变分原理
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变分原理变分原理变分原理是⾃然界静⽌（相对稳定状态）事物中的⼀个普遍适应的数学定律，或称最⼩作⽤原理。
例如：实际上光的传播遵循最⼩能量原理：在静⼒学中的稳定平衡本质上是势能最⼩的原理。
⼀、举⼀个例⼦（泛函）变分法是⾃然界变分原理的数学规划⽅法（求解约束⽅程系统极值的数学⽅法），是计算泛函驻值的数学理论。
在理论上和实践上均需要放宽解的条件。
因此，引⼊弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。
在讨论⼆阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。
Poisson ⽅程的Neumann 问题设Ω是单连通域，考察Poisson ⽅程的Neumann 问题(N)=??=?-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数这⾥)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满⾜01,=+ΓΩg f d x其中的对偶积表⽰)()(,2/12/1Γ?Γ??-ΓH H .问题（N ）的解，虽然是不唯⼀的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数ΩΩ∈Ω=,1)(/)(11i n f ?v vH v RH ,V v ∈? 可以得到唯⼀解。
实际上，由定理5.8推出RH v/)(1?Ω等价于半范Ω→,1?v v. 定义双线性泛函R V V →?:V v u v v u u v u v u B ∈∈∈=?,?,?,?),,()?,?（和线性泛函V v vv u g fdx vΩ??,?,,?:. 其右端与v v ?∈⽆关。
因此v ?中的元素仅仅相差⼀个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上,,2/1,2/1,0,0)?(ΓΓ-ΩΩ+≤v gvf vl利⽤范数)(2/1ΓH 定义，有vv v gf v l ?,)()?(,1,2/1,0∈?+≤ΓΓ-Ω，从⽽Γ-Ω+≤,2/1,0'gflV由范数等价性定理，可得V Vvu c v u v uB ??)?,?(,1,1≤≤ΩΩ 22,1?)?,?(V u u u uB γ≥=Ω也就是，双线性形式)?,?(v uB 在R H V /)(1Ω=上是对称、连续和强制的。
浅谈变分原理
浅谈变分原理变分原理是一个优化理论，它能够在大量数值模型中求得最优解。
变分原理由拉普拉斯于1930年提出，用于对边界值问题和导数问题进行数学分析，逐渐发展成为优化理论，用于解决复杂优化问题。
变分原理是一种建立在数学分析基础上的优化方法，它建立在函数的可微性下，利用极点定理（即函数的零点就是函数的极大值或极小值点），对被求解的优化问题进行极大值或极小值求解，以达到求解最优解的目的。
从物理的角度来讲，变分原理是把被求解的目标函数（如动能或潜能）作为一个约束变量，把由原始变量构成的约束条件作为另外一个约束变量，在此基础上求解系统最小化或最大化的问题。
变分原理最主要的功能在于对复杂的非线性方程或微分方程进行数值模拟，可以用来解决许多复杂的优化问题，比如最短路径问题，能量最优结构优化问题，多尺度结构优化等。
变分原理的应用范围极为广泛，而且在众多的应用领域中都取得了很大的成功，运用变分原理可以计算出精确的最优解，从而提高工作效率和节省时间成本。
变分原理作为一种近代优化原理，在材料力学、结构力学两个领域中也得到了广泛应用。
它可以用来解决因果力学各种优化问题，比如最小力学设计、极限状态设计、最大力学功等，它还可以用来对结构安全性极限状态进行动力分析，进而求出最优的设计参数，从而节省大量的计算时间成本。
如今，变分原理在优化问题的求解上有了广泛的应用，解决了很多实际应用中的复杂问题，在研究及应用方面也取得了很大的进展，例如变分原理和深度学习结合可以更好地解决各种机器学习和生物信息学问题，也使得它在优化问题的求解上更加有效和精确。
总之，变分原理是一种强大的优化方法，能够快速有效地求得最优解，其应用范围非常广泛，在众多优化问题中都发挥了至关重要的作用，未来变分原理还将在优化问题求解上发挥更大的作用，为社会经济发展提供更多有益的支持。
变分原理与变分法
变分原理与变分法一、变分原理的基本概念变分原理是针对泛函的一种表述方式。
所谓泛函是指一类函数的函数，这类函数可以是数学上的对象，也可以是物理上的对象。
变分原理是以泛函的极值问题为基础，通过对泛函进行变分计算，求取泛函的极值。
在变分原理中，被考虑的对象是泛函数而不是函数。
二、变分原理的基本原理三、变分法的基本步骤变分法是通过对泛函的变分计算来解决极值问题。
它的基本步骤如下：1.建立泛函：根据具体的问题，建立一个泛函表达式，其中包含了待求函数及其导数。
