机械波 波动方程

大学物理学电子教案
机械波、 第十三章 机械波、波动方程 1313-1 机械波的基本概念 1313-2 平面简谐波的波动方程
作业： 作业：习题册 17-24
波动是振动的传播过程. 波动是振动的传播过程. 振动是激发波动的波源. 振动是激发波动的波源. 波动 机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 机械振动在弹性介质中的传播. 电磁波 交变电磁场在空间的传播. 变电磁场在空间的传播.
A
u
8m C B 5m 9m D
机 械
弹性作用
+
波
二、横波和纵波 (1)横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. 垂直的波 (1)横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. 横波 如绳波(机械横波仅在固体中传播) 如绳波(机械横波仅在固体中传播)、电磁波
特征：具有交替出现的波峰和波谷. 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
(2) 纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. 纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. 平行的波 如声波（纵波可在固体、液体和气体中传播） 如声波（纵波可在固体、液体和气体中传播）
T=
2π
ω
=
1
ν
介质决定 波源决定
同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离。 同一波线上相邻的位相差为 π 的两质点的距离。
λ = T ⋅u =
u
ν
在室温下， 例1 在室温下，已知空气中的声速 u1 为340 m/s， ， 求频率为200 Hz和2000 Hz 水中的声速 u 2 为1450 m/s ，求频率为 和 的声波在空气中和水中的波长各为多少？ 的声波在空气中和水中的波长各为多少？ 频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在 和 解 由 λ = u ，频率为
G
ρ
E
ρ
G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 ρ为介质的密度 在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些 波速比纵波 在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些
地震预报
在液体和气体只能传播纵波，其波速为： 在液体和气体只能传播纵波，其波速为： 纵波
u// =
∆ϕ = ϕ p −ϕO
x x ϕ p = −2π = −2π = −ω λ Tu u x y p = A cos ω (t − ) 点 P 振动方程 u
x
若波源（原点） 若波源（原点）振动初位相不为零 y0 = Acos( ωt + ϕ0 )
x y = Acos[ω(t m ) +ϕ0 ] u
或
x + u∆t y( x + ∆x,t + ∆t ) = Acos[ω( t + ∆t − ) +ϕ0 ] u x = Acos[ω( t − ) +ϕ0 ] u
y( x + ∆x,t + ∆t ) = y( x,t )
y( x + ∆x,t + ∆t ) = y( x,t )
在时间∆t内整个波形沿波的 内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离∆x
一、平面简谐波的波动方程 一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播， 一平面简谐波在理想介质中沿 轴正向传播， 轴正向传播 x轴即为某一波线 轴即为某一波线 设原点振动表达式： 设原点振动表达式： x为p点在 轴的坐标 为 点在 点在x轴的坐标
y0 = Acosωt
y表示该处质点偏离平衡位置的位移 表示该处质点偏离平衡位置的位移 表示该处质点偏离平衡位置的
13-1 机械波的基本概念
一、机械波产生的条件 机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 产生条件 条件： 有做机械振动的物体，即波源； 产生条件：1、有做机械振动的物体，即波源； 有连续的介质—弹性介质 弹性介质. 2、有连续的介质 弹性介质. 波源 介质 惱 波 质 的传播， 动 的传播，介质的 波传播. 波传播.
∂ 2y 1 ∂ 2y = 2 2 ∂x u ∂t 2
平面波的波动 微分方程
例1
已知波动方程如下，求波长、周期和波速. 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y = 0.05 cos π[2.50t − x] ( SI )
解：比较系数法
t x y = A cos 2π ( − ) T λ
把题中波动方程改写成
特征：具有交替出现的密部和疏部. 特征：具有交替出现的密部和疏部.
注:生活中常见的水波不是简单的横波或者纵波,情况比较复杂 生活中常见的水波不是简单的横波或者纵波,
三、波线和波面 波场--波传播到的空间。 波场--波传播到的空间。 --波传播到的空间 波线（波射线）--代表波的传播方向的射线 代表波的传播方向的射线。 波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。 波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。 波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。 --波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹 波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态 波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。 传到的波面。 各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直. 各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直. 沿波线方向各质点的振动相位依次落后。 沿波线方向各质点的振动相位依次落后。
B
ρ
B为介质的容变弹性模量 为介质的容变弹性模量 ρ为密度
2、波的周期和频率 、波的周期和频率 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 的时间， 表示。 的时间，用T表示。 表示 波的频率： 波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目， 表示。 的数目，用ν表示。 3、波长λ 、
t x y = Acos[ 2ω( m ) +ϕ0 ] T λ 2πx y = Acos[ 2πν m t ) +ϕ0 ]
y = Acos[
k= 2π
2π
λ
