专题复习：高中数学必修5基本不等式经典例题
高中数学 必修5 31.基本不等式的应用
31.基本不等式的应用
教学目标 班级____姓名________
1.掌握基本不等式.
2.能运用基本不等式解决实际问题.
教学过程
运用基本不等式解决实际问题.
例1：某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形1111D C B A 的休闲区和环公园人行道组成.已知休闲区1111D C B A 的面积为4000平方米，人行道的宽分
别为4米和10米（如图所示）.
（1）若休闲区的长宽之比x C B B A =1
111（1>x ），求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数)(x S 的解析式；
（2）要使公园所占面积最小，则休闲区1111D C B A 的长和宽该如何设计？
练1：某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为8
x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产多少产品？。
专题复习高中数学必修5基本不等式经典例题(word文档良心出品)
基本不等式知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
必修5基本不等式(含答案)
基本不等式及其应用[考点梳理]1．如果a ＞0，b ＞0，那么________叫做这两个正数的算术平均数． 2．如果a ＞0，b ＞0，那么________叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥________ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则________，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有________，即a ＋b ≥________，a 2＋b 2≥________.简记为：积定和最小．6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即________，亦即________；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即_____.简记为：和定积最大．7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b≤________≤a ＋b 2≤________，当且仅当a ＝b 时等号成立．自查自纠： 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab 5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2 ab ≤a 2＋b 22 7.ab a 2＋b 22[基础自测]设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 2D ．2 6解：因为2a ＞0，2b ＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取等号，故选B.已知向量m ＝(2，1)，n ＝(2－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 解：依题意得2a ＝2－b ，即2a ＋b ＝2(a ＞0，b ＞0)，∴2＝2a ＋b ≥22ab ，∴ab ≤12，当且仅当2a ＝b ＝1时取等号，∴ab 的最大值是12.故选A.设f (x )＝lnx ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 解：p ＝f (ab )＝ln ab ，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ＝ln ab ，函数f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，∵a ＋b 2＞ab ，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )．∴q ＞p ＝r.故选C. 若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立．故填22.已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则实数a ＝________. 解：f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x ＞0，a ＞0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，∴a2＝3，∴a ＝36.故填36. [典例解析]类型一 利用基本不等式求最值(1)函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1(x ＞－1)的值域为________．解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝（m ＋4）（m ＋1）m ＝m ＋4m ＋5≥2m ·4m ＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞)．故填[9，＋∞)．(2)若a >b >0，则代数式a 2＋1b （a －b ）的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解：∵b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋（a －b ）22＝a 24，∴a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋1a 24＝a 2＋4a 2≥4，当且仅当b＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时等号成立．故选C.小结：基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”，使之为定值．(1)已知t ＞0，则函数f (t )＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解：∵t ＞0，∴f (t )＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥－2，当且仅当t ＝1时，f (t )min ＝－2，故填－2.(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (Ⅰ)xy 的最小值； (Ⅱ)x ＋y 的最小值．解：(Ⅰ)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．(Ⅱ)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，∵x ＞0，∴y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．类型二 利用基本不等式求参数范围已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b－3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3解：∵a >0，b >0，∴由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立．∵3b a ＋3ab ≥23b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，故10＋3b a ＋3a b ≥16，∴m ≤16，即m 的最大值为16.故选B.小结：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；(2)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；(3)a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；(4)a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．若关于x 的不等式mf (x )≤e－x＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m 的取值范围为________．解：由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令t ＝e x (x ＞0)，则t ＞1，且m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t ＞1成立．∵t －1＋1t －1＋1≥2（t －1）·1t －1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立．故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.类型三 利用基本不等式解决实际问题某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．解：(1)作GH ⊥EF ，垂足为H. ∵DN ＝x ，∴NH ＝40－x ，NA ＝60－x ，∵NH HG ＝NAAM ，∴40－x 10＝60－x AM ，∴AM ＝600－10x 40－x.S 五边形MBCDN ＝S 矩形ABCD －S △AMN ＝40×60－12·AM ·AN ＝2 400－5（60－x ）240－x .∵N 与F 重合时，AM ＝AF ＝30适合条件，∴x∈(0，30]．(2)y ＝2 400－5（60－x ）240－x ＝2 400－5[(40－x )＋40040－x ＋40]，当且仅当40－x ＝40040－x ，即x ＝20∈(0，30]时，y 取得最大值2 000, ∴当DN ＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为 2 000 m 2.小结：建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔排出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知排出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60 m 2，问a ，b 各为多少m 时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔面积忽略不计)．解法一：设y 为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ＝kab ，其中k 是比例系数且k ＞0.依题意要使y 最小，只需ab 最大．由题设得：4b ＋2ab ＋2a ≤60(a ＞0，b ＞0)，即a ＋2b ≤30－ab (a ＞0，b ＞0)．∵a ＋2b ≥22ab ， ∴22·ab ＋ab ≤30，得0＜ab ≤32.当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 最大值为18，此时得a ＝6，b ＝3. 故当a ＝6 m ，b ＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少． 解法二：同解法一得b ≤30－a a ＋2，代入y ＝kab 求解．[归纳小结]1．要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：①a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；②ab ≤a 2＋b 22；③ab ≤ 14(a ＋b )2；④⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；⑤(a ＋b )2≥4ab ；⑥ab ≥21a ＋1b；⑦a ＋b ＋c 3≥3abc ；⑧abc ≤a 3＋b 3＋c 33等．对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．4．求1a ＋1b 型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点． [课后作业]1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( )A ．2B ．aC ．3 D.2aa －1解：∵a ＞1，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝2＋1＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．故选C.2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( ) A.14 B ．4 C.12D ．2 解：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，∴1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．故选C.3．函数f (x )＝5－4x ＋x 22－x在(－∞，2)上的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝12－x ＋(2－x )≥2·12－x·（2－x ）＝2，当且仅当12－x ＝2－x 时上式取等号．而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b＜2ab2ab ＝ab.又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A.5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5解：依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ]≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a ＞0，b ＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C.6．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab 时取等号．故选D.7．点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________．