2.变分计算：对建立的泛函进行变分计算，即对泛函中的待求函数及其导数进行变动，求出泛函的变分表达式。
3.边界条件：根据具体问题的边界条件，对变分表达式进行求解，得到泛函的变分解。
4.极值问题：根据泛函的变分解，通过进一步的计算确定泛函的极值。
四、变分原理和变分法的应用1.物理学中的应用：变分原理和变分法在物理学中有广泛的应用。
例如，拉格朗日方程和哈密顿方程可以通过变分原理推导出来。
此外，在量子力学和场论中，变分法也被用于求解相应的泛函积分方程。
2.工程学中的应用：在工程学中，变分原理和变分法常用于求解最优化问题。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解出构件的最优形状和尺寸。
在控制理论中，变分法可以用于求解最优控制问题。
3.数学学科中的应用：变分原理和变分法在数学学科中也有重要的应用。
例如，在函数极值问题中，变分法可以用于求解一类非线性偏微分方程的临界点。
总之，变分原理与变分法是一种强有力的数学工具，具有广泛的应用领域。
通过应用变分原理和变分法，可以更好地解决求极值问题，进而推导出物理方程、最优设计和数学方程等相关问题的解。
因此，深入理解变分原理和变分法对于数学、物理、工程等学科的研究和应用具有重要的意义。
变分原理与变分法
变分原理与变分法在数学中，变分原理是由变分法所依赖的基本数学原理，它属于变分法的核心思想。
变分原理是这样一个原理：如果一个物理系统的运动方程可以通过一些函数的下极值原理来推导出来，那么这个物理系统的运动方程也可以通过其他的方法得到，比如经典的牛顿运动定律、拉格朗日方程或哈密顿方程等。
所以，变分原理可以看作是一种看待运动方程的新视角，它提供了一种新的方法来推导和解决运动方程。
变分法是以变分原理为基础的一种数学方法，通过对形式相对简单的函数进行一定的变分操作，使得问题的求解变得容易。
变分法的核心思想是将函数看作一个整体，而不是具体的数值，通过改变整体的形状，使其满足一定的条件，从而达到优化的目标。
在变分法中，我们将问题转化为一个泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，就可以得到满足条件的函数。
在最优控制问题中，变分法是一个常用的求解方法。
最优控制问题是研究如何通过调整一些输入信号，使得系统的性能达到最优，比如最小化成本、最大化效益等。
通过应用变分法，我们可以将最优控制问题转化为一个泛函的极值问题，通过对极值问题求解，可以得到最优的输入信号。
在极值问题中，变分法也有广泛的应用。
比如著名的布鲁诺-普恩哥雷极值问题，即求出一个连续函数，使得其在给定的边界条件下，一些泛函成为极值。
通过变分法，我们可以将这个极值问题转化为一个泛函的极值问题，通过求解极值问题，就可以得到满足要求的函数。
除了最优控制问题和极值问题，变分法在泛函分析和变分不等式研究中也有重要的应用。
在泛函分析中，变分法用于求解泛函的最小化问题，通过对泛函求导并使其为零，得到泛函的最小值。
而在变分不等式研究中，变分法用于构造适当的测试函数，将问题转化为一个较简单的形式，从而得到不等式的解析解或估计。
总结来说，变分原理与变分法是应用于最优控制问题、极值问题和泛函问题等研究领域中的基本数学工具。
通过将问题转化为泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，可以得到满足条件的函数。
变分原理及有限元中的应用
变分原理及有限元中的应用变分原理是应用于数学和物理学中的一种数学工具，它可以用来求解最优化问题和微分方程的边界值问题。
有限元方法是一种数值计算方法，通过将连续问题离散化为有限个小区域，从而将问题转化为代数方程组的求解。
变分原理在有限元方法中有着广泛的应用。
下面，我将详细解释变分原理以及在有限元方法中的应用。
首先，我们来讨论变分原理。
变分原理主要涉及到函数的变分，即函数微小变化的概念。
对于一个函数，我们可以将其表示为变量的函数形式，例如y(x)代表函数y关于自变量x的函数。
对于光的最短路径问题，我们希望找到一条路径使得光在这条路径上的传播时间最短。
我们可以将这个问题表述为，对于给定的两点A和B，找到一条路径y(x)使得穿过A和B的光线传播时间的变分最小。
在变分原理中，我们通过引入泛函的概念来描述函数的变分。
泛函是一个从函数空间到实数集的映射，通常表示为J[y(x)]。
对于光的最短路径问题，我们可以将光线传播时间表示为一个泛函。
\[ J[y(x)] = \int_a^b f(x,y,y')\,dx \]其中，f(x,y,y')是一个关于x，y和y'的函数，y'表示y关于x的导数。
变分原理的核心思想是，找到这样的函数y(x)使得泛函J[y(x)]取得极值。
如果y(x)是J[y(x)]的一个极值点，那么对于任意变化率为零的函数δy(x)，即满足δy(a) = δy(b) = 0，有\[ J[y + \epsilon δy] - J[y] = 0 \]对于任意的\[\epsilon\]。
