北京科技大学2003-2004学年度第二学期高等数学(A)试题及答案
北京科技大学2003-2004电子技术试题题目
《电子技术》期末考试试卷（A 卷）
学院 班级
（时间120分钟）
学号
姓名
题号
一
二
三
四
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题号
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卷面实际 评分
பைடு நூலகம்卷面分
平时成绩
占总分 % 占总分 %
成绩总分
得分
一、简答题（每题6分，共30分）
在下图的各电路中，设二极管均为理想二极管。试判断各二极管是否导通，并求uo的值。
5.边沿触发型JK触发器及其J、K输入端的波形如图，试画出Q端的波形。
得分 二、计算题（每题6分，共30分）
6.如图是稳压管电路，已知Ui=22v，Iz为2-100mA，Uz=10v，R＝100Ω，求稳压管正常工作时， RL允许变化的范围。
7.有一乙类互补对称功率放大电路（图省略），直流电源UCC=UEE=25V，负载电阻RL=6Ω，忽略管 子的饱和压降，求电路的最大输出功率，电源提供的最大功率、效率。
8. 电路如图所示，试求出输出电压表达式。
9.数制转换： 将（9A6B.3C）H转化为二进制数；（2）将（748）D转化为十六进制数 10.某D/A转化器电路，二进制数为B=1001010101，满刻度输出电压Um=5V，试求最小分辨率电 压ULSB，分辨率和基准电压UR。
得分 三、综合推理题（共18分）
2.已知一三极管的三极电流流向如图所示，I1=-1.2mA，I2=-0.03mA，I3=1.23mA，试判断其各
−
个管脚，晶体管类型和 β 大小。
3.试从下面几个方面比较场效应管和晶体管的异同：载流子、控制方式、输入电阻、热稳定性、 工艺。 4. 电路如图所示，试判断各引入了什么类型的反馈，并指出对放大电路的输入和输出电阻的影 响。
北京科技大学高数A答案4.2
习题4-2 （A ）1.比较下列积分大小（1）211e e x x dx dx ⎰⎰和解：利用例2.1的结果，当f(x)不等于0时，因为f(x)≣0,而()baf x dx ⎰是数值，它只有是零和不是零两种可能，设若()baf x dx ⎰=0，则由已证得例2.1结果，在[a,b]上必有f(x)≡0,与f(x)不恒等于0矛盾，所以得出结论：若在[a,b]上，f(x)≣0且f(x)不恒等于0，则()baf x dx ⎰>0.210(e e )x xdx -⎰在[0,1]上e x -2ex≣0且e x -2ex不恒等于0，所以21(e e )x xdx -⎰>0，所以1e xdx ⎰>210e xdx ⎰。
（2）1123x dx x dx ⎰⎰和 解：11123230( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰，因为在[0,1]上x 2-x 3≣0且x 2-x 3不恒等于0，所以111232300( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰>0，所以12x dx ⎰>13x dx ⎰。
（3）222311x dx x dx ⎰⎰和 解：2222323111( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰，因为在[1,2]上x 2-x 3 ≤0且x 2-x 3不恒等于0，所以2222323111( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰<0，所以221x dx ⎰<231x dx ⎰。
（4）2222sin sin x x dx dx xxππ⎰⎰和解：构造函数f(x)= sinx-x,则f ’(x)=cosx-1,在（0，2π] 上单调递减，从而有f(x)= sinx-x <f(0)=0,所以sinx <x,而在（0，2π] 上sinx ,x 都是大于0的，所以sinx/x 在（0，2π] 上小于1，所以在（0，2π] 上sin x x>22sin x x，所以222sin sin x x dx xxπ-⎰（）>0，有20sin x dx xπ⎰>222sin x dx xπ⎰（5）110arctan ln(1)1x x dx dx x++⎰⎰和解：构造函数f(x)=ln(1+x)-arctan 1x x+,在[0,1]上f ’(x)=222arctan (1)(1)(1)xx x x x ++++>0,所以f(x)在[0,1]上是增函数 f(x)>f(0)=0,有10arctan (ln(1))1x x dxx+-+⎰>0，于是1ln(1)x dx +⎰>10arctan 1x dx x+⎰。
北京科技大学20012002学年度第二学期高等数学(a)试题及答案
北京科技大学2001-2002学年度第二学期高等数学（A ）试题一、填空题（每空3分，共24分）（1）曲面3z e z xy -+=在点()2,1,0处的切平面方程为__________(2) 设3222(,)(1)arctanx f x y x y y x y=++-+，则'(,1)x f x =___________ (3)二次积分212(,)x dx f x y dy -⎰交换积分次序得_____________(4) 设曲线C 为球面2224x y z ++=与平面20x y z ++=的交线，则曲线积分()222C x y z ds ++⎰=____________(5) 设L 为椭圆22134x y +=的逆时针方向，则曲线积分2243Lydx xdy x y -+⎰=___________ (6) 设∑为圆柱面2220x y x +-=界于0z =与1z =之间的部分的外侧。
则对面积的曲面积分()22222x y x y ds ∑+--+⎰⎰=___________; 对坐标的曲面积分()22222xy x y dxdy ∑+--+⎰⎰=__________(7) 设0()00xx f x x ππ--≤≤⎧=⎨<≤⎩，()f x 的傅立叶级数的和函数为()S x 。
则(3)S π=___________二、选择题（每题3分，共12分）（1）(,)f x y 在00(,)x y 点，对x 和对y 的偏导数都存在，则（ ）A.0(,)f x y 在0y y =点连续；B.(,)f x y 在()00,x y 点可微；C.(,)f x y 在()00,x y 点连续；D.(,)f x y 在()00,x y 点有任意方向的方向导数。
(2)二重积分221x y +≤⎰⎰的值等于（ ） A.76π B. 32π C. 65π D. 34π (3)无穷级数111(1)(1cos )n a n n n∞-=--∑，其中01a <<。
高等数学考试(2003～2004学年第二学期)题解
高等数学统考试卷（20－2004学年第二学期）参考解答一、1．{}14,7,49±-（漏“一”号扣一分） 2．dy y x xdx y x y 2222+++-3．120()yydy f x y dx -⋅⎰⎰4．275．y ＝0y e kx-二、6．D 7．D 8．C 9．B 10．C三、11．解法1．记 22(,,)(,)F x y z G x yz y xz =++v u x zG x G F +⋅=2 v u y yG zG F 2+= v u z G yG F λ+=x z ∂∂v u u u xG yG zG xG ++-=2， v u v uxG yG xG zG y z ++-=∂∂2 22(2)(2)z zy xz x yz x y ∂∂-+-∂∂[])2)(2()2)(2()(122v u v u v u yG zG yz x zG xG xz y xG yG +-++-+-=[]xy z xG yG z xy xG yG v u v u -=+-+-=22))(4()(1解：将原方程两边同时对x 、y 求导(z=z(x,y))得0)()2(=∂∂++∂∂+x zx z G x z y x G v u （1）()(2)0u v z z G z y G y x y y ∂∂+++=∂∂ （2） 联立（1）、（2）消去G u 、G v 得 22z z z z x y y x z y z x x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0)2()2(22=∂∂-+∂∂-y zyz x x z xy y 12．