有理数的混合运算的讲义

有理数的混合运算

一．常规计算

有理数混合运算的运算顺序： 1、 先乘方，再乘除，最后加减； 2、 同级运算，从左到右进行；

3、 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行. 例题：

1.计算：（1）（﹣1）3﹣1

4×[2﹣（﹣3）2]； （2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×1

3；

（3）−1

8

×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）2017×3

4

+1|.

练习： 1．计算：

（1）﹣12018+|﹣4|+2×（﹣3）； （2）（）×（﹣24）

2．计算：

（1）23×（1﹣）×0.5 （2）﹣22+[18﹣（﹣3）×2]÷4

3．计算题 （1）（﹣5） （2）|﹣|÷（）﹣．

二． 运算律、规律计算

有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律. 例题： 1.计算：

（1）﹣14﹣（2

3

﹣3

4

+1

6

）×24； （2）7

22

×（﹣5）+（﹣7

22

）×9﹣7

22

×8；

（3）|4﹣41

2|+（−1

2+2

3−1

6）÷1

12−22﹣（+5）．

2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题． 1+3=4=22; 1+3+5=9=32; 1+3+5+7=16=42; 1+3+5+7+9=25=52;

（1）试猜想1+3+5+7+9+ (19)

（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）= ；（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2015+2017.

练习：

1．观察下列关于自然数的等式：

①2×0+1=12，

②4×2+1=32，

③8×6+1=72，

④16×14+1=152；

…

（1）请按规律写出第⑤个式子：；

（2）根据你发现的规律写出第n个等式，并验证其正确性．

2．阅读材料，求1+3+32+33+34+……+32017的值．

解：设S=1+3+32+33+34+…+32017……………①

①×3得：3S=3+32+33+34+35+……+32018……………②

②﹣①得：2S=32018﹣1

所以S=

请你仿上述方法计算：

（1）1+2+22+23+……+22017

（2）1+5+52+53+……+5n（其中n为正整数）．

3．观察下列等式：

①1×3+1=4；②3×5+1=16；③5×7+1=36；…

根据上述式子的规律，解答下列问题：

（1）第④个等式为；

（2）写出第n个等式，并验证其正确性．

三．求代数式的值

重要结论：

互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；

互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；

最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；

例题：

1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017的值．

练习：

1．小明参加“趣味数学”选修课，课上老师给出一个问题，小明看了很为难，你能帮他一下吗？已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，则+1+m﹣cd的值为多少？

2．已知：a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值最小的数．求：代数式

的值．

3．已知：有理数m所表示的点到原点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：2（a+b）﹣（﹣3cd）﹣|m|的值．

四．实际应用

利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：

1. 审：审清题意,找出数量关系；

2. 列：根据所找的数量关系列出算式；

3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；

4. 答：给出题目要求的答案.

例题：

1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：

（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；

（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；

（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？

（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．

练习：

1．国庆黄金周期间，小明一家去峨眉山旅游．现已知峨眉山地区海拔每升高50米，气温就下降0.3℃，位于峨眉山山脚的报国寺海拔高度约为530米，峨眉山山顶的金顶海拔高度约为3080米，某天山脚的报国寺最低气温为14℃，此时山顶的金顶气温为多少？

2.在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以近似地用T=10﹣来表示，请解答下列问题：（1）若在该地有一座600m高的小山，则山顶的温度是多少？

（2）若在某处测得温度为7.6℃，则该项处的高度约为多少？

（3）在该地随着高度的升高，每升高1m，温度是怎样变化的？

3．参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司规定的报销细则如下表．住院医疗费（元）报销率（%）

不超过500元的部分

超过500至1000元的部分超过1000至3000元的部分0 60 80

①某人住院治疗花去医疗费800元，那么此人能得到保险公司报销的金额是多少元？

②某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元，那么此人的实际医疗费是多少元？