解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，∴mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2.故填－2.8．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解：易知定点A (0，0)，B (1，3)．且无论m 取何值，两直线垂直．所以无论P 与A ，B 重合与否，均有|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上)．所以|PA |·|PB |≤12(|PA |2＋|PB |2)＝5.当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立．故填5.9．(1)已知0＜x ＜43，求x (4－3x )的最大值；(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值．解：(1)已知0＜x ＜43，∴0＜3x ＜4.∴x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时“＝”成立．∴当x ＝23时，x (4－3x )取最大值为43.(2)已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，所以x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝223＝42. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4y ，x ＋2y ＝3， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时“＝”成立．∴当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时，2x ＋4y 取最小值为42.10．已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b 2的最大值．解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥22ab，即ab≤24，ab≤18，∴S＝2ab－4a2－b2＝2ab－(1－4ab)＝2ab＋4ab－1≤2－12.当且仅当a＝14，b＝12时，等号成立．11．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥22x×3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272.当且仅当2x＝3y时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＝3y，2x＋3y＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝⎝⎛⎭⎪⎫9－32y y＝32(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y）＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＝3y，xy＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝6，y＝4.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小．解法二：由xy＝24，得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝6⎝⎛⎭⎪⎫16y＋y≥6×216y×y＝48，当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小．如图所示，已知树顶A离地面212米，树上另一点B离地面112米，某人在离地面32米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．解：问题转化为求△ABC中∠BCA的取值范围．过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.设该人距离此树的距离CD＝x米，看A，B的视角最大，即∠BCA最大．不妨设∠BCD＝α，∠ACD＝β，则∠BCA＝β－α，且tanα＝4x ，tanβ＝9x，所以tan(β－α)＝9x－4x1＋9x×4x＝5xx2＋36＝5 x＋36x≤52x×36x＝512，当且仅当x＝36x，即x＝6时取等号，此时∠BCA最大．故填6.不等式检测1．已知集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋2x －2≤0，则A ∩B ＝( )A ．[－1，1]B ．[－1，2)C ．[1，2)D ．[－2，－1]解：依题意，集合A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，B ＝{x |－2≤x <2}，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．故选D.2．不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1)⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3．若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则不等式f (x 2－1)<0的解集为( ) A ．(－1，0) B ．(－2，0)∪(0，2) C ．(0，2) D ．(1，2)解：∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)＝|x |－1.∴f (x 2－1)＝|x 2－1|－1.解不等式|x 2－1|－1<0，得0<x 2<2，∴x ∈(－2，0)∪(0，2)．故选B.4．若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A ．a 2 B.12a 2 C ．a D.12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形．故选B.5．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23 B .223 C.33 D.233解：∵x 2＋3xy －1＝0，∴y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B.6．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由程序框图知，当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，目标函数S ＝2x ＋y ∈[0，2]，否则，S ＝1.因此，输出的S的最大值为2.故选C.7．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 解法一：∵x ∈[1，5]，∴不等式变形为a >－x ＋2x ，∵x ∈[1，5]时，y ＝－x ＋2x 单调递减，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1，∴要使不等式在[1，5]上有解，应有a >－235.解法二：一元二次方程x 2＋ax －2＝0的两根之积为－2，两根一正一负．对于二次函数y ＝f (x )＝x 2＋ax －2，开口向上．与x 轴交点一正一负，y ＞0，在区间[1，5]上有解，只需y ＝f (5)＞0即可.52＋5a －2＞0，∴a ＞－235.故选A.8．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝()A ．2B ．3C ．4D ．5解：显然m ＞2，作出⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m 的可行域，当⎩⎨⎧x ＝m ＋13，y ＝2m －13 时z ＝x －y 的最小值为－1，解得m ＝5.故选D.9．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2解：圆的直径是4，说明直线过圆心(－1，2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a2b ≥32＋2(当且仅当a ＝22－2，b ＝2－2时等号成立)，故选C. 10．设函数f (x )＝3sin πx m ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解：函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＋3<m 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＜m 2－3m 2，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122的最小值为14，∴只要m 2－3m 2＞14即可，得m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C.11．已知O 是坐标原点，点A (－1，0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|OA→＋OM →|的取值范围是( ) A ．[1，5] B ．[2，5] C ．[1，2] D ．[0，5]解：OA →＋OM →＝(－1，0)＋(x ，y )＝(x －1，y )，设z ＝|OA →＋OM →|＝（x －1）2＋y 2，则z 2的几何意义为M 到定点E (1，0)的距离，由约束条件作出平面区域如图，由图象可知当M 位于点D (0，2)时，z 取得最大值z max ＝1＋4＝5，易知最小值z min ＝1，∴1≤z ≤5，即|OA→＋OM →|的取值范围是[1，5]．故选A. 12．设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°.定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (Q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( )A ．－5B ．－4C ．－3D ．－2解：∵AB→·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝32|AB →||AC →|＝23，∴|AB →||AC →|＝4，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×4×12＝1，∵f (Q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，∴12＋x ＋y ＝1，∴x ＋y ＝12，∵x >0，y >0，∴log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－4.故选B.13．已知集合A ＝{x ∈R|||x ＋2<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝__________．解：∵A ＝{x ∈R|||x ＋2<3}＝{x |－5<x <1}，又∵A ∩B ＝(－1，n )，画数轴可知m ＝－1，n ＝1.故填－1；1.14．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，若z ＝x ＋3y ＋m 的最小值为4，则实数m ＝________.解：画出可行域如图所示，设z ′＝x ＋3y ，当平行直线系z ′＝x ＋3y 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12时取最小值，有z ′min ＝12＋3×12＝2，此时，目标函数z ＝x ＋3y ＋m 取最小值，有z min ＝z ′min ＋m ＝2＋m ＝4，m ＝2.故填2.15．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．解：设两个正方形边长分别为a ，b (a ≤b )， 则由题可得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1，S ＝a 2＋b 2≥2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．故填12. 16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．解：(1)F ＝76 000v ＋20×6.05v＋18≤76 00022＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时等号成立．(2)F ＝76 000v ＋20×5v ＋18≤76 00020＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.故填(1)1 900；(2)100.17．已知不等式kx 2－x ＋4k ＜0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞－1}，求实数k 的值； (2)若不等式的解集为∅，求实数k 的取值范围．解：(1)因为不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞－1}，所以－1和－4是方程kx 2－x ＋4k ＝0的两个实根，由韦达定理得x 1＋x 2＝1k ，解得k ＝－15.(2)不等式的解集为∅，则kx 2－x ＋4k ≥0恒成立，所以k ＞0且Δ＝1－16k 2≤0，解得k ≥14.18．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p >q >0，则提价多的方案是哪一种？解：设原价为a ，则提价后的价格为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)a ，方案乙：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2a ，∵1＋p %·1＋q %≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%(当且仅当p ＝q 时取等号)，∵p ＞q ＞0，∴1＋p %·1＋q %＜1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2a ，∴提价多的方案是方案乙．答：提价多的方案是方案乙．19．(1)解不等式4x －1≤x －1；(2)求函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值． 