傅里叶光学chap2-4 (2)

§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
孔径的复振幅透过率：
t (x0,y0) = 1 在∑内 0 其它
3、衍射孔径对角谱的作用 Effect of Diffraction Aperture on Angular Spectrum
光场通过衍射屏后的变化： Ut (x0,y0) = Ui (x0,y0) t (x0,y0) F.T. 角谱的变化： At (fx,fy) = Ai (fx,fy) T (fx,fy) 由于卷积运算具有将函数展宽的性质，因此，引入衍射孔径使 入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。
在傍轴近似下
cos(n, r ) cos(n, r ' ) 1 2
2 2 2
r z ( x x0 ) ( y y0 )
随近似程度的不同, 将衍射现象分为菲涅耳衍射和 夫琅和费衍射.
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
菲涅耳衍射公式
略去 (x-x0)/z 和 (y-y0)/z 的二次以上的项, 则
平面波在x和y方向的空间频率:
fx
cos

;
fy
cos cos, cos 为波

矢的方向余弦
平面波传播方向在xz平面, 与z轴夹角为q, 则此平面波复振幅沿x方向的空间频率为:
空间频率的单位:
sin q

平面波的复振幅分布： U ( x, y) A exp[ jk ( x cos y cos )]
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
U P
（1） 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求 下一时刻波阵面的方法.把波阵面上每一面元作为次级子 波的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面.
惠更斯原理不仅能解释光的反射和折射, 也能预见光在通 过简单孔径时的衍射现象.但它只能判断光的传播方向,不 能定量计算.
例：制作某器件用的掩膜，透过率为：
x 1 x t ( x) rect comb a b b 用波长为的单位振幅的单色平面波照明。设 a = 200nm, b = 400nm, = 500nm, 问掩膜后有多少个可以传播的平面波 分量？ 并求出它们传播矢量的方向余弦。



得到菲涅耳衍射的空域表达式：
exp( jk z) U ( x, y , z ) U 0 ( x0 ,y0 ,0) exp{ j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]}dx0 dy0 jz z
e jkr U ( P) c U ( P0 ) K (q ) ds r
常数 源点 倾斜 球面 幅相 光扰动 因子 子波 因子 表达式 U(P0)ds: 球面子波的振幅 相干叠加 观察点 (场点) 复振幅 球面 子波源
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式

在菲涅耳衍射公式基础上再做远场近似，可得夫琅禾费衍射公式。
§2-3 标量衍射的角谱理论
2、基于平面波角谱的衍射理论 从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
xyz平面的光场分布按其角谱展开：
U ( x, y , z )

A(
cos cos cos cos cos cos , , z ) exp[ j ( x y )]d ( )d ( )
3、菲涅耳衍射公式
x0 x
y0 近似条件： z
孔径和观察平面 之间的距离远远 大于孔径的线度
y
只对轴附 近的一个 小区域内 进行观察
z x
2 0 max
y
2 0 max
z x
2 max
y
2 max
x x0 y y0 f x cos 1, f y cos 1 z z
1 x x0 2 1 y y0 2 r z 1 2 z 2 z
在振幅部分取r的一级近似, 位相因子用r的二级近似, 代入基尔霍夫公式, 即得菲涅耳衍射公式
1 k U ( x, y ) exp( jk z) U ( x0 , y0 ) exp j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]dx0 dy0 jz 2z
A0 ( f x , f y ,0) U 0 ( x0 , y0 ,0) exp[ j 2 ( f x x0 f y y0 )]dx0 dy0