这个条件叫做变分原理的欧拉-拉格朗日方程。
有限元方法是一种将连续问题离散化的数值计算方法。
其主要思想是将问题的求解域划分为多个小区域（称为单元），然后在每个单元内构建近似函数（称为形函数），利用这些形函数对问题的解进行近似求解。
有限元方法在工程领域有着广泛的应用，例如结构力学、流体力学和电磁场等领域。
变分法基本原理
变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。
然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。
步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。
变分法基本引理
变分法基本引理变分法是数学中一种重要的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
其基本引理为变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
本文将围绕变分法基本引理展开讨论，介绍其基本概念、原理和应用。
一、引言变分法是数学中研究变量函数的极值问题的一种方法。
其基本思想是通过将极值问题转化为一个函数的极值问题，从而求解原问题。
变分法的基本引理是变分法的基础，为后续的推导和应用提供了重要的理论支持。
二、变分法基本引理的概念变分法基本引理是对于函数的变分的一种数学表述。
它指出，如果函数在某一点处取得极值，那么在该点处的变分为零。
换言之，如果一个函数在某一点处的变分不为零，那么该点不是函数的极值点。
三、变分法基本引理的原理变分法基本引理可以通过泛函导数的概念来理解。
泛函导数是对函数的变分的一种推广，它表示函数在某一点处的变分相对于该点处的微小变动的比率。
根据变分法基本引理，如果一个函数在某一点处的泛函导数为零，那么该点是函数的极值点。
四、变分法基本引理的应用变分法基本引理在实际问题中有着广泛的应用。
以经济学为例，我们可以将经济系统的效用函数看作一个泛函，通过变分法求解该泛函的极值，得到最优的经济决策。
类似地，变分法在物理学中的应用也十分广泛，例如用于求解最短路径、最小作用量和最小曲面等问题。
五、变分法基本引理的思考虽然变分法基本引理在理论和应用上都具有重要的意义，但在实际问题中的应用也面临一定的挑战。
首先，变分法需要对变分进行严格的数学推导，这对于一些复杂的问题来说是一项困难的任务。
其次，变分法在求解极值问题时并不一定能得到全局最优解，而可能仅能得到局部最优解。
六、结论变分法基本引理是变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
通过对变分法基本引理的理论分析和应用示例的介绍，我们可以看到变分法在实际问题中的重要性和应用价值。
在今后的研究和应用中，我们应进一步深化对变分法的理解，不断拓展其应用领域，为解决复杂问题提供更有效的数学工具。
第二章、变分原理及应用
(2.1.4)
因为 ij 是任意的，所以(2.1.4)成立的充要条件是
0 ij
i (1, 2,...., n), j (1, 2,...., m)
(2.1.5)
(2.1.5)式的方程数量与待定参数 α 的数量相等，用于求解 α 各元素。这种方法称里兹(Litz)法。里兹 法和迦辽金法是连续介质问题中最经典、最常用、最著名的两种数值方法。 如果泛函 中 E 和 F 微分算子对 u 和它导数的最高次方为二次， 则称泛函 为二次泛函， 大量 工程与物理问题泛函都属于二次泛函。对于二次泛函(2.1.1)的近似解是参数 α 的二次多项式，可写成 1 (2.1.6) αT Kα Pα 2 其驻值 其中
利用虚应变
Ω
fi ui dΩ
Γ
pi ui dΓ ij ij dΩ
Ω
(2.3.4)
ij ( ui ' j u j 'i ) / 2
1
(2.3.5)
以及应力张量的对称性、散度定理（Green 公式）和分部积分，对(2.3.4)式的右边积分作如下变换
Ω
而对于非线弹性材料，两者并不相等，只是对全功 W ij ij 是互余关系。
(2.3.3)
3.2 虚位移（虚功）原理
虚功原理或虚位移原理： 外力在虚位移所做的功 （虚功） 等于物体内部应力在虚应变上所做的功， 其中虚位移指的是在物体几何约束所允许位移的任意微小量 ui 。 把虚功原理应用到固体力学中可得
4
所以余应力原理或最小余能原理与几何协调条件和位移边界条件等效。 在以上推导中应用了小变 形假定，从而得出的是小变形条件下的几何方程。如果采用虚应力原理作为数值解法中的等效积分形 式，则平衡方程和应力边界条件是它的约束条件，而几何方程和位移边界条件是近似得到满足。
变分原理表达式以及每一项意义结构化学
变分原理表达式以及每一项意义结构化学摘要：1.变分原理简介2.变分原理表达式3.各项意义结构化学解释4.变分原理在实际应用中的优势5.总结正文：【1】变分原理简介变分原理，作为量子力学、量子场论以及量子引力等领域的基础理论，是一种描述物理系统演化的数学方法。
