《量子力学》课程19
量子力学课程教学大纲
量子力学课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；课程名称：量子力学所属专业：物理学专业课程性质：专业基础课学分：4（二）课程简介、目标与任务；课程简介：量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。
本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。
课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。
在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构，如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结构。
本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原理。
第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。
在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。
本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。
课程目标与任务：1.掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法。
2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。
3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。
《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及紫外灾难由于一定的帮助。
《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。
周世勋量子力学教案
周世勋量子力学教案一、引言1. 课程目标：使学生掌握量子力学的基本概念、原理和方法，了解量子力学在物理学、化学、材料科学等领域的应用。
2. 教材：《量子力学》（周世勋著），重点章节：第一章量子力学的基本概念3. 教学方法：讲授、讨论、练习相结合，注重培养学生解决问题的能力。
二、量子力学的基本概念1. 量子与量子化：引入量子概念，解释量子化的意义，举例说明量子化的现象。
2. 波粒二象性：介绍光的波粒二象性，讲解电子的波粒二象性，探讨波粒二象性的实验证据。
3. 叠加态与叠加原理：讲解量子态的叠加，解释叠加原理，举例说明叠加原理的应用。
4. 测量与不确定性原理：介绍测量原理，讲解不确定性原理，探讨不确定性原理在实际应用中的意义。
三、一维势阱与量子束缚态1. 一维势阱的基本概念：介绍一维势阱的定义，讲解势阱的图像及其物理意义。
2. 量子束缚态的求解：讲解薛定谔方程的解法，探讨束缚态的能量和波函数。
3. 束缚态的性质：分析束缚态的稳定性，讲解束缚态的能级间距。
4. 束缚态的跃迁：介绍束缚态跃迁的概念，讲解跃迁概率与矩阵元素的关系。
四、势垒穿透与量子隧道效应1. 势垒穿透的基本概念：引入势垒穿透的概念，解释势垒穿透的物理意义。
2. 量子隧道效应：讲解量子隧道效应的实验现象，探讨量子隧道效应的微观机制。
3. 隧道电流与势垒高度的关系：分析隧道电流与势垒高度的关系，讲解势垒高度对隧道电流的影响。
4. 隧道效应的应用：介绍隧道效应在实际应用中的例子，如隧道二极管、隧道晶体管等。
五、哈密顿算符与量子态的演化1. 哈密顿算符的引入：讲解哈密顿算符的概念，解释哈密顿算符在量子力学中的作用。
2. 量子态的演化：介绍量子态演化的概念，讲解量子态演化的规律。
3. 演化算符与时间演化：讲解演化算符的定义，解释演化算符与时间演化的关系。
4. 量子态的叠加与干涉：分析量子态叠加与干涉的物理意义，讲解叠加与干涉在实验中的应用。
六、量子纠缠与非局域性1. 量子纠缠的概念：介绍量子纠缠的定义，解释纠缠态的意义。
量子19-9氢原子的量子力学处理.
