傅里叶光学chap2-4 (2)
傅里叶变换光学简介
余弦光栅的衍射特征：
平面波正入射， 其入射波前为：
(x,y)
F
+1
~ U1 ( x, y ) = A1
经过余弦光栅后的透射波前为：
θ+1 θ-1
0 -1
（x, y ) = ( x, y )U （ U t A1 [t0 t1 cos(2π fx + φ0 ) ] 2 1 x, y ) =+ ei ( 2π fx +φ0 ) + e − i (2π fx +φ0 ) = A1 t0 + t1 2 1 1 i (2π fx +φ0 ) = + A1t1e − i (2π fx +φ0 ) A1t0 + A1t1e 2 2 + = + U U U +1 −1 0
振幅模函数 辐角函数
（1）若ϕ (x,y) ≈常数，只有函数t(x,y)，则该衍射屏 称为振幅型。 （2）若t(x,y) ≈常数，只有函数ϕ (x,y) ，则该衍射屏 称为相位型。 （3）若有两个函数ϕ (x,y) 和t(x,y)，则该衍射屏称为 相幅型。
6
两个衍射屏相叠
(x,y) t1t2 (x’,y’)
由于衍射屏函数的作用，改变了波前， 从而改变了后场的分布，于是发生了衍射。
8
几种光学元件的衍射屏函数 （1）透镜的相位变换函数（在傍轴条件下）
把平行光变成了汇聚球面光
透镜作用 A = U →= U A2 e 1 1 2
U1 U2
x2 + y 2 − ik 2f
f
，
x2 + y 2 − ik 2f
⇒ 成像公式： = s'
傅里叶信息光学Chap4-2
gi ( x, y ), gt ( x, y ), f ( x, y )
设A为在入射平行光的振幅。 透镜后光波是会聚球面波，物的前表面复振幅分布：
f
Af k gi ( x , y ) exp i ( x 2 y 2 ) d 2d
暂不考虑透镜和物的孔径大小。物的后表面复振幅：
1 2 2 g ( x0 , y0 ) exp i ( f d1 )( f x f y ) F ( f x , f y ) if
ik 1 d1 2 2 exp (1 )( x0 y0 ) F ( f x , f y ) if f 2 f x0 y0 2 , fy ,k 其中 f x f f
k 2 2 f l ( x, y ) f l ( x, y ) PL ( x, y ) f ( x, y ) exp i ( x y )可以看作是菲涅耳衍射， 其复振幅，（2－4－11）
' k 1 2 2 2 2 g ( x0 , y0 ) exp if ( f x f y ) F f l ( x, y ) exp i ( x y ) if 2f
4-2. 透镜的傅立叶变换性质
会聚透镜最突出的的性质之一就是它固有的进行二维傅立叶变换 的本领。 假定光源是单色的，也就是说我们所研究的系统是相干系统。
我们讨论一下正透镜后面某个特定平面上的复振幅分布。
在一般意义上讨论P2平面上的复振幅分布，计算量非常大，为此 我们只讨论透镜后焦面上的复振幅分布，这种情况下
这正是教材上的3-1-11式，这样我们分两步走，在频域处 理，就避免了复杂的两次卷积积分。 当d1＝f时，即物放置在透镜前焦面时，
傅里叶光学简介
L1
O
F S+1
A B
S0
C
S-1
阿贝成象原理
I’
1
C’
通过衍射屏的光发生夫
琅禾费衍射，在透镜后
B’
焦平面上得到傅里叶频
A’
2
谱 (S+1, S0, S-1)
虚物
2 频谱图上各发光点发出的球面波在象平面上相干叠
加而形成象A’，B’，C’ 。
第一步是信息分解 第二步是信息合成
频 ❖ 第一步夫琅禾费衍射起分频作用将各 谱 语 种空间频率的平面波分开在L后焦面上形 言 成频谱 描 述 ❖ 第二步干涉起综合作用
傅里叶光学的应用
（1）光学信息处理的特点
✓ 高速 处理 并行传输 并行处理 响应 光开关 10-15s 光传输速度 3×108 m/s 电开关 10-9s 电传输速度 105 m/s
✓ 抗干扰能力强 ✓ 大容量 传输容量大 光纤
存储容量大 全息存储
（2）信息光学的应用
✓ 新型成像系统
✓ 图像处理、图像识别
傅里叶变换+线性系统理论
➢空间频率
照片的二维平面 上光振幅有一定 的强弱分布
➢空间频率
空间频率：单位长度光振幅变化的次数。 反映了光强分布随空间变量作周期性变化的频繁程 度，它同光振动本身的时间频率完全是两回事。时 间是一维的，空间可以是一维、二维、三维。
➢ 数学上的傅立叶变换
数学上可以将一个复杂的周期性函数作 傅立叶级数展开，这一点在光学中体现 为：一幅复杂的图像可以被分解为一系 列不同空间频率的单频信息的合成，即， 一个复杂的图像可以看作是一系列不同 频率不同取向的余弦光栅之和。
✓透镜的发明 ✓望远镜、显微镜的发明 ✓Snell折射定律、费马原理 ✓微粒说、波动说
傅里叶光学解析
20世纪上半叶
20世纪40年代至 60年代 20世纪60年代以来
1、傅里叶光学的发展历史
5）现代光学发展的三件大事
