝在空中P 处缠绕在一起，如图，小伟在地面上的A 处测得点P 的仰角为30°，爸爸在距地面2米高的C 处（即2BC =米）测得点P 的仰角为60°，已知A 、B 、D 在一条直线上，PD AD ⊥，CB AD ⊥，160AB =米，求此时风筝P 处距地面的高度PD ．（结果保留根号）【答案】风筝P 处距地面的高度PD 为()1米．【解析】解：过点C 作CE PD ⊥于点E ，如图，根据题意可得90CEP D ∠=∠=︒，四边形BCED 为矩形，⊥2DE BC ==米，CE BD =，设BD CE x ==米，则()160AD AB BD x =+=+米，在Rt PCE △中，tan 60PE CE =⋅︒=米，⊥)2PD PE DE =+=+米．在Rt PAD △中，tan tan30PD A AD =︒==⊥AD =，即)1602x +=+，解得80x =-⊥(8021PD +=（米）．即此时风筝P 处距地面的高度PD 为()1米．【点睛】本题主要考查了三角函数解决实际问题，解题关键是根据题意构建直角三角形并利用三角函数求解． 5．（2022·陕西·一模）如图，学校一幢教学楼AB 的顶部竖有一块写有校训的宣传牌AC ，小同在M 点用测倾器测得宣传牌的底部A 点的仰角为31︒，他向教学楼前进7米到达N 点，测得宣传牌顶部C 点的仰角为45︒，已知广告牌AC 的高度为3米，测倾器 1.5DM EN ==米，点B 、M 、N 在同一水平面上，不考虑其他因素，求教学楼AB 的高度．（结果保留整数，参考数据sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.61︒≈）【答案】17【解析】连接DE并延长交BC于F，⊥DM⊥MB，EN⊥MB，⊥DM⊥EN，⊥DM=EN，⊥四边形DMNE是矩形，⊥BM⊥DF，DE=MN=7⊥DF⊥CB， 1.5DM EN BF===设AF=x，⊥CF=3+x，在Rt△BCF中，⊥⊥CEF=45°，⊥EF=FC=x+3，⊥DF=EF+DE=x+3+7=x+10，在Rt△AED中，tan⊥ADF=AF DF，⊥tan 31x DF︒=， ⊥tan 31x DF =︒⊥0.6101x DF x ==+ 解得15.6x ≈⊥AB =AF +BF =15.6 1.517+≈，答：教学楼AB 的高度是17米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，结合图形利用三角函数解直角三角形是解答此题的关键．6．（2022·河南·西峡县基础教育教学研究室一模）数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间测量一栋教学楼的高度．如图，在C 点测得楼顶A 点的仰角为45°，从C 点经斜面CE 到达高台上E 点测得A 点的仰角为22°，测得CD =16米，EF =3米．已知斜面CE 的坡度1:6.5i =，⊥CDF =90°，EF //CD ，点B 、C 、E 在同一平面内，且点B 、C 、D 在同一条直线上．求楼高AB ．（参考数据：sin22°≈0.38，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【答案】楼高AB 约为12米【解析】解：如图所示，延长FE 交AB 于G ，过点E 作EH ⊥BD ，则四边形EFDH 和四边形BGEH 都是矩形， ⊥BG =EH ，DH =EF =3米，GE =BH ，⊥CH =13米⊥斜面CE 的坡度1:6.5i =， ⊥1:6.5EH CH=， ⊥BG =EH =2米，设AB =x 米，则()2AG AB BG x =-=-米，⊥⊥ACB =45°，⊥ABC =90°，⊥⊥BAC =45°=⊥ACB ，⊥BC =AC =x 米，⊥()13EG BH BC CH x ==+=+米， ⊥tan AG AEG GE ∠=， ⊥2tan 220.413x x -=︒≈+， ⊥20.4 5.2x x -=+，⊥12x =，⊥楼高AB 约为12米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．7．（2022·辽宁锦州·一模）某数学兴趣小组测量一栋高层住宅楼AB 的高度，在住宅楼AB 对面的多层洋房CD 的楼底C 处，测得住宅楼AB 楼顶A 的仰角为63.4︒（即63.4ACB ∠=︒），在多层洋房CD 的楼顶D 处测得住宅楼AB 楼底B 的俯角为11.3︒（即11.3BDE ∠=︒），已知10m CD =，求高层住宅楼AB 的高度．（结果保留整数，测量工具的高度忽略不计．参考数据：sin 63.40.894︒≈，cos63.40.448︒≈，tan 63.4 1.997︒≈，sin11.30.196︒≈，cos11.30.981︒≈，tan11.30.200︒≈）【答案】高层住宅楼AB 的高度为100m【解析】解：依题意，得//BC ED ，⊥11.3CBD BDE ∠=∠=．在Rt BCD 中，90BCD ∠=，10m CD =⊥tan CD CBD BC ∠=， ⊥100.200BC≈ ⊥()50.00m BC =在Rt ABC 中，90ABC ∠=，63.4ACB ∠= ⊥tan AB ACB BC ∠=， ⊥1.99750.0AB = ⊥()100m AB ≈答：高层住宅楼AB 的高度为100m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．8．（2022·重庆渝中·二模）2021年7月，央视财经频道献礼建党100周年大型纪录片《大国建造》第二集《栋梁之材》中专门报道了重庆来福士塔楼．王老师为了测量来福士塔楼的高度，他在江北嘴嘉陵江边A 处沿坡角为22°的斜坡AC 走了80米到达点C ，此时正好与江对岸的朝天门广场D 及来福士塔楼底部E 在同一水平线上．点C 处测得观景台F 的仰角为24°，测得塔楼最高点G 的仰角为32．2°（A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 在同一平面）．据央视报道可知250EF =米．（参考数据：sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈；sin 240.41︒≈，cos240.91︒≈，tan 240.45︒≈；sin32.20.53︒≈，cos32.20.85︒≈，tan32.20.63︒≈．）(1)求朝天门广场D 与嘉陵江江面AB 的垂直距离；（结果取整数）(2)求塔楼高度GE 的值．（结果取整数）【答案】(1)30米(2)350米【解析】(1)过C 作CM ⊥AB 于M⊥C 正好与江对岸的朝天门广场D 及来福士塔楼底部E 在同一水平线上⊥朝天门广场D 与嘉陵江江面AB 的垂直距离即为CM 的长度，在Rt ⊥CAM 中，22,80CAM AC ∠=︒=，sin CM CAM AC∠= ⊥sin 80sin 22800.3729.630CM AC CAM =⋅∠=⨯︒≈⨯=≈⊥朝天门广场D 与嘉陵江江面AB 的垂直距离为30米；(2)Rt ⊥CEF 中，24,250ECF EF ∠=︒=，tan EF ECF CE ∠=⊥2502505000tan tan 240.459EF CE ECF ==≈=∠︒ Rt ⊥CEG 中，500032.2,9ECG CE ∠=︒=,tan GE ECG CE∠= ⊥50005000tan tan 32.20.6335099GE ECG GE =∠⋅=︒⨯≈⨯=（米）．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．（2022·浙江台州·一模）如图所示是国际标准的篮球架，某兴趣小组想知道篮筐中心A 到地面的高度，现测得如下数据：CD 垂直于地面，255cm CD =，90cm BC =，AB 平行于地面，145ABC ∠=︒，请你利用学过的知识帮他们求出该高度．（结果精确到1cm ，参考数据：sin350.57︒=，cos350.82︒=，tan350.70︒=）【答案】306cm【解析】解⊥如图，过点B作BH⊥EF于点H，过点C作CG⊥BH于点G，过点A作AK⊥EF于点K，根据题意得：AB⊥EF，⊥⊥ABH=⊥BHF=⊥AKH=⊥CGH=⊥CGH=⊥CDH=90°，⊥四边形ABHK和CDHG是矩形，⊥AF=BH，GH=CD=255cm，⊥145ABC∠=︒，⊥⊥BCG=35°，在Rt⊥BCG中，sinBGBCGBC∠=，90cmBC=，⊥sin900.5751.3cmBG BC BCG=⋅∠≈⨯=，⊥AF=BH=BG+GH=51.3+255≈306cm，答：篮筐中心A到地面的高度为306cm．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意，准确构造直角三角形是解题的关键．10．（2022·云南·云大附中模拟预测）某工程队计划测量一信号塔OC的高度，由于特殊原因无法直接到达信号塔OC底部，因此计划借助坡面高度来测量信号塔OC的高度；如图，在信号塔OC旁山坡坡脚A处测得信号塔OC顶端C的仰角为70°，当从A处沿坡面行走13米到达P处时，测得信号塔OC顶端C的仰角刚好为45°．已知山坡的坡度i＝1：2.4，且O，A，B在同一直线上．(1)求点P 到水平地面OB 的距离．(2)求信号塔OC 的高度．（侧倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.7．）【答案】(1)5米(2)27.0米【解析】(1)解：如图，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥OC 于点F ，⊥i ＝1：2.4，13AP =， ⊥15tan 2.412PE PAE AE ∠===， ⊥设PE =5x ，则AE =12x ，在Rt ⊥AEP 中，由勾股定理得：(5x )2＋(12x )2=132，解得：1x =或1x =-（舍去），⊥PE =5，则AE =12，⊥点P 到水平地面OB 的距离为5米．(2)解：⊥⊥CPF =⊥PCF = 45°，⊥CF PF =，设CF =PF =m 米，则OC = (m ＋5) 米，OA =(m －12)米，在Rt ⊥AOC 中，5tan 7012OC m OA m +︒==-，即：()5tan7012m m +=︒⋅-，解得：22.0m ≈，⊥22.0527.0OC ≈+=（米）⊥信号塔OC 的高度约为27.0米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角、坡度的定义，解题的关键是要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．11．（2022·新疆乌鲁木齐·一模）如图，小明在红山塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测得塔顶G 的仰角为37°，在A 点和塔之间选择一点B ，测得塔顶G 的仰角为45°，又测得3AB =米，已知测角仪的高 1.5AF =米，请你帮小明计算出塔CG 的高度．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）【答案】10.5米【解析】如图，延长FE ，交GC 于点H ，由題意可知HC =EB = F A =1.5，EF =AB =3，⊥GEH =45°，⊥GFH =37°，设GH =x 米，在Rt △GHE 中，⊥GHE =90°，⊥GEH =45，．⊥HE =GH =x ，在Rt △GHF 中，tan⊥GFH =GH HF ，即tan 37°=3x x +， ⊥343x x =+，解得x =9，⊥CG =GH + HC =10.5（米）．答：塔的高度为10.5米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．（2022·河南平顶山·二模）2020年12月26日，“最美无背锁斜拉桥”鹰城大桥正式通车，作为全省唯一一座跨高铁的大型立交桥，通车后将极大缓解该区域的交通压力．某数学兴趣小组到现场测量塔AB 的高度AD ．如图，他们选取的测量点C 与塔底部B 在同一条水平线上，测得塔AB 与BC 所在水平线的夹角为57°，在C 点处测得塔顶A 的仰角为45°，已知塔底B 到测量点C 的距离为20.76米，求塔高AD ．（结果精确到0.1米．参考数据：sin570.84︒≈，cos570.54︒≈，tan57 1.54︒=）【答案】塔的高度AD 约为59.2米．【解析】解：由题意可知，⊥ABD =57°，⊥ACD =45°，BC =20.76米，在RtACD 中，由于⊥ACD =45°，⊥AD =CD ，设AD =x 米=CD ，则BD =（x -20.76）米，在RtABD 中， ⊥tan57°=AD BD， ⊥1.54（x -20.76）=x ，解得x ≈59.2（米），答：塔的高度AD 约为59.2米．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解两个直角三角形的边角之间的关系是正确解答的关键．13．（2022·河南濮阳·一模）国家“十四五规划”减少化石能源的消耗，减少碳排放作为今后的重要任务之一，各地响应国家号召都在大力发展风电．某学校数学活动小组去实地对风电塔进行测量．如图1风电机组主要由塔杆和叶片组成，图2是由图1画出的平面图．假设站在A 处测得塔杆顶端C 的仰角是55°，沿F A 方向水平前进25米到达坡底E 处，在山顶B 处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D （D 、C 、F 在同一直线上）的仰角是45°，已知叶片的长度为20米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），坡高BE 为10米，BE EF ⊥，CF EF ⊥，求塔杆CF 的长（参考数据：tan55 1.4︒≈，tan350.7︒≈，sin550.8︒≈，sin350.6︒≈）．【答案】52.5米【解析】解：过点B 作BG DF ⊥于点G ，设塔杆CF 的长为x 米，则()20DF x =+米，⊥BE EF ⊥，CF EF ⊥，⊥四边形BEFG 是矩形．⊥坡高BE 为10米，⊥10FG =米，⊥()10DG DF FG x =-=+米．在Rt BDG △中，45DBG ∠=︒，⊥()10BG DG x ==+米，⊥()10EF x =+米．⊥25AE =米，⊥()15AF EF AE x =-=-米．在Rt ACF 中，55CAF ∠=︒， ⊥tan 1.415CF x CAF AF x ∠==≈-，解得52.5x =．答：塔杆CF 的长为52.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 14．（2022·辽宁抚顺·二模）如图，小明为了测量小河对岸大树BC 的高度，他在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°，沿斜坡走13米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B 的仰角为31°，且斜坡AF 的坡度为1：2.4．(1)求小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度；(2)大树BC 的高度约为多少米？（参考数据：sin 31°＝0.52，cos 31°＝0.86，tan 31°≈0.60）【答案】(1)小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度为5米(2)大树的高度约为30.5米【解析】(1)解：作DH ⊥AE 于H ，如图所示：在Rt ⊥ADH 中， ⊥12.4DH AH =， ⊥5AH =12DH ，⊥AH 2+DH 2=AD 2，⊥DH=5，⊥AH=12．答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为5米．(2)延长BD交AE于点G，设BC=xm，由题意得，⊥G=31°，⊥5250603DHGHtan G.=≈=∠，⊥AH=2.4，DH=12，⊥GA=GH+AH=253+12=613，在Rt⊥BGC中，tan⊥G=BC GC，⊥50603BC xCG xtan G.=≈=∠，在Rt⊥BAC中，⊥BAC=45°，⊥AC=BC=x．⊥GC-AC=AG，⊥561 33x x-=，解得：x=30.5．答：大树的高度约为30.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线是解题的关键．15．（2022·河南商丘·二模）2022年，中国举办了一个史无前例的冬奥会，民众对冰上运动的热情高涨．某滑雪场设计了一条滑雪道，该滑雪道由直道和停止区两部分组成．如图所示，AB为平台部分，AC为该滑道的直道部分，其与水平滑道之间均可视为平滑相连，滑道AC的坡角30ACF∠=，AC长为120米，滑雪道的停止区EC长为80米．为增加安全性，滑雪场修改方案，将滑道坡度减缓，新设计另一滑道AD，其坡角23ADF ∠=︒．问：新设计的滑道停止区ED 的长度为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：sin230.391≈，cos230.92l ≈，tan230,424≈ 1.732）【答案】新设计的滑道停止区ED 的长度约为42.4米．【解析】解：过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ，如图：在直角⊥ACG 中，120AC =，30ACF ∠=︒，⊥cos30120CG AC =⨯︒==1sin 30120602AG AC =⨯︒=⨯=，⊥80EG EC CG =+=+在直角⊥ADG 中，60AG =，⊥23ADG ∠=︒， ⊥141.51tan 23AG DG ≈︒=，⊥80141.5142.4142.4ED EG DG =-=+=≈（米）答：新设计的滑道停止区ED 的长度约为42.4米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，解题的关键是正确的作出辅助线，利用解直角三角形进行计算．16．