LZ m l
m l 0 ,1,2 ,..., l
LZ m l 0 , ,2
共有五种可能取值。
（下一页）
L 6 LZ m l 0 , ,2
（3）求角动量与该空间方向的可能夹角；
Z
LZ m l Lcos cos m l / L m l / 0 ,1 / 6 ,2 / 6 6
（下一页）
3、每层所能容纳的最大电子数 （1）由l 决定的次壳层
电子的量子态： n, l , ml , m S
现 n 与 l 一定，可以变化的只有 ml 与 ms ml = 0,1, 2,…, l ;共有2l +1个取值。 ms = 1/2,只有两个取值。 故由l 决定的次壳层所能容纳的最大电子数为：
（下一页）
量子力学小结 一、爱因斯坦光子说
h
二、康普顿效应
h p
h m 2 c
康普顿散射 公 式
1、最基本要求
2c sin
2
2
,
c 0.024 A
o
2、高级要求：散射光子与反冲电子的能量与动量守恒
(下一页）
三、玻尔的氢原子理论 1、（氢）原子的能级 电离态 2、能级的跃迁与光的发射 或吸收
2 1）波函数模的平方 | (ห้องสมุดไป่ตู้ , t ) | = , 代表 t 时刻
处粒子出现的几率密度。 r
2）t 时刻粒子出现在区域V 内的几率（可能性）为： 2 P ( V , t ) ( r , t ) d
V
3）波函数必须满足的条件：单值、连续、有限
4）波函数的归一化条件：
（三）电子自旋角动量在外磁场上的投影 在外磁场中，电子的自旋角动量S 在外磁场上的 投影 SZ 只能有两种取值，即:
《量子力学教程》_课后答案
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n 0 ka ka n
《量子力学教程》 习题解答
1
《量子力学教程》
习题解答说明
• 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完 善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写 的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答 共分七章，其中第六章为选学内容。 • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
2
目录
• • • • • • • 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子
(1)
J1与r 同向。表示向外传播的球面波。
i * * J1 ( 1 1 1 1 ) 2m i 1 ikr 1 ikr 1 ikr 1 ikr [ e ( e ) e ( e )]r0 2m r r r r r r i 1 1 1 1 1 1 [ ( 2 ik ) ( 2 ik )]r0 2m r r r r r r k k 2 r0 3 r mr mr
0
2
n ， n 1,2, 。 eB
1 2 1 eBR 1 2 2 n e B n B B 电子的动能为 E v 2 2 2 eB
动能间隔为 E B B 9 10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E kT ，所以当 T 4K 时， E 4.52 10 J ；当
量子力学教程课后习题答案
量子力学教程课后习题答案量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比，即T=b（常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式，（1）以及，（2），（3）有这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作。
但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具体如下：如果令x= ，则上述方程为这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有把x以及三个物理常量代入到上式便知这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=h，如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（），那么如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有在这里，利用了以及最后，对作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