✓ 1948年，全息术的诞生，物理学家第一次精确地拍摄下一张立体的物体 像，它几乎记录了光波所携带的全部信息 (这正是“全息”名称的来历)！ ✓ 1955年，科学家第一次提出“光学传递函数”的新概念，并用它来评价 光学镜头的质量。 ✓ 1960年，一种全新的光源-激光器诞生了，它的出现极大地推动了相关学 科的发展。
2、傅里叶光学的研究内容和研究方法
1）傅里叶光学基于傅里叶变换的方法研究光学信息在线性系统中的 传递、处理、变换与存储等。 2）傅里叶光学主要的研究内容包括： ✓光在空间的传播（衍射和干涉问题） ✓光学成像（相干与非相干成像系统） ✓全息术（包括计算全息） ✓光学信息处理（相干滤波、相关识别等） ✓光学变换、光计算、光学传感等 3）傅里叶光学主要的研究方法：
傅里叶光学 Fourier Optics
薛常喜 光电工程学院
1、傅里叶光学的发展历史
1）光学是一门古老的学科，主要研究光波的本性、光 波
的传播以及光与物质的相互作用。 2）光学的发展历史可以追溯到公元前5世纪，到目前 已经
有2000多年的历史，并逐渐在物理学中形成了一门 独立
的基础学科。 3）光学的发展历史可以看成是人们对光本性认识的历
史，以及人们利用光学技术推动社会不断进步的历 史。 4）在整个发展历史中，光学也从经典光学发展到现代
光学的发展历程
第一阶段：17世纪 中叶之前
经典光学的早期发 展阶段
【几何光学】
傅里叶光学的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 深入理解傅里叶光学的基本原理和概念。
2. 通过实验验证傅里叶变换在光学系统中的应用。
3. 掌握光学信息处理的基本方法，如空间滤波和图像重建。
4. 理解透镜的成像过程及其与傅里叶变换的关系。
二、实验原理傅里叶光学是利用傅里叶变换来描述和分析光学系统的一种方法。
根据傅里叶变换原理，任何光场都可以分解为一系列不同频率的平面波。
透镜可以将这些平面波聚焦成一个点，从而实现成像。
本实验主要涉及以下原理：1. 傅里叶变换：将空间域中的函数转换为频域中的函数。
2. 光学系统：利用透镜实现傅里叶变换。
3. 空间滤波：在频域中去除不需要的频率成分。
4. 图像重建：根据傅里叶变换的结果恢复原始图像。
三、实验仪器1. 光具座2. 氦氖激光器3. 白色像屏4. 一维、二维光栅5. 傅里叶透镜6. 小透镜四、实验内容1. 测量小透镜的焦距实验步骤：（1）打开氦氖激光器，调整光路使激光束成为平行光。
（2）将小透镜放置在光具座上，调节光屏的位置，观察光斑的会聚情况。
（3）当屏上亮斑达到最小时，即屏处于小透镜的焦点位置，测量出此时屏与小透镜的距离，即为小透镜的焦距。
2. 利用夫琅和费衍射测光栅的光栅常数实验步骤：（1）调整光路，使激光束通过光栅后形成衍射图样。
（2）测量衍射图样的间距，根据dsinθ = kλ 的关系式，计算出光栅常数 d。
3. 傅里叶变换光学系统实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在光栅后放置傅里叶透镜，将光栅的频谱图像投影到屏幕上。
（3）在傅里叶透镜后放置小透镜，将频谱图像聚焦成一个点。
（4）观察频谱图像的变化，分析透镜的成像过程。
4. 空间滤波实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在傅里叶透镜后放置空间滤波器，选择不同的滤波器进行实验。
（3）观察滤波后的频谱图像，分析滤波器对图像的影响。
五、实验结果与分析1. 通过测量小透镜的焦距，验证了透镜的成像原理。
现代光学讲稿-傅里叶光学-2
Chapter 2: Foundations of Scalar Diffraction TheorySome DiscussionsHistory-1665 Grimaldi首次精确报道和描述了衍射现象-1678 Hyugens提出光传播的子波波面理论-1804 Young 杨氏双缝干涉实验-1818 Fresnel惠更斯-菲涅尔原理-1860 Maxwell Maxwell电磁理论-1882 Kirchhoff衍射的基尔霍夫理论-1894 Sommerfeld衍射的瑞利-索末菲理论-1923 Kottler矢量衍射理论By 王慧田徐平本讲提纲惠更斯-菲涅尔原理;基尔霍夫衍射定律菲涅尔衍射;夫朗和费衍射衍射的巴比涅原理;衍射现象在频谱中的描述;衍射角谱理论; (衍射极限)By 王慧田徐平Scalar Wave Equation r rOperations of VectorsHolmholtz EquationGreen’s TheoremIntegral Theorem of Holmholtz-KirchhoffPKirchhoff’s Formulation of DiffractionSummerfield辐射条件）基尔霍夫衍射公式Fresnel-Kirchhoff’s Diffraction Formula)λ()()0121,cos ,n r n r ds −r r r r()exp jkrFresnel-Kirchhoff’s Diffraction Formula)λ>>r r()cos,1n r+Huygens-Fresnel PrincipleComparisonFresnel and Fraunhofer DiffractionPurpose for obtaining the Kirchhoff diffraction formula (or Huygens-Fresnel principle) from the scalar wave theory is to resolve the practical diffraction problemAccording to approximation conditions, we can classify Fresnel and Fraunhofer Approximations.And the corresponding diffraction are called Fresnel and Fraunhofer diffractionBy 王慧田徐平Fresnel and Fraunhofer DiffractionFresnel DiffractionLSI徐平Fresnel DiffractionPositive vs. Negative Phases yz=0zz=0By 王慧田徐平FresnelDiffraction by Square Aperture2/F N a dλ=Fresnel number:Talbot Images王慧田徐平Fraunhofer DiffractionExamples of Fraunhofer Diffraction (I)θBy 王慧田徐平Examples of Fraunhofer Diffraction (II)25.00=η16/21m =+η16/21m =−η(,)[1cos(2)](,m x t x y f x rect π=+Examples of Fraunhofer Diffraction (III))()⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=w f m j rect 2rect 2sin 2exp 0ξξπηBy 王慧田徐平By 王慧田徐平Fresnel Diffraction froma Single Slit:By王慧田徐平Light passingby edgeElectrons passingby an edge(Mg0 crystal)Diffraction by an EdgeBy 王慧田徐平Fraunhofer Diffraction from a Square Aperture(,)(,)x y U x y rect a b=22()2(,,)sin (,)k j x y jkz zx y e e U x y z ab c af bf j z λ+=20(,,)sin (,)ax by I x y z I c z z λλ=王慧田徐平00.61r R λ=Diffraction from small and large circularaperturesSmall apertureLarge apertureBy 王慧田徐平(,) U x yU x(,(I xBy 王慧田徐平By 王慧田徐平Babinet’s PrincipleBy 王慧田徐平By 王慧田徐平()U P ()U P ()0101exp 1()jkr K j r θλObservation (),;0A f f ())()221,0X j z f X y e f f πλλ⎡−−⎢⎣⎧⎪=⎨⎪⎩衍射现象在频域中的描述By 王慧田徐平By 王慧田徐平By 王慧田徐平()()22 k x y d d ξηξη⎫⎤−+−Approximation2)exp[()]n i z T πλ−衍射的角谱理论By 王慧田徐平By 王慧田徐平Angular SpectrumPropagation of Angular SpectrumEffect of Aperture。
【免费下载】傅里叶光学讲义
傅里叶光学实验傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。
他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。
由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息论的结果被大量应用于光学系统分析中。
两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。