（2022·四川成都·二模）第31届世界大学生运动会将于2022年6月26日在成都举行，主火炬塔位于东安湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火炬塔CD 的大致高度，当他步行至点A 处，测得此时塔顶C 的仰角为42°，再步行20米至点B 处，测得此时塔顶C 的仰角为65°（如图2所示，点A ，B ，D 在同一条直线上），请帮小杰计算火炬塔CD 的高．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，结果保留整数）【答案】火炬塔CD 的高31米【解析】解：设CD =x ，则tan 2.14CD x BD CBD ==∠ ，tan 0.90CD x AD CAD ==∠， ⊥AB =AD -BD ， ⊥200.90 2.14x x -= ，解得x =31，故CD =31（米），答：火炬塔CD 的高31米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，解题的关键是理解仰角和俯角的定义．17．（2022·山西阳泉·一模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕. 北京冬奥会为绿色办奥、科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量. 图⊥，图⊥分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED 与斜坡AB 垂直，大腿EF 与斜坡AB 平行，G 为头部，假设,,G E D 三点共线，若大腿弯曲处与滑雪板后端的距离EM 长为0.9m ，该运动员大腿EF 长为0.4m ，且其上半身GF 长为0.8m ，35EMD ∠=︒．(1)求此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角GFE ∠的度数；(2)求此刻运动员头部G 到斜坡AB 的高度. （结果精确到0.1m ，参考数据：sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70︒≈ 1.73≈）【答案】(1)此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角60GFE ∠=︒(2)此刻运动员头部G 到斜坡AB 的高度约为1.2m【解析】(1)如图，连接GE ，⊥EF AB ∥，ED AB ⊥，,,G E D 三点共线，⊥90GEF EDM ∠=∠=︒⊥04m,0.8m EF GF ==， ⊥0.41cos 0.82EF GFE GF ∠===. ⊥60GFE ∠=︒.(2)由（1）得60GFE ∠=︒⊥在Rt GFE 中，sin 0.80.69m GE GF GFE =⋅∠=≈. 在Rt EDM 中，35,0.9m EMD EM ∠=︒=，⊥sin 0.9sin350.51m ED EM EMD =⋅∠=⋅︒≈.⊥0.690.51 1.2m GD GE ED =+≈+=.答：此刻运动员头部G 到斜坡AB 的高度约为1.2m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，锐角三角函数定义，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．18．（2022·河南开封·一模）北京2022年冬奥会自由式滑需和单板滑雪比赛的场地首钢滑大跳台，又称“雪飞天”，从远处看就像一只绝美的“水晶鞋”．某数学活动小组准备测量大跳台主体AB 的垂直高度，如图，选取的测量点C ，D 与AB 的底部B 在同一水平线上．测得CD 的长度为15m ．在C ，D 处测得跳台顶部A 的仰角分别为37.5°、45°，求跳台AB 的高度（结果精确到1m ．参考数据：sin37.50.609cos37.50.793tan37.50.767︒≈︒≈︒≈，，）【答案】49 m【解析】解：AB BC ⊥，45ADB ∠=︒设AB x =m ，则BD AB x ==，CD 的长度为15m15BC x ∴=+在Rt ABC △中，tan 0.767AB C BC == 即0.76715x x =+ 解得49x ≈答：跳台AB 的高度为49 m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．19．（2022·河南·模拟预测）郑州二七纪念塔位于郑州市二七广场，是为纪念京汉铁路工人大罢工中牺牲的烈士，发扬“二七”革命传统而修建的纪念性建筑．如图，某综合实践小组为测量塔顶旗杆的高度，在马路对面建筑物楼下选取了与二七塔的底部C 在同一水平线上的测量点D ，在建筑物楼上选取测量点E ，DE CD ⊥．已知，塔身BC 高63m ，18m ED =，在D 处测得旗杆顶部A 的仰角为58°，在E 处测得旗杆底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度（参考数据sin580.85︒≈，cos580.53︒≈， tan58 1.6︒≈）．【答案】9m【解析】解：过E 作EF AC ⊥交于点F ，如图：由题意可知：四边形CDEF 为矩形，⊥18m CF ED ==，⊥631845m BF =-=⊥45BEF ∠=︒⊥45m=BF EF CD ==⊥58ADC ∠=︒ ⊥tan 58= 1.6AC CD︒= ⊥=1.6 1.64572m AC CD ⨯=⨯=⊥旗杆高度：=72639m AC BC --=．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是构造Rt BEF △，求出45m=BF EF CD ==，利用tan 58= 1.6AC CD︒=求出AC ．20．（2022·山东潍坊·一模）某移动公司为了提升网络信号，在坡度1:2.4i =的山坡AD 上加装了信号塔PQ （如图所示），信号塔底端Q 到坡底A 的距离为3.9米．为了提醒市民，在距离斜坡底A 点5.4米的水平地面上立了一块警示牌MN ，当太阳光线与水平线所成的夹角为53︒时，信号塔顶端P 的影子落在警示牌上的点E 处，且EN 长为3米．(1)求点Q 到水平地面的铅直高度；(2)求信号塔PQ 的高度大约为多少米？（参考数据：sin530.8,cos530.6,tan53 1.3︒≈︒≈︒≈）【答案】(1)1.5米(2)13.2米【解析】(1)解：作QH AB ⊥，垂足为H ，由1:2.4i =，可得:5:12=QH HA ，设5=QH x ，则12=HA x ，在Rt AQH △中，由勾股定理可得222+=QH AH AQ ，⊥222(5)(12) 3.9+=x x解得0.3x =，⊥5 1.5==QH x （米），所以，点Q 到水平地面的铅直高度是1.5米．(2)解：作⊥ES PQ ，垂足为S ，则120.3 5.49,53=+=⨯+=∠=︒ES HA AN PES ，⊥在Rt PES 中，tan ∠=PS PES ES ，即tan539︒=PS ． ⊥9 1.311.7≈⨯=PS （米），⊥11.73 1.513.2=+-=+-=PQ PS EN QH （米）所以，信号塔PQ 的高度大约为13.2米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，解决本题的关键是熟练掌握坡度坡角的概念． 21．（2022·北京市燕山教研中心一模）疫情防控过程中，很多志愿者走进社区参加活动．如图所示，小冬老师从A 处出发，要到A 地北偏东60︒方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 处，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地C 处，求A ，C 两地的距离． 1.414 1.732≈≈）【答案】346m【解析】解：⊥120ABC ∠=︒⊥30CAB ACB ∠=∠=︒⊥200AB CB ==过点C 作垂线交AB 延长线于点D ，⊥30BCD ∠=︒．在Rt BDC 中，200CB =⊥100BD =⊥DC =又在Rt DCA △中，30ACB ∠=︒．⊥346AC =⊥A ，C 两地的距离是346m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键．22．（2022·山东青岛·一模）一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为24︒．无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点Q 处，此时测得该建筑物底端B 的俯角为66︒．已知建筑物AB 的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：2sin 245≈，9cos 2410︒≈，9tan 2420︒≈，9sin 6610︒≈，2cos665︒≈，9tan 664︒≈）【答案】无人机飞行时距离地面的高度为72米【解析】解：如图，延长BA 交PQ 的延长线于点C ，由题意可得，PC ⊥BC ，在Rt⊥PCA 中，tan24°=48AC AC AC PC PQ QC QC ==++≈920，可得20489QC AC =-，在Rt⊥BCQ 中，tan66°=3694BC AC QC QC +=≈， QC =4169AC +， ⊥20489AC -=4169AC +，解得AC =36，⊥BC =BA +AC =36+36=72（米）即无人机飞行时距离地面的高度为72米．【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用—仰俯角问题，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．（2022·浙江金华·模拟预测）如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C 在主轴AB 上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变，已知支脚DE ＝AB ．底座CD ⊥AB ，BG ⊥AB ，且CD ＝BG ，F 是DE 上的固定点，且EF ：DF ＝2：3．（1）当点B ，G ，E 三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan⊥BED ＝2．设BC ＝5a ，则FG ＝__（用含a 的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，若将点C 向下移动24cm ，则点B ，G ，F 三点在同一直线上（如图2），此时点A 离地面的高度是__cm ．【答案】52a 19+【解析】解：（1）如图1中，连接DG ，EG ，过点F 作FH ⊥BE 于H ，则四边形CDGB 是矩形．⊥BC ＝DG ＝5a ，在Rt⊥DEG 中，tan⊥DEB ＝DG EG＝2，⊥52a EG =，DE =， ⊥FH ⊥DG ，⊥23EF EH DF GH ==， ⊥⊥EFH ⊥⊥EDG ，⊥25EF EH DE EG ==，⊥2255EF DE ===，⊥DF ，EH ＝25EG ＝2552a ⨯＝a ，HG ＝EG ﹣EH ＝52a ﹣a ＝32a ，⊥2FH a ==，⊥52FG a =；（2）如图1中，连接DG ，EG ，过点F 作FH ⊥BE 于H ，则四边形CDGB 是矩形．设BC ＝DG ＝2xcm ，在Rt⊥DEG 中，tan⊥DEB ＝DG EG＝2， ⊥EG＝x （cm ），DE ==（cm ）， ⊥FH ⊥DG ，⊥23EF EH DF GH ==，⊥DF （cm ），EH ＝25x （cm ），HG ＝35x （cm ），⊥45FH x ==（cm ），⊥ FG x =（cm ），如图2中，连接DG ．⊥DF 2＝DG 2+FG 2，⊥()222224x x ⎪=⎫-⎪+⎝⎭，解得15x =+15x =-，⊥(15AB DE ===+cm ，作EJ ⊥BF 交BF 的延长线于J ．则EJ ＝EF •sin⊥EFJ ＝（cm ，⊥点A 离地面的高度＝AB +EJ ＝（cm ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及到相似三角形的判定及其性质、勾股定理、正切等，解题的关键是正确解读题意，学会利用参数构建方程解决问题．24．（2022·安徽·一模）某通信公司准备逐步在合肥大蜀山上建设5G 基站．如图，某处斜坡CB 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，通讯塔AB 垂直于水平地面CF ，在C 处测得塔顶A 的仰角45ACF ∠=︒，在D 处测得塔顶A 的仰角53ADE ∠=︒，D 到水平地面的距离10DM =米，求基站AF 的高度．（参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）【答案】66米【解析】解：根据题意得：EF =DM =10米，DE =MF ，⊥斜坡CB 的坡度1:2.4i =， ⊥12.4DM CM =， ⊥CM =24米，设AE =x 米，则AF =（x +10）米，⊥45ACF ∠=︒，AF ⊥CF ，⊥⊥CAF =⊥ACF =45°，⊥AF =CF =（x +10）米，⊥DE =MF =x +10-24=（x -14）米，⊥53ADE ∠=︒， ⊥tan 53AE DE=︒，即4143x x ≈-，解得：x =56，⊥AF =66米，答：基站AF 的高度为66米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．25．（2022·安徽淮北·一模）某市为了加快5G 网络信号覆盖，在市区附近小山顶部架设信号发射塔，如图所示．为了知道发射塔的高度，小兵从地面上的一点A 测得发射塔顶端P 点的仰角是45︒，向山前走60米到达B 点测得P 点的仰角是60︒，测得发射塔底部Q 点的仰角是30．请你帮小兵计算出信号发射塔PQ 的高度． 1.7)【答案】94米【解析】⊥⊥P AC =45°，⊥PCA =90°，⊥AC =PC ，⊥⊥PBC =60°，⊥QBC =30°，⊥PCA =90°，⊥⊥BPQ =⊥PBQ =30°，⊥BQ =PQ ，CQ =12BQ ，设BQ =PQ =x ，则CQ =12BQ =12x ，根据勾股定理可得BC ， ⊥AB +BC =PQ +QC ，即=x +12x解得：606020 1.794x =+≈+⨯=，⊥PQ 的高度为94米．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，找出等量关系是解题关键． 26．（2022·四川·岳池县教研室二模）2022年春节期间，成都的夜景出圈了！一场场灯光秀不仅让本地人饱了眼福，也让外地游客流连忘返．在成都交子金融城双子塔，一场流光溢彩、璀璨夺目的视觉盛宴更是刷爆了朋友圈（如图1）．如图2，小玲想利用所学的数学知识，测金融城双子塔AB 的高度．她先在C 处用高度为1.3米的测角仪CD 测得AB 上一点E 的仰角22EDF ∠=︒，接着她沿CB 方向前进50米到达G 处，测得塔顶A 的仰角45AHF ∠=︒．若110AE =米，求双子塔AB 的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈）【答案】双子塔AB 的高度约为218米【解析】解：由题意可得四边形DCGH 和四边形DCBF 都是矩形，则 1.3BF CD ==米，50DH CG ==米．设EF x =米，则(110)AF AE EF x =+=+米．在Rt AFH △中，45AHF ∠=︒，45FAH ︒∴∠=，FAH AHF ∴∠=∠，(110)HF AF x ∴==+米，(160)DF DH HF x ∴=+=+米．在Rt DFE △中，22EDF ∠=︒，tan tan 22EF EDF DF ∴∠=︒=，即0.40160x x ≈+，解得320106.73x =≈，经检验符合题意， 110106.7 1.3218AB AE EF BF ∴=++≈++=（米）．答：双子塔AB 的高度约为218米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．27．（2022·四川成都·二模）2022年，武侯区继续开展“武侯文化大讲堂”活动，某中学数学组以此为契机，在望江楼公园开展“感受武侯文化，领略古建风韵”的综合实践活动，测量望江楼AB 的高度．如图，已知测倾器的高度为1.2米，在测点C 处安置侧倾器，测得点A 的仰角45ADE ∠=︒，在与点C 相距10米的测点F 处安置侧倾器，测得点A 的仰角58AGE ∠=︒（点C ，F 与B 在一条直线上），求望江楼AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈）【答案】望江楼AB 的高度为27.9米【解析】解：延长DG 与AB 交于H ，由题意可知：四边形DCFG ，四边形GFBH ，四边形DCBH 为矩形，则10DG CF == ， 1.2BH CD == ，设AH =x ，在Rt ADH 中，45ADH ∠=︒ ，tan 1AH ADH DH ∴∠== ， DH AH x ∴== ，10GH DH DG x ∴=-=- ，在Rt AGH △ 中，tan AH AGH GH ∠=， 58AGH ∠=︒， 1.6010x x ∴≈- ，解得：26.67x ≈ ，经检验：符合题意，27.8727.9AB AH BH ∴=+≈≈ ，⊥望江楼AB 的高度为27.9米．【点睛】本题考查的是锐角三角函数，仰角的定义，解直角三角形的应用，能正确构造直角三角形是解题的关键．28．（2022·山西晋中·一模）受新冠疫情影响，部分县市课堂教学从“线下”转到了“线上”，我市教育局承担组织全区“空中课堂”优秀课例的录制工作，手机成为学生线上学习的主要工具．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC=8cm，AB=16cm．当AB，BC转动到⊥BAE=60°，⊥ABC=50°时，观看比较适宜，试求此时点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【答案】点C到AE的距离约为6.3cm．【解析】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM于D，。