设三条移长分别为x,y,z ，则长方体表面积为求U=2xy+2zx+2yz ，其中x+y+z=3a方法一：由z z y y x x f f f ϕϕϕ==得111yx x z z y +=+=+ 得x=y=z=a 为所求唯一解故当x=y=z=a 时 u=6a 2为所求条件最大值方法二：作)3(222),,,(z y x a yz zx xy z y x F ---+++=λλ 0)(2=-+=λz y F x 解科x=y=z=a （唯一解）0)(2=-+=λx z F y 2()0z F y x λ=+-= （一般不要求判定）判定法（亦是初等解法）222116(183)(2()666)33a u a u x y z xy yz zx -=-=++--- 2221()()()03x y y z z x ⎡⎤=-+-+-≥⎣⎦ 26a u ≤ 且等号仅当x=y=z=a 时或立，故x=y=z=a 时u 取得条件最大值26u a =13．记}2,2,1{1-=n},,{2}2,2,2{z y x z y x n ==令}2,1,2//{},,{-z y x 即⎩⎨⎧-==y z yx 22代入曲面方程9)2()2(222=-+y y y ＋ 1±=y 所求点为(2,1,-2)或 (-2,-1,2)14．原式=aa a dx ydy -⋅⎰⎰-=⋅⨯=-=a a a a dx x a 22222122ππ15．方法一：（投影法，柱面坐标法） 原式=xy DR d zdz σ⋅⎰⎰ 2223:4R D x y +≤xyDd y x R R R σ⎰⎰--+-=)2(2222⎰⎰⋅-⋅+-⋅=πθ20230222)2(R r d rr R R R d22223122(()243R R R R R r π⎡⎤⎢⎥=⋅-⋅+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦444125)811(32832R R R πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=方法二：截面法，用平行于xoy 平面的平行平面截所给立体域截面积⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-==R z R z R R z z Rz z S D D 2)(20)2()(22221πσπσ原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+=RR D xy z D xy R d zdz d zdz 2)(202122σσ⎰⎰-⋅+-=202222)(2)2(2RRR dz z R z dz z Rz z ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=42224316114141222412322R R R R R R R ππ 1252641583641121244⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=R R ππ15．方法：（球面坐标法）作锥面3πϕ=将Ω分为Ω1及Ω2两部分原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+=1222zdv zdv⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅⋅+⋅⋅=302023cos 202220cos sin 2cos sin 2ππππϕπρρρϕϕϕθρρρϕϕϕθRR d d d d d d32445203112sin 22sin cos 42R d ππππϕπϕϕϕ=⋅+⨯⨯⎰44)64161(8241432R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--⨯+⋅⨯=ππ441254811632R R ππ=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=17．2()22()2p Q x y u y y x u y y xϕϕ∂∂''=⋅+≡=⋅+∂∂ 故积分与路径无关选L 1：2225=+y x ，从点A(5,0)到B(3,4) y d y x d x=-⎰⎰⎰+--+==ABL xdx x dx x x 1]2)5([]25)5([352ϕϕ⎰---=-=35332]35[)53(25)325(dx x 48=亦可改选L 2折线A(5,0), C(3,0), B(3,4)34225()((9)6)ABACCBx x dx y y y dy ϕϕ=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++=92525942483)(21)(21y dv v du u ϕϕ )9,(22y v x u +==18．作辅助0:1=∑z原式＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑)()()(11上下上＋＋＋⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑∑Ω+-+-+-+=外上＝)()(222222110)666(dv x z z y y x⎰⎰⎰Ω++=dv z y x )(5222⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅=ππρρρϕϕθ20222s i n5Rd d d 552002)2R Rπρπϕπ=⋅-18．⎰⎰⎰⎰-⋅⋅=--=20cos 0222222πθθσrdr r R d d y x R V R Dxy223/2c o s20012()|3R R r d πθθ=⋅--⎰ ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅=2033332232)s i n 1(32ππθθR d R19．1111)21(|)(||)(|1⨯=⨯++=∞→+∞→βn u im l x u x u im l n nn n当|x|<|原级数绝对收敛，当|x|>|原级数发散当x=1 β)1(1)(+=n x U n 当β＞1时原级数收敛 当1≤β时原级数发散当x=－1 (1)(1)(1)n n U n β--=+当β＞1时原级数绝对收敛 当0＜1≤β时原级数条件收敛 当0≤β原级数发散20．记0!>=n n n n b11()nn n n n b n l im l im e b n →∞→∞++==故R ＝e当e x <-=|23|||1 幂级数绝对收敛当e x >=32 幂级数发散 21．222'(1)2x x y y xe ++⨯=解：标准化(*)1122222x e x x y x x dx dy +=++ 方法一：先解0122=++y x x dx dy 求得211x ccy y +== 改设)()(1x y x u y = 代入方程（*） 2222111)(x e x xx x u +=+⋅' 22)(x xe x u ='c eu x +=22故得：222112xex c y x +++= 方法二：212)(x xx p += 22()1xp x dx dx x --=+⎰⎰221ln(1)ln 1x x =-+=+211xe p d x+=⎰- ()21p x dx e x ⎰=+ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅++⎰=⎰-dx x e x x c e y x pdx )1(12222)(11222x e c x++= 方法三：原方程为222])1[(x xe y x ='+ c e y x x +=+222)1(2212xec y x ++=22．先解065=+'-''Y Y Y 由0652=+-r r得3,221==r r故知2312x x Y C e C e =+再求 ax ae y y y =+'-''65的特解，*y当32≠≠a a ，，ax ax e a a aAe y 65*2+-== 通解为ax x x e a a ae c e c y 6523221+-++= 当a=2，x x x e e xe A y 22225222*⨯-=-⨯=⨯=通解x x x e e c e c y 232212⨯-+=当a=3 x x x e e xe A y 33335323*⨯=-⨯=⨯= 通解233123x x x y c e c e xe =++。
北京科技大学数学分析考研试题答案2003年
因为收敛，由(威尔斯-特拉斯判别法)知，得证. 十、解
2003年数学分析答案 一、解
(1) 但f(x)在x=0处无定义，因此x=0为f(x) 的可去间断点，也称为第一类间 断点.
