4.第12课时 反比例函数

第三章 函数第12课时 反比例函数(建议时间： 分钟)基础过关1. (2019海南)如果反比例函数y ＝a －2x (a 是常数)的图象在第一、三象限，那么a 的取值范围是( )A. a ＜0B. a ＞0C. a ＜2D. a ＞22. (2019哈尔滨)点(－1，4)在反比例函数y ＝kx 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )A. (4，－1)B. (－14，1)C. (－4，－1)D. (14，2)3. (2019鄂州)在同一平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋k 与y ＝kx(k 为常数，且k ≠ 0)的图象大致是( )4. (2019天津)若点A (－3，y 1)，B (－2，y 2)，C (1，y 3)都在反比例函数y ＝－12x 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 2＜y 1＜y 3B. y 3＜y 1＜y 2C. y 1＜y 2＜y 3D. y 3＜y 2＜y 15. (2019安徽)已知点A (1，－3)关于x 轴的对称点A ′在反比例函数y ＝kx 的图象上，则实数k 的值为( )A. 3B. 13C.－3D.－136. (2019淮安)当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y 和宽x 之间的函数关系的是( )7. (2019衡阳)如图，一次函数y 1＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y 2＝mx (m 为常数且m ≠0)的图象都经过A (－1，2)，B (2，－1)，结合图象，则不等式kx ＋b >mx的解集是( )A. x <－1B. －1<x <0C. x <－1或0<x <2D. －1<x <0或x >2第7题图8. (2019江西)已知正比例函数y 1的图象与反比例函数y 2的图象相交于点A (2，4)，下列说法正确的是( )A. 反比例函数y 2的解析式是y 2＝－8xB. 两个函数图象的另一交点坐标为(2，－4)C. 当x ＜－2或0＜x ＜2时，y 1＜y 2D. 正比例函数y 1与反比例函数y 2都随x 的增大而增大9. (2019徐州黑白卷)如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝x 与y ＝4x 的图象交于A ，B 两点，过A ，B两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，连接BC ，AD ，则四边形ACBD 的面积为( )A. 8B. 6C. 4D. 2第9题图10. (2019徐州黑白卷)如图，函数y ＝k x (k ＞0，x ＞0)与y ＝12x 的图象交于点A ，将直线y ＝12x 向上平移3个单位长度后，与y 轴交于点C ，与函数y ＝kx (k ＞0，x ＞0)的图象交于点B.若A 点横坐标为B 点横坐标的两倍，则k 的值为( )A. 2B. 8C. 3D. 4第10题图11. (2018宁夏)反比例函数y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的图象经过点(1，4)，那么这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 值的增大而 .(填“增大”或“减小”)12. (2018陕西)若一个反比例函数的图象经过点A (m ，m )和B (2m ，－1)，则这个反比例函数的表达式为 .13. (2020原创)若一次函数y ＝x ＋5的图象与反比例函数y ＝2x 的图象交于点(a ，b )，则1a －1b ＝ .14. (苏科八下P 145复习题第11题改编)如图，点P 1，P 2，P 3分别是双曲线同一支上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，垂足分别是A 1，A 2，A 3，连接P 1O ，P 2O ，P 3O 得到三个三角形：△P 1A 1O ，△P 2A 2O ，△P 3A 3O .设它们的面积分别为S 1，S 2，S 3，则它们的大小关系是 .第14题图15. (2019益阳)反比例函数y ＝kx 的图象上有一点P (2，n )，将点P 向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q ，若点Q 也在该函数的图象上，则k ＝ .16. (2019安顺)如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1＝k 1x (x ＞0)及y 2＝k 2x (x ＞0)的图象分别交于A ，B 两点，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为4，则k 1－k 2＝ .第16题图17. (2019北京)在平面直角坐标系xOy 中，点A (a ，b )(a >0，b >0)在双曲线y ＝k 1x 上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y ＝k 2x上，则k 1＋k 2的值为 .18. (2019山西)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为(－4，0)，点D 的坐标为(－1，4)，反比例函数y ＝kx (x >0)的图象恰好经过点C ，则k 的值为 .