三角函数的性质11

3 3 . co sΒ+ sin Β 2 2 这已成为学生熟悉的问题, 教师可放手让学生独 =
立完成. Π sin b b tg b , 求证: < < . 2 sin a a tg a 导析: 从欲证不等式的结构看, 多数学生会联想到 sin x tg x Π 函数 y = 和 y= 在区间 ( 0, ) 上的单调性. 但 x x 2 却不能直接应用, 需要对不等式的结构进行调整 ( 可让学生动手操作) , 即证明下面的两个不等式都成立: 例 2 设 0< a < b<
T
sin (x + t) ∴ > . x x+ t sin x Π 故 y= 在 ( 0, ) 上是减函数. x 2 sin x
2
=
Π , 从而应有 T = 8. 这只是一个类比, f ( x ) 的周 Π 4
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sin b
b
<
sin a tg a tg b , < .
a a b
这已是水到渠成. 例 3 已知 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的函数, 且 1+ f (x ) 满足 f (x + 2) = . 求证: f (x ) 是周期函数. 1- f (x ) 导析: 学生遇到的第一个困难, 就是如何找到函数 . 教师可引导学生把 f (x + 2) = f (x ) 的一个周期 1+ f (x ) Π ) 1+ tg Α 与 tg ( Α + = 进行类比, 不难看出, 1- f (x ) 4 1- tg Α 函数 f (x ) 的周期 T 与 tg Α的周期 Π之间应满足关系:

第11讲勾股定理与锐角三角函数(题型训练)【有答案】-【2022年】中考数学大复习(知识点·易错点

第11讲勾股定理与锐角三角函数题型一勾股定理1．（2021·福建·福州十八中九年级期中）若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像与x 轴有两个交点A 和B ，顶点为C ，且b 2﹣4ac ＝12，则∠ACB 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】解：令y ＝0，则ax 2+bx +c ＝0，∴x ＝2b a -，∴AB ＝|． ∵b 2﹣4ac ＝12，∴C （﹣2b a ，﹣3a）．∴AC ．由抛物线的对称性可知BC ＝， ∴AC ＝BC ＝AB ，∴∠ACB ＝60°．故选：C ．2．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级期中）已知AB ，CD 是⊙O 的两条平行弦，AB ＝8，CD ＝6，⊙O 的半径为5，则弦AB 与CD 的距离为（）A ．1B ．7C ．4或3D ．7或1【答案】D【解析】①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，交AB 于点E ，连接OA ，OC ，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ，∵AB ＝8，CD ＝6，∴AE ＝4，CF ＝3，∵OA ＝OC ＝5，∴由勾股定理得：EO ＝2254-＝3，OF ＝2253-＝4，∴EF ＝OF ﹣OE ＝1；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，反向延长OE 交AD 于点F ，连接OA ，OC ，EF ＝OF +OE ＝7，所以AB 与CD 之间的距离是1或7．故选：D ．3．（2021·河南·洛阳市洛龙区教育局教学研究室九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，连接EF ，G 是EF 的中点，连接DG ．在中，2BE =，，若将绕点B 逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG 长的最大值是（）A 67B ．217C ．10D ．12【答案】C【解析】解：如图，△ BEF 旋转到图中位置，连接BD 、BG ，∵在△BEF 中，∠EBF =90°，BE =2，∠BFE =30°，∴EF =2BE =4，BF 3，∵旋转前点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，∴AB =CD =4，BC 3∴BD =8.∵在Rt △BEF 中，点G 是EF 的中点，∴BG =12EF =2.在△BEF 的旋转过程中，BG 的长不变，∵在△DBG 中，BG+BD >GD ，∴当D ，B ，G 三点共线且B 点在D 、G 之间时，DG 最大，此时，DG=BG+BD =2+8=10，∴DG 的最大值为10.故选C.4．（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，点C ，D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分∠ACB ，若CD ＝23，∠CBA ＝15°，则AB 的长是（）A ．23B ．4C ．33D ．43【答案】B【解析】解：过点O 作OE CD ⊥交于点E ，连接OC ，则123CE DE CD ， ∵OC OB =，15CBA ∠=︒，∴，∵AB 是⊙O 的直径，∴，∵CD 平分ACB ∠，∴1452BCDACB ，∴，设OE =x ，则OC =2x ，在中，由勾股定理得， 222OC OE CE =+222(2)3x x =+ 2243x x =+233x =21x =解得11x =，21x =-（舍），∴OC =2，∴，故选B ．5．（2021·浙江台州·九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，点P 在△ABC 内一点，连接P A ，PB ，PC ，若∠BAP =∠CBP ，且AP =6，则PC 的最小值是（）A ．B ．3C ．3-3D ．【答案】D【解析】把△BPC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABP ’，连接PP ’则AP ’=PC ，BP =BP ’，∠PBP ’=90°，∠AP ’B =∠CPB故△PP ’B 是等腰直角三角形∴∠PP ’B =45°∵∠BAP =∠CBP∴∠BAP =∠ABP ’∴BP ’∥AP∴∠APB =90°当P ’、P 、C 在同一直线上，且AP ’⊥P ’C 时，AP ’最短∴∠AP ’B =90°+45°=135°∴∠P AP ’=180°-∠AP ’B =45°∴△APP ’是等腰直角三角形∴AP ’=6∴PC =AP故选D ．6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在边长为12的正方形中ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中点E 、F 、G 分别在线段AB 、BC 、FD 上，若3BF ，则小正方形的边长为（）A ．6B ．5C ．154D ．【答案】C【解析】解：在△BEF 与△CFD 中∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CFD ，∵BF ＝3，BC ＝12，∴CF ＝BC −BF ＝12−3＝9，又∵DF ＝222212915CD CF +=+=，∴BF EF CD DF =，即31215EF =， ∴154EF =，故选：C ．7．（2021·江西省临川第二中学九年级期中）如图，在Rt ABC △中，AB AC =，D ，E 是斜边BC 上两点，且，将绕点A 顺时针旋转90°后，得到AFB △，连接EF ，下列结论：①；②ACD ；③BE DC DE +=；④222BE DC DE +=．其中正确的是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】解：∵△ADC 绕A 顺时针旋转90°后得到△AFB ，∴△ABF ≌△ACD ，∴AF =AD ，∠CAD =∠BAF ，∵在直角三角形ABC 中，AB =AC ，∴∠BAC =90°，即∠CAD +∠BAD =90°，∴∠BAF +∠BAD =90°，即∠F AD =90°，∵∠DAE =45°，∴∠DAE =∠F AE =45°，在△AED 和△AEF 中， DA FA DAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△AEF （SAS ），故①正确，∵AE 与AD 不一定相等，∴AE AD 不一定与1AB AC=相等 ∴△ABE 与△ACD 不一定相似，②错误；∵△AED ≌△AEF ，∴DE =EF ，由旋转可知：△ADC ≌△AFB ，∴BF =CD ，∵BE +BF ＞EF=DE ，∴BE +DC ＞DE ，③错误；∵在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴∠BAC =90°，∠ABC =∠C =45°，由旋转可知：∠ABF =∠C =45°，∴∠EBF =90°，∴BE 2+BF 2=EF 2，∴BE 2+DC 2=DE 2，④正确；故选B ．8．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，半径的圆，点P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．323π-【答案】D【解析】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴OP ，∵OA '=OB '=∴P A'=PB '= ，∴tan ∠A'OP =tan ∠B'OP ， ∴∠A'OP =∠B'OP =60°，∴∠A'OB'=120°，∴S阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=()212042132462236023ππ-=-，故答案为：D ．9．（2021·福建省福州第十九中学九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上的两点，AB ＝EF ＝BC ，点G 是边AB 上的中点，连接GE 、DF ．当GE +DF 取最小值时，线段CF 的长是（）A ．1BC ．43D ．【答案】C【解析】解：取BC 的中点H ，连接GH 、HF 、HD ，∵在矩形ABCD 中， AB EF =BC ，∴BC =2，EF =BC =2，∴AC 4，∵点G 是边AB 上的中点，点H 是边BC 上的中点，∴GH =12AC =2，GH ∥AC ，∴GH = EF =2，GH ∥EF ，∴四边形EGHF 是平行四边形，∴EG =HF ，∴GE +DF = HF +DF ≥DH ，∴当H 、F 、D 共线时，GE +DF 有最小值，最小值为DH ，如图：在矩形ABCD 中，CH ∥AD ，CH =12BC =12AD ，∠DAC =∠HCF ，∴△CFH △AFD ，∴12CF CHAF AD ==，∵AC =4，∴CF =43，故选：C ．10．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图1，若△ABC 内一点P 满足∠P AC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点，已知在等腰直角三角形DEF 中，如图2，∠EDF ＝90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ EQ +FQ ＝（）A ．4B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：如图2，在等腰直角△DEF 中，∠EDF =90°，DE =DF ， ∠1=∠2=∠3，∴∠1+∠QEF =∠3+∠DFQ =45°，∴∠QEF =∠DFQ ，且∠2=∠3，∴△DQF ∽△FQE ， ∴DQ FQ DF FQ QE EF ===∵DQ∴2,FQ EQ ==∴EQ +FQ =2+，故选：D ．11．（2021·广东·深圳市龙岗区百合外国语学校九年级期中）如图，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，∠BAE ＝∠ADC ，BE ＝CE ＝2，CD ＝5，AD ＝kAB （k 为常数），则BD 的长为____．（用含k 的式子表示）【解析】解：如图，连接AC ，∵AE ⊥BC ，BE ＝CE ＝2，∴BC =4，AE 垂直平分BC ，AB =AC ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转至△ACG ，如图所示，连接DG ，则AD =AG ，BD =CG ，由旋转的性质可得：∠BAC =∠DAG ，∵AB=AC，AD=AG，∴△ABC∽△ADG，∴AD DG AB BC=，∵AD＝kAB，∴DG=kBC=4k，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ABC+∠ADC=90°，∵△ABC∽△ADG，∴∠ABC=∠ADG，∴∠ADG+∠ADC=90°，即：∠CDG=90°，∴，∴．12．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB＝6，CD＝8，且AB∥CD，⊙O的半径为5，则AB、CD之间的距离是____．【答案】1【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∵AB=6，CD=8，∴CE=4，AF=3，∵OA=OC=5，∴由勾股定理得：EO3=，OF4，∴EF=OFOE=1；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，反向延长OE 交AB 于点F ，连接OA ，OC ，EF =OF +OE =7，所以AB 与CD 之间的距离是1或7．故答案为：1或7．13．在等边△ABC 中，AB ＝6，BD ＝4，点E 为AC 边上一个动点，连接DE ，将△CDE 沿着DE 翻折得到△FDE ，则点F 到AB 距离的最小值是_____．【答案】2【解析】解：如图，过点D 作DT AB ⊥于T ．ABC ∆是等边三角形，，6BC AB ==，90DTB ∠=︒，4BD =，2CD DF ∴==，sin 60DT BD =︒=观察图象可知，当点F 落在DT 上时，点F 到AB 距离的最小，最小值为2，故答案为：2．14．（2021·山东李沧·九年级期中）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，AD DGH 是AF 的中点，那么CH 的长是 __________________．【解析】如图，连接AC 、CF ，∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，AD =DG =2AC ∴=，CG =， 143CF ∴=，∠ACD ＝∠GCF ＝45°， ∴∠ACF ＝90°，由勾股定理得，2222142582()33AF AC CF =+=+=， ∵H 是AF 的中点，11258582233CH AF ∴==⨯=．故答案为：583． 15．（2021·浙江·温州市第四中学九年级期中）如图，在中，AD BC ⊥，BE AC ⊥交AD 于点F ，且BD AD =．（1）求证：．（2）若F 为AD 的中点，且1DC =．求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）5AC =【解析】（1）证：∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴∠BDF =∠ADC =∠FEA =90°，∵∠AFB =∠CAD +∠FEA =∠FBD +∠BDF ，∴∠CAD =∠FBD ，在△BDF 和△ADC 中，∴；（2）∵，∴DF =DC ，∵F 为AD 的中点，1DC =，∴AD =2DF =2DC =2，∴在Rt △ADC 中，225AC AD DC =+=∴5AC =16．（2021·北京教育学院附属中学九年级期中）如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠MAN ＝45°．把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE ．（1）求证：△AEM ≌△ANM ．（2）若BM ＝3，DN ＝2，求正方形ABCD 的边长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°，∴∠ABC＋∠ABE＝180°，∴点E，点B，点C三点共线，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠MAE＝∠MAN，∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM（SAS）．（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x−3，CN＝x−2，∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM＋DN＝5，∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2＋CN2，∴25＝（x−2）2＋（x−3）2，解得，x＝6或−1（舍弃），∴正方形ABCD的边长为6．17．（2021·天津河西·九年级期中）如图，已知BC为⊙O的直径，BC=5，AB=3，点A点B点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求BD，CD的长．．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）CD BD【解析】解：（Ⅰ）连接OD，∵BC为直径，∴．在Rt CAB △中， 2222534AC BC AB =-=-=．（Ⅱ）∵ AD 平分CAB ∠，∴ ∠CAD =∠BAD ，∴CD BD =．