它通过寻找一个函数，使该函数关于物理量的期望值达到极小，从而得到系统在给定条件下的最优性质。
【2】变分原理表达式变分原理的表达式一般形式为：δS = 0其中，S 是作用量，δ 表示微小变化，这个方程表明在物理量发生微小变化时，作用量的变化率为零。
【3】各项意义结构化学解释1.波函数：描述量子系统状态的复数值函数，用符号Ψ表示。
在变分原理中，波函数的模方表示系统在给定状态下的概率。
2.哈密顿算符：描述量子系统演化的算符，包含系统能量、动量等物理量。
在变分原理中，我们要找到一个合适的哈密顿算符，使得对应的波函数满足薛定谔方程。
3.拉格朗日算符：描述力学系统演化的算符，包含系统广义坐标和速度。
在变分原理中，拉格朗日算符与哈密顿算符相结合，用于求解系统的运动方程。
【4】变分原理在实际应用中的优势1.普适性：变分原理适用于各种量子力学体系，包括粒子物理、凝聚态物理、光学等领域。
2.准确性：通过寻找使作用量极小的波函数，变分原理可以得到精确的物理结果。
3.灵活性：变分原理可以与其他数学方法相结合，如微扰论、路径积分等，从而拓展其在理论物理中的应用。
【5】总结变分原理作为量子力学的基础理论，在描述物理系统演化的过程中具有重要作用。
通过掌握变分原理的表达式和各项意义结构化学，我们可以更好地理解量子系统的性质，并为实际应用提供理论依据。
变分原理及其应用
变分原理及其应用在物理学和工程学中，变分原理被广泛应用于探究自然界和工程问题中涉及的基本定律和最优解。
变分法是一种将问题转化为“寻找使某个变量极小或极大”的数学方法，通过求解变分以获得问题的解决方案。
变分原理基础变分原理最早由伯努利家族的哥哥丹尼尔·伯努利在18世纪提出，也是最早应用变分法的学者之一。
变分原理的基本思想是将一个问题的求解转化为求解特定的函数。
例如，对于固体力学问题，我们希望求解固体的应力分布，也就是求解固体中任意两点间的内应力。
这种情况下，通过变分法，我们可以将问题简化为求解某个应变能的变分，从而推导出最小能量原理。
变分的意义在于确定使所求函数取得最值的“变量”，通过对变量的操作来得到一组动态的函数。
变分也可以被看作一种一阶微分运算。
具有不同但至关重要的现实意义的两个经典例子是勒让德原理和哈密顿-雅可比原理。
勒让德原理勒让德原理是力学的一个基本原理。
勒让德原理的本质是最小化能量的原理（最小作用量原理），它体现了自然界中存在的最小基本作用量。
对于力学问题，勒让德原理是在保证物理系统动力学表现为微扰线性的情况下，以引入变分运算来表述一个完整的力学原理。
在使用勒让德原理进行力学系统建模时，我们需要：首先确定系统的能量，系统数学表示为拉格朗日量；其次，使用变分法求解系统拉格朗日量的变分，从而确定系统遵循的运动方程；最后，利用运动方程分析系统的行为。
哈密顿-雅可比原理哈密顿-雅可比原理是关于机械运动理论的一个基本原理。
该原理强调机械作用与物质粒子的动力学特性和几何特性之间的紧密联系。
在哈密顿-雅可比原理之中，能量被视为基本概念，被公认为是一个机械运动的根本特性，机械运动使能量的变化具有一个特定的意义，这一变化往往是非线性的。
应用实例通过变分原理的应用，人们已经在许多物理学和工程学的领域中发现了许多有趣的现象。
以下是一些具体细节：建筑工程建筑工程中可以使用变分方法来寻求最小表面积问题的解决方案。
变分原理
虚位移:是约束许可下某瞬时可能发生的微小位移.它只是一个抽象的几何概念,与系统或质点的实际运动,力的作用,时间历程,初始条件和能量无关.
三个位移可由时间概念和约束概念加以联系和区分:
变分原理是针对以下积分形式的标量（泛函）Π而言的：
其中u是未知函数，F，E是确定的算子， 对于小变化的δu使得Π取得驻值的函数u就是连续体问题的解。因此，对于连续体问题的解，有变分为零即：
δ Π=0
这就是变分原理。
力学变分原理
首先来说明几个概念:
定律:对物理现象进行观察,实验,在积累了大量事实和实验结果的基础上经过归纳,总结而得到的一们科学的
基本规律.如:牛顿三定律.
定理:从基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的进一步反映事物间的内在联系的数学关系表达式.如:
动量定理等
原理:也是有基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的命题.其不同与定理之处在于:原理具有高度的概括
性,可以认为与基本定律等价.
变分原理的特征在于它只是提供了一个准则.根据这个准则可以把相同条件下系统的真实运动与约束所允许的一切可能运动区分出来,从而得到系统的真实运动.
力学的变分原理可分为两大类:
在定常约束条件下,虚位移为可能发生而未发生的可能位移,实位移是众多虚位移中的一个.
在非定常约束条件下,虚位移与时间无关,实位移是众多可能位移中的一个.
从数学概念上,可能位移是满足指定位移约束条件的位移自变函数,而虚位移是位移自变函数的变分.