(2) 在x=1处，因为， ，
左极限右极限，故x=1是f(x)的跳跃间断点，也是第一类间断点. (3) 在处，，
，左极限右极限，所以是f(x)的跳跃间断点，也是第一类间断点. 考查点：间断点的类型
1.可去间断点 若而f在点无定义，或有定义但则称为f的可去间断点. 2.跳跃间断点 若函数f在点的左右极限都存在，但则称点为函数f的 跳跃间断点. 3.可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.第一类间断点的 特点是函数在该点处的左、右极限都存在. 4.函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存 在的那些点，称为第二类间断点. 5.找间断点的方法 i) 使得函数无意义的点（即考查函数的定义域），比如使分母为0 的点，使中的点. i) 左右极限不相等的点，通常考虑，尤其是函数中含有的形式. iii) 考虑. 例1 解 但是f(x)在x=0处无定义，故x=0是函数的第一类间断点中的可去 间断点. 例2 , 解 x=0处不存在，故x=0是函数的第二类间断点. x=1处，但是函数在x=1处无定义，故x=1是函数的第一类间断点中 的跳跃间断点. 例3 是函数的第二类间断点. 二、(1) 证明 因为，所以，也就是说数列{}有界.令，则，所以f(x)单调 递增，所以，即{}是单调递增数列.由单调有界定理知数列{}收敛。 (2) 设，求解得x=1，即. 考查点：单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 求极限的方法之一，设出把x直接带入题中等式，解方程。
三、证明 令，则f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，由柯西中值定 理知，至少存在一点使得，整理即证. 考查点：柯西中值定理的应用
北京科技大学《高等数学》2007-2008学年第二学期期末试卷
北京科技大学 200 7 — 200 8 学年度第 二 学期《高等数学》 试题(模拟卷)一、 填空 (每小题 3 分，共 15 分)1.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 = 21在(1，2，2)处的切平面方程为x +4y +6z −21=02. Ω：≤ z ≤ ， f (x ， y ， z )在Ω上连续∫∫∫f (x ， y ， z ） dv 化为球面坐标系下的三次积分为Ωπd θd ϕ∫ f (r sin ϕcos θ， r sin ϕsin θ，r cos ϕ)r 2 sin ϕdr3. u =x 2−2xy 3+5y 2z4. z = x 2f 2(x ， )， x在(1， 0， 1)的梯度是 (2， 0， 0) f 可微， 则∂z= 2xf +2x 2f 1−y 2f 25. 微分方程 xy ′ = 1( − x 2 )y 的通解是二、 选择 (每小题 3 分，共 15 分)− x 2y = Cxe 21. (− 1)n sin 1 ，(A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 不能判别敛散性2. 级数∑a n 发散， ∑ b n 发散，则 ∑(a n + b n ) ( B )n =1 n =1 n =1(A) 一定条件收敛 (B) (C) 一定发散 (D) 3. y "+4y '+3y =xe −x 的特解形式为可能收敛 一定绝对收敛( A )y ∂x2∞ ∞ ∞n =1 n + 1 则sin(B )(A) y*=(ax+b)xe−x(B) y*=ax2e−x(C) y*=(ax+b)e−x(D) y*=axe−x4. z= 2xy− 3x2 − 2y2 在(0，0) ( A )(A)取得极大值(B)取得极小值(C)无极值(D)不能判定是否取得极值。
5. L：y= x2，x: −1→ 1 ，则xy2dx+ 5xydy的值为( D )(A) 0 (B) 2 (C) −4 (D) 4三、计算(共70分)11.(6 分)计算dxdy，D：x = y2 和y = x围成的闭区域。
北京科技大学2003-2004学年度第二学期高等数学(A)试题及答案
敛区间 t 2 ，即 1 x 3 ， 当 x 3 时级数发散，当 x 1 时级数收敛，故原级数收 敛域为 [ 1, 3) 。 13．解： ï í
ì ïz = ï x= 0 ï ï î
y- 1
绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为： y - 1 = z + x ，
2
2
I=
蝌 邋+
=
A 5
x2 y 1 = [ ] 2 ydy 1 2 y 1 2 5 [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy = 5 1 2 8 a n 1 1 tn ， lim ， 收敛半径 R 2 ， 收 n n a 2 n 1 2 n n
12． 解： 令 t x 1 ， 则原级数化为
五．综合题 (10 分)
17 ． 设 曲 线 C 的 起 点 为 A ， 终 点 为 B ，
f ( ) 1 ， 求 函 数 f ( x) ， 使 曲 线 积 分
A，B 两点分别为 (1, 0) 和 ( , ) 时
C
[sin x f ( x)] x dx f ( x)dy 与路径无关，并求当
2 2
x
0
15．解：特征方程 r r 2 0 ， r1 1, r2 2 ， 齐次方程通解为 Y c1e c2e 为求原方程的特解 y 。 ，考虑两个方程，
2
x
2 x
，
， 对于前一方程， 因 0 不是特征根，可设 y ' ' y '2 y x 1 （1）和 y ' ' y '2 y e x （2）
(8 y 1) xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy ，
北京科技大学2004-2005学年度第2学期高等数学A试题及答案