解：(1)4x －1≤x －1⇔4－（x －1）2x －1≤0⇔（x －3）（x ＋1）x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －1）（x －3）≥0，x ≠1⇔ x ≥3或－1≤x ＜1. ∴此不等式的解集为{x |x ≥3或－1≤x ＜1}．(2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴2x ＞0，1－2x ＞0，∴y ＝42x ＋91－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋91－2x [2x ＋(1－2x )]＝13＋9×2x 1－2x ＋4×（1－2x ）2x ≥25，当且仅当x ＝15时，等号成立，即函数的最小值为25.20．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，求a 2＋b 2的最小值．解法一：不等式组表示的平面区域如图所示，由于－ab ＜0，所以目标函数在点A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20，又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝45，b ＝25时等号成立．解法二：同解法一得2a ＋b ＝25.把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4. 21．某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ．每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t ，B 种矿石不超过200 t ，煤不超过360 t ．甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1 t )，能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，利润总额为z 元，那么⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ≤300，5x ＋4y ≤200，4x ＋9y ≤360，x ≥0，y ≥0；z ＝600x ＋1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域． 作直线l ：600x ＋1 000y ＝0，即直线l ：3x ＋5y ＝0， 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大．此时z ＝600x ＋1 000y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝200，4x ＋9y ＝360，得M 的坐标为x ＝36029≈12.4，y ＝1 00029≈34.4.故应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大．22．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1的两个极值点为x 1和x 2，x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]，求f (－1)的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ， 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－2）＝12－8b ＋c ≥0，f ′（－1）＝3－4b ＋c ≤0，f ′（1）＝3＋4b ＋c ≤0，f ′（2）＝12＋8b ＋c ≥0.在平面直角坐标系bOc 中作图，图中阴影部分所示为可行域，易知f (－1)＝2b －c 在点(0，－3)取得最小值3，在点(0，－12)取得最大值12.∴3≤f (－1)≤12.故f (－1)的取值范围为[3，12]．。
基本不等式经典例题精讲
新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）典题精讲例1（1）已知0＜x ＜31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x ＜31,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121. 解法二：∵0＜x ＜31,∴31-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［231x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2xx 1∙=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x 1=-［(-x)+)(1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+)(1x -≥2,当且仅当-x=x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+11+x 的最小值.思路分析：x ＞-1⇒x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x ＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+11+x =x+1+11+x -1≥2)1(1)1(+∙+x x -1=1. 当且仅当x+1=11+x ,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min =1.变式训练2求函数y=133224+++x x x 的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开. 解：令t=x 2+1，则t≥1且x 2=t-1.∴y=133224+++x x x =1113)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . ∵t≥1,∴t+t 1≥2tt 1∙=2,当且仅当t=t 1,即t=1时，等号成立. ∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1，求x+y 的最小值. 思路分析：要求x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”, ∵x 1+y9=1, ∴x+y=(x+y)·(x 1+y 9)=10+yx x y 9+. ∵x ＞0,y ＞0,∴y x x y 9+≥2yx x y 9∙=6. 当且仅当yx x y 9=，即y=3x 时，取等号.又x 1+y9=1,∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16. 解法二：由x 1+y 9=1，得x=9-y y . ∵x ＞0,y ＞0,∴y ＞9. x+y=9-y y +y=y+999-+-y y =y+99-y +1=(y-9)+99-y +10. ∵y ＞9,∴y-9＞0. ∴999-+-y y ≥299)9(-∙-y y =6. 当且仅当y-9=99-y ，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.解法三：由x 1+y9=1，得y+9x=xy, ∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2)9)(1(--y x =16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又x 1+y9=1, ∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：x 1+y 9≥2xy 9①,即xy6≤1,∴xy ≥6. ∴x+y≥2xy ≥2×6=12②.∴x+y 的最小值是12. 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是x 1=y 9，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,y b x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)(y b x a +)=a+x ay y bx ++b=10+xay y bx +. ∵x,y ＞0,a,b ＞0，∴x+y≥10+2ab =18，即ab =4.又a+b=10，∴⎩⎨⎧==8,2b a 或⎩⎨⎧==.2,8b a 例3求f(x)=3+lgx+x lg 4的最小值（0＜x ＜1）. 思路分析：∵0＜x ＜1,∴lgx ＜0,xlg 4＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.解：∵0＜x ＜1,∴lgx ＜0,x lg 4＜0.∴-xlg 4＞0. ∴(-lgx)+(-x lg 4)≥2)lg 4)(lg (xx --=4. ∴lgx+x lg 4≤-4.∴f(x)=3+lgx+xlg 4≤3-4=-1. 当且仅当lgx=x lg 4,即x=1001时取得等号. 则有f(x)=3+lgx+xlg 4 (0＜x ＜1)的最小值为-1. 黑色陷阱：本题容易忽略0＜x ＜1这一个条件.变式训练1已知x ＜45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值. 思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x ＜45，则4x-5＜0. 解：∵x ＜45,∴4x-5＜0. y=4x-5+541-x +3=-［(5-4x)+x 451-］+3 ≤-2x x 451)45(-∙-+3=-2+3=1. 当且仅当5-4x=x451-,即x=1时等号成立. 所以当x=1时，函数的最大值是1.变式训练2当x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值. 思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23,再求最值.解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23， ∵当x ＜23时，3-2x ＞0， ∴x x 238223-+-≥xx 2382232-∙-=4，当且仅当x x 238223-=-，即x=-21时取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值25-. 例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1（1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy 的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y 的最小值.解：（1）设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S ，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥2y x 32⨯=2xy 6,∴2xy 6≤18,得xy≤227，即S≤227. 当且仅当2x=3y 时等号成立.由⎩⎨⎧=+=,1832,22y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,5.4y x 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大. 方法二:由2x+3y=18，得x=9-23y. ∵x ＞0,∴0＜y ＜6. S=xy=(9-23y)y=23 (6-y)y. ∵0＜y ＜6,∴6-y ＞0.∴S≤23［2)6(y y +-］2=227. 当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:∵2x+3y≥2y x 32∙=2xy 6=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y 时,等号成立.由⎩⎨⎧==,24,32xy y x 解得⎩⎨⎧==.4,6y x 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小. 方法二:由xy=24，得x=y 24. ∴l=4x+6y=y 96+6y=6(y 16+y)≥6×2y y⨯16=48,当且仅当y 16=y ，即y=4时，等号成立，此时x=6. 故每间虎笼长6 m,宽4 m 时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y 都是正数；（2）积xy （或x+y ）为定值；（3）x 与y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x 米,则宽为x 200米(0＜x≤16,0＜x200≤16),∴12.5≤x≤16. 于是总造价Q(x)=400(2x+2×x 200)+248×2×x 200+80×200. =800(x+x 324)+16 000≥800×2xx 324∙+16 000=44 800, 当且仅当x=x 324 (x ＞0),即x=18时等号成立,而18∉［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800. 下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.对任意12.5≤x 1＜x 2≤16,则x 2-x 1＞0,x 1x 2＜162＜324.Q(x 2)-Q(x 1)=800［(x 2-x 1)+324(1211x x -)］ =800×212112)324)((x x x x x x --＜0, ∴Q(x 2)＞Q(x 1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.∴Q(x)≥Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n 层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n 层楼时,环境不满意程度为n8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度. 导思：本问题实际是求n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究：设此人应选第n 层楼,此时的不满意程度为y. 由题意知y=n+n8. ∵n+n 8≥2248=⨯nn , 当且仅当n=n 8,即n=22时取等号. 但考虑到n ∈N *,∴n≈2×1.414=2.828≈3,即此人应选3楼,不满意度最低.例5解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1) 解 原不等式可化为 2)2()1(--+-x a x a ＞0， ①当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解 由于2111211a a a -=-<<-- ∴原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞) ②当a ＜1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2) ＜0同解 由于21111a a a -=---, 若a ＜0，211211a a a -=-<--,解集为(12--a a ，2)； 若a =0时，211211a a a -=-=--，解集为∅； 若0＜a ＜1，211211a a a -=->--,解集为(2，12--a a ) 综上所述 当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）。
