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北师大版九年级数学上册第一章测试题

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北师大版九年级数学上册第一章测试题

北师大版九年级数学上册第一章测试题

北师大版九年级(上) 第一章 证明(二）复习题一、选择题1、已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为( ）A.36°B.45° C 。

60° D 。

72°2、等腰直角三角形的斜边长为a ，则其斜边上的高为（ ） A 。

a 23 B 。

a 2 C 。

2a D.a 42 3、如图,△ABC 中，AB=BD=AC ，AD=CD ，则∠ADB 的度数是( ）A 。

36°B 。

45°C 。

60° D.72°(第3题图） (第4题图)4、如图,△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，CD 、BE 是△ABC 的角平分线，CD 、BE 相交于点O,则图中等腰三角形有（ ）A 。

6个 B.7个 C 。

8个 D 。

9个5。

逆命题“两直线平行,同旁内角互补”的原命题是（ )A 。

两直线平行，同位角相等 B.两直线平行，内错角相等C.同旁内角互补，两直线平行 D 。

同位角相等，两直线平行二、填空题6、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 、6cm ，则该等腰三角形的周长为 cm.7、如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 度；8、若等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则此等腰三角形的顶角为 .9、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，垂足为E ，则∠DBC 的度数是 .10、△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D 。

若DC=7，则D 到AB 的距离是 .11、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 交于D 点，则∠BCD 的度数为 .12、如图，∠AOP=∠BOP=15°,PC ∥OA,PD ⊥OA,若PC=4，则PD 的长为13、已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E,若BC = 10 cm,则△ODE 的周长14、在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB=AD ；②∠BAC=∠DAC ；③BC=DC ，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题:15、在△ABC 中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 。

北师大版九年级数学上册-第一章-特殊的平行四边形-单元测试题(有答案)

北师大版九年级数学上册-第一章-特殊的平行四边形-单元测试题(有答案)

九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元测试题班级：姓名：成绩：一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列属于菱形性质的是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．对角互补 D．四个角都是直角2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则正确的结论是（）A．AB 垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．四边形ABCD是菱形3．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．154．如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，连结CE．若该矩形的周长为20，则△CDE的周长为（）A．10 B．9 C．8 D．55．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD 交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有（）A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10 C．AC⊥BD D．∠1＝∠26．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°7．如图，在正方形ABCD中，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE，BE得到△ABE，则△ABE与正方形ABCD的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．8．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（）A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（）A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（6，3）二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）10．矩形（非正方形）四个内角的平分线围成的四边形是形．（填特殊四边形）11．如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥BC于点F．若EF ＝4，则点E到边AB的距离为．12．在菱形ABCD中，AC＝12cm，若菱形ABCD的面积是96cm2，则AB＝．13．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，∠AOB＝60°，AB＝10，E、F 分别为AO、AD的中点，则EF的长是．14．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是．15．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC、BD相交于点O．若BO＝3，则菱形ABCD的面积为．16．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝3．延长BC到点E，使CE＝1，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为时，△ABP和△DCE全等．17．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，点D是CG边上一点，H是AF 的中点，那么CH的长是．三．解答题（共7小题，共66分）18．已知：如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别是E，F，并且BE ＝DF．求证；四边形ABCD是菱形．20．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE＝2∠BAE，求∠EAC的度数．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，连结AC．（1）求证：四边形AECD是矩形；（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，22．如图，在边长12的正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在边AD上，且AF＝3DF，连接BE，BF，EF，请判断△BEF的形状，并说明理由．23．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．（1）求证：四边形OCED是正方形．（2）若AC ＝，则点E到边AB 的距离为．24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故原命题错误，不符合题意；B、菱形的对角线互相垂直，故原命题正确，符合题意；C、菱形的对角相等，故原命题错误，不符合题意；D、矩形的四个角都是直角，菱形不一定是，故原命题错误，不符合题意，故选：B．2．解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB垂直平分CD，故选：A．3．解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO ＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD 的面积＝×6×8＝24，故选：B．4．解：∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，∴AO＝OC，∵过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，∴AE＝CE，∵矩形的周长为20，∴AD+DC＝AB+BC＝10，∴△CDE的周长为CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝10，故选：A．5．解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形．B、正确．∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2+BC2＝62+82＝102，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形．C、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形，D、正确，∵∠1＝∠2，∴AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∵∠OAD＝55°，∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°故选：A．7．解：过E作EF⊥AB于F，由题意得，△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∴EF ＝BE，设正方形的边长为a，则AB＝BE＝BC＝a，∴EF ＝a，∴S△ABE ＝AB•EF ＝•a a ＝a，S正方形ABCD＝a2，∴△ABE与正方形ABCD的面积比为1：4，故选：C．8．解：由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定四边形ABCD为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，故选：C．9．解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠FCD+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，∴DE＝4．故选：C．10．解：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD∵AB的中点是坐标原点，∴AO＝BO＝3，∴DO ＝＝3∴点C坐标（6，3）故选：D．二．填空题11．解：∵AF，BE是矩形的内角平分线．∴∠ABF＝∠BAF﹣90°．故∠1＝∠2＝90°．同理可证四边形GMON四个内角都是90°，则四边形GMON为矩形．又∵有矩形ABCD且AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD四角的平分线，∴有等腰直角△DOC，等腰直角△AMD，等腰直角△BNC，AD＝BC．∴OD＝OC，△AMD≌△BNC，∴NC＝DM，∴NC﹣OC＝DM﹣OD，即OM＝ON，∴矩形GMON为正方形，故答案为：正方．12．解：∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC，∵E为BD上的一点，EF＝4，∴点E到AB的距离＝EF＝4，故答案为：4．13．解：如图，∵四边形ABCD是菱形∴AO＝CO＝6cm，BO＝DO，AC⊥BD ∵S菱形ABCD ＝×AC×BD＝96∴BD＝16cm∴BO＝DO＝8cm∴AB ＝＝10cm故答案为：10cm14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC，DO＝BO，AC＝BD，∴DO＝CO＝AO＝BO，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝10，∴AO＝OB＝DO＝10，∵E、F分别为AO、AD的中点，∴EF ＝DO ＝＝5，故答案为：5．15．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAE＝45°＝∠ACB．∵AE＝AC，∴∠ACE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°．∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．故答案为22.5°．16．解：∵菱形ABCD的周长是20，∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，∴AO ＝＝4∴AC＝8，BD＝6∴菱形ABCD 的面积＝AC×BD＝24，故答案为：2417．解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝1，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝1，所以t＝0.5，因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝1，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝8﹣2t＝1，解得t＝3.5．所以，当t的值为0.5或3.5秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为：0.5秒或3.5秒．18．解：∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC ＝BC ＝，CF ＝CE＝3，∴∠ACF＝45°+45°＝90°，在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF ＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH ＝AF ＝．故答案为：．三．解答题19．解：∵DE⊥AB于E，且E为AB的中点，∴AD＝BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BA，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°；∵BD＝4，∴DO＝2，AD＝4，∴AO ＝＝2，∴AC＝4；∴AB ＝＝＝4，∴菱形ABCD的周长为4×4＝16；菱形ABCD 的面积为：BD•AC ＝×4×4＝8．20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥DC∴∠AEB＝∠AFD＝90°．又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（AAS）∴DA＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形．21．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC，OD＝OB，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∵∠BAD＝90°，∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝30°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣30°＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠EAC＝∠BAO﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°．22．解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，∴四边形AECD是平行四边形．又∵∠D＝90°，∴四边形AECD是矩形．（2）∵AC平分∠DAB．∴∠BAC＝∠DAC．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∴∠BAC＝∠ACB．∴BA＝BC＝5．∵EC＝2，∴BE＝3．∴在Rt△ABE中，AE ＝＝＝4．23．解：△BEF是直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°．∵点E是CD的中点，∴DE＝CE ＝CD＝6．∵AF＝3DF，∴DF ＝AD＝3．∴AF＝3DF＝9．在Rt△ABF中，由勾股定理可得BF2＝AB2+AF2＝144+81＝225，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2＝CB2+CE2＝144+36＝180，在Rt△DEF中，由勾股定理可得EF2＝DF2+DE2＝9+36＝45，∵BE2+EF2＝180+45＝225，BF2＝225，∴BE2+EF2＝BF2．∴△BEF是直角三角形．24．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，在正方形ABCD中，AC⊥BD，OD＝OC，∴∠COD＝90°，∴四边形OCED是正方形．（2）解：如图，连接EO并延长，交AB于G，交CD于H，由（1）知：四边形OCED是正方形，∴CD⊥OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴EG⊥AB，∵AC ＝，∴AB＝BC＝1＝GH，Rt△DCE中，∵DE＝CE，EH⊥CD，∴DH＝CH，∴EH ＝CD＝0.5，∴EG＝1+0.5＝1.5，∴点E到边AB的距离为1.5；故答案为：1.5．25．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．。