北京科技大学2004 — 2005学年度第二学期高等数学（A 卷） 试题 （时间120分钟）学院 考场 班级 学号 姓名一、填空 (每小题3分，共15分)1．设函数22y x z +=，则函数在点)1,1(处的梯度为 j i 22+ 2. 将三次积分)0(),sin ,cos (002022>⎰⎰⎰-a dz z r r f rdr d ar a θθθπ化为球面坐标系下的三次积分(函数),,(z y x f 在已知区域上连续)dr r r r r f d d aφφφθφθφθππsin )cos ,sin sin ,sin cos (22020⋅⎰⎰⎰3. 曲面12-=+z ye x x 在点(0,1,-1)处的切平面与xoy 平面的夹角为a r c =ψ4. 光滑曲面),(y x f z =在坐标平面xoy 的投影区域为D ，那么该曲面的面积可以用二重积分表示为d x d y Z Z Dy x ⎰⎰++2215. 设级数∑∞=+-11)(n n n a a 收敛，且和为s ，则n n a ∞→lims a -1 二、选择 (每小题3分，共15分) 1. 已知函数22),(y x y x y x f -=-+，则=∂∂+∂∂yy x f x y x f ),(),( ( C ) （A ） y x 22-； (B) y x 22+； (C) y x +； (C) y x -2. 设常数k>0, 则级数∑∞=+-12)()1(n n n n k 是 (C ) (A) 发散； (B) 绝对收敛； (C) 条件收敛； (D) 发散与收敛与k 的取值无关3. 微分方程02'=-y xy 的通解是 ( B )(A) Cx y =； (B) 2Cx y =； (C) 3Cx y =； (D) 4Cx y = 4. 二元函数33)(3y x y x z --+=的极大值点是 ( A )(A)（1，1）； (B)（1，-1）； (C)（-1，1）； (D)（-1，-1） 5. 若L 是上半椭圆⎩⎨⎧==tb y ta x sin cos ，取顺时针方向，则⎰-L xdy ydx 的值为 (C )(A) 0 ; (B) 2abπ; (C) ab π; (D) ab π-三、计算 (共70分)1．（6分）设)(x y 是04=+'+''y y y 的解，2)0(,41)0(='=y y计算dx x y AA ⎰∞→0)(lim解：特征方程21,2441002r r r -±++=⇒=< )(0)(2121+∞→→+=x e C e C x y x r x r （3分）)(0)(212211'+∞→→+=x e r C e r C x y x r x r32414)()(4)4()(lim0'00'''0=+⨯=--=--=∞+∞++∞+∞→⎰⎰x y x y dx y y dx x y AA （6分） (先求通解，定出常数，再进行积分也可以) 2．（8分）计算二次积分dy e dx x y ⎰⎰-1102解：211100110222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy edxdy e dy e dx Dyy y x y3．（6分）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分dy y x dx y L )2()1(3+++⎰的值最小. 解：344]cos )sin 2()sin 1[()(333a a dx x a x a x x a a f +-=+++=⎰ππ（4分）1,044)(2'==+-=a a a f 唯一驻点，所以 ： 所求曲线x y L sin :=使38)1(-=πf 为最小。
2003～2004学年第二学期《高等数学》期末考试试题B卷(180学时)
1
1
x
f ( x) f ( y )dy =
二、解下列各题（每题 7 分，共 5 题）
1. 验证函数 z = xf ( 微函数。
y ∂z ∂z ) ， x ≠ 0 ，满足方程式 x + 2 y = z ，其中 f 为任意的可 2 ∂x ∂y x
2．求微分方程 y ′′ − 3 y ′ + 2 y = xe
4．设周期为 2 的奇函数 f ( x) 在 [ −1, 0] 上的表达式为 f ( x) = x + 1 ，它的傅里叶级数 的和函数为 S ( x) ， 则 S ( −4) = 5 ． 设 。
f ( x) 在 区 间
[0,1]
。
上 连 续 ， 且
∫
1
0
f ( x)dx = A ， 则
∫ dx ∫
0
c
y[ϕ ′( x) + e x ]dx + ϕ ′( x)dy = 0 且
ϕ (0) = 0, ϕ ′(0) = 1 ，
求 ϕ ( x) 。 四、 （9 分）设 f ( x, y ) 为连续函数， I = 交换所给积分的积分次序。 五、 （10 分）计算
∫
0
−1
dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫
⎧ xy , ( x , y ) ≠ ( 0, 0), ⎪ 5．讨论函数 f ( x , y ) = ⎨ x + y 在 ( 0, 0) 的连续性和可微性。 ⎪0 , ( x , y ) = ( 0, 0) ⎩
三、 （ 9 分 ） 设 ϕ ( x) 二 次 可微 ， 对 任 意闭 曲 线 c 有
v ∫
2x
的通解。
3．计算二重积分： 4．计算线积分
2003年高数(二)试题与解答
P 1 AP .
【答案】 矩阵 A 的特征多项式为
220
EA 8
2 a ( 6)[( 2)2 16]
0
0
6
= ( 6)2 ( 2) ，
故 A 的特征值为 1 2 6, 3 2. 由于 A 相似于对角矩阵 ，故对应 1 2 6 应有两个线性无关的特征向量，即 3 r(6E A) 2 ，于是有 r(6E A) 1.
当 k=4，即 4-k=0 时， (x) 0 有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；
当 k>4，即 4-k<0 时，由于
lim (x) lim[ln x(ln3 x 4) 4x k]
；
x0
x0
lim (x) lim [ln x(ln3 x 4) 4x k]
，
x
x
故 (x) 0 有两个实根，分别位于(0,1)与 (1, ) 内，即两条曲线有两个交点.
1
x0
4
= 4 lim eax x0
x 2 ax 1 x2
aeax 4 lim
2x a
2a 2
4.
x0
令 f (0 0) f (0 0) ，有 6a 2a 2
或2x .
4 ，得 a 1 a 2
当 a=-1 时， lim f (x) 6 f (0) ，即 f(x)在 x=0 处连续. x0
当 a=-2 时， lim f (x) 12 x0
【 答 案 】 (1) 设 在 t 时 刻 ， 液 面 的 高 度 为 y， 则 由 题 设 知 此 时 液 面 的 面 积 为
2 ( y) 4 t , 从而 t 2 ( y) 4.
