北京市清华附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

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北京市清华大学附属中学2019-2020学年高一上学期数学期末考试卷带讲解

【详解】解：根据题意，若函数是，上的平均值函数，
则方程，即在内有实数根，
若函数在内有零点．
则，解得，或．
（1），．．
对称轴：．
① 时，，，（1），因此此时函数在内一定有零点．满足条件．
② 时，，由于（1），因此函数在内不可能有零点，舍去．
综上可得：实数的取值范围是，．
【详解】因为，所以；；； .
故最大.
故选：B.
【点睛】本题考查了根据实数范围比较实数大小，属于基础题.
5.“ ， ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由可解得或，即可判断.
【详解】若，则，，
即或，
则可得“ ， ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
6.下列区间包含函数零点的为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.
【详解】，，
，，
，又为上单调递增连续函数
故选：C .
7.函数的定义域为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
2.下列函数在定义域内单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于B，，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C，，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；

2019-2020学年北京市清华附中高一(上)期末数学试卷(1)

2019-2020学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题4分，共40分）.1．（4分）已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．（4分）下列函数在定义域内单调递增的是（）A．y＝x2B．y＝tan x C．y＝0.5x D．y＝lgx3．（4分）若点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝（）A．B．C．D．4．（4分）在a＝log30.1，b＝tan，c＝2，d＝sin2中，最大的数为（）A．a B．b C．c D．d5．（4分）“α+β＝+2kπ，k∈Z”是“sinα＝cosβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）下列区间包含函数f（x）＝x+log2x﹣5零点的为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）7．（4分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）8．（4分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件9．（4分）已知θ＝（0，），sin2θ＝，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（4分）若函数f（x）的图象上存在一点A（x0，y0），满足x0+y0＝0，且x0y0≠0，称函数f（x）为“可相反函数”．在：①y＝sin x；②y＝lnx；③y＝x2+4x+1；④y＝﹣e﹣x中，为“可相反函数”的全部序号是（）A．①②B．②③C．①③④D．②③④二、填空题（每小题5分，共30分）.11．（5分）已知幂函数f（x）＝x m经过点（2，），则f（）＝．12．（5分）已知θ为第二象限角，且sinθ＝，则sin（θ+）＝．13．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则函数f（x）的单调递增区间为．14．（5分）关于函数f（x）＝sin x与g（x）＝cos x有下面三个结论：①函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象平移得到：②函数f（x）与函数g（x）在（，π）上均单调递减；③若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|≤1．其中全部正确结论的序号为．15．（5分）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣k恰有两个不同的零点．则实数k的取值范围为．16．（5分）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”．x0是它的一个均值点，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分）.17．（13分）计算：（1）log64+2log63．（2）×（3）cos120°+tan135°．18．（13分）已知＝．（1）若α为第三象限角，求cosα的值；（2）求tan（α+）的值；（3）求cos2α的值．19．（13分）已知函数f（x）＝|log a x|（a＞0，a≠1）．（1）若f（2）＝，求实数a的值；（2）若0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求x1x2的值；（3）若函数f（x）在[，3]的最大值与最小值之和为2，求实数a的值．20．（13分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x+）．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程：（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，求实数m的取值范围．21．（14分）若函数f（x）的定义域为R，且存在非零实数T，使得对于任意x∈R，f（x+T）＝Tf（x）恒成立，称函数f（x）满足性质P（T）．（1）分别判断下列函数是否满足性质P（1），并说明理由；①f（x）＝sin2πx；②g（x）＝cosπx．（2）若函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），求函数f（x）的解析式；（3）若函数f（x）满足性质P（1.01）．求证：存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．22．（14分）已知集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{﹣1，1}，直接写出集合A+及A﹣；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，求证x1+x4＝x2+x3；（3）若集A⊆{x|0≤x≤2020，x∈N}，且A+∩A﹣＝∅，求集合A中元素的个数的最大值．2019-2020学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共40分）.1．（4分）已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】化简集合A，利用元素与集合之间的关系即可得出．【解答】解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，四个选项中，只有0∈A，故选：C．2．（4分）下列函数在定义域内单调递增的是（）A．y＝x2B．y＝tan x C．y＝0.5x D．y＝lgx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于B，y＝tan x，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝0.5x，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；对于D，y＝lgx，是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；故选：D．3．（4分）若点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝（）A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝＝，故选：A．4．（4分）在a＝log30.1，b＝tan，c＝2，d＝sin2中，最大的数为（）A．a B．b C．c D．d【分析】分别判断三个数的大小，进行比较即可．【解答】解：a＝log30.1＜0，b＝tan＝1，c＝2∈（0，1），d＝sin2＜1，则最大的是b＝1．故选：B．5．（4分）“α+β＝+2kπ，k∈Z”是“sinα＝cosβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】sinα＝cosβ⇒cos（﹣α）＝cosβ，可得β＝2kπ±（（﹣α），k∈Z．即可判断出结论．【解答】解：sinα＝cosβ⇒cos（﹣α）＝cosβ，∴β＝2kπ±（（﹣α），k∈Z．化为：α+β＝+2kπ，k∈Z，或β﹣α＝﹣+2kπ，k∈Z，∴“α+β＝+2kπ，k∈Z“是“sinα＝cosβ“的充分不必要条件．故选：A．6．（4分）下列区间包含函数f（x）＝x+log2x﹣5零点的为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【分析】此类选择题可以用代入计算出函数值，利用零点判定定理解决【解答】解：经计算f（1）＝1﹣5＝﹣4＜0，f（2）＝2+1﹣5＝﹣2＜0，f（3）＝3+log23﹣5＝log23﹣2＜0，f（4）＝4+2﹣5＝1＞0，故函数的零点所在区间为（3，4），故选：C．7．（4分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则ln（x+1）≠0，且x+1＞0，即x＞﹣1且x≠0，故函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠0}，故选：A．8．（4分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件【分析】若每批生产x件，则平均仓储时间为天，可得仓储总费用为，再加上生产准备费用为800元，可得生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝元，由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小值对应的x值【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f（x）取得最小值、可得x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B．9．（4分）已知θ＝（0，），sin2θ＝，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．【解答】解：∵θ＝（0，），sin2θ＝，∴sinθ﹣cosθ＜0，∴sinθ﹣cosθ＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故选：D．10．（4分）若函数f（x）的图象上存在一点A（x0，y0），满足x0+y0＝0，且x0y0≠0，称函数f（x）为“可相反函数”．在：①y＝sin x；②y＝lnx；③y＝x2+4x+1；④y＝﹣e﹣x中，为“可相反函数”的全部序号是（）A．①②B．②③C．①③④D．②③④【分析】根据已知条件把问题转化为函数f（x）与直线y＝﹣x有交点且交点不在坐标原点，结合图象即可得到结论【解答】解：由定义可得：；函数f（x）为“可相反函数”，即函数f（x）与直线y＝﹣x有交点且交点不在坐标原点．结合图象可得：只有②③④符合要求；故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）.11．（5分）已知幂函数f（x）＝x m经过点（2，），则f（）＝．【分析】把点的坐标代入幂函数解析式求出m的值，求出解析式，再计算f（）的值．【解答】解：幂函数f（x）＝x m经过点（2，），即2m＝，解得m＝﹣2，所以f（x）＝x﹣2；所以f（）＝＝．故答案为：．12．（5分）已知θ为第二象限角，且sinθ＝，则sin（θ+）＝﹣．【分析】由已知结合同角平方关系可求cosθ，然后结合诱导公式进行化简即可求解．【解答】解：因为θ为第二象限角，且sinθ＝，所以cos，则sin（θ+）＝cosθ＝﹣．故答案为：﹣13．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则函数f（x）的单调递增区间为[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A＝1，•＝﹣，∴ω＝π．再根据五点法作图，可得π×+φ＝π，∴φ＝，f（x）＝sin（π•x+）．令2kπ﹣≤π•x+≤2kπ+，求得2k﹣≤x≤2k﹣，故函数的增区间为[2k﹣，2k﹣]，k∈Z，故答案为：[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．14．（5分）关于函数f（x）＝sin x与g（x）＝cos x有下面三个结论：①函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象平移得到：②函数f（x）与函数g（x）在（，π）上均单调递减；③若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|≤1．其中全部正确结论的序号为①②．【分析】根据正弦函数与余弦函数的性质逐个判断即可．【解答】解：对于①，由于f（x）＝sin x＝cos（x+），所以函数f（x）＝sin x的图象可由函数g（x）＝cos x的图象向左平移个单位得到；①正确；对于②，函数f（x）＝sin x在（，π）上为减函数，函数g（x）＝cos x在（，π）上为减函数；②正确；对于③，若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|＝|sin t﹣cos t|＝|sin（t﹣）|≤．故③错误；故正确结论序号为①②；故答案为：①②．15．（5分）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣k恰有两个不同的零点．则实数k的取值范围为（﹣1，0）∪[1，3]．【分析】题目等价于函数f（x）与y＝k的图象有2个不同的交点，作出图象，数形结合即可【解答】解：条件等价于方程f（x）＝k有2个不等实根，也即函数f（x）与y＝k的图象有2个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：由图象可知，﹣1＜k＜0或1≤k≤3，故k∈（﹣1，0）∪[1，3]，故答案为（﹣1，0）∪[1，3]．16．（5分）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”．x0是它的一个均值点，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是[0，+∞）．【分析】根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，若函数g（x）＝x2+mx﹣m 在（﹣1，1）内有零点．首先满足：△≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．对称轴：x＝﹣．对m分类讨论即可得出．【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，若函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内有零点．则△＝m2+4m≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．g（0）＝﹣m．对称轴：x＝﹣．①m≥0时，﹣≤0，g（0）＝﹣m≤0，g（1）＞0，因此此时函数g（x）在（﹣1，1）内一定有零点．∴m≥0满足条件．②m≤﹣4时，﹣≥2，由于g（1）＝1＞0，因此函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内不可能有零点，舍去．综上可得：实数m的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．三、解答题（共6小题，共80分）.17．（13分）计算：（1）log64+2log63．（2）×（3）cos120°+tan135°．【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可得解．（2）利用指数的运算即可求解．（3）利用诱导公式化简根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：（1）log64+2log63＝+2＝＝＝lg6；（2）×＝2+2+2＝2＝21＝2．（3）cos120°+tan135°＝cos（180°﹣60°）+tan（180°﹣45°）＝﹣cos60°﹣tan45°＝﹣﹣1＝﹣．18．（13分）已知＝．（1）若α为第三象限角，求cosα的值；（2）求tan（α+）的值；（3）求cos2α的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得cosα的值．（2）由题意利用两角和的正切公式，求得所给式子的值．（3）由题意利用二倍角公式的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：（1）∵已知＝＝，∴tanα＝3＝．∵α为第三象限角，∴cosα＜0，sinα＜0，且sin2α+cos2α＝1．求得sinα＝﹣，cosα＝﹣．（2）由以上可得，tan（α+）＝＝＝﹣2．（3）cos2α＝2cos2α﹣1＝2•﹣1＝﹣．19．（13分）已知函数f（x）＝|log a x|（a＞0，a≠1）．（1）若f（2）＝，求实数a的值；（2）若0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求x1x2的值；（3）若函数f（x）在[，3]的最大值与最小值之和为2，求实数a的值．【分析】（1）代入直接求解即可；（2）计算可知log a（x1x2）＝0，由此得到x1x2＝1；（3）分析可知函数f（x）在[，3]的最大值为2，讨论即可得解．【解答】解：（1）依题意，，即或，解得a＝4或；（2）依题意，|log a x1|＝|log a x2|，又0＜x1＜x2，故log a x1+log a x2＝0，即log a（x1x2）＝0，故x1x2＝1；（3）显然当x＝1时，函数f（x）＝|log a x|取得最小值为0，则函数f（x）在[，3]的最大值为2，若，解得或；若f（3）＝|log a3|＝2，解得或；结合（2）可知，只有或满足题意．20．（13分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x+）．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程：（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）直接利用已知条件求解即可．（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和对称轴求得f（x）的最小正周期和对称轴即可．（3）求出函数f（0）的值，然后求解函数在（0，π）的范围内，求出x的值等于f（0），即可得到m的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝4cos x sin（x+）．f（）＝0．（2）依题意，得函数f（x）＝4cos x sin（x+）＝4cos x•（sin x+cos x）＝sin2x+2cos2x ﹣1+1＝2（sin2x+cos2x）+1＝2sin（2x+）+1．它的最小正周期为＝π．函数f（x）的图象的对称轴方程令2x+＝kπ+，求得x＝kπ+，k∈Z．（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，f（0）＝4cos0sin＝2．2sin（2x+）+1＝2，可得x＝时，f（）＝2，所以0＜m≤．21．（14分）若函数f（x）的定义域为R，且存在非零实数T，使得对于任意x∈R，f（x+T）＝Tf（x）恒成立，称函数f（x）满足性质P（T）．（1）分别判断下列函数是否满足性质P（1），并说明理由；①f（x）＝sin2πx；②g（x）＝cosπx．（2）若函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），求函数f（x）的解析式；（3）若函数f（x）满足性质P（1.01）．求证：存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．【分析】（1）根据P（1）的定义可知，该函数的周期为1，利用公式可分别求出它们的周期；（2）根据P（2）、P（3）的性质，合理变换x的取值，结合性质，可构造出关于f（x）的方程解出f（x）；（3）采用构造法，将P（1.01）的性质转化为，让函数值随着x后面累加1.01，绝对值逐渐缩小，再利用赋值法求得符合题意的x0．【解答】解：（1）令T＝1，则f（x+1）＝f（x），即该函数的周期为1，∵f（x）＝sin2πx的周期为＝1，故f（x）满足性质P（1），②g（x）＝cosπx的周期为＝2，故g（x）不满足性质P（1），（2）函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），∴f（x+2）＝2f（x），f（x+3）＝3f（x），∴f（x+3）＝f（x+1+2）＝2f（x+1）＝3f（x）①又f（x+2）＝f（x﹣1+3）＝3f（x﹣1）＝2f（x）②结合f（x+1）＝f（x﹣1+2）＝2f（x﹣1）③，联立①②③消去f（x+1）、f（x﹣1）解得f（x）＝0．（3）因为f（x+1.01）＝1.01f（x），所以f（x）＝f（x+1.01），所以f（x﹣1.01）＝，取x＝0，，，……，f（﹣n×1.01）＝，（n∈N+）易知＜0.001，且随着n的增大|f（﹣n×1.01）|的值递减．对两边取常用对数得：﹣nlg1.01+lg|f（0）|＜﹣3整理后得，取大于的整数n时，对应的x0＝﹣n×1.01满足|f（x0）|＜0.001．所以，存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．22．（14分）已知集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{﹣1，1}，直接写出集合A+及A﹣；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，求证x1+x4＝x2+x3；（3）若集A⊆{x|0≤x≤2020，x∈N}，且A+∩A﹣＝∅，求集合A中元素的个数的最大值．【分析】（1）根据题目定义，直接得到集合A+及A﹣；（2）根据两集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的关系；（3）通过假设A集合{m，m+1，m+2，…，4040}，m≤2020，m∈N，求出相应的A+及A ﹣，通过A+∩A﹣＝∅建立不等关系求出相应的值．【解答】解：（1）根据题意，由A＝{﹣1，1}，则A+＝{﹣2，0，2}，A﹣＝{0，2}；（2）由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，所以A﹣中也只包含四个元素，即A﹣＝{0，x2﹣x1，x3﹣x1，x4﹣x1}，剩下的x3﹣x2＝x4﹣x3＝x2﹣x1，所以x1+x4＝x2+x3；（3）设A＝{a1，a2，…a k} 满足题意，其中a1＜a2＜…＜a k，则2a1＜a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a k＜a2+a k＜a3+a k＜…＜a k﹣1+a k＜2a k，∴|A+|⩾2k﹣1，a1﹣a1＜a2﹣a1＜a3﹣a1＜…＜a k﹣a1，∴|A﹣|⩾k，∵A+∩A﹣＝∅，由容斥原理|A+∪A﹣|＝|A+|+|A﹣|⩾3k﹣1，A+∪A﹣中最小的元素为0，最大的元素为2a k，∴|A+∪A﹣|⩾2a k+1，∴3k﹣1⩾2a k+1⩾4041（k∈N*），∴k≤1347，实际上当A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，证明如下：设A＝{m，m+1，m+2，…，2020}，m∈N，则A+＝{2m，2m+1，2m+2，…，4040}，A﹣＝{0，1，2，…，2020﹣m}，依题意有2020﹣m＜2m，即m＞673，故m的最小值为674，于是当m＝674时，A中元素最多，即A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1347．。