将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理：我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为：( 1 )⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux 2i y x f y x f v u F )](exp[),()},({),(πF (u,v)叫作f(x,y)的傅立叶变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)：（2）⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。
在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。
光学经典理论傅里叶变换
光学经典理论｜傅里叶光学基础2018-02-24 17:00今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。
光学人们可以看看！在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。
在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。
两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。
包含内容60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。
傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。
其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。
推导演示一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。
从信息论角度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。
这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。
当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。
而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。
《傅里叶光学基础》课件
傅里叶光学是光学领域的重要基础知识，本课程将介绍傅里叶光学的基本原 理和应用领域，包括光通信、计算机技术和医疗影像。
傅里叶光学基础知识
1 传输函数
了解传输函数的概念以及在傅里叶光学中的作用。
2 光学变换
学习傅里叶变换和反变换，以及它们在光学领域的应用。
3 频谱分析
掌握频谱分析的方法和技巧，以及如何应用于光学系统的研究。
总结与展望
本课程回顾了傅里叶光学的基础知识和应用，介绍了其在光通信、计算机技 术和医疗影像中的重要性。希望通过本课程的学习，您能深入了解傅里叶光 学的原理和应用，并在相关领域取得更好的成就。
数据压缩
了解傅里叶光学在数据压缩领域的应用，如JPEG图像压缩算法。
频谱分析
学习傅里叶光学在信号处理和频谱分析中的作用。
傅里叶光学在现代医疗影像中的应用
1
CT扫描
掌握傅里叶光学在CT扫描中的重建算法和图
磁共振成像
2
像重建技术。
了解傅里叶光学在磁共振成像中的采样技术
和图像重建方法。
3
超声成像
学习傅里叶光学在超声成像中的频域分析和
傅里叶光学在光通信中的应用
高速数据传输
了解傅里叶光学在光通信中的高 速数据传输方案和技术。
光纤通信系统
探索调制与解调
学习傅里叶光学在光调制和解调 中的原理和技术。
傅里叶光学在现代计算机技术中的应 用
图像处理
探索傅里叶光学在图像处理中的应用，如图像滤波和频域图像增强。
分子影像学
4
图像增强技术。
探索傅里叶光学在分子影像学中的应用，如 光学断层成像和荧光成像技术。
傅里叶光学的发展现状
傅里叶光学
实验题目：傅里叶光学实验目的：加深对傅里叶光学中的一些基本概念和基本理论的理解，如空间频率、空间频谱、空间滤波和卷积等。
通过实验验证阿贝成像理论，理解透镜成像的物理过程，进而掌握光学信息处理的实质，通过阿贝成像原理，也可进一步了解透镜孔径对分辨率的影响。
实验原理：见预实验报告。
实验步骤：1、调节仪器打开激光器，取一张白纸挡在光路上，观察光圈中红光集中在那个位置，调节全反射镜，使红光集中在光圈中心。
然后将一维光栅、透镜放在光具座上，调节仪器竖直位置与水平位置，使得激光正好经过仪器正中央。
2、测透镜焦距取一张白纸家在遮光屏上，移动遮光屏，观察其上的激光，待到出现一排清晰的衍射光点时，该位置到透镜的距离即为透镜的焦距。
3、观察光分别经过一维、二维光栅后在屏上所成像，并计算一维光栅参数。
取下白纸，观察墙上光幕中有何现象。
取下一维光栅，安上二维光栅，观察墙上光幕有何现象。
4、观察一维光栅条纹取下二维光栅，换上一维光栅。