xyz平面的光场分布与x0y00平面光场分布的关系：
U ( x, y, z ) U ( x0 , y0 ,0) exp( j






衍射现象的传递函数： H ( f , f ) exp jkz 1 2 f 2 2 f 2 x y x y


xyz平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：
cos cos cos cos A( , , z ) A( , ,) exp jkz cos cos
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
（2） 菲涅耳子波干涉说 (1818): 子波间应当互相干涉,并且 应当考虑不同方向子波的差异. — 惠更斯-菲涅耳原理 惠更斯-菲涅耳原理: 波阵面上任意未受阻挡的点,产生一个 与原波频率相同的子波. 此后空间任何一点的光振动是这 些子波叠加的结果. 其数学表述为:
cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm , lp/mm 等
绝对不是Hz,
U ( x, y ) A exp[ j 2 ( f x x f y y )]
-1!!! s
光场复振幅 xyz平面上Βιβλιοθήκη Baidu振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其 分布的角谱: 空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
2、平面波角谱的传播
系统的
f x2 f y2 其
1 λ2 他
fy 1/ fx 0
把光波的传播现象看作一个带宽有限 的空间滤波器。在频率平面上的半径 为1/的圆形区域内，传递函数的模为 1，对各频率分量的振幅没有影响。但 要引入与频率有关的相移。在这一圆 形区域外，传递函数为零。
对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大 于1/的信息，在单色光照明下不能沿z方向向前传递。 光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。
基尔霍夫 边界条件
P’
基尔霍夫衍射公式 常数幅相因子 1/j 自动出现，K(q)函数形式确定
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
基尔霍夫衍射公式
1 cos(n, r ) cos(n, r ' ) e jkr U ( P) U ( P0 ) r ds j 2
cos cos A , , z cos cos A , ,0 exp( jkz 1 cos2 cos2 )
传播现象作为线性空不变系统:
2 2 exp jk z 1 λf x λf y H fx, fy 传递函数: 0






§2-3 标量衍射的角谱理论
2、基于平面波角谱的衍射理论 综合得到（注意fx=cos /, fy=cos / ):

U ( x, y, z ) A ( f x , f y ,) exp( j z f x f y ) exp[ j ( f x x f y y )]df x df y
§2-3 标量衍射的角谱理论
衍射现象
平 面 波 入 射
P U P
几 何 阴 影 区
(2)
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中各源点的复振幅表示出来。
§2-3 标量衍射的角谱理论
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
1 f f
2 2 x 2 2 y
1 2 2 1 ( f x f y2 ) 适合于菲涅耳衍射区 2
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式
衍射公式变为：

U ( x, y, z ) exp( jk z)


U 0 ( x0 , y0 ,0) exp[ j z ( f x2 f y2 )]
解：透射光场空间分布的频谱为：
a n n F ( f x ) asincaf x combbf x sinc a b f x b b n
掩膜后光场空间分布的角谱为：
a n cos n F( ) sinc a b b b n cos
在单色点光源照明平面孔径的情况下:
惠-菲原理
e jkr U ( P) c U ( P0 ) K (q ) ds r
n r' ∑ P0 r P
jkr 1 cos(n, r ) cos(n, r ' ) e U ( P) U ( P0 ) r ds j 2
e jkr U ( P) c U ( P0 ) K (q ) ds r
源点处的面元法线 源点 所考虑的传播方向与面元法线的夹角 源点到场点的距离 场点 成功: 可计算简单孔径 的衍射图样强度分布.
源波阵面 局限:难以确定K(q ).无法引入- /2的相移
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
3、衍射孔径对角谱的作用
例: 单位振幅平面波垂直入射照明一矩孔, 求角谱的变化
Ui (x0,y0) = 1
Ui (x0,y0) Ut(x0,y0)
t (x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b)
Ai (fx,fy)= (fx,fy) T (fx,fy)=absinc(afx)sinc(bfy) At (fx,fy) = (fx,fy) T (fx,fy) = T (fx,fy) 角谱展宽 孔径限制了入射波面的范围, 展宽了入射角谱 故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的 平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。
a n cos n F( ) sinc a b b b n cos
答案：
角谱的零频分量：n = 0, 相应的 cos = 0, 是沿光轴z方向 传播的平面波。 角谱的最低基频： n = +1, 相应的 cos = /b =1.25 > 1 是倏逝波。 仅有1个可以沿z轴传播的均匀平面波分量，不携带信息。 其它高频分量均被截止。 对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于 1/的信息，在单色光照明下不能沿z方向向前传递。光 在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。


2z

普遍的 exp{ j 2 [ f x ( x x0 ) f y ( y y0 )]}dx0 dy0 df x df y 衍射公式

1 2 f x 2 f y )
2 2
使用时需要化简。 在不同的近似条件下，可以得到菲涅耳 衍射公式和夫琅禾费衍射公式
§2-3 标量衍射的角谱理论
exp{ j 2 [ f x ( x x0 ) f y ( y y0 )]}df x df y dx0 dy0
利用高斯函数的傅里叶变换和F.T.的缩放性质：
exp j z f

x
f
y


exp j f x x f y y df x df y exp j x y jz z