北京清华附中2022年高一上学期期末数学试题及答案

高一第一学期期末试卷数学（清华附中高21级）2022.01.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．若集合{|20}A x x =−<，{|1}xB x =>e ，则AB =( )A.RB.(,2)−∞ C.(0,2)D.(2,)+∞2．已知命题:p (0,)a ∀∈+∞，12a a+>，则p ⌝是 ( ) A.(0,)a ∃∈+∞，12a a +> B.(0,)a ∃∉+∞，12a a +>C.(0,)a ∃∈+∞，12a a+≤ D.(0,)a ∃∉+∞，12a a+≤3．已知n 3l a =，0.3log 2b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为( )A .a c b<<B .b c a<<C .a b c<<D .c a b<<4．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上为减函数的是( )A. sin 2y x =B. 2cos y x =C. tan y x =−D.cos2x y =5．已知f −1(x )是函数f (x )=10x 的反函数，则 f −1(1) 的值为 ( )A.0B.1C.10D.1006．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点()33−，则cos()απ+=( )B .3C .3−D 37．已知实数α，β，则 “k αβ=π+，k ∈Z ”是”sin 2sin 2αβ=”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8．已知指数函数()x f x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是( )A.32B.23C.39．已知函数1()sin()f x x ωϕ=+ (其中0,2πωϕ><)的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为 ( )A. 2, 3πB. 2, 3π− C. 1, 6π D. 1, 6π−10．已知函数()12x f x =−，2()43g x x x =−+，若存在实数,a b 使得()()f a g b =，则b 的取值范围是( )A ．2⎡⎣B ．(2C ．[]1,3D ．(1,3)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

【35套试卷合集】清华大学附属中学2019-2020学年数学高一上期末模拟试卷含答案

2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1.设集合M={-1，1}，N={x|{x＜0或x＞}，则下列结论正确的是（）A.N⊆MB.N∩M=∅C.M⊆ND.M∪N=R2.设=（2，-1），=（-3，4），则2+等于（）A.（3，4）B.（1，2）C.-7D.33.下列函数是偶函数的是（）A.y=x3B.y=3xC.y=2x2-1D.y=x2+2x-14.在△ABC中，=，=，若点D满足=2，则=（）A.+B.+C.+D.-5.已知a=0.23.5，b=0.24.1，c=e1.1，d=log0.23，则这四个数的大小关系是（）A.a＜b＜c＜dB.a＞b＞c＞dC.d＜b＜a＜cD.b＞a＞c＞d6.设f（x）=e x+x-4，则函数f（x）的零点所在区间为（）A.（-1，0）B.（0，1）C.（1，2）D.（2，3）7.下列函数中，周期为π，且在[]上为减函数的是（）A.y=sin（x+）B.y=cos（x+）C.y=cos（2x+）D.y=sin（2x+）8.已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2-x，那么当x＞0时f（x）的解析式是（）A.f（x）=-x2-xB.f（x）=x2+xC.f（x）=x2-xD.f（x）=-x2+x9.已知，则夹角θ为钝角时，λ取值范围为（）A. B. C.λ＞-且λ≠2 D.λ＜-且λ≠210.设函数f（x）定义在实数集上，当x≥1时，f（x）=3x-1，且f（x+1）是偶函数，则有（）A. B.C. D.11.已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（），则φ的值可以为（）A. B. C. D.12.若函数在区间(-∞，1]上为减函数，则a的取值范围是( )A.(0，1)B.[2，+∞)C.[2，3)D.(1，3)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.若非零向量，满足||=||，（2+）•=0，则与的夹角为 ______ ．14.已知sin（-α）=，则cos（π-α）= ______ ．15.函数y=的定义域为 ______ ．16. 设函数，则下列结论正确的是 ______ （写出所有正确的编号）．①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在区间上单调递增；③f（x）取得最大值的x的集合为④将f（x）的图象向左平移个单位，得到一个奇函数的图象三、解答题17.（本题10分）已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m-1≤x≤2m+1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围．18.（本题12分）已知向量，满足：||=1，||=2，且，夹角为120°（1）求|-2|（2）若（+2）⊥（k-），求实数k的值．19.（本题12分）已知sinα=且α是第二象限角．（1）求tanα的值（2）求sinα•cosα-cos2α的值；（3）求的值．20.（本题12分）已知函数图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为．（1）求该函数的解析式．（2）若，求f（x）的值域．21.（本题12分）已知f（x）=-sin（2x+）+2，求：（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程（2）f（x）的单调递增区间（3）若方程f（x）-m+1=0在x∈[0，]上有解，求实数m的取值范围．22.（本题12分）已知函数（a＞0，a≠1，m≠-1），是定义在（-1，1）上的奇函数．（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并给出证明；（3）若且f（b-2）+f（2b-2）＞0，求实数b的取值范围．数学答案【答案】1.C2.B3.C4.C5.C6.C7.D8.A9.C 10.D 11.A 12.C13.120°14.- 15.（3，] 16.①②④17.解：根据题意，若A∪B=A，必有B⊆A，分2种情况讨论：①当B=∅时，即2m+1＜m-1，解可得，m＜-2；（2分）②当B≠∅时，即2m+1≥m-1，解可得，m≥-2；（4分）此时有，解可得-1≤m≤3；（7分）综合可得：m的取值范围为m≤-2或-1≤m≤3．（10分）18.解：（1）=1，=4，=1×2×cos120°=-1，（2分）∴|-2|2=2-4+42=21，（4分）∴||=．（6分）（2）∵（+2）⊥（k-），∴（+2）•（k-）=0，（8分）即k-+2k-2=0，（10分）∴k-（2k-1）-8=0，解得k=-7．（12分）19. 解：（1）∵sinα=且α是第二象限角，…∴cosα=-=-，…（2分）∴tanα==-．…（3分）（2）sinα•cosα-cos2α==…（5分）==．…（7分）（3）原式==-…（9分）=-…（10分）==2．…（12分）20.解：（1）由题意可得，A=3，==-=，解得ω=2；（3分）再把点（，3）代入函数的解析式可得： 3sin （+φ）=3，即sin （+φ）=1；所以，Z k k ∈+=+2265ππφπ 再结合|φ|＜，可得φ=-，（5分）故此函数的解析式为f （x ）=3sin （2x-）；（6分）（2）x ∈[0，]时， 2x-∈[-，]，sin （2x-）∈[-，1]，（8分）所以x=0时，sin （2x-）=-，此时f （x ）取得最小-，x=时，sin （2x-）=1，此时f （x ）取得最大值3，（10分）所以函数f （x ）的值域是[-，3]．（12分） 21.解：（1）由于f （x ）=-sin （2x+）+2，它的最小正周期为=π，（1分）令2x +=k π+，求得x=+，（2分）k ∈，故函数f （x ）的图象的对称轴方程为x=+，k ∈．（4分）（2）令2k π+≤2x+≤2k π+，求得k π+≤x ≤k π+，（6分）可得函数f （x ）的增区间为[k π+，k π+]，k ∈．（8分）（3）若方程f （x ）-m+1=0在x ∈[0，]上有解，则函数f （x ）的图象和直线y=m-1在x ∈[0，]上有交点．∵x ∈[0，]，∴2x+∈[，]，sin （2x+）∈[-，1]，f （x ）∈[2-，]，（10分）故m-1∈[2-，]，∴m ∈[3-，]．（12分）22.解：（I ）∵f （0）=log a 1=0．因为f （x ）是奇函数，所以：f （-x ）=-f （x ）⇒f （-x ）+f （x ）=0 ∴log a +log a=0；∴log a=0⇒=1，即∴1-m 2x 2=1-x 2对定义域内的x 都成立．∴m 2=1．（3分）所以m=1或m=-1（舍） ∴m=1．（3分）（II）∵m=1∴f（x）=log a；设设-1＜x1＜x2＜1，则∵-1＜x1＜x2＜1∴x2-x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0∴t1＞t2．（6分）当a＞1时，log a t1＞log a t2，即f（x1）＞f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（-1，1）上是减函数．（7分）当0＜a＜1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．∴当0＜a＜1时，f（x）在（-1，1）上是增函数．（8分）（III）由f（b-2）+f（2b-2）＞0得f（b-2）＞-f（2b-2），∵函数f（x）是奇函数∴f（b-2）＞f（2-2b）（9分），∴0＜a＜1由（II）得f（x）在（-1，1）上是增函数∴（10分）∴∴b的取值范围是（12分）2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共４页，满分120分．考试限定用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考籍号分别填写在试卷和答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．第Ⅰ卷共10题，每小题4分，共40分.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号．只能涂在答题纸上, 答在试卷上无效．参考公式：12．球的表面积公式24S R π=,，其中R 为球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{0,1,2,3},{1,3}U A ==，则集合U C A =A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2 2．空间中，垂直于同一直线的两条直线A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能 3．已知幂函数()αx x f =的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则()4f 的值等于 A ．16 B.116 C ．2 D.124.A.（-2,1）B.[-2,1]C.()+∞-,2D. (]1,2- 5．动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值为AB D ．26．已知圆0964:221=+--+y x y x c ，圆019612:222=-+++y x y x c ，则两圆位置关系是A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离7．设()x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，()x x x f -=22，则()1f 等于A ．－3B ．－1C ．1D ．38．函数yA ．RB ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(2，＋∞) D. (0，＋∞)9．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是A. 78 cm 3B.23cm 3C.56 cm 3D. 12cm 3 10．已知函数()y f x =的定义域为{|x x R ∈且2}x ≠，且()2y f x =+是偶函数，当2x < 时，，那么当2x >时，函数()f x 的递减区间是A ．()3,5B ．()3,+∞C ．(]2,4D ．()2,+∞第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 计算 =+⨯+2lg 5lg 2lg )5(lg 2________.12. 已知直线013:1=-+y ax l 与直线()0112:2=+-+y a x l 垂直，则实数a =_____. 13．设()()()x f x g x x g =++=2,32，则()x f =________.14. 已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的体积为 . 15. 圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是 .三、解答题本大题共6小题, 共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分8分）设集合{|13}A x x =-≤<，{|242}B x x x =-≥-， {|1}C x x a =≥-.（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若B C C =，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分8分）已知平面内两点(8,6)(22)A B -，，.（Ⅰ）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程；（Ⅱ）求线段AB 的垂直平分线方程.18．（本小题满分10分）已知函数()log (1)log (3) (01)a a f x x x a =-++<<. （Ⅰ）求函数()f x 的零点；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值.19.（本小题满分10分）已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (Ⅰ)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(Ⅱ)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．20．（本小题满分12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，△ABC 是边长为4的等边三角形，D 为AB 边中点，且CC 1=2AB ．（Ⅰ）求证：平面C 1CD⊥平面ADC 1；（Ⅱ）求证：AC 1∥平面CDB 1；（Ⅲ）求三棱锥D ﹣CAB 1的体积．21. （本小题满分12分）已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b >0成立．(Ⅰ)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明； (Ⅱ)解不等式：()()x f x f 3112-<-；(Ⅲ)若f(x)≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CDDDBCABAC二、填空题11、1 12、35 13、2x ＋7 14、15、x 2＋y 2－10y ＝0 三、解答题16、解： (Ⅰ)由题意知，{|2}Bx x =≥ 2分所以{}|23A B x x ⋂=≤< 4分 (Ⅱ)因为B C C ⋃=，所以B C ⊆ 6分所以12a -≤，即3a ≤ 8分 17、解：(Ⅰ)2分得直线l 的方程4310x y ++= 4分 (Ⅱ)因为AB 的中点坐标为(5,2)-，AB 的垂直平分线斜率为分得AB 的中垂线方程为34230x y --= 8分18、解：(Ⅰ)要使函数有意义：则有1030x x -⎧⎨+⎩>>，解之得：31x -<< 2分函数可化为2()log (1)(3)log (23)a a f x x x x x =-+=--+由()0f x =，得2231x x --+=即2220xx +-=，()f x ∴的零点是分(Ⅱ)函数化为：22()log (1)(3)log (23)log (1)4a a a f x x x x x x ⎡⎤=-+=--+=-++⎣⎦31x -∵<< 201)44x ++≤∴<-( 7分01a ∵<<2log (1)4log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦∴即min ()log 4a f x =由log 44a =-，得44a-=，分 19、解：(Ⅰ)若直线l 与圆C 相切，则有圆心（0,4）到直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0的分分 (Ⅱ)过圆心C 作CD ⊥AB ，垂足为D.则由AB ＝22和圆半径为2得CD ＝2 7分所以解得7-=a 或1-.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 10分20、解：(Ⅰ)∵CC 1⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AB∵△ABC 是等边三角形,CD 为AB 边上的中线，∴C D ⊥AB 2分∵CD ∩CC 1=C ∴AB ⊥平面C 1CD∵AB ⊂平面ADC 1∴平面C 1CD⊥平面ADC 1； 4分(Ⅱ)连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结DO ．则O 是BC 1的中点，DO 是△BAC 1的中位线．∴DO∥AC 1．∵DO ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1； 8分 (Ⅲ)∵CC 1⊥平面ABC ，BB 1∥CC 1，∴BB 1⊥平面ABC ．∴BB 1 为三棱锥D ﹣CBB 1 的高．=．∴三棱锥D ﹣CAB 1的体积为． 12分21、解：(Ⅰ)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数，∴f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1)＋f(－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)， 2分由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．∴f(x)在[－1,1]上单调递增． 4分(Ⅱ)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-x x x x 3112131111216分7分(Ⅲ)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]恒成立． 9分下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.综上，m＝0或m≤－2或m≥2 12分2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案1．直线3ax －y －1＝0与直线(a －23)x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1或13B ．1或13C ．－13或－1D ．－13或1解析：选D.由3a(a －23)＋(－1)×1＝0，得a ＝－13或a ＝12．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积为A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确解析：选A.由三视图知该几何体为一个圆锥，其底面半径为3 cm ，母线长为5 cm ，高为4 cm ，求表面积时不要漏掉底面积．3．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为 A ．3 cm B ．6 cm C ．8 cmD ．12 cm解析：选B.设大铁球的半径为R ，则有43πR 3＝43π·(62)3＋43π· (82)3＋43π·(102)3，解得R ＝6.4．已知点A(1－t,1－t ，t)，B(2，t ，t)，则A 、B 两点距离的最小值为( ) A.55 B.555C.355D ．2解析：选C.由距离公式d(A 、B) ＝[2－(1－t )]2＋[t －(1－t )]2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2＝5(t －15)2＋95，显然当t ＝15时，d(A 、B)min ＝355，即A 、B 两点之间的最短距离为355. 5．(2011年高考四川卷)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面解析：选B. A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定6．对于直线m 、n 和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β解析：选C.⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎬⎫m ∥n n ⊥β⇒m ⊥β m ⊂α⇒α⊥β7．在空间四边形ABCD 中，若AB ＝BC ，AD ＝CD ，E 为对角线AC 的中点，下列判断正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面BDCB ．平面ABC ⊥平面ABD C ．平面ABC ⊥平面ADCD ．平面ABC ⊥平面BED解析：选D.如图所示，连接BE 、DE.⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎬⎫BE ⊥AC DE ⊥AC ⇒AC ⊥平面BDE AC ⊂平面ABC⇒平面ABC ⊥平面BDE.8．已知直线l ：y ＝x ＋m 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－1,1)C ．[1，2)D ．(－2，2)解析：选C. 曲线y ＝1－x 2表示单位圆的上半部分，画出直线l 与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l 在过点(－1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l 与曲线有两个交点．当直线l 过点(－1,0)时，m ＝1；当直线l 为圆的上切线时，m ＝2(注：m ＝－2，直线l 为下切线)．9．若⊙C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4和⊙C 2：x 2＋y 2＋2x －4my ＝8－4m 2相交，则m 的取值范围是( )A ．(－125，－25)B ．(0,2)C ．(－125，－25)∪(0,2) D ．(－125，2) 解析：选C.圆C 1和C 2的圆心坐标及半径分别为C 1(m,0)，r 1＝2，C 2(－1,2m)，r 2＝3.由两圆相交的条件得3－2<|C 1C 2|<3＋2，即1<5m 2＋2m ＋1<25，解得－125<m<－25或0<m<2 β.10．已知圆C ：(x －a)2＋(y －2)2＝4(a>0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 的值等于( )A. 2B.2－1 C ．2－ 2D.2＋1解析：选B.圆心(a,2)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2，依题意⎝⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋⎝⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝2－1.11．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是 A ．2πR 2 B.94πR 2C.83πR 2 D.52πR 2解析：选B.如图所示，设圆柱底面半径为r，则其高为3R－3r，全面积S＝2πr2＋2πr(3R－3r)＝6πRr－4πr2＝－4π(r－34R)2＋94πR2，故当r＝34R时全面积有最大值94πR2.12. 如图所示，三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N分别在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2x(x∈[0,3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N－AMC 的体积V与x的变化关系，其中正确的是()解析：选A.V＝13S△AMC·NO＝13(12×3x×sin30°)·(8－2x)＝－12(x－2)2＋2，x∈[0,3]，故选A.二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13．三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程．解：AC边上的高线2x－3y＋1＝0，所以k AC＝－3 2.所以AC的方程为y－2＝－32(x－1)，即3x＋2y－7＝0，同理可求直线AB 的方程为x －y ＋1＝0. 下面求直线BC 的方程，由⎩⎨⎧ 3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得顶点C(7，－7)，由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得顶点B(－2，－1)．所以k BC ＝－23，直线BC ：y ＋1＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y ＋7＝0.14．过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是________．解析：易求得AB 的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y ＝x ，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x ＋y －2＝0联立得到圆心O(1,1)，半径r ＝|OA|＝2.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝415. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥平面⊙O ，C 为圆周上一点，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，则B 到平面PAC 的距离为________．解析：连接BC.∵C 为圆周上的一点，AB 为直径，∴BC ⊥AC. 又∵PA ⊥平面⊙O ，BC ⊂平面⊙O ， ∴PA ⊥BC ，又∵PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC ，C 为垂足， ∴BC 即为B 到平面PAC 的距离．在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝52－22＝21(cm)．答案：21 cm16．下列说法中正确的是________．①一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．解析：由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确．因为经过直线外一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面．故③错误．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明：(1)因为E、F分别是AP、AD的中点，∴EF∥PD，又∵P，D∈面PCD，E，F∉面PCD，∴直线EF∥平面PCD.(2)∵AB＝AD，∠BAD＝60°，F是AD的中点，∴BF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴BF⊥面PAD，∴平面BEF⊥平面PAD.18．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，F为BD的中点，G在CD上，且CG＝CD4，H为C1G的中点，求：(1)FH的长；(2)三角形FHB的周长．解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由于正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，B(1，1,0)，G(0，34，0)，C1(0,1，1)．(1)因为F 和H 分别为BD 和C 1G 的中点，所以F(12，12，0)，H(0，78，12)．所以FH ＝ (12－0)2＋(12－78)2＋(0－12)2 ＝418.(2)由(1)可知FH ＝418，又BH ＝ (1－0)2＋(1－78)2＋(0－12)2`＝98，BF ＝22，所以三角形FHB 的周长等于42＋41＋98.19.已知()()1,011log ≠>-+=a a xxx f a且（1）求()x f 的定义域; （2）证明()x f 为奇函数;（3）求使()x f >0成立的x 的取值范围. （14分） 19；解：（1）()().011,011,011<-+<-+∴>-+x x x x x x 即()()11,11，x f x -∴<<-∴的定义域为（2）证明：()()()x f xxx x x x x f x x x f aa a a -=-+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=+-=-∴-+=-11log 11log 11log ,11log 1()x f ∴中为奇函数. （3）解当a>1时, ()x f >0,则111>-+x x ，则012,0111<-<+-+x xx x ()10,012<<∴<-∴x x x因此当a>1时,使()0>x f 的x 的取值范围为（0,1）.10<<a 当时, ()1110,0<-+<>xxx f 则则,011,0111<-+>+-+xxx x解得01<<-x因此10<<a 当时, 使()0>x f 的x 的取值范围为（-1,0）.20．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点O ？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：法一：假设存在且令l 为y ＝x ＋m.圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C(1，－2)，则AB 中点N 是两直线x －y ＋m ＝0与y ＋2＝－(x －1)的交点，即N(－m ＋12，m －12)．以AB 为直径的圆过原点，|AN|＝|ON|. 又CN ⊥AB ，|CN|＝|1＋2＋m|2，所以|AN|＝CA 2－CN 2＝9－(3＋m )22.又|ON|＝(－m ＋12)2＋(m －12)2，由|AN|＝|ON|，得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. 法二：假设存在，令y ＝x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y ，得2x 2＋(2m ＋2)x ＋m 2＋4m －4＝0.① 因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.由方程①，得x 1＋x 2＝－m －1，x 1x 2＝m 2＋4m －42.②y 1y 2＝(x 1＋m)(x 2＋m)＝x 1x 2＋m(x 1＋x 2)＋m 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m(x 1＋x 2)＋m 2＝0. 把②代入，m 2＋3m －4＝0.解得m ＝1或m ＝－4. 将m ＝1和m ＝－4分别代入方程①，检验得Δ>0，所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.21. 如图△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；(3)求几何体ADEBC的体积V.解：(1)证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH.∵G，F分别是EC和BD的中点，∴HG∥BC，HF∥DE.又∵四边形ADEB为正方形，∴DE∥AB，从而HF∥AB.∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.∴平面HGF∥平面ABC.∴GF∥平面ABC.(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.∴BE⊥AC.又∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.∴AC⊥平面BCE.从而平面EBC⊥平面ACD.(3)取AB的中点N，连接CN，∵AC＝BC，∴CN ⊥AB ，且CN ＝12AB ＝12a.又平面ABED ⊥平面ABC ， ∴CN ⊥平面ABED. ∵C －ABED 是四棱锥，∴V C －ABED ＝13S ABED ·CN ＝13a 2·12a ＝16a 3.22．已知圆x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON(O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，可化为 (x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x 得(4－2y)2＋y 2－2×(4－2y)－4y ＋m ＝0，化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0 即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得 16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m＝8 5.(3)由m＝85，代入5y2－16y＋m＋8＝0，2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球的组合体2．已知A （-1，3）、B （3，-1），则直线AB 的倾斜角为( )A. 45oB. 60oB. 120oD. 135o3．已知直线1:21l y x =+，若直线2l 与1l 关于直线1x =对称，则2l 的斜率为( )A ．－2B ．－12 C.12D ．24．123,,l l l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A ．1223,l l l l ⊥⊥13l l ⇒PB ．1223,l l l l ⊥P 13l l ⇒⊥C ．123l l l P P 123,l l l ⇒,共面D ．123,l l l ,共点123,l l l ⇒,共面5．在空间直角坐标系中一点P （1，3，4）到x 轴的距离是（） A ．5 B ．10 C ．17 D ．266．若两条平行线12,l l 的方程分别是2x ＋3my －m ＋2＝0， mx ＋6y －4＝0，记12,l l 之间的距离为d ，则m ，d 分别为（）A. m=2，d=41313B. m=2，d=105C. m =2，d=2105D. m =–2，d=1057．设, l m 是两条不同直线，, αβ是两个不同平面，下列命题正确的是（） A ．若,l m m α⊥⊂，则lα⊥ B ．若,l l αβP P ，则αβ//C ．若,l l m α⊥P ，则m α⊥D ．若,l ααβ⊥P ，则l β⊥8．直线y =—3x 绕原点按逆时针方向旋转090后所得直线与圆 (x-2)2+y 2=1的位置关系是（）A ．直线过圆心B ．直线与圆相交，但不过圆心C ．直线与圆相切D ．直线与圆没有公共点9．平面α的斜线l 与平面α所成的角是45°，则斜线l 与平面α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°10．则这个球的表面积为（） A ．πB ．2πC ．4πD ．2π11．点P(4，－2)与圆224x y ＋＝上任一点连线的中点的轨迹方程是（） A ．22(2)1)1x y -+＋(＝B ．22(2)1)4x y -+＋(＝C ．22(4)2)4x y +-＋(＝D ．22(2)1)1x y +-＋(＝12．设集合{(,)|}A x y y x ==与集合{(,)|}B x y x a a R ==∈，若A B ⋂的元素只有一个，则实数a 的取值范围是（）A ．a =．11a -<<或a =C ．a =11a -≤< D ．11a -<≤或a =第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置上.) 13．若直线3y x b =+过圆22240x y x y ++-=的圆心，则b =________.14．一个圆锥的轴截面是个边长为2的正三角形，这个圆锥的侧面积等于 . 15．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝__________.16．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B ，E ，F ，C 四点共面； ②直线BF 与AE 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD ；. ⑤折线B →E →F →C 是从B 点出发，绕过三角形PAD 面，到达点C 的一条最短路径.其中正确的有_____________．(请写出所有符合条件的序号)三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．（本大题12分）已知直线l ：kx －y ＋1－2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k 的值。