北师大版九年级数学上册第一章同步测试题及答案

北师大版九年级数学上册第一章同步测试题及答案

北师大版九年级数学上册第一章同步测试题及答案1.1菱形的性质与判定一、选择题1. 如图，在菱形ABCD 中，AB =4，∠B =60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，则的△AEF 的面积是（ ）A. 4√3B. 3√3C. 2√3D. √32. 如图，在菱形ABCD 中，AB =8，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE =AF ，过点E 作EG ∥AD 交CD 于点G ，过点F 作FH ∥AB 交BC 于点H ，EG 与FH 交于点O ．当四边形AEOF 与四边形CGOH 的周长之差为12时，AE 的值为（ ）A. 6.5B. 6C. 5.5D. 53. 如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 交于点E ，交BD 于点F ，且点E 是AB 中点，则tan ∠BFE 的值是（ ）A. 12B. 2C. √33D. √3 4. 如图，在菱形中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于（ ） A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 145. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A. 18B. 18√3C. 36D. 36√36. 如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A. 6√3米B. 6米C. 3√3米D. 3米（x 7. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=kx＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A. -12B. -27C. -32D. -368. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=√3，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A. 4B. 4√3C. 4√7D. 289. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A. 两组对边分别平行B. 两组对角分别相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直10. 某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A. 20mB. 25mC. 30mD. 35m11. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB 的度数是（）A. 108°B. 72°C. 90°D. 100°12. 在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）A. 60°B. 55°C. 45°D. 30°13. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（）A. 10B. 20C. 24D. 4814. 在菱形ABCD中，下列结论错误的是（）A. BO=DOB. ∠DAC=∠BACC. AC⊥BDD. AO=DO15. 如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（）A. 30B. 24C. 18D. 6二、填空题（共5题）16. 如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形．17. 如图，在△ABC中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF 是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是________就可以证明这个多边形是菱形18. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：_________，使四边形ABCD成为菱形．AB的长为半19. 如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是_________20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：________ ，可使它成为菱形.三、解答题（共5题）21. 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）求证：BC=ED．22. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．23. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．24. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CE∥AD交AB于E，AE=AD．求证：四边形AECD是菱形25. 如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．试判断四边形ABCD的形状并证明答案一、选择题1.【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=AB×sin60°=2√3∴EF=AE=2√3∴AM=AE•sin60°=3，∴△AEF的面积是：12EF•AM=12×2√3×3=3√3.故选:B.2.【答案】C【解析】根据题意可得四边形AEOF和四边形CGOH为菱形，且OH=EB，设AE=x，则BE=8－x，根据菱形的周长之差为12，可得两个菱形的边长之差为3，即x－（8－x）=3，解得：x=5．5考点：菱形的性质3. 【答案】D【解析】根据菱形的性质，在菱形ABCD中，AB=BC，E为AB的中点，因此可知BE=12BC，又由CE⊥AB，可知△BCA为直角三角形，∠BCE=30°，∠EBC=60°，再由菱形的对角线平分每一组对角，可得∠EBF=12∠EBC=30°，因此可求∠BFE=60°，进而可得tan∠BFE=√3．故选D考点：菱形的性质，解直角三角形4. 【答案】A【解析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故选A．点评：本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．5. 【答案】B【解析】过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=3√3，∴菱形ABCD的面积是6×3√3=18√3，故选B．考点：菱形的性质．6. 【答案】A【解析】本题考查的是菱形的性质，直角三角形的性质解决即可.因为菱形周长为24米，所以边长为6米，因为∠BAD=60°，所以∠BAO=30°，∴OA=3√3米,∴AC=6√3米. 故选A.7. 【答案】C【解析】∵A（﹣3，4），∴OA==5，∵四边形OABC 是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B 的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，故B 的坐标为：（﹣8，4），将点B 的坐标代入得，4=，解得：k=﹣32．故选C ． 8. 【答案】C【解析】∵E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴AC=2EF=2√3.∵菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，∴∠AOB=90°，AO=12AC=√3，BO=12BD=2.∴AB=√A02+BO 2=√7，∴C 菱形ABCD=4AB=4√7.故选C.9. 【答案】D【解析】A 、不正确，两组对边分别平行；B 、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确；C 、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D 、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选D ．10. 【答案】C【解析】如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF,∴∠BMG= ∠BGM=60°，∴△BMG 是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m ），同理可证：AF=EF=2.5（m ）∴AB=BG+GF +AF=2.5×3=7.5（m ），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m ），故选C ．考点：菱形的性质．11. 【答案】B【解析】如图，连接AP ，∵在菱形ABCD 中，∠ADC=72°，BD 为菱形ABCD 的对角线，∴∠ADP=∠CDP=12 ∠ADC=36°.∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，∴PA=PD.∴∠DAP=∠ADP=36°.∴∠APB= ∠DAP+∠ADP=72°.又∵菱形ABCD 是关于对角线BD 对称的，∴∠CPB=∠APB=72°.故选B.点睛：连接AP ，利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质求得∠APB 的度数是解本题的基础，而利用通常容易忽略的“菱形是关于对称轴所在直线对称的”，由轴对称的性质得到∠CPB=∠APB 才是解决本题的关键.12. 【答案】A【解析】如图，连接AC ，∵AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，∴AB= AC ，AD=AC.又∵在菱形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∴AB=BC=CD=AD=AC.∴△ABC 和△ADC 都是等边三角形.∴∠BAC=∠DAC=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°，∠FA C=12∠DAC=30°，∴∠EAF=∠EAC+∠FAC=60°.故选A.13.【答案】C【解析】由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是：×6×8=24．故选C ．考点：菱形的性质．14. 【答案】D【解析】根据菱形的性质：“菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角”可知：选项A 、B 、C 的结论都是正确的，只有选项D 的结论不一定成立.故选D.15. 【答案】B【解析】∵P ，Q 分别是AD ，AC 的中点，∴PQ 是△ADC的中位线，∴DC=2PQ=6.又∵在菱形ABCD 中，AB=BC=AD=CD ，∴C 菱形ABCD =6+6+6+6=24.故选B.二、填空题（共5题）16. 【答案】AB=AC 或∠B=∠C【解析】∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形.所以当四边形AEDF 中有一组邻边相等时，它就是菱形了.由此在△ABC 中可添加条件：（1）AB=AC 或（2）∠B=∠C.（1）当添加条件“AB=AC ”时， ∵AD 是△ABC 的高，AB=AC ，∴点D 是BC 边的中点，又∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴AE=12AB ，AF=12AC ，∴AE=AF，∴平行四边形AEDF 是菱形.（2）当添加条件“∠B=∠C”时， 则由∠B=∠C 可得AB=AC ，同（1）的方法可证得：AE=AF ，∴平行四边形AEDF 是菱形.17. 【答案】AB=AC ，答案不唯一【解析】根据DE∥AC，DF∥AB，可直接判断出四边形AEDF 是平行四边形，要使其变为菱形，只要邻边相等即可，从而可以得出．条件AE=AF （或AD 平分角BAC ，等）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF 是平行四边形，又AE=AF ，∴四边形AEDF 是菱形．考点: 菱形的判定.18. 【答案】AB=AD ，答案不唯一【解析】由已知条件可证四边形ABCD是平行四边形，而要使平行四边形是菱形，根据菱形的判定方法可添加：（1）四边形ABCD中，有一组邻边相等；（2）四边形ABCD的对角线互相垂直；因此，本题的答案不唯一，如可添加：AB=AD，证明如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形.点睛：本题方法不唯一，由已知条件可证得四边形ABCD是平行四边形，结合菱形判定方法中的：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线相等的平行四边形是菱形；就可得到本题添加条件的方法有3种：（1）直接添加四组邻边中的任意一组相等；（2）直接添加对角线AC⊥BD；（3）在题中添加能够证明（1）或（2）的其它条件.19. 【答案】菱形【解析】∵分别以A和B为圆心，大于1AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四边2形ADBC是菱形．故答案为：菱形．20. 【答案】AB=BC或AC⊥BD等【解析】有一组领边相等的平行四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．本题的答案有很多种，只要写出符合条件的即可．考点：菱形的性质．三、解答题（共5题）21. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，可证得：CE=AE，再由△ACD与△ACE关于直线AC对称，可得AD=AE=CE=CD，从而可得四边形ADCE是菱形；（2）由（1）可得DC∥BE，DC=AE=BE，从而可证得：四边形BCDE是平行四边形，就可得到：BC=DE.（1）证明：∵∠C=90°，点E为AB的中点，∴EA=EC.∵△ACD与△ACE关于直线AC对称．∴△ACD≌△ACE，∴EA=EC=DA=DC，∴四边形ADCE是菱形；（2）∵四边形ADCE是菱形，∴CD∥AE且CD=AE，∵AE=EB，∴CD∥EB且CD=EB∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE=BC．22. 【答案】（1）证明见解析；（2）4√3【解析】（1）由△ABC是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点可证得：EF=EC=FC；由△DEC是等边三角形可得：DE=DC=EC，从而可得EF=FC=CD=DE，由此可得：四边形EFCD是菱形；（2）连接DF交AC于点G，由已知易证EF=EC=4，再由菱形的对角线互相垂直平分，可得EG=2，再由勾股定理可得：FG=2√3，从而可得DF=4√3.解：（1）∵△ABC 与△CDE 都是等边三角形∴AB=AC=BC，ED=DC=EC∵点E 、F 分别为AC 、BC 的中点∴EF=12AB ，EC=12AC ，FC=12BC∴EF=EC=FC，∴EF=FC=ED=DC，∴四边形EFCD 是菱形．（2）连接DF ，与EC 相交于点G ，∵四边形EFCD 是菱形，∴DF⊥EC，垂足为G ，EG=12EC ，∴∠EGF=90°，又∵AB=8， EF=12AB ，EC=12AC ，∴EF=4，EC=4，EG=2，∴GF=√EF 2−EG 2=2√3，∴DF=2GF=4√3.23. 【答案】（1）证明见解析；（2）直角三角形．解：（1）四边形ABCD 中，AB∥CD，过C 作CE∥AD 交AB 于E ，则四边形AECD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），因为AB∥CD，所以∠EAC =∠ACD ；AC 平分∠BAD，所以∠EAC =∠CAD ，因此∠ACD =∠CAD ，所以AD=CD ，所以四边形AECD 是菱形.（2）由（1）知四边形AECD 是菱形，所以AE=CE ；点E 是AB 的中点，AE=BE ，所以CE=AE=BE ，所以△ABC 是直角三角形（斜边上的中线等于斜边的一半是直角三角形）考点：平行四边形，菱形，直角三角形点评：本题考查平行四边形，菱形，直角三角形，要求考生掌握平行四边形的判定方法，菱形的判定方法和性质，直角三角形的性质24.【答案】证明见解析.【解析】由AB∥CD，CE∥AD可证得：四边形AECD是平行四边形，再由AE=AD即可证得平行四边形AECD 是菱形.解：∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AE=AD，∴四边形AECD是菱形.25. 【答案】四边形ABCD是菱形．证明见解析.【解析】过点A作AR⊥BC于点R，AS⊥CD于点S，由已知可得：AD∥BC，AB∥CD，从而得到四边形ABCD 是平行四边形；由矩形纸条等宽可得AR=AS，由面积法可证得：BC=DC，从而可得：平行四边形ABCD是菱形.解：四边形ABCD是菱形．理由如下：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR=AS，∵S平行四边形ABCD=AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形.点睛：本题第一步容易证得四边形ABCD是平行四边形；第二步抓住题中条件“等宽的矩形”通过作辅助线AR⊥BC，AS⊥CD，就可得AR=AS，再用“面积法”证得：BC=CD是解决本题的关键.1.2矩形的性质与判定一、选择题1. 如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. BD的长度增大C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD3. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A. 17B. 18C. 19D. 204. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A. 10cmB. 8cmC. 6cmD. 5cm5. 如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（）A. 8B. 10C. 12D. 186. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（）A. 4B. 3C. 2D. 17. 一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是212，则该矩形的面积为（）A. 602B. 702C. 1202D. 14028. 如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=√3，则OE=（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A. 16B. 22或16C. 26D. 22或2610. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）A. 对角线相等B. 两组对边分别平行C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等11. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（）A. 16cmB. 22cmC. 26cmD. 22cm或26cm12. 矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）A. 57.5°B. 32.5°C. 57.5°，23.5°D. 57.5°，32.5°13. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）A. 对角线相等B. 对角线平分一组对角C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直14. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A. 对角线相等的四边形B. 对角线垂直的四边形C. 对角线互相平分且相等的四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形15. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹的锐角的度数为（）A. 80°B. 60°C. 45°D. 40°二、填空题16. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．17. 平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC 平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________18. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（只填一个）．19. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________（填上你认为正确的一个答案即可）20. 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为15cm，宽为8cm，对角线为17cm，这个桌面_________（填”合格”或”不合格”）三、解答题21. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形22. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积23. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形24. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？25. 如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE答案一、选择题1. 【答案】C【解析】由题意可知，当向右扭动框架时，BD 可伸长，故BD 的长度变大，四边形ABCD 由矩形变为平行四边形 ，因为四条边的长度不变，所以四边形ABCD 的周长不变.原来矩形ABCD 的面积等于BC 乘以AB ，变化后平行四边形ABCD 的面积等于底乘以高，即BC 乘以BC 边上的高，BC 边上的高小于AB ，所以四边形ABCD 的面积变小了，故A,B,D 说法正确，C 说法错误.故正确的选项是C.考点：1.四边形面积计算；2.四边形的不稳定性.2. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA =∠BAD=90°，AC=BD ，OA=AC ，OB=BD ，∴OA=OB，∴A、B 、C 正确，D 错误考点：矩形的性质3. 【答案】D【解析】∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB ，OM 为△ACD 的中位线，∴OM=12CD=2.5，AC=√52+122=13，∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，∴BO=12AC=6.5,∴四边形ABOM 的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故选D ．考点： 矩形的性质．4. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OC=12AC ，OD=OB=12BD ，AC=BD ，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB 是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D ．考点：1．矩形的性质；2．等边三角形的判定与性质．5. 【答案】C【解析】根据∠AOD=120°可得∠AOB=60°，根据矩形的性质可得AO=BO ，则△AOB 是正三角形，则AO=AB=6，则AC=2AO=12．考点：矩形的性质．6. 【答案】A【解析】在矩形ABCD 中，∠ABC =90°，∵∠ACB =30°，AB =2，∴AC =2AB =2×2=4，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD =AC =4．故选A ．7. 【答案】A【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，故矩形的面积=21÷（50%-15%）=21÷35%=60（cm 2）．故选A ．考点：矩形的性质．8.【答案】A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°，∴△ADO是等边三角形，∴OA=√3，∠OAD=60°，∴∠OAE= 30°，∵OE⊥AC，∴△OAE是一个含30°的直角三角形，∴OE=1，故选A．9.【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，①当AE=3，DE=5时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=3，即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+3+8+3=22；②当AE=5，DE=3时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=5，即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+5+8+5=26；即矩形的周长是22或26，故选D．考点：矩形的性质.10.【答案】A【解析】∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．11. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，当AE=3cm时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；当AE=5cm时，AB=AE=5cm=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm；故选D．考点：矩形的性质．12. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，∴OB=OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，∴∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，∠OAB=∠OBA=1×2×（180°﹣65°）=57.5°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°﹣57.5°=32.5°，即（180°﹣∠AOB）=12∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=32.5°，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=57.5°，对角线与各边所成的角度是57.5°和32.5°，故选D．点睛：本题考查了矩形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能正确运用矩形的性质进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等且互相平分．13. 【答案】A【解析】菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形的对角线互相平分、相等，∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，故选A．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．14. 【答案】B【解析】∵四边形EFGH是矩形，∴∠E=90°，∵EF∥AC，EH∥BD，∴∠E+∠EAG=180°，∠E+∠EBO=180°，∴∠EAO=∠E BO=90°，∴四边形AEBO是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故选B．15. 【答案】A【解析】如图,根据题意可得：∠1=40°，∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∴∠OBC=∠1=40°，则∠AOB=2∠1=80°．故选A．考点：矩形的性质．二、填空题16. 【答案】AC=BD．答案不唯一【解析】添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一．点睛：本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．17.【答案】①⑤【解析】要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可；故答案为：①⑤．18. 【答案】∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）【解析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定．根据对角线相等的平行四边形是矩形，填空即可∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为AC=BD．19. 【答案】∠DAB=90°【解析】可以添加条件∠DAB=90°.∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形.故答案为：∠DAB=90°.20. 【答案】合格【解析】勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形的直角三角形.∵∴这个桌面合格.考点：勾股定理的逆定理点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理的逆定理，即可完成.三、解答题21. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由（1）知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．∴EH=GF．在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．∴GH=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°-α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=180°−a2=90°−a2．∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．∴∠DHG=∠DGH=180°−(180−a)2=a2．∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．考点：1.矩形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的判定与性质．22. 【答案】12.【解析】利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得CD（或BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD•BD=AD•CD．解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD．在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，∴BD=AE，∴平行四边形AEBD是矩形．BC=3，∴AD=√52−32=4，在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=12∴四边形AEBD的面积为：BD•AD=CD•AD=3×4=12．点睛：本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边形为矩形”推知平行四边形AEBD是矩形是解题的难点．23. 【答案】证明见解析.【解析】欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠F.∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．24. 【答案】AD＝140cm．【解析】过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出CM=DM=60cm，代入AD=AM+DM求出即可．解：过C作CM∥AB，交AD于M，∵∠A=120°，∠B=60°，∴∠A+∠B=180°，∴AM∥BC，∵AB∥CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，∵AD∥BC，∠C=150°，∴∠D=180°﹣150°=30°，∴∠MCD=60°﹣30°=30°=∠D，∴CM=DM=60cm，∴AD=60cm+80cm=140cm．25. 【答案】证明见解析.【解析】先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．（∠BAC+∠FAB）=90°，证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=12∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．点睛：本题主要考查矩形的判定和性质，由角平分线及等腰三角形的性质证明AE∥BD是解题的关键．1.3正方形的性质与判定一、选择题（2）如果a≥0，那么（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；1. 下列五个命题：=a;（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中不正确命题的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2. 下列命题中，正确命题是（）A. 两条对角线相等的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形D. 两条对角线平分且相等的四边形是正方形3. 下列命题中，真命题是（）A. 两条对角线垂直的四边形是菱形B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形C. 两条对角线相等的四边形是矩形D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形4. 下列说法中错误的是（）A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形D. 两条对角线相等的菱形是正方形5. 下列说法中，不正确的是（）A. 有三个角是直角的四边形是矩形B. 对角线相等的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的矩形是正方形D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形6. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ①④⑤C. ①③④D. ③④⑤7. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC⊥BD时，它是菱形C. 当∠ABC=90°时，它是矩形D. 当AC=BD时，它是正方形8. 下列命题中正确的是（）A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形D. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形9. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A. ∠D=90°B. AB=CDC. AD=BCD. BC=CD10. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A. 22.5°角B. 30°角C. 45°角D. 60°角11. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A. AC=BD，AB∥CD，AB=CDB. AD∥BC，∠A=∠CC. AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD. AO=CO，BO=DO，AB=BC12. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A. （1）（2）（5）B. （2）（3）（5）C. （1）（4）（5）D. （1）（2）（3）13. 下列说法中，错误的是（）A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C. 四个角都相等的四边形是矩形。

北师大版九年级数学上册第一章测试卷

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第一章：特殊平行四边形质量检测一、选择题(共36分，每小题6分)1.顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（）A．平行四边形B．矩形 C．菱形D．正方形2、2.下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形3.已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC 于点E，AD=6cm，则OE的长为（）A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm4.四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（）A．①④⇒⑥B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥D．②③⇒④6.菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（）A．24 B．20 C．10 D．510.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°二、填空题（共24分，每小题6分）7、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=8、如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是9、10.如图，已知平行四边形A B C D，下列条件：（1）A C＝B D，（2）A B ＝A D，（3）∠1＝∠2，（4）A B⊥B C中，能说明平行四边形AB C D是矩形的有___________.10、将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图8所示的图形,已知∠CED=60°,则∠AED 的大小是_______.三、证明题（每题20分，计40分）11、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．12、如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．。

北师大版九年级数学上册第一章全章测试题

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oD ABCE第一章 特殊平行四边形周周测9一、 选择题（每小题3分，共36分） 1、下列命题中，真命题是（ ） A 、两条对角线垂直的四边形是菱形 B 、对角线垂直且相等的四边形是正方形C 、两条对角线相等的四边形是矩形D 、两条对角线相等的平行四边形是矩形2．下列条件中，不能判定四边形ABCD 是菱形的是（ ） A ．□ ABCD 中，AB =BC B ．□ ABCD 中，AC ⊥BD C ．□ ABCD 中，AC =BDD ．□ ABCD 中，AC 平分∠BAD3、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ） A 、正方形 B 、等腰梯形 C 、菱形 D 、矩形4、菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（ ） A 、24 B 、20 C 、10 D 、5 5.如图，在矩形中，分别为边的中点.若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A.3 B.4 C.6 D.86．已知：如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC,∠ADE=21∠CDE,那么∠BDC 等于（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5° 7．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ）A ．23cmB ．24cmC ．23cmD ．223cm8、下列命题是真命题的是（ ）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C. 有三个角是直角的四边形是矩形D. 有三条边相等的四边形是菱形 9、下列判定正确的是 （ ）A 、对角线互相垂直的四边形是菱形B 、两角相等的四边形是等腰梯形C 、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D 、两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形10、在矩形ABCD 中，AB =2AD ，E 是CD 上一点，且AE =AB ，则∠CBE 等于（ ） A.30° B.22.5° C.15° D.以上答案都不对 11．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，DABCE∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1 处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ） A ．3B ．2C ．3D ．3212、如图7，O 是菱形ABCD 的对角线AC BD ，的交点，E F ，分别是OA OC ，的中点．下列结论：①ADE EOD S S =△△；②四边形BFDE 是中心对称图形；③DEF △是轴对称图形；④ADE EDO ∠=∠．其中错误．．的结论有 ． Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个二、 填空题（每小题3分，共12分）13．顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 14．如图，一斜坡AB 的中点为D ，BC =1，CD =1.5，则斜坡的坡长 ．15．已知矩形ABCD ，AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂直平分线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，则AE 的长为_______cm16、如图，菱形ABCD 的边长为4，过点A ，C 作对角线A C 的垂线，分别交CB 和AD 的延长线于点E ，F ，AE ＝3，则四边形AECF 的周长为____．三、 解答题（共52分）17、(6分)如图，△ABC 中，BD 、CE 是△ABC 的两条高，点F 、M 分别是DE 、BC 的中点。