高中数学基本不等式专题50练(含答案)
高中数学基本不等式（含答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ． 【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >时，则353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 . 【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12-【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ． 【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________【答案】8 【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x 的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 .【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 .【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b+++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______.【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221aba +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ．【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________. 【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________． 【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________. 【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______.【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________. 【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________. 【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 . 【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ）A. 47B. 2233C. 2D. 32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______.【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________.【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22b a ba +-的最大值为___________.【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B 【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________. 【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯b a b b a a ， 则b a 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
高中数学必修5基本不等式精选题目（附答案）
高中数学必修5基本不等式精选题目（附答案）高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤? ????a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <="">D ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：? ????1a －1? ????1b －1? ??1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<="">x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bc< p="">C.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg< p="">a＋b2＝R.所以P<q<r.< p="">3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得? ????2b a ＋a 2b ＋? ????3c a ＋a 3c ＋? ????3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴? ????2b a ＋a 2b －1＋? ????3c a ＋a 3c －1＋? ????3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得? ????1a －1? ????1b －1? ????1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·?2x ＋3y 22＝16·? ????622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·? ??1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6? 2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6? ????2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6? ?5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<="">lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤?a ＋b 22≤? ??422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝? ????2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当 a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4? ??900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )? ????1x ＋3y ＝4＋? ????y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.</q<r.<></lg<></bc<>。
高中数学必修五第三章不等式复习知识点与例题
一对一个性化辅导教案例1:解下列不等式题型2:简单的无理不等式的解法例1 ：解下列不等式(2) x 2x 2 1题型3 :指数、对数不等式2例1 ：若log a 1，则a 的取值范围是()3A. a 1B . 0 a —C - — a 133练习:1 2x 1 .x 1 ；(1) x 3 4x 0 ；2 2(2) (x 1) (x 5x 6) 0 ；(3)2x 2 x 1 2x 1练习： 解不等式（1）3x 5 x 2 2x 3(2) (2x 1)2(x 7)3(3 2x)(x 4)6D. 0 a -或 a 131、不等式2x 3 4x的解集是__________________ 。
2、不等式log1(x 2) 0的解集是_____________ 。
22e x 1x 23、设f(x)=‘1则不等式f(x) 2的解集为( )log3(x2 1),x 2,A. (1,2) (3, ) B . (710, ) C. (1,2) ) D . (1,2)题型4 :不等式恒成立问题1 2例1：若关于x的不等式一X 2x mx的解集是｛x |0 x 2｝，则m的值是2练习：2 1 1一元二次不等式ax bx 2 0的解集是(一，—)，贝U a b的值是( )2 3A. 10 B . 10 C. 14 D . 14例2：已知不等式x2 (a 1)x a 0,(1)若不等式的解集为(1,3)，则实数a的值是_________________ 。
(2) __________________________________________________________ 若不等式在(1,3)上有解，则实数a 的取值范围是 _______________________________________________________ 。
(3) ____________________________________________________________ 若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a的取值范围是 _____________________________________________________ 。
高中数学必修五同步练习题库：基本不等式(选择题：较难)
基本不等式（选择题：较难）1、若正数满足，且的最小值为18，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．92、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点(异于点)，则的最大值为A． B． C． D．3、若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4、若，，，则的最小值是A． B． C． D．5、如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（）A．2 B． C． D．6、若，，，则的最小值是A． B． C． D．7、已知实数满足，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48、如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（）A． B． C． D．9、已知，则的最小值为（）A． B． C． D．10、已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3 B．4 C． D．11、半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（）A．2 B．0 C． D．12、抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．1 B． C．2 D．13、抛物线的焦点为F，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）A． B． C． D．14、已知，且满足，那么的最小值为（）A．3﹣ B．3+2 C．3+ D．415、曲线（）在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．16、函数的值域为（）A． B． C． D．17、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点 (异于点)，则的最大值为A． B． C． D．18、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．19、已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．20、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．21、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．22、设且，则的最小值是A． B． C． D．23、已知，则的最小值是A．6 B．5 C． D．24、设正实数满足.则当取得最大值时，的最大值为() A．0 B． C．1 D．325、已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是()A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞)26、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．27、已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为.当时，恒成立.设，记，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．28、已知函数，则不等式成立的概率是（）A． B． C． D．29、在中,角所对的边分别为，若，则当角取得最大值时，的周长为（）A． B． C． D．30、锐角三角形ABC的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．（6，7]31、若，，，则的最小值为（）A． B． C． D．32、在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是抛物线上位于第一象限内的任意一点，是线段上的点，且满足，则直线的斜率的最大值为（）A． B． C． D．