(2) 液面的高度为 y 时，液体的体积为 y 2 (u)du 3t 3 2 ( y) 12. 0
(完整word版)2003-2004(二)高等代数期末试题A
系 班 姓名 ------------密------------封------------线------------2003年---2004年第二学期数学系2003（本）高等代数期末试题（A ）一、填空题：（15分，每小题3分）1、若是W 1，W 2是V 的两个有限维子空间，则dimW 1+dimW 2 dim （W 1+W 2），当且仅当 时，等号成立。
2、设{n ααα 21,}是V 的一个基，（n βββ ,,21）=（n ααα 21,）A ，则当A 是 矩阵时，{n βββ ,,21}也是V 的基。
3、在R 3中，线性变换σ（x 1，x 2，x 3）=（x 1，0，x 3）只有特征根 。
4、n 维欧氏空间V 中向量ξ在标准正交基{n ηηη,,,21 }下的坐标是（x 1，x 2，… ，x n ），那么（i ηξ,）= ，|ξ|= 。
5、如果W 是域F 上有限维线性空间V 的一个子空间，则W 在V 中的余维数为 。
二、选择题：（15分，每小题3分）6、一个实二次型可以分解成两个不成比例的实系数一次齐次式，则它必有（ ）A 秩为2且符号差为2；B 秩为0；C 秩为2且符号差为0；D 秩为1。
7、若把同构的子空间称作一类，则n 维向量空间的子空间共分成（ ）A 1类 ；B 2类；C n 类；D （n+1）类。
8、设线性变换σ在基{21,αα}下的矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，在{121,ααα+}下的矩阵是（ ）。
A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++c d c a b a ；B⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+c a d b c a c d c ；C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a d c b a ； D ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c d b b a 。
9、n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ关于任意标准正交基的矩阵为实对称矩阵是σ为对称变换的（ ）A 充分而不必要条件；B 什么条件都不是；C 必要而不充分条件；D 充分必要条件。
高数03-04学年第二学期期末(工)(题+答案)
北京工业大学2003-2004学年第二学期《高等数学》期末试卷学号______________ 姓名______________ 成绩____________一、填空题：（本大题共15小题，每空3分，共60分）1．设函数23z x x y =+，则z x ∂=∂_________ ， zy∂=∂__________ ， ()0,1dz =_________ .2．设可微函数2(,)x z f e x y =-，则zy∂=∂ __________ . 3．设函数(),z f x y =是由z x y z e ++=所确定，则zy∂=∂ ___________ . 4．曲线cos ,sin ,x t y t z t ===在点()1,0,0处的切线方程为_______________________，法平面方程为 ________________ .5．二次积分210(,)x x dx f x y dy ⎰⎰交换积分次序后得___________________.6．设空间域Ω由22z x y =+与1z =围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(在柱面坐标系下的累次积分为 ___________________ .7．若平面曲线L 为221x y +=，则()22Lx y ds +=⎰__________________ .8．曲线积分(2,3)(0,0)I ydx xdy =+=⎰_______________ .9．判断下列级数的敛散性，若收敛需指出是绝对收敛还是条件收敛：（1）1(1)nn n ∞=-∑ __________； （2）21sin n nn∞=∑_____________ 。
10．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()01nn n a x ∞=-∑的收敛区间为______________ . 11．函数1()1f x x=+关于x 的幂级数展开式为 _________________ . 12．设函数()()f x x x ππ=-≤≤，()S x =1sin n n b nx ∞=∑()x -∞<<+∞，其中1()sin (1,2,3,)n b f x nxdx n πππ-==⎰ ，则()5S π-= _________ .13．微分方程22232(1)x d y dyy x e dx dx-+=+所对应的齐次方程的通解为______________；该方程的一个特解形式可设为 ________________ .14．在球面2225x y z ++=上求一点使得函数ln ln 3ln u x y z =++取得最大值，则 该条件极值问题的拉格朗日函数为________________________ .15．若函数()f x 在[]0,1上连续且恒正，则310110()()()()yxxf x dx I dx dy f x f y f z dz⎡⎤⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰_____ .二、计算下列各题：（本大题共5小题，每题8分，共40分） 16．计算二重积分22xy DI e dxdy --=⎰⎰，其中22:1D x y +≤.17．求微分方程()0dx x y dy -+=的通解。
北京科技大学2003-2004学年度第一学期高等数学(A)试题及答案
北 京 科 技 大 学 03 级 《高 等 数 学AI 》期 末 试 题120分钟 满分100 2004.1一．填空题 (每小题4分，共20分) 1．设 =⋅⨯-=-==c b a c b a)(}0,2,1{},3,1,1{},1,3,2{则 。
2．已知yx y x z ++=2)2(，则全微分=z d 。
3．设曲线n x y =在（1，1）点处的切线与x 轴的交点为)0,(n ξ，则=∞→n n ξlim 。
4．设)(x f 可导且x x f 2tan )(cos '=，则=)(x f 。
5．不定积分⎰dx x arctan= 。
二．单项选择题 (每小题4分，共20分)6． 若∞=→)(lim 0x f x x 且∞=→)(0lim x g x x ，下列结论正确的是 【 】(A) ∞=+→)]()([lim 0x g x f x x (B) 0)]()([lim 0=-→x g x f x x(C) 0)()(1lim 0=→x g x f x x (D) 0)()(1lim=+→x g x f x x7．设b a,是非零向量，且||||b a b a +=-，则下列结论正确的是【 】(A) b a b a+=- (B) 0=⋅b a(C) 0 =⨯b a (D) ||||b a=8．设2)(x e x f =，则)0()2003(f 下列结论正确的是 【 】( A ) 2002 ( B ) 2003 ( C ) 2003！ ( D ) 09．函数141232)(23+-+=x x x x f 在区间 [ -1 , 2 ] 上的最大值和最小值分别是【 】(A) 27和7 (B) 34 和 7 (C) 34和18 (D) 27 和 1810．设),(y x f 在点),(00y x 的某邻域中有定义，则下列结论正确的是 【 】(A) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f 在点),(00y x 处连续 (B) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f 在点),(00y x 处可微 (C) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 不存在，则),(y x f 在点),(00y x 处不连续 (D) 若),(y x f x ，),(y x f y 在点),(00y x 处连续，则),(y x f 在点),(00y x 处可微三．计算题 ( 每小题6分，共36分 ) 11．求不定积分⎰-dx xx 1arcsin12．求极限)1(lim 2x x x x -++∞→13．求极限 xex x x-+→1)1(0lim14．求极限 )(lim 22222941n n n n n n n n n +++++++∞→15．求定积分⎰22cos πxdx e x16．求通过两条直线 1L :21123-==-z y x 与 2L : 21121zy x =-=+ 的平面方程。