在中，5BC =，222CD BD BC +=，∴ 522BD CD ==． 18．（2021·河南·永城市实验中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在AB 和BC 上，4BE =．1AE BF ==，将绕点F 顺时针旋转，当点H 落在CD 边上时，得到GHF △．（1）求证：．（2）求,E H 两点之间的距离．【答案】（1）见解析；（2）34【解析】（1）将绕点F 顺时针旋转得到GHF △，，四边形ABCD 是正方形，1AE BF ==， 4CF BE ∴==，22(17)41CH ∴=-=，，在EBF △与FCH △中，，，；（2）如图，连接EH ，作EM CD ⊥交于点M ，，，225334EH ∴+19．（2021·四川江油·九年级期中）如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，6BC DE ==，8AC FE ==，顶点D 与边AB 的中点重合．（1）若DE 经过点C ，DF 交AC 于点G ，求重叠部分（DCG △）的面积：（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将绕点D 旋转，使DE AB ⊥交AC 于点H ，DF 交AC 于点G ，如图2，求DH 的长．【答案】（1）6；（2）154【解析】（1）∵，D 是AB 的中点，∴DC DB DA ==．∴∠B =∠DCB ．又∵ABC FDE △≌△，∴FDE B ∠=∠．∴．∴DG BC ∥．∴，∴DG AC ⊥．又∵DC DA =，∴G 是AC 的中点． ∴118422CG AC ==⨯=，116322DG BC ==⨯=． ∴1143622DCG SCG DG =⨯⋅=⨯⨯=．（2）如图2所示：∵ABC FDE △≌△，∴1B ∠=∠．∵90C ∠=︒，ED AB ⊥，∵，，∴2B ∠=∠，∴12∠=∠，∴GH GD =，∵，1390∠+∠=︒，∴3A ∠=∠，∴AG GD =，∴AG GH =，∴点G 为AH 的中点；在Rt ABC △中，10AB ==，∵D 是AB 中点， ∴152AD AB ==，连接BH ．∵DH 垂直平分AB ，∴AH BH =．设AH x =，则BH x =，8CH x =-，由勾股定理得：()22286x x -+=，解得254x =，∴154DH =． 20．（2021·北京师范大学第二附属中学西城实验学校九年级期中）如图，在△ABC 中，AC ＝ BC ，∠ACB ＝ 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E ．（1）求证：∠CAE ＝∠CBD ；（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ． ①依题意补全图形；②用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②EF BE =，见解析【解析】（1）如图1，∵，AE BD ⊥，∴，又∵12∠=∠，∴CAE CBD ∠=∠；（2）①补全图形如图2；②EF BE =.理由如下：在AE 上截取AM ，使AM BE =.又∵AC CB =，CAE CBD ∠=∠，∴ACM BCE ∆∆≌，∴CM CE =，，又∵，∴，∴ME =，又∵射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒，后得到AF ，且，∴.题型二锐角三角函数1．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）已知在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＜∠A ，设sin B ＝n ，那么n 的取值范围是（）A ．0＜n ＜1B ．102n <<C ．0n <<D ．0n < 【答案】C【解析】解：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＜∠A ，且，∴0°＜∠B ＜45°，∴0sin B <<，即0n << 故选C ．2．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，下列三角函数表示正确的是（）A ．sin A ＝45B ．tan A ＝43C ．cos A ＝45D ．tan B ＝34【答案】C【解析】解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC3，∴sin A ＝35，故选项A 错误； tan A ＝34，故选项B 错误； cos A ＝45，故选项C 正确； tan B ＝43，故选项D 错误．故选：C ．3．（2021·安徽省马鞍山市第七中学九年级期中）如图，将AOB ∠放在正方形网格中，则cos AOB ∠的值为（）A ．B C ．2 D ．12 【答案】A【解析】解：如图所示，在直角三角形OBE 中，OE =2，BE =4，∠OEB =90°， ∴OB∴，故选A ．4．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC =3，AB ＝5，则cos A 的值为（）A ．35B ．43C ．34D ．45【答案】A 【解析】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴cos A ＝35AC AB =．5．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列四个三角比正确的是（）A ．sinA ＝AC AB B ．cosA ＝AD AC C ．tanA ＝CD BD D ．cosA ＝CD AD【答案】B【解析】解：因为∠ACB =90°，CD ⊥AB ，所以sinA BC AB =，cosA =AD AC AC AB =，tanA =CD AD ，故选：B ．6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点C 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为E ，线段BE 交AD 于点F ，则tan EDF ∠的值为（）A ．724B ．C ．725D ．247【答案】A【解析】∵在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，∴AD =BC =4∵点C 沿对角线BD 折叠，得到△EDF∴DE =DC =AB又∠A =∠E =90°，∠AFB =∠EFD∴△ABF ≌△DEF ，∴BF =DF ，AF =EF设EF =x =AF ，则DF =4-x在Rt △DEF 中，DF 2=EF 2+DE 2即（4-x ）2=x 2+32解得x =78∴EF =78， ∴tan EDF ∠=778324EF DE ==7．已知a =3，且2(4tan 45)0b -°，则以a 、b 、c 为边长的三角形面积等于（） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A 【解析】解：∵2(4tan 45)0b -=°， ∴4tan 450,130,2b b c ︒-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 解得 4,5.b c =⎧⎨=⎩所以a =3，b =4，c =5，即222+=a b c ，∴∠C =90°，所以162S ab ==． 8．（2021·山东新泰·九年级期中）已知α是锐角，sin cos30α=︒，则α的值为（）A ．30°B ．60°C ．45°D ．无法确定【答案】B【解析】解：α是锐角，sin cos30α=︒，．故选：B ．9．（2021·浙江鄞州·九年级期末）角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误．．的是（）A．0sin α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα<【答案】C【解析】解：角α，β满足045αβ<<<︒︒，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小， tan β随β的增大而增大， A.∵sin 45︒∴0<sin α<,选项A 正确，不合题意； B ．∵tan 45=1︒,∴0tan 1β<<,选项B 正确，不合题意；C．sin 45︒，cos 45︒，cos βα><，cos sin βα>，选项C 不正确，符合题意； D．sin 45︒，cos 45︒，cos αβ><sin cos βα<，选项D 正确，不符合题意．故选择：C ．10．（2021·四川乐山·中考真题）如图，直线1l 与反比例函数3(0)y x x=>的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线2l 过原点O 和点C ．若直线2l 上存在点(,)P m n ，满足，则m n +的值为（）A ．3B ．3或32C ．3+3D ．3【答案】A 【解析】根据题意，得3,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,3A ，()3,1B ∵直线2l 过原点O 和点C∴直线2l ：y x =∵(,)P m n 在直线2l 上∴m n =∴PC = 连接PA ，PB ，FB∴PA PB =，线段AB 的中点为点C∴()2,2C ，OC AB ⊥过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D∴()2,0D∴AD ==AB =BD = ∴222AD AB BD =+∴∴点A 、B 、D 、P 共圆，直线2l 和AB 交于点F ，点F 为圆心∴cos BD ADB AD ∠== ∵AC BC =，12FB FA AD ==∴12BFC AFB ∠=∠ ∵，且12APB AFB ∠=∠ ∴∴cos cos FC APB BFC FB ∠=∠===∴FC ∴或当时，APB ∠和ADB ∠位于直线AB 两侧，即∴不符合题意∴PC PF FC =+=2m < ∴)2PC m ==-，∴)2m -=∴32m =∴23m n m +==故选：A ．11．（2021·山东·潍坊市寒亭区教学研究室九年级期中）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，1sin 3A =，2BC =，则AC =______．【答案】【解析】解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∵1sin 3BC A AB==，又∵BC =2，∴AB =6，∴，故答案为：12．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，折线AB ﹣BC 中，AB ＝3，BC ＝5，将折线AB ﹣BC 绕点A 按逆时针方向旋转，得到折线AD ﹣DE ，点B 的对应点落在线段BC 上的点D 处，点C 的对应点落在点E 处，连接CE ，若CE ⊥BC ，则tan ∠EDC ＝_________________．【答案】247【解析】解：如图，连接AC ，AE ，过点A 作AF ⊥BC 于F ，作AH ⊥EC 于H ，∵CE ⊥BC ，AF ⊥BC ，AH ⊥EC ，∴四边形AFCH 是矩形，∴AF ＝CH ，∵将折线AB ﹣BC 绕点A 按逆时针方向旋转，得到折线AD ﹣DE ，∴AD ＝AB ＝3，BC ＝DE ＝5，∠ABC ＝∠ADE ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴AC ＝AE ，∵AC ＝AE ，AB ＝AD ，AF ⊥BC ，AH ⊥EC ，∴BF ＝DF ，CH ＝EH ，∵AB 2＝AF 2＋BF 2，DE 2＝DC 2＋CE 2，∴9＝AF 2＋BF 2，25＝（5﹣2BF ）2＋4AF 2，∴BF ＝95，AF ＝125， ∴EC ＝2CH ＝2AF ＝245，CD ＝5﹣2×95＝75， ∴tan ∠EDC ＝EC CD ＝247，故答案为：247．13．（2021·重庆南开中学九年级期中）计算：02tan 45)π+︒＝___．【答案】3【解析】解：原式＝2×1+1＝2+1＝3，故答案为：3．14．若三个锐角,,αβγ满足sin 48,cos 48,tan 48αβγ===，则,,αβγ由小到大的顺序为________________．【答案】βαγ<<【解析】解：根据锐角三角函数的性质可得：cos48°=sin42°,sin42°<sin48°<1,tan45°<tan48°,tan45°=1，∴cos48°<sin48°<1<tan48°，∴β<α<γ，故答案为β<α<γ．15．（2021·福建·泉州五中九年级期中）如果α是锐角，且22sin cos 481α+︒=，那么α= _________度【答案】48【解析】∵α是锐角，22sin cos 481α+︒=，又∵22sin cos 1αα+=，∴α=48°．故答案是48．16．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD 内有一动点P ，且BP ．连接CP ，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．连接CQ 、DQ ，则12DQ +CQ 的最小值为 ___．【答案】5【解析】解：如图，连接AC 、AQ ，∵四边形ABCD 是正方形，PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∴∠ACB ＝∠PCQ ＝45°，∴∠BCP ＝∠ACQ ，cos ∠ACB ＝BC AC cos ∠PCQ ＝PC QC = ∴∠ACB =∠PCO ，∴△BCP ∽△ACQ ，∴AQ BP =∵BP ，∴AQ ＝2，∴Q 在以A 为圆心，AQ 为半径的圆上，在AD 上取AE ＝1， ∵12AE AQ =，12AQ AD =，∠QAE ＝∠DAQ ， ∴△QAE ∽△DAQ ， ∴12EQ QD =即EQ ＝12QD ， ∴12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，连接CE ， ∴5CE =， ∴12DQ +CQ 的最小值为5．故答案为：5．17．（2021·河北·广平县第二中学九年级期中）（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋．（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°．【答案】（1）（2）1．【解析】解：（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋，，（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°，3222-⨯，1-，=1．18．（2021·四川·（﹣2014）0﹣（12）−2＋|2sin45°﹣2|．【答案】−2（﹣2014）0﹣（12）﹣2＋|2sin45°﹣2|4＋＝−2．19．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期中）计算：tan60cos30 2sin60tan45-︒-︒︒︒【答案】3 2【解析】解：tan60cos30 2sin60tan45--1-3=2．20．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）图①、图②均是边长为1的小正方形组成的5×5网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）（1）在图①中的线段AB上画出点M，使AB＝3AM．（2）在图②中作出△ABN，使点N在格点上，且tan∠BAN＝12．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：（1）如图，点M即为所求．（2）如图，点N即为所求．BN=AN=AB=∵222BN AN AB+=,∴△ABN是直角三角形，且∠ANB=90°，∴1tan2BNBANAN∠===．21．如图所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，且∠BCD ＝30°，求∠CDA 的正弦值、余弦值和正切值．【答案】sin CDA ∠=cos 7CDA ∠=，tan CDA ∠= 【解析】解：过D 作DE ∥AC ，交BC 于点E ．∵AD ＝BD ，∴CE ＝EB ，∴AC ＝2DE ．又∵ DC ⊥ AC ，DE ∥AC ，∴DC ⊥DE ，即∠CDE ＝90°．又∵∠BCD ＝30°，∴EC ＝2DE ，DC ．设DE ＝k ，则CD ，AC ＝2k ．在Rt △ACD 中，．∴sinAC CDA AD ∠==cos CD CDA AD ∠===tanAC CDA CD ∠==22．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图1，已知在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝tan ∠ABC ＝3，BF ⊥AC ，垂足为F ．点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）．（1）求边BC 的长；（2）如图2，联结DF ，DF 恰好经过△ABC 的重心，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ．联结DF ，如果△DQF 和△ABC 相似，求线段BD 的长．