2013年随机过程复习题

1、随机过程()0,≥+=t Bt A t X ，其中A 和B 是独立随机变量，分别服从正态分布()1,0N 。

求()t X 的一维和二维分布。

答案：一维分布为 ()21,0t N +二维分布是数学期望矢量为()τ0,0，协方差阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t 的二维正态分布2、设随机过程)(t X 只有两条样本曲线t a w t X cos ),(1=t a t a w t X cos )cos(),(2-=+=π， +∞<<∞-t其中常数 0>a ，且 32)(1=w P ，31)(2=w P 。

试求)(t X 的一维分布函数)0(；x F ，)4(π；x F 和二维分布函数)4,0,(21π；x x F 。

答案：()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=a x a x a ax x F 1310;；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=a x a x a a x x F 22,12222,3122,0)4(π；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥<≤-<≤--≥-<-<=⎪⎭⎫ ⎝⎛ax a x a x a x a a x a a x a x a x x x F 22122,2222312204,0;,2121212121和当和和当或当π3、设一随机过程 X (t )=A cos(wt +Ф), t ∈R ，其中A 和w 都是常数，Ф~U [-π,π]。

试求：(1) X (t )的一维分布；(2) X (t )的数字特征。

答案：（1）一维概率密度为R t At x A t x A t x f t X ∈⎪⎩⎪⎨⎧<<--=,,0)(,)(1))((22)(其它π（2）R t t m X ∈=0)(R t s s t w A t s C X ∈-==,)(cos 2),(2R t A t t C t D X X ∈==2),()(24、设随机过程)(t X 与)(t Y ，T t ∈不相关，试用它们的均值函数与协方差函数来表示随机过程)()()()()()(t c t Y t b t X t a t Z ++=，T t ∈的均值函数和自协方差函数，其中)(t a 、)(t b 和)(t c 是普通的函数。

答案：)()()()()()(t c t m t b t m t a t m y X z ++= T t ∈),()()(),()()(),(2121212121t t C t b t b t t C t a t a t t C Y X Z += T t t ∈21,5、)(t S 是一个周期为T 的连续函数，Φ是服从区间],0[T 上均匀分布的随机变量，定义)()(Φ+=t S t X ，R t ∈。

试讨论)(t X 的平稳性。

答案：⎰=T X u u S T t m 0d )(1)(；⎰+=+TX u u S u S T t t R 0d )()(1),(ττ；是平稳过程6、设随机过程)cos()(Φ+=wt A t X ，R t ∈，其中A 为具有Rayleigh 分布的随机变量，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=000)2exp()(222x x x x x p ，　，σσ 0>σ 式中Φ为服从区间]2,0[π上均匀分布的随机变量，且A 和Φ相互独立，试讨论)(t X 是否为平稳过程。

答案：+∞<<∞-=t t m X ,0)(；τστw t t R X cos ),(2=+；是平稳过程 7、已知平稳过程)(t X 的谱密度为⎪⎩⎪⎨⎧<-+=其它,010),101(20)(8)(w ww w S X δ 试求自相关函数。

答案：)5(sin 4422τπτπ+8、设)(t X ，R t ∈为平稳过程，)(τX R 是其自相关函数，a 是常数，试问随机过程)()()(t X a t X t Y -+=是不是平稳过程？为什么？答案：0)(=t m Y ；)()()(2),(a R a R R t t R X X X Y +---=+ττττ；是平稳过程 9、已知平稳过程)(t X 的自相关函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=TT TR X ττττ,0,1)(求谱密度。

答案：2sin 422wT T w 10、已知平稳过程)(t X 的相关函数为τττ0||cos e )(w R a X -=。

求谱密度。

答案：202202)()(w w a aw w a a +++-+11、已知平稳过程)(t X 的谱密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,02||,)(2aw a b w S X 。

求相关函数。

答案：)sin 2(sin 2ττπτa ab -12、 设R t t X ∈),(为复平稳过程，其谱密度为)(w S X ，又R t t w t X t y ∈Θ+=),cos()()(0，其中]2,0[~πU Θ。

试问：)(t Y 是否为平稳过程？若为平稳过程，求)(t Y 的谱密度。

答案：,0)(=t m Y )cos()(21),(0τττw R t t R X Y =+；是平稳过程。

)]()([41)(00w w S w w S w S X X Y ++-=13、设随机过程R t t B t A t X ∈+=,sin cos )(，其中B A ,分别服从),0(2σN ，且相互独立，试研究)(t X 是否为平稳过程？是否各态历经？答案：是平稳过程。

均值各态历经，相关函数不具有各态历经。

14、设马尔可夫链}0),({≥n n X 的状态空间为}3,2,1{=E ，初始概率分布为41)0(1=p ，21)0(2=p ，41)0(3=p ，一步转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4341031313104341P 试计算：(1)}1)0(|2)2({==X X P ；(2)}2)2(,2)1(,1)0({===X X X P ； (3)}1)0(|2)2(,2)1({====X X X P ； (4)}2)2({=X P ；(5)证明该链具有遍历性，并求其极限分布。

答案：(1) 167；(2)161 ；(3) 41； (4) 39931.0；(5) 极限分布为⎪⎭⎫ ⎝⎛=2512259254，，π15、在电报信号传输中，信号是由不同的电流符号C ，-C 给出，且对任意的t ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2121~)(c c t X 。

而电流的发送又有一个任意的持续时间，电流变换符号的时间是随机的，设X (t )在[0,t )内的变号次数N (t )是强度为λ的Poisson 过程。

试讨论{X (t ), t ≥0}的平稳性。

答案：0,0)(≥=t t m X ；无关与t C t t R X ,e ),(||22τλτ-=+是平稳过程16、随机过程X t X =)(，∞<<∞-t ，其中X 是具有一、二阶矩的随机变量，但不服从单点分布或两点分布1}{=±=a X P ，0>a . 试讨论它的各态历经性.答案：X (t )不具有各态历经性17、具有随机初相位正弦波)cos()(0Φ+=t w a t X ，R t ∈。

其中a 、ω0是正常数，而Φ在区间[0,2π]中均匀分布。

试讨论X (t )的各态历经性。

答案：X (t )具有各态历经性18、设随机过程X (t )=A cos ω0t +B sin ω0t ，-∞ < t < ∞，其中ω0是正常数，而A ，B 是相互独立随机变量，且有EA =EB =0，DA =DB =σ2。

试讨论X (t )是否具有数学期望各态历经性。

答案：X (t )数学期望具有各态历经性19、已知A ，B 为相互独立同N (0, σ2)分布的随机变量，α为一实常数。

试求随机过程0,sin cos )(≥+=t t B t A t X αα的均值函数和协方差函数；证明它是一个正态过程，并且求其有限维分布。

答案：均值函数0,0)(≥=t t m X ；协方差函数0,),(cos ),(2≥-=t s s t t s C X ασ；有限维分布为),0(~))(,),(),((21n n n D N t X t X t X，。

n i t i ,2,1,0=≥其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1)(c o s )(c o s )(c o s 1)(c o s )(c o s )(c o s 121212121t t t t t t t t t t t t D n n n n n αααααα 20、设{X (n ), n ≥0}为一时齐马尔科夫链，其状态空间E ={0,1,2}，初始概率分布为2,1,0,31))0((===i i X P ，且一步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4143041214104143P 试求：)1)2(,0)0((==X X P ；)1)2((=X P 。

答案：485)1)2(,0)0((===X X P ；2411)1)2((==X P。