把白纸放回焦点上，并在k=0级衍射点处扎一小孔，使得只让0级衍射光通过，观察墙上光幕中有何现象。
在k=0、1、-1级衍射点处扎一小孔，使得只让0、1、-1级衍射光通过，观察墙上光幕有何现象。
在k=0、1、-1、2、-2级衍射点处扎一小孔，使得只让0、1、-1、2、-2级衍射光通过，观察墙上光幕有何现象。
5、观察二维光栅条纹取下一维光栅，换上二维光栅，将白纸放到焦平面上。
扎透含零级衍射的一列水平方向的衍射点，观察现象。
扎透含零级衍射的一列竖直方向的衍射点，观察现象。
扎透含零级衍射的一列与水平方向成45°角（逆时针方向旋转）的衍射点，观察现象。
扎透含零级衍射的一列与水平方向成135°角的衍射点，观察现象。
6、观察光通过光字板后的成像将小透镜与二维光栅取下，换上光字板与大透镜。
观察墙上光幕中光字中的条纹。
设法将光字中的横条纹去掉。
设法将光字中的纵条纹去掉。
设法将光字中的条纹都去掉。
《傅里叶光学》课件
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
傅里叶光学chap2-4 (2)
e jkr U ( P) c U ( P0 ) K (q ) ds r
常数 源点 倾斜 球面 幅相 光扰动 因子 子波 因子 表达式 U(P0)ds: 球面子波的振幅 相干叠加 观察点 (场点) 复振幅 球面 子波源
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
2z
普遍的 exp{ j 2 [ f x ( x x0 ) f y ( y y0 )]}dx0 dy0 df x df y 衍射公式
1 2 f x 2 f y )
2 2
使用时需要化简。 在不同的近似条件下，可以得到菲涅耳 衍射公式和夫琅禾费衍射公式
§2-3 标量衍射的角谱理论
平面波在x和y方向的空间频率:
fx
cos
;
fy
cos cos, cos 为波
矢的方向余弦
平面波传播方向在xz平面, 与z轴夹角为q, 则此平面波复振幅沿x方向的空间频率为:
空间频率的单位:
sin q
平面波的复振幅分布： U ( x, y) A exp[ jk ( x cos y cos )]
§2-3 标量衍射的角谱理论
衍射现象
平 面 波 入 射
P U P
几 何 阴 影 区
(2)
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中各源点的复振幅表示出来。
§2-3 标量衍射的角谱理论
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
系统的
f x2 f y2 其
1 λ2 他
傅里叶光学
菲涅耳衍射
e jkz U ( x, y ) j z
U( x
0
, y0 )e
j
k x xo 2 y yo 2 2z
dx0 dy0
k 衍射场是透射函数 j x 2 y2 e jkz U 0 ( x, y ) e 2z 和球面波的卷积 j z k 2 2 j x0 y0 e jkz j 2kz x 2 y 2 e F uin ( x0 , y0 )e 2 z j z
1，夫琅和费衍射-圆孔衍射
0
的夫琅和费衍射场的复振幅分布为（利用傅里叶-贝塞尔变换）：
2 J kar kr 1 ka z U r exp jkz exp j kar j2z 2 z z 中央亮斑（爱里斑）的半径为：
2 2
强度分布为：
r 0.61
m z m z z d d L
光栅的分辨本领为（m为光栅级次，N为光栅缝数）：
若光栅的大小限制为边长为L的正方形，则其透过率为：
x 1 x x y t x0 rect 0 * comb 0 rect 0 rect 0 a d d L L
cos cos cos cos A , exp j 2 x
Information Optics
cos cos y d d
x y t ( x0 , y0 ) rect 0 rect 0 e jkz jk x y a b e 2 z ab sin cafx sin cbf y 求夫琅和费衍射观察面光场
傅里叶光学实验报告[整理]
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傅里叶光学实验报告[整理]傅里叶光学实验报告一、实验目的1. 掌握傅里叶光学的基本原理和方法；2. 实验验证平面波和球面波通过透镜之后的傅里叶变换关系；3. 了解频谱成像的基本原理和方法。
二、实验原理傅里叶光学是一种将光场分解为一组微小的平面波或球面波的方法，然后利用傅里叶变换将这些平面波或球面波的振幅和相位信息转换为相应的频谱图像。
1. 平面波通过透镜的傅里叶变换关系当平面波通过透镜时，透镜将平面波折射成球面波。
根据惠更斯原理，球面波前可以看作由无限多的次波分布组成。
如果透镜的曲率半径为R，球面波前中心距离透镜为s，则透镜折射后的球面波前半径为r=R+s。
当球面波面向透镜的时候，透镜将其中心处的波捕获并将其折射到焦平面上。