北京市清华大学附属中学2019-2020学年高三年级第一学期10月考数学试卷

【精品高一数学试卷】2019北京高一(上)期末数学+答案

2019北京高一（上）期末数学一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.若sinα=√33，0<α<π2，则cosα=( )A. −√63 B. −12 C. 12D. √632.集合M ={x|x =kπ2+π4,k ∈Z}，N ={x|x =kπ4,k ∈Z}，则( )A. M ⊆NB. N ⊆MC. M ∩N =⌀D. M ∪N =R3.下列命题中正确的是( )A. 共线向量都相等B. 单位向量都相等C. 平行向量不一定是共线向量D. 模为0的向量与任意一个向量平行 4.下列函数为奇函数，且在(−∞,0)上单调递减的是( ) A. f(x)=x −2 B. f(x)=x −1 C. f(x)=log 2 xD. f(x)=3x5.已知函数f(x)=sin(ωx +π4)(x ∈R,ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx 的图象，只要将y =f(x)的图象( )A. 向左平移π8个单位长度B. 向右平移π8个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度6.如图所示，函数y =cosx|tanx|(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是( )A. B.C. D.7.函数y =sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，则ω的最小值是( ) A. 10π B. 20π C.37π2D.39π28.设偶函数f(x)=log a |x −b|在(−∞,0)上是增函数，则f(a +1)与f(b +2)的大小关系是( ) A. f(a +1)=f(b +2) B . f(a +1)>f(b +2) C. f(a +1)<f(b +2) D . 不能确定二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.求值：2log 214−(827) −23+lg 1100+(√2−1)lg1=______．10.已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(sinx,−cosx)，x ∈(0,π)，若a ⃗ //b⃗ ，则x 的值是______．11.若tanθ=3，则2sin 2θ−sinθcosθ−cos 2θ=______．12.若函数y =cos(ωx +π6)(ω∈N ∗)的一个对称中心是(π6,0)，则ω的最小值是______． 13.函数y =√sin(cosx)的值域是______．14.已知点O 为三角形ABC 内一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S △ABC S △AOC=______．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 15.求值：tan150∘cos(−210∘)sin(−420∘)sin1050∘cos(−600∘)．16.已知函数f(x)=log a (1−x)+log a (x +3)，其中a >0且a ≠1．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)有最小值而无最大值，求f(x)的单调增区间．17.已知g(x)=−x 2−3，f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，函数ℎ(x)=g(x)+f(x)是奇函数． (1)求a ，c 的值；(2)当x ∈[−1,2]时，f(x)的最小值是1，求f(x)的解析式．18.设函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，−π<φ≤π)在x =π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2． (1)求f(x)的解析式； (2)求函数g(x)=6cos 4x−sin 2x−1[f(x 2+π6)]2−2的值域．19.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，若y =f(x)x在(0,+∞)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”；若y =f(x)x 2在(0,+∞)上为增函数，则称f(x)为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2． (1)已知函数f(x)=x 3−2ℎx 2−ℎx ，若f(x)∈Ω1且f(x)∉Ω2，求实数h 的取值范围；(2)已知0<a 0；xab c a +b +c f(x) ddt4(3)2x ∈(0,+∞)，f(x)<k}，请问：是否存在常数M ，使得∀f(x)∈ψ，∀x ∈(0,+∞)，有f(x)<M 成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．数学试题答案1. 【答案】D 【解析】解：∵sinα=√33，0<α<π2，∴cosα=√1−cos 2α=√1−(√33)2=√63．故选：D ．由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 2. 【答案】A【解析】解：∵k ∈Z ； ∴k =2n 或2n +1，n ∈Z ；∴N ={x|x =nπ2,或x =nπ2+π4,n ∈Z}；又M ={x|x =kπ2+π4,k ∈Z}； ∴M ⊆N ．故选：A ．根据k ∈Z 即可得出k =2n 或2n +1，n ∈Z ，从而得出N ={x|x =nπ2,或x =nπ2+π4,n ∈Z}，从而可得出M ⊆N ，从而选A ．考查描述法表示集合的定义，整数可分为奇数和偶数，奇数表示为x =2n +1，n ∈Z ，偶数表示为x =2n ，n ∈Z ． 3. 【答案】D【解析】解：对于A ，共线向量不一定相等，A 错误；对于B ，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，B 错误；对于C ，平行向量一定是共线向量，C 错误；对于D ，模为0的向量是零向量，它与任意一个向量是平行向量，D 正确．故选：D ．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行判断正误即可．本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题． 4. 【答案】B【解析】解：A.f(x)=x −2=1x 2是偶函数，不满足条件．B.f(x)=x −1=1x 是奇函数，则(−∞,0)上是减函数，满足条件．C.f(x)是非奇非偶函数，不满足条件．D.f(x)是非奇非偶函数，不满足条件．故选：B ．根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见的奇偶性和单调性.比较基础． 5.【答案】A【解析】解：由题知ω=2，所以f(x)=sin(2x +π4)=cos[π2−(2x +π4)]=cos(2x −π4)=cos2(x −π8)，故选：A ．由周期函数的周期计算公式：T =2πω，算得ω=2.接下来将f(x)的表达式转化成与g(x)同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题． 6. 【答案】C【解析】解：∵y =cosx|tanx|={sinx,0≤x <π2−sinx,π2<x ≤πsinx,π<x <32π，∴函数y =cosx|tanx|(0≤x ≤3π2且x ≠π2)的图象是C ．故选：C ．根据x 的取值情况分类讨论，去掉|tanx|中的绝对值符号，转化为分段函数，再识图即可．本题考查正切函数与正弦函数的图象，确定绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与识图能力，属于中档题． 7. 【答案】C【解析】解：函数y =sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，∴9T +T 4≤1<10T ，即9⋅2πω+14⋅2πω≤1<10⋅2πω，求得37π2≤ω<20π，故ω的最小值为37π2，故选：C ．由题意利用正弦函数的图象和性质可得9T +T 4≤1<10T ，即9⋅2πω+14⋅2πω≤1<10⋅2πω，由此求得ω的最小值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题． 8. 【答案】B【解析】解：∵f(x)=log a |x −b|为偶函数，∴b =0 ∵f(x)=log a |x −b|在(−∞,0)上是增函数， ∴0<a <1∴f(x)=log a |x −b|在(0,+∞)上单调递减， ∴0<a +1f(b +2)．故选：B ．由f(x)=log a |x −b|为偶函数，求出b =0，由f(x)=log a |x −b|在(−∞,0)上是增函数，求出0<a <1，从而f(x)=log a |x −b|在(0,+∞)上单调递减，由此能判断f(a +1)与f(b +2)的大小关系．本题考查两个函数值的大小的判断，考查函数的单调性、函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题． 9. 【答案】−3【解析】解：2log 214−(827) −23+lg 1100+(√2−1)lg1=14−[(23)3] −23−2+(√2−1)0 =14−94−2+1 =−3．故答案为：−3．由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用． 10. 【答案】3π4【解析】解：∵a ⃗ //b ⃗ ； −cosx −sinx =0； ∴sinx +cosx =0；∴(sinx +cosx)2=1+sin2x =0； ∴sin2x =−1； ∵x ∈(0,π)； ∴2x ∈(0,2π)；∴2x =3π2；∴x =3π4．故答案为：3π4．根据a ⃗ //b ⃗ 即可得出sinx +cosx =0，两边平方即可得出1+sin2x =0，从而得出sin2x =−1，根据x 的范围即可求出2x 的范围，从而求出2x 的值，进而得出x 的值．考查平行向量的坐标关系，sin 2x +cos 2x =1，以及二倍角的正弦公式，已知三角函数值求角．11. 【答案】75【解析】解：∵tanθ=3，∴2sin 2θ−sinθcosθ−cos 2θ=2sin 2θ−sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tan 2θ−tanθ−1tan 2θ+1=75．故答案为：75．根据题意，将平方关系代入化为齐次式，再由商的关系将式子转化为关于tanθ式子，代入求值即可．本题考查了同角三角函数的基本关系的灵活应用，即“齐次化切”在求值中的应用，是常考的题型，注意总结． 12. 【答案】2【解析】解：∵函数y =cos(ωx +π6)(ω∈N ∗)的一个对称中心是(π6,0)， ∴ω⋅π6+π6=kπ+π2，k ∈z ，即∴ω=6k +2，故ω的最小值为2，故答案为：2．由题意根据余弦函数的对称性可得ω⋅π6+π6=kπ+π2，k ∈z ，由此ω的最小值．本题主要考查余弦函数的对称性，属于中档题． 13. 【答案】[0,√sin1]【解析】解：∵−1≤cosx ≤1，要使函数有意义则sin(cosx)≥0，则0≤cosx ≤1，此时0≤sin(cosx)≤sin1，则0≤√sin(cosx)≤√sin1，即函数的值域为[0,√sin1]，故答案为：[0,√sin1].根据根式的意义结合三角函数的有界性进行求解即可．本题主要考查函数的值域的计算，结合根式的应用以及三角函数的有界性是解决本题的关键． 14. 【答案】3【解析】解：如图，取BC 中点D ，AC 中点E ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ；OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴D ，O ，E 三点共线，即DE 为△ABC 的中位线；∴DE =32OE ，AB =2DE ； ∴AB =3OE ；∴S △ABC S △AOC=3．故答案为：3．可作出图形，取BC 的中点D ，AC 的中点E ，并连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，根据条件可以得到OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出DE 为△ABC 的中位线，这样即可得到AB =3OE ，从而便有S△ABC S △AOC=3．考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，三角形中位线的定义及性质，三角形的面积公式．15. 【答案】解：由诱导公式可得：tan150∘=tan(180∘−30∘)=−tan30∘=−√33，cos(−210∘)=cos210∘=cos(180∘+30∘)=−cos30∘=−√32， sin(−420∘)=−sin420∘=−sin(360∘+60∘)=−sin60∘=−√32，sin1050∘=sin(3×360∘−30∘)=−sin30∘=−12，cos(−600∘)=cos600∘=cos(3×180∘+60∘)=−cos60∘=−12， ∴原式=−√33⋅(−√32)(−√32)(−12)(−12)=−√3414=−√3．【解析】由条件利用诱导公式求得tan15∘、cos210∘、sin420∘、sin1050∘、cos(−600∘)的值，可得要求式子的值．本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题．16. 【答案】解：(1)要使函数有意义，则{x +3>01−x>0，得{x >−3x<1，得−3<x <1，即函数的定义域为(−3,1)，(2)f (x)=log a (1−x)+log a (x +3)=log a (1−x)(x +3)=log a (−x 2−2x +3)=log a (−(x +1)2+4)，设t =−(x +1)2+4，当−3<x <1时，0<t ≤4，若函数f(x)有最小值而无最大值，则函数ylog a t 为减函数，则0<a <1，要求f(x)的单调增区间，则等价于求t =−(x +1)2+4，在−3<x <1时的减区间， ∵t =−(x +1)2+4的单调递减区间为[−1,1)， ∴f(x)的单调递减区间为[−1,1)．【解析】(1)根据对数函数的成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域(2)根据复合函数单调性的性质确定0<a <1，结合复合函数单调性的关系进行求解即可．本题主要考查对数函数的性质，结合复合函数单调性的关系求出a 的范围是解决本题的关键． 17. 【答案】解：(1)(法一)：f(x)+g(x)=(a −1)x 2+bx +c −3，又f(x)+g(x)为奇函数， ∴ℎ(x)=−ℎ(−x)，∴(a −1)x 2−bx +c −3=−(a −1)x 2−bx −c +3对x ∈R 恒成立，∴{c −3=−c +3a−1=−a+1，解得{c =3a=1；(法二)：ℎ(x)=f(x)+g(x)=(a −1)x 2+bx +c −3， ∵ℎ(x)为奇函数，∴a −1=0，c −3=0， ∴a =1，c =3．(2)f(x)=x 2+bx +3，其图象对称轴为x =−b2，当−b2≤−1，即b ≥2时，f(x)min =f(−1)=4−b =1，∴b =3；当−1<−b2≤2，即−4≤b <2时， f(x)min =f(−b2)=b 24−b 22+3=1，解得b =−2√2或b =2√2(舍)；当−b2>2，即b <−4时，f(x)min =f(2)=7+2b =1，∴b =−3(舍)， ∴f(x)=x 2+3x +3或∴f(x)=f 2−2√2x +3．【解析】(1)法一：化简ℎ(x)=g(x)+f(x)=(a −1)x 2+bx +c −3，由(a −1)x 2−bx +c −3=−(a −1)x 2−bx −c +3对x ∈R 恒成立得到{c −3=−c +3a−1=−a+1，从而求解，法二：化简ℎ(x)=g(x)+f(x)=(a −1)x 2+bx +c −3，由奇函数可得a −1=0，c −3=0，从而求解； (2)根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f(x)的最小值在何时取得，从而求f(x)的解析式．本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题． 18. 【答案】解：(1)由题意可得：f(x)max =A =2，T 2=π2⇒T =π，于是ω=2πT=2ππ=2，故f(x)=2sin(2x +φ)，由f(x)在x =π6处取得最大值2可得：2×π6+φ=2kπ+π2⇒φ=2kπ+π6(k ∈Z)，又−π<φ<π，故φ=π6，因此f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x +π6)．(2)由(1)可得：f(x2+π6)=2sin[2(x2+π6)+π6]=2sin(x +π2)=2cosx ，故g(x)=6cos 4x−(1−cos 2x)−1(2cosx)2−2=6cos 4x +cos 2x −24cos 2x −2=(3cos 2x +2)(2cos 2x −1)2(2cos 2x −1)=3cos 2x +22=32cos 2x +1，(cos 2x ≠12)，令t =cos 2x ，可知0≤t ≤1且t ≠12，即cos 2x ∈[0,12)∪(12,1]，从而g(x)∈[1,74)∪(74,52]，因此，函数g(x)的值域为[1,74)∪(74,52]．【解析】(1)先确定函数的周期，可得ω的值，利用函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，−π<φ<π)在x =π6处取得最大值2，即可求得f(x)的解析式；(2)由三角函数恒等变换的应用化简可得g(x)=32cos 2x +1，(cos 2x ≠12)，由cos 2x ∈[0,12)∪(12,1]，即可求得函数g(x)的值域．本题主要考查了由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查三角函数恒等变换的应用，函数的单调性，考查了转化思想和计算能力，正确求函数的解析式是关键，属于中档题． 19. 【答案】(1)解：y =f(x)x=x 2−2ℎx −ℎ，若f(x)∈Ω1，则ℎ≤0；y =f(x)x 2=x −2ℎ−ℎx ，y′=x +ℎx 2，当ℎ≥0，x >0时，y′>0，此时f(x)∈Ω2，不符合题意，舍去；当ℎ<0时，y ′=x 3+ℎx 2，此时函数f(x)x 2在x ∈(0,+∞)有极值点，因此f(x)∉Ω2．综上可得：当ℎ<0时，f(x)∈Ω1且f(x)∉Ω2．因此h 的取值范围是(−∞,0)．(2)证明：由f(x)∈Ω1，若取0<x 1<x 2，则f(x 1)x 1<f(x 2)x 2<f(x 1+x 2)x 1+x 2．由表格可知：f(a)=d ，f(b)=d ，f(c)=t ，f(a +b +c)=4， ∵0<a 0．(Ⅲ)∵集合合ψ={f(x)|f(x)∈Ω2，且存在常数k ，使得任取x ∈(0,+∞)，f(x)<k}， ∴存在f(x)∈ψ，存在常数k ，使得f(x)<k 对x ∈(0,+∞)成立．我们先证明f(x)≤0对x ∈(0,+∞)成立．假设存在x0∈(0,+∞)，使得f(x0)>0，记f(x0)x02=m>0∵f(x)是二阶比增函数，即f(x)x2是增函数．∴当x>x0时，f(x)x2>f(x0)x02=m>0，∴f(x)>mx2，∴一定可以找到一个x1>x0，使得f(x1)>mx12>k，这与f(x)<k对x∈(0,+∞)成立矛盾．即f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立．∴存在f(x)∈ψ，f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立．下面我们证明f(x)=0在(0,+∞)上无解．假设存在x2>0，使得f(x2)=0，∵f(x)是二阶增函数，即f(x)x2是增函数．一定存在x3>x2>0，使f(x3)x32>f(x2)x22=0，这与上面证明的结果矛盾．∴f(x)=0在(0,+∞)上无解．综上，我们得到存在f(x)∈ψ，f(x)<0对x∈(0,+∞)成立．∴存在常数M≥0，使得存在f(x)∈ψ，∀x∈(0,+∞)，有f(x)<M成立．又令f(x)=−1x(x>0)，则f(x)<0对x∈(0,+∞)成立，又有f(x)x2=−1x3在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)∈ψ，而任取常数k<0，总可以找到一个x n>0，使得x>x n时，有f(x)>k．∴M的最小值为0．【解析】(1)根据：f(x)∈Ω1且f(x)∉Ω2，可得y=f(x)x =x2−2ℎx−ℎ，利用二次函数的单调性可得−−2ℎ2=ℎ≤0；由y=f(f)x2=x−2ℎ−ℎx，y′=x+ℎx2，对h分类讨论可得：当ℎ≥0，此时f(x)∈Ω2；当ℎ<0时，y′=x3+ℎx2，函数f(x)x2在x∈(0,+∞)有极值点，可得f(x)∉Ω2.即可得出．(2)由f(x)∈Ω1，取0<x1<x2<x1+x2，可得f(x1)x1<f(x2)x2<f(x1+x2)x1+x2.由表格可知：f(a)=d，f(b)=d，f(c)=t，f(a+b+c)=4，0<a<b<c<a+b+c，利用“一阶比增函数”可得da <db<tc<4a+b+c，再利用不等式的性质即可得出．(3)根据“二阶比增函数”先证明f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立.再证明f(x)=0在(0,+∞)上无解.即可得出．本题考查了函数的单调性、导数的几何意义，掌握导数法在确定函数单调性和最值时的答题步骤是解答的关键，考查了推理能力与计算能力，本题难度较大．。

