北京科技大学2003-2004学年度第二学期高等数学(A)试题及答案

Q( x , y ) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则 Qdx Pdy =
L
【
】
（A）.
( x y )dxdy
D
P
Q
（B）.
( x y )dxdy
D
Q
P
（C）. 7 ． 设 区 域
( x y )dxdy
D
P
Q
（D）
( x y )dxdy

（ x ） ，

x
0
S (t )dt
n 1

x
0
2n 1 2 n t dt n!

2 1 2 n 1 1 x x[ x 2 n 1] x(e x 1) n 1 n! n 1 n
[ S (t )dt ]' [ x(e x 1)]' ， 故 S ( x) e x (2 x 2 1) 1 ， x
2 2
x
0
15．解：特征方程 r r 2 0 ， r1 1, r2 2 ， 齐次方程通解为 Y c1e c2e 为求原方程的特解 y 。 ，考虑两个方程，

2
x
2 x
，
， 对于前一方程， 因 0 不是特征根，可设 y ' ' y '2 y x 1 （1）和 y ' ' y '2 y e x （2）
*
*
蝌
*
蝌 邋+ 蝌 å
*
dv = 蝌蝌
W
2p 0
d q蝌 rd r
0
2
3 1+ r2
dy = 2p
=-32 p
I= 2p - (- 32p ) = 34p
A 4
14 ． 解 ：
因 收 敛 半 径 R ， 收 敛 域 为 ( , ) ， 令 S ( x )

2n 1 2 n x n! n 1
五．综合题 (10 分)
17 ． 设 曲 线 C 的 起 点 为 A ， 终 点 为 B ，
f ( ) 1 ， 求 函 数 f ( x) ， 使 曲 线 积 分
A，B 两点分别为 (1, 0) 和 ( , ) 时
C
[sin x f ( x)] x dx f ( x)dy 与路径无关，并求当
(8 y 1) xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy ，
2
其中 是由曲线
z y 1 它的法向量与 y 轴正向的 (1 y 3) 绕 y 轴旋转一周所围成的曲面， x 0
夹角恒大于
（7 分） 。 2
14．求幂级数

2n 1 2 n x 的和函数（7 分） n! n 1
x 2
' f x (0, 1,- 1) =
。
2．设曲线 l 的方程为： x 2 cos , y sin , z ( 0 )，已知 l 上点 P 处
的切线平行于平面 x
2 z 4 ，则点 P 的坐标为
。
x2 y2 3．设 L 为椭圆 1 ，其周长记为 a ，则 (3x 2 4 y 2 )ds L 4 3 y dx 2xydy ，其中 L 是沿 y x 2 由 A(0, 0) 到 B(1, 1) 的一段。 x 1
y
的曲线积分的值。
A 3
参
一．填空题 (1) 1; (2) ( 2 , 二．选择题 6．C 三．计算题
2
考
答
案（a）
2 2 3 , ) ; (3) 12a; (4) ; (5) 2 4 2 10
7．C
8．B
9．C
10．B
11．解：
[ 蝌 xyd s = 蝌 -1 y
D
2
y+ 2
2
xy dx ] dy
x
15．求微分方程 y ' ' y '2 y x 1 e 的通解（ 10 分） 。
四．证明题 ( 6 分 )
16．设 n 为大于 2 的正整数，函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续， 求证:
dx ( x y )
a a
b
x
n2
f ( y )dy
1 b (b y ) n 1 f ( y )dy a n 1
敛区间 t 2 ，即 1 x 3 ， 当 x 3 时级数发散，当 x 1 时级数收敛，故原级数收 敛域为 [ 1, 3) 。 13．解： ï í
ì ïz = ï x= 0 ï ï î
y- 1
绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为： y - 1 = z + x ，
2
2
I=
蝌 邋+
=
四．证明题 16． 证明：
百度文库

b
a
dx x y
a
x
n2
f y dy dy f y x y
a y
b
b
n2
dx
1 b b y n 1a

n 1
f y dy
五．综合题 17． 解：利用曲线积分与路径无关，得到：
1 1 1 f ' ( x) (sin x f ( x)) ，整理得到一阶微分方程 f ' ( x) f ( x) sin x x x x 1 解之得： f ( x ) (c cos x ) ，将 f ( ) 1 代入得 c 1 x 1 f x 1 cos x x
d
2 3
cos
0
rdr
A 2
三．计算题 (共 44 分 )
11．求积分
xyd , 其中 D 是由抛物线 y
D
2
x 及直线 y x 2 所围成的闭区域（10 分）
( x 1) n 12．求幂级数 的收敛域（10 分） 。 2n n n 1
13 ． 计 算 曲 面 积 分
【
(C)
】
(D) 0
(A) 1
10．求圆 r 1 之外和圆 r
2 3
cos 之内的公共部分的面积 S【
(B)
】
(A)

6 0
d d
2 3
cos
0
rdr
2 6 d
0

2 3
cos
1
rdr
(C)
6 0
2 3
cos
1
rdr
(D) 2

6 0
y1 ax b ；对于后一个方程，因 1 是特征根， 可设 y2 cxe x
原方程的特解 y y1 y2 ax b cxe 。
x


代入原方程可得 a 1 / 2, b 3 / 4, c 1 / 3 原方程的通解为
1 3 1 y c1e x c2e 2 x x xe x . 2 4 3
A 5
D
Q
P
D:
x y 1 , 则 二 重 积 分
( x
D
y )dxdy 的 值 为
【
】
(A)
4 3
(B)
3 4
(C)
4 3
(D)
3 4
8．设函数 y1 ( x) 为方程 y P ( x ) y Q ( x ) 的一个特解， C 为任意常数，则该方程的通解 可以表示为【
北 京 科 技 大 学 03 级 《高 等 数 学 AII》期末试题
120 分钟 班 级 提号 子题 得分 签名 一 1-5 二 6-10 11 12 姓 名 三 13 14 15 满分 100 2004.6 学 号 四 16 五 17 平时 总分
一．填空题 (每小题 4 分，共 20 分)
1．设函数 f ( x, y , z ) e yz ， 其中 z z ( x, y ) 是由 x y z xyz 0 确定的函数，则
x2 y 1 = [ ] 2 ydy 1 2 y 1 2 5 [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy = 5 1 2 8 a n 1 1 tn ， lim ， 收敛半径 R 2 ， 收 n n a 2 n 1 2 n n

12． 解： 令 t x 1 ， 则原级数化为
。
。
4．求积分 L
5．求函数 z xe 2 y 在点 P (1, 0) 处沿从点 P (1, 0) 到点 Q ( 2, 1) 方向的方向导
数
。
A 1
二．单项选择题 (每小题 4 分，共 20 分)
6．设分段光滑的有向闭曲线 L 为有界闭区域 D 的正向边界，函数 P( x , y ) ，
】
P ( x ) dx y y1 e
(A)
(B)
P ( x ) dx y y1 Ce
(C)
P ( x ) dx y y1 e C
(D)
y y1 Ce
P ( x ) dx
9．
幂级数
(1)n 1
n 1

xn n!
的收敛半径为 (B) –1