由于透镜的几何关系，球面波的频谱可以通过傅里叶变换转换为另一个球面波，其频率等于初始球面波频率的两倍，且与原始平面波的振幅和相位有关。
2. 球面波通过透镜的傅里叶变换关系当球面波通过透镜时，透镜将其变为以透镜为中心的球面波。
根据惠更斯原理，透镜表面的每个点都在向球面波前广播无限多的次波。
在透镜上选择一个点作为坐标原点，并定义该点上的波面为 z=0。
当球面波辐射到该点上的时候，透镜所发出的微光波会在该点上聚焦。
此时，球面波的频谱可以通过傅里叶变换转换为平面波，其频率等于初始球面波频率的两倍，且与原始球面波的振幅和相位有关。
3. 频谱成像将频谱图像转换为空间图像的方法称为频谱成像。
在傅里叶光学中，频谱成像允许我们在不影响图像分辨率的情况下调整像场大小和形状。
简单地说，对于一张图像，我们可以选择不同的频率空间滤波器进行滤波，然后通过傅里叶反变换将滤波后的频谱图像转换为空间图像。
滤波后的频谱图像通常会显示出图像的高频信息，使我们可以对图像分辨率和清晰度进行调整。
三、实验仪器1. He-Ne激光器2. 分束器3. 透镜4. 母线5. 干涉条纹增强滤波器6. 透镜支架7. CCD相机8. 分光仪9. 激光干涉仪四、实验步骤1. 准备实验仪器并清洁透镜表面。
傅里叶光学全
1 傅里叶变换()()()[])}y ,x (f {F dxdy ey ,x f f ,f F y f x f i 2y x y x ==⎰⎰∞∞-+-π式中fx 和fy 称为空间频率，()y x f f F ,称为F(x,y)的傅里叶谱或空间频谱。
()y x f f F ,和F(x,y)分别称为函数f （x,y ）的振幅谱和相位谱，而)fy fx (，F 称为f （x ，y ）的功率谱。
2 逆傅里叶变换)},({),(),(1)(2[fy fx F F fxfy efy fx F y x f y f x f i y x -∞∞-+==⎰π3 函数f(x,y)存在傅里叶变换的充分条件是：①f(x,y ）必须在xy 平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续结点②f(x,y)在xy 平面域内绝对可积 ③f(x,y)必须没有无穷大间短点4 物函数f （x ，y ）可看做是无数振幅不同，方向不同的平面线性叠加的结果5 sinc 函数常用来描述单缝或矩孔的夫琅禾费衍射图样6 在光学上常用矩形函数不透明屏上矩形孔，狭缝的透射率7 三角状函数表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数8 高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束，又是用于光学信息处理的“切趾术”9 δ函数表示某种极限状态。
可用来描述高度集中的物理量。
如点电荷、点光源、瞬间电脉冲等，所以δ函数又称为脉冲函数。
δ函数只有通过积分才有定值10 在光学上，单位光通量间隔为1个单位的点光源线阵之亮度可 用一个一维梳状函数表示：∑∞-∞=-=n n x )(δ）（x comb 11 一维梳状函数表示点光源面阵或小孔面阵的透过率函数，亦可作为二维函数的抽样函数12 像平面上的强度分布是物的强度分布与单位强度点光源对应的强度分布的卷积，这就是卷积在光学成像中的物理意义 13 卷积运算的两个效应①展宽效应②平滑化效应 14 相关函数是两函数图象重叠程度的描述 15.傅里叶变换的基本定理①线性定理：反映了波的叠加定理。
傅里叶光学简介
１．光栅衍射和空间频率
２．阿贝成像原理 3. 空间滤波和光学信息处理 (1) 阿贝-波特空间实验 (2) 网格实验 (3) 调制实验
数学中的傅里叶分析,应用到通信理论中, 将电信号的特征在频率域中讨论; 傅里叶分 析与光学中的衍射理论结合起来,形成傅里叶 光学. 傅里叶光学,是在频率域中讨论图象信 息.通信理论中涉及的是一维时间函数,傅立 叶光学中讨论的是二维空间的信号.
１．光栅衍射和空间频率
波长为的单色平面波垂直入射到平面 光栅G上．设光栅d/a=2, N很大,会聚透镜后 的焦平面上得到各级干涉极大，且偶数干涉 极大缺级.
x
0
3
1 -1
屏
0 -3
G光 栅
f
对于光栅我们可以用透过率函数（x） 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形 波函数.
为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N无限大.
像
倾斜方向的频谱通过
像
灰网 尘格 粘 上 的
过只 让 网 格 的 频 谱 通
失网 格 的 像 灰 尘 消
(3)
调制实验
用白光照明透明物体,物体的不同部分是 由不同取向的透射光栅片组成.频谱面上(除 零级外)干涉主极大呈彩色.物面上不同的部 分的频谱在不同方向上. 将一个方向的频谱, 只保留一种颜色,滤掉其余的颜色,其对应的 象面上,就显示出该频率的颜色来.