北师大版数学九年级上册第一章考试试题及答案

北师大版数学九年级上册第一章考试试题及答案

北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形试题一．选择题（共8小题，每题3分）1．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH 的长是（）A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.52．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．不能判断四边形ABCD是矩形的是（0为对角线的交点）（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB CD，AC=BD D．AB CD，OA=OC，OB=OD4．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加适当的条件使四边形ABCD成为菱形．下列添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D．BO=DO5．能判定四边形ABCD是菱形的条件是（）A．对角线AC平分对角线BD，且AC⊥BDB．对角线AC平分对角线BD，且∠A=∠CC．对角线AC平分对角线BD，且平分∠A和∠CD．对角线AC平分∠A和∠C，且∠A=∠C6．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（）A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于17．矩形各内角的平分线能围成一个（）A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形8．如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（）A．对角线互相垂直且相等 B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相平分二．填空题（共6小题，每题3分）9．如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为_________．10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是_________A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④11．_________的矩形是正方形，_________的菱形是正方形．12．若四边形ABCD是矩形，请补充条件_________（写一个即可），使矩形ABCD是正方形．13．如图，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：_________；②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：_________．14．在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件_________时，四边形PEMF为矩形．三．解答题（共11小题）15．（6分）如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EF GH是正方形．16．（6分）已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．17．（6分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB 交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．18．（6分）已知：如图，M为▱ABCD的AD边上的中点，且MB=MC，求证：▱ABCD是矩形．19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD 的面积．20．（8分）如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．（1）求证：AC=FG．（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？21．（8分）如图，E是等边△ABC的BC边上一点，以AE为边作等边△AEF，连接CF，在CF延长线取一点D，使∠DAF=∠EFC．试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．22．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于点E．试说明：四边形OBEC是菱形．23．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，判断四边形CODE的形状，并计算其周长．24．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．25．（8分）如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH 的长是（）A．7.5 B．7 C．6.5 D． 5.5考点：矩形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：几何综合题．分析：过C作DH的垂线CE交DH于E，证明四边形BCEH是矩形．所以求出HE的长；再求出∠DCE=30°，又因为CD=11，所以求出DE，进而求出DH的长．解答：解：过C作DH的垂线CE交DH于E，∵DH⊥AB，CB⊥AB，∴CB∥DH又CE⊥DH，∴四边形BCEH是矩形．∵HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，∴∠ADH=30°，又∵∠ADC=90°∴∠CDE=60°，∴∠DCE=30°，∴在Rt△CED中，DE=CD=5.5，∴DH=2+5.5=7.5．故选A．点评：本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的一个重要性质：30°的锐角所对的直角边是斜边的一半；以及勾股定理的运用．2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：矩形的判定与性质．分析：直接利用矩形的性质与判定定理求解即可求得答案．解答：解：①矩形是轴对称图形，两组对边的中点的连线所在的直线是它的对称轴，故错误；②两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；③有两个邻角相等的平行四边形是矩形，故错误；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；正确；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故错误．故选A．点评：此题考查了矩形的性质与判定定理．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．3．不能判断四边形ABCD是矩形的是（0为对角线的交点）（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B． OA=OB=OC=ODC．AB CD，AC=BD D． AB CD，OA=OC，OB=OD考点：矩形的判定．分析：矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．解答：解：A、由“AB=CD，AD=BC”可以判定四边形ABCD是平行四边形，又∠BAD=90°，则根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可以判定平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；B、根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；C、根据AB CD得到四边形是平行四边形，根据AC=BD，利用对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意；D、只能得到四边形是平行四边形，故本选项符合题意；故选：D．点评：本题考查的是矩形的判定定理，但考生应注意的是由矩形的判定引申出来的各图形的判定．难度一般．4．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加适当的条件使四边形ABCD成为菱形．下列添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D．BO=DO考点：菱形的判定．分析：通过菱形的判定定理进行分析解答．解答：解：A项根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一定理可以推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，B项根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一定理可以推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，C项根据题意还可以推出四边形ABCD为等腰梯形，故本选项正确，D项根据题意可以推出Rt△AOD≌Rt△COB，即可推出OA=OC，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形这一定理推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，故选择C．点评：本题主要考查菱形的判定，关键在于熟练掌握菱形的判定定理．5．能判定四边形ABCD是菱形的条件是（）A．对角线AC平分对角线BD，且AC⊥BDB．对角线AC平分对角线BD，且∠A=∠CC．对角线AC平分对角线BD，且平分∠A和∠CD．对角线AC平分∠A和∠C，且∠A=∠C考点：菱形的判定．专题：推理填空题．分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．解答：解：A、C的反例如图，AC垂直平分BD，但AO≠OC；B只能确定为平行四边形．故选D．点评：主要考查了菱形的判定．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．6．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（）A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于1考点：菱形的判定与性质．分析：利用割补法得出阴影部分面积为四边形EFMN的面积，进而利用直角三角形的性质得出EG＜1，即可得出答案．解答：解：如图所示：作EN∥AB，FM∥CD，过点E作EG⊥MN于点G，可得阴影部分面等于四边形EFMN的面积，则四边形EFMN是平行四边形，且EN=FM=1，∵EN=1，∴EG＜1，∴它们的公共部分（即阴影部分）的面积小于1．故选：C．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积求法，得出阴影部分面等于四边形EFMN的面积是解题关键．7．矩形各内角的平分线能围成一个（）A．矩形B．菱形C．等腰梯形D．正方形考点：正方形的判定；矩形的性质．分析：根据矩形的性质及角平分线的性质进行分析即可．解答：解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个角是90°又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形．故选：D．点评：此题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角8．如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（）A．对角线互相垂直且相等B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相平分考点：正方形的判定；平行四边形的性质．分析：根据正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形对各个选项进行分析．解答：解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，同时具有矩形和菱形的性质的平行四边形是正方形，故本选项正确；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非正方形，故本选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；D、平行四边形的对角线都互相平分，这是平行四边形的性质．故本选项错误；故选A．点评：此题主要考查正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形．二．填空题（共6小题）9．如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为7．考点：菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：作辅助线延长EA，BC相交于点F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，因为∠EAB=∠CBA=120°，可得∠FAB=∠FBA=60°，可得△FAB为等边三角形，容易证明四边形EFCD是菱形，所以S ABCDE=S CDEF ﹣S△ABF由此即可求解．解答：解：如图，延长EA，BC相交于点F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，因为∠EAB=∠CBA=120°，所以∠FAB=∠FBA=60°，所以△FAB为等边三角形，AF=FB=AB=2，所以CD=DE=EF=FC=4，所以四边形EFCD是菱形，所以S ABCDE=S CDEF﹣S△ABF点评：本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是CA、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．解答：解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；C、由①②不能判断四边形是正方形；D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．故选C．点评：此题用到的知识点是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形．灵活掌握这些判定定理是解本题的关键．11．有一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角为直角的菱形是正方形．考点：正方形的判定．分析：根据正方形的判定定理（有一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角为直角的菱形是正方形）求解即可求得答案．解答：解：有一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角为直角的菱形是正方形．故答案为：有一组邻边相等，有一个角为直角．点评：此题考查了正方形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．12．若四边形ABCD是矩形，请补充条件此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等（写一个即可），使矩形ABCD是正方形．考点：正方形的判定．专题：开放型．分析：由四边形ABCD是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴当AC⊥BD或AB=AD时，矩形ABCD是正方形．故答案为：此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等．点评：此题考查了正方形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．13．如图，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：∠BAC=90°；②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：AD平分∠BAC．考点：菱形的判定；矩形的判定．分析：已知DE∥AB，DF∥AC，则有四边形AEDF是平行四边形．①因为有一直角的平行四边形是矩形，可添加条件：∠BAC=90°；②邻边相等的平行四边形是菱形，可添加条件：AD平分∠BAC．解答：解：∵DE∥AB，DF∥AC，AF、AE分别在AB、AC上∴DE∥AF，DF∥AE∴四边形AEDF是平行四边形①∵∠BAC=90°∴四边形AEDF是矩形；②∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF∴∠ADE=∠DAE∴AE=DE∴▱AEDF是菱形．故答案为∠BAC=90°，AD平分∠BAC．点评：本题考查菱形和矩形的判定．本题是开放题，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，再证明结论．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．14．在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件AB=BC时，四边形PEMF为矩形．考点：矩形的判定与性质．分析：根据已知条件、矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC=90°，易得AB=BC时能满足∠BMC=90°的条件．解答：解：AB=BC时，四边形PEMF是矩形．∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB=BC，∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠MCD=45°，∴∠BMC=90°，又∵PE⊥MC，PF⊥MB，∴∠PFM=∠PEM=90°，∴四边形PEMF是矩形．点评：此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，是一开放型试题，是中考命题的热点．三．解答题（共11小题）15．如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：此题先根据正方形ABCD的性质，可证△AEH≌△CGF≌△DHG（SAS），得四边形EFGH 为菱形，再求一个角是直角从而证明它是正方形．解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG，又∵BE=CF=DG=AH，∴CG=DH=AE=BF∴△AEH≌△CGF≌△DHG，∴EF=FG=GH=HE，∠EFB=∠HEA，∴四边形EFGH为菱形，∵∠EFB+∠FEB=90°，∠EFB=∠HEA，∴∠FEB+∠HEA=90°，∴四边形EFGH是正方形．点评：本题主要考查了正方形的判定方法：一角是直角的菱形是正方形．16．已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．分析：①根据DE∥AC，DF∥AB可判断四边形AEDF为平行四边形；②由四边形AEDF为菱形，能得出AD为∠BAC的平分线即可；③由四边形AEDF为正方形，得∠BAC=90°，即当△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．解答：解：①∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形；②∵四边形AEDF为菱形，∴AD平分∠BAC，则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形；③由四边形AEDF为正方形，∴∠BAC=90°，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．点评：本题考查了正方形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质以及矩形的性质．17．已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．考点：矩形的判定．分析：首先利用外角性质得出∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE 是矩形．解答：证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠FAE=∠EAC，∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵BD=DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四边形AEDB是平行四边形是解题关键．18．已知：如图，M为▱ABCD的AD边上的中点，且MB=MC，求证：▱ABCD是矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：根据平行四边形的两组对边分别相等可知△ABM≌△DCM，可知∠A+∠D=180°，所以是矩形．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD．∵AM=DM，MB=MC，∴△ABM≌△DCM．∴∠A=∠D．∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°．∴∠A=90°．∴▱ABCD是矩形．点评：此题主要考查了矩形的判定，即有一个角是90度的平行四边形是矩形．19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD的面积．考点：矩形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：如上图所示，延长AB，延长DC，相交于E点．△ADE是等腰直角三角形，AD=DE=2，则可以求出△ADE的面积；∠C=∠AED=45度，所以△CBE是等腰直角三角形，BE=CB=4厘米，则可以求出△CBE的面积；那么四边形ABCD的面积是两个三角形的面积之差．解答：解：延长AB，延长DC，相交于E点，得到两个等腰直角三角形△ADE和△CBE，由等腰直角三角形的性质得：DE=AD=2，BE=CB=4，那么四边形ABCD的面积是：4×4÷2﹣2×2÷2=8﹣2=6．答：四边形ABCD的面积是6．点评：此题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是作延长线，找到交点，组成新图形，是解决此题的关键．20．如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF 是BC边上的中线，连接FG．（1）求证：AC=FG．（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？考点：矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：先根据题意推理出四边形AFCG是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；由第一问的结论和AC⊥FG得到四边形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．解答：（1）证明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，∴AB=AC；AF是BC边上的中线，∴AF⊥BC，∵CG⊥AD，AD∥BC，∴CG⊥BC，∴AF∥CG，∴四边形AFCG是平行四边形，∵∠AFC=90°，∴四边形AFCG是矩形；∴AC=FG．（2）解：当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：∵四边形AFCG是矩形，∴四边形AFCG是正方形，∠ACB=45°，∵AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形．点评：该题目考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质，知识点比较多，注意解答的思路要清晰．21．如图，E是等边△ABC的BC边上一点，以AE为边作等边△AEF，连接CF，在CF延长线取一点D，使∠DAF=∠EFC．试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题．分析：在已知条件中求证全等三角形，即△BAE≌△CAF，△AEC≌△AFD，从而得到△ACD和△ABC都是等边三角形，故可根据四条边都相等的四边形是菱形判定．解答：解：四边形ABCD是菱形．证明：在△ABE、△ACF中∵AB=AC，AE=AF∠BAE=60°﹣∠EAC，∠CAF=60°﹣∠EAC∴∠BAE=∠CAF∴△BAE≌△CAF∵∠CFA=∠CFE+∠EFA=∠CFE+60°∠BEA=∠ECA+∠EAC=∠EAC+60°∴∠EAC=∠CFE∵∠DAF=∠CFE∴∠EAC=∠DAF∵AE=AF，∠AEC=∠AFD∴△AEC≌△AFD∴AC=AD，且∠D=∠ACE=60°∴△ACD和△ABC都是等边三角形∴四边形ABCD是菱形．点评：本题考查了菱形的判定、等边三角形的性质和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于点E．试说明：四边形OBEC是菱形．考点：菱形的判定；矩形的性质．专题：证明题．分析：在矩形ABCD中，可得OB=OC，由BE∥AC，EC∥BD，所以四边形OBEC是平行四边形，两个条件合在一起，可得出其为菱形．解答：证明：在矩形ABCD中，AC=BD，∴OB=OC，∵BE∥AC，EC∥BD，∴四边形OBEC是平行四边形，∴四边形OBEC是菱形．点评：熟练掌握菱形的性质及判定定理．23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥A C，若AC=4，判断四边形CODE 的形状，并计算其周长．考点：菱形的判定与性质；矩形的性质．分析：首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．解答：解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，∴OD=OC=AC=2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．故答案为：8．点评：此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．24．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．考点：菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．分析：（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=（8﹣x）2+62，求出即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=90°，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，在△DMO和△BNO中，，∴△DM O≌△BNO（ASA），∴OM=ON，∵OB=OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=（8﹣x）2+62，解得：x=．答：MD长为．点评：本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用．注意对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．25．如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA 以同样速度向B，C，D，A各点移动．（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：动点型．分析：（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，故可根据正方形的定义证明四边形PQEF是否使正方形．（2）证PE是否过定点时，可连接AC，证明四边形APCE为平行四边形，即可证明PE过定点．解答：解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，∴BP=QC=ED=FA．又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB．∴四边形PQEF是菱形，∵∠FPQ=90°，∴四边形PQEF为正方形．（2）连接AC交PE于O，∵AP平行且等于EC，∴四边形APCE为平行四边形．∵O为对角线AC的中点，∴对角线PE总过AC的中点．点评：在证明过程中，应了解正方形和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线．。

九年级数学上册《第一章 特殊平行四边形》单元测试卷-附带答案(北师大版)

九年级数学上册《第一章 特殊平行四边形》单元测试卷-附带答案(北师大版)

九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷-附带答案(北师大版)一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．36．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．197．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm212．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补【考点】矩形的性质；菱形的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；故选A．【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④【考点】矩形的定义及性质．【分析】已知梯形四边中点得到的四边形是矩形，则根据矩形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．【解答】解：如图点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∵点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∴∠FEH=90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH．∴AC⊥BD．①平行四边形的对角线不一定互相垂直，故①错误；②菱形的对角线互相垂直，故②正确；③对角线相等的四边形，故③错误；④对角线互相垂直的四边形，故④正确．综上所述，正确的结论是：②④．故选：D．【点评】此题主要考查矩形的性质及三角形中位线定理的综合运用，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形【考点】菱形的性质，矩形的定义及性质，正方形的定义及性质．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．3【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD在Rt△AOB中，∠AOB＝90°根据勾股定理，得：OB＝＝＝4∴BD＝2OB＝8故选：A．【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】正方形的性质．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图设正方形S1的边长为x∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD∴AC=BC=2CD又∵AD=AC+CD=6∴CD==2∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°∴AM=MO∵MO=MN∴AM=MN∴M为AN的中点∴S2的边长为3∴S2的面积为3×3=9∴S1+S2=8+9=17．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半；已知了直角三角形的两条直角边，由勾股定理可求得斜边的长，由此得解【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=cm，且∠ACB=90°，∠B=30°∴AB=2∴AB边上的中线CD=AB=cm．故选D．【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【考点】正方形的性质．【分析】根据正方形以及等边三角形的性质可得出AD=DE，∠ADF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°，根据等腰三角形的性质即可得出∠DAE=∠DEA=15°，再结合三角形外角性质即可算出∠AFB的值．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形∴AD=CD=DE，∠ADF=∠ABF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°∴∠ADE=150°．∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=15°∴∠AFB=∠ADF+∠DAF=45°+15°=60°．故选C．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是求出∠ADF=45°、∠DAF=15°．本题属于基础题，解决该题型题目时，通过正方形、等边三角形以及等腰三角形的性质计算出角的度数是关键．9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【考点】含30度角的直角三角形；多边形内角与外角；平行四边形的性质．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，∠A=∠C，∠CDE=∠AED，根据DE⊥AB，得出∠AED和∠CDE是直角，求出∠CDF的度数，最后根据DF⊥BC，求出∠C、∠A的度数，最后根据∠ADE=30°，AE=2cm，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∠A=∠C∴∠CDE=∠AED∵DE⊥AB∴∠AED=90°∴∠CDE=90°∵∠EDF=60°∴∠CDF=30°∵DF⊥BC∴∠DFC=90°∴∠C=60°∴∠A=60°∴∠ADE=30°∴AD=2DE∵AE=2∴AD=2×2=4（cm）；故选A．【点评】此题考查了平行四边形的性质和含30°角的直角三角形，用到的知识点是平行四边形的性质和垂直的定义30°角的直角三角形的性质，关键是求出∠ADE=30°．10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm【考点】矩形的定义及性质．【分析】在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE=DE=x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2即x2=（10﹣x）2+16．解得：x=5.8．故选C．【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2【考点】菱形的性质．【分析】利用折叠的方式得出AC，BD的长，再利用菱形面积公式求出面积即可．【解答】解：由题意可得：图1中矩形的长为5cm，宽为4cm∵虚线的端点为矩形两邻边中点∴AC=4cm，BD=5cm∴如图（2）所示的小菱形的面积为：×4×5=10（cm2）．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键．翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．12．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1∴AD∥GF∴∠GFH＝∠P AH又∵H是AF的中点∴AH＝FH在△APH和△FGH中∵∴△APH≌△FGH（ASA）∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG∴PD＝AD﹣AP＝1∵CG＝2、CD＝1∴DG＝1则GH＝PG＝×＝故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为3．【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【解答】解：∵ABCD是菱形∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24∴AC＝6∵AH⊥BC，AO＝CO＝3∴OH＝AC＝3．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为（8，4）或（，7）．【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7）∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7∵D（5，0）∴OD＝5∵点P是边AB或边BC上的一点∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5∵AD＝3∴P A＝＝4∴P（8，4）．当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．故答案为（8，4）或（，7）．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC=1，∠B=90°∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…∴第n个正方形的边长a n=（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．【考点】正方形的性质．【分析】作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG 中，利用勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求过F作FG⊥CD于G在Rt△E′FG中GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4所以E′F==．故答案为：．【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．【考点】菱形的性质．【专题】证明题．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】证明：∵ABCD是菱形∴AB=AD，∠B=∠D．又∵EB=DF∴△ABE≌△ADF∴AE=AF∴∠AEF=∠AFE．【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD为等边三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．【解答】解：∵对角线相等且互相平分∴OA=OD∵∠AOD=60°∴△AOD为等边三角形，则OA=ADBD=2DO，AB=AD∴AD=2∵AE⊥BD，∴E为OD的中点∴OE=OD=AD=1答：OE的长度为1．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形∴BE∥AD，BE=AD∴BE=CD∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．【考点】菱形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证▱AEDF实菱形．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF同理∠DAE=∠FDA∵AD=DA∴△ADE≌△DAF∴AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平行四边形AEDF为菱形．【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．【考点】矩形的性质．【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD∴∠BAC=∠FCO在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF（AAS）∴OE=OF；（2）解：如图，连接OB∵BE=BF，OE=OF∴BO⊥EF∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC∴∠BAC=∠ABO又∵∠BEF=2∠BAC即2∠BAC+∠BAC=90°解得∠BAC=30°∵BC=2∴AC=2BC=4∴AB===6．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．【考点】正方形的性质．【专题】计算题．【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．【解答】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°∴F、C、M三点共线∴DE=DM，∠EDM=90°∴∠EDF+∠FDM=90°∵∠EDF=45°∴∠FDM=∠EDF=45°在△DEF和△DMF中∴△DEF≌△DMF（SAS）∴EF=MF；（2）设EF=MF=x∵AE=CM=1，且BC=3∴BM=BC+CM=3+1=4∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2即22+（4﹣x）2=x2解得：x=则EF=．【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】正方形的性质．【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得．【解答】（1）证明：如图1在△BCE和△DCF中∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线∴∠EBC=∠DBC=22.5°由（1）知△BCE≌△DCF∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD=90°（三角形内角和定理）∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中∴△DBG≌△FBG（ASA）∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等）∵BD==∴BF=∴CF=BF﹣BC=﹣1；（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1①当BH=BP时，则BP=﹣1∵∠PBC=45°设P（x，x）∴2x2=（﹣1）2解得x=1﹣或﹣1+∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（﹣1，﹣1）；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（，）综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．。