2003～2004 学年第二学期《高等数学》期末考试试题B卷及答案(216 学时)
2 26 ( , ,D ⎰ 1⎰f (x , y ) = ♠二、（12 分）设函数 2003～2004 学年第二学期《高等数学》期末考试试题 B 卷（216 学时） 专业班级学号 姓名一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）1、（ ）已知(axy 3 - y 2cos x )d x + (1 + by sin x + 3x2 y 2)d y 为某个二元函数 f (x , y ) 的全微分，则 a 和b 的值分别是 。
A ． - 2 和 2B ．2 和- 2C ． - 3 和 3D ．3 和- 32、（ ）曲面 z = sin x sin y sin(x + y ) 上点 π π3) 处的法线与 xoy 面交角的正弦值为：A.B.13 26 6 3 413 1C.133、（ ） lin 1e x 2 - y 2 cos(x + y )d x d y =r →0πr 2 ⎰⎰A. πB. 1πC .1D. - 1♣2x 2 + y 2 + z 2 = 164、（ ）母线平行于 x 轴且通过曲线♦ ♥ x 2 - y 2 + z 2 = 0的柱面方程是A . 3x 2 + 2z 2 = 16 C . x 2 + 2 y 2= 16B . 3y 2 - z 2 = 16D . 3y 2- z = 16π5、（ ）累次积分⎰ 2 d θ ⎰cos θf (r cos θ , r sin θ )r d r 可写成。
A. ⎰ 0d y ⎰ 0y - y 2 0f (x , y )d xB.⎰ 1 1- y 2d y 0f (x , y )d x C.⎰ d x ⎰ 0 f (x , y )d yD. ⎰ 1 d x x - x 2f (x , y )d y6、（1）（ ）级数∑ n =1A ． (0,4) (x - 2)2n n 4n的收敛域为： B . (0,4]C .[0,4)D .[0,4]♣(x 2 + y 2 ) s i n ♦ ♠♥0,1 , x2 + y 2x 2 + y 2 ≠ 0x 2 + y 2 = 0 ，问在原点(0,0) 处： （1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。
北京科技大学高等数学下册试题
高等数学试题一、填空题1.设sin z xyz 1,-=则z yz x cos z xy∂=∂-. 2.设L 为圆周22xy 4+=，则对弧长曲线积分22L x +y +5dS =12π⎰. 3.交换积分次序()222y 410y 0x 2dy f x,y dx =dx y)dy ⎰⎰⎰⎰.4.方程2x y"4y'4ye -++=的一个特解是2x x e -212. 二、选择题 1.函数()2222x y 0f x,y 0x y 0+≠=+=⎩在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0C.两个偏导数都存在，但不为0D.全微分存在2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥；2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C .A.12xdv 4xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰B.12ydv 4ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.12zdv 4zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰D.12xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222x dydz x y z ∑++⎰⎰等于C . A. 0B.22y z 1+≤⎰⎰C.43πD.22x z 1+≤-⎰⎰ 4.下列微分方程中，通解为()2x 12ye c cos x c sin x =+的方程是B . A.y"4y'5y 0--= B.y"4y'5y 0-+=C.y"2y'5y 0-+=D.2x y"4y'5y e -+= 三、计算二重积分2y 2De dxdy y ⎰⎰.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 四、设y u yf 2x,x ⎛⎫=⎪ ⎭⎝，f 具有二阶连续偏导数，求 2211222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x∂''''''=+--∂∂. 五、设()fx 是一个连续函数，证明：（1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰，其中22u x y =+. 证明：（1）()()()()222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y(yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x yf x y xdx ydy ++=+++∂+'=+∂∂+∂+'=+=∂∂∴++ （2） ()()22u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭=++=++⎰⎰ 六、求：由曲面2222z0,z x y 1,x y 4==+=+=所围空间立体Ω的体积.解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰七、计算曲面积分2∑⎰⎰，其中∑为下半球面z =.是一个全微分。
北京科技大学历年数学分析考研真题答案汇编(2003-2012)
f (x) lim x1
x2n2 1 x2n 1
1
，
lim
x1
f (x)
lim
x1
xn2 0 xn 0
lim
x1
x2
1，左极限 右极限，所以 x 1 是 f(x)的跳跃间断
点，也是第一类间断点. 考查点：间断点的类型
1.可去间断点
若 lim x x0
少存在一点
(a,b) 使得
f ( ) g( )
f (b) f (a) g(b) g(a)
，整理即证.
考查点：柯西中值定理的应用 技巧：将题目中的等式变形成柯西中值定理的形式，根据情况再构造另一个函数. 柯西中值定理 设函数 f 和 g 满足 i) 在[a,b]上连续； ii) 在(a,b)内都可导；
的左、右极限都存在. 4.函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为第
二类间断点. 5.找间断点的方法
i) 使得函数无意义的点（即考查函数的定义域），比如使分母为 0 的点，使 loga f (x)
中 f (x) 0 的点.
i) 左右极限不相等的点，通常考虑 x 1 ，尤其是函数中含有 xn 的形式.
{ xn }有界.令 f (x) 1 sin(x 1) ，则 f (x) cos(x 1) 0, (0 x 2) ，所以 f(x)单调递
增，所以 xn xn1 ，即{ xn }是单调递增数列.由单调有界定理知数列{ xn }收敛。
(2)
设
lim
n
xn
x,则
x
所以 an1 an ，即{ an }单调递减有下界.故{ an }收敛.
北京科技大学2002-2003学年度第二学期高等数学(A)试题及答案.