【答案】（1）10；（2（3）BD BD 【解析】解（1）如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，∴∠AHB ＝90°，∵AB ＝AC ＝∴BC ＝2BH ，在Rt △AHB 中，tan ∠ABC ＝AH BH＝3， ∴AH ＝3BH ，根据勾股定理得，AH 2＋BH 2＝AB 2，∴（3BH ）2＋BH 2＝（2，∴BH ＝5，∴BC ＝2BH ＝10；（2）∵BC ＝10，tan ∠ABC ＝3，∴CF BF ＝2，作BN ⊥BC ，CM ⊥BC ，∵G 为重心，∴AG ＝10，GH ＝5，∵AH ⊥BC ，CM ⊥BC∴CM AG ∥，∴∠ACM =∠CAG ，∠GMC =∠AGM∴△CMF ∽△AGF 则CM CF AG AF =＝14， ∴CM ＝14AG ＝52， ∵AH ⊥BC ，CM ⊥BC ，BN ⊥BC∴CM AG BN ∥∥∴∴G 为MN 中点∴HG 为梯形CMNB 的中位线，∴BN ＝2GH ﹣CM ＝152， ∵NB AG ∥，∴∠DAG =∠NBD ,∠AGD =∠BND∴△ADG ∽△BDN ∴43AD AG BD BN ==，∴AD ＝47AB （3）∵BF ⊥AC ，DE ⊥BC ，∴∠BFC ＝∠DEB ＝90°，∴∠BQE ＝∠ACB （同角的余角相等）∵∠BQE ＝∠DQF ，∴∠DQF ＝∠ACB∵△DQF 和△ABC 相似，∴或DQ FQ BC AC=， ∵tan ∠BQE ＝tan ∠ACB ＝tan ∠ABC ＝3， ∴3BE QE =，3DE BE= 设QE ＝x ，BE ＝3x ，则DE ＝9x ，∴BQ BD ＝DQ ＝8x ，∵BF ＝3CF ＝∴QF ＝，（ⅰ解得x ＝1513，∴BD ＝（ⅱ）当DQ FQ BC AC =时，则，810x = 解得x 35=，∴BD ＝=，综上所述，BD BD 23．（2021·北京市第三中学九年级期中）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AC 上一点（与点A ，C 不重合），连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 的延长线于E ．（1）①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ，并用文字描述圆心O 的位置；②连接OE ，求证：点E 在⊙O 上；（2）①延长线段BD 至点F ，使EF ＝AE ，连接CF ，根据题意补全图形；②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系，并证明．【答案】（1）①见祥解，圆心O 在斜边AB 的中点；②见详解；（2）①见详解；②AB ，见详解．【解析】解：（1）①作AC 的垂直平分线GH 与AB 的交点O 为圆心O ，以点O 为圆心，以OA 为半径画圆，则⊙O 是△ABC 的外接圆，∵GH 为AC 的垂直平分线，OI ⊥AC ，AI =CI ，∠ACB =90°，连OC ，∴IO ∥CB ， ∴1AI AO IC OB==， ∴AO =OB ，∴点O 为AB 中点，∴OC 为斜边中线，∴OC =OA =OB ，∴⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在斜边AB 的中点；②∵AE ⊥BD ，AO=BO ，∴OE 为斜边中线，∴OE =OA =OB ，∴点E 在⊙O 上；（2）①延长线段BD 至点F ，使EF ＝AE ，连接CF ，如图；②AB ，理由如下：∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠BAC =∠ABC =()1180452ACB ︒-∠=︒， ∴∠CEB =∠CAB =45°，∴∠AEC =∠CEB +∠AEB =45°+90°=135°，∴∠FEC =180°-∠CEB =180°-45°=135°=∠AEC ，在△FEC 和△AEC 中，FE AE FEC AEC EC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FEC ≌△AEC （SAS ），∴FC =AC∵AC =AB sin45°AB ， ∴FC =ACAB ，∴AB ．24．（2021·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期中）问题提出：西安市为迎接“十四运”计划实施扩大城市绿化面积．现有一块四边形空地（如图2，四边形ABCD ）需要铺上草皮，但由于规划图纸被污损，仅能看清两条对角线AC ，BD 的长度分别为40cm ，30cm 及夹角∠BEC ＝60°，你能利用这些数据，帮助工作人员求出这块空地的面积吗？建立模型：我们先来解决较为简单的三角形的情况．（1）如图1，△ABC 中，D 为AB 上任意一点（不与A ，B 两点重合），连接CD ，CD ＝a ，AB ＝b ，∠ADC ＝α（α为CD 与AB 所夹的锐角），则△ABC 的面积为．（用a ，b ，α表示）问题解决：请你解决工作人员的问题．（2）如图2，四边形ABCD 中，E 为对角线AC ，BD 的交点，已知AC ＝40cm ，BD ＝30cm ，∠BEC ＝60°，求四边形ABCD 的面积．（写出必要的解答过程）新建模型：（3）若四边形ABCD 中，E 为对角线AC ，BD 的交点，已知AC ＝a ，BD ＝b ，∠BEC ＝α（α为AC 与BD 所夹的锐角），直接写出四边形ABCD 的面积为．（用a ，b ，α表示）模型应用：（4）如图3，四边形ABCD 中，AD +BC ＝AB ，∠BAD ＝∠ABC ＝60°．已知BD ＝a ，求四边形ABCD 的面积．（“新建模型”中的结论可直接利用）【答案】（1）12ab sinα；（2）2；（3）12ab sinα；（4）a 2．【解析】解：（1）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，如图1所示：∴△CMD为直角三角形．又∵∠ADC＝α，∴sinα＝CMCD，∴CM＝CD•sinα，∴S△ABC＝12AB•CM＝12AB•CD•sinα＝12ab sinα，故答案为：12ab sinα；（2）过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，如图2所示：∵∠BEC＝60°，∴∠AED＝60°，同（1）得：S△ACD＝12AC•DE•sin60°＝AC•DE，S△ABC＝12AC•BE•sin60°＝AC•BE，∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝AC•DE+AC•BE＝AC（DE+BE）＝AC•BD＝×40×30＝cm2）；（3）如图2，过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，∵∠BEC＝α，∴∠AED＝α，同（1）得：S△ACD＝12AC•DE•sinα，S△ABC＝12AC•BE•sinα，∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABD＝12AC•DE•sinα+12AC•BE•sinα＝12AC•（DE+BE）•sinα＝12AC•BD•sinα＝12ab sinα，故答案为：12ab sinα；（4）在AB上取BG＝BC，连接DG、AC、CG，AC分别交DG、BD于H、P，如图3所示：∵AD+BC＝AB，AG+BG＝AB，∴AD＝AG，∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴△ADG与△BCG均为等边三角形，∴DG＝AG，CG＝BG，∠AGD＝∠BGC＝60°，∴∠DGC＝60°＝∠BGC，∴∠AGC＝∠DGB＝120°，∴△AGC ≌△DGB （SAS ），∴AC ＝BD ，∠GAC ＝∠GDB ，∵∠DHC ＝∠AHG ，∴∠DPH ＝∠AGD ＝60°，∴S 四边形ABCD ＝12•a •a •sin60°＝12•a •a •＝a 2．题型三解直角三角形1．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE =10m ，且tan ∠CEF =43，那么矩形ABCD 的面积为（）cm ；A ．280B ．300C ．320D ．360【答案】C【解析】解：在Rt △EFC 中，tan ∠CEF=CF CE =43， ∴设3CE k =，则4CF k =，根据勾股定理得到5EF k =，由折叠的性质知，∴8DC AB k ==，∵，，∴，∴，∴6BF k =，，在Rt AEF 中，由勾股定理可得：，∴2k =，∴，20BC =，∴矩形ABCD 的面积为；故选C ．2．（2021·重庆八中九年级期中）如图，垂直于地面的通信基地AB 建在陡峭的山坡BC 上，该山坡的坡度i ＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB 的高度，他首先在C 处测得山脚与通信基地AB 的水平距离CD ＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E 处，他在E 处测得通信基地顶端A 的仰角为60°，则通信基地AB 的高度约为（）≈1.414）A ．136米B ．142米C ．148米D ．87米【答案】B【解析】解：如图，作EH ⊥CD 于H ，EF ⊥AD 于F ．在Rt △ECH 中，∵EH ：CH ＝1：2.4，EC ＝52m ，设EH=x ，则CH =2.4x ，222EH CH EC +=，即()2222.452x x +=，解得x=20(负值舍去)，∴EH ＝DF ＝20m ，CH ＝48m ，∴EF ＝DH ＝CD ﹣CH ＝156﹣48＝108m ，在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝60°，∴AF ＝EF •tan60°＝∴AD ＝AF +DF ＝m ，在Rt △BCD 中，∵BD ：CD ＝1：2.4，∴BD ＝65m ，∴AB ＝AD ﹣BD ＝207﹣65＝142m ，故选：B ．3．如图，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sin B 的值是（）A B ． C D 【答案】D【解析】解：如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°，又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD∴ BD ＝BA +AD ＝5，在Rt △BCD 中，BC =∴ sin CD B BC ==．故选：D ．4．（2021·天津河西·九年级期中）如图，在⊙O 中，点A ，B 在圆上，∠AOB =120°，弦AB 的长度为则半径OA 的长度为（）A ．B ．4C ．D ．【答案】B【解析】过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，∵OA =OB ，∠AOB =120°，AB∴AD =BD =12AB ∠AOD =60°， ∵AD OA =sin ∠AOD = sin 60°=， ∴OA ==4，故选B ．5．（2021·山东东昌府·九年级期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD ，AE ，DF 为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α=45°，坡长AB =米，背水坡CD 的坡度i =则背水坡的坡长CD 为（）米．A ．20B ．C ．10D ．【答案】A【解析】解：∵迎水坡AB 的坡角α=45°，坡长AB 米，∴AE sin45°=10（米），∴DF =AE =10，∵背水坡CD 的坡度i =1∠DFC =90°，∴tan ∠C =DF FC = ∴∠C =30°，∴DC=2DF=2AE=20（米），故选A．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1 B．1.2 C．3 D．5【答案】B【解析】解：如下图：以点F为国心，以2为半径作圆F，过点F作AB的垂线，垂足为Q，FQ交圆F于P0，故点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ⊥AB时，点P到AB的距离最短，在Rt△AFQ和Rt△ABC中，∵sin∠A=FQAF，sin∠A=BCAB，∴FQAF=BCAB，∵AC＝6，BC＝8，CF＝2，∴AB=10，∴8 410 FQ=，∴FQ=3.2，∵FP0=2，∴P0Q=3.2-2=1.2．故选：B．7．（2021·山东沂源·九年级期中）在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，tan A＝_________．【答案】3 4【解析】如图，∵Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，∴∠C=90°，AC，∴tanA =68BC AC ==34，故答案为：34． 8．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝60°，则△ABC 的面积是 ___．【答案】123【解析】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD △中，sin AD B AB =，即3sin 6062AD =︒=，解得33AD =，则的面积是1183312322BC AD ⋅=⨯⨯ 故答案为：39．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）如图，在菱形ABCD 中，tan ∠DAB ＝43，AB ＝3，点P 为边AB 上一个动点，延长BA 到点Q ，使AQ ＝2AP ，且CQ 、DP 相交于点T ．当点P 从点A 开始向右运动到点B 时，求点T 运动路径的长度为__________．385 【解析】解：连接AT 并延长交CD 于N ，如图：∵CD ∥BQ ，∴AP DN＝AT NT ＝AQ CN ， ∴ AP AQ ＝12＝DN CN ， ∴点N 是CD 上靠近D 的三等分点，∴点T 在线段AN 上运动，当P 从点A 开始向右运动到点B ，即P 与B 重合时，如图：点T 运动路径即为AT ，过D 作DH ⊥AB 于H ，过T 作TM ⊥AB 于M ，在Rt△ADH中，tan∠DAB＝43，设DH＝4k，则AH＝3k，AD＝5k，∵AD＝AB＝3，∴5k＝3，∴k＝35，∴DH＝125，AH＝95，∴BH＝AB﹣AH＝65，∵DTPT＝CDPQ＝APAP AQ+＝13，∴PTPD＝34，∵DH⊥AB，TM⊥AB，∴TM∥DH，∴PTPD＝TMDH＝BMBH，即34＝125TM＝65BM，∴TM＝95，BM＝910，∴AM＝AB﹣BM＝21 10，在Rt△ATM中，AT，．10．（2021·广东·广州六中九年级期中）如图，△ABCAB＝AC，∠BAC＝120°，P为⊙O中优弧BC上一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC的最大值___．【答案】6+【解析】延长PC至F，使CF＝BP，连接AF，∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠ACF＝∠ABP，在△ACF和△ABP中，AC AB ACF ABP CF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABP （SAS ），∴AF ＝AP ，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝30°，∴∠APC ＝30°，过点A 作AE ⊥PF 于E ，∵AF =AP ，∴△APF 是等腰三角形，则PF ＝2PE ，在Rt △AEP 中，cos ∠APC ＝PE AP， ∴PE ＝AP •cos ∠APC ＝AP •cos 30°＝ AP ，∴PF ＝2PE，∵PF ＝PC ＋CF ＝PC ＋BP，即PC ＋PB，∴P A +PB +PC =（AP而AP 为⊙O∴AP 最大＝∴P A +PB +PC 的最大值为（×故答案为：．11．（2021·山东泰山·九年级期中）在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了学校旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC 为4米，落在斜坡上的影长CD 为3.8米，AB ⊥BC ，同一时刻，光线与水平面的夹角为60°，1米的竖立标杆PQ 在斜坡上的影长QR 为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1）．【答案】旗杆的高度约为8.8米【解析】解：如图，过C 作CM ∥AB 交AD 于点M ，过M 作MN ⊥AB 于点N ．则四边形BCMN 是矩形，∴MN ＝BC ＝4米，BN ＝CM ，由题意得：CM PQ CD QR =，即13.82CM =，解得：CM ＝1.9（米），在Rt △AMN 中，∠ANM ＝90°，MN ＝BC ＝4米，∠AMN ＝60°，∴tan60°＝AN MN ＝4AN∴AN ＝．∵BN ＝CM ＝1.9米，∴AB ＝AN +BN ＝（米），答：旗杆的高度约为8.8米．12．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期中）全球最长跨海大桥——港珠澳大桥连接香港、澳门、珠海三地，总长55千米．大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图2是从图1引申出的平面图．假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30，拉索CD 与水平桥面的夹角是60︒，两拉索顶端的距离BC 为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH 的长．（结果精确到0.1 1.732）．【答案】立柱BH 的长约为16.3米【解析】解：设DH 的长为x 米，由题意得∠AHB =90°，∵∠CDH =60°，∠AHB =90°，∴米∴()2BH CH BC =+=米，∵∠A =30°，∴米，∵AH=AD+DH，∴320=+，x x∴10x=∴米，答：立柱BH的长约为16.3米．13．