北师大版九年级上册数学第一章单元测试卷及解析

北师大版九年级上册数学第一章单元测试卷及解析

北师大版九年级上册数学第一章单元测试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题）A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线相等的平行四边形是矩形C. 对角线垂直的四边形是菱形D. 对角线垂直的平行四边形是菱形2.在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是( )A. OA ＝OC ，OB ＝ODB. AD ∥BC ，AB ∥DCC. AB ＝DC ，AD ＝BCD. AB ∥DC ，AD ＝BC3.若顺次连接四边形ABCD 四边中点而得的图形是矩形，则四边形ABCD 一定是( )A. 矩形B. 菱形C. 对角线相等的四边形D. 对角线互相垂直的四边形4.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，∠ABD =30°，则菱形ABCD 的面积是（ ）A. 18B. 18√3C. 36D. 36√35.如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 是BC 边的中点，分别以B 、C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E ，连接BE ，则下列结论：①ED ⊥BC ；②∠A=∠EBA ；③EB 平分∠AED ；④ED=AB 中，一定正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④6.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF 的长为（ ）12．5 D. 5第II卷（非选择题）二、解答题（题型注释）E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)图中有哪几对全等三角形，请一一列举；(2)求证：ED∥BF.8.如图，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点．求证：△ADF≌△BAE.9.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点M，N分别是对角线BD，AC的中点．求证：直线MN是线段AC的垂直平分线．10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且△ADO为等边三角形，过点A 作AE⊥BD于点E.(1)求∠ABD的度数；(2)若BD＝10，求AE的长．11.如图，点D，E分别是不等边△ABC(即AB，BC，AC互不相等)的边AB，AC的中点．点O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由)12.如图所示,在矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过点O的直线EF与AB,CD的延长线分别交于点E,F.(1)求证:△BOE≌△DOF;(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?并证明你的结论.13.如图，已知△ABC，点A在BC边的上方，把△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得△DBE，绕点C顺时针方向旋转60°得△FEC，连接AD，AF.(1)△ABD，△ACF，△BCE是什么特殊三角形？请说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？请说明理由；(3)当△ABC满足什么条件时，以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在？请说明理由．14.如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，2√2，√10.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连接PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小．15.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D 重合），PO的延长线交BC于Q点．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形.（2）若AB=3cm，AD=4cm，P从点A出发．以1cm/s的速度向点D匀速运动．设点P的运动时间为ts，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．三、填空题AC、BD相交于点0，∠AOB=600，AB=5，则AD的长是（ )．（A)5（B）5（C）5 (D)1017.如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG＝1(BC－AD)，⑤四边2形EFGH是菱形．其中正确的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．418.已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为____________cm2．19.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．20.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF等于_______°.21.（3分）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是．22.（3分）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．23.如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，若过点A的对角线长为20 cm，则每个菱形的面积为____________cm2.参考答案1.C【解析】1.试题分析：A．四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C．对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D．对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选C．2.D【解析】2.根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．A．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；B．∵AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；C．∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；D．∵AB∥DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形．故选D．3.D【解析】3.由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH ∥ FG ∥ BD，EF ∥ AC ∥ HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，即对角线互相垂直，故选D．4.B【解析】4.试题分析：过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=3√3，∴菱形ABCD的面积是6×3√3=18√3，故选B．5.B．【解析】5.试题根据作图过程，利用线段垂直平分线的性质对各选项进行判断：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确.∵∠ABC=90°，∴PD∥AB.∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC.∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确.∴正确的有①②④.故选B．6.A【解析】6.试题解析：∵点C′是AB边的中点，AB=6，∴BC′=3，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC-BF=9-BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，∴BF2+9=（9-BF）2，解得，BF=4，故选A．7.(1)见解析；(2)证明见解析.【解析】7.（1）根据菱形的对称性，写出AC左右两边对应的三角形即可；（2）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠DCA，然后求出AF=CE，利用“边角边”证明△ABF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BFA=∠DEC，然后利用内错角相等两直线平行即可证明．(1)图中有三对全等三角形：①△ABC≌△CDA，②△ABF≌△CDE，③△ADE≌△CBF；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DC A．∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，∴AF＝CE.在△ABF和△CDE中，{AB=CD∠BAC=∠DCAAF=CE，1 2∴△ABF ≌△CDE (S A S)，∴∠BF A ＝∠DEC ，∴ED ∥BF .8.证明见解析.【解析】8.根据正方形的四条边都相等可得AB=AD ，根据同角的余角相等求出∠1=∠4，然后利用“角角边”证明△ABE 和△DAF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝AB ，∠1＋∠2＝90°，又∵BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，又∵DA ＝AB ，∴△ADF ≌△BAE .(A S A ) .9.证明见解析.【解析】9.连接AM ，CM ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=12BD ，CM=12BD ，那么AM=CM ，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明MN ⊥AC ．如图，连接AM ，CM ，∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，点M 是BD 的中点，∴AM ＝12BD ，CM ＝12BD ，∴AM ＝CM ，又∵点N 是AC 的中点，∴直线MN 是线段AC 的垂直平分线.10.(1)∠ABD ＝30°；(2)AE ＝5√32.【解析】10.（1）根据矩形性质得出∠DAB=90°，求出∠ADB=60°，代入∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB 求出即可；（2）求出AD ，根据等腰三角形性质得出DE=EO ，求出DE ，根据勾股定理求出即可．(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∵△ADO 为等边三角形，∴∠ADB ＝60°，∴∠ABD ＝180°－∠DAB －∠ADB ＝30°；(2)∵BD ＝10，∠BAD ＝90°，∠ABD ＝30°，∴AD ＝12BD ＝5，∵△ADO 为等边三角形，∴AD ＝AO ＝DO ＝5，∵AE ⊥DO ，∴DE ＝EO ＝12DO ＝2.5，在Rt △AED 中，由勾股定理得AE ＝√AD 2−DE 2=√52−2.52=5√32. 11.（1）根据三角形的中位线定理可证得DE ∥GF ，DE ＝GF ，即可证得结论；（2）解法一：点O 的位置满足两个要求：AO ＝BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上． 解法二：点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括射线CD 、射线BE 与⊙A 的交点．解法三：过点A 作BC 的平行线l ，点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括l 与⊙A 的两个交点．【解析】11.试题（1）根据三角形的中位线定理可证得DE ∥GF ，DE ＝GF ，即可证得结论； （2）根据三角形的中位线定理结合菱形的判定方法分析即可.（1）∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．∴DE ∥BC ，DE ＝BC ．同理，GF ∥BC ，GF ＝BC ． ∴DE ∥GF ，DE ＝GF ．∴四边形DEFG 是平行四边形；（2）解法一：点O 的位置满足两个要求：AO ＝BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上． 解法二：点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括射线CD 、射线BE 与⊙A 的交点．解法三：过点A 作BC 的平行线l ，点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括l 与⊙A 的两个交点．12.（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，AC 和BD 交于点O∴AB ∥CD; OB=OD∴∠OEB=∠OFD∵∠BOE=∠DOF∴△BOE ≌△DOF(2)解：当EF 与AC 垂直的时候四边形AECF 是菱形。

北师大版初中数学九年级上册第一章综合测试试卷-含答案01

北师大版初中数学九年级上册第一章综合测试试卷-含答案01

第一章单元综合测试一、单选题1.已知四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，下列结论错误的是（ ） A .OA OC =，OB OD =B .当AB CD =时，四边形ABCD 是菱形C .当90ABC ∠=︒时，四边形ABCD 是矩形D .当AC BD =且AC BD ⊥时，四边形ABCD 是正方形2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE CE =，则OE 的长是（ ）A .2B .52C .3D .4 3.如图，面积为S 的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是线段BC 单位中点，过点E 作EF BD ⊥于F ，EG AC ⊥与G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A .14SB .18SC .112S D .116S 4.如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点.若菱形ABCD 的周长为32，则OE 的长为（ ）A .3B .4C .5D .65.如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）A .310B .13C .25D .496.如图，正方形ABCD 的边长8AB =，E 为平面内一动点，且4AE =，F 为CD 上一点，2CF =，连接EF ，ED ，则2EF ED +的最小值为（ ）A .B .C .12D .10二、填空题7.如图，在菱形ABCD 中，50B ∠=︒，点E 在CD 上，若AE AC =，则BAE ∠=________.8.如图，在矩形ABCD 中，E ,F 分别为边AB ，AD 的中点，BF 与EC ，ED 分别交于点M ，N .已知4AB =，6BC =，则MN 的长为________.9.如图，在矩形ABCD 中，9AB =，AD =，点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，则CQP ∠=________.10.如图，正方形ABCD 中，点E 为对角线AC 上一点，且AE AB =，则BEA ∠的度数是________度.三、作图题11.在正方形ABCD 中，E 是CD 边上的点，过点E 作EF BD ⊥于F .（1）尺规作图：在图中求作点E ，使得EF EC =；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接FC ，求BCF ∠的度数.四、综合题12.如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作EF AC ⊥，分别交AB ，DC 于点E 、F ，连接AF 、CE .（1）若32OE =，求EF 的长；（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由.13.如图，在ABC △中，AB AC =，点D 、E 分别是线段BC 、AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF .（1）求证：A BDE F E △≌△；（2）求证：四边形ADCF 为矩形.14.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，过点D 作DE BC ⊥于E ，延长CB 到点F ，使BF CE =，连接AF ，OF .（1）求证：四边形AFED 是矩形；（2）若7AD =，2BE =，45ABF ∠=︒，试求OF 的长.15.如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，且EBF △是等腰直角三角形，其中90EBF ∠=︒，连接CE 、CF（1）求证：ABF CBE △≌△；（2）判断CE 与EF 的位置关系，并说明理由.16.如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF .（1）求证：HEA CGF ∠∠=；（2）当AH DG =时，求证：菱形EFGH 为正方形.第一章单元综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，OA OC =∴，OB OD =，故A 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB CD =，不能推出四边形ABCD 是菱形，故B 错误，∵四边形ABCD 是平行四边形，90ABC ∠=︒， ∴四边形ABCD 是矩形，故C 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，AC BD ⊥， ∵四边形ABCD 是正方形.故D 正确.故答案为：B . 2.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，8AC =，6BD =，142CO AC ==∴，132OD BD ==，AC BD ⊥，5DC =∴，90EOC DOE ∠+∠=︒，90DCO ODC ∠+∠=︒，OE CE =∵，EOC ECO ∠=∠∴，DOE ODC ∠=∠∴，DE OE =∴，1522OE CD ==∴故答案为：B . 3.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，OA OC =∴，OB OD =，AC BD ⊥，12S AC BD =⨯， EF BD ⊥∵于F ，EG AC ⊥于G ，∴四边形EFOG 是矩形，EF OC ∥，EG OB ∥，∵点E 是线段BC 的中点，EF ∴、EG 都是OBC △的中位线，1124EF OC AC ==∴，1124EG OB BD ==，∴矩形EFOG 的面积11111=44828EF EG AC BD AC BD S ⎛⎫=⨯=⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭；答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