北京科技大学2002-2003学年度第二学期高等数学（A）试题一、填空题（4分x5=20分）1、设f(x,y)=sin(xy2)，则fyx(" π2,1)=__________x2y2(2xy+3x2+4y2)dl=_________ 2、设l为椭圆+=1，其周长为a，则⎰l433、函数u=ln(x+4、交换积分次序∞沿点A(1,0,1)指向B(3,-2,2)方向的方向导数为_________ 1x2⎰dx⎰0n0nf(x,y)dy+⎰1dx⎰33-x20f(x,y)dy=___________ 5、若幂级数∑a(x-1)n=1在x=0收敛，在x=2发散，则该幂级数的收敛域为_________二、单项选择题（4分x5=20分）'1、fx'(x0,y0)与fy(x0,y0)存在是f(x,y)在点(x0,y0)可微的（）(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件2、函数f(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则（）(A) limf(x,y)不存在 (B) f(x0,y0)必不存在x→x0y→y0' (C) f(x,y)在点(x0,y0)必不可微 (D) fx'(x0,y0)与fy(x0,y0)必不存在22223、设D1=(x,y)|1≤x+y≤4,x≥0,y≥0,D=(x,y)|1≤x+y≤4,且f(x,y)在D上连续，则{}{}必有（）(A)(C) ⎰⎰Df(x,y)dxdy=4⎰⎰f(x,y)dxdy (B) ⎰⎰f(x2,y2)dxdy=4⎰⎰f(x2,y2)dxdyD1DD1⎰⎰Df(x3,y3)dxdy=4⎰⎰f(x3,y3)dxdy (D) 上述说法都不成立 D14、当（）时，∑(-1)unn=1∞n(un>0)一定收敛。
∞1(A) un+1≤un(n=1,2, )(B) limun=0 (C) un> (D) ∑un收敛n→∞nn=15、设P(x,y),Q(x,y)具有一阶连续偏导数，若（）则⎰Pdy-Qdx与路径无关。
北京科技大学《高等数学》2006-2007学年第二学期期末试卷A卷
北京科技大学 2006 --2007 学年第二学期高等数学 试卷 （A ）院(系) 班级 学号 姓名试卷卷面成绩占课程考核成绩80 % 平时成绩 占 20 %课程考核 成绩 题号 一二 三 四 五 六 七 小计 得分阅卷审核一、填空题（15 分）1．曲面z =+ y 2 在点(2,1, 3) 的切平面方程为2．交换积分次序 dx ∫0ln x f (x , y )dy =3．设l 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 与平面 x + y + z = 0 的交线，则(x 2 + y 2 + z 2 )dl = 4．级数x 2n −1 的收敛半径是5．求微分方程 y "+ y '− 2y = 0 的通解 y =二、单选题（15 分）1．设u = f (x + y , xz ) 有二阶连续偏导数，则= （ ）（ A ） f '2+ (x + z )f 12'' + xzf '2'2 （B ） x f 12''+ xzf '2'2（ C ） f '2 + xf 12''+ xzf '2'2 （D ） x zf '2'2得 分得 分自 觉 遵 守 考 试 规 则， 诚 信 考 试， 绝 不 作 弊装 订 线 内 不 得 答 题2． 若 f (x , y )dxdy = ∫d θcos θf (r cos θ, r sin θ)rdr ， 其中a > 0 为常数， 则积分区域 D 是D 2（ ）（ A ） x 2 + y 2 ≤ a 2 （B ） x 2 + y 2 ≤ a 2 , x > 0 （ C ） x 2 + y 2 ≤ ax （D ） x 2 + y 2 ≤ ay3． 设∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1， ∑1 为上半球面 z = ， D xy 为曲面 ∑ 在 xoy 平面上的投影区域，则下列等式成立的是（ ） （ A ） ∫ zdS = 2∫ zdS （B ）∫ zdS = 0 ∑ ∑1 ∑（ C ） ∫ z 2 dS = 2∫ z 2dxdy （D ）∫ z 2dS = 2∫ z 2dxdy ∑ ∑1 ∑ D xy4．设幂级数a n (x − 1)n 在 x = 2 处条件收敛，则该级数在x = 处是（ ）（ A ） 条件收敛 （B ）绝对收敛 （ C ） 发散 （D ）敛散性不一定5． 设线性无关的函数 y 1 , y 2 , y 3 都是二阶非齐次线性方程 y "+ p (x )y '+ q (x )y = f (x ) 的解， c 1 , c 2 为任意常数，则该方程的通解是（ ）（ A ） c 1y 1 + c 2 y 2 + y 3 （B ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (c 1 + c 2 )y 3 （ C ） c 1y 1 + c 2 y 2 − (1 − c 1 − c 2 )y 3 （D ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (1 − c 1 − c 2 )y 31．（8 分） 设u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + xy + 3x − 2y − 6z ， 求点 P 0 (1,1,1) 处从点 P 0 到点 P 1 (3, 0, − 1) 方 向的方向导数P 0 和在点 P 0 处的梯度 gradu (1,1,1)2．（8 分）计算 I = x 2 + y 2 − 4 dxdy , 其中 D : x 2 + y 2 ≤ 9D3．（8 分） 计算∫∫ (x2+ y 2 )dv ， 其中Ω 是由曲线绕 z 轴旋转一周而成的曲面与两平面 z = 2， z = 8 所围成的区域。
2004—数二真题、标准答案及解析
穷小, 则正确的排列次序是
（A）
（B）
（C）
（D）
【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实
现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.
【详解】
, 即. 又, 即. 从而按要求排列的顺序为, 故选（B）.
【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题. （8）设, 则
（A）是的极值点, 但不是曲线的拐点. （B）不是的极值点, 但是曲线的拐点. （C）是的极值点, 且是曲线的拐点. （D）不是的极值点, 也不是曲线的拐点. 【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论两方, 的符 号. 【详解】 ,
（15）（本题满分10分） 求极限. 【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代 换求解. 【详解1】 原式
【详解2】 原式
【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时,要注意将罗 必塔法则和无穷小代换结合,以简化运算.
（16）（本题满分10分） 设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常 数. (Ⅰ)写出在上的表达式; (Ⅱ)问为何值时, 在处可导. 【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论. 【详解】(Ⅰ)当,即时,
【详解】
故选（B）. 【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的
是化为定积分后还必须作一变换,才能化为四选项之一. （10）设函数连续, 且, 则存在, 使得 （A）在内单调增加. （B）在内单调减小. （C）对任意的有. （D）对任意的有. 【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部
2004年考硕数学（二）真题
一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横
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Q( x , y ) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则 Qdx Pdy =
L
【
】
（A）.
( x y )dxdy
D
P
Q
（B）.