（2021·山东阳谷·九年级期中）如图，小杰在高层楼A点处，测得多层楼CD最高点D的俯角为30°，小杰从高层楼A处乘电梯往下到达B处，又测得多层楼CD最低点C的俯角为10°，高层楼与多层楼CD之间的距离为CE，已知AB＝CE＝30米，求多层楼CD的高度．（结果精确到1米），sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【答案】18米【解析】解：如图所示，延长CD至F点，使得AF⊥CD，则四边形AECF为矩形，AF=CE=30，AE=CF，由题意，∠F AD=30°，在Rt△ADF中，，∵在B处测得最低点C的俯角为10°，∴∠BCE=10°，在Rt△BCE中，，∵AE=CF，∴AB+BE=DF+CD，即：30+5.4CD=，∴米，∴CD的高度约为18米．14．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1AB＝12米，AE＝24米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈，3≈1.73，sin53°≈45，34cos53,tan 5353︒︒≈≈）（1）求点B 距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD 的高度．【答案】（1）点B 距水平地面AE 的高度为6米；（2）广告牌CD 的高约8.4米【解析】解：（1）如图，过点B 作BM AE ⊥，BN CE ⊥，垂足分别为M N 、，由题意可知，45CBN ∠︒＝，53DAE ∠︒＝，13i ＝：，12AB ＝米，24AE ＝米，∵13BM i tan BAM AM∠＝：＝＝， ∴30BAM ∠︒＝，∴162BM AB ＝＝（米），即点B 距水平地面AE 的高度为6米；（2）在中，∴162NE BM AB ＝＝＝（米）， 3632AM AB ＝＝（米）， ∴()6324ME AM AE ++＝＝米，∵45CBN ∠︒＝，∴()6324CN BN ME +＝＝＝米，∴()6330CE CN NE ++＝＝米，在中，53DAE ∠︒＝，24AE ＝米， ∴4·5324323DE AE tan ︒≈⨯＝＝（米）， ∴CD CE DE -＝33032-＝32＝8.4≈（米）答：广告牌CD的高约8.4米．15．（2021·山东任城·九年级期中）如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35m的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40min时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B≈1.4≈2.45，结果精确到个位）．【答案】A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．【解析】如图，过点A作AD BC⊥于D，△中，，在Rt ACDAC＝35×40＝1400（米），则（米）．△中，∠B＝30°，在Rt ABD∴（米）．过点P作PE AB⊥，垂足为E，则AE＝PE•tan45°＝PE，BE＝PE•tan60°，∴，∴)1PE=PE=≈．解得：700735综上可得：A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．16．（2021·山东任城·九年级期中）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）【答案】建筑物BC的高度为25米．【解析】设BC＝x米，则AC＝（x+5）米，在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，∴DC＝BC＝x米，在Rt△ADC中，tan∠ADC＝ACDC，即5xx+＝1.2，解得：x＝25，答：建筑物BC的高度为25米．17．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）交大二附中地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点．点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2米，（1）求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到真线BC的距离）．（2）为了增加安全性，在保持车辆经过时栏杆EF段距离地面的高度不变的前提下．在图2中把连接点向右移动．若移动后∠EAB减小16°，则改进后栏杆平行地面时，图1中E向右移动的距离是多少？（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin37°＝0.60，cos 37°＝0.80，tan 37°＝0.75）【答案】（1）2.2米；（2）0.6米【解析】解：（1）如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB-∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°-∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度约为2.2米．（2）把连接点E向右移动到E'，连接A E',过点E'作E K AG'⊥,垂足为K，∴∴四边形EHKE'是矩形，∴EE HK'=，米∵∠EAH= =53°，．∴。

三角函数专题

1．设θ是第二象限角，则点P (sin θ，cos θ)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若α是第四象限角，则π－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.4．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域为( ) A ．{1，－1} B ．{－1,1,3} C ．{－1,3} D ．{1,3} 5．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－436．已知角α的终边过P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值为( ) A.15 B ．－15 C ．－15或－75 D ．－15或15 1．cos(－2040°)＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝( )A ．－1213 B.1213 C ．±1213 D.5123.1－2sin (π＋2)cos (π＋2)等于( ) A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±(sin2－cos2) D ．sin2＋cos24．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝( )A.53 B ．－134 C.135 D.1345．已知sin θ－cos θ＝13，则sin2θ的值为( )A ．－23 B.23 C ．－89 D.896.()tan x ＋1tan x cos 2x ＝( )A ．tan xB ．Sin xC ．cos x D.1tan x7．若tan x ＝sin ()x ＋π2，则sin x ＝( )A.－1±52 B.3＋12 C.5－12 D.3－128．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－139．已知α∈()π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.10．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是________．11．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限的角，则sin ()α－32πcos(π－α)tan(π＋α)＝________.12．(13分)已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ()－α＋32πcos ()π2－αsin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ()α－32π＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－313π，求f (α)的值．1．用五点法作y ＝2sin2x 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π32．函数y ＝log 2sin x ，当x ∈[]π6，π4时的值域为( )A ．[－1,0] B.[]－1，－12 C ．[0,1) D ．[0,1]3．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±14．y ＝tan2x 的单调递增区间是( )A.()k π－π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.()－π4＋k π2，π4＋k π2(k ∈Z )B.()k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z ) D.()2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ) 5．函数y ＝2tan(x －1)的对称中心的坐标是(以下的k ∈Z )( )A.()k π2，0 B.()k π2－1，0 C ．(k π，0) D.()k π2＋1，0 6．函数y ＝|sin x |－2sin x 的值域为( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[0,3]D ．[－3,0]7．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 8．下列函数中，周期为π的偶函数是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝sin2xC ．y ＝tan xD ．y ＝sin ()2x ＋π29．如图K19－1，表示电流I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象，则I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式为( )图K19－1 A ．I ＝3sin()100π3t ＋π3 C ．I ＝3sin ()50π3t ＋π6B ．I ＝3sin ()100π3t ＋π6 D ．I ＝3sin ()50π3t ＋π310．设f (x )＝tan ()x ＋π3，则它的单调区间是________．11．方程sinπx ＝14x 的解的个数是________．12．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为________． 13．给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期分别为π，π2；③若x 1>x 2，则sin x 1>sin x 2；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f ()－T2＝0. 其中正确命题的序号是________．14．(10分)已知f (x )＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最值，并求取得最值时的x ； (2)判断f (x )的奇偶性．1．设函数f (x )＝sin ()2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos(－x )C ．y ＝－sin ()π2－x D ．y ＝|tan x | 3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( )A ．－1 B.12 C ．－12D ．－54．若函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)对任意的x 都满足f ()π3＋x ＝f ()π3－x ，则f ()π3的值是( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或35．函数y ＝sin ()2x －π4的单调增区间是( )A.()k π2－π8，k π2＋3π8，k ∈Z C.[]k π－π8，k π＋3π8，k ∈ZB.()k π2＋π8，k π2＋5π8，k ∈Z D.[]k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z6．已知函数F (x )＝sin x ＋f (x )在[]－π4，3π4上单调递增，则f (x )可以是( ) A ．1 B ．cos x C ．sin x D ．－cos x7．函数y ＝lncos x ()－π2<x <π2的图象是( )图K19－28．函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (－x )－f (x )＝0，f (π＋x )＝f (x )恒成立，则该函数可以是( ) A ．f (x )＝sin2x B ．f (x )＝tan x C ．f (x )＝cos 2x －sin 2x D ．f (x )＝sin2x ＋cos2x9．如图K19－3是函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)一个周期的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)的值等于( )图K19－3A. 2B.22C ．2＋ 2D ．2 2 10．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 11．函数y ＝log cos1cos x 的定义域是________；值域是________． 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧()12x (x ≤0)，2cos x (0<x <π)，若f [f (x 0)]＝2，则x 0＝________.14．(10分)若f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－sin x ，求当x <0时，f (x )的解析式．1．函数f (x )＝3sin ()x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为( )A ．y ＝sin ()2x －π3 C ．y ＝sin ()2x ＋π3B ．y ＝sin ()12x ＋π6 D ．y ＝sin ()12x －π63．已知函数y ＝tan(x ＋φ)的图象经过点()π12，0，则φ可以是( )A ．－π6 B.π6 C ．－π12 D.π124．已知函数f (x )＝sin2x ＋m cos2x 的图象关于直线x ＝π8对称，则f (x )的最大值为________．5．函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为( ) A ．2π，3 B ．2π，1 C ．π，3 D ．π，1图K20－16．如图K20－1，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )图K20－27．已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z8．如图K20－3，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s＝6sin ()2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )图K20－3A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s9．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数 C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数 D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数10．函数y ＝32sin ()x 2＋π6的振幅是________；周期是________；频率是________；相位是________；初相是________．11．函数y ＝2sin ()2x －π3的对称中心是________；对称轴方程是________；单调增区间是________． 12．若将函数y ＝cos x －3sin x 的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为________．13．若函数y ＝f (x )的图象和y ＝sin ()x ＋π4的图象关于点M ()π4，0对称，则f (x )的表达式是f (x )＝____________________.14．(10分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图K20－4所示．图K20－4(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调减区间，并指出f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合；(3)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？15．(13分) 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ()2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[]π12，π2时，求f (x )的值域．