2019-2020学年清华大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年清华大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合 A={x |x 2> 1},a ∈A , 则 a 的值可以为（） A ．-2 B ．1 C ．0 D ．1【答案】A【解析】先解不等式得{}|11A x x x =><-或，再由元素与集合的关系逐一判断即可得解. 【详解】解：解不等式21x >，解得1x >或1x <-，即{}|11A x x x =><-或，又2,1,0,1A A A A -∈∉∉∉, 则a 的值可以为-2, 故选：A. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 2．已知命题 p :∃x ∈Q , x 2 -3=0，则￢ p 为（） A ．∃x ∈ Q ,x 2- 3≠0 B ．∃x ∉Q ,x 2- 3 = 0 C ．∀x ∈ Q , x 2- 3 ≠ 0 D ．∀x ∉ Q , x 2- 3 = 0【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题，等于的否定为不等于，逐一判断即可得解. 【详解】解：由特称命题的否定为全称命题可得：命题 p :∃x ∈Q , x 2 -3=0，则￢p 为：∀x ∈ Q , x 2-3 ≠ 0，故选：C. 【点睛】本题考查了全称命题与特称命题，属基础题. 3．函数 2(),(23)f x x x =-≤≤的值域为（） A ．[4, 9] B ．[0, 9]C ．[0, 4]D ．[0, +∞)【答案】B【解析】由函数()f x 在[)2,0-为减函数，在[]0,3为增函数，再求值域即可. 【详解】解：因为函数2(),(23)f x x x =-≤≤，则函数()f x 在[)2,0-为减函数，在[]0,3为增函数，又(2)4f -=，(3)9f =，则(3)(2)f f >-，又(0)0f =，即函数2(),(23)f x x x =-≤≤的值域为[]0,9，故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的值域问题，重点考查了函数的单调性，属基础题. 4．已知集合 A ={1,2}, B = [m , +∞)，若 A ⊆B ，则实数 m 的取值范围为（） A ．[2,+∞) B ．[1,+∞)C ．(-∞,2]D ．(-∞,1]【答案】D【解析】由A ⊆B ，则1B ∈,2B ∈,则1m £，得解. 【详解】解：因为集合 A ={1,2}, B = [m , +∞)，又 A ⊆B ，则1B ∈,2B ∈,则1m £且2m ≤，即1m £ 即实数 m 的取值范围为(-∞,1]，故选：D. 【点睛】本题考查了集合的包含关系，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 5．已知 a a + b B ．a +b >b C ．a 2>ab D ．b 2>ab【答案】C【解析】由已知条件a ，即2a ab >，即C 正确；对于选项D ，2()0b ab b b a -=-<，即2b ab <，即D 错误，即不等式正确的是选项C ，故选：C . 【点睛】本题考查了利用作差法比较大小关系，重点考查了运算能力，属基础题. 6．“ x >1”是“1x<1”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】先解分式不等式可得：11x<等价于1x >或0x <，再由“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件，即可得解.【详解】解：因为11x<等价于10x x ->等价于1x >或0x <，又“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件，即“ x >1”是“1x<1”的充分而不必要条件，故选：A. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法及充分必要条件，属基础题. 7．已知集合 A ={1,2,3, 4,5, 6},T = {x |x =ba, a , b ∈A , a >b }，则集合T 中元素的个数为（） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】先阅读题意，再写出集合T 即可. 【详解】解：由集合 A ={1,2,3, 4,5, 6},T = {x |x =ba, a , b ∈A , a >b }，则11213123415,,,,,,,,,,23344555566T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则集合T 中元素的个数为11，故选：C. 【点睛】本题考查了元素与集合的关系，重点考查了阅读能力，属基础题.8．若函数 f ( x )的定义域为 D ，对于任意的 x 1,x 2∈D , x 1≠x 2，都有1212()()1f x f x x x -≥-，称函数 f ( x ) 满足性质ψ，有下列四个函数① f ( x ) =1x, x ∈ (0,1) ；② g ( x )③ h ( x ) = x 2(x ≤-1); ④ k (x ) =211x +,其中满足性质ψ的所有函数的序号为（） A ．①②③ B ．①③C ．③④D ．①②【答案】B【解析】先阅读理解题意，再逐一检验函数是否满足对于任意的 x 1,x 2∈D , x 1≠x 2，都有1212()()1f x f x x x -≥-，即可得解.【详解】解：对于①，f ( x ) =1x，x ∈ (0,1)，则121212()()1f x f x x x x x -=-，又12,(0,1)x x ∈，则12(0,1)x x ∈，即1211x x >，即1212()()1f x f x x x -≥-，故①符合题意；对于②，g ( x )1212()()f x f x x x -=-121,4x x ==，有1212()()113f x f x x x -=<-，故②不合题意；对于③，h ( x ) = x 2(x ≤-1)，则121212()()f x f x x x x x -=+-，又(]12,x x ∈-∞,-1，则121x x +>，则1212()()1f x f x x x -≥-，故③符合题意；对于④，不妨取120,1x x ==，则121211()()121012f x f x x x --==<--，故④不合题意，综上可得满足性质ψ的所有函数的序号为①③，【点睛】本题考查了对函数新定义性质的理解，重点考查了运算能力，属中档题.二、填空题9．已知a,b,c,d为互不相等的实数，若|a-c|=| b-c |=| d-b|=1,则|a-d|=_____【答案】3【解析】由|a﹣c|＝|b﹣c|且a，b，c，d为互不相等的实数，去绝对值符号可得a+b﹣2c ＝0，同理可得2b﹣c﹣d＝0，联立即可得a﹣d＝3（c﹣b），再结合题意即可得解.【详解】解：∵|a﹣c|＝|b﹣c|且a，b，c，d为互不相等的实数，∴a﹣c+b﹣c＝0即a+b﹣2c＝0．①∵|b﹣c|＝|d﹣b|且a，b，c，d为互不相等的实数，∴b﹣c＝d﹣b即2b﹣c﹣d＝0．②①②相加可得：a+3b﹣3c﹣d＝0．即a﹣d＝3（c﹣b），又因为|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣b|＝1，则|a﹣d|＝3|b﹣c|＝3，故答案为：3.【点睛】本题考查了含绝对值符号的等式的运算，重点考查了运算能力，属基础题.10．已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)=x2- 4x+1，则f(0)＋f(1)=_____ 【答案】-2【解析】由f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，再结合当x>0时f(x)=x2- 4x+1，可得f（1）＝﹣2，然后求解即可.【详解】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x+1，则f（0）＝0，f（1）＝1﹣4+1＝﹣2，则f（0）+f（1）＝0﹣2＝﹣2，故答案为：-2.【点睛】本题考查了利用函数解析式求值问题，重点考查了奇函数的性质，属基础题.11．若函数f(x)为一次函数，且f(x+1)= f(x)-2,f(x)的零点为1，则函数f(x)的解析式为【答案】f（x）＝﹣2x+2【解析】由待定系数法求解析式，设f（x）＝kx+b，k≠0，再将已知条件代入运算即可得解.【详解】解：设f（x）＝kx+b，k≠0，∵f（x+1）＝f（x）﹣2，∴k（x+1）+b＝kx+b﹣2，即k＝﹣2，∵f（x）＝﹣2x+b的零点为1，即f（1）＝b﹣2＝0，∴b＝2，f（x）＝﹣2x+2，故答案为：f（x）＝﹣2x+2.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了利用待定系数法求解析式，属基础题. 12．某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3000,其中a为常数,且当年产量为200 时，总成本为15000. 记该产品的平均成本为f(Q)（平均成本=总成本年产量），则当Q =________., f(Q) 取得最小值，这个最小值为________.【答案】100 60【解析】先阅读题意，再列出该产品的平均成本f(Q)与年产量Q之间的函数关系，再结合重要不等式求解即可，一定要注意取等的条件.【详解】解：某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C＝aQ2+3000，其中a为常数，且当年产量为200时，总成本为15000．可得15000＝40000a+3000，解得a3 10 =，所以C310=Q2+3000，该产品的平均成本为f（Q）3300010QQ=+≥=60．当且仅当3300010QQ=，解得Q＝100，即Q＝100时，f（Q）取得最小值，最小值为60．故答案为：(1). 100 (2). 60 【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了重要不等式，属中档题. 13．设、为不相等的实数.若二次函数满足，则的值为______. 【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得即2a+b=0，再求f(2)的值. 【详解】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得.故答案为：4 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14．函数 y =f (x ) 的定义域为[-2.1,2]，其图像如下图所示，且 f (-2.1) =-0.96（1）若函数 y =f (x ) -k 恰有两个不同的零点，则 k =_____ （2）已知函数 g ( x ) =321,0216,0x x x x x +≤⎧⎨+->⎩， y =g [f (x )] 有_____个不同的零点【答案】4或0 4【解析】（1）函数 y =f (x ) -k 恰有两个不同的零点等价于y ＝f （x ）和y ＝k 的图象有两个不同的交点，再结合图像即可得解；（2）先由函数g （x ）32102160x x x x x +≤⎧=⎨+-⎩，，＞，求得函数g （x ）的零点0x ，再求解0()f x x =的解的个数即可.解：（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点， ∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点．又y ＝f （x ）的图象如图：由图可得：当y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点时， k ＝4或k ＝0．（2）∵g （x ）32102160x x x x x +≤⎧=⎨+-⎩，，＞，当x ≤0时，2x +1＝0，得x 12=-；此时f （x ）12=-，由图可知有一个解；当x ＞0时，g （x ）＝x 3+2x ﹣16单调递增，∵g （2）＝﹣4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）有一个零点x 0，即f （x ）＝x 0∈（2，3）由图可知有三个解， ∴共有四个解．故答案为：(1). 4或0(2). 4【点睛】本题考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.三、解答题15．解下列关于 x 的不等式：（1） x 2-2x - 8≤0；（2） x 2+ 4x +5>0 ；（3） x 2≤ax【答案】（1）{x |﹣2≤x ≤4}（3）当a ＝0时，不等式的解集为{0}；当a ＞0时，不等式的解集为{x |0≤x ≤a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤0}【解析】（1）先将x 2﹣2x ﹣8≤0因式分解得（x ﹣4）（x +2）≤0，再求解集即可；（2）将x 2+4x +5用配方法可得x 2+4x +5＝（x +2）2+1，再解不等式即可；（3）分类讨论当a ＝0时；当a ＞0时；当a ＜0时，再求解不等式即可得解. 【详解】解：（1）由x 2﹣2x ﹣8≤0，得（x ﹣4）（x +2）≤0，所以﹣2≤x ≤4，所以不等式的解集为{x |﹣2≤x ≤4}；（2）因为x 2+4x +5＝（x +2）2+1≥1，所以不等式x 2+4x +5＞0的解集为R ；（3）由x 2≤ax ，得x 2﹣ax ＝x （x ﹣a ）≤0，所以当a ＝0时，x ＝0；当a ＞0时，0≤x ≤a ；当a ＜0时，a ≤x ≤0，所以当a ＝0时，不等式的解集为{0}；当a ＞0时，不等式的解集为{x |0≤x ≤a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤0}．【点睛】本题考查了二次不等式的解法，主要考查了含参不等式的解法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.16．已知集合 A = {x|-1 ≤x ≤1} ， B = {x|2x ≥a } ，（1）当 a =0 时，求A ⋂B ;（2）若 A ⋃B =B ，求实数 a 的取值范围；（3）记集合C =A ⋂B ，若 C 中恰好有两个元素为整数，求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) A ∩B ＝[0，1]；(2) （﹣∞，﹣2]；(3) （﹣2，0]．【解析】（1）由a ＝0时，B ＝{x |x ≥0}，且A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，再求交集即可；（2）由集合的运算A ∪B ＝B ，可得集合间的包含关系A ⊆B ，再列不等式求解即可; （3）由集合A 中有三个整数-1，0，1,再结合{|}2aB x x =≥求解即可. 【详解】解：（1）当a ＝0时，B ＝{x |x ≥0}，且A ＝{x |﹣1≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝[0，1]；（2）∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，且{|}2a B x x =≥， ∴12a≤-，∴a ≤﹣2， ∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]；（3）∵A ∩B 中恰有两个元素为整数， ∴102a-≤＜，解得﹣2＜a ≤0， ∴实数a 的取值范围为（﹣2，0]．【点睛】本题考查了集合的运算及集合间的包含关系，重点考查了集合思想，属基础题. 17．已知函数 f ( x ) =ax 2-2ax +1(a ≠ 0)（1）比较 f （1f （1 （2）若函数 f ( x ) 的图像恒在 x 轴的上方，求实数 a 的取值范围；（3）若函数 f ( x ) 在[-1,2]上的最大值为 4，求 a 的值.【答案】(1) f （1）＝f （1）；理由见解析(2)（0，1）；(3) a ＝1或﹣3．【解析】（1）将1-+（2）由二次函数的图像可得函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有2044a a a ⎧⎨⎩＞＜，运算即可得解；（3）分别讨论当a ＞0时，当a ＜0时，利用函数在[-1,2]的单调性求出函数的最大值，再结合题意求参数的值即可【详解】解：（1）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，则f （1）＝1+a ，f （1+1+a ，故f （1）＝f （1+；（2）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有2044a a a ⎧⎨⎩＞＜，解可得：0＜a ＜1，即a 的取值范围为（0，1）；（3）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，其对称轴为x ＝1，分2种情况讨论：①当a ＞0时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，在[1，2]上递增，其最大值为f （﹣1）＝1+3a ，则有1+3a ＝4，解可得：a ＝1，②当a ＜0时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，在[1，2]上递减，其最大值为f （1）＝1﹣a ，则1﹣a ＝4，解可得a ＝﹣3；综合可得：a ＝1或﹣3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题. 18．已知集合 M =(-1,1)，对于 x ,y ∈M ，记ϕ( x ,y ) =1x y xy++ （1）求ϕ(0, 12) 的值；（2）如果 0<x <1，求ϕ( x ,1-x ) 的最小值；（3）求证：∀x ,y ∈M ，ϕ( x ,y ) ∈M【答案】(1)1 2 (2)4 5； (3)证明见解析【解析】（1）先理解新定义的运算，再求值即可；（2）由新定义的运算，得出()2111x x x x ϕ-=-++，，再结合分式函数求最值即可得解；（3）利用新定义的运算求证即可.【详解】解：（1）因为对于 x ,y ∈M ，记ϕ( x ,y ) =1x y xy++，则101120122102ϕ+⎛⎫== ⎪⎝⎭+⨯，；（2）()()()2111111x x x x x x x x ϕ+--==+--++，，由于x ∈（0，1）时，21551()1244x x x ⎛⎤-++=--+∈ ⎥⎝⎦，，所以()4115x x ϕ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，，，即函数的最小值为45；（3）证明：因为x ，y ∈（﹣1，1），所以（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，xy ﹣x ﹣y +1＞0，xy +1＞x +y ，又1+xy ＞0，所以11x y xy++＜；同理：（x +1）（y +1）＞0，xy +x +y +1＞0，xy +1＞﹣（x +y ），又1+xy ＞0，所以11x y xy+-+＞，综上，1x y M xy+∈+．即有∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ．【点睛】本题考查了阅读能力，主要考查了对新定义的理解，重点考查了运算能力，属中档题. 19．已知函数 f ( x ) 满足：函数 y =()f x x在(0,3]上单调递增. （1）比较3f (2) 与 2f (3) 的大小，并说明理由；（2）写出能说明“函数 y =f ( x ) 在（ 0, 3]单调递增”这一结论是错误的一个函数；（3）若函数的解析式为 f ( x ) =ax 3+ (1-a )x 2，求 a 的取值范围.【答案】(1) 3f （2）＜2f （3），理由见解析；(2) f （x ）＝﹣1 (3)1 15a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，．【解析】（1）由()f x y x =在（0，3]上单调递增，则有()()2323f f ＜，得解；（2）由题意可得f （x ）＝﹣1满足要求；（3）y ()f x x ==ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增观察二次函数的开口,再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可.【详解】（1）3f （2）＜2f （3），理由如下：∵()f x y x =在（0，3]上单调递增，∴()()2323f f ＜，∴3f （2）＜2f （3）；（2）f （x ）＝﹣1；（3）∵y ()f x x ==ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增，当a ＞0时，对称轴10a x a -=≤时符合题意，解得a ∈（0，1]；当a ＜0时，对称轴132a x a -=≥时符合题意，解得105a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，；当a ＝0时，显然符合题意，综上，115a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查了函数的单调性，重点考查了分离变量最值法求参数的范围，属中档题. 20．设A (x A ,y A )， B (x B ,y B )为平面直角坐标系上的两点，其中x A ,y A ,x B ,y B 均为整数3B A B A x x y y -+-= ，则称点 B 为点A 的“相关点”.点P 1是坐标原点 O 的“相关点”，点P 2是点P 1的“相关点”，点P 3是P 2的“相关点”，······依次类推，点P 2019是点P 2018的“相关点”.注：点A (x 1,y 1)， B (x 2,y 2)间的距离AB =（1）直接写出点 O 与点P 1间的距离所有可能值（2）求点 O 与点P 3间的距离最大值；（3）求点 O 与点P 2019间的距离最小值.【答案】(1) 3(2)9 (3)1【解析】（1）先阅读题意，再由题意直接写出可能值即可；（2）理解题意，结合（1）可得当点1P 为（3，0），点2P 为（6，0），点3P 为（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大；（3）“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N ）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O 与点P 2016间的距离最小值为0，再按题意求解即可.【详解】解：（1）点O 与点P 1间的距离所有可能值：3（2）因为点O （0，0），所以由（1）可知，当点P 1（3，0），点P 2（6，0），点P 3（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大，∴点O 与点P 3间的距离最大值为9．（3）因为“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N ）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O 与点P 2016间的距离最小值为0，此时点P 2016又回到最初位置，坐标为（0，0），然后经过三次变换：P 2016（0，0）﹣﹣P 2017（2，1）﹣﹣P 2018（1，3）﹣﹣P 2019（0，1），所以点O 与点P 2019间的距离最小值为1．【点睛】本题考查了对新定义的理解，重点考查了阅读能力，属中档题.。