北师大版九年级数学上册第一单元测试题含答案

北师大版九年级数学上册第一单元测试题含答案

北师大版九年级数学上册第一章测试题及答案一、选择题(每题3分，共30分)1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是()A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于() A．20 B．15 C．10 D．53．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()A．15B．14C．13D．3104．如图，菱形ABCD的周长为24 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD 的中点，连接OE，则线段OE的长等于()A．3 cm B．4 cm C．2.5 cm D．2 cm5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为()A．3 B．2 2 C. 6 D．3 36．顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是()A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形7．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°8．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于()A．75°B．45°C．60°D．30°9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是()A．AF＝AEB．△ABE≌△AGFC．EF＝2 5D．AF＝EF10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC 垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论有() A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(每题3分，共24分)11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF 的周长为________．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE＝4，则线段BE的长为________．15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，3)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→……的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2 019 s时，点P的坐标为________．16．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD的中点，点F为BC 边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG ＋FH＝________.18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形的对角线交于点O，连接OC.已知AC＝5，OC＝62，则另一直角边BC的长为________．三、解答题(19，20题每题9分，21题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.求证：DE＝DF.20．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.(1)求证：四边形OCED是矩形．(2)若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．21．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE.(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE.(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F 不与B，C，D重合，连接EF.(1)求证：BE＝CF.(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．24．在正方形ABCD的外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图①；(2)若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°＜∠P AB＜90°，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．答案一、1．D2．B3．B4．A解析：∵菱形ABCD的周长为24 cm，∴AB＝24÷4＝6 (cm)，OB＝OD.又∵E为AD边的中点，∴OE是△ABD的中位线．∴OE＝12AB＝12×6＝3 (cm)．故选A.5．D6．D7．D8．C9．D解析：如图，由折叠的性质得∠1＝∠2.∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴AE＝AF.故选项A正确．由折叠的性质得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.∵AB＝CD，∴AB＝AG.又∵AE＝AF，∠B＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)．故选项B正确．设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.又∵AG＝AB＝4，∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2.解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.则AE＝AF＝5，∴BE＝AE2－AB2＝52－42＝3.过点F作FM⊥BC于点M，则FM＝4，EM＝5－3＝2.在Rt△EFM中，根据勾股定理得EF＝EM2＋FM2＝22＋42＝20＝25，则选项C正确．∵AF＝5，EF＝25，∴AF≠EF.故选项D错误．10．C 解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝∠BAD ＝90°. ∵△AEF 是等边三角形， ∴AE ＝EF ＝AF ，∠EAF ＝60°. ∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°. 在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL)． ∴BE ＝DF (故①正确)， ∠BAE ＝∠DAF .∴∠DAF ＋∠DAF ＝30°，即∠DAF ＝15°(故②正确)． ∵BC ＝CD ，∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ， 又∵AE ＝AF ，∴AC 垂直平分EF (故③正确)．设EC ＝x ，由勾股定理，得EF ＝AE ＝2x ，∴EG ＝CG ＝22x . ∴AG ＝62x . ∴AC ＝6x ＋2x2.∴AB ＝BC ＝3x ＋x 2.∴BE ＝3x ＋x 2－x ＝3x －x2.∴BE ＋DF ＝3x －x ≠2x (故④错误)．易知S △CEF ＝x 22，S △ABE ＝3x －x 2·3x ＋x22＝x 24，∴2S △ABE ＝x 22＝S △CEF (故⑤正确)．综上所述，正确的有4个．二、11．90° 12．16 13．2.514．213 解析：设正方形的边长为a ，∵S △ABE ＝18，∴S 正方形ABCD ＝2S △ABE ＝36， ∴a 2＝36.∵a ＞0，∴a ＝6. 在Rt △BCE 中，∵BC ＝6，CE ＝4，∠C ＝90°， ∴BE ＝BC 2＋CE 2＝62＋42＝213. 15．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 16．16 解析：∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝x ，AD ＝y ，∴CD ＝AB ＝x ，BC ＝AD ＝y ，∠BCD ＝90°.又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF ＝4，∴BF ＝DF ＝EF ＝4，∴CF ＝4－BC ＝4－y.在Rt △DCF 中，DC 2＋CF 2＝DF 2，即x 2＋(4－y )2＝42＝16.∴x 2＋(y －4)2＝16. 17．3105 解析：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝2，∠A ＝∠D ＝90°. ∵点E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ＝1，∴BE ＝AE 2＋AB 2＝12＋32＝10，CE ＝DE 2＋DC 2＝12＋32＝10， ∴CE ＝BE .∵S △BCE ＝S △BEF ＋S △CEF ，∴12BC ·AB ＝12BE ·FG ＋12CE ·FH ，∴BC ·AB ＝BE (FG ＋FH )，即2×3＝10(FG ＋FH )，解得FG ＋FH ＝3105.18．7 解析：如图，过点O 作OM ⊥CA ，交CA 的延长线于点M ，过点O作ON ⊥BC 于点N ，易证△OMA ≌△ONB ，CN ＝OM ，∴OM ＝ON ，MA ＝N B.又∵∠ACB ＝90°，∠OMA ＝∠ONB ＝90°，OM ＝ON ， ∴四边形OMCN 是正方形． ∴△OCM 为等腰直角三角形． ∵OC ＝62，∴CM ＝OM ＝6.∴MA＝CM－AC＝6－5＝1.∴BC＝CN＋NB＝OM＋MA＝6＋1＝7. 故答案为7.三、19．证明：连接DB.∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC.又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF.20．(1)证明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形．(2)解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝4，∴OC＝12AC＝2，∴OD＝42－22＝23，∴矩形OCED的面积是23×2＝4 3.21．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥CD.又∵BE∥AC，E在DC的延长线上．∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC＝BE，∴BD＝BE.(2)解：如图，过点O作OF⊥CD于点F.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCE＝90°.在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC＝8.∵BE＝BD，∴CD＝CE＝6，∴DE＝12.∵OD＝OC，∴CF＝DF，又OB＝OD，∴OF为△BCD的中位线，∴OF＝12BC＝4，∴S△ODE＝12DE·OF＝12×12×4＝24.22．(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，∴∠ADB＝∠DBC.根据折叠的性质得∠ADB＝∠FDB，∠F＝∠A＝90°，∴∠DBC＝∠FDB，∠C＝∠F.∴BE＝DE.在△DCE和△BFE中，∴△DCE≌△BFE.(2)解：在Rt△BCD中，∵CD＝2，∠DBC＝∠ADB＝30°，∴BD＝4.∴BC＝2 3.在Rt△ECD中，易得∠EDC＝30°.∴DE＝2EC.∴(2EC)2－EC2＝CD2.又∵CD＝2，∴CE＝23 3.∴BE＝BC－EC＝43 3.23．(1)证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∴△ABC 和△ADC都是等边三角形，∴∠ABE＝∠ACF＝60°，∠1＋∠2＝60°.∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，∴∠1＝∠3.∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC 为等边三角形．∴AB ＝AC .∴△ABE ≌△ACF .∴BE ＝CF .(2)解：四边形AECF 的面积不变．由(1)知△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC .如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2，∴AM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝2 3.∴S △ABC ＝12BC ·AM ＝12×4×23＝4 3.故S 四边形AECF ＝4 3.24．解：(1)如图①.(2)如图②，连接AE ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点，∴∠P AE ＝∠P AB ＝20°，AE ＝AB.∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∴∠AED ＝∠ADE ，∠EAD ＝∠DAB ＋∠BAP ＋∠P AE ＝130°.∴∠ADF ＝180°－130°2＝25°. (3)EF 2＋FD 2＝2AB 2.证明如下：如图③，连接AE ，BF ，BD ，由轴对称和正方形的性质可得，EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，易得∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF .∵∠BAD ＝90°， ∴∠ABF ＋∠FBD ＋∠ADB ＝90°.∴∠ADF ＋∠ADB ＋∠F BD ＝90°.∴∠BFD ＝90°.在Rt △BFD 中，由勾股定理得BF 2＋FD 2＝BD 2.在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD 2＝AB 2＋AD 2＝2AB 2，∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.。

北师大版数学九年级上册第一章测试卷

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第一章检测题（一）一、选择题1、下列说法中，不正确的是（ ）．（A ）有三个角是直角的四边形是矩形;（B ）对角线相等的四边形是矩形（C ）对角线互相垂直的矩形是正方形;（D ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形2、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（ ）．（A ）①②③ （B ）①④⑤ （C ）①②⑤ （D ）②⑤⑥ 3、观察下列四个平面图形，其中中心对称图形有（ ）（A ）2个 （B ）1个 （C ）4个 （D ）3个 图1 4、顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ ） A ．菱形 B ．正方形 C ．矩形 D ．等腰梯形5、如图1，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD =（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①②③ 6、菱形的周长为20,两邻角的比为2∶1，则一组对边的距离为（ ） A 、32B 、332C 、3 3D 、532图3 图47、如图3，矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE 等于（ ）．（A ）15° （B ）30° （C ）45° （D ）60°8、如图4，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于（ ）． （A ）3：2 （B ）3：3 （C ）1：2 （D ）3：19、如图5，四边形ABCD 是正方形，延长BC 至点E ，使CE=CA ，连结AE 交CD•于点F ，•则∠AFC 的度数是（ ）．（A ）150° （B ）125° （C ）135° （D ）112．5° 10、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A 、四个角都是直角B 、两组对边分别相等C 、内角和为0360 D 、对角线平分对角图5 11、矩形的边长为10 cm 和15 cm ，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ） （A ）6 cm 和9 cm （B ）5 cm 和10 cm （C ）4 cm 和11 cm （D ）7 cm 和8 cm12、菱形周长为20 cm ，它的一条对角线长6 cm ，则菱形的面积为…………………（ ） （A ）6 （B ）12 （C ）18 （D ）24 二、填空题：13、已知矩形的对角线长为4cm ，一条边长为23cm ，则面积为________．14、菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____，面积为______．15、如图7，在□ABCD 中，则对角线AC 、BD 相交于O ，图中全等的三角形共有____对．图7 图8 图916、从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1:3两部分，则矩形的两条对角线夹角为 .17、如图8，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点AE ⊥BD ，垂足为E ．若OD ＝2 OE ， AE ＝3，则DE 的长为______．18、如图9，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若AE ＝4，AF ＝6，□ABCD 的周长为40，则S □ABCD 为______．三、解答题（要有必要的文字说明，规范的步骤）19、如图6，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点且AE=AD ，又AE DF ⊥于点F ， 证明：EC=EF.A BCDA DFECDBAO20、如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过顶点C 作CE ∥BD ，交A•孤延长线于点E ，求证：AC=CE ．21、如图1-16，在ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE 的延长线与BC 的延长线相交于点F ． (1)求证：△ADE ≌△FCE ；(2)连结AC 、DF ，则四边形ACFD 是下列选项中的（ ）． A ．梯形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形 ⑶证明你在(2)中的结论22、（本小题满分10分）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．23、如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交B于Q.（1）求证： OP=OQ ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合测试题及答案

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合测试题及答案

第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）一、选择题(本大题共6小题，共24分)1．下列关于▱ABCD的叙述中，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形2．如图1，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF ∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形123．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC ＝130°，则∠AOE的度数为( )A．75° B．65° C．55° D．50°4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A.125B.65C.245 D．不确定345．如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是( )A．2.5 B.5 C.322 D．26．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为( )图5A．(2，2 3) B．(32，2－3)C．(2，4－2 3) D．(32，4－2 3)二、填空题(本大题共6小题，共30分)7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________．8．如图6所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝2 cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC＝________ cm.679．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________．10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．8911．如图9所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．图1012．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．三、解答题(共46分)13．(10分)如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．图1114．(10分)如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？图1215．(12分)如图13，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.图1316．(14分)如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下，求∠EAG的度数．图141．C 2.D 3.B 4.A5．B ．6．C7．6 .8．49．(2＋2，2)10．45°.11．12 12.75813．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形．(2)∵正方形ABCD的边长为4，∴BD＝AC＝4 2.∵AE＝CF＝2，∴EF＝AC－2 2＝2 2，∴S菱形BEDF＝12BD·EF＝12×4 2×2 2＝8.14．解：(1)证明：连接DE，EB，BF，FD.∵两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，∴AE＝CF.∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．(2)当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12 cm时，四边形BEDF为矩形．∵运动时间为t，∴AE＝CF＝2t，∴EF＝20－4t＝12，∴t＝2；当点E在OC上，点F在OA上时，EF＝BD＝12 cm，EF＝4t－20＝12，∴t＝8.因此，当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形．15．解：(1)证明：∵AD⊥BC，E，F分别是AB，AC的中点，∴在Rt△ABD中，DE＝12AB＝AE，在Rt△ACD中，DF＝12AC＝AF.又∵AB＝AC，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形．(2)如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3.设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49.①由四边形AEDF是菱形得AD⊥EF，∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，∴(12y)2＋(12x)2＝32，即x2＋y2＝36.②把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝132，∴菱形AEDF的面积S＝12xy＝134.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.∵将△ADE沿AE对折得到△AFE，∴AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°.在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB＝AF，AG＝AG，)∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．(2)如图所示：(3)∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，∴∠EAF＝∠EAD，∠GAF＝∠GAB.∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝12×90°＝45°.第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）（100分钟，120分）一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）A．③B．①② C．②③D．③④5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3B．4 C．5 D．76．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A．8 B．9 C．11 D．129．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．3 C．D．二、填空题11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。

数学九年级上册第一单元测试题

数学九年级上册第一单元测试题

北师大版数学九年级上册第一单元测试题一．选择题（共10小题）1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直2．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．43．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B．C．6 D．84．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF5．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形7．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD9．如图，在正方形ABCD中，H是BC延长线上一点，使CE=CH，连接DH，延长BE交DH于G，则下面结论错误的是（）A．BE=DH B．∠H+∠BEC=90°C．BG⊥DH D．∠HDC+∠ABE=90°10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二．填空题（共10小题）11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．12．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为．13．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E 处，则∠CME=．14．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于．15．菱形的两条对角线长分别为16和12，则它的面积为．16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是．17．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为．18．如图，在矩形ABCD中，AD=9cm，AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合，则重叠部分（△BEF）的面积为．19．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=6，AD=8，则四边形ABOM的周长为．20．矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，则线段BE的长为．三．解答题（共10小题）21．如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD 的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．23．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）24．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．25．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．26．已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．27．如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．28．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE，若∠E=50°，求∠BAO的大小．29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．30．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=2，AD=4，求MD的长．01月18日dxzxshuxue的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．【解答】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．2．（2016•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．4【分析】根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵S=，菱形ABCD∴，∴DH=，故选A．【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱=是解此题的关键．形ABCD3．（2016•宁夏）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD 边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B．C．6 D．8【分析】根据中位线定理可得对角线AC的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案．【解答】解：∵E，F分别是AD，CD边上的中点，EF=，∴AC=2EF=2，又∵BD=2，∴菱形ABCD的面积S=×AC×BD=×2×2=2，故选：A．【点评】本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键．4．（2016•荆门）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF【分析】先根据已知条件判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选B．【点评】本题主要考查了矩形和全等三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：在直角三角形中，若有一个锐角等于30°，则这个锐角所对的直角边等于斜边的一半．5．（2016•毕节市）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据折叠可得DH=EH，在直角△CEH中，设CH=x，则DH=EH=9﹣x，根据BE：EC=2：1可得CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答】解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选（B）．【点评】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．在直角三角形中，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键．6．（2016•内江）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【分析】A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选C．【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．7．（2016•龙岩模拟）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【点评】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．8．（2016•蜀山区二模）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD 需满足的条件是（）A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD【分析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线的性质，可得EF=GH=AB，EH=FG=CD，又由当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，即可求得答案．【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF=GH=AB，EH=FG=CD，∵当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．故选：D．【点评】此题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．9．（2016•曹县校级模拟）如图，在正方形ABCD中，H是BC延长线上一点，使CE=CH，连接DH，延长BE交DH于G，则下面结论错误的是（）A．BE=DH B．∠H+∠BEC=90°C．BG⊥DH D．∠HDC+∠ABE=90°【分析】根据正方形的四条边都相等，角都是直角，先证明△BCE和△DCH全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角对应角相等，对各选项分析判断后利用排除法．【解答】解：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCD=∠DCH=90°，在△BCE和△DCH中，，∴△BCE≌△DCH（SAS），∴BE=DH，故A选项正确；∠H=∠BEC，故B选项错误；∠EBC=∠HDC，∴∠EBC+BEC=∠HDC+DEG，∵BCD=90°，∴∠EBC+BEC=90°，∴∠HDC+DEG=90°，∴BG⊥DH，故C选项正确；∵∠ABE+∠EBC=90°，∴∠HDC+∠ABE=90°，故D选项正确．故选B．【点评】本题主要利用正方形的和三角形全等的性质求解，熟练掌握性质是解题的关键．10．（2016•新华区一模）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF 和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF（故①正确）．∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），∵BC=CD，∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．（故③正确）．设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AC=，∴AB=，∴BE=﹣x=，∴BE+DF=x﹣x≠x，（故④错误），=x2，∵S△CEFS△ABE=x2，∴2S=x2=S△CEF，（故⑤正确）．△ABE综上所述，正确的有4个，故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．二．填空题（共10小题）11．（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．12．（2016•扬州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为24．【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE=3，且点E为线段AD的中点，∴AD=2OE=6．C菱形ABCD=4AD=4×6=24．故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．13．（2016•龙岩）如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME=45°．【分析】由正方形的性质和折叠的性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠ACB=45°，由折叠的性质得：∠AEM=∠B=90°，∴∠CEM=90°，∴∠CME=90°﹣45°=45°；故答案为：45°．【点评】本题考查了正方形的性质、折叠的性质；熟练掌握正方形和折叠的性质是解决问题的关键．14．（2016•天津）如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于．【分析】根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论．【解答】解：在正方形ABCD中，∵∠ABD=∠CBD=45°，∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，∴FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，∴MN=BD=AB，∴==，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的面积的计算，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．15．（2016•白云区校级二模）菱形的两条对角线长分别为16和12，则它的面积为96．【分析】由菱形的两条对角线长分别为16和12，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为16和12，∴它的面积为：×16×12=96．故答案为：96．【点评】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．16．（2016•河源校级一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE ∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是8．【分析】先证明四边形CODE是平行四边形，再根据矩形的性质得出OC=OD，然后证明四边形CODE是菱形，即可求出周长．【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=AC=2，OD=BD，AC=BD，∴OC=OD=2，∴四边形CODE是菱形，∴DE=CEOC=OD=2，∴四边形CODE的周长=2×4=8；故答案为：8．【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质；证明四边形是菱形是解决问题的关键．17．（2016•临沭县校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为．【分析】由矩形的性质得出CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，由线段垂直平分线的性质得出CE=AE，设CE=AE=x，则DE=4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，∵EF是AC的垂直平分线，∴CE=AE，设CE=AE=x，则DE=4﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2=CE2，即22+（4﹣x）2=x2，解得：x=，∴CE=；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．（2016•抚顺模拟）如图，在矩形ABCD中，AD=9cm，AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合，则重叠部分（△BEF）的面积为7.5cm2．【分析】设DE=xcm，由翻折的性质可知DE=EB=x，则AE=（9﹣x）cm，在Rt△ABE中，由勾股定理求得ED的长；由翻折的性质可知∠DEF=∠BEF，由矩形的性质可知BC∥AD，从而得到∠BFE=∠DEF，故此可知∠BFE=∠FEB，得出FB=BE，最后根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：设DE=xcm．由翻折的性质可知DE=EB=x，∠DEF=∠BEF，则AE=（9﹣x）cm．在Rt△ABE中，由勾股定理得；BE2=EA2+AB2，即x2=（9﹣x）2+32．解得：x=5．∴DE=5cm．∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD．∴∠BFE=∠DEF．∴∠BFE=∠FEB．∴FB=BE=5cm．∴△BEF的面积=BF•AB=×3×5=7.5（cm2）；故答案为：7.5cm2．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的判定、三角形的面积公式，证得△BEF为等腰三角形，从而得到FB的长是解题的关键．19．（2016•苏州校级二模）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=6，AD=8，则四边形ABOM的周长为18．【分析】根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO、OM、AM即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AB=CD=6，∠ABC=90°，∴AC==10，∵AO=OC，∴BO=AC=5，∵AO=OC，AM=MD=4，∴OM=CD=3，∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=18．故答案为18．【点评】本题看成矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是灵活应用中线知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2016•天桥区三模）矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形折叠，使得点B 落在线段CD的点F处，则线段BE的长为 2.5．【分析】根据翻转前后，图形的对应边和对应角相等，可知EF=BF，AB=AE，故可求出DE的长，然后设出FC的长，则EF=4﹣FC，再根据勾股定理的知识，即可求出BF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，∵将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，∴AE=AB=5，AD=BC=4，EF=BF，在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=3．在矩形ABCD中，DC=AB=5．∴CE=DC﹣DE=2．设FC=x，则EF=4﹣x．在Rt△CEF中，x2+22=（4﹣x）2．解得x=1.5．∴BF=BC﹣CF=4﹣1.5=2.5，故答案为：2.5．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理的运用以及翻转变换的知识，属于基础题，注意掌握图形翻转前后对应边和对应角相等是解题关键．三．解答题（共10小题）21．（2016•安顺）如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．22．（2016•苏州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D 作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB=90°，∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．23．（2016•贺州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△AOF≌△COE是关键．24．（2016•吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．25．（2016•通辽）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．【分析】先取AB的中点H，连接EH，根据∠AEF=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．【解答】证明：取AB的中点H，连接EH；∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．【点评】此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是取AB的中点H，得出AH=EC，再根据全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF．26．（2016•无锡）已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．【分析】根据正方形的性质可得AD=CD，∠C=∠DAF=90°，然后利用“边角边”证明△DCE和△DAF全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠DAB=∠C=90°，∴∠FAD=180°﹣∠DAB=90°．在△DCE和△DAF中，，∴△DCE≌△DAF（SAS），∴DE=DF．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形对应边相等证明线段相等是常用的方法之一，一定要熟练掌握并灵活运用．27．（2016•乐山）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．【分析】欲证明CE=DF，只要证明△CEB≌△DFC即可．【解答】证明：∵ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°，又∵E、F分别是AB、BC的中点，∴BE=CF，在△CEB和△DFC中，，∴△CEB≌△DFC，∴CE=DF．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型．28．（2016•长春二模）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE，若∠E=50°，求∠BAO的大小．【分析】根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，从而得到BC=BE，再根据等腰三角形的性质求出∠CBE，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠BAD=∠CBE，再根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAO=∠BAD，问题得解．【解答】解：菱形ABCD中，AB=BC，∵BE=AB，∴BC=BE，∴∠BCE=∠E=50°，∴∠CBE=180°﹣50°×2=80°，∵AD∥BC，∴∠BAD=∠CBE=80°，∴∠BAO=∠BAD=×80°=40°．【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．29．（2016•哈尔滨模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE 交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．【分析】（1）ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，则EB=EC，故有∠3=∠4，在直角三角形ACB中，∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，则可得到AE=CE，从而证得△ACE和△EFA都是等腰三角形，又因为FD⊥BC，AC⊥BC，所以AC∥FE，再根据内错角相等得到AF∥CE，故四边形ACEF是平行四边形；（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．【解答】解：（1）∵ED是BC的垂直平分线∴EB=EC，ED⊥BC，∴∠3=∠4，∵∠ACB=90°，∴FE∥AC，∴∠1=∠5，∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余∴∠1=∠2，∴AE=CE，又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，∴∠5=∠F，∴∠2=∠F，∴在△EFA和△ACE中∵，∴△EFA≌△ACE（AAS），∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形．【点评】本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱形的判定求解，有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．30．（2016•会宁县一模）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN 与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=2，AD=4，求MD的长．【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，即可列方程求得．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∠A=90°，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵在△DMO和△BNO中∴△DMO≌△BNO（ASA），∴OM=ON，∵OB=OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=（4﹣x）2+22，解得：x=，答：MD长为．【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．。