33、已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．34、正项等比数列｛a n｝中，存在两项a m，a n（m，n）使得a m a n=16a12，且a7=a6+2a5，则+的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．835、已知圆的半径为1，为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（）A．2 B．1 C． D．36、长方体中，,,,点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是( )A． B． C．8 D．37、若直线过点，则的最小值等于（）A．6 B．3 C．7 D．438、若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角，，其中分别是的斜率，已知双曲线：的右焦点为，是右顶点，是直线上的一点，是双曲线的离心率，，则的最大值为（）A． B． C． D．39、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A． B． C． D．40、若正数满足则的最小值是（）A． B． C． D．41、已知函数，对任意的，恒成立，则的最小值为（）A．3 B．2 C．1 D．042、已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（）A．8 B．4 C．2 D．143、中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（）A． B． C．6 D．844、圆：和圆：有三条公切线，若，，且，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．545、在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（）A． B． C． D．46、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．47、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．48、设正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．49、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．50、已知函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．3 B．C．4 D．851、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．52、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．53、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．54、设均为正实数，且，则的最小值为（）A．4 B． C．9 D．1655、已知是内的一点，且，若的面积分别为，则的最小值为（）A． B． C． D．56、已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数），与圆x+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．4 B．2 C．5 D．857、设，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58、设，对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（）A． B． C． D．59、已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）.A．2n B．3n C．n2 D．n n60、已知关于的不等式的解集是，且，则的最小值是（）A． B．2 C． D．161、下列推理正确的是()A．如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－cC．若a>0，b>0，则＋≥D．若a>0，b<0，则62、对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1 B．2 C．3 D．463、已知,且,成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值64、对于函数y=f(x)(x∈I),y=g(x)(x∈I),若对任意x∈I,存在x0使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知f(x)=x2+px+q,g(x)=是定义在区间上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间上的最大值为()A． B．2 C．4 D．65、已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为()A．5 B．7 C．8 D．966、设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数的最大值为40，则的最小值为（）A． B． C．1 D．467、定义域为的函数的图象的两个端点为,是图象上任意一点，其中，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”. 若函数上“阶线性近似”，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D．68、不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)69、已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC外接的球表面积等于()．A．8π B．16π C．48π D．不确定的实数70、在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③ B．①④ C．①② D．①②④参考答案1、B2、B3、D4、B5、C6、B7、B8、B9、C10、B11、D12、D13、D14、B15、B16、C17、B18、D19、B20、B21、D22、A23、C24、C25、A26、B27、B28、B29、C30、C31、A32、D33、D34、B35、B36、B37、A38、C39、B40、D41、A42、B43、D44、A45、A46、D47、D48、C49、D50、D51、B52、D53、D54、D55、B56、A57、C58、D59、D.60、A61、D62、A63、C64、B65、B66、B67、C68、C69、B70、C【解析】1、由题意，应用基本不等式可得令则方程，所以是方程的根，所以选B.点睛：（1）应用基本不等式构造关于的不等式.(2)换元法将不等式转化为一元二次不等式.(3)结合二次函数图像知是一元二次方程的根.2、由题意可得：A（1，0），B（2，3），且两直线斜率之积等于﹣1，∴直线x+my﹣1=0和直线mx﹣y﹣2m+3=0垂直，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥．即.故选B.点睛：含参的动直线一般都隐含着过定点的条件，动直线，动直线l2分别过A（1，0），B（2，3），同时两条动直线保持垂直，从而易得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，然后借助重要不等式，得到结果.3、函数的定义域为，，由已知有，所以对于恒成立，恒成立，所以，而，当且仅当时等号成立，所以，选D.点睛：本题主要考查用导数研究函数的单调性，基本不等式等，属于中档题。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
高中数学必修5《基本不等式作业》 二
3.4 基本不等式基础巩固一、选择题1．a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >a >cD ．a >c >b2．设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则( ) A ．a 11＝b 11 B ．a 11>b 11 C ．a 11<b 11D ．a 11≥b 113．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．64．已知a >1，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．185．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与平均到每件产品的仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件二、填空题6．已知2x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．7．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．一、选择题1．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则有( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤QD ．P >Q2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值13．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y4．设a 、b 是正实数，给出以下不等式：①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题5．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．6．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是________． 三、解答题7．若x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y )≥9.8．已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .。
《基本不等式》典型例题
高中数学必修五典题精讲 典题精讲例1（1）已知0＜x ＜31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x ＜31,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121. 解法二：∵0＜x ＜31,∴31-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［231x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x1≥2x x 1∙=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x1=-［(-x)+)(1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+)(1x -≥2,当且仅当-x=x-1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+11+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1⇒x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x ＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+11+x =x+1+11+x -1≥2)1(1)1(+∙+x x -1=1. 当且仅当x+1=11+x ,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min =1.变式训练2求函数y=133224+++x x x 的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令t=x 2+1，则t≥1且x 2=t-1.∴y=133224+++x x x =1113)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . ∵t≥1,∴t+t 1≥2t t 1∙=2,当且仅当t=t1,即t=1时，等号成立. ∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1，求x+y 的最小值. 思路分析：要求x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”, ∵x 1+y9=1, ∴x+y=(x+y)·(x 1+y9)=10+y x x y 9+. ∵x ＞0,y ＞0,∴y x x y 9+≥2yx x y 9∙=6. 当且仅当yx x y 9=，即y=3x 时，取等号. 又x 1+y9=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16. 解法二：由x 1+y9=1，得x=9-y y . ∵x ＞0,y ＞0,∴y ＞9. x+y=9-y y +y=y+999-+-y y =y+99-y +1=(y-9)+99-y +10. ∵y ＞9,∴y-9＞0. ∴999-+-y y ≥299)9(-∙-y y =6. 当且仅当y-9=99-y ，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.解法三：由x 1+y 9=1，得y+9x=xy,∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2)9)(1(--y x =16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又x 1+y9=1, ∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误： x 1+y 9≥2xy 9①,即xy6≤1,∴xy ≥6. ∴x+y≥2xy ≥2×6=12②.∴x+y 的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是x 1=y9，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,yb x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)(y b x a +)=a+x ay y bx ++b=10+xay y bx +. ∵x,y ＞0,a,b ＞0，∴x+y≥10+2ab =18，即ab =4.