2020-2021学年北京市清华大学附属中学高一上学期期末考试数学试卷含答案

2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．33．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜07．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为．12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有.（填上正确选项序号即可）三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】由α的范围求出π﹣α的范围，进而看可确定π﹣α的范围．【解答】解：因为×3，k∈Z，所以﹣＜π﹣α＜﹣2kπ，k∈Z，所以π﹣α为第四象限．故选：D．2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】根据题意可得a＞2，即可判断正确的选项．【解答】解：∵集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，∴a＞2，∴a的值可以为3．故选：D．3．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）【答案】B【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：由a＞b＞c，当c＝0时，故A不成立；∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b，故B成立；∵b＞c，∴﹣b＜﹣c，∴a﹣b＜a﹣c，故C不成立；例如a＝1，b＝0，c＝﹣1，则c（b﹣a）＝1，a（b﹣c）＝1，故D不成立．故选：B．4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα的值，进而根据两角和的余弦公式即可得到结论．【解答】解：因为点P（3，﹣4）是角α终边上一点，所以sinα＝＝﹣，cosα＝＝，所以＝cosαcos﹣sinαsin＝（cosα﹣sinα）＝（+）＝．故选：B．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出sinα＝，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：sinα＝等价于或，所以“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的充分不必要条件．故选：A．6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜0【答案】C【分析】结合指数函数为y＝0.3x的单调性即可比较x，y的大小．【解答】解：因为y＝0.3x在R上单调递减，且0.3x＞0.3y＞0.30，所以x＜y＜0．故选：C．7．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由正弦函数的对称性可令2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t，再通过k的取值可得结论．【解答】解：由正弦函数的对称性可得2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t＝+，k∈Z，当k＝0时，t＝，故选：B．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）【答案】B【分析】先求函数的对称轴，然后结合函数取得最大于最小值的位置即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣4x的开口向上，对称轴x＝2，且f（0）＝f（4）＝0，f（2）＝﹣4，∵函数f（x）在[0，m]内的值域为[﹣4，0]，则实数2≤m≤4故选：B．9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【答案】C【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．【解答】解：y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x＝0时，e b＝192，当x＝22时e22k+b＝48，∴e22k＝＝e11k＝e b＝192当x＝33时，e33k+b＝（e11k）3•（e b）＝（）3×192＝24故选：C．10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]【答案】A【分析】根据该分段函数的性质，由函数零点问题转化为函数图像交点问题，由F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇函数的性质，转化为x∈（0，2]时有两解，结合函数图像即可得解．【解答】解：由F（﹣x）＝f（﹣x）﹣f（x）＝﹣[f（x）﹣f（﹣x）]＝﹣F（x），所以F（x）为奇函数，根据对称性可得x∈（0，2]时有两个零点即可，令F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝0，可得f（x）＝f（﹣x），若x∈（0，2]则﹣x∈[﹣2，0），即有两解，结合对称性可得：如图所示可得：，所以0＜a＜2．故选：A．二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为π．【答案】见试卷解答内容【分析】根据三角函数的周期公式即可得到结论．【解答】解：根据三角函数的周期公式可得函数的周期T＝，故答案为：π12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝0．【答案】0．【分析】首先计算f（x）+f（﹣x）的和为常数，再由已知条件可得所求值．【解答】解：函数f（x）＝a sin x+bx+1，则f（﹣x）+f（x）＝a sin（﹣x）+b（﹣x）+1+a sin x+bx+1＝（﹣a sin x+a sin x）+（﹣bx+bx）+2＝2，所以f（1）+f（﹣1）＝f（1）+2＝2，解得f（1）＝0．故答案为：0．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．【答案】．【分析】由正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间，再由集合的包含关系，解不等式可得所求最大值．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+），可令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，由题意可得[﹣，m]⊆[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，即有kπ﹣≤﹣且m≤kπ+，k∈Z，即k≤，可得k＝0时，m取得最大值，故答案为：．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．【答案】；【分析】（1）由题意可得m＝3，则可得y＝3f（x）的解析式，求解3f（x）≥2，即可得答案．（2）先分析有效治疗末端时间点，由此列出满足再服用m个单位药剂后，接下来2个小时能㫃持续有效的不等式，利用恒成立求得m的范围，即可得答案．【解答】解：（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则m＝3，所以当0≤x＜6时，，当6≤x≤8时，令，解得，当6≤x≤8时，令，解得，所以若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，则m＝2，所以，此时，所以治疗时间末端为第6小时结束，因为在治疗时间末端再服用m个单位药剂，所以6≤x≤8，所以，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，设，为开口向上，对称轴为x＝4的抛物线，所以g（x）在[6，8]上单调递增，所以，故，所以m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有②③.（填上正确选项序号即可）【答案】②③．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，根据三角函数图像和图像的变换即可求解．【解答】解：①y＝cos2x＝cos2x+，其可由y＝cos2x先纵坐标缩小一半，再向上平移得到，二者不是同形函数，故①错误；②y＝2sin x cos x＝sin2x＝cos（2x﹣），可由y＝cos2x向右平移个单位得到，故②正确；③y＝sin4x﹣cos4x＝（sin2x2）（sin2x﹣cos2x）＝sin2x+cos2x＝﹣cos2x＝cos（2x+π），可由y＝cos2x向左平移个单位得到，故③正确；④y＝sin2x•tan x＝2sin x cos x•＝2sin2x＝1﹣cos2x＝cos（2x+π）+1，因为y＝sin2x•tan x的定义域不是R，而cos2x的定义域是R，所以不可能平移得到．故④错误；综上所述，②③正确．故答案为：②③．三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝﹣；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．【答案】（Ⅰ）（1）；（2）﹣；（Ⅱ）（1）[﹣1，4]；（2）当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．【分析】（Ⅰ）（1）根据对数定义计算即可；（2）根据诱导公式计算即可；（∐）（1）根据一元二次不等式运算即可；（2）根据一元二次不等式解法对a进行讨论运算即可．【解答】解：（Ⅰ）（1）log93＝；（2）＝﹣cos＝﹣；（Ⅱ）（1）一元二次方程x2﹣3x﹣4的解为﹣1，4，结合二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图像可得一元二次不等式x2﹣3x﹣4≤0的解集为[﹣1，4]；（2）关于x的不等式x2≥ax即为x（x﹣a）≥0，当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）1．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而根据两角和的正切公式即可求解的值．（Ⅱ）由题意利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα，所以tanα＝﹣2，所以＝＝＝﹣．（Ⅱ）因为α为第二象限角，所以∈（kπ+，kπ+），k∈Z，是第一或第三象限角，所以＝﹣＝＝＝＝＝1．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．【答案】（I）a＝2；（II）a＝或a＝．【分析】（I）由已知f（2）＝2（II）结合对数函数的单调性对a进行分类讨论，结合对数的运算性质可求．【解答】解：（I）因为f（2）＝log a（2+a）＝2，所以a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2或a＝﹣1（舍），（II）当a＞1时，f（x）在[1，3]上单调递增，由题意得，，解得，a＝，当0＜a＜1时，f（x）在[1，3]上单调递减，由题意得，，解得，a＝，综上，a＝或a＝．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．【答案】（Ⅰ）2．（Ⅱ）最大值为2+，最小值为0．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行转化求解即可．（Ⅱ）求出角的范围，根据三角函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝4（sin x+cos x）cos x＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+（1+cos2x）＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，则＝2sin（2×+）+＝2sin+＝2×＝2．（Ⅱ）当x∈时，2x∈[0，π]，2x+∈[，]，则sin（2x+）∈[sin，sin]，即sin（2x+）∈[﹣，1]，则2sin（2x+）∈[﹣，2]，2sin（2x+）+∈[0，2+]，即f（x）的最大值为2+，最小值为0．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）【答案】（I）a＝1，b＝﹣1；（II）1．【分析】（1）把已知点的坐标直接代入即可求解a，b；（II），由题意可得相应方程只有一个解，然后结合二次方程根的存在条件可得m，k的关系，再结合二次函数的性质可求．【解答】解：（I）由题意得，，解得，a＝1，b＝﹣1；（II）由题意得，T（﹣，0），k≠0，由x﹣＝kx+m只有一个解，即（k﹣1）x2+mx+1＝0只有一个解，因为k≠1，所以Δ＝m2﹣4（k﹣1）＝0，所以|OT|2＝＝＝﹣4（）＝﹣4[（）2﹣，根据二次函数的性质得，当k＝2时，上式取得最大值1，此时|OT|取得最大值1．21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．【答案】（I）；（II）；（III）．【分析】（I）（II）根据定义和条件得到不等式组，求解即得；（III）先找一特例，使得，然后证明不可能更大即可．【解答】解：（I），，；（II）若，∴，或，解得或，即实数b的所有可能取值构成的集合；（III）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，当时，，所以．若存在X＝{x1，x2，…，x n}∈Ωn，使得，则，∴，∴，∴，矛盾．所以L的最小值．。

北大附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案

北大附中2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知变量a b 、已被赋值，要交换a b 、的值，采用的算法是（）A ．a b =，b a =B ．a c =，b a =，c b =C ．a c =，b a = ，c a =D ．c a =，a b =，b c =2.从某年纪1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A ．1000名学生是总体B ．每个被抽查的学生是个体C ．抽查的125名学生的体重是一个样本D ．抽取的125名学生的体重是样本容量3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（）A ．-1B ．0C ．1D ． 34.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（）A.抽签法B.有放回抽样C.随机抽样D.系统抽样5.下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（）A.某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200人入样B 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样6.某学院A B C 、、三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为（）A ．30B ．40 C. 50 D ．607.当5x =，20y =-时，下边程序运行后输出的结果为（）A ．22，-22B ．22,22 C. 12，-12 D ．-12,128.现要完成下列3项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈;③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。

2019-2020学年北京市清华附中高一(上)9月月考数学试卷

2019-2020学年北京市清华附中高一（上）9月月考数学试卷试题数：19，总分：01.（单选题，0分）命题p：∀x∈N，x3≥1，则￢p为（）A.∀x∈N，x3＜1B.∀x∉N，x3≥1C.∃x∉N，x3≥1D.∃x∈N，x3＜12.（单选题，0分）已知a，b∈R，ab=0，则下列等式一定成立的是（）A.a2+b2=0B.|a+b|=|a-b|C.a（a-b）=0D.|a|+|b|=03.（单选题，0分）已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A.ab＞bcB.b（a-b）＞c（a-b）C.a2＞b2D.a-b＞b-c4.（单选题，0分）已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，集合B={x||x|≤2}．则如图的阴影部分表示的集合为（）A.[-1，2）B.（-2，3]C.（2，3]D.[-1，3]5.（单选题，0分）已知a，b∈R，则“a＞b”是“a+2＞b+1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.（单选题，0分）已知集合A={1，2，3}，B=（-∞，t]，若A⊄B，则实数t的取值范围是（）A.（1，+∞）B.（3，+∞）C.（-∞，1）D.（-∞，3）7.（单选题，0分）已知实数x＞1，则9x−1+x的最小值为（）A.4B.6C.7D.108.（单选题，0分）已知集合A={（x，y）|x≤10，y≤10，x，y∈N}，B⊆A，且对于集合B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，则集合B中元素的个数最多为（）A.21B.19C.11D.109.（填空题，0分）集合{1，2}的真子集的个数为___ ．10.（填空题，0分）写出能说明命题“若a＞b＞c，则a+b＞c”为假命题的一组的整数值：a=___ ；b=___ ；c=___ ．11.（填空题，0分）已知sgn（x）= {1，x＞00，x=0−1，x＜0，则方程x2-x•sgn（x）-6=0的根为___ ．12.（填空题，0分）若关于x的方程2x−ax+2=1的根均为负数，则实数a的取值范围是___ ．13.（填空题，0分）在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，有下列四个结论：① 最多可以购买4分一等奖奖品② 最多可以购买16份二等奖奖品③ 购买奖品至少要花费100元④ 共有20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为___ ．14.（填空题，0分）已知集合A={1，2，3，x}中的最大值与最小值的差等于集合A中所有元素之和，则x=___ ．15.（问答题，0分）解下列关于x的不等式：（1）x2-2x-3≤0；（2）-x2+4x-5＞0；（3）x2-ax+a-1≤0．16.（问答题，0分）已知集合A={1，2，a}，B={a2，a+1}．（Ⅰ）当a=-1时，求A∪B；（Ⅱ）是否存在实数a，使得A∩B={0}，说明你的理由；（Ⅲ）记C={y|y=x2，x∈A}若B∪C中恰好有3个元素，求所有满足条件的实数a的值．（直接写出答案即可）17.（问答题，0分）已知集合A={x|x2-ax+a-2＜0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A中的所有正整数元素；（Ⅱ）求证：对于任意的a∈R，A≠∅；（Ⅲ）若0∈A，求证：[0，2]⊄A．18.（问答题，0分）已知x+y=1，x，y∈R．（Ⅰ）若x，y∈R*，求√x+√y的最大值；（Ⅱ）若x，y∈R*，求1x +4y的最小值；（Ⅲ）求x（1-3y）的最小值．19.（问答题，0分）已知抛物线G：y=ax2+bx+c（ab≠0）的顶点为P，与y轴的交点为Q，则直线PQ称为抛物线G的伴随直线．（Ⅰ）求抛物线y=x2-2x+1的伴随直线的表达式；（Ⅱ）已知抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=2x+4，且该抛物线与x轴有两个不同的公共点，求a的取值范围；（Ⅲ）已知A（-3，4），B（0，4），若抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=ax+b，且该抛物线与线段AB恰有1个公共点，求a的取值范围．