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)一、选择题1．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为（）2cm．A．48B．24C．12D．202．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角相等D．对边平行3．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（）A．测量四边形画框的两个角是否为90︒B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等D．测量四边形画框的四边是否相等4．如图，在矩形ABCD中，已知AE BD⊥于E，∠BDC=60°，BE=1，则AB的长为（）A．3B．2C．3D35．下列条件中，能判定四边形是正方形的是（）A．对角线相等的平行四边形B．对角线互相平分且垂直的四边形C．对角线互相垂直且相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的平行四边形6．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则ba=（）A 51-B 53+C 51+D 217．如图，在菱形ABCD 中 50ABC ∠=︒ ，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为CD 的中点，连接OE ，则 AOE ∠ 的度数是（ ）A ．110°B ．112°C ．115°D ．120°8．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝4，CD ＝6，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝120°，则AD 的长度为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．3+39．如图，点E 、F 在矩形ABCD 的对角线BD 所在的直线上，BE =DF ，则四边形AECF 是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形10．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，CD 上的动点，且BE CF =，连接BF ，DE ，则BF DE +的最小值为（ ）A 3B 5C ．3D ．512．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD ，∠A ＝120°，则A ．13．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上一点90AED ∠=︒，∠EAD=30°，F 是AD 边的中点2cm EF =则BE = cm ．14．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE=3，点Q 为对角线AC 上的动点，则∠BEQ 周长的最小值为 ．三、解答题15．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE//BD ，BE//AC ．（1）求证：四边形AEBO 是菱形；（2）若2AB =，OB=3，求AD 的长及四边形AEBO 的面积．16．如图，平行四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿射线AC 移动，点Q 从点C 出发以每秒1cm 的速度沿射线CA 移动．（1）经过几秒，以P ，Q ，B ，D 为顶点的四边形为矩形？（2）若BC∠AC 垂足为C ，求（1）中矩形边BQ 的长．17． 如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF =45°，分别连接EF 、BD ，BD 与AF 、AE 分别相交于点M 、N.（1）求证：EF =BE +DF .为了证明“EF =BE +DF ”，小明延长CB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程. （2）若正方形ABCD 的边长为6，BE =2，求DF 的长.18．已知：如图，在 Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ ， CD 是 ABC 的角平分线，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分別为E 、F.求证：四边形 CEDF 是正方形.四、综合题19．如图，在ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=45°，AEF 是由ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D .（1）求证：BE CF =；（2）当四边形ABDF 为菱形时，求CD 的长.20．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE∠AC ，且12DE AC =，连接CE（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）连接AE，若DB=6，AC=8，求AE的长.21．已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上.（1）如图1，连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断∠“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明；（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图（1），连接AF、CE．①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；②求AF的长；（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿∠AFB和∠CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q 的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵菱形周长为20cm∴一条边的边长a=5cm又∵一条对角线长为8cm根据勾股定理可得另一条对角线长的一半22543 b-=∴另一条对角线长为6cm∴2186242m=⨯⨯=菱形的面积故答案为：B.【分析】本题考查菱形的性质、菱形的面积公式以及勾股定理，首先根据菱形的四边相等可知边长为5，又因为菱形的对角线垂直，所以结合一条已知的对角线求出另一条对角线的长度为6，两条对角线长度已知即可求出菱形的面积.2．【答案】B【解析】【解答】矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故A不符合题意；矩形的对角线互相不垂直，菱形的对角线互相垂直，故B符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对角都相等，故C不符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对边都平行，故D不符合题意；故答案为：B．【分析】菱形和矩形具有平行四边形的一切性质，菱形特有：四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角，矩形特有：四个角都是直角，对角线相等，据此逐一判断即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、测量四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C 不符合题意；D、测量四边形画框的四边是否相等，能判断四边形是菱形，故选项D不符合题意.【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，据此一 一判断得出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：四边形ABCD 为矩形60BDC ∠=︒=60ABD ∴∠︒AE BD ⊥30BAE ∴∠=︒AB 2∴=故答案为：B ．【分析】由矩形的性质求出∠ABD=90°，利用三角形内角和求出∠BAE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；B 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项不符合题意；C 、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故C 选项不符合题意，D 选项符合题意.故答案为：D.【分析】利用对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形；对角线相等且互相垂直的平行四边形 是正方形，一一判断可得答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：依题意得()2()a b b b a b +=++整理得：22222a b ab b ab ++=+则220a b ab -+= 方程两边同时除以2a 2()10b b a a --=152b a +∴=（负值已经舍去）【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a＋b），右图是一个长方形，长宽分别为（b＋a＋b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a＋b）2＝b（b＋a＋b），解方程即可求出ba的值.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AC∠BD，∠CDO= 12∠ADC=12∠ABC=25°∴∠DOC=90°∵点E是CD的中点∴OE=DE= 12CD∴∠DOE=∠CDO=25°∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°+25°=115°故答案为：C.【分析】根据菱形的性质得出AC∠BD，∠CDO=25°，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出OE=DE，则由等腰三角形的性质求出∠DOE=25°，最后根据角的和差关系求∠AOE的度数即可. 8．【答案】A【解析】【解答】解：延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E∵∠ABC=∠BCD=120°∴∠EBC=∠ECB=60°∴∠BCE是等边三角形∵BC=4，∴EC=BE=BC=4∵AB=1，CD=6∴AE=1+4=5，DE=CD+CE=4+6=10∵∠A=90°∴22221057553DE AE-=-=故答案为：53.【分析】延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E，结合已知易得∠BCE是等边三角形，由等边三角形的性质可得EC=BE=BC，由线段的构成可求出AE、DE的值，然后在直角三角形ADE中，用勾股定理可求得AD的值.9．【答案】A∴AO=CO BO=DO又BE=DF∴ BO+BE=DO+DF即EO=FO∴ 四边形AECF 是平行四边（对角线互相平分的四边形是平行四边形）故选：A【分析】根据矩形性质得到平行四边形的判定条件。

(北师大版)九年级数学(上册)各章测试题与期中、期末测试题与答案(共10套)

(北师大版)九年级数学(上册)各章测试题与期中、期末测试题与答案(共10套)