1．3 氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。
量子力学课件(完整版)
Light beam
metal
electric current
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
18
当 kT hc（高频区）
E(, T)
2hc2 5
e hc
kT
Wein公式
当 kT hc（低频区）
E(, T)
2c 4
kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
2 , k 2 / ,
得到 d 2 0,所以，t x(t)
dk 2 m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
2
这面临着两个问题：
1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性；
《量子力学》课程教学大纲
《量子力学》课程教学大纲课程编号: 11122616课程名称：量子力学英文名称： Quantum Mechanics课程类型: 专业核心课总学时： 72 讲课学时： 72 实验学时：0学分： 5适用对象: 物理专业本科学生先修课程：高等数学、线性代数、原子物理学、数学物理方法、理论力学、电动力学等课程执笔人：李淑红审定人：孙长勇一、课程性质、目的和任务量子力学是物理专业的一门重要的专业基础理论课。
该课程是研究微观粒子运动规律的基础理论。
该课程的主要目的和任务：1、使学生了解微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理和处理具体问题的一些重要基本方法，为进一步学习和今后从事教学和科学研究打下必要的基础；2、使学生适当地了解量子力学在现代物理学中的应用和新进展，深化和扩大学生在普通物理学(特别是原子物理学)中所学过的有关内容，以适应现代物理学发展的状况和今后教学及科研工作的需要。
二、课程教学和教改基本要求量子力学是20世纪二十年代人们在总结了大量实验事实和旧量子论的基础上，通过一代物理学家的共同努力而建立起来的；它的基本概念除了与经典力学不同之外，还视量子力学的各种表述形式的不同而各异。
根据本课程的特点和计划学时，编制了适合学生水平的PPT教学课件，采用多媒体教学，增加课时容量；同时，注意到学生的接受情况，把传统教学和多媒体教学的优点结合起来，利用启发式教学方法；教学过程中介绍一些相关的前沿科研内容和动向，扩大学生的知识面，从而激发学生的学习兴趣。
通过课堂教学、自学、作业等环节使学生掌握所学内容，提高分析、归纳、推理的能力，为以后从事现代物理学研究打下坚实的理论基础。
三、课程各章重点与难点、教学要求与教学内容按照教育部颁布的量子力学教学大纲，本课程总学时为72学时，本大纲安排课堂讲授66学时，习题课6学时。
下面大纲中加带“*”号的为选讲内容，在教学过程中可视具体情况和总学时的多少，略讲或不讲，而以学生自学为主。
量子力学课件完整版(适合初学者)
利用
得到
E h , p k , h / 2 , 2 , k 2 / ,
d 2 2 0, 所以，t x(t ) dk m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
37
参考书目
曾谨言《量子力学》，科学出版社 周世勋《量子力学教程》，高等教育出版 社
38
量子力学 第二章 波函数及薛定谔方程
39
2.1 波函数及其统计解释
40
一、自由粒子的波函数
自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动 的质点。因此，其能量E 和动量 p pe 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频 率和波长分别为
4
1.1 经典物理学的困难
5
19世纪末，物理学界建立了牛顿力 学、电动力学、热力学与统计物理， 统称为经典物理学。其中的两个结论 为 1、能量永远是连续的。 2、电磁波（包括光）是这样产生的： 带电体做加速运动时，会向外辐射电 磁波。
6
经典物理学的成就
牛顿力学-支配天体和力学对象的运动； 杨氏衍射实验-确定了光的波动性； Maxwell方程组的建立-把光和电磁现象建立在 牢固的基础上； 统计力学的建立。
46
3、概率波
粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 ( x, y, z) | ( x, y, z) | ei ( x, y,z ) 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。 | ( x, y, z) |2 应该表示粒子出现在点 所以， (x,y,z)附近的概率大小的一个量。 因此，粒子的波函数又称为概率波。