第18题图19. (2019徐州中考说明样卷)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋m 与双曲线y ＝mx 在第一象限交于点A ，且与x 轴交于点C ，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，且S △AOB ＝1.(1)求m 的值； (2)求△ABC 的面积.第19题图20. (2019泸州)一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A (1，4)，B (－4，－6). (1)求该一次函数的解析式；(2)若该一次函数的图象与反比例函数y ＝mx 的图象相交于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)两点，且3x 1＝－2x 2，求m 的值.21. (2019广东省卷)如图，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k 2x 的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(－1，4)，点B 的坐标为(4，n ).(1)根据图象，直接写出满足k 1x ＋b ＞k 2x 的x 的取值范围；(2)求这两个函数的表达式；(3)点P 在线段AB 上，且S △AOP ∶S △BOP ＝1∶2，求点P 的坐标.能力提升1. (2020原创)如图，在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为(a ，a ).若反比例函数y ＝4x(x >0)与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是( )A. a ≤3B. a ≥2C. －1≤a ≤3D. 2≤a ≤3第1题图2. (2019县区二模)如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴的负半轴上，点D (m ，n )在反比例函数y ＝kx 的图象上，直线AC 交y 轴于点E ，且S △BCE ＝4，则k 的值为( )A. －16B. －8C. －4D. －23. (2019矿大附中三模)如图，点C 在反比例函数y ＝kx (x >0)的图象上，过点C 的直线与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且AB ＝BC ，△AOB 的面积为1，则k 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4第3题图4. (2019咸宁)在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A ，B 恰好分别落在函数y ＝－1x (x ＜0)，y ＝4x(x ＞0)的图象上，则sin ∠ABO 的值为( )A. 13B. 33C. 54D. 55第4题图5. (2019县区一模)已知点C 在反比例函数y ＝kx 的图象上，点D 在x 轴正半轴上，∠COD ＝60°，OB 平分∠COD 交反比例函数y ＝kx 的图象于点B ，过点B 作AB ∥x 轴，交OC 于点A ，若△AOB 的面积为2，则k 的值为 .第5题图6. (2019县区二模)如图，在矩形OABC 中，OA ＝5，OC ＝4，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝kx(k >0)的图象与BC 边交于点E .(1)当F为AB的中点时，求该函数的表达式；(2)当k为何值时，△EF A的面积最大，最大面积是多少？第6题图满分冲关1. (2019威海)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上运动，且始终保持线段AB ＝42的长度不变，M 为线段AB 的中点，连接OM .则线段OM 长度的最小值是 (用含k 的代数式表示).第1题图2. (2019福建)如图，菱形ABCD 的顶点A 在函数y ＝3x (x ＞0)的图象上，函数y ＝kx (k ＞3，x ＞0)的图象关于直线AC 对称，且过B ，D 两点.若AB ＝2，∠BAD ＝30°，则k ＝ .第2题图参考答案第12课时 反比例函数基础过关1. D2. A3. C 【解析】由一次函数y ＝－x ＋k 可知，一次函数一定会经过第二，四象限，当k ＞0，一次函数经过第一、二、四象限，此时反比例函数的图象分布在第一、三象限；当k ＜0，一次函数经过第二、三、四象限，此时反比例函数的图象分布在第二、四象限.4. B 【解析】∵k ＝－12＜0，∴反比例函数的图象分布在第二、四象限内，且在每一象限内y 随x 的增大而增大，∵A 、B 在第二象限，－3＜－2，∴0＜y 1＜y 2，∵点C 在第四象限，∴y 3＜0，∴y 3＜y 1＜y 2.5. A 【解析】点A (1，－3)关于x 轴对称点为A ′(1，3)，代入y ＝kx中得，k ＝3.6. B 【解析】∵矩形面积公式为S ＝xy ，∴当S 一定时，y ＝Sx，即y 是x 的反比例函数.7. C 【解析】要使不等式kx ＋b >mx ，只需找到使一次函数的图象在反比例函数的图象上方的x 的取值范围.