北师大版九年级数学上册第一章测试题 班级： ： 考号：一、填空题(本大题有10小题，每小题3分，共30分．将答案填在题中横线上) 1.在ABC ∆中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 .2.如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是 度.3.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 .4. ABC ∆中，ο90=∠C ，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ,若7=DC ，则D 到AB 的距离是 .5.如图，ABC ∠＝DCB ∠，需要补充一个直接条件才能使ABC ∆≌DCB ∆．甲、乙、丙、丁四位同学填写的条件分别是：甲“DC AB =”；乙“DB AC =”；丙“D A ∠=∠”；丁“ACB ∠＝DBC ∠”．那么这四位同学填写错误的是 .6. 用反证法证明 “三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“ ”，则与“ ”矛盾，所以原命题正确．7.补全“求作AOB ∠的平分线”的作法：①在OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD =OE .②分别以D 、E 为圆心，以 为半径画弧，两弧在AOB ∠交于点C .③作射线OC 即为AOB ∠的平分线.8.一轮船以每小时20海里的速度沿正向航行.上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B 处(如图)，上午9时行到C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里(结果保留根号).9.在ABC ∆中，A ∠＝90°，AC AB =，BD 平分B ∠交AC 于D ，BC DE ⊥于E ，若10=BC ，则DEC ∆的周长是 .10.如图是2002年8月在召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图小正方形的面积分别为522cm 和42cm ，则直角三角形的两条直角边的和是 cm .二、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）11.两个直角三角形全等的条件是（ ）（A ）一锐角对应相等； （B ）两锐角对应相等； （C ）一条边对应相等； （D ）两条边对应相等.12.到ABC ∆的三个顶点距离相等的点是ABC ∆的（ ）. （A ）三边垂直平分线的交点； （B ）三条角平分线的交点； （C ）三条高的交点； （D ）三边中线的交点. 13.如图，由21∠=∠，DC BC =，EC AC =，得ABC ∆≌EDC ∆的根据是（ ）（A ）SAS （B ）ASA （C ）AAS （D ）SSSABC D（第15题）(第18题)(第20题)（第3题）14.ABC ∆中，AC AB =，BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ，ο75=∠BDC ，则A ∠的度数为（ ）（A ）35° （B ）40° （C ）70° （D ）110° 15.下列两个三角形中，一定全等的是（ ） （A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形；（B ）两个等边三角形； （C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形；（D ）有一条边相等，有一个角相等的两个等腰三角形.16.适合条件A ∠=B ∠ =C ∠31的三角形一定是（ ）（A ）锐角三角形； （B ）钝角三角形； （C ）直角三角形； （D ）任意三角形. 17.有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小明想在A 处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（ ）.（A ）3米 （B ）4米 （C ）5米 （D ）6米18. 一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）.（A ）等腰三角形; （B ）等边三角形; （C ）直角三角形; （D ）等腰直角三角形.19.如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B 、B '分别在边AP 、AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB =B A '，那么该条件不可以是（ ）(A)AC B B ⊥' (B)C B BC '=(C)ACB ∠=B AC '∠ (D)ABC ∠ =C B A '∠20.如图，AO FD ⊥于D ，BO FE ⊥于E ，下列条件：①OF 是AOB ∠的平分线；②EF DF =；③EO DO =；④OFD ∠=OFE ∠.其中能够证明DOF ∆≌EOF ∆的条件的个数有（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个三、解答题(本大题有6小题，共60分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)21.（8分）已知：如图，A ∠=ο90=∠D ，BD AC =.求证：OC OB =.AB7（第7题）（第9题）(第10题)22.（8分）如图，OCB OBC ∠=∠，AOC AOB ∠=∠，请你写一个能用全部已知条件才能推出的结论，并证明你的结论.23.（10分）已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝CD ．求证：BD ＝DE .24.（10分）已知：如图，ABC ∆中，AC AB =，ο120=∠A .(1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交BC 、AB 于点M 、N (保留作图痕迹，不写作法).(2)猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想.AB C OAB C25. （本题满分12分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且CDE BAE ∠=∠． 求证：CD AB =. 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证CD AB =，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．AB C D E F A B C D E EF =DE （3）F GA B C D E （1） AB C D ECF ∥AB （2） F26．（12分）已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，可以说明：ACN ∆≌MCB ∆，从而得到结论：BM AN =．现要求：（1）将ACM ∆绕C 点按逆时针方向旋转180°，使A 点落在CB 上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）所得到的图形中，结论“BM AN =”是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）在（1）所得到的图形中，设MA 的延长线与BN 相交于D 点，请你判断△ABD 与四边形MDNC 的形状，并说明你的结论的正确性．A BC MNBC N北师大版九年级数学上册第一章测试题参考答案一、DAABCDDCBD二、11.PC PB PA ==； 12. ο80或ο20； 13. ο75； 14.7； 15.乙；16.三角形的三个角都小于ο60，三角形的角和是ο180；17.大于DE 21的长为半径；18. 320；19.10；20. 10.三、21由A ∠=ο90=∠D ，BD AC =，BC BC =知BAC ∆≌CDB ∆，因此有DC AB =.又DOC AOB ∠=∠（对顶角），A ∠=ο90=∠D ，所以BAC ∆≌CDB ∆，所以OD AO =.又BD AC =，所以BO BD AO AC -=-，即OC OB =.22.∵ ∠OBC =∠OCB ，∴ OB =OC .又∵ ∠AOB =∠AOC ，OA =OA ， ∴ △AOB ≌△AOC ，∴AB =AC .23. BD 是正三角形ABC 的AC 边的中线得AC BD ⊥，BD 平分ABC ∠，ο30=∠DBE .由CE CD =知∠CDE ＝∠E .由∠ACE ＝ 120°，得∠CDE ＋∠E ＝60°，所以∠CDE ＝∠E ＝300，则有BD ＝ DE ．24.（1）作图略；（2）连接AM ，则BM =AM .∵ AB =AC ，∠BAC =120°，∴ ∠B =∠C =30°于是 ∠MAB =∠B =30°，∠MAC =90°.∴ .21CM AM =故CM BM 21=，即CM =2BM .25.方法一：作BF ⊥DE 于点F ，CG ⊥DE 于点G . ∴ ∠F =∠CGE =90°.又∵ ∠BEF =∠CEG ，BE =CE ，∴ △BFE ≌△CGE .∴ BF =CG .在△ABF 和△DCG 中，∵ ∠F =∠DGC =90°，∠BAE =∠CDE ，BF =CG ，∴ △ABF ≌△DCG .∴ AB =CD .方法二：作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F .∴ ∠F =∠BAE .又∵ ∠ABE =∠D ，∴ ∠F =∠D .∴ CF =CD .∵ ∠F =∠BAE ，∠AEB =∠FEC ，BE =C E ，∴ △ABE ≌△FCE .∴ AB =CF . ∴ AB =CD .方法三：延长DE 至点F ，使EF =DE .又∵ BE =CE ，∠BEF =∠CED ，∴ △BEF ≌△CED . ∴ B F=CD ，∠D =∠F . 又∵ ∠BAE =∠D ，∴ ∠BAE =∠F . ∴ AB =BF .∴ AB =CD .26.（1）作图略.（2）结论“AN =BM ”还成立. 证明：∵ CN =CB ，∠ACN =∠MCB =60°，CA =CM ，∴ △ACN ≌△MCB .∴ AN =BM . （3）△ABD 是等边三角形，四边形MDNC 是平行四边形.证明： ∵ ∠DAB =∠MAC =60°，∠DBA =60°∴ ∠ADB =60°.∴ △ABD 是等边三角形.∵ ∠ADB =∠AMC =60°，∴ ND ∥CM .∵ ∠ADB =∠BNC =60°，∴ MD ∥CN .∴ 四边形MDNC 是平行四边形.北师大版九年级数学上册第二章测试题班级： ： 考号：一、选择题(每题3分，计30分)1．下列方程中，一元二次方程共有（ ）． ①2320x x += ②22340x xy -+= ③214x x -= ④21x =⑤2303xx -+= A ． 2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个 2．方程2(3)5(3)x x x -=-的根为（ ）． A ． 52x =B ．3x =C ．125,32x x ==D ． 125,32x x =-=- 3．若方程()a x =-24有解，则a 的取值围是（ ）． A ．0≤a B ．0≥a C ．0>a D ．无法确定4．若分式2926x x --的值为零，则x 的值为（ ）．A ．3B ．3或-3C ．0D ．-35．用配方法将二次三项式a 2+ 4a +5变形，结果是（ ）．A.(a –2)2+1B.(a +2)2+1C.(a –2)2-1D.(a +2)2-1 6．一元二次方程x 2-x+2=0的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根7．已知一个三角形的两边长是方程x 2-8x+15=0的两根，则第三边y 的取值围是（ ）． A ．y<8 B ．3<y<5 c ．2<y<8 D ．无法确定8．方程x 2+4x=2的正根为( )．A ．2-6B ．2+6C ．-2-6D ．-2+69．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（ ）． A ．62 B ．44 C ．53 D ．3510．王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（ ）． A ．5% B ．20% C ．15% D ．10% 二、填空题(每题3分，计30分) 11．把方程（2x+1）（x —2）=5－3x 整理成一般形式后，得 ，其中常数项是 ．12．方程22(2)250x x --=用 法较简便，方程的根为12____,____x x ==.13．方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是一元二次方程，则____m =.14．已知方程22155k x x =+-的一个根是2，则k 的值是 ，方程的另一个根为 ．15．当x=________时，代数式3x 2-6x 的值等于12．16．请你给出一个c 值, c= ，使方程x 2-3x+c=0无解． 17．已知x 2＋4x －2=0，那么3x 2＋12x ＋2002的值为 ．18．菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为 .19．第二象限一点A （x —1，x 2—2），关于x 轴的对称点为B ，且AB=6，则x=_________． 20．两个正方形，小的正方形的边长是大的正方形的边长一半多4cm ，大的正方形的面积是小的正方形的面积2倍少32cm 2．则大、小两正方形的边长分别为____________. 三、解答题(共40分) 21．（6分）用适当的方法解方程： （1） 2)2)(113(=--x x ； （2） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x ．22．（5分）已知222a ax x y --=，且当1=x 时，0=y ,求a 的值．23．（5分）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个解与方程311=-+x x 解相同． （1）求k 的值；（2）求方程x 2＋kx －2＝0的另一个根．24．（8分）我们知道：对于任何实数x ，①∵2x ≥0，∴2x +1＞0； ②∵2)31(-x ≥0，∴2)31(-x +21＞0. 模仿上述方法解答：求证：（1）对于任何实数x ，均有：3422++x x ＞0；（2）不论x 为何实数，多项式1532--x x 的值总大于2422--x x 的值．25．（8分）若把一个正方形的一边增加2 cm ，把另一边增加1 cm ，所得的矩形比正方形面积多14 cm 2，求原来得正方形边长． 26．（8分）三个连续正奇数，最大数与最小数的积比中间一个数的6倍多3，求这三个正奇数．四、拓广提高（共20分） 27．（10分）某校2006年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2008年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？28．（10分）为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6km到科技展览馆参观．返回时比去时每小时少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时．求学生返回时步行的速度．北师大版九年级数学上册第二章测试题参考答案一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10． D 二、填空题11．7,0722-=-x 12．因式分解法，21,31-13．—2 14．3,3±15．51± 16．3等 17．2008 18．16 19．5- 20．16cm ，12cm 三、解答题21．（1）020173,222116322=+-=+--x x x x x ,4,3521==x x ； （2）,6331244),2)(1(312)1(422-+=-++-=-+x x x x x x x x062=-+x x ,3,221-==x x22．把x=1,y=0代入得2,1,20212-==--=a a a a 23．（1）方程311=-+x x 的解为，x=2，把x=2代入方程x 2＋kx －2＝0得：4+2k-2=0，k=—1；（2）x 2—x －2＝0的根为1,221-==x x ,所以方程x 2＋kx －2＝0的另一个根为—1． 24．（1）01)1(234222>++=++x x x ；（2）043)21(1)242(1532222>+-=+-=-----x x x x x x x 即1532--x x >2422--x x .25．设原正方形的边长为x ，则4,14)1)(2(2=+=++x x x x ． 所以，原来得正方形边长为4cm ．26．设中间一个正奇数为x ，则1,7,36)2)(2(21-==+=-+x x x x x 由于x 为正奇数,x=—1舍去，三个正奇数为5，7，9 四、拓广提高27．设该校捐款的平均年增长率是x ，则75.4)1(1)1(112=+⨯++⨯+x x ， 整理，得75.132=+x x ，解得),(5.3%,505.021舍去不合题意-===x x ，所以，该校捐款的平均年增长率是50%． 28．设返回的速度为xkm/h ，则4,3,012,62116212-===-+=++x x x x xx （舍去）所以，学生返回时步行的速度为3km/h ．北师大版九年级数学上册第三章测试题班级： ： 考号：1、四边形的四个角中，最多时钝角有A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 2、四边形具有的性质是A 对边平行B 轴对称性C 稳定性D 不稳定性 3、一个多边形的每一个外角都等于720，则这个多边形的边数是A 四边B 五边C 六边D 七边 4、下列说法不正确的是A 平行四边形对边平行B 两组对边平行的四边形是平行四边形C 平行四边形对角相等D 一组对角相等的四边形是平行四边形 5、一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为A ︒30B ︒45C ︒60D ︒756、平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是A 2对 B 3对 C 4对 D 5 对7、 菱形具有而平行四边形不具有的性质是A .角和是360°； B. 对角相等； C. 对边平行且相等； D. 对角线互相垂直. 8、 平行四边形各角的平分线围成一个四边形，则这个四边形一定是 A. 矩形； B. 平行四边形； C. 菱形； D. 正方形9、 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC= a cm ，∠A=60°，BD 平分∠ABC ，则这个梯形的周长是A. 4a cm ；B. 5a cm ；C.6a cm ；D. 7a cm ；10、等边三角形的一边上的高线长为cm 32，那么这个等边三角形的中位线长为 A cm 3 B cm 5.2 C cm 2 D cm 4 二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。

北师大版数学九年级上册第一章考试试题带答案

北师大版数学九年级上册第一章考试试题带答案

试题北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形考试试卷一．选择题（共8小题，每题3分）1．对角线相等且互相平分的四边形是（）A．一般四边形B．平行四边形C．矩形 D．菱形2．下列说法中不能判定四边形是矩形的是（）A．四个角都相等的四边形 B．有一个角为90°的平行四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分的四边形3．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是（）A．任意四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形4．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（）A．对角线互相平分B．AB=BC C．AB=AC D．∠A+∠C=180°5．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A．2 B ．C．1 D ．6．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB=BC=CD=DAC．AB=BC，AD=CD，AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD7．已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D．AC平分∠BAD试题8．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（）A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm二．填空题（共6小题，每题3分）9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，若再补充一个条件，如∠A=_________度时，就能推出四边形ABCD是矩形．10．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是_________．11．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是_________．12．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是_________．13．一组邻边相等的_________是正方形，有一个角是_________角的菱形是正方形．14．如图，在△ABC中，点D是边BC上一动点，DE∥AC，DF∥AB，对△ABC及线段AD添加条件_________使得四边形AEFD是正方形．试题三．解答题（共11小题）15．（6分）如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．（1）求证：AC=FG．（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？16．（6分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？试题17．（6分）如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．18．（6分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：AC=BE；（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．19．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P．判断四边形MDPE的形状，并说明理由．试题20．（8分）如图：在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，交AC于O点，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．21．（8分）如图所示，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？22．（8分）在△ABC中，点O是AC边上一动点，点P在BC延长线上，过点O的直线DE∥BC交∠ACB与∠ACP的平分线于点D、E．（1）点O在什么位置时，四边形ADCE是矩形？说明理由．（2）在（1）的条件下，当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？为什么？试题23．（8分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）当点O在边AC上运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？24．（8分）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．25．（8分）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．试题（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由。