通过前面的一些基础，我们现在来说什么是变分原理
变分原理在物理学中的应用及发展
变分原理在物理学中的应用及发展变分原理是数学中的一个重要概念，它源于泊松在研究理论力学问题时的思考。
变分原理主要指当一个物理量满足某种极值条件时，它的变化关系可以用变分来表示。
在物理学中，这个概念被广泛应用于解决各种实际问题，成为物理学研究中不可或缺的工具。
一、变分原理的发展历程在物理学中，变分原理的应用最早可以追溯到十八世纪的欧拉。
他运用变分原理解决了最小曲面问题，并以此为基础建立了最小曲面的理论。
十九世纪末，海森堡进一步发展了欧拉的方法，将这个抽象概念应用于解决理论力学中的动力学问题，建立了现代物理学中的泛函分析体系。
而到了二十世纪，相对论、量子力学等新的物理学理论的出现，推动了变分原理的发展。
分别有哈姆顿和费曼等人运用变分原理证明了量子力学的路径积分表述和Feynman-Kac公式，从而使量子力学的研究进一步深入。
二、变分原理在物理学中的应用1.哈密顿原理哈密顿原理是变分原理在力学中最常见的应用，其基本思想是：系统在两个状态之间的演化，其实满足的是一个极值条件。
设系统的动力学变量为q，能量为E，则有：∫L(q,q;t)dt=E其中L为系统的拉格朗日量，t为时间。
它表述了系统能量和运动轨迹之间的关系。
而哈密顿原理则更加具体地描述了系统的动力学量在时间上的变化规律：∫ṗq-H(q,p;t)dt=0其中H为系统的哈密顿量，p是系统的广义动量。
哈密顿原理不仅为各种力学问题的求解提供了有效的数学工具，同时也揭示了物体在运动过程中所遵循的规律。
2.极小作用原理极小作用原理是变分原理在光学、电磁学等领域中的应用。
它的核心思想是路径确定原理：光线的传播必须遵循时间的最短路径，电磁波的传播必须遵循能量的最小耗散路径。
通过变分求解，可以求出最佳路径，从而解释和预测实验现象。
3.广义相对论的引力场方程位于四维闵可夫斯基时空中的物体对时空的影响体现为线性的协变波动，从而难以预测黑洞重力场、宇宙膨胀等现象。
为此，爱因斯坦引入了一种新的度量张量gμv，用于描述时空的弯曲程度。
变分原理
变分原理泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。
弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数，当然应力或者应变分量是坐标的函数。
因此，应变能就是泛函。
在数学分析中，讨论函数和函数的极值。
变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。
下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。
如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。
§1 泛函和泛函的极值首先引入泛函的概念。
泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值作为变分法的简单例题。
考察x，y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y（x）中的最短曲线。
（补充图）设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。
于是，这一曲线的长度为连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。
满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式，L [y]依赖于y（x），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。
求解最短程线问题，即在满足边界条件在x=x1时，y（x1）=y1，y'（x1）= y'1在x=x2时，y（x2）=y2，y'（x1）= y'2的函数y（x）中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。
因此y（x）称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件y(x1)=y1，y(x2)=y2的极小值问题。
§2 泛函极值的必要条件-欧拉方程假设函数y（x）是使得泛函L [y]为最小的特定函数（真实的）。
变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。
变分原理
变分原理变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。
把一个力学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，就称为该物理问题（或其他学科的问物理题）的变分原理。
变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。
泛函定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系。
如果对于变量x的某一区域中的每一个x值，y都有一值与之对应，或者数y 对应于数x的关系成立，则我们称变量y是变量x的函数，即y=y（x）。
如果对于某一类函数{y（x）}中的每一函数y（x），Π有一值与之对应，或者数Π对应于函数y（x）的关系成立，则称变量Π是函数y（x）的泛函，即Π=Π[y(x)]。
所以函数是变量和变量的关系，泛函是变量与函数的关系，泛函是一种广义的函数。
如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。
1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变分原理的方法。
日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界级大师。
变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如著名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等。
在当代变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。
在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。
近似计算方法主要有：李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法、屈列弗兹法等。
例如：① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）；CB AC EB AE +>+总结：实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
变分基本知识及变分法
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
变分原理
第二章 变分原理变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。
变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。
关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。
1872年Betti 提出了功的互等定理。
1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。
德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。
我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。
我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。
1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。
1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义 分原理的方法。
1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。
1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。
§ 2.1 历史上著名的变分法命题历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。
这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。
1、最速降线命题1695年，Bernoulli 以公开信方式提出了最速降线命题。
如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A 、B 两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB 光滑下滑的时间最短。
设A 点与坐标原点O 重合，B 点的坐标为(x 1,y 1)，滑体质量为m ，从O 点下滑至P 点时的速度为v ，根据能量恒原理，有：221mv mgy =(2-1) 用s 表示弧长，则沿弧切向方向的速度为： 图2-1 最速降线图gy dtdsv 2==(2-2) 曲线弧长为：dx dx dy dy dx ds 2221⎪⎭⎫⎝⎛+=+= (2-3)于是，时间为：()dx gyy v ds dt 212'+== (2-4)下降时间为：()⎰⎰+==12'21x Tdx gyy dt T (2-5) 经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为：()()θθθcos 12sin 2-=-=Cy Cx (2-6)2、短程线命题设()0,,=z y x ϕ是如图2-2所示的曲面，在此曲面上有A 、B 两点，试问如何连接可使此曲面上A 、B 两点间的距离最短。
四、多电子体系变分原理变分原理定...