由图象可知，当x <－1或0<x <2时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，故不等式的解集是x <－1或0<x <2.8. C 【解析】分别设正比例函数、反比例函数解析式为y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，把点A (2，4)分别代入对应解析式，解得k 1＝2，k 2＝8，∴y 1＝2x ，y 2＝8x ，故A 选项错误；根据对称性可知，两个函数图象的另一交点坐标为(－2，－4)，故B 选项错误； 当x ＜－2或0＜x ＜2时，y 1＜y 2，故C 选项正确；正比例函数y 1随x 的增大而增大，反比例函数在每个象限内，y 2随x 的增大而减小，故D 选项错误.9. A 【解析】∵S △AOC ＝S △ODB ＝12|k |＝2，OC ＝OD ，∴S △AOC ＝S △ODA ＝S △ODB ＝S △OBC ＝2，∴四边形ACBD的面积为S △AOC ＋S △ODA ＋S △ODB ＋S △OBC ＝8.10. B 【解析】设A (a ，12a )，则B (12a ，14a ＋3)，∵点A 、B 在反比例函数y ＝kx图象上，∴可得方程组⎩⎨⎧a ·12a ＝k ，12a ·（14a ＋3）＝k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，k ＝8.11. 减小 【解析】 把(1，4)代入y ＝k x 中，得k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x ，∵k ＝4>0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小.12. y ＝4x 【解析】 设反比例函数的表达式为y ＝kx ，∵反比例函数图象经过点A (m ，m )和点B (2m ，－1)， ∴m 2＝－2m ＝k ，即m 2＋2m ＝0，解得m 1＝－2，m 2＝0(不合题意，舍去)，∴k ＝(－2)×(－2)＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x.13. 2.5 14. S 1＝S 2＝S 315. 6 【解析】∵反比例函数y ＝k x 的图象上有一点P (2，n )，∴k2＝n .又∵将点P 向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q ，点Q 也在该函数的图象上，∴平移后点的坐标为(3，n －1)，∴k3＝n －1，解方程组⎩⎨⎧k 2＝n k 3＝n －1得，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6n ＝3.16. 8 【解析】设OP ＝a ，则A 点坐标为(a ，k 1a )，B 点坐标为(a ，k 2a )，S △OAB ＝12·OP ·AB ＝12·k 1－k 2a ·a ＝4，解得k 1－k 2＝8.17. 0 【解析】∵点A (a ，b )(a >0，b >0)在双曲线y ＝k 1x 上，∴b ＝k 1a .∴k 1＝ab .∵点A (a ，b )与点B 关于x 轴对称，∴B (a ，－b ).∵点B (a ，－b )(a >0，b >0)在双曲线y ＝k 2x 上，∴－b ＝k 2a .∴k 2＝－ab .∴k 1＋k 2＝ab ＋(－ab )＝0.18. 16 【解析】如解图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E .∵点A 的坐标为(－4，0)，点D 的坐标为(－1，4)，∴DE ＝4，AO ＝4，EO ＝1，∴AE ＝AO －EO ＝3，∴AD ＝AE 2＋DE 2＝5.∵四边形ABCD 是菱形，∴DC ＝AD ＝5，∴点C 的坐标为(4，4).∵反比例函数图象经过C (4，4)，∴将C (4，4)代入y ＝kx，解得k ＝16.第18题解图19. 解：(1)设A (x ，y )，∵直线y ＝x ＋m 与双曲线y ＝mx 在第一象限交于点A ，S △AOB ＝1，∴12xy ＝1，即xy ＝m ＝2. ∴m ＝2； (2)∵m ＝2，∴直线解析式为y ＝x ＋2， 令y ＝0，得x ＝－2， ∴C 点坐标为(－2，0)联立两函数的解析式⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2y ＝2x ，∵点A 在第一象限，∴解得A 点坐标为(3－1，3＋1). BC ＝3＋1，S △ABC ＝12×(3＋1)×(3＋1)＝2＋ 3.20. 解：(1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝4，－4k ＋b ＝－6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋2； (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝m x .消去y 得：2x 2＋2x －m ＝0，则x 1＋x 2＝－1， ∵3x 1＝－2x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝－3.∴点C (2，6)，∵反比例函数y ＝mx 的图象过点C (2，6).∴m ＝12.21. 解：(1)x <－1或0<x <4； (2)∵点A (－1，4)在y ＝k 2x 的图象上，∴4＝k 2－1，解得k 2＝－4，∴反比例函数的表达式为y ＝－4x.∵点B (4，n )在反比例函数y ＝－4x 的图象上，∴n ＝－44＝－1，∴点B (4，－1)，∵一次函数的图象过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－k 1＋b ＝4，4k 1＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－1，b ＝3，∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋3；(3)如解图，连接OP 、OA 、OB ，设直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，第21题解图∵当y ＝0时，x ＝3， ∴点C 的坐标为(3，0). ∵S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ， ∴S △AOB ＝12×3×4＋12×3×1＝152.