计算机组成原理数据的机器表示

浮点数在机器中由阶码和尾数来表示。尾数部分给 出浮点数有效数字的数位，决定浮点数的精度；阶 码指明小数点在数据中的位置，决定浮点数的表示 范围。
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（1）浮点数的格式
浮点数的表示格式
Es E1E2…Em
阶符 阶码
Ms
数符
M1M2…Mn
尾数
整数
小数
数符决定浮点数的正负；阶符仅决定阶码本身的正负 阶码通常使用移码表示，移码是计算机中又一种机器
正数补码与原码相同，不需要转换。 负数补码转换为原码，可以采用上述方法，对补码再求补码，
实现逆转换，即对补码再求补码结果为原码。
关于补码表示的结论：
在补码表示中，仍以最高位作为符号位，0为正数、1为负数。 补码的符号位是数值的一部分，可以和数值位一起参与运算， 不需要单独处理。
数值0只有一种表示，无+0和-0之分，补码的负数域不含0。 负数补码和原码相比，多出了一个负数-1或-2n。以n+1位整
例、N1 = 01001，表示9；N2 = 11001，表示25。
字长为n+1位的无符号数xn…x2x1x0有以下特性：
典型值
真值
代码序列
最大值 最小非零正数 最小值
2n+1-1 1 0
11…11 00…01 00…00
无符号定点数值的表示范围为:0～2n+1-1，分辨率为1。
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无符号定点数
例、以8位无符号数为例，说明其最大值为（28-1）。
第二章 数据的机器表示
主要内容：
真值、机器数的概念 原码、补码、反码、真值，及其相互转换。
定点数与浮点数的表示范围。 字符编码与汉字编码。
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A、数据的分类
数据表示的分类：
数值数据表示 无符号数 带符号数 原码、补码、反码、移码 定点、浮点
非数值数据表示 字符数据和字符串 汉字数据
机器中的判零电路。
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（3）规格化
为了提高浮点数的表示精度，当尾数不为0时，尾数域 的最高数位必须是一个有效值。如果最高数位不是有效 值，则通过尾数移位并修改阶码的办法，使其变成有效 值，这称为浮点数的规格化。
代码序列
1.1…11
1.0…01 0.0...01 0.1…11 1.0…00 1.1…11 0.0…01 0.1…11
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现以8位原码为例，说明带符号定点小数的绝对 值最大负数-（1-2-7）、最大正数（1-2-7）。
由此得到：（注意：序列下标和权值的指数一致） 原码定点小数表示范围：-（1-2-n）~（1-2-n） 补码定点小数范围：-1 ~（1-2-n） 原码、补码定点小数分辨率：2-n
若定点小数的原码形式为 x0.x1x2…xn，则原码表示的定义：
[X]原= X
0 ≤X＜1
1 – X = 1 + |X| -1＜X≤0
8位
其中，[X]原是机器数，X是真值。
机器字
例如，x=+0.1001，则[x]原=0.1001 x= -0.1001，则[x]原=1.1001
对于正数x=+0.x1x2…xn，[x]原= 0.x1x2…xn 对于负数x= -0.x1x2…xn，[x]原= 1.x1x2…xn
X 2n+1 + X = 2n+1 - |X|
0 ≤X＜2n (mod 2n+1)
- 2n≤ X＜ 0
例如， x = +1011，则[x]补 = 00001011 x = -1011，则[x]补 = 11110101
8位 机器字
由真值转换为补码时，很少用补码定义式计算，通常把真值先 转换为原码，再由原码转换为补码。事实上，按照对补码定义 式的理解，有如下简便的转换方法。
-1 +1 2n-1 -2n -1 +1 2n-1
代码序列 11…11 10…01 00...01 01…11 10…00 11…11 00…01 01…11
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现以8位原码为例，说明带符号定点整数的绝对 值最大负数-（27-1）、最大正数（27-1）。
得到结论：（注意，序列下标和权值的指数一致） 原码定点整数表示范围：-（2n-1）~（2n-1） 补码定点整数表示范围：-2n ~（2n-1） 原码、补码定点整数分辨率：1
对于正数x=+0.x1x2…xn，[x]补= 0.x1x2…xn 对于负数x= -0.x1x2…xn，[x]补= 10.0…0-0.x1x2…xn
对于0，只有一种形式[+0]补=[-0]补 =0.00…0