（直接写出答案即可）2019-2020学年北京市清华附中高一（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：19，总分：01.（单选题，0分）命题p：∀x∈N，x3≥1，则￢p为（）A.∀x∈N，x3＜1B.∀x∉N，x3≥1C.∃x∉N，x3≥1D.∃x∈N，x3＜1【正确答案】：D【解析】：根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．【解答】：解：∵命题p：∀x∈N，x3≥1，∴￢p：∃x∈N，x3＜1，故选：D．【点评】：本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键．2.（单选题，0分）已知a，b∈R，ab=0，则下列等式一定成立的是（）A.a2+b2=0B.|a+b|=|a-b|C.a（a-b）=0D.|a|+|b|=0【正确答案】：B【解析】：由ab=0可得a=0，b≠0；a=0，b=0；a≠0，b=0，三种情况，进行判断即可．【解答】：解：由ab=0可得a=0，b≠0；a=0，b=0；a≠0，b=0，A：当a=0，b≠0时，A不成立；B：三种情况B都成立，故B正确；C当a≠0，b=0时，C不正确；D当a=0，b≠0时，D不正确．故选：B．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3.（单选题，0分）已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A.ab＞bcB.b（a-b）＞c（a-b）C.a2＞b2D.a-b＞b-c【正确答案】：B【解析】：对于ACD，可以举反例，对于B用不等式的基本性质证明即可．【解答】：解：当b=0时，ab=bc，故A不成立；若a＞b，b＞c，则a-b＞0，即b（a-b）＞b（a-b），故B成立；若a=1，b=-2，则a2＜b2，故C不成立；若a=3，b=2，c=-2，则a-b＜b-c，故D不成立．故B为真命题故选：B．【点评】：本题以不等式的性质为载体考查了命题的真假判断与应用，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键．4.（单选题，0分）已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，集合B={x||x|≤2}．则如图的阴影部分表示的集合为（）A.[-1，2）B.（-2，3]C.（2，3]D.[-1，3]【正确答案】：C【解析】：图中阴影部分表示的集合为C U（A∪B），由此能求出结果．【解答】：解：∵全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，B={x||x|≤2}．∴A={x|x＞3或x＜-1}，B={x|-2≤x≤2}，∴A∪B={x|x≤2或x＞3}，∴图中阴影部分表示的集合为：C U（A∪B）={x|2＜x≤3}=（2，3]．故选：C．【点评】：本题考查集合的求法，考查维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（单选题，0分）已知a，b∈R，则“a＞b”是“a+2＞b+1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：A【解析】：根据充分条件，必要条件的定义以及不等式性质即可求解．【解答】：解：因为a＞b，所以a＞b-1，即有a+2＞b+1，当a+2＞b+1，即a＞b-1，不一定推出a＞b，比如：a=b=1，满足a＞b-1，但是a＞b不成立，因此“a＞b”是“a+2＞b+1”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】：本题主要考查不等式性质的应用，以及充分条件，必要条件定义的理解和应用，属于容易题．6.（单选题，0分）已知集合A={1，2，3}，B=（-∞，t]，若A⊄B，则实数t的取值范围是（）A.（1，+∞）B.（3，+∞）C.（-∞，1）D.（-∞，3）【正确答案】：D【解析】：根据集合的关系即可求解．【解答】：解：因为A⊄B，所以t＜3．故选：D．【点评】：本题主要考查集合的包含关系的理解和应用，属于容易题．7.（单选题，0分）已知实数x＞1，则9x−1+x的最小值为（）A.4B.6C.7D.10【正确答案】：C【解析】：由9x−1+x = 9x−1+x−1+1≥2√(x−1)•9x−1+1即可求解最小值．【解答】：解：∵x＞1，则9x−1+x = 9x−1+x−1+1≥2√(x−1)•9x−1+1 =7，当且仅当x-1= 9x−1即x=4时取等号，故选：C．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．8.（单选题，0分）已知集合A={（x，y）|x≤10，y≤10，x，y∈N}，B⊆A，且对于集合B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，则集合B中元素的个数最多为（）A.21B.19C.11D.10【正确答案】：A【解析】：根据题意知集合A表示的是第一象限内的11×11=121个点，又因为B⊆A，B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，则在第一象限内y随着x的增大而减小或相等，根据规律一一列举即可得到结果．【解答】：解：因为A={（x，y）|x≤10，y≤10，x，y∈N}，所以集合A表示的是第一象限内的11×11=121个点，又因为B⊆A，且对于B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，所以 {x 1−x 2＞0y 1−y 2≤0 或 {x 1−x 2＜0y 1−y 2≥0，则在第一象限内或坐标轴的非负半轴，y 随着x 的增大而减小或相等，设M ，N 为集合B 中的元素，若点M （0，10），则N （1，9）或N （1，10），根据规律可得：（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（10，0），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5），（7，4），（8，3），（9，2），（10，1），综上可得，B 中的元素最多有21个．故选：A ．【点评】：本题考查集合的元素的个数的求法，考查不等式求函数的单调性，利用单调性解决集合问题．9.（填空题，0分）集合{1，2}的真子集的个数为___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：若集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n -1个真子集．【解答】：解：集合{1，2}的真子集一共有：22-1=3个．故答案为：3．【点评】：本题考查集合的真子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集定义的合理运用．10.（填空题，0分）写出能说明命题“若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”为假命题的一组的整数值：a=___ ；b=___ ；c=___ ．【正确答案】：[1]-1; [2]-2; [3]-3【解析】：由题意可得若a ＞b ＞c ，则a+b≤c ，可取c ＜0，b ＜0，a ＜0．【解答】：解：若命题“若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”为假命题，即有a ＞b ＞c ，a+b≤c ，则c ＜0，可取c=-3，b=-2，a=-1，故答案为：-1，-2，-3．【点评】：本题考查命题的真假判断，主要是不等式的性质，考查推理能力，属于基础题．11.（填空题，0分）已知sgn（x）= {1，x＞00，x=0−1，x＜0，则方程x2-x•sgn（x）-6=0的根为___ ．【正确答案】：[1]-3，3【解析】：对x分类把sgn（x）代入方程x2-x•sgn（x）-6=0，分别求解得答案．【解答】：解：当x=0时，方程x2-x•sgn（x）-6=0化为-6=0，此式显然不成立；当x＞0时，方程x2-x•sgn（x）-6=0化为x2-x-6=0，解得x=3；当x＜0时，方程x2-x•sgn（x）-6=0化为x2+x-6=0，解得x=-3．∴方程x2-x•sgn（x）-6=0的根为-3，3．故答案为：-3，3．【点评】：本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，是基础题．12.（填空题，0分）若关于x的方程2x−ax+2=1的根均为负数，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-4）∪（-4，-2）【解析】：由已知方程求得x，再由x＜0且x≠-2，可得a的取值范围．【解答】：解：由2x−ax+2=1，得2x-a=x+2，即x=a+2，∵关于x的方程2x−ax+2=1的根均为负数，∴a+2＜0，即a＜-2，又x+2=a+4≠0，∴a≠-4．∴实数a的取值范围是（-∞，-4）∪（-4，-2）．故答案为：（-∞，-4）∪（-4，-2）．【点评】：本题考查函数零点与方程根的关系，是基础题．13.（填空题，0分）在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，有下列四个结论：① 最多可以购买4分一等奖奖品② 最多可以购买16份二等奖奖品③ 购买奖品至少要花费100元④ 共有20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：设出获得一、二等奖的人数分别为x，y，即可根据题意可得x≥2，3x≤y，20x+10y≤200，即可推出各结论的真假．【解答】：解：设获得一、二等奖的人数分别为x，y，（x，y∈N*），由题意可得，x≥2，3x≤y，20x+10y≤200，解得2≤x≤4，6≤y≤16．所以，最多可以购买4分一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品，① ② 正确；购买奖品至少要花费2×20+6×10=100元，③ 正确；当x=2时，y∈{6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，共有11种；当x=3时，y∈{9，10，11，12，13，14}，共有6种；当x=4时，y=12，只有1种，故共有18种，④ 不正确．故答案为：① ② ③ ．【点评】：本题主要考查简单线性规划中的整解问题的求解，意在考查学生的推理能力和阅读理解能力，属于中档题．14.（填空题，0分）已知集合A={1，2，3，x}中的最大值与最小值的差等于集合A中所有元素之和，则x=___ ．【正确答案】：[1]- 32【解析】：根据题意分类讨论x为最大值或最小值或既不最大也不最小，即可解出．，【解答】：解：若集合A={1，2，3，x}中元素的最小值为x，则3-x=1+2+3+x，解得x=- 32满足题意；若集合A={1，2，3，x}中元素的最大值为x，则x-1=1+2+3+x，此时无解；若集合A={1，2，3，x}中元素x既不是最大值，也不是最小值，则3-1=1+2+3+x，解得x=-4，不满足题意．．综上，x=- 32．故答案为：- 32【点评】：本题主要考查集合的性质的应用，属于容易题．15.（问答题，0分）解下列关于x的不等式：（1）x2-2x-3≤0；（2）-x2+4x-5＞0；（3）x2-ax+a-1≤0．【正确答案】：【解析】：（1）不等式化为（x-3）（x+1）≤0，求出解集即可；（2）不等式化为x2-4x+5＜0，利用△＜0得出不等式的解集为∅；（3）不等式化为（x-1）（x-a+1）≤0，利用分类讨论法求出不等式的解集．【解答】：解：（1）不等式x2-2x-3≤0化为（x-3）（x+1）≤0，解得-1≤x≤3，所以不等式的解集为{x|-1≤x≤3}；（2）不等式-x2+4x-5＞0可化为x2-4x+5＜0，且△=（-4）2-4×1×5=-4＜0，所以原不等式的解集为∅；（3）不等式x2-ax+a-1≤0可化为（x-1）（x-a+1）≤0，且不等式对应的方程实数根为1和a-1；当a=2时，1=a-1，不等式化为（x-1）2≤0，不等式的解集为{2}；当a＞2时，1＜a-1，解不等式得1≤x≤a-1，不等式的解集为{x|1≤x≤a-1}；当a＜2时，1＞a-1，解不等式得a-1≤x≤1，不等式的解集为{x|a-1≤x≤1}；综上知，a=2时，不等式的解集为{2}；a＞2时，不等式的解集为{x|1≤x≤a-1}；a＜2时，不等式的解集为{x|a-1≤x≤1}．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．16.（问答题，0分）已知集合A={1，2，a}，B={a2，a+1}．（Ⅰ）当a=-1时，求A∪B；（Ⅱ）是否存在实数a，使得A∩B={0}，说明你的理由；（Ⅲ）记C={y|y=x2，x∈A}若B∪C中恰好有3个元素，求所有满足条件的实数a的值．（直接写出答案即可）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据并集的运算即可求出；（Ⅱ）A∩B={0}，则0∈A，代入验证即可；（Ⅲ）分类讨论，a+1=1，a+1=4，a+1=a，即可求出．【解答】：解：（Ⅰ）当a=-1时，A={1，2，-1}，B={1，0}，则A∪B={-1，0，1，2}；（Ⅱ）A∩B={0}，∴0∈A，∴a=0，当a=0时，B={0，1}，此时A∩B={0，1}，不满足A∩B={0}，故不存在实数a，使得A∩B={0}；（Ⅲ）C={y|y=x2，x∈A}={1，4，a2}，∵B∪C中恰好有3个元素，∴a+1=1，即a=0，此时满足，a+1=4，即a=3，则C={1，4，9}，B={4，9}，此时满足，a+1=a，此时无解，综上所述a的值为0，3．【点评】：本题考查了集合的运算，考查交集并集的定义，是一道基础题．17.（问答题，0分）已知集合A={x|x2-ax+a-2＜0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A中的所有正整数元素；（Ⅱ）求证：对于任意的a∈R，A≠∅；（Ⅲ）若0∈A，求证：[0，2]⊄A．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）当a=2时，整理可得A={x|0＜x＜2}，即可得出集合A中的所有正整数的元素为1；（Ⅱ）利用根的判别式得出方程x2-ax+a-2＜0有解，则A≠∅成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知△＞0，方程有两根，设A={x|x1＜x＜x2}，又有0∈A，则x1x2＜0，再根据两根之积小于0，得出a＜2，当x=2时，解得a＞2，两者矛盾，则2∉A，可得[0，2]⊄A 成立．【解答】：解：（Ⅰ）已知集合A={x|x2-ax+a-2＜0}，当a=2时，A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，所以集合A中的所有正整数的元素为1；（Ⅱ）证明：对于任意的a∈R，A={x|x2-ax+a-2＜0}，△=（-a）2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，所以x2-ax+a-2＜0有解，所以A≠∅成立；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知△＞0，方程有两根，设A={x|x1＜x＜x2}，又有0∈A，则x1＜0＜x2，x1x2＜0，又x1x2=a-2，即a＜2，①当x=2时，22-2a+a-2＜0，解得a＞2，与① 矛盾，则2∉A，可得[0，2]⊄A成立．【点评】：本题主要考查了集合间的基本关系，考查一元二次不等式的解与参数的关系，属于中档题．18.（问答题，0分）已知x+y=1，x，y∈R．（Ⅰ）若x，y∈R*，求√x+√y的最大值；（Ⅱ）若x，y∈R*，求1x +4y的最小值；（Ⅲ）求x（1-3y）的最小值．【正确答案】：【解析】：（I）（√x+√y）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy，然后利用基本不等式即可求解；（Ⅱ）1x +4y= x+yx+4x+4yy=5 +yx+4xy，然后利用基本不等式即可求解；（Ⅲ）由x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1，然后结合二次函数的性质可求．【解答】：解：（I）因为x+y=1，x，y∈R*，所以（√x+√y）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy≤1+x+y=2，当且仅当x=y时取等号，此时√x+√y取得最大值√2；（Ⅱ）∵x，y∈R*，x+y=1，∴ 1 x +4y= x+yx+4x+4yy=5 +yx+4xy≥5+2√yx•4xy=9，当且仅当yx=4xy且x+y=1即x= 13，y=23时取等号，此时取得最小值9；（Ⅲ）∵x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1，结合二次函数的性质可知，当y= 23时取得最小值−13．【点评】：本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．19.（问答题，0分）已知抛物线G：y=ax2+bx+c（ab≠0）的顶点为P，与y轴的交点为Q，则直线PQ称为抛物线G的伴随直线．（Ⅰ）求抛物线y=x2-2x+1的伴随直线的表达式；（Ⅱ）已知抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=2x+4，且该抛物线与x轴有两个不同的公共点，求a的取值范围；（Ⅲ）已知A（-3，4），B（0，4），若抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=ax+b，且该抛物线与线段AB恰有1个公共点，求a的取值范围．（直接写出答案即可）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意求出顶点P坐标和与y轴的交点Q，进而求出伴随直线的表达式；（Ⅱ）将抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标求出，进而求出伴随直线，由题意可得a，b，c 的关系，再由抛物线与x 轴有两个解可得a 的取值范围；（Ⅲ）将抛物线的顶点坐标和与y 轴的交点坐标求出，进而求出伴随直线，由题意可得a ，b ，c 的关系，再由该抛物线与线段AB 恰有1个公共点可得a 的范围．【解答】：解：（Ⅰ）抛物线y=x 2-2x+1的顶点P （1，0），与y 轴的交点Q （0，1），由题意可得抛物线y=x 2-2x+1的伴随直线的表达式为：x+y=1，即抛物线y=x 2-2x+1的伴随直线的表达式为x+y-1=0；（Ⅱ）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标P （- b 2a ， 4ac−b 24a ），与y 轴的交点Q （0，c ），所以抛物线y=ax 2+bx+c 的伴随直线为y=2x+4，由题意可得 4ac−b 24a =2•（- b 2a）+4，c=4，所以可得b=4，又因为该抛物线与x 轴有两个不同的公共点，所以△=b 2-4ac ＞0，即b 2-16a ＞0，可得42＞16a ，解得a ＜1且a≠0，所以a 的取值范围（-∞，0）∪（0，+∞）；（Ⅲ）因为抛物线y=ax 2+bx+c 的伴随直线为y=ax+b ，顶点P （- b 2a ，4ac−b 24a ），与y 轴的交点Q （0，c ）， {4ac−b 24a =−b 2a •a +b b =c ，解得b=c=2a ，所以抛物线的方程为：f （x ）=ax 2+2ax+2a ，对称轴x=-1，又因为A （-3，4），B （0，4），且该抛物线与线段AB 恰有1个公共点，可得线段AB 的方程为：y=4（-3≤x≤0），所以 {a ＞0f (−3)≥4f (0)＜4或 {a ＞0f (−1)=4 ，解得 45 ≤a ＜2或a=4，所以a 的取值范围{x| 45 ≤a ＜2或a=4}【点评】：本题考查求伴随直线的方程抛物线的性质，属于中档题．。