5 p0
p
透射光栅的空间频率和功率谱
上图是矩形波在频率域中的表示,横坐标是 空间频率p, 纵坐标分别表示振幅A和功率A2. 周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的 频率为基频整数倍.在p=0处有直流分量. 再回到光栅装置.由光栅方程,
d sin m ,
现代光学第3章 傅里叶光学基础
18
第3章 傅里叶光学基础
1) 索末菲辐射条件和SR上的积分 对于SR面上的积分，由于基尔霍夫积分定理中积分面 的选择的任意性，可以假定R→∞， 则SR为趋于无限大的 半球壳。考虑到U和G在SR面上都按1/R随R的增大而减小， 所以，R→∞时，在SR面上被积函数趋于零，但同时积分面 的面积SR按R2增大，故不能直接认为SR面上的积分为零。 下面具体讨论SR面上的积分。当R很大时，在SR面上有
(3.1-22)
相应光强分布为
(3.1-23)
33
第3章 傅里叶光学基础
3.1.3 瑞利-索末菲衍射公式
索末菲通过巧妙地选择格林函数G，排除了边界条件
中对U和
同时规定为零的要求，从而克服了基
尔霍夫理论的不自恰性。在解决了SR上的积分之后，式 (3.1-12)简化为
(3.1-24)
34
第3章 傅里叶光学基础
(3.1-3)
5
第3章 傅里叶光学基础
式中: c为光在真空中的速度;
为拉普
拉斯算符。把式(3.1-2)代入式(3.1-3)，得到自由空间单色
光场满足的波动方程为
(3.1-4)
式中: k=2πν/c=2π/λ为波矢量的大小。该式称为亥姆霍兹方 程。这表明自由空间传播的任何单色光波的复振幅必然满 足亥姆霍兹方程。
11
第3章 傅里叶光学基础
于是式(3.1-7)简化为 或
12
(3.1 -8)
第3章 傅里叶光学基础
在Sε面上，n与r处处反向，有 故
(3.1-9)
13
第3章 傅里叶光学基础
令ε→0，则有
(3.1-10)
14
第3章 傅里叶光学基础
傅里叶光学变换
傅里叶光学变换
傅里叶光学变换是一种将光学信号从时域转换到频域的数学工具。
它通过将光学信号分解为不同的频率成分，可以帮助我们更好地理解和分析光学现象。
傅里叶光学变换基于傅里叶变换的原理，在光学领域广泛应用于光波的传播、衍射和成像等问题。
通过傅里叶光学变换，我们可以把一个光学信号表示为一系列不同频率的正弦波的叠加，这些正弦波的振幅和相位信息可以提供有关原始信号的详细特征。
傅里叶光学变换的数学公式如下：
F(ν) = ∫f(t)e^(-2πiνt)dt
其中，F(ν)表示频率为ν的光学信号的傅里叶变换结果，f(t)表示原始光学信号，e为自然对数的底。
傅里叶光学变换的一个重要应用是光学成像。
通过将光场的复振幅进行傅里叶变换，可以获得物体的光学频谱信息，从而实现对物体的高分辨率成像。
此外，傅里叶光学变换还可以应用于光衍射、光波前传播和信号处理等方面。
通过分析不同频率成分的振幅和相位信息，我们可以了解光场在不同空间位置和时间点的变化规律，从而对光学现象进行更深入的研究。
总之，傅里叶光学变换是光学领域中一种重要的数学工具，它能够帮助我们从频域的角度来理解和分析光学信号的特性和行为，为光学研究和应用提供了有力的支持。
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xyz平面的光场分布与x0y00平面光场分布的关系：
U ( x, y, z ) U ( x0 , y0 ,0) exp( j
例：制作某器件用的掩膜，透过率为：
x 1 x t ( x) rect comb a b b 用波长为的单位振幅的单色平面波照明。设 a = 200nm, b = 400nm, = 500nm, 问掩膜后有多少个可以传播的平面波 分量？ 并求出它们传播矢量的方向余弦。
系统的
f x2 f y2 其
1 λ2 他
fy 1/ fx 0
把光波的传播现象看作一个带宽有限 的空间滤波器。在频率平面上的半径 为1/的圆形区域内，传递函数的模为 1，对各频率分量的振幅没有影响。但 要引入与频率有关的相移。在这一圆 形区域外，传递函数为零。
对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大 于1/的信息，在单色光照明下不能沿z方向向前传递。 光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。
§2-3 标量衍射的角谱理论
衍射现象
平 面 波 入 射
P U P
几 何 阴 影 区
(2)
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中各源点的复振幅表示出来。
§2-3 标量衍射的角谱理论
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
2z
普遍的 exp{ j 2 [ f x ( x x0 ) f y ( y y0 )]}dx0 dy0 df x df y 衍射公式
1 2 f x 2 f y )
2 2
使用时需要化简。 在不同的近似条件下，可以得到菲涅耳 衍射公式和夫琅禾费衍射公式
§2-3 标量衍射的角谱理论
e jkr U ( P) c U ( P0 ) K (q ) ds r
源点处的面元法线 源点 所考虑的传播方向与面元法线的夹角 源点到场点的距离 场点 成功: 可计算简单孔径 的衍射图样强度分布.