又a+b=10，∴⎩⎨⎧==8,2b a 或⎩⎨⎧==.2,8b a 例3求f(x)=3+lgx+x lg 4的最小值（0＜x ＜1）. 思路分析：∵0＜x ＜1,∴lgx ＜0,xlg 4＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.解：∵0＜x ＜1,∴lgx ＜0,x lg 4＜0.∴-xlg 4＞0. ∴(-lgx)+(-x lg 4)≥2)lg 4)(lg (xx --=4. ∴lgx+x lg 4≤-4.∴f(x)=3+lgx+xlg 4≤3-4=-1. 当且仅当lgx=x lg 4,即x=1001时取得等号. 则有f(x)=3+lgx+x lg 4 (0＜x ＜1)的最小值为-1. 黑色陷阱：本题容易忽略0＜x ＜1这一个条件.变式训练1已知x ＜45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值.思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x ＜45，则4x-5＜0. 解：∵x ＜45,∴4x-5＜0. y=4x-5+541-x +3=-［(5-4x)+x 451-］+3 ≤-2x x 451)45(-∙-+3=-2+3=1. 当且仅当5-4x=x451-,即x=1时等号成立. 所以当x=1时，函数的最大值是1.变式训练2当x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值. 思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23,再求最值. 解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23， ∵当x ＜23时，3-2x ＞0， ∴x x 238223-+-≥x x 2382232-∙-=4，当且仅当x x 238223-=-，即x=-21时取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值25-. 例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1（1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？ 思路分析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy 的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y 的最小值.解：（1）设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S ，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥2y x 32⨯=2xy 6,∴2xy 6≤18,得xy≤227，即S≤227. 当且仅当2x=3y 时等号成立.由⎩⎨⎧=+=,1832,22y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,5.4y x 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大.方法二:由2x+3y=18，得x=9-23y. ∵x ＞0,∴0＜y ＜6. S=xy=(9-23y)y=23 (6-y)y. ∵0＜y ＜6,∴6-y ＞0.∴S≤23［2)6(y y +-］2=227. 当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:∵2x+3y≥2y x 32∙=2xy 6=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y 时,等号成立.由⎩⎨⎧==,24,32xy y x 解得⎩⎨⎧==.4,6y x 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24，得x=y24. ∴l=4x+6y=y 96+6y=6(y 16+y)≥6×2y y⨯16=48,当且仅当y 16=y ，即y=4时，等号成立，此时x=6. 故每间虎笼长6 m,宽4 m 时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y 都是正数；（2）积xy （或x+y ）为定值；（3）x 与y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x 米,则宽为x 200米(0＜x≤16,0＜x200≤16),∴12.5≤x≤16. 于是总造价Q(x)=400(2x+2×x 200)+248×2×x 200+80×200. =800(x+x324)+16 000≥800×2x x 324∙+16 000=44 800, 当且仅当x=x324 (x ＞0),即x=18时等号成立,而18∉［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800. 下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.对任意12.5≤x 1＜x 2≤16,则x 2-x 1＞0,x 1x 2＜162＜324.Q(x 2)-Q(x 1)=800［(x 2-x 1)+324(1211x x -)］ =800×212112)324)((x x x x x x --＜0, ∴Q(x 2)＞Q(x 1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.∴Q(x)≥Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n 层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n 层楼时,环境不满意程度为n8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度. 导思：本问题实际是求n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究：设此人应选第n 层楼,此时的不满意程度为y. 由题意知y=n+n 8.∵n+n 8≥2248=⨯n n ,当且仅当n=n 8,即n=22时取等号.但考虑到n ∈N *,∴n≈2×1.414=2.828≈3,即此人应选3楼,不满意度最低.。
必修5 第三章《基本不等式》(师用)
必修5 不等式基本不等式知识点● 设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．● 均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即2a bab +≥． ● 常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈； ②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭； ④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．● 极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ．【A 组 专项基础训练】一、选择题．1．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是 ( )A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D ．ab <a <a ＋b2<b解析：∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，D 错误，故选B ．2．下列不等式一定成立的是 ( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为 ( )A ．2B ．32C ．1D ．12解析：由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1． 答案 C4．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( )A ．13B ．12C ．34D ．23解析：∵0<x <1，∴1－x >0．∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝34．当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案：B 二、填空题．5．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．解析：∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3．当且仅当x 3＝y4时取等号．答案 3 6．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．答案：97．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_______．解析：设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．答案：20 三、解答题．8．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9． 证明：(1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋ab，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋ab ≥5＋4＝9． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ．由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8， 故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9． 9．为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱(如图所示)，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱的底长为a m ，高度为b m ．已知流出的水中该杂质的质量分别与a ，b 的乘积成反比，现有制箱材料60 m 2．问：当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?解：方法一 设y 为流出的水中该杂质的质量分数，则y ＝kab ，其中k >0为比例系数，依题意，求使y 值最小的a ，b 的值．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)， 解得b ＝30－a2＋a(0<a <30)．①于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a ＝k －a ＋32－64a ＋2＝k34－⎝⎛⎭⎫a ＋2＋64a ＋2≥k34－2 a ＋2 ·64a ＋2＝k 18， 当且仅当a ＋2＝64a ＋2时等号成立，y 取得最小值．这时a ＝6或a ＝－10(舍)，将其代入①式，得b ＝3．故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 方法二 依题意，求使ab 值最大的a ，b 的值．由题设，知4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，即a ＋2b ＋ab ＝30 (a >0，b >0)． 因为a ＋2b ≥22ab ，所以22·ab ＋ab ≤30，当且仅当a ＝2b 时，上式取等号．由a >0，b >0，解得0<ab ≤18，即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18． 所以2b 2＝18，解得b ＝3，进而求得a ＝6．故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．【B 组 专项能力提升】一、选择题．1．不等式a 2＋b 2≥2|ab |成立时，实数a ，b 一定是 ( )A ．正数B ．非负数C ．实数D ．不存在解析：原不等式可变形为a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2＋|b |2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，对任意实数都成立．答案 C 2．如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是 ( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P解析：因为P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，所以只需比较a ＋b 2，ab ，a ＋b的大小，显然a ＋b 2>ab ．又因为a ＋b 2<a ＋b (因为a ＋b > a ＋b 24，也就是a ＋b4<1)，所以a ＋b >a ＋b2>ab ，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q >P >M ．答案 B3．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为 ( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1．所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4mn ≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．答案 C二、填空题．4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0．又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18． ∴xy 的最小值为18．答案 18 三、解答题5．甲、乙两地相距s 千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量p (单位：千米/小时)，船在静水中的最大速度为q 千米/小时(q >p )．已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度v (单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为k ．(1)把全程燃料费用y (单位：元)表示为船在静水中的速度v 的函数，并求出这个函数的定义域； (2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少?解：(1)由题意，知船每小时的燃料费用是kv 2，全程航行时间为sv －p ，于是全程燃料费用y ＝kv 2·sv －p(p <v ≤q )．(2)由(1)，知y ＝kv 2·s v －p ＝ks ·v 2－p 2＋p 2v －p ＝ks [v ＋p ＋p 2v －p ]＝ks [v －p ＋p 2v －p＋2p ]≥ks [2v －p ·p 2v －p ＋2p ]＝4ksp (当且仅当v －p ＝p 2v －p，即v ＝2p 时等号成立)．①当2p ∈(p ，q ]，即2p ≤q 时，y m in ＝4ksp ，此时船的前进速度为2p －p ＝p ；②当2p ∉(p ，q ]，即2p >q 时，函数y ＝kv 2·s v －p 在(p ，q ]内单调递减，所以y m in ＝ks ·q 2q －p，此时船的前进速度为q －p ．故为了使全程燃料费用最小，当2p ≤q 时，船的实际前进速度应为p 千米/小时；当2p >q 时，船的实际前进速度应为(q －p )千米/小时．。