四、多电子体系线性变分法小结波函数的线性变分展开给我们的计算提供了一种高度可控波函数的线性变分展开给我们的计算提供了种高度可控性。
在一系列变化矢量空间中进行的变分计算中，我们可以得到一系列单调下降的能量，它们是精确能量的上限。
并且在m 维空间中计算的个本征能量是相应的个最低精确能量的近m m似。
非线性展开在非线性变分方法中，会出现变分参数的非线性项。
这时，变分能量仍然是基态能量的上限，但是变分确定的激发态能量不定是精确激发态能量的上界一定是精确激发态能量的上界。
另一方面，非线性变分方法得到的非线性波函数不再是正交另方面非线性变分方法得到的非线性波函数不再是正交的，因而不再是哈密顿算符的对角表象的基矢。
因此在非线性情况下，不同的解之间不再存在一个简单关系，甚至解的数目通常也是不知道的。
因此，计算的每个稳定点必须小心地判断它是也是不知道的。
因此，计算的每一个稳定点必须小心地判断它是否是薛定谔方程的一个可以接受的解。
精确波函数和能量的大小一致性：A A =AB BψψψAB A BE E E =+波函数是分离可乘的（multiplicatively separable ），能量是分离可加（additively separable ）的。
线性变分的大小致性线性变分的大小一致性前已述及，对于精确波函数大小一致性是自然满足的。
但是对于线性变分波函数，需要仔细考察大小一致性问题。
大小一致性也是满足的但对于某些截断的对于FCI，大小致性也是满足的，但对于某些截断的Fock空间问题，大小一致性要求是不满足的。
相应的这些近似线性变分方法就不适合应用于研究大体系。
正则哈特里‐福克理论我们可以通过变分方法求解HF方程。
利用变分方法求解闭壳层HF方程得到的多电子状态称为HF态。
HF态是一个变分优化的行列式，这样的波函数代表电子作为独立粒子运动分优化的行列式这样的波函数代表电子作为独立粒子运动的状态。
这样的一个状态可以通过求解有效单电子薛定谔方程得到一组单电子波函数，然后对N个独立的有效哈密顿量的本征函数反对称化得到。
变分原理-第1章
即在满足 y ( x1 ) = y1 ， y ( x 2 ) = y 2 的端点条件下，求函数 y = y ( x) 使以下泛函
S = ∫ 2πyds = ∫ 2πy 1 + y ' dx
x1 x2 2
L=
x1
∫
0
dy 1 + dx dx
2
(1-9)
悬索重心高度为
1 1 1 dy y c = ∫ yds = ∫ y 1 + dx L0 L0 dx
L x 2
(1-10)
以上变分问题是：在通过已知两点，并满足式(1-9)条件的一切曲线中，求 使泛函式(1-10)取极小值的函数 y (x ) 。
设 P（x，y）是曲线上某一点。重物在 P 点的速度 v 可由能量守恒原理求 得：
1 2 mv = mgy 2 ⇒ v = 2 gy
令 ds 为曲线的弧长的微分，则
ds = v = 2 gy dt
⇒
dt =
ds 2 gy
=
1 + y ' dx 2 gy
2
式中 y ′ =
dy dx
因此，重物从 A 滑到 B 所需时间 T 为：
若干“子域” （即单元） ，然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试 函数在各个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均 满足一定的条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。 有限单元法应用的领域十分广泛。不论是固体力学、流体力学，还是电磁 学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，静力分析、动力分析或稳定性 分析，不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法均能适用。 电子计算机技术的发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元 法要求求解大规模的联立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、 大容量的计算机是很难想像的。有限单元法的基本思想早在四十年代就提出 来了，但是直到五十年代中期，由于电子计算机的问世才开始大量应用和发 展。
变分原理
重要内容
• 变分原理在结构中的应用 • 加权残值法 • 有限元的基本概念
平面问题有限元 空间问题有限元
①空间杆、梁单元
②空间连续体常用单元 ③薄板弯曲有限单元 • 组合船体结构分析
变分原理
• 变分是力学分析中的数学工具 • 变分原理主要应用于：
有限元、能量法、加权残值法
也可以说： 变分是结构数值计算的基础，没有变分
dx x0 x
泛函的变分定义与函数的微分定义很相似
自变函数y (x)的变分 δy (x)
引起泛函的增量
y ( x ) y ( x ) y ( x )
如何理解函数的微小变化那？ 有两条同类的曲线y= y (x)， y1= y 1(x) 自变函数的微小改变指：
y= y (x)和 y1= y 1(x)对有定义的一切x值 y (x)和 y 1(x)之间差的模很小，即两条曲线 纵坐标之间很接近。
y (x) -y 1(x) 很小时，我们称其为 零阶接近。
结构势能= 应变能-力函数
Π=V-U 结构势能就是位移函数的泛函，Π[δ]
结构可以有无数条变形曲线，而达到力的 平衡条件时结构的真实曲线就应当使得泛函Π 的值达到最小的函数δ。求变形曲线就是求变 分的过程。
变分的特性 1. 函数定义与泛函定义的比较
函数y=y (x)
泛函Π[ y（x）]
X 自变量
y（x）自变函数
这一数学工具就没有计算结构力学
1.1 变分的基本概念
① 泛函的概念 函数论：自变量、函数 变分原理：自变函数、泛函
举例1：平面上两个给定点： P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2） 连接该两点的曲线的长度L
