专题复习：高中数学必修5基本不等式经典例题

基本不等式

知识点：

1． （1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (２)若R b a ∈,,则22

2b a ab +≤ﻩﻩ（当且仅当b a =时取“=”）

2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2ﻩ(2）若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+ﻩ（当且仅当b a =时取“=”)

(3）若*,R b a ∈,则2

2⎪⎭

⎫

⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”)

3.若0x >，则1

2x x +≥ （当且仅当1x =时取“=”）

若0x <,则1

2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）

若0x ≠,则1

1

1

22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”)

4.若0>ab ，则2≥+a b

b a

(当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2

a b a b a b

b a b a b a +≥+≥+≤即或 (

当且仅当b a =时取“=”）

５．若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”）

注意：

(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值，

当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小，和定积最大”.

（2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值

例：求下列函数的值域

(1）y ＝3x 2＋错误! （２）y =ｘ＋错误!

解：(1)y ＝３x 2+1

2x 2 ≥2３ｘ 2·＼f （1，２ｘ 2） ＝错误! ∴值域为[错误!，＋∞） (2)当x ＞0时，y ＝ｘ＋＼f(1,x) ≥2错误!＝２；

当x ＜０时， y=ｘ＋＼f(1,x) ＝ -(- x-错误!）≤-2错误!=－2 ∴值域为(－∞，－2]∪［2,＋∞)

解题技巧

技巧一：凑项

例 已知5

4x <，求函数1

4245y x x =-+-的最大值。

解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1(42)45x x --不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭

231≤-+= 当且仅当15454x x

-=-，即1x =时，上式等号成立,故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数

例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当

，即x=2时取等号 当x=2时，(82)y x x =-的最大值为8。

变式:设2

30<-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈=

23,043x 时等号成立。 技巧三： 分离换元 例：求2710(1)1

x x y x x ++=>-+的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有（x ＋１）的项，再将其分离。

当,即时,421)591

y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“=”号)。 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t ＝ｘ+1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t

-+-++==++） 当,即ｔ=时,4259y t t

≥⨯+=(当t ＝2即x=1时取“=”号）。 技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况，结合函数()a f x x x

=+的单调性。 例:求函数224y x =+的值域。

解:24(2)x t t +=≥,则224y x +2214(2)4x t t t x =

+=+≥+

因10,1t t t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增,所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数,故52y ≥

。 所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

技巧六：整体代换（“1”的应用）

多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。

例：已知0,0x y >>，且

191x y +=,求x y +的最小值。

错解

．．：0,0x y >>，且191x y +

=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭ 故 ()min 12x y += 。

错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥x y =，在19x y +≥19x y

=即9y x =，取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y

⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y =时，上式等号成立,又191x y

+=,可得4,12x y ==时,()min 16x y += 。 技巧七

例：已知x ,y 为正实数，且x ２＋错误!=１，求x 错误!的最大值.

分析:因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤错误!。

同时还应化简错误!中ｙ2前面的系数为 错误!， x 错误!＝x 错误!＝错误!x ·错误!

下面将x ,错误!分别看成两个因式：

ｘ·错误!≤错误!=错误!=错误! 即x 错误!=错误!·ｘ 错误!≤ 错误!错误!

技巧八：

已知a ,b 为正实数,２b ＋a ｂ+a ＝30，求函数y ＝错误!的最小值．

分析:这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的;二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。