∵S △AOP ∶S △BOP ＝1∶2， ∴S △BOP ＝23S △AOB ＝23×152＝5.∵点P 在线段AB 上，设P 的坐标为(m ，－m ＋3)， S △POB ＝S △POC ＋S △BOC ，∴S △BOP ＝12×3×(－m ＋3)＋12×3×1＝5，∴解得m ＝23，∴－m ＋3＝－23＋3＝73，∴点P 的坐标为(23，73).能力提升1. D 【解析】依题意可知，a ＞0，∵A 点的坐标为(a ，a )，∴C (a －1，a －1)，当点C 在反比例函数y ＝4x 上时，则a －1＝4a －1，解得a ＝3；当点A 在反比例函数y ＝4x 上时，则a ＝4a ，解得a ＝2，∴a 的取值范围是2≤a ≤3.故选D .2. B 【解析】∵点D (m ，n )在第二象限，∴OC ＝－m ，CD ＝AB ＝n .∵点D (m ，n )在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝mn .∵S △BEC ＝4，∴12BC ·OE ＝4，∴BC ·OE ＝8.由矩形的性质可得AB ∥OE ，∴BC OC ＝ABOE .∴AB ·OC＝BC ·OE ＝8.∴n (－m )＝8.∴mn ＝－8，即k ＝－8.3. D 【解析】设点A 的坐标为(a ，0)，∵过点C 的直线与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且AB ＝BC ，△AOB 的面积为1，∴点C (－a ，－k a )，∴点B 的坐标为(0，－k2a )，∴－a ·－k2a 2＝1，解得，k ＝4.4. D 【解析】如解图，过点A 、B 分别作AD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，垂足为D 、E ，∵点A 在反比例函数y ＝－1x (x ＜0)上，点B 在y ＝4x (x ＞0)上，∴S △AOD ＝12，S △BOE ＝2，又∵∠AOB ＝90°，∴∠AOD ＝∠OBE ，∴△AOD ∽△OBE ，∴(AO OB )2＝S △AOD S △OBE ＝14，∴AO OB ＝12，设OA ＝m ，则OB ＝2m ，AB ＝m 2＋（2m ）2＝5m ，在Rt △AOB 中，sin ∠ABO ＝OA AB ＝m 5m ＝55.故选D .第4题解图5. 6 【解析】∵∠COD ＝60°，OB 平分∠COD 交反比例函数y ＝kx 的图象于点B ，∴∠BOD ＝30°，∴直线OC 的表达式为y ＝3x ，直线OB 的表达式为y ＝33x ，∴设B (m ，33m )，则A (13m ，33m )，∵AB ∥x 轴，∴AB ＝m －13m ＝23m ，∵△AOB 的面积为2，∴12·23m ·33m ＝2，∴33m 2＝6，∵点B (m ，33m )在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴k ＝m ·33m ＝33m 2，∴k ＝6.6. 解：(1)∵矩形OABC 中OA ＝5，OC ＝4， ∴点B (5，4). ∵F 为AB 的中点， ∴点F (5，2).∵点F 在反比例函数y ＝kx的图象上，∴k ＝5×2＝10.∴该函数的表达式为y ＝10x；(2)依题知点E 坐标为(k 4，4)，点F 坐标为(5，k5)，依图知S △EF A ＝12AF ·BE ，设△EF A 面积为S ，则 S ＝12×k 5×(5－k 4)， 整理得S ＝－140k 2＋k 2，配方得S ＝－140(k －10)2＋52，即当k ＝10时，△EF A 的面积最大，最大面积是52.满分冲关1.2k ＋8 【解析】如解图，∵反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象关于直线y ＝x 对称，∴要求OM 的最小值，即OM ⊥AB 时最小，∴M 在直线y ＝x 上时OM 最小，过点A 作y 轴的平行线AD 交OM 于点C ，连接BC ，∴△ACM 与△BCM 关于直线y ＝x 对称，∴∠BCM ＝∠ACM ＝45°，∴∠ACB ＝90°，则△ACB 是等腰直角三角形，∴BC ＝4，设点C (m ，m )，∴点B (4＋m ，m )，A (m ，m ＋4)，∴M (m ＋2，m ＋2)，将点B 的坐标代人y ＝kx 中得，(4＋m )m ＝k ，∴m 2＋4m ＝k ，∴(m ＋2)2＝k ＋4，∴OM ＝（m ＋2）2＋（m ＋2）2＝2k ＋8.第1题解图2. 6＋23 【解析】如解图，连接OC ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，过点A 作AF ⊥BE 交BE于点F ，∵四边形ABCD 为菱形，函数y ＝kx (k >3，x >0)的图象关于直线AC 对称，且过B ，D 两点，∴直线AC 的表达式是y ＝x ，∠CAF ＝45°，∵∠BAD ＝30°，∴∠BAC ＝12∠BAD ＝15°，∴∠BAF ＝30°，∵AB ＝2，∴BF ＝AB ·sin30°＝1，AF ＝AB ·cos30°＝3，∵函数y ＝3x(x ＞0)与直线AC 有交点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝3x，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝3 .∴A (3，3)，∴B (23，3＋1)，将点B 的坐标代入函数y ＝k x ，得3＋1＝k23，∴k ＝23×(3＋1)＝6＋2 3.第2题解图。