《量子力学》教学大纲
《量子力学》课程教学大纲一、课程基本信息英文名称 Quantum Mechanics 课程代码 PHYS3004课程性质 专业必修课程 授课对象 物理学学 分 4学分 学 时 72学时主讲教师 修订日期 2021.9指定教材 曾谨言，《量子力学教程》，科学出版社，2000年二、课程目标（一）总体目标：本课程的知识目标：了解量子力学的实验基础和发展史、应用和前沿，及其对现代科学技术的支撑作用；系统掌握量子力学的基本概念、基本原理及处理量子系统实际问题的计算方法。
能力目标：掌握微观体系的物理研究方法和前沿进展，提高解决交叉学科领域量子问题的能力，锤炼科学思维能力和科研创新能力。
素质目标：掌握辩证唯物主义基本原理，建立科学的世界观和方法论；富有科学精神，勇于在物理学前沿及交叉领域探索、创新与攀登。
（二）课程目标：课程目标1：了解量子力学的发展简史，量子力学理论发展中的著名物理实验及其地位和作用；了解量子力学的诠释及适用范围；了解量子力学实验和理论研究的前沿进展和应用前景；使学生认识到量子力学理论在现代科学研究领域的重要性，掌握辩证唯物主义基本原理，建立科学的世界观和方法论。
课程目标2：掌握量子力学基本原理和基本计算方法，学会运用量子力学理论对一维定态若干问题，以及中心力场氢原子等问题的分析和处理；训练学生运用理论公式求解并分析量子系统的能力，培养和提高学生的抽象思维能力和解决交叉学科领域量子问题的能力。
课程目标3：掌握定态微扰论的近似计算方法，掌握利用含时微扰理论处理近代物理实验量子跃迁等的方法，掌握自旋及全同粒子体系的处理方法；培养和提高学生对非精确求解、自旋纠缠态等复杂系统的求解能力，掌握对近似解的误差分析和数据处理等基本技能，锤炼科学思维能力和科研创新能力。
（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系表1：课程目标与课程内容、毕业要求的对应关系表课程目标对应课程内容对应毕业要求课程目标1 第一章 波函数和薛定谔方程第四章 中心力场第六章 自旋与全同粒子第七章 微扰论与量子跃迁毕业要求3：了解物理学前沿和发展动态，新技术中的物理思想，熟悉物理学新发现、新理论、新技术对社会的影响。
【混合式教学设计案例】《量子力学》课程
“微观粒子状态的描述—波函数”混合式教学设计一、课程教学整体思路1.课程的建设发展历程《量子力学》课程是材料物理专业和新能源材料与器件专业一门非常重要的专业基础课程，它是本专业核心课程《固体物理学》和《半导体物理学》，以及其它专业特色课程（如《光电材料与器件》、《半导体材料与器件》、《太阳能电池材料与技术》等）的基础。
通过这门课的学习，要求学生较好地掌握量子力学的基本原理，并能够利用量子力学基本原理分析和解决具体的问题，因此本专业的《量子力学》课程的教学内容相对于其它非物理专业的相同课程具有较高的深度。
《量子力学》课程教学和学习难度很大，主要表现在：量子力学概念和原理看上去“有悖于”经典物理学，难以理解和掌握；牵涉到较多的数学基础，数学公式多、变化灵活等。
学生学习该课程时困难重重，很多同学达不到课程要求。
为了提升《量子力学》课程的教学效果，本课程组不断进行课程教学改革。
为了让学生学习得更加深入、掌握得更加牢固，同时减轻学生的学习压力，从2019版培养计划开始，将课程分为《量子力学I》和《量子力学II》两门课，各2学分32学时，其中《量子力学I》为必修，第4学期开课，《量子力学II》为选修，第5学期开课。
不断改进教学内容和教学方法，积极采用信息化教学工具辅助教学，积极探索线上线下混合式教学模式，积极进行课程思政建设，不断丰富课程资源等，课程先后获批“信息化教学改革示范项目”、“线上线下混合式‘金课’示范项目”、“省线上线下混合式一流课程项目”、“课程思政示范项目（精品课程）”等。
通过不断建设，课程教学效果得到显著提升，学生对课程重要知识点的掌握程度显著提升，学生对课程教学效果评价明显提升。
2.课程的基本信息：课程性质、课时安排、课程特色等《量子力学I》为材料物理专业的专业必修课程，2学分，32学时，于第四学期开课。
本课程主要讲授量子力学的基本概念和基本原理，为后续的《固体物理学》、《半导体物理学》等专业核心课程以及《量子力学II》课程的学习奠定基础。
喀兴林高等量子力学EX19-22
19.1 试用公式（2.9）式验证（19.34）式。
（做题人：何贤文 审题人：班卫华） 解： 公式（2.9）为],[!1)(0B A i Bee i i AA∑∞=-= 公式（19.34）为λλλ-==='--R R Q RD D R 11)()( ∑∞=∙∙--∙-==0)(1],)[(!1Re)()(j j P iP iR P ij e RD D λλλλλ将其展开：λλλλλ-=+++++-=++++∙-+∙-=R P R R R P iR P i000}][]R P [{i000],)[(!11],)[(!01)1()0(，，原式 #练习19.2 试用两种方法求轨道角动量算符L 的平移。