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补码表示（续）
若定点整数的补码形式为xn…x2x1x0，定点整数的补码定义：
[x]补=
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4、浮点数的表示方法
把一个数的有效数字和数的范围在计算机的一个存 储单元中分别予以表示，相当于小数点的位置随数 的比例因子不同在一定范围内可自由浮动，所以把 这种表示方式称为浮点表示法。
任意一个二进制数可以写成： N=2e×M
M称为浮点数的尾数，纯小数表示，基数为2； e为浮点数的指数,也叫阶码，整数表示，底数为2。
小数 点
以下分原码和补码进行讨论。
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假设：带符号的定点整数代码序列为xn…x2x1x0 ，约定 xn为符号位，小数点在最低位之后。其典型值如下：
原码 补码
典型值 绝对值最大负数 绝对值最小负数 最小非零正数 最大正数 绝对值最大负数 绝对值最小负数 最小非零正数 最大正数
真值 -（2n-1）
数的编码方式。下面先介绍移码。
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（2）移码表示法
移码通常用来表示浮点数的阶码，由真值加一个固定的 常数生成，这个固定的常数称为偏移量。
设定点整数移码的形式为xm…x2x1 x0，则移码定义为： [x]移=2m+x -2m≤x＜2m
[x]移是机器数，x是真值，2m是一个固定的偏移量，它 也是xm的位权，移码共有m+1位。
对于0，有两种形式：[+0]反 = 0.00…0， [-0]反 = 1.11…1
若定点整数的补码形式为xn…x2x1x0，定点整数的补码定义：
[x]反=
X (2n+1 – 1) + X
0 ≤X＜2n - 2n＜ X ≤ 0
[x]反=2-2-n+x，[x]补=2+x
[x]补=[x]反+2-n
数为例，原码绝对值最大的负数为-（2n-1），而补码绝对值最 大的负数为-2n，其原因是在补码中0只占一个码点。 补码表示可以把减法转化为加法，用一套电路完成加法和减法.
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3、反码表示
反码符号位的表示方法与原码相同，数值部分表示如下： 对于正数，数值部分与真值的形式相同；对于负数，将真 值的数值部分按位求反。
其它典型值，最小非零正数和零，可进行同样的分析。
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2、定点表示法——带符号定点整数
带符号定点整数是纯整数，它约定机器字的最高位为 符号位，小数点在最低数位之后、且不出现在数码序 列中，带符号定点整数可以是原码表示或补码表示。
格式为：
xn xn-1 xn-2 …… x2 x1 x0
符号位
数值 位
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由真值、原码转换为补码
正数的补码表示与原码相同。 负数原码转换为补码的方法之二：
如：[x]原=0.1010 ，[x]补=0.1010
负数原码转换为补码的方法之一： 符号位保持1不变，数值位按位求 反，末位加1。
符号位保持1不变，在数值位中从 低位向高位找1，第一个1及其右边 的0保持不变，数值位的其余部分 求反。
若纯小数的反码序列为x0.x1x2…xn ，则:(n为数值的位数)
[x]反=
X (2 – 2-n) + X
0 ≤X＜1 - 1＜ X ≤ 0
例如，x = + 0.1101， [x]反 = 0.1101 x = - 0.1101， [x]反 = 1.0010
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反码表示（续）
对于正数 x=+0.x1x2…xn，[x]反= 0.x1x2…xn 对于负数 x= -0.x1x2…xn，[x]反= 1.x1x2…xn
十进制数和数串（自学）
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B、数值型数据的表示方法
一个预备知识
二进制数B、八进制数Q 十进制数D（可省略）、十六进制数H
两个术语定义
真值：在现实生活中，用正号、负号加绝对值表示数值的 数称为真值，如123、-128等。
机器数：在计算机内部使用的、连同符号一起数码化了的 数，称为机器数。
要做三件事
区分数据的正负、选择数值的码制、确定小数点的位置。
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一、带符号数的表示方法
带符号机器数主要有3种编码方式：
原码 补码 反码
带符号数最常用的编码方式有2种：