显然连接P1、P2的曲线有无数条 Y
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§9 变分原理9.1 弹性变形体的功能原理学习要点：本节讨论弹性体的功能原理。
能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。
而功能关系是能量原理的基础。
首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．态，二者彼此独立而且无任何关系。
．．．．．．．．．．．．．．．．建立弹性体的功能关系。
功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。
9.1.1 静力可能的应力：假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。
表面积为S 可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ。
+Sσ显然S=Su假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件这一组应力分量称为静力可能的应力。
静力可能的应力未必是真实的应力，．．．．．．．．．．．．．．．．因为真实的应力还．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．必须满足应力表达的变形协调方程．．．．．．．．．．．．．．．，但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。
．．．．．．．．．为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。
9.1.2 几何可能的位移：假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件这一组位移称为几何可能的位移。
几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程．．．．．．．．．．；在面力已知的边界．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
但是，真实的位移必然是．．．S．σ．上，必须满足以位移表示的面力边界条件几何可能的。
为了区别于真实的位移，用表示几何可能的位移。
几何可能的位移产生的应变分量记作。
9.1.3 功能关系：对于上述的静力可能的应力 、几何可能的位移以及其对应的应变分量，设F b i 和F s i 分别表示物体单位体积的体力和单位面积的面力 （面力也包括在位移边界S u 的约束反力）。
则不难证明，有以下恒等式证明：由于 和 满足几何方程，而且应力 是对称的，所以将上式代入等式的右边，并且利用高斯积分公式，可得由于满足面力边界条件，上式的第一个积分为⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂+∂+∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z y x )(,由于满足平衡微分方程，所以第二个积分为将上述结果回代，可以证明：为恒等式。
揭示了弹性体的功能关系。
9.1.4 真实应力和位移分量表达的功能关系功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能位移上所做的功，等于任意一组静力可能应力在上述几何可能位移对应的应变分量上所做的功。
这里需要强调指出的是：1）对于功能关系的证明，没有涉及材料的性质，．．．．．．．．．．．．．．．．．．因此适用于任何材料。
当然，证明时使用了小变形假设，因此必须是满足小变．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．形．条件．．．．．．．．．．以及．．．．．．．．．．．．．、几何可能的位移．．。
2）其次，功能关系中，静力可能的应力其对应的应变分量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。
．．．．．．．．．．．．．．．．假如静力可能的应力和几何可能的应变分量满足材料本构方程时，则对应的静力可能的应力和几何可能的位移以及其对应的应变分量均成为真实的应力，位移和应变分量。
对于真实的应力，位移和应变分量，功能关系为显然这是应变能表达式。
不过在应变能公式中，假设外力，即体力和面力是由零缓慢地增加到最后的数值的，因此应变能关系式中有1/2。
而在功能关系公式的推导中，并没有这一加载限制。
功能关系是弹性力学中的一个普遍的能量关系，这一原理将用于推导其它的弹性力学变分原理。
9.2 变形体的虚功原理学习要点：本节讨论的重点是弹性体的虚功原理。
首先定义虚位移概念，通过将几何可能的位移定义为真实位移与虚位移．．．．．．．．．．．．．．．．．．的和．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
对于虚位移所．．，可以确定虚位移．．．是位移边界条件所容许的位移微小改变量产生的虚应变，记作δεij。
根据弹性体的功能关系，可以得到虚功方程表达式δW =δU。
虚功方程的意义为：如果弹性体是处于静力平衡状态的，外力．．．．．在．虚位移上所做的．．，即．．虚应变能．．．．。
．．．．．虚功．．，等于．．．．．．上所做的．．．真实应力分量．．．．虚功．．．．．．在．对应的虚应变这就是虚功原理。
虚功原理等价于平衡微分方程和面力边界条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，它满足了静力平衡的要求。