（高思泽）证明：设轨道角动量算符L的平移为'L 。
方法一：位置算符R →的空间平移λ-=R R '，动量算符P 的空间平移P P ='，则 P L P P R P R P R L ⨯-=⨯-⨯=⨯-=⨯=λλλ)('''方法二：PL P P R D P D D R D D P R D D L D L⨯-=⨯-⨯=⨯=⨯==----λλλλλλλλλλ)()()()()()()()(1111' #练习19.3 试由（19.33）式证明 （赵中亮）)()()(ˆλψψλ -=r r D证明：由（19.33）式 λλλ+==r r Q r D )()( （1）和 111)(---=r Q r Q D（2）（1）、（2）联立可得 λλλ -==--r r Q r D )()(11两边取共轭得 λλλ-==-r r Q D r )()(1又由（19.9）式 r Q D Q D r )(ˆ)(=所以)()()(ˆ)()(ˆλψψλψλψλψλ -=-===r r D r r D r D得证。
练习19.4 证明在三维位形空间中两个矢量的点乘积是一个标量。
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j ( j 1),
jl
1 2
jl
,
( , , s z )
2l 1 1 1
1 2
l m 1Y lm ( , ) l m Y lm 1 ( , )
jl
1 2
,
( , , s z )
jl
(sz )
z z
1 2
z
1 2
z
1 2
1 2
z
ˆ Sz
1 2
2
1 2
ˆ Sz1
2
2
1 2
这两个函数是彼此正交的。
量子力学
3、自旋函数的矩阵形式
在 表示为：
1/ 2
z
表象中，
1 2
、
0 1
1 2
的矩阵
1 0
1 2
l m Y lm ( , ) 2 l 1 l m 1Y lm 1 ( , )
对于
,
m max l , m min ( l 1)
量子力学
m l , l 1, , 0 , , ( l 1) mj m
量子力学
§7.5 光谱的精细结构
光谱的精细结构与自旋轨道藕合有关。 下面讨论在无外场时，电子自旋对类氢原子的 能级和谱线的影响。 对于类氢原子，如果不考虑电子自旋与轨 道相互作用的能量，则类氢原子的哈密顿为
ˆ H0
2
2
U (r )
2
若不考虑核外电子对核的屏蔽，则 U ( r ) r 根据前面的讨论，若不考虑电子的自旋，电子 的能量只与 n 有关，能量为 n 度简并，现在 把电子的自旋加进去（不考虑电子自旋与轨道
2 2
z 2
2
2
z
2
Sz
2 | (r , S z , t ) | d
*
2 [| ( r , 2 , t ) | | ( r ,
2
2
, t ) | ]d
2
[ ( r , 2 , t )
( r ,
2 2
对于
jl
1 2
, (m j m 1 ) 2
量子力学
ljm j
l m 1Y lm ( , ) 2 l 1 l m Y lm 1 ( , ) 1
对于
1 0 lm Y lm ( , ) Y lm 1 ( , ) 0 1 2l 1 2l 1 j l 1 , (l 0 , m j m 1 ) 2 2 l 2m 1
以
ˆ J
ˆ ˆ L, S
ˆ ˆ ˆ [ J x , J y ] i J z ,
ˆ ˆ ˆ [ J y , J z ] i J x ,
ˆ ˆ ˆ [ J z , J x ] i J y
由于
ˆ 2 ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ ˆ J (L S ) L S 2L S
ˆ 2 ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ ˆ J (L S ) L S 2L S
ˆ ˆ ( L S ) ljm j
ˆ ˆ ˆ J LS
表示 的和 ˆ J 称为体系的总角动量，它满足角动量的 ˆ ˆ ˆ 一般对易关系 J J i J 其分量形式为
ˆ 2 J 2 J 2 J 2 与 Jˆ 的对易关系为 ˆ ˆ ˆ 角动量平方 J x y z ˆ2 ˆ [ J , J ] 0, x, y , z
0 1
ˆ L z 1 ( j ) 1 , z 2
1 2
ˆ L z 2 ( j ) 2 z 2
ˆ 即 , 是 的本征态，相应的本征值相差 。 L 综合1、2， aY ( , )
z
( , , s z ) bY ( , ) lm 1
(r , S z , t ) (r , t ) (sz )
量子力学