北京市清华大学附属中学2019-2020学年高三年级第一学期10月考数学试卷

清华附中高三2019年10月月考试卷数学一、选择题1.已知集合{}2A x x =>，()(){}130B x x x =--<，则A B =( )A.{}1x x >B.{}23x x <<C.{}13x x <<D.{}21x x x ><或2.若角θ的终边过点()3,4P -，则()tan θπ+=( ) A.34B.34-C.43 D.43-3.已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A.1b a >>B.1b a >>C.1a b >>D.1a b >>4.设函数()y f x =的定义域为R ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知3cos 4α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为( )A.36 B.38- D.6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏7.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A.4 B.5 C.6 D.78.已知定义在R 上的函数()()2,0ln ,0xa x f x x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若方程()12f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A.1122a -≤≤B.102a ≤<C.01a ≤<D.102a -<≤二、填空题9.已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x =___________处取得极值.10.32-，123，2log 5三个数中最大的数是_____________. 11.在ABC △中，13cos 14A =，73a b =，则B =____________. 12.去年某地的月平均气温y (℃)与月份x (月)近似地满足函数sin 6y a b x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(a 、b 为常数，02πϕ<<)，其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为_______℃，ϕ=__________.13.在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，60ABC =︒∠，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF ⋅的值为_____________.14.如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP x =，CPD △的面积为()f x ，则()f x 的定义域为_________，()'f x 的零点是__________.三、解答题15.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+0,0,02A πωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为1-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域是1,⎡-⎢⎣，求m 的取值范围.16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若n n b a =，且数列{}n b 的前n 项和记为n T ，求415T T +的值.17.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()8sin 17A C +=，且角B 为锐角. (1)求cos B 的值；(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求边长b .18.已知函数()1xax f x e -=. (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a <时，求函数()f x 在区间[]0,1上的最小值.19.已知函数()39f x x x =-，函数()23g x x a =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值； (2)若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞，求实数a 的取值范围.20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++=…； ②1231n a a a a ++++=…；(1) 分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；(2) 若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3) 记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…，试证：12k S ≤.一、1-8 BDAB DBCB二、9．函数y＝f（x）的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，x＜﹣1时，f′（x）＜0，x＞﹣1时，f′（x）≥0，所以函数只有在x＝﹣1时取得极值．10．由于0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24＝2，则三个数中最大的数为log25．11．∵在△ABC中，cos A，∴sin A，∵7a＝3b，∴sin B，∵B∈（0，π），∴B或．12．∵函数y＝a+b sin（x+φ）（a，b为常数），∴当x8时，sin（x+φ）取得最大或最小值，∴8+φkπ，k∈Z，解得φ＝kπ，k∈Z，又0＜φ＜，∴φ；∴a﹣b＝31，且a+b sinπ＝13，解得a＝13，b＝﹣18；∴y＝13﹣18sin（x），当x＝2时，y＝13﹣18sin（2）＝﹣5（°C）．13．∵AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴BG，CD＝2﹣1＝1，∠BCD＝120°，∵，，∴•（）•（）＝（）•（）••••＝2×1×cos60°2×1×cos0°1×1×cos60°1×1×cos120°＝1，14．由题意，DC＝2，CP＝x，DP＝6﹣x∵△CPD，∴＞＞＞，解得x∈（2，4）如图，三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来即f（x），∴f′（x），令f′（x）＝0，解得x＝3，三、15．（1）由函数的最小值为﹣1，A＞0，得A＝1，∵最小正周期为，∴ω3，∴f（x）＝cos（3x+φ），又函数的图象过点（0，），∴cosφ，而0＜φ＜，∴φ，∴f（x）＝cos（3x），（2）由x∈[，m]，可知3x3m，∵f（）＝cos，且cosπ＝﹣1，cos，由余弦定理的性质得：π≤3m，∴m，即m∈[，]．16．（1）∵数列{}是首项为9，公差为﹣1的等差数列，∴9+（n﹣1）×（﹣1）＝10﹣n，即S n＝﹣n2+10n，①∴n≥2时，S n﹣1＝﹣（n﹣1）2+10（n﹣1），②①﹣②可得a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣2n+11，又当n＝1时，a1＝S1＝9，满足上式，∴a n＝﹣2n+11；（2）由题意，b n＝|a n|＝|11﹣2n|，∴当1≤n≤5时，T n＝a1+a2+…+a n═﹣n2+10n；n≥6时，T n＝25n2﹣10n+50．∴T4+T15＝24+125＝149．17．（1）∵sin（A+C），∴sin B＝sin[π﹣（A+C）＝sin（A+C），∵角B为锐角，∴cos B＞0，即cos B．（2）∵△ABC的面积为2，∴S ac sin B ac2，则ac，∵a+c＝6，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac﹣2ac•36﹣2236﹣17﹣15＝4，则b＝2．18．（Ⅰ）a＝1时，f（x），x∈R，∴f′（x），令f′（x）＞0，解得：x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，∴f（x）在（﹣∞，2）递增，在（2，+∞）递减；（Ⅱ）由f（x）得：f′（x），x∈[0，1]，令f′（x）＝0，∵a＜0，解得：x＝1＜1，①10时，即﹣1≤a＜0时，f′（x）≥0对x∈[0，1]恒成立，∴f（x）在[0，1]递增，f（x）min＝f（0）＝﹣1；②当0＜1＜1时，即a＜﹣1时，x，f′（x），f（x）在[0，1]上的情况如下：∴f（x）min＝f（1）；综上，﹣1≤a＜0时，f（x）min＝﹣1，a＜﹣1时，f（x）min．19．（1）f'（x）＝3x2﹣9，g'（x）＝6x，设f（x）与g（x）的交点坐标为（x0，y0），则，解得：或，∴a的值为5或﹣27；（2）令h（x）＝x3﹣3x2﹣9x，则y＝h（x）的图象在直线y＝a的下方的部分对应点的横坐标x∈（﹣∞，b），∵h'（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x+1）（x﹣3），∴令h'（x）＝0，得：x＝﹣1或3，列表：∴h（x）的极大值为h（﹣1）＝5，极小值为h（3）＝﹣27，又∵当x→+∞时，h（x）→+∞，当x→﹣∞时，h（x）→﹣∞，如图所示：∴当a＞5或a≤﹣27时，满足题意，∴实数a的取值范围为：（﹣∞，﹣27]∪（5，+∞）．20．（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013，∴1006d d，即d，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．。

2019-2020学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题(解析版)