9.2.1 虚位移和虚应变功是指力与力作用点处沿力方向位移的乘积。
显然，功包括力和位移两个基本量。
如果力或者应力在其自身引起的真实位移或者应变上作功．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，这种功称为实功；如果力或者应力在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，这种功称．．．．．．．．其他某种原因引起的微小位移或者应变上作功为虚功。
设几何可能的位移为这里u i为真实位移，δ u i称为虚位移。
虚位移是位移边界条件所容许的上，应该满足位移边界条件，位移的微小改变量。
由于几何可能的位移在边界Su因此,边界．．．．S．u．，有δ ．．u．i=0．．．将几何可能位移公式代入几何方程显然，上式右边的第一项是真实应变，而第二项是虚位移所产生的虚应变，记作δεij。
因此，上式可以写作几何可能的位移对应的应变可以用真实应变与虚位移所产生的虚应变之和表示。
9.2.2 虚功原理如果用虚位移表达的几何可能位移、和真实应力作为静力可能应力代入功能关系表达式，注意到真．．．．实应力和位移是满足功能关系的．．．．．．．．．．．．．．，因此可以得到用虚位移δ u i和虚应变δεij表达的虚功方程上，虚位移是说明：上式中应力分量为实际应力。
注意到在位移边界Su恒等于零的，所以在上述面积分中仅需要在面力边界Sσ上完成。
就力学意义而言，虚功原理表达式的等号的左边为外力在虚位移中所做的功，称为外力虚功δ W；右边为应力分量在虚位移对应的虚应变上产生的应变．．能．，称为虚应变能δ U。
即δ W =δU根据上述分析，可以得出结论：如果弹性体是处于静力平衡状态的，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变而言，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。
这就是虚功原理。
9.2.3 虚功原理的意义对于虚功方程，其右边的积分可以写作上式在推导中应用了在位移边界．．．．．。
现在将上式．．δ ．．u．i．＝．0．的边界条件．．．．．．．．S．u．上，回代到虚功方程，整理可得因为虚位移．．．．，因此上式的成立，要求在弹性体内．．．δ． ．u．i．是任意的在位移已知边界S上,有u显然，虚功原理等价于平衡微分方程和面力边界条件，它满足了静力平衡的要求。
应该指出：虚功原理的推导并没有涉及任何材料性质，因此适用于任何材料。
当然，由于使用了小变形假设，即线性的几何方程，因此虚功原理必须是在．．．．．．．．小变形条件下适用于任何材料．．．．．．．．．．．．．。
．除此以外应力和应变分量之间不需要满足任何关系。
9.3 位移变分方程--最小势能原理学习要点:本节讨论最小势能原理。
首先根据虚功原理推导应变能的一阶变分表达式，然后根据任意几何可能位移场与真实位移场的总势能的关系，得到真实位移场的总势能取最小值的结论。
最小势能原理用数学方程描述：总势能一阶变分为零，而且二阶变分大于零。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力边界．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．条件．．，所以，对于一些按实际情况简化后的弹性力学问题，可以通过最小势能原理推导出其对应的平衡微分方程和面力边界条件。
本节通过例题对此作了说明。
推导中设应变能密度函数是应变分量的函数，因此最小势能原理是位移解法．．．．．．．．．．．在变分原理中的应用．．．．．．．．．。
进入本节内容学习之前，应该首先学习有关泛函和变分的基础知识。
9.3.1 总势能下面根据虚功方程推导仅应用于弹性体．．．．．．．的最小势能原理。
设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能密度函数的一阶变分．．为什么是变分？？上式推导中，应用了格林公式，将上式代入虚功方程，则上式表示外力虚功．．．．等于弹性体应变能．．．．．．的一阶变．．．分。
定义外力势能为注意到虚位移与真实的应力无关，因此在虚位移过程中外力保持不变，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．即变分与外力无关。
．．．．．．．．．而且积分和变分两种运算次序可以交换的，所以外力势能的一阶变分可以写作回代可得其中E t 称为总势能，它是应变分量的泛函。
由于应变分量通过几何方程可以用位移分量表示，所以总势能又是位移分量的泛函。
公式表明，在所有几何可能的位移中，．．．．．．．．．．．．真实位移．．．．将使．．弹性体总势能的一阶变．．．．．．．．．．分为零．．．，因此．．．真实位移使总势能取驻值．．．．．．．．．．．9.3.2 总势能的变分（不讲！！难！！！）以下证明:对于弹性体的稳定平衡状态，总势能将取最小值。
将几何可能位移对应的应变代入总势能表达式，可以得到几何可能位移对应的总势能将上式减去真实应变分量的总势能，可得将按泰勒级数展开，并略去二阶以上的小量，有回代可得由于总势能的一阶变分为零，因此9.3.3 最小势能原理总势能的二阶变分为由于由于应变能密度函数为正定函数，即只有在所有的应变分量全部为零时其才可能为零，否则总是大于零的,因此所以以上证明了在所有的可能位移场中，真实位移场的总势能取最小．．．．．．．．．．．．值．。
所以这一原理称为最小势能原理。
数学描述即总势能的一阶变分为零．．．．．．．．．．．．．，而且二阶变分是正定的（大于零）．．．．．．．．．．。
必须强调指出的是，真实位移与其他的可能位移之间的差别在于是否满足静力平衡条件，所以说最小势能原理是用变分形式表达的平衡条件。
通过总势能的一阶变分为零，可以推导出平衡微分方程和面力边界条件，这和虚功原理是相同的，即最小势能原理也等价于平衡微分方程和面力边界条件。