是描述电子自旋状态的函数，叫自旋 函数。它的变量 S 可取 2 和 2 这两个值 。描述自旋 S 取值为 2 的自旋函数用 表示；描述自旋 S 取值为 2 的自旋函数 用 表示。自旋算符只对波函数中的自 旋函数 ( s ) 有作用。自旋函数 与 Sˆ 是 的本征函数，其对应的的本征值分别为 2 和 2 ，即
z
z
z
ˆ ˆ ( L z S z ) j , z
Sz
ˆ 1 Lz 2
2
1 0
0 1 1 2
1 z 0 1 j z 2
2 2
1 2
l
1 2
,l
1 2
, , 0 , , ( l 1 ) j , j 1, j 2
共 2 j 1 个值。 对于 j l , m
1 2
max
l 1, ( l 0 ), m min l
1 2
m l 1, l 2 , , 0 , , l mj m
1 2
l
1 2
,l
, , 0 , , l j , j 1, , j
共
ljm j
2 j 1
个值。 (ˆ 总结起来， L , Jˆ , J ) 的共同本征态可记为 对应的本征值为
2 2 z
l ( l 1) , j ( j 1) , m j ( m j j , j 1, , j )
lm
量子力学
2 ˆ2 L l ( l 1) ,
ˆ (m 1 ) m jz j 2
3、
( , , s z )为 J 2 的本征态 ˆ aY lm ( , ) aY lm ( , ) 2 ˆ2 J bY bY lm 1 ( , ) ( , ) lm 1 2 和归一化波函数 在 z 表象可求得本征值
z
z
由于 ˆ 所以 ( L , Jˆ , J ) 有共同本征函数。在 ( , , s ˆ 表象中，设 ( L , Jˆ , J ) 的共同本征函数为
2 2 z
ˆ 2 ˆ2 [ J , L ] 0,
)
( , , ) 1 ( , ) 2 ( , , s z ) ( , , ) ( , , ) 2 2
1、自旋态的描述 由于电子具有自旋，要描述电子，除空 间三个自由度以外，还必须引入自旋这个自 由度，相应的描述电子状态的波函数中还应 包含自旋变量。通常取自旋在某一方向 （ z 轴）的投影 S 作自旋变量，由于 S z 只能取 两个分立值，因此电子波函数可 2 以用二分量波函数表示，
z
量子力学
G
[ ( r , 2 , t )
( r ,
2
G 11 , t )] G 21
G 12 ( r , 2 , t ) d G 22 ( r , 2 , t )
2、自旋函数 当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可 以忽略时，电子的自旋状态不影响轨道运动， 这时可把旋量波函数 ( r , S z , t ) 写成
量子力学
量子力学
课程十九
主讲教师:冉扬强
量子力学
第七章 自旋与全同粒子
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
五、自旋函数及其矩阵表示
§7.4 两个角动量的藕合
一、总角动量 ˆ 二、 ( L2 , Jˆ 2的共同本征态 ,Jz)
§7.5 光谱的精细结构
量子力学
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数 五、自旋函数及其矩阵表示
量子力学
所以
注意：
ˆ2 J
ˆ ˆ [ J , L ] 0,
2 2
ˆ ˆ [ J z , L ] 0,
2
与
ˆ ˆ L, S
2 ˆ [J z, S ] 0
2 ˆ [J , S ] 0
2
都不对易。
二、
ˆ2 ˆ 2 (L , J , J z )
2 2
的共同本征态
ˆ2 ˆ [ L , J z ] 0, ˆ2 ˆ [J , J z ] 0
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量子力学
§7.4 两个角动量的藕合
前面我们分别讨论了粒子具有轨道角 动量或自旋角动量。在同一原子内，电子 既有自旋角动量，也有轨道角动量，因此 还需讨论既有自旋角动量，又有轨道角动 量的情况，换句话说，需要讨论轨道角动 量和自旋角动量的藕合问题。下面我们以 轨道角动量和自旋角动量的藕合为例，讨 论两个角动量的藕合。
1、由于
( , , s z )
为
ˆ2 L
L 的本征态，ˆ
2
c , (c 为
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常数），所以 ˆ 即 , 都是 L 的本征态，而且对应的本征 值相同。 2、由于 ( , , s ) 为 Jˆ 的本征态，Jˆ j
2
1 2 z
ˆ2 ˆ2 L 1 c1 , L 2 c 2 ,
2
Ze
2
量子力学
相互作用），自旋 S z 可取两个值，因此能量 2 2 n 度简并。现在把电子自旋与轨道相互作用的 能量加进去，则哈密顿为
ˆ H
2
2
U (r ) (r ) L S