原码 补码
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1、原码表示
原码表示法规定：一个机器字中，最高位为符号位，符号位 为0表示正数，符号位为1表示负数，数值部分与真值相同。
有以下结论：反码的末位加1等于对应的补码。
反码的符号位也可以作为数值位直接参与运算。
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二、数的定点表示与浮点表示
在现实世界中，我们所遇到的数可能既有整数部分， 又有小数部分，这就存在一个如何表示小数点的问 题，即如何确定小数点的位置。
根据小数点的位置是否固定，数的格式可分为：
定点表示 浮点表示 其中，定点数又分为无符号定点数、带符号定点数。
对于正数，数值部分与真值的形式相同；对于负数，将真值
的数值部分按位求反，最低位加1。
若定点小数的补码形式为x0.x1x2…xn，则补码的定义：
[X]补=
X 2 + X = 2 - |X|
0 ≤X＜1 - 1≤ X＜ 0
其中，[X]补是机器数，X是真值。
8位 机器字
例如， x=+0.1011，则[x]补=0.1011 x= -0.1011，则[x]补=1.0101
如：
[x]原 = 1.1010
按位求反 1.0101
末位加1 +
1
如： [x]原 = 1. 10 10 不变 求反 不变
[x]补 = 1. 01 10
[x]补 = 1. 0110
以上方法与通过补码定义式计算结果完全一致，但更为简便，是实现 求补电路的重要依据，也是实现求补电路普遍采用的方法。
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由补码表示转换为原码与真值
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3、定点表示法——带符号定点小数
带符号定点小数是纯小数，它约定机器字的最高位为 符号位，小数点在符号位之后、最高数值位之前、且 不出现在数码序列中 ，带符号定点小数可以是原码表 示或补码表示。
格式：
x0 x1 x2 …… xn-2 xn-1 xn
符号位
小数 点
数值 位
以下分原码和补码进行讨论。
例、某浮点数阶码8位，含一位符号位，移码表示。当阶 码x = -0111 1111，则：
[x]移 = 27 - 0111 1111 = 0000 0001
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移码的特点
最高位为0表示负数，为1表示正数。 移码全0时真值最小，全1时真值最大。 0的移码只有一个，[±0]移=100…0 同一数值的移码和补码，数位相同，而符号相反。 便于阶码大小的比较，便于对阶操作，有利于简化
关于原码表示的结论：
真值0有两种不同的表示形式（+0、-0）
8位 机器字
小Biblioteka Baidu原码表示范围为：-1<x<1
整数原码表示范围为：-2n <x<2n
原码表示简单易懂，其缺点是加法运算复杂。因为人为约定0为
正数，1为负数，在运算时，符号和数值要分开处理。
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2、补码表示
补码符号位的表示方法与原码相同，数值部分的表示如下：
对于数据表示，我们最关心两项指标：
第一，表示范围，即在正负两个方向上各能表示多大的数 第二，分辨率，也就是表示数的精细程度
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1、定点表示法——无符号定点数
所谓无符号数定点数，是指整个机器字的二进制位全部 用来表示数值位，没有符号位置；同时约定小数点在最 低数位之后，而且不出现在数码序列中。
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假设：带符号的定点小数代码为x0.x1x2…xn ，约定x0为 符号位,小数点在符号位和最高数位之间.其典型值如下：
原码 补码
典型值
绝对值最大负数
绝对值最小负数 最小非零正数 最大正数 绝对值最大负数 绝对值最小负数 最小非零正数 最大正数
真值
-（1-2-n）
-2-n +2-n 1-2-n -1 -2-n +2-n 1-2-n
对于0，有两种形式： [+0]原 = 0.00…0， [ -0]原 = 1.00…0
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原码表示（续）
若定点整数的原码形式为xn…x2x1x0 ，定点整数的原码定义：
[x]原=
X 2n – X = 2n + |X|
0 ≤X＜2n -2n＜X≤0
例如，x=+1011，则[x]原=00001011 x= -1011，则[x]原=10001011