λ
( ut m x ) +ϕ0 ] = Acos[ k( ut m x ) +ϕ0 ]
λ
波矢，表示在 波矢，表示在2π 长度内所具有的完整波的 数目。 数目。
x y = 1.0 cos(π t − − 2π ) 2 2
t = 1 .0 s
波形方程
y/m
1.0
π
π y = (1.0 m) cos[ − π x ] 2
= (1.0 m ) sinπ x
o
-1.0
2.0
x/m
t = 1 . 0 s 时刻波形图
3） x = 0 .5 m 处质点的振动规律并做图 . ）
波动方程该 如何写？ 如何写？
方法一： 方法一：时间推迟方法
x O点振动状态传到 点需用 ∆t = 点振动状态传到p点需用 点振动状态传到 u t 时刻 处质点的振动状态重复 时刻p处质点的振动状态重复
y
O
v u
x
x
p
x t − 时刻 处质点的振动状态 时刻O处质点的振动状态 u x p点的振动方程： y = Acosω(t − ) 点的振动方程： 点的振动方程 u 轴正向传播的平面简谐波的波动方程 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程 轴正向
v u
λ
x1 x2 X
∆ϕ = ϕ2 −ϕ1 = ω( t2 − t1 ) =
∆t
T
2π
T是波在时间上的 是波在时间上的 周期性的标志
3.如x,t 均变化 如 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形 包含了不同时刻的波形
v t时刻的波形方程 时刻的波形方程 u t t +∆t y x y( x ) = Acos[ω( t − ) +ϕ0 ] u O t+∆t时刻的波形方程 时刻的波形方程 x x ∆x x y( x ) = Acos[ω( t + ∆t − ) +ϕ0 ] u t时刻 处的某个振动状态经过∆t ，传播了∆x的距离 时刻,x处的某个振动状态经过 时刻 的距离
波线上各点的简谐运动图
同一波线上任意两点的振动位相差 x2 − x1 ∆x 2π = − 2π ∆ϕ = ϕ2 −ϕ1 = −
λ
λ
2、如果给定 ，即t=t0 则y=y(x) 、如果给定t， Y x y = Acos[ω( t0 − ) +ϕ0 ] u 表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布 即给定了t ，即给定了 0 时刻的波形 同一质点在相邻两时刻的振动位相差
沿着波传播方向， 沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动 x 为p点的振动落后与原点振动的时间 点的振动落后与原点振动的时间 u
轴负向传播的 沿x轴负向传播的 轴负向 平面简谐波的波动方程 方法二： 方法二：相位落后法
x y = Acosω(t + ) u
y A
O
v u
P
−A
x
*
λ
x
落后的相位 点 P 比点 O 落后的相位
质点的振动速度， 质点的振动速度，加速度
∂y x v = = −ωAsin[ω(t − ) +ϕ] ∂t u 2 ∂ y x 2 a = 2 = −ω Acos[ω(t − ) +ϕ] ∂t u
二、波动方程的物理意义
y
T
x y = Acos[ω( t − ) +ϕ0 ] O u 1、如果给定 ，即x=x0 、如果给定x，
比较得
2.50 x y = 0.05 cos 2 π[ t− ] 2 2
2 T= = 0.8 s 2.5
λ = 2.00 m
u = = 2.50 m⋅ s−1 T
λ
轴正方向传播， 例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A = 1.0 m ，T = 2 . 0 s， = 2.0 m. 在 t = 0时坐标原 λ 轴正方向运动. 求 点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动. 1）波动方程 ） 解 写出原点处质点的振动方程
y = y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移 衡位置的位移 波线上各质点 平衡位置 平衡位置
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中， 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波. 简谐运动时，在介质中所形成的波. 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
则y=y(t) 为x0处质点的振动方程 2πx0 y( t ) = Acos( ωt − +ϕ0 ) λ 2πx 0 +ϕ0 x0处质点的振动初相为 −
2πx0
t T
λ
处质点落后于原点的位相为2 若x0=λ 则 x0处质点落后于原点的位相为 π
λ
为x0处质点落后于原点的位相wenku.baidu.com
λ是波在空间上的周期性的标志
t = 0
y0 = A cos(ωt + ϕ )
x = 0
π ϕ =− 2
O
v A
y ω
∂y y = 0, v = > 0 ∂t
ω = 2π / T = π y0 = 1.0 cos(π t −
π
2
)
x y = 1.0 cos(π t − − 2π ) 2 2
π
2）求 t = 1 . 0 s 波形图 ） 波形图.
波前 波面
λ λ
*
球面波
波线
平面波
六、描述波动的几个物理量 1、波速 u 振动状态（即位相） 振动状态（即位相）在单位时间内传播 的距离称为波速 也称之相速 的距离称为波速 ，也称之相速
在固体媒质中横波波速为 在固体媒质中横波波速为 u⊥ = 横波 在固体媒质中纵波波速为 在固体媒质中纵波波速为 u// = 纵波
x y = 1.0 cos(π t − − 2π ) 2 2 x = 0 .5 m 处质点的振动方程
π
y = 1.0 cos[π t − π ]
y
3 4
O
y/m
1.0 2 0 -1.0*1 2 * 3 * 4 *
1
ω
1.0
2.0
*
*
t /s
x = 0.5 m 处质点的振动曲线
沿直线传播, 例3 一平面简谐波以速度 u = 20m / s 沿直线传播,波 . 线上点 A 的简谐运动方程 y = 3 ×10−2 cos 4 π t
ν
空气中的波长
340 m ⋅ s −1 = 1 .7 m λ1 = = ν1 200 Hz u1
在水中的波长
λ2 =
ν2
u2
u1
= 0.17 m
1450 m ⋅ s λ1′ = = ν1 200 Hz u2
−1
′ = 7.25 m λ2 =
ν2
= 0.725m
13-2 平面简谐波的波动方程
波动方程： 波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系
y
O
v u t
t + ∆t
x ∆x
x
三、平面波的波动微分方程
x y = Acos[ω( t − ) +ϕ0 ] u
求t 的二阶导数
x ∂ 2y 2 = −Aω cos[ω(t − ) +ϕ0 ] 2 u ∂t
求x的二阶导数 的二阶导数
x 1 ∂ 2y ∂ 2y ω2 = − A 2 cos[ω(t − ) + ϕ0 ] = 2 2 2 u u u ∂t ∂x