(word完整版)专题复习：高中数学必修5基本不等式经典例题(教师用)
知识点: 基本不等式1. (1)若 a,b2. ⑴若a,b⑶若a, b R ,则ab当且仅当ab 时取“=”)3.若x01 21x 若x1x若x1x 丄b取a=”)x x4.若 abb 0a b b 2K -ab aaa仅当a b“”）5.若 a,ba b ）⑴ 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”⑶均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域1(i )y = 3x 2 +乔=—2 •••值域为(— — 2] U [2 , + R )技巧一：凑项例已知x5，求函数y 4x-的最大值。
4x 5R ，则a 2 b 2 2ab ⑵若a,b R ，则ab a 一-（当且仅当a b 时取“=”）2R *，则」ab （2）若a,b R *，则a b 2 ab （当且仅当a b 时取“=”）20，所以首先要“调整”符号，又（4x 2）g - 不是常数，所以对 4x 2要进行拆、凑项,4x 5解：因4x 55 11Qx,5 4x0, y 4x 25 4x32 3 144x 55 4x1当且仅当5 4x ，即x 1时，上式等号成立，故当 x 1时，y max 1。
5 4x技巧二：凑系数 例：当时，求y x(8 2x)的最大值。
解析：由「知，；二，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到 2x (8 2x) 8为定值，故只需将 y x(8 2x)凑上一个系数即可。
尹=^S-2x)=女N • (8 - 2x)] < g严苒-込/ 三 §当’「，即x = 2时取等号 当x = 2时，y x(8 2x)的最大值为8。
技巧三：分离换元A 3十7工+10 + C 3十5(尤十1)十4y ■ --------------- = ---------------------------x + 1变式：设03，求函数y4x(3 2x)的最大值。
最新新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)
基本不等式 知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
专题复习高中数学必修5基本不等式经典例题(教师用).doc
基本不等式知识点：1.若 a,be /V ，a-\-b> 2y[ab （当且仅当《 = /?时取“=”）2. 若x 〉0, 5!iJx+->2 （当且仅当JC = 1 时取“=”）若x<0, WJ%+-<-2 （当且仅当x = —1时取“二”）3. 若a,be R ，贝（当且仅当 “ =& 吋取“=”）2 2注意：（1） 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2） 求最值的条件“一正，二定，三取等”应用_:求最值例：求下列函数的值域1（1）/=%+-解题技巧技巧-：凑项例已知,求函数P4X-2 + 1的最大值。
4 4x-5 技巧二：凑系数例：当0<x<4时，求y = —2;c ）的最大值。
变式：设0<x< j ，求函数;v = 4%（3-2x ）的最大值。
技巧三：分离换元X 2 +7x+10例：求y =A十’A十…（X 〉—1）的值域。
X+1技巧卩在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数/（x ） = x + ^■的单调性。
X（“1”的应用）技巧五：整体代换多次连川最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
1 9例：已知x 〉0，y 〉0,且一+ —= 1，求x+y 的最小值。
x 技巧六例：已知1，/为正寃数，且=1，求+7 2的最大值. 技巧七： 已知a, 为正实数，2Z?+«yZ?+a=30,求函数■的最小值.an例：求函数;Vx 2+5 y/x 2+4的值域。
等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式。
技巧八：取平方72x-l + 75-2x （- <x<~）的最大值。
2 2应用二：利用均值不等式证明不等式例：已知a 、b 、ce /?十，且“ + Z? + c = l 。
高中数学必修5不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5不等式精选题目（附答案）一、一元二次不等式(1)确定ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)在判别式Δ>0时解集的结构是关键．在未确定a 的取值情况下，应先分a ＝0和a ≠0两种情况进行讨论．(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a 的符号和方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a ，b ，c 之间的关系．(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．1. (1)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －1<x <12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}(2)解关于x 的不等式ax 2－2ax ＋a ＋3＞0.1.[解析] (1)由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.解得－1<x <12.[答案] A(2)解：当a ＝0时，解集为R ；当a ＞0时，Δ＝－12a ＜0，∴解集为R ；当a ＜0时，Δ＝－12a ＞0，方程ax 2－2ax ＋a ＋3＝0的两根分别为a ＋－3a a ，a －－3a a ，∴此时不等式的解集为x a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a. 综上所述，当a ≥0时，不等式的解集为R ；a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a . 注：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．2．函数f (x )＝1ln (－x 2＋4x －3)的定义域是( ) A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3) 解析：选D 由题意知⎩⎨⎧ －x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1， 即⎩⎨⎧ 1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．3．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：24．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2. (2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.二、简单的线性规划问题1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．2．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．5.(1)设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎨⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝y ＋1x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元5.[解析] (1)不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC ，目标函数的几何意义是区域内的点与点P (0，－1)连线的斜率，显然图中AP 的斜率最小．由⎩⎨⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3解得点A 的坐标为(2,1)，故目标函数z ＝y ＋1x 的最小值为1＋12＝1.(2)设对项目甲投资x 万元，对项目乙投资y 万元， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.目标函数z ＝0.4x ＋0.6y .作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A 点取最大值，代入得z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.[答案] (1)A (2)B注：(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时也可以根据可行域的顶点直接进行检验．6．不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( ) A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：选B 不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.7．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧ x ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a ＝________. 解析：依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1.答案：18．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．解析：设第一种机器购买x 台，第二种机器购买y 台，总的年利润为z 万日元，则⎩⎨⎧ 3x ＋5y ≤135，50x ＋20y ≤1 800，x ，y ∈N ，目标函数为z＝9x ＋6y . 不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．当直线z ＝9x ＋6y 经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫63019，13519，即到达l 1位置时，z 取得最大值，但题目要求x ，y 均为自然数，故进行调整，调整到与M 邻近的整数点(33,7)，此时z ＝9x ＋6y 取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．答案：33 7三、基本不等式基本不等式的常用变形(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(2)a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时，等号成立； (3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(4)a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a ≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．9.(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6(2)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )A.43B.53 C ．2 D.54[解析] (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.(2)由x >0，y >0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.[答案] (1)C (2)C注：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．10．已知2x ＋2y ＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4 x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝y x ，即x ＝y ＝4时取等号．11．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．答案：912．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有[8－(t －25)×0.2]t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x>25时，a≥150x＋16x＋15有解．∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．巩固练习：1．若1a＜1b＜0，则下列不等式不正确的是()A．a＋b＜ab B.ba＋ab＞0C．ab＜b2D．a2＞b2解析：选D由1a＜1b＜0，可得b＜a＜0，故选D.2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3 B．1C．－1 D．3解析：选A由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.3．