1．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53B ．－19 C.19 D.532.22(cos75°＋sin75°)的值为( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－323．若(sin θ＋cos θ)2＝3x ＋3－x ，θ∈()0，π2，则tan θ＝( )A ．1 B.33C. 3D. 2 4．已知tan ()x ＋π4＝2, 则tan xtan2x的值为________．5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形6．tan A ＋1tan A＝m ，则sin2A ＝( )A.1m 2B.1m C ．2m D.2m7．函数f (x )＝sin 2()x ＋π4－sin 2()x －π4是( ) A ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 D ．周期为π的偶函数8．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B.32 C.34D ．1 9．已知α，β∈()3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ()β－π4＝1213，则cos ()α＋π4＝________.10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，α，β∈()－π2，π2，则α＋β＝________.11．若sin ()3π2－2x ＝35，则tan 2x 等于________．12．函数y ＝sin x1＋cos x在[)π2，π上的最小值是________．13．化简[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°的结果是________．14．(10分) 已知函数f (x )＝2sin 13x －π6，x ∈R .(1)求f (0)的值；(2)设α，β∈[]0，π2，f ()3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．1．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是( )A ．0 B.12 C.32 D ．－122．已知cos ()α－π4＝14，则sin2α的值为( )A.3132 B ．－3132 C ．－78 D.783．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos (α－π)2的结果是( ) A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－cos α2 D ．－sin α24．已知α、β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13B.139C.1315D.595．cos π12＋3sin π12的值为( )A ．－ 2 B. 2 C.12 D. 36．已知cos ()α＋π6＋sin α＝235，则sin ()α＋π3的值是( )A ．－235 B.235 C ．－45 D.457．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数8.2cos80°＋cos160°cos70°的值是( )A ．－12B ．－32C ．－ 3D ．－ 29．若函数f (x )＝(3－tan x )cos x ，－π2≤x ≤0，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋210．设α、β均为锐角，cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则cos β＝________.11．化简3－tan18°1＋3tan18°＝________.12．已知－3π2＜α＜－π，则12＋12·12＋12cos2α的值为________． 13．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是________三角形．14．(10分) 已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x .(1)求f ()π4的值；(2)若x ∈[]0，π2，求f (x )的最大值及相应的x 值．15．(13分) 已知函数f (x )＝cos x 2·3sin x 2＋cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若f (x )＝1，求cos ()2π3－2x 的值．1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b ＝( )A ．5 2B ．10 2 C.1063D ．5 62．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 3．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积是( ) A ．9 B ．18 C ．9 3 D ．18 34．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为( )A.1665 B ．－1665 C.5665 D ．－56655．判断下列说法，其中正确的是( ) A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°有两解 C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°有两解 B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°只有一解 D ．b ＝9，c ＝10，B ＝60°无解6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．17．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－43 C ．1 D.238．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形 C ．等腰直角三角形B ．直角三角形，且有一个角是30° D ．等腰三角形，且有一个角是30°9．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.10．在△ABC 中，若S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________.11．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ＝1∶2，且a ∶b ＝1∶3，则cos2B 的值是________．12．(13分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C . (1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°2．在△ABC 中，若2sin A sin B <cos(B －A )，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 3．在△ABC 中，下列关系式①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C 一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，且B 是A 与C 的等差中项，则sin A ＝________.5．在△ABC 中，a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则C ＝( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°6．在△ABC 中，B ＝π3，三边长a ，b ，c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( )A. 2B. 3C. 5D. 6 7．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝( ) A.32 B.12 C.33 D.139．已知△ABC 三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C ＝________.10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.11．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．12．(13分) 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．11. 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，22ππθ-<<．（1）若a ⊥b ，求θ；（2）求｜a ＋b ｜的最大值．。

中考数学专题训练第11讲勾股定理与锐角三角函数1(解析版)

勾股定理与锐角三角函数（压轴题组）1．（2021·广东佛山·九年级期中）如图1.有一张矩形纸条ABCD .边AB 、BC 的长分别是方程27100x x -+=的两个根()AB BC >.E 为CD 上一点.1CE =．（1）连接AE .BE .试说明90AEB =︒∠．（2）如图2.M 为边AB 上一个动点.将四边形BCEM 沿ME 折叠.使点B .C 分别落在点B ′.C '上.边MB '与边CD 交于点N ．①如图3.当点M 与点A 重合时.求N 到ME 的距离．②在点M 从点A 运动到点B 的过程中.求点N 相应运动的路径长（路程）．【答案】（1）见解析.（2）①52.②352-【详解】解：（1）证明：如图1.解方程27100x x -+=得5x =或2x =.5AB ∴=.2BC =.四边形ABCD 是矩形.90C D ∴∠=∠=︒.2AD BC ==.5CD AB ==.514DE CD CE ∴=-=-=.222222420AE AD DE ∴=+=+=.22222215BE BC CE =+=+=.222AE BE AB ∴+=.ABE ∴∆是直角三角形.90AEB =︒∠.（2）解：①四边形ABCD 是矩形.//AB CD ∴.NEM BAE ∴∠=∠.由折叠的性质得：BAE B AE '∠=∠.NEA B AE '∴∠=∠.AN EN ∴=.设AN EN x ==.则4DN DE EN x =-=-.在Rt ADN ∆中.由勾股定理得：222AD DN AN +=. 即2222(4)x x +-=. 解得：52x =. 52EN ∴=. 在Rt ADE ∆中.由勾股定理得：22222425AE AD DE =+=+=. 设N 到ME 的距离为h . 则1122ANE S AE h EN AD ∆=⋅=⨯.5252225EN AD h AE ⨯⨯∴===. 即N 到ME 的距离为52.②当M 与点A 重合时.如图3所示：此时52EN =. 当MB AB '⊥时.如图4所示.此时2EN AD ==.当B '在CD 上.N 与B '重合.如图5所示：此时2222125EN C E B C ''=+=+=.∴点N 相应运动的路径长为：53(1)(52)522-+-=-．2．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）如图.在Rt △ABC 中.∠BAC ＝90°.AB ＝3.AC ＝4.AD 是BC 边上的高.点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点.且∠EDF ＝90°．（1）（图1）求DE ：DF 的值.（2）（图2）连结EF .射线DF 与射线BA 相交于点G .当△EFG 是等腰三角形时.求CF 的长度.（3）（图3）连结EF .设点B 与点E 间的距离为x .△DEF 的面积为y .求y 关于x 的函数解析式.并写出x 的取值范围．【答案】（1）34.（2）165.（3）()2236540332525y x x x =-+≤≤【详解】解：（1）∵在Rt △ABC 中.∠BAC ＝90°.AB ＝3.AC ＝4. ∴225BC AB AC =+=. ∵AD 是BC 边上的高.∴11=22ABC S AB AC AD BC ⋅=⋅△.∠ADC =∠ADB =90°.∴125AB AC AD BC ⋅==. ∴22165CD AC AD =-. ∵∠EDF =∠ADC =90°.∴∠EDF -∠ADF =∠ADC -∠ADF 即∠ADE =∠CDF . ∵∠B +∠C =180°-∠BAC =90°.∠B +∠EAD =180°-∠ADB =90°.∴∠EAD =∠C . ∴△EAD ∽△FCD .∴12351645DE AD DF CD ===. （2）如图所示.∵∠EFG =∠FDE +∠FED ＞90°. ∴当△EFG 是等腰三角形的时候.只存在EF =GF 这种情况. ∵EF =GF .F A ⊥EG . ∴A 为EG 的中点.∵在直角三角形EDG 中.A 为EG 的中点.∴11225AE AD AG EG ====.∵△AED ∽△CFD . ∴34AE AD CF CD ==. ∴41635CF AE ==.（3）∵BE x =.AB =3. ∴3AE AB BE x =-=-. ∵△AED ∽△CFD . ∴34AE AD DE CF CD DF ===. ∴()44333CF AE x ==-.34DE DF =. ∴()444333AF AC CF x x =-=--=.在直角三角形AEF 中.222EF AE AF =+.∴()222242536939EF x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭在直角三角形DEF 中.222EF DE DF =+.∴22234EF DF DF ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴45DF EF =. ∴35DE EF =.∴()2216236540322532525DEF S DE DF EF x x x =⋅==-+≤≤△．∴()2236540332525y x x x =-+≤≤3．（2021·北京师范大学实验华夏女子中学九年级期中）在平面直角坐标系xoy 中.⊙O 的半径为1.给出如下定义：记线段AB 的中点为M .当点M 不在⊙O 上时.平移线段AB .使点M 落在⊙O 上.得到线段''A B （''A B 分别为点,A B 的对应点）．线段'A A 长度的最小值称为线段AB 到O 的“平移距离”．（1）已知点A 的坐标为（－1.0）.点B 在x 轴上．①若点B 与原点O 重合.则线段AB 到⊙O 的“平移距离”为________. ②若线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2.则点B 的坐标为________.（2）若点,A B 都在直线334y x =-+上.AB ＝2.记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d .求1d 的最小值.（3）若点A 的坐标为（－4.－2）.AB ＝2.记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d .直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）①12.②(-5.0)或(7.0).（2）75.（3）225225d -≤≤ 【详解】（1）①当B 与原点O 重合时.AB 中点为1(,0)2-.移动最小距离为向左平移12到⊙O 上．故答案为：12．②当“平移距离”为2时.如图：有12,M M 两种情况：①当1M 为3,0时.12AM =.AB =4.B ∴ 为()5,0-．②当2M 为3,0时.24AM =.AB =8.B 为()7,0．故答案为：()5,0- 或()7,0．（2）如图：直线334y x =-+如图l .当l 平移到m 位置时.1d 最小.即平移到直线m 与⊙O 相切时.1d 最小．过点O 作OE l ⊥于E . 则1d OE R =-，设直线OE 为y =kx.OE l ⊥.∴413k ⨯=-.即43k =. ∴43y x =．联立方程组33434y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩. 解得：3648,2525x y ==. ∴E 为3648(,)2525. ∴125OE =. ∴1127155d =-=．（3）∵2AB =. ∴AM =1.即M 点在以A 为圆心.半径为1的圆上.如图所示：连接OA 交⊙A 于E 、F .可知：当M 在点F 时.2d 最小.在点E 时.2d 最大．当M 在F 时.222(4)(2)11252d OA AF R =--=-+---=-.当M 在E 时.222(4)(2)11251125d OE R OA AE R =-=+-=-+-+-=+-=. ∴225225d -≤≤．4．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）在△ABC 中.AB ＝BC ＝5.AD ⊥BC 于D .AD ＝4．动点P 从点B 出发.沿折线BA →AC 运动（点P 不与B 、C 重合）.点P 在边BA 上运动的速度为2.5个单位长度.在边AC 上的运动速度为52个单位长度.过P 作PQ ⊥BC 于点Q .以PQ 为边向右作矩形PQFE .使PQ ＝2PE .点F 在线段BC 上.设点P 运动的时间为t ．（1）点P 在BA 上时.则PQ ＝ .（用含t 代数式表示）（2）点P 在AC 上时.