源波阵面 局限:难以确定K(q ).无法引入- /2的相移
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm , lp/mm 等
绝对不是Hz,
U ( x, y ) A exp[ j 2 ( f x x f y y )]
-1!!! s
光场复振幅 xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其 分布的角谱: 空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
2、平面波角谱的传播
在菲涅耳衍射公式基础上再做远场近似，可得夫琅禾费衍射公式。
§2-3 标量衍射的角谱理论
2、基于平面波角谱的衍射理论 从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
xyቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平面的光场分布按其角谱展开：
U ( x, y , z )
A(
cos cos cos cos cos cos , , z ) exp[ j ( x y )]d ( )d ( )
1 x x0 2 1 y y0 2 r z 1 2 z 2 z
在振幅部分取r的一级近似, 位相因子用r的二级近似, 代入基尔霍夫公式, 即得菲涅耳衍射公式
1 k U ( x, y ) exp( jk z) U ( x0 , y0 ) exp j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]dx0 dy0 jz 2z
平面波在x和y方向的空间频率:
fx
cos
;
fy
cos cos, cos 为波
矢的方向余弦
平面波传播方向在xz平面, 与z轴夹角为q, 则此平面波复振幅沿x方向的空间频率为:
空间频率的单位:
sin q
平面波的复振幅分布： U ( x, y) A exp[ jk ( x cos y cos )]
衍射现象的传递函数： H ( f , f ) exp jkz 1 2 f 2 2 f 2 x y x y
xyz平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：
cos cos cos cos A( , , z ) A( , ,) exp jkz cos cos
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
3、衍射孔径对角谱的作用
例: 单位振幅平面波垂直入射照明一矩孔, 求角谱的变化
Ui (x0,y0) = 1
Ui (x0,y0) Ut(x0,y0)
t (x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b)
Ai (fx,fy)= (fx,fy) T (fx,fy)=absinc(afx)sinc(bfy) At (fx,fy) = (fx,fy) T (fx,fy) = T (fx,fy) 角谱展宽 孔径限制了入射波面的范围, 展宽了入射角谱 故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的 平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。
§2-3 标量衍射的角谱理论
2、基于平面波角谱的衍射理论 综合得到（注意fx=cos /, fy=cos / ):
U ( x, y, z ) A ( f x , f y ,) exp( j z f x f y ) exp[ j ( f x x f y y )]df x df y
1 f f
2 2 x 2 2 y
1 2 2 1 ( f x f y2 ) 适合于菲涅耳衍射区 2
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式
衍射公式变为：
U ( x, y, z ) exp( jk z)
U 0 ( x0 , y0 ,0) exp[ j z ( f x2 f y2 )]
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
孔径的复振幅透过率：
t (x0,y0) = 1 在∑内 0 其它
3、衍射孔径对角谱的作用 Effect of Diffraction Aperture on Angular Spectrum
光场通过衍射屏后的变化： Ut (x0,y0) = Ui (x0,y0) t (x0,y0) F.T. 角谱的变化： At (fx,fy) = Ai (fx,fy) T (fx,fy) 由于卷积运算具有将函数展宽的性质，因此，引入衍射孔径使 入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。
得到菲涅耳衍射的空域表达式：
exp( jk z) U ( x, y , z ) U 0 ( x0 ,y0 ,0) exp{ j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]}dx0 dy0 jz z
e jkr U ( P) c U ( P0 ) K (q ) ds r
常数 源点 倾斜 球面 幅相 光扰动 因子 子波 因子 表达式 U(P0)ds: 球面子波的振幅 相干叠加 观察点 (场点) 复振幅 球面 子波源
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
U P
（1） 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求 下一时刻波阵面的方法.把波阵面上每一面元作为次级子 波的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面.
惠更斯原理不仅能解释光的反射和折射, 也能预见光在通 过简单孔径时的衍射现象.但它只能判断光的传播方向,不 能定量计算.
在傍轴近似下
cos(n, r ) cos(n, r ' ) 1 2
2 2 2
r z ( x x0 ) ( y y0 )
随近似程度的不同, 将衍射现象分为菲涅耳衍射和 夫琅和费衍射.
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
菲涅耳衍射公式
略去 (x-x0)/z 和 (y-y0)/z 的二次以上的项, 则
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
（2） 菲涅耳子波干涉说 (1818): 子波间应当互相干涉,并且 应当考虑不同方向子波的差异. — 惠更斯-菲涅耳原理 惠更斯-菲涅耳原理: 波阵面上任意未受阻挡的点,产生一个 与原波频率相同的子波. 此后空间任何一点的光振动是这 些子波叠加的结果. 其数学表述为:
exp{ j 2 [ f x ( x x0 ) f y ( y y0 )]}df x df y dx0 dy0
利用高斯函数的傅里叶变换和F.T.的缩放性质：
exp j z f
x
f
y
exp j f x x f y y df x df y exp j x y jz z
3、菲涅耳衍射公式
x0 x
y0 近似条件： z
孔径和观察平面 之间的距离远远 大于孔径的线度
y
只对轴附 近的一个 小区域内 进行观察
z x
2 0 max
y
2 0 max
z x
2 max
y
2 max
x x0 y y0 f x cos 1, f y cos 1 z z