北师大版九年级数学上册第1章达标测试卷附答案

北师大版九年级数学上册第1章达标测试卷附答案

北师大版九年级数学上册第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，已知菱形ABCD 的边长等于2，∠DAB ＝60°，则对角线BD 的长为( )A ．1B. 3C ．2D ．2 3(第1题) (第3题) (第4题) (第6题) 2．已知正方形的面积为36，则其对角线的长为( )A ．6B ．6 2C ．9D ．9 23．如图，矩形ABCD 的对角线AC ＝8 cm ，∠AOD ＝120°，则AB 的长为( )A. 3 cmB ．2 cmC ．2 3 cmD ．4 cm4．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6 cm ，8 cm ，则这个菱形的周长为( )A ．5 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．20 cm5．下列命题中，真命题是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( ) A.15B.14C.13D.3107．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，四边形ADEF 为菱形，S △ABC ＝83，则S 菱形ADEF 等于( )A ．4B ．4 6C ．4 3D ．28(第7题) (第9题) (第10题)8．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是() A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC9．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，若线段AE＝6，则四边形ABCD的面积是()A．3 B．4 C．2 6 D．610．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为(10，8)，点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是() A．(0，4) B．(0，5) C．(0，3) D．(0，2)二、填空题(每题3分，共30分)11．在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4 cm，那么斜边AB＝________．12．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm，3 cm，则它的面积是________．13．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16 cm，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝16 cm，则∠1＝________．(第13题)(第16题)(第17题)14．已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，当添加条件__________时，矩形ABCD 是正方形(只填一个即可)．15．矩形的对角线相交所成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为1 cm，则其对角线长为________，矩形的面积为________．16．如图，菱形ABCD的顶点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．17．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED＝________．18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．(第18题)(第19题)(第20题)19．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________．20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G.下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论的序号为__________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：BE＝CF.22.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．23．如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB，EA，延长BE交AD于点F.(1)求证：△ADE≌△BCE；(2)求∠AFB的度数．24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB.(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小(作图说明)；(2)求出△BPE周长的最小值．25．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于点H，点E是AH上一点，延长AH 至点F，使FH＝EH，连接BE，CE，BF，CF.(1)求证：四边形EBFC是菱形；(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.26．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG，CG，如图①，易证EG＝CG且EG⊥CG.(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．答案一、1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.B7．C8.C9.D10.C二、11.8 cm12.3 cm213.120°14．AC⊥BD(答案不唯一)15．2 cm； 3 cm216.(4，4)17.45°18.501319.2－120.①②③⑤三、21.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD.∴BO＝CO.∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°.又∵∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF(AAS)．∴BE＝CF.22．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD.又∵E在AB的延长线上，且BE＝AB，∴BE∥CD，BE＝CD.∴四边形BECD是平行四边形．∴BD＝EC.(2)解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE.∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.23．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC.∵△CDE 是等边三角形，∴∠CDE ＝∠DCE ＝60°，DE ＝CE . ∴∠ADE ＝∠BCE ＝30°. 在△ADE 和△BCE 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠ADE ＝∠BCE ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△BCE (SAS)． (2)解：∵△ADE ≌△BCE ， ∴AE ＝BE . ∴∠BAE ＝∠ABE .又∵∠BAE ＋∠DAE ＝90°， ∠ABE ＋∠AFB ＝90°， ∴∠DAE ＝∠AFB .∵∠ADE ＝30°，DE ＝DC ＝DA ， ∴∠DAE ＝75°. ∴∠AFB ＝75°.24．解：(1)如图，连接DE ，交AC 于点P ′，连接BP ′，则此时P ′B ＋P ′E 的值最小，即当点P 在点P ′处时，△BPE 的周长最小．(2)∵四边形ABCD 是正方形， ∴B ，D 关于AC 对称． ∴P ′B ＝P ′D . ∴P ′B ＋P ′E ＝DE . ∵BE ＝2，AE ＝3BE ， ∴AE ＝6.∴AD ＝AB ＝8. ∴DE ＝62＋82＝10. ∴PB ＋PE 的最小值是10.∴△BPE的周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12. 25．证明：(1)∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH.又∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形.又∵EF⊥BC，∴四边形EBFC是菱形．(2)如图所示．∵四边形EBFC是菱形，∴∠2＝∠3＝12∠ECF.∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠4＝12∠BAC.又∵∠BAC＝∠ECF，∴∠4＝∠3.∵∠4＋∠1＋∠2＝90°，∴∠3＋∠1＋∠2＝90°，即AC⊥CF.26．解：(1)EG＝CG，EG⊥CG.(2)EG＝CG，EG⊥CG.证明如下：延长FE交DC的延长线于点M，连接MG，如图所示．易得∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC 是矩形．∴BE ＝CM ，BC ＝EM ，∠EMC ＝90°. 易知∠ABD ＝45°， ∴∠EBF ＝45°. 又∵∠BEF ＝90°，∴△BEF 为等腰直角三角形． ∴BE ＝EF ，∠F ＝45°. ∴EF ＝CM .∵∠EMC ＝90°，FG ＝DG ， ∴MG ＝12FD ＝FG . ∵BC ＝EM ，BC ＝CD ， ∴EM ＝CD . ∵EF ＝CM ， ∴FM ＝DM . 又∵FG ＝DG ，∴∠CMG ＝12∠EMC ＝45°. ∴∠F ＝∠CMG . 在△GFE 和△GMC 中，⎩⎨⎧FG ＝MG ，∠F ＝∠GMC ，EF ＝CM ，∴△GFE ≌△GMC (SAS)． ∴EG ＝CG ，∠FGE ＝∠MGC . ∵MF ＝MD ，FG ＝DG ， ∴MG ⊥FD .∴∠FGE ＋∠EGM ＝90°. ∴∠MGC ＋∠EGM ＝90°， 即∠EGC ＝90°. ∴EG ⊥CG .九年级数学上册期末达标检测卷一、选择题(每题4分，共40分)1．已知a，d，c，b是成比例线段，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，则d的长度为()A．4 cm B．1 cm C．9 cm D．5 cm2．在反比例函数y＝k－1x图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是()A．k＜0 B．k＞0 C．k＜1 D．k＞13．对于抛物线y＝－12(x＋2)2＋3，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝2；③顶点坐标为(－2，3)；④当x＞2时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为()A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在▱ABCD中，E是AD边的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是()A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：55．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝5，BC ＝2，则sin∠ACD的值为()A.52 B.2 55 C.53 D.236．如图，P为线段AB上一点，AD与BC相交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC 交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有()A．1对B．2对C．3对D．4对7．如图，在直角平面坐标系中，△OAB 的顶点为O (0，0)，A (4，3)，B (3，0)．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的相似比为13的位似图形△OCD ，则点C 的坐标为( )A ．(－1，－1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－43 D ．(－2，－1) 8．如图，在笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，且AB ＝2 km.从A 站测得船C 在北偏东45°方向，从B 站测得船C 在北偏东22.5°方向，且tan 22.5°＝2－1，则船C 离海岸线l 的距离(即CD 的长)为( ) A ．4 kmB ．(2＋2)kmC ．2 2 kmD ．(4－2)km9．如图，已知边长为4的正方形EFCD 截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF＝2，BF ＝1.在AB 上找一点P ，使得矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 面积的最大值为( ) A ．8B ．12C.252D ．1410．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2＋2 3x 的顶点为A ，且与x轴的正半轴交于点B ，点P 为该抛物线对称轴上一点，则OP ＋12AP 的最小值为( ) A.3＋2214B.3＋232C ．3D ．2 3二、填空题(每题5分，共20分)11．如图，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是________．12．如图，点P 是反比例函数y ＝43x (x >0)图象上一动点，在y 轴上取点Q ，使得以P ，Q ，O 为顶点的三角形是含有30°角的直角三角形，则符合条件的点Q 的坐标是________________．13．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，其与x 轴的交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中－2＜x 1＜－1，0＜x 2＜1，下列结论：①abc ＞0；②4a －2b ＋c ＜0；③2a －b ＜0.其中正确的有____________(填序号)．14．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，使点C 恰好落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，使点A 恰好落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG .其中正确的有____________(填序号)．三、解答题(15～18题每题8分；19，20题每题10分；21，22题每题12分；23题14分，共90分)15．计算：(－1)2 022－6tan30°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋|1－3|.16．已知抛物线y ＝12x 2－4x ＋7与直线y ＝12x 交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)求抛物线顶点C 的坐标，并求△ABC 的面积．17．如图，在△ABC中，AB＝43，AC＝10，∠B＝60°，求△ABC的面积．18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O 为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)计算△A′B′C′的面积．19．如图，已知在正方形ABCD中，BE平分∠DBC，交CD边于点E，将△BCE 绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G.(1)求证：△BDG∽△DEG；(2)若EG·BG＝4，求BE的长．20．设P(x，0)是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1.(1)求y1关于x的函数表达式，并画出这个函数的图象；(2)若反比例函数y2＝kx的图象与函数y1的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2.①求k的值；②结合图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．21．如图，某大楼DE的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：3，AB＝8米，AE＝12米．(1)求点B距水平面AE的高度BH；(2)求广告牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)22．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．经市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体表达式为w＝－2x＋240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y元，解答下列问题：(1)求y与x的函数表达式；(2)当x取何值时，y的值最大？(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2 250元的销售利润，销售单价应定为多少？23．矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O.①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；(2)如图②，在(1)的条件下，擦去AO和OP，连接BP.动点M在线段AP上(不与点P，A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问动点M，N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．答案一、1.B 2.D3．C【点拨】∵a＜0，∴抛物线的开口向下，①正确；抛物线y＝－12(x＋2)2＋3的对称轴为直线x＝－2，②错误；顶点坐标为(－2，3)，③正确；④抛物线开口向下，当x＞2时，图象是下降趋势，y随x的增大而减小，④正确．故选C.4．A【点拨】在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∵E是AD的中点，∴DE＝12AD＝12BC.由AD∥BC可得，△EDF∽△BCF.它们的周长比等于相似比，∴周长比等于ED BC＝12BC：BC＝1：2.故选A.5．C【点拨】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝2，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝（5）2＋22＝3. ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∠B ＋∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ， ∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53. 故选C.6．C 【点拨】∵∠CPD ＝∠A ，∠D ＝∠D ，∴△ADP ∽△PDG ，∴∠APD ＝∠PGD ，∴∠FPB ＝∠AGP .∵∠CPF ＝∠B ，∠C ＝∠C ，∴△CPF ∽△CBP ，∴∠CFP ＝∠CPB ，∴∠PFB ＝∠APG ；在△AGP 和△BPF 中，∠AGP ＝∠BPF ，∠APG ＝∠BFP ，∴△AGP ∽△BPF .故选C. 7．B 8.B9．B 【点拨】延长NP 交EF 于点G ，设PG ＝x ，则PN ＝4－x . ∵PG ∥BF ，∴△APG ∽△ABF ， ∴AG AF ＝PG BF ，即AG 2＝x 1， 解得AG ＝2x ，∴PM ＝EG ＝EA ＋AG ＝2＋2x ，∴S 矩形PNDM ＝PM ·PN ＝(2＋2x )(4－x )＝－2x 2＋6x ＋8＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋252(0≤x ≤1)，当x ＝1时，矩形PNDM 的面积最大，最大值为12.故选B .10．C 【点拨】连接AB ，过点P 作PC ⊥AB 于点C .设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D .易求出抛物线的对称轴为直线x ＝3，顶点A (3，3)，故BD ＝OD ＝3，AD ＝3，在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝33，∴∠BAD ＝30°，∴PC ＝12AP .当O ，P ，C 三点共线时，OP ＋PC 的长最短，最短距离为sin ∠OBC ·OB ＝sin 60°×2 3＝3.∴OP ＋12AP 的最小值为3.故选C.二、11.212．(0，23)或(0，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，833或(0，8) 13．①②③ 【点拨】①∵图象开口向下， ∴a ＜0，∵图象的对称轴在y 轴左侧， ∴－b2a ＜0，而a ＜0，∴b ＜0， ∵图象与y 轴的交点在正半轴上， ∴c ＞0，∴abc ＞0，故结论正确． ②∵－2＜x 1＜－1，∴当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＜0，故结论正确． ③∵－2＜x 1＜－1，0＜x 2＜1， ∴－b2a ＞－1，∵a ＜0， ∴2a －b ＜0，故结论正确． 故正确的结论有①②③.14．①③④ 【点拨】∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰好落在边AD 上的点F 处， ∴∠1＝∠2，CE ＝FE ，BF ＝BC ＝10.在Rt △ABF 中，∵AB ＝6，BF ＝10， ∴AF ＝102－62＝8，∴DF ＝AD －AF ＝10－8＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝CD －CE ＝6－x .在Rt △DEF 中，∵DE 2＋DF 2＝EF 2，∴(6－x )2＋22＝x 2，解得x ＝103，∴DE ＝83.∵△ABG 沿BG 折叠，点A 恰好落在线段BF 上的点H 处，∴∠3＝∠4，BH ＝BA ＝6，AG ＝HG ，∴∠EBG ＝∠2＋∠3＝12∠ABC ＝45°，∴①正确．HF ＝BF －BH ＝10－6＝4，设AG ＝y ，则GH ＝y ，GF ＝8－y .在Rt △HGF 中，∵GH 2＋HF 2＝GF 2，∴y 2＋42＝(8－y )2，解得y ＝3，∴AG ＝GH ＝3，GF ＝5.∵∠A ＝∠D ，AB DE ＝94，AG DF ＝32，∴AB DE ≠AGDF ，∴△ABG 与△DEF 不相似，∴②错误．∵S △ABG ＝12AB ·AG ＝12×6×3＝9，S △FGH ＝12GH ·HF ＝12×3×4＝6，∴S △ABG ＝32S △FGH ，∴③正确．∵AG ＋DF ＝3＋2＝5，而FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ，∴④正确．三、15.解：原式＝1－6×33＋4＋3－1＝4－ 3.16．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2－4x ＋7，y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72.∴A (2，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72.(2)∵y ＝12x 2－4x ＋7＝12(x －4)2－1， ∴顶点C 的坐标为(4，－1)．过顶点C 作CD ∥x 轴交直线y ＝12x 于点D ，如图．在y ＝12x 中，令y ＝－1，得12x ＝－1，解得x ＝－2，∴CD ＝6，∴S △ABC ＝S △BCD －S △ACD ＝12×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋1－12×6×(1＋1)＝7.5.17．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin B ＝4 3×32＝6，BD ＝AB ·cos B ＝4 3×12＝2 3.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝102－62＝8， ∴BC ＝BD ＋CD ＝2 3＋8.∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×(23＋8)×6＝63＋24. 18．解：(1)如图．(2)S △A ′B ′C ′＝4×4－12×2×2－12×2×4－12×2×4＝6.19．(1)证明：∵BE 平分∠DBC ， ∴∠DBG ＝∠CBE ，根据旋转的性质，得∠EDG ＝∠CBE ， ∴∠DBG ＝∠EDG ， 又∵∠DGB ＝∠EGD ， ∴△BDG ∽△DEG .(2)解：由(1)知△BDG ∽△DEG ， ∴BG DG ＝DGEG ，∴DG 2＝EG ·BG . ∵EG ·BG ＝4，∴DG 2＝4， ∴DG ＝2(负值舍去)．∵∠EDG ＝∠CBE ，∠DEG ＝∠BEC ， ∴∠BGD ＝∠BCE ＝90°. ∴∠BGF ＝∠BGD ＝90°.又∵BG ＝BG ，∠DBG ＝∠FBG ， ∴△DBG ≌△FBG .∴DG ＝FG ，∴DF ＝2DG ＝4， 由题意可知，BE ＝DF ， ∴BE ＝4.20．解：(1)由题意得，y 1＝||x ，即y 1＝||x ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0.函数图象如图所示．(2)①∵点A的纵坐标为2，点A在函数y1的图象上，∴||x＝2，即x＝±2.∴点A 的坐标为(2，2)或(－2，2)．∴k＝±4.②当k＝4时，图象如图①，当y1>y2时，x的取值范围为x＜0或x＞2；当k＝－4时，图象如图②，当y1>y2时，x的取值范围为x＜－2或x＞0. 21．解：(1)过点B作BG⊥DE于点G，如图．在Rt△ABH中，tan ∠BAH＝13＝33，∴∠BAH＝30°，∴BH＝12AB＝4(米)．∴点B距水平面AE的高度BH为4米．(2)由(1)知BH＝4(米)，∴GE＝BH＝4(米)，AH＝4 3(米)．∴BG＝HE＝AH＋AE＝(4 3＋12)米．在Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝(4 3＋12)米．在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝12米，∴DE＝AE·tan ∠DAE＝12·tan 60°＝12 3(米)．∴CD＝CG＋GE－DE＝4 3＋12＋4－12 3＝16－8 3≈16－8×1.732≈2.1(米)．∴广告牌CD的高度约为2.1米．22．解：(1)由题意得y＝(x－50)·w＝(x－50)·(－2x＋240)＝－2x2＋340x－12 000，∴y与x的函数表达式为y＝－2x2＋340x－12 000.(2)y＝－2x2＋340x－12 000＝－2(x－85)2＋2 450，∴当x＝85时，y的值最大．(3)当y＝2 250时，可得－2(x－85)2＋2 450＝2 250，解这个方程，得x1＝75，x2＝95，根据题意知，x＝95不合题意，故舍去，∴销售单价应定为75元/千克．23．(1)①证明：如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠D ＝∠B ＝90°，∴∠1＋∠3＝90°.由折叠可得∠APO ＝∠B ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.∴∠3＝∠2.又∵∠C ＝∠D ，∴△OCP ∽△PDA .②解：∵△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，且△OCP ∽△PDA ， ∴OP P A ＝CP DA ＝12.∴CP ＝12AD ＝4，AP ＝2OP .设OP ＝x ，则易得CO ＝8－x .在Rt △PCO 中，∠C ＝90°，由勾股定理得 x 2＝(8－x )2＋42.解得x ＝5.∴AB ＝AP ＝2OP ＝10.(2)解：线段EF 的长度不变．作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，如图．∵AP ＝AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP.∴MP＝MQ.又∵BN＝PM，∴BN＝QM.∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF，∠MQF＝∠FBN，∴△MFQ≌△NFB.∴QF＝FB.∴QF＝12QB.∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝12PQ.∴EF＝EQ＋QF＝12PQ＋12QB＝12PB.∵PC＝4，BC＝8，∠C＝90°. ∴PB＝82＋42＝4 5，∴EF＝12PB＝2 5.∴动点M，N在移动的过程中，线段EF的长度不变，恒为2 5.。

北师大版九年级上册数学第一章测试题(附答案)

北师大版九年级上册数学第一章测试题(附答案)

北师大版九年级上册数学第一章测试题(附答案)北师大版九年级上册数学第一章测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。

下列结论一定成立的是（）A.对角线相等B.四边形是矩形C.四边形是平行四边形D.对角线互相平分2.矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（）A.邻边相等B.四个角都是直角C.对角线相等D.对角线互相平分3.如图，CD于E，F，PD．点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，连接PB，若AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为（）A.10B.12C.16D.184.如图，将两根相同的矩形木条沿虚线剪开得到四根完全一样的木条，然后重新围城一个矩形画，则围城的矩形画框的内框的面积为（）A.48B.64C.72D.965.如图，在矩形ABCD中，E为BC边的中点，∠AEC的平分线交AD边于点F，若AB=3，AD=8，则FD的长度为（）A.1B.2C.3D.46.在四张边长都是10厘米的正方形纸板上，分别剪下一个长5厘米，宽3厘米的长方形，剩下图形周长最长的是（）A.一个等腰直角三角形B.一个等腰非直角三角形C.一个矩形D.一个等边三角形7.在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为（-1，y），（x，y），（-1，5），（-5，z），若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有（）A.1个B.3个C.4个D.5个8.下列命题正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.两组对角线分别相等的四边形是平行四边形9.四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.任意四边形10.若正方形的周长为40，则其对角线长为（）A.20B.25C.30D.35答案：1.A2.C3.B4.C5.B6.C7.B8.B9.B 10.DA。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形测试卷(全章)

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形测试卷(全章)

北师大版九年级数学测试卷（考试题）D CB A EF 第一章 特殊平行四边形周周测8一、选择（每题3分，共30分）1 矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A 对角线相等B 对边相等C 对角相等D 对角线互相平分2.下列命题正确的是（ ）A 有一个角是直角的四边形是矩形B 两条对角线相等的四边形是矩形C 两条对角线互相垂直的四边形是矩形D 四个角都是直角的四边形是矩形3. 如图所示，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DAE 等于（ ）A 15°B 30°C 45°D 60° 4. 在菱形ABCD 中，不一定成立的是（ ） A 四边形ABCD 是平行四边形 B AC ⊥BDC △ABD 是等边三角形D ∠CAB=∠CAD5. 已知菱形的两条对角线长分别是4cm 和8cm ，则与此菱形同面积的正方形的边长是（ ）A. 8cm B 4cm C 22cm D 24cm6. 能判定四边形是正方形的条件是（ ） A 对角线相等 B 对角线互相平分C 对角形相等且垂直D 对角线相等且互相垂直平分 7．下列命题中，不成立的是（ ）A 对角线互相平分的四边形是平行四边形B 对角线相等的平行四边形是矩形C 对角线互相垂直的平行四边形是菱形D 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形8．在下列图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是（ ） A 矩形 B 菱形 C 平行四边形 D 正方形9．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线EF 交对角线A C 于点F 、E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于（ ） A ．80° B ．70° C ．65° D ．60°A BD CD C B AEF EO A BCD 10. 顺次联结对角线互相垂直且相等的四边形四边的中点所得的四边形是( )A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 二、填空（每空2分，共30分）11. 菱形的两条对角线的长分别是4cm 和6cm,则它的面积为_______cm 2. 12. 矩形的对角线的性质是＿＿＿＿＿＿＿。

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北师大版九年级(上) 第一章
证明(二)复习题一、选择题
1、已知等腰三角形的一个角为
75°，则其顶角为（）A.36° B.45° C.60° D.72°
2、等腰直角三角形的斜边长为a ，则其斜边上的高为（
）A.a 23
B.a 2
C.2a
D.a
42
3、如图，△ABC 中，AB=BD=AC ，AD=CD ，则∠ADB 的度数是（
）A.36° B.45°
C.60°
D.72°(第3题图) (第4题图)
4、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，CD 、BE 是△ABC 的角平分线，CD 、BE 相交于点O ，则图中等腰三角形有（
）A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
5.逆命题“两直线平行，同旁内角互补”的原命题是（
）A.两直线平行，同位角相等
B.两直线平行，内错角相等
C.同旁内角互补，两直线平行
D.同位角相等，两直线平行二、填空题
6、已知等腰三角形的两边长分别为
3cm 、6cm ，则该等腰三角形的周长为cm. 7、如果等腰三角形的有一个角是
80°，那么顶角是度；8、若等腰三角形的腰长为
4，腰上的高为2，则此等腰三角形的顶角为. 9、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，垂足为E ，则∠DBC
的度数是. 10、△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D 。

若DC=7，则D 到AB 的距离是
.
11、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线
MN 与AB 交于D 点，则∠BCD 的度数为. 12、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 的长为
13、已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点，
OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC = 10 cm ，则△ODE 的周长
14、在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB=AD ；②∠BAC=∠DAC ；③BC=DC ，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：
15、在△ABC 中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于
P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 . 三、解答题
16、如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD 、CD 的长.
17、如图，在
Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一直线
BE 折叠这个三角形，使点C 与AB 边上的一点D 重合。

当∠A 满足什么条件时，点D 恰好为AB 的中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明
D 为AB 的中点. 18、已知：如图，△
ABC 中，AB=AC ，∠A=120°. (1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交
BC 、AB 于点M 、N(保留作图痕迹，不写作法
). (2)猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想。

19、如图，求作一点P 使PC=PD ，并且使点P 到∠AOB 的两边的距离相等
20、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC ；
· D
B。

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