( x y )dxdy
D
Q
P
（C）. 7 ． 设 区 域
( x y )dxdy
D
P
Q
（D）
( x y )dxdy
d
2 3
cos
0
rdr
A 2
三．计算题 (共 44 分 )
11．求积分
xyd , 其中 D 是由抛物线 y
D
2
x 及直线 y x 2 所围成的闭区域（10 分）
( x 1) n 12．求幂级数 的收敛域（10 分） 。 2n n n 1
13 ． 计 算 曲 面 积 分
2 2
x
0
15．解：特征方程 r r 2 0 ， r1 1, r2 2 ， 齐次方程通解为 Y c1e c2e 为求原方程的特解 y 。 ，考虑两个方程，
2
x
2 x
，
， 对于前一方程， 因 0 不是特征根，可设 y ' ' y '2 y x 1 （1）和 y ' ' y '2 y e x （2）
A 5
y1 ax b ；对于后一个方程，因 1 是特征根， 可设 y2 cxe x
原方程的特解 y y1 y2 ax b cxe 。
x
代入原方程可得 a 1 / 2, b 3 / 4, c 1 / 3 原方程的通解为
1 3 1 y c1e x c2e 2 x x xe x . 2 4 3
北 京 科 技 大 学 03 级 《高 等 数 学 AII》期末试题
120 分钟 班 级 提号 子题 得分 签名 一 1-5 二 6-10 11 12 姓 名 三 13 14 15 满分 100 2004.6 学 号 四 16 五 17 平时 总分
一．填空题 (每小题 4 分，共 20 分)
1．设函数 f ( x, y , z ) e yz ， 其中 z z ( x, y ) 是由 x y z xyz 0 确定的函数，则
x2 y 1 = [ ] 2 ydy 1 2 y 1 2 5 [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy = 5 1 2 8 a n 1 1 tn ， lim ， 收敛半径 R 2 ， 收 n n a 2 n 1 2 n n
12． 解： 令 t x 1 ， 则原级数化为
四．证明题 16． 证明：
b
a
dx x y
a
x
n2
f y dy dy f y x y
a y
b
b
n2
dx
1 b b y n 1a
n 1
f y dy
五．综合题 17． 解：利用曲线积分与路径无关，得到：
1 1 1 f ' ( x) (sin x f ( x)) ，整理得到一阶微分方程 f ' ( x) f ( x) sin x x x x 1 解之得： f ( x ) (c cos x ) ，将 f ( ) 1 代入得 c 1 x 1 f x 1 cos x x
(8 y 1) xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy ，
2
其中 是由曲线
z y 1 它的法向量与 y 轴正向的 (1 y 3) 绕 y 轴旋转一周所围成的曲面， x 0
夹角恒大于
（7 分） 。 2
14．求幂级数
2n 1 2 n x 的和函数（7 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ） n! n 1
*
*
蝌
*
蝌 邋+ 蝌 å
*
dv = 蝌蝌
W
2p 0
d q蝌 rd r
0
2
3 1+ r2
dy = 2p
=-32 p
I= 2p - (- 32p ) = 34p
A 4
14 ． 解 ：
因 收 敛 半 径 R ， 收 敛 域 为 ( , ) ， 令 S ( x )
2n 1 2 n x n! n 1
五．综合题 (10 分)
17 ． 设 曲 线 C 的 起 点 为 A ， 终 点 为 B ，
f ( ) 1 ， 求 函 数 f ( x) ， 使 曲 线 积 分
A，B 两点分别为 (1, 0) 和 ( , ) 时
C
[sin x f ( x)] x dx f ( x)dy 与路径无关，并求当
x
15．求微分方程 y ' ' y '2 y x 1 e 的通解（ 10 分） 。
四．证明题 ( 6 分 )
16．设 n 为大于 2 的正整数，函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续， 求证:
dx ( x y )
a a
b
x
n2
f ( y )dy
1 b (b y ) n 1 f ( y )dy a n 1
D
Q
P
D:
x y 1 , 则 二 重 积 分
( x
D
y )dxdy 的 值 为
【
】
(A)
4 3
(B)
3 4
(C)
4 3
(D)
3 4
8．设函数 y1 ( x) 为方程 y P ( x ) y Q ( x ) 的一个特解， C 为任意常数，则该方程的通解 可以表示为【
敛区间 t 2 ，即 1 x 3 ， 当 x 3 时级数发散，当 x 1 时级数收敛，故原级数收 敛域为 [ 1, 3) 。 13．解： ï í
ì ïz = ï x= 0 ï ï î
y- 1
绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为： y - 1 = z + x ，
2
2
I=
蝌 邋+
=
【
(C)
】
(D) 0
(A) 1
10．求圆 r 1 之外和圆 r
2 3
cos 之内的公共部分的面积 S【
(B)
】
(A)
6 0
d d
2 3
cos
0
rdr
2 6 d
0
2 3
cos
1
rdr
(C)
6 0
2 3
cos
1
rdr
(D) 2
6 0
（ x ） ，
x
0
S (t )dt
n 1
x
0
2n 1 2 n t dt n!
2 1 2 n 1 1 x x[ x 2 n 1] x(e x 1) n 1 n! n 1 n
[ S (t )dt ]' [ x(e x 1)]' ， 故 S ( x) e x (2 x 2 1) 1 ， x
。
。
4．求积分 L
5．求函数 z xe 2 y 在点 P (1, 0) 处沿从点 P (1, 0) 到点 Q ( 2, 1) 方向的方向导
数
。
A 1
二．单项选择题 (每小题 4 分，共 20 分)
6．设分段光滑的有向闭曲线 L 为有界闭区域 D 的正向边界，函数 P( x , y ) ，
】
P ( x ) dx y y1 e
(A)
(B)
P ( x ) dx y y1 Ce
(C)
P ( x ) dx y y1 e C
(D)
y y1 Ce
P ( x ) dx
9．
幂级数
(1)n 1
n 1
xn n!
的收敛半径为 (B) –1
y
的曲线积分的值。
A 3
参
一．填空题 (1) 1; (2) ( 2 , 二．选择题 6．C 三．计算题
2
考
答
案（a）
2 2 3 , ) ; (3) 12a; (4) ; (5) 2 4 2 10
7．C
8．B
9．C
10．B
11．解：
[ 蝌 xyd s = 蝌 -1 y
D
2
y+ 2
2
xy dx ] dy
x 2
' f x (0, 1,- 1) =
。
2．设曲线 l 的方程为： x 2 cos , y sin , z ( 0 )，已知 l 上点 P 处
的切线平行于平面 x
2 z 4 ，则点 P 的坐标为
。
x2 y2 3．设 L 为椭圆 1 ，其周长记为 a ，则 (3x 2 4 y 2 )ds L 4 3 y dx 2xydy ，其中 L 是沿 y x 2 由 A(0, 0) 到 B(1, 1) 的一段。 x 1