高中数学人教A版选修4-5优化练习：第四讲 达标检测 Word版含解析

达标检测

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．用数学归纳法证明“对任意x ＞0和正整数n ，都有x n ＋x n －2＋x n －4＋…＋1

x n －4＋

1x

n －2

＋1

x n ≥n ＋1”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( )

A ．n 0＝1

B ．n 0＝2

C ．n 0＝1,2

D ．以上答案均不正确

解析：当n 0＝1时，x ＋1

x ≥2成立，故选A. 答案：A

2．从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n 级台阶共有f (n )种走法，则下面的猜想正确的是( ) A ．f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ≥3) B ．f (n )＝2f (n －1)(n ≥2) C ．f (n )＝2f (n －1)－1(n ≥2) D ． f (n )＝f (n －1) f (n －2)(n ≥3)

解析：分别取n ＝1,2,3,4验证，得f (n )＝⎩⎨⎧

n ，n ＝1，2，

f (n －1)＋f (n －2)，n ≥3.

答案：A

3．设凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角形的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1

D ．f (n )＋n －2

解析：凸n ＋1边形的对角线的条数等于凸n 边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n －2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f (n )＋n －1条对角线，故选C. 答案：C

4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，n ∈N ＋能被9整除”，利用归纳假设证n ＝k ＋1，只需展开( )

A．(k＋3)3B．(k＋2)3

C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3

解析：n＝k时，式子为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3，

n＝k＋1时，式子为(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3，

故只需展开(k＋3)3.

答案：A

5．下列说法中正确的是()

A．若一个命题当n＝1,2时为真，则此命题为真命题

B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则这个命题为真命题C．若一个命题当n＝1,2时为真，则当n＝3时这个命题也为真

D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则此命题为真命题

解析：由完全归纳法可知，只有当n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k ＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A，B，C项均不全面．答案：D

6．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为()

A．f(k)＋1 B．f(k)＋k

C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k)

解析：第k＋1条直线与前k条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此时应比原先增加k个交点．

答案：B

7．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除时，若n＝k时，命题成立，欲证当n＝k＋1时命题成立，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为()

A．56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)

B．34×34k＋1＋52×52k

C．34k＋1＋52k＋1

D．25(34k＋1＋52k＋1)

解析：由34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1＋25×34k＋1－25×34k＋1

＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．

8．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( ) A.4(n ＋1)2 B ．

2

n (n ＋1)

C.12n －1

D ．

12n －1

解析：由a 2＝S 2－S 1＝4a 2－1得a 2＝13＝2

2×3

由a 3＝S 3－S 2＝9a 3－4a 2得a 3＝12a 2＝16＝2

3×4

.

由a 4＝S 4－S 3＝16a 4－9a 3得a 4＝35a 3＝110＝24×5，猜想a n ＝2

n (n ＋1).

答案：B

9．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N ＋)时，从k 到k ＋1，左边需要增加的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1

k ＋1

D ．

2k ＋3

k ＋1

解析：当n ＝k 时左边的最后一项是2k ，n ＝k ＋1时左边的最后一项是2k ＋2， 而左边各项都是连续的，所以n ＝k ＋1时比n ＝k 时左边少了(k ＋1)，而多了 (2k ＋1)·(2k ＋2)．因此增加的代数式是(2k ＋1)(2k ＋2)

k ＋1＝2(2k ＋1)．

答案：B

10．把正整数按如图所示的规律排序，则从2 018到2 020的箭头方向依次为( )

A ．↓→

B ．→↓

C ．↑→

D ．→↑

解析：由2 018＝4×504＋2，而a n ＝4n 是每一个下边不封闭的正方形左上顶点的数，故应选D.