函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值是()A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2解析：选A∵x＞1，∴x－1＞0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)2＋2(x－1)＋3x－1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时等号成立． 4．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞) 解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎨⎧ x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋y 的取值范围是[4，＋∞)．5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：选C 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.6．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1C.94 D ．3 解析：选B 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4y x ≥4，即xy z ≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2.∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1， 当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x 的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示， ∵y x 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时y x 最大．由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴y x 的最大值为3.答案：38．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ________log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥ t ，所以log a t ＋12≥log a t ＝12log a t .答案：≤9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－110．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min ，生产一个骑兵需7 min ，生产一个伞兵需4 min ，已知总生产时间不超过10 h ．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)．(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为：⎩⎨⎧ 5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，整理得⎩⎨⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎨⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．11．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和．(注：f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获利？(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；问哪种方案最合算？为什么？解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，∴f (n )＝－2n 2＋40n －72.(1)获利就是要求f (n )>0，所以－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利．(2)①年平均利润＝f (n )n ＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16. 当且仅当n ＝6时取等号．故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6.②f (n )＝－2(n －10)2＋128.当n ＝10时，f (n )max ＝128.故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)，故比较两种方案，获利都是144万美元．但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案最合算．12．已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值． 解：设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意f (x )在[0,1]和[1,2]上各有一个零点，∴⎩⎨⎧ f (0)≥0，f (1)≤0，f (2)≥0，即⎩⎨⎧ b ≥0，a＋2b ＋1≤0，a ＋b ＋2≥0，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图．由⎩⎨⎧ a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝1，即C (－3,1)．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．又B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32.故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.。
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基本不等式知识点：1． （1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (２)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ﻩﻩ（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2ﻩ(2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ﻩ（当且仅当b a =时取“=”)(3）若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”)3.若0x >，则12x x +≥ （当且仅当1x =时取“=”）若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”)4.若0>ab ，则2≥+a bb a(当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）５．若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值例：求下列函数的值域(1）y ＝3x 2＋错误! （２）y =ｘ＋错误!解：(1)y ＝３x 2+12x 2 ≥2３ｘ 2·＼f （1，２ｘ 2） ＝错误! ∴值域为[错误!，＋∞） (2)当x ＞0时，y ＝ｘ＋＼f(1,x) ≥2错误!＝２；当x ＜０时， y=ｘ＋＼f(1,x) ＝ -(- x-错误!）≤-2错误!=－2 ∴值域为(－∞，－2]∪［2,＋∞)解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1(42)45x x --不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立,故当1x =时，max 1y =。
技巧二：凑系数例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析:由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x=2时取等号 当x=2时，(82)y x x =-的最大值为8。
变式:设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
技巧三： 分离换元 例：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
解析一：本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有（x ＋１）的项，再将其分离。
当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“=”号)。
解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t ＝ｘ+1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++） 当,即ｔ=时,4259y t t≥⨯+=(当t ＝2即x=1时取“=”号）。
技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况，结合函数()a f x x x=+的单调性。
例:求函数224y x =+的值域。
解:24(2)x t t +=≥,则224y x +2214(2)4x t t t x =+=+≥+因10,1t t t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增,所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数,故52y ≥。
所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
技巧六：整体代换（“1”的应用）多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。
例：已知0,0x y >>，且191x y +=,求x y +的最小值。
错解．．：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭ 故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥x y =，在19x y +≥19x y=即9y x =，取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y =时，上式等号成立,又191x y+=,可得4,12x y ==时,()min 16x y += 。
技巧七例：已知x ,y 为正实数，且x ２＋错误!=１，求x 错误!的最大值.分析:因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤错误!。
同时还应化简错误!中ｙ2前面的系数为 错误!， x 错误!＝x 错误!＝错误!x ·错误!下面将x ,错误!分别看成两个因式：ｘ·错误!≤错误!=错误!=错误! 即x 错误!=错误!·ｘ 错误!≤ 错误!错误!技巧八：已知a ,b 为正实数,２b ＋a ｂ+a ＝30，求函数y ＝错误!的最小值．分析:这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的;二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。
法一:a ＝错误!, a ｂ＝错误!·ｂ＝错误!由a >０得，0＜b <15令t =b +1，1<ｔ＜16,ａb ＝－2ｔ 2＋34ｔ-31ｔ＝-2(t ＋错误!）+3４∵ｔ＋错误!≥2错误!＝８ ∴ ab ≤18 ∴ y ≥ １18当且仅当t =4,即b =３，a ＝6时，等号成立。
法二：由已知得:30－ab =a ＋２b ∵ a ＋2ｂ≥2＼ｒ(2 ａb ） ∴ 3０－ａb ≥2错误! 令u =＼r(ab ) 则u 2+22 u －30≤0， -5＼r （２) ≤u ≤3２ ∴ab ≤３错误!,a ｂ≤18，∴ｙ≥错误!点评:①本题考查不等式ab b a ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围,关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab b a ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围． 技巧九、取平方例: 求函数15()22y x =<<的最大值。
解析:注意到21x -与52x -的和为定值。
2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号。
故max y =。
应用二：利用均值不等式证明不等式例：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析:不等式右边数字８，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又111a b c a a a -+-==≥可由此变形入手。
解：a 、ｂ、c R +∈，1a b c ++=。
∴111a b c a a a -+-==≥11b b -≥,11c -≥等式两边均为正，分别相乘，得111221118ac ab a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
当且仅当13a b c ===时取等号。
应用三：均值不等式与恒成立问题例:已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
解:令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky ∴++= 10312k k∴-≥⋅ 。
16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例:若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>,则R Q P ,,的大小关系是 . 分析:∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a21=Q (p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg( ∴Ｒ＞Q ＞P 。