则PQ ＝ .（用含t 代数式表示）（3）连结DE .当△DEF 与△ADC 相似时.求t 的值．（4）设矩形PQFE 的对角线相交于点O .当点O 在△ACD 边上时.直接写出t 的取值范围．【答案】（1）2t .（2）6﹣t .（3）67或613或2或5.（4）t ＝32或2≤t ＜6 【详解】解：（1）点P 在BA 上时.点P 在边BA 上运动的速度为2.5个单位长度.BP =2.5t , ∵四边形PQFE 是矩形. ∴PQ ⊥QF .∵点F 在线段BC 上. ∴PQ ⊥BC . ∵AD ⊥BC . ∴PQ ∥AD . ∴∠BPQ ＝∠BAD . ∵∠B ＝∠B . ∴△BPQ ∽△BAD . ∴BP PQAB AD=. ∵BP ＝2.5t .AB ＝5.AD ＝4. ∴2.554t PQ=. ∴PQ ＝2t . 故答案为：2t .（2）如图2.点P 在AC 5个单位长度.由题意得：AP 5（t ﹣2）.∵AD ⊥BC .AB ＝5.AD ＝4. ∴BD 2222543AB AD -=-. ∴CD ＝BC ﹣BD ＝5﹣3＝2.∴AC 22224225AD CD +=+∴CP ＝AC ﹣AP ＝)555235t -=. ∵PQ ∥AD .∴∠QPC =∠DAC .∠PQC =∠ADC .∴△CPQ∽△CAD.∴PQ CPAD AC=.即5352425tPQ-=.∴PQ＝6﹣t.故答案为：6﹣t.（3）分两种情况：①如图3.当点P在边BA上运动时.∵四边形PQFE是矩形.∴QF＝PE＝t.EF＝PQ＝2t.在Rt△BPQ中.BQ＝BP•cos∠B＝BP×32.5 1.55BDt t AB=⨯=.∴DF＝3﹣2.5t.当△EFD∽△ADC时.DF CD EF DA=∴3 2.52 24tt-=.∴t＝6 7 .经检验符合题意.当△DFE∽△ADC时. DF AD EF CD=.∴3 2.54 22tt-=.∴t＝6 13.经检验符合题意.②如图4.当点P在边AC上运动时.∵四边形PQFE是矩形.∴QF＝PE＝t.EF＝PQ＝6﹣t.∴DF＝DC＝2.当△EFD∽△ADC时.则DF DC EF AD=.即22 64t=-.∴t＝2.经检验符合题意.当△DFE∽△ADC时.DF AD EF CD=.∴24 62t=-.∴t＝5.经检验符合题意.综上所述.t的值为67或613或2或5.（4）分三种情况讨论：①当矩形PQFE的对角线交点O在AD上时.如图5.∴QD＝12QF＝0.5t.∵BQ＝1.5t.BQ+QD＝BD＝3. ∴1.5t+0.5t＝3.∴t＝3 2 .②当矩形PQFE的对角线交点O在AC上时.∵点F始终与点C重合.点P从点A运动到点C.55254AC==∴点P在AC上运动时间为2≤t＜6.∴当2≤t＜6时.矩形PQFE的对角线交点O在AC上.③由题意知.矩形PQFE的对角线交点O不可能在CD上.综上所述.t的取值范围t＝32或2≤t＜6．5．（2021·黑龙江龙沙·九年级期中）综合与实践动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．如图1.△ACB是等腰直角三角形.AC＝BC＝4.∠ACB＝90°.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B.连接A′C.过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．思考探索：（1）在图1中：①CD＝.②△A′BC的面积为.拓展延伸：（2）如图2.若△ACB为任意直角三角形.∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B.连接A′C.过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．猜想三条线段AC、CD、A′D的数量关系.并证明．（3）如图3.在△ACB中.AB＝AC＝5.BC＝6.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B.连接A′C．①△A′BC的面积为．②若点D是△ACB的边BC的高线上的一动点.连接A′D、DB.则A′D+DB的最小值是．【答案】（1）①8.②8.（2）CD AC A D '=+.证明见解析.（3）①9.109【详解】解：（1）①∵边AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段A B '.∴BA AB '=.90ABA '∠=︒．∵AC =BC =4.90ACB ∠=︒.∴45CAB CBA ∠=∠=︒．∴18045DBA CBA ABA ''∠=︒-∠-∠=︒．∴DBA CAB '∠=∠．∵A D CB '⊥.∴90BDA '∠=︒．∴90BDA ACB '∠=∠=︒．∴()BDA ACB AAS '△≌△．∴BD =AC =4．∴CD =BC +BD =8．故答案为：8．②∵BDA ACB '△≌△.∴4A D BC '==． ∴182A BC S BC A D ''=⋅=△．故答案为：8．（2）CD AC A D '=+.证明如下：∵边AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段A B '.∴BA AB '=.90ABA '∠=︒．∴90CBA DBA '∠+∠=︒．∵90ACB ∠=︒.∴90CAB CBA ∠+∠=︒．∴DBA CAB '∠=∠．∵A D CB '⊥.∴90BDA ACB '∠=∠=︒．∴()BDA ACB AAS '△≌△．∴A D BC '=.BD =AC ．∴CD BD BC AC A D '=+=+．（3）如下图所示.过点A '作A F CB '⊥交CB 延长线于点F .过点A 作AE CB ⊥交CB 于点E .交线段A C '于点M .再连接DC ．①∵AB =AC =5.BC =6.且AE CB ⊥. ∴132BE CE BC ===.90AEB =︒∠．∴90EAB EBA ∠+∠=︒．∵边AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段A B '.∴5BA AB '==.90ABA '∠=︒．∴90EBA FBA '∠+∠=︒．∴FBA EAB '∠=∠．∵A F CB '⊥.∴90BFA '∠=︒．∴90BFA AEB '∠=∠=︒．∴()BFA AEB AAS '△≌△．∴3A F BE '==． ∴192A BC S BC A F ''=⋅=△．故答案为：9．②∵AE CB ⊥.且BE =CE .∴AE 垂直平分CB ．∴DC =DB ．∴A D DB A D DC ''+=+．∵点D 在AE 上.∴当点D 与点M 重合时.A D DB '+有最小值.此时最小值为A C '．∵5BA '=.3A F '=. ∴224BF BA A F ''=-=．∵BC =6.∴CF =BC +BF =10． ∴22109A C CF A F ''=+=．∴A D DB '+的最小值为109．故答案为：109．6．如图.在平面直角坐标系xOy 中.点A 与点B 的坐标分别是（1.0）.（7.0）．（1）对于坐标平面内的一点P .给出如下定义：如果∠APB ＝45°.则称点P 为线段AB 的“等角点”．显然.线段AB 的“等角点”有无数个.且A 、B 、P 三点共圆．①设A 、B 、P 三点所在圆的圆心为C .直接写出点C 的坐标和⊙C 的半径.②y 轴正半轴上是否有线段AB 的“等角点”？如果有.求出“等角点”的坐标.如果没有.请说明理由.（2）当点P 在y 轴正半轴上运动时.∠APB 是否有最大值？如果有.说明此时∠APB 最大的理由.并求出点P 的坐标.如果没有请说明理由．【答案】（1）①(4.3)或(4,−3).半径为2.②存在2或(0.2).见解析.（2）有.见解析7【详解】（1）①如图1中.在x 轴的上方.作以AB 为斜边的等腰直角三角形△ACB .易知A .B .P 三点在⊙C 上. 圆心C 的坐标为(4,3).半径为32.根据对称性可知点C (4,−3)也满足条件.②y 轴的正半轴上存在线段AB 的“等角点“。

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专题限时集训(五)[第5讲三角恒等变换与三角函数]1．sin15°＋cos165°的值为( )A.22 B ．－22 C.62 D ．－622．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.453．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．94．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位后的图象如图5－1所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )图5－1A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π31．若sin θ＋cos θ＝2，则tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3的值是( )A ．2－ 3B ．－2－ 3C ．2＋ 3D ．－2＋ 3 2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图5－2所示，则ω，φ的值分别为( )图5－2A.12，π3 B ．2，π3 C.12，π6 D ．2，π63．设函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2x －π3，若对于∀x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.124．将函数y ＝(sin x ＋cos x )(sin x －cos x )的图象向左平移π4个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )的图象( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π8，0对称 D ．关于直线x ＝π8对称5．若f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋b sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4(ab ≠0)是偶函数，则实数a ，b 满足的关系是____________．6．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值________．7.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图5－3所示．(1)求ω，φ的值；(2)设g (x )＝22f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－π8－1，当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，求函数g (x )的值域．图5－38．已知函数f (x )＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3的值；(2)求函数f (x )的单调区间及其图象的对称轴方程．专题限时集训(五)【基础演练】1．B 【解析】方法1：sin 15°＋cos 165°＝sin 15°－cos 15°＝2()sin 15°cos 45°－cos 15°sin 45°＝2sin (－30°)＝－22.方法2：显然sin 15°－cos 15°<0，(sin 15°－cos 15°)2＝1－sin 30°＝12，故sin 15°－cos 15°＝－22. 2．B 【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a ≠0)，则r 2＝|OP|2＝a 2＋(2a)2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 3．C 【解析】方法1：将y ＝f(x)的图象向右平移π3后得到的函数是y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3ω，因为该函数的图象与原图象重合，所以－π3ω＝2k π(k ∈Z )，得ω＝－6k ，k ∈Z ，ω的最小值等于6. 方法2：π3是函数f (x )的最小正周期2πω的整数倍，即2πωk ＝π3(k∈Z )，即ω＝6k (k ∈Z )，又ω>0，所以ω的最小值等于6.4．C 【解析】平移后不改变函数的周期，即不改变ω的值，根据图中数据可以列出关于ω的方程．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位后得到的函数解析式为y ＝sin ωx ＋π6，由图象知ω⎝⎛⎭⎪⎪⎫7π12＋π6＝3π2，所以ω＝2，所以平移后的图象所对应函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3. 【提升训练】1．B 【解析】由sin θ＋cos θ＝2，得θ＝2k π＋π4，所以tan θ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋π3＝1＋31－3＝－2－ 3. 2．B 【解析】最小正周期2πω＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6＝π，解得ω＝2，令2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π6＋φ＝0，得φ＝π3.3．B 【解析】对于∀x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)等价于函数f (x 1)是函数f (x )的最小值、f (x 2)是函数f (x )的最大值．函数f (x )的最小正周期为4，故|x 1－x 2|≥12T ＝2.4．A 【解析】 y ＝－cos2x ，故平移后得g (x )＝－cos2x ＋π4＝sin2x ，这个函数是奇函数，故其图象关于原点对称．5．a ＋b ＝0 【解析】 f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋b sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＝a 22sin x＋22cos x ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22sin x －22cos x ＝22[(a ＋b )sin x ＋(a －b )cos x ]，因为f (x )是偶函数，所以对任意x ，f (－x )＝f (x )，即22[(a ＋b )sin(－x )＋(a －b )cos(－x )]＝22[(a ＋b )sin x ＋(a －b )cos x ]，即(a ＋b )sin x ＝0对任意x 恒成立，即a ＋b ＝0.6.36565 【解析】根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45×513＝－5665.所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965.因为π2<α<3π4，所以sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝36565.7．【解答】 (1)由图象知T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－π4＝π，则ω＝2πT ＝2.由f (0)＝－1得sin φ＝－1，即φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∵|φ|<π，∴φ＝－π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2＝－cos2x ，∴g (x )＝22f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－π8－1 ＝22(－cos x )⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1＝22cos x ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22cos x ＋sin x －1＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1 ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，1， ∴g (x )的值域为[－1，2]．8．【分析】 (1)利用降幂、辅助角公式先化为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π6＋12，再求解．(2)结合正弦函数的单调区间、对称轴方程求解．【解答】 (1)f (x )＝12(1＋cos2ωx )＋32sin2ωx＝12＋sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π6. 因为f (x )的最小正周期为π，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－12.(2)分别由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，2k π＋π2≤2x＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．所以，函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )；函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k 2π＋π6(k ∈Z )．所以f (x )图象的对称轴方程为x ＝k2π＋π6(k ∈Z )．。