（）
A．40° 【答案】C
B．80°
C．20°
2
D．10°
【解析】由 △PAB 为等腰三角形求出 PAB 70 ，再证明 PA AC ，最后由 BAC PAC PA 得出答案.
【详解】
PA PB,P 40
PAB 为等腰三角形，且 PAB 180 40 70 2
PA 是 O 切线， A 为切点， AC 是直径 PA AC 即 BAC PAC PAB 90 70 20
2．分式
x2
x
x 1
2
的值为
0，则
x
的值为（
）
A． 1或 2
B．2
C． 1
【答案】B
x2 x 2 0
【解析】将该分式化为
|
x
|
1
0
，求解即可.
【详解】
x2 x 2 0 x 1
D． 2
x2 | x
x | 1
2 0
0
，解得
x
2
故选：B
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解法，涉及了一元二次方程的解法，属于基础题.
2019-2020 学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题
一、单选题
1．化简 a a2 （）
A． a
B． a
C． a
D． a2
【答案】B
【解析】根据根式与分数指数幂的互化即可求解.
【详解】
1
a
a2
a
a2
1 2 2
a2
1
2 a .
故选：B
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
3．如图，在四边形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点.若 EF 2 ， BC 5 ， CD 3 ，则 tan C 等于（）

精品解析：北京市清华附中2019-2020学年高一新生分班考试数学试题(解析版)

果如图所示.如果记 2 的对面的数字为 m ，3 的对面的数字为 n ，则方程 mx1 n 的解 x 满足 k x k 1， k 为整数，则 k ______
【答案】0 【解析】【分析】
由甲、乙、丙的图看出，2 和 6,1,3,2 都相邻，可得出 2 的对面的数字和 3 的对面的数字，然后解方程 mx1 n
3. 如图，在四边形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点.若 EF 2 ， BC 5 ， CD 3 ，则 tan C
等于（）
4
A.
3
3
B.
5
3
C.
4
4
D.
5
【答案】A
【解析】【分析】
连接 BD ， EF 是 △ABD 的中位线可得 BD 的长，根据边长判断 BDC 90 可得答案.
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“友好点对”的概念知，函数 y 1 , x 0 的图象关于原点对称的图象与函数 y 2x2 4x 1 x 0 的
2x
图象的交点个数即为函数 y 的“友好点对”个数，结合函数图象分析即可.
【详解】根据“友好点对”的概念知，作出函数 y 1 ,x 0 的图象关于原点对称的图象与函数 2x
第 2 层正方体的棱长为 2 2 2
2
，每个面的面积为
4
1 2
2
，
第 3 层正方体的棱长为 2
2 2
2
，每个面的面积为
4
1 2
2
1，
，
第 n 层正方体的棱长为 2
2 2
n
1
，每个面的面积为
4
1 2

北京市海淀区清华大学附属中学2022年高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析

【小问2详解】
，
结合，则，所以，
又由题设，得，
所以，
所以，
∴三角形ABC的周长，
∵外接圆的直径，∴ ，
∴外接圆的面积 .
18、（1）
（2）
【解析】【小问1详解】
，，，
若选① ，则，
则，
若选② ，则，
则，
则，
若选③ ，则，
，，则
综上，
【小问2详解】
，，，
，，
，
16．已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是______
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数的部分图像如图所示
（1）求函数f（x）的解析式，并写出其单调递增区间；
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且a、b是方程的两个实数根，试求△ABC的周长及其外接圆的面积
【详解】对于命题①，函数的定义域为，且，则函数为偶函数，命题①为真命题；
对于命题②，当时，，则，此时，函数在区间上单调递减，命题②正确；
对于命题③，当时，，则，
当时，，则，
由偶函数的性质可知，当时，，则函数在上有无数个零点，命题③错误；
对于命题④，若函数取最大值时，，则，
A. 或1B.7或
C. 或 D.7或1
6．关于函数有下述四个结论：
① 是偶函数；② 在区间单调递减；
③ 在有个零点；④ 的最大值为 .
其中所有正确结论的编号是（）
A.①②④B.②④
C.①④D.①③
7．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（）

2022-2023学年北京市清华大学附属中学高一上学期数学期末试卷含逐题详解

高一第一学期期末试卷数学（清华附中高22级）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{}{}|1,|21x A x x B x =≤=≥，则A B ⋂等于（）A.{|0}x x ≤B.{|1}x x ≤ C.{|0}x x ≥ D.{|01}x x ≤≤2.若点(1,2)P -在角α的终边上，则sin α=（）A.2- B.12-C.5-D.3.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.64.为了得到函数sin(2)4y x π=+的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度C.向左平移8π个单位长度 D.向右平移8π个单位长度5.已知0.50.2lg12,log 5,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c>> B.c b a>> C.a c b>> D.b a c >>6.下列函数中，以2π为最小正周期，且在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A.sin 2y x= B.πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.tan 2y x=7.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)8.若函数()cos(3)f x x ϕ=+是奇函数，使得|()|f x 取到最大值时的一个x 值为（）A .π6-B.0C.π4D.π39.已知实数,αβ，则“(21)π,Z k k αβ=+-∈”是“cos cos αβ=-”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.已知函数()*()sin cos N nnf x x x n =+∈，则下列说法正确的是（）①1n =时，()f x ；②2n =时，方程()2sin |sin |f x x x =+在[0,2π]上有且只有三个不等实根；③3n =时，()f x 为奇函数；④4n =时，()f x 的最小正周期为π2A.①②B.①③C.②④D.①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知1sin 3θ=，则sin(π)θ+=___________．13.已知函数()a f x x =经过点(9,3)，则不等式()211f x x -+<的解集为___________．14.设函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________．15.已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，给出下列四个结论：①若(2)1f =，则12a =或2；②若0m n <<，且()()f m f n =，则1mn =；③不存在正数k ，使得()()1g x f x kx =--恰有1个零点；④存在实数1a >，使得()()x g x f x a =-恰有3个零点．其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知二次函数2()1f x x x m =-+，其中0m >．（1）若()f x 的最小值为0，求m 的值；（2）若()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：()2121284x x x x -+>+．17.已知函数π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1)，相邻的两个对称中心之间的距离为π2.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 单调递增区间和对称中心．18.已知函数2()21x x f x a a =--，其中0a >且1a ≠．（1）已知()f x 的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；（2）若2a =，求()f x 的最小值；（3）若()f x 在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值．19.已知函数22π()2sin 4f x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭．（1）求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭，并求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求相应的x 值．20.如图，在函数2()log f x x =图像任取三点(,()),(,()),(,())A a f a B b f b C c f c ，满足1a ≥，2b a =+，2c b =+，分别过A 、B 、C 三点作x 轴垂线交x 轴于D 、E 、F．（1）当2a =时，求梯形ADEB 的周长；（2）用a 表示ABC 的面积S ，并求S 的最大值．21.已知整数,3m n ≥，集合(){}12,,,{0,1},1,2,,n niX x x x x i n =∈= ∣，对于nX 中的任意两个元素()12,,,n A a a a = ，()12,,,n B b b b = ，定义A 与B 之间的距离为1(,)ni i i d A B a b ==-∑．若12,,,m n A A A X ∈ 且()()()12231,,,m m d A A d A A d A A -=== ，则称是12,,,m A A A 是n X 中的一个等距序列．（1）若1234(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,1)A A A A ====，判断1234,,,A A A A 是否是4X 中的一个等距序列？（2）设A ，B ，C 是3X 中的等距序列，求证：(,)d A C 为偶数；（3）设12,,,m A A A 是6X 中的等距序列，且161(1,1,,1)A = 个，60(0,0,,0)m A = 个，()12,5d A A =．求m 的最小值．高一第一学期期末试卷数学（清华附中高22级）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{}{}|1,|21x A x x B x =≤=≥，则A B ⋂等于（）A.{|0}x x ≤B.{|1}x x ≤ C.{|0}x x ≥ D.{|01}x x ≤≤【答案】D【分析】首先解指数不等式得到{}|0B x x =≥，再求A B ⋂即可.【详解】{}{}|21|0xB x x x =≥=≥，{}|1A x x =≤，则{}|01A B x x =≤≤ .故选：D2.若点(1,2)P -在角α的终边上，则sin α=（）A.2-B.12-C.5-D.【答案】C【分析】根据三角函数的概念求解即可得到答案.【详解】O 点为坐标原点，OP ==根据三角函数的概念可得，225sin5OP α-===-.故选：C.3.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.6【答案】B【分析】由对数的运算法则化简即可求得.【详解】由对数运算法则化简得23333333362log 6log 4log 36log 4log log 9log 324-=-====故选：B4.为了得到函数sin(2)4y x π=+的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度C.向左平移8π个单位长度 D.向右平移8π个单位长度【答案】C【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.【详解】因为sin(2)sin[2(48y x x ππ=+=+，所以由函数sin 2y x =的图象向左平移8π个单位长度可以得到函数sin(24y x π=+的图象，故选：C5.已知0.50.2lg12,log 5,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】C【分析】根据题意得到1a >，0b <，01c <<，即可得到答案.【详解】1lg12lg 01a =>=，即1a >.0.20.2log 5log 10b =<=，即0b <.00.544-<<0，即01c <<.所以a c b >>.故选：C6.下列函数中，以2π为最小正周期，且在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A.sin 2y x =B.πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.tan 2y x=【答案】B【分析】逐项分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可得出结论.【详解】对于A 选项，函数sin 2y x =的最小正周期为2ππ2=，故A 错误；对于B 选项，函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ,044x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因为sin y x =在π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C 选项，函数πcos 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为2π，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,442⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭x ，因为cos y x =在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以πcos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对于D 选项，函数tan 2y x =的最小正周期为π2，故D 错误.故选：B.7.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处的函数值，根据零点存在定理即可判断答案.【详解】因为函数2x y =在()-∞+∞，上单调递增，函数4y x =-在()-∞+∞，上单调递增，函数()24x f x x =+-在()-∞+∞，上单调递增，因为()()()()11250,0140,1=230,220,(3)70f f f f f --=-<=-<-<=>=>，所以()()120f f <，函数零点在区间(1,2)内，故选：C.8.若函数()cos(3)f x x ϕ=+是奇函数，使得|()|f x 取到最大值时的一个x 值为（）A.π6-B.0C.π4D.π3【答案】A【分析】根据三角函数的奇偶性求出ϕ,再根据对称轴使得|()|f x 取到最大值,计算即可.【详解】若函数()cos(3)f x x ϕ=+是奇函数,所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.所以π()cos(3π)sin32f x x k x =++=,当|()|f x 取到最大值时,()sin31,sin31f x x x ===±,即π3π,Z 2x k k =+∈,可得ππ,Z 63k x k =+∈，当1k =-时,π6x =-.故选:A .9.已知实数,αβ，则“(21)π,Z k k αβ=+-∈”是“cos cos αβ=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据诱导公式，结合充分性、必要性、余弦型函数的性质进行求解即可.【详解】当(21)π,Z k k αβ=+-∈时，[]()(21)πcos cos cos πcos k αβββ+-==-=-，当cos cos αβ=-时，()()()cos cos cos π2ππZ k k αββαβ=-=-⇒=±-∈，(21)π(Z)k k αβ⇒=+-∈，或(21)π(Z)k k αβ=-+∈，所以“(21)π,Z k k αβ=+-∈”是“cos cos αβ=-”的充分不必要条件，故选：A10.已知函数()*()sin cos Nnnf x x x n =+∈，则下列说法正确的是（）①1n =时，()f x ；②2n =时，方程()2sin |sin |f x x x =+在[0,2π]上有且只有三个不等实根；③3n =时，()f x 为奇函数；④4n =时，()f x 的最小正周期为π2A.①②B.①③C.②④D.①④【答案】D【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函数性质化简不等式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命题③，根据三角恒等变换及余弦型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项.【详解】因为()*()sin cos Nnnf x x x n =+∈，所以当1n =时，π()sin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 的，命题①为真命题；当2n =时，22()sin cos 1f x x x =+=，方程()2sin |sin |f x x x =+可化为2sin |sin |1x x +=，当0πx ≤≤时，3sin 1x =，故1sin 3x =，由正弦函数性质可得方程1sin 3x =在[]0,π上有两个解，当π2πx <≤时，原方程可化为sin 1x =，方程sin 1x =在(]0,2π上无解，所以方程()2sin |sin |f x x x =+在[0,2π]上有且只有两个不等实根；命题②为假命题；当3n =时，33()sin cos f x x x =+，33πππ2sin cos 4442f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f f ⎛⎫⎛⎫≠-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 不为奇函数，命题③为假命题；当4n =时，44()sin cos f x x x =+2212sin cos x x =-211sin 22x =-31cos 444x =+，所以()f x 的最小正周期为π2，命题④正确；故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知1sin 3θ=，则sin(π)θ+=___________．【答案】13-【分析】直接运用正弦的诱导公式进行求解即可.【详解】1sin(π)sin 3θθ+=-=-，故答案为：13-13.已知函数()a f x x =经过点(9,3)，则不等式()211f x x -+<的解集为___________．【答案】{01}xx <<∣【分析】首先代入求出12a =，则()()211f x x f -+<，利用函数单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】由题意得93a =，解得12a =，故12()f x x =，则()211f x x -+<即为()()211f x x f -+<，根据12()f x x =在[)0,∞+上为单调增函数，则有2011x x ≤-+<，解得01x <<，故解集为{}1|0x x <<，故答案为：{}1|0x x <<.14.设函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________．【答案】1【分析】由条件确定当π3x =时，函数取得最大值，代入即可求ω的集合，从而得到ω的最小值.【详解】由条件π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，可知，π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的最大值，当π3x =时，πππ2π362k ω⋅+=+，Z k ∈，解得：61,Z k k ω=+∈，0ω>，所以当k =0时，ω取最小值为1.故答案为：115.已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，给出下列四个结论：①若(2)1f =，则12a =或2；②若0m n <<，且()()f m f n =，则1mn =；③不存在正数k ，使得()()1g x f x kx =--恰有1个零点；④存在实数1a >，使得()()x g x f x a =-恰有3个零点．其中，所有正确结论的序号是___________．【答案】①②【分析】对于①，解log 21a =即可判断；对于②，由对数函数的图象与性质可得log log a a m n -=，由对数的运算可判断；对于③，分01x <<与1x >讨论，结合对数函数的图象即可判断；对于④，根据指对数的图象即可判断.【详解】对于①，若(2)1f =，则log 21a =，解得12a =或2，故①正确；对于②，若0m n <<，且()()f m f n =，则log log a a m n -=，则()log log log 0a a a n m mn +==，解得1mn =，故②正确；对于③，当01x <<，易知1y kx =+与()y f x =的图象有一个交点，当k →+∞时，1y kx =+与()y f x =的图象在()1,+∞上没有交点，此时()()1g x f x kx =--恰有1个零点，故③错误；对于④，当1a >时，log ,01()log log ,1a a a x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩，易知x y a =与()y f x =的图象在()0,1上有一个交点，因为x y a =与()log a f x x =的图象关于y x =对称，且没有交点，故()()x g x f x a =-恰有1个零点，故④错误.故答案为:①②.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知二次函数2()1f x x x m =-+，其中0m >．（1）若()f x 的最小值为0，求m 的值；（2）若()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：()2121284x x x x -+>+．【答案】（1）2m =（2）证明见解析【分析】（1）根据二次函数的性质即可得到()2min104m f x =-=，再解方程即可.（2）首先根据题意得到()2121284x x m x x m-+=++，再利用基本不等式的性质求解即可.【小问1详解】222()1124m f x x m x m x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，因为()2min104m f x =-=，0m >，解得2m =.【小问2详解】因为()f x 有两个不同的零点12,x x ，所以240m ->，又因为0m >，所以m>2.因为12x x m +=，121=x x ，所以()()2221212121212848444x x x x x x m m x x x x m m-++-+===+≥+++，当且仅当4m m=，即2m =时等号成立，因为m>2，所以()2121284x x x x -+>+，即证.17.已知函数π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1)，相邻的两个对称中心之间的距离为π2.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 单调递增区间和对称中心．【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）()f x 的增区间为(),,36k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，对称中心为(),0,Z 122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数所过点，建立方程，结合周期的性质以及公式，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的单调性以及对称性，可得答案.【小问1详解】由函数π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1)，()02sin 1f ϕ==，则1sin 2ϕ=，由02πϕ<<，则6πϕ=，由相邻的两个对称中心之间的距离为π2，则函数()f x 的周期222T πππω=⨯==，解得2ω=，故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()222,262k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，解得(),36k x k k ππππ-+<<+∈Z ，则函数()f x 的增区间为(),,36k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ；令()2,6x k k ππ+=∈Z ，解得(),Z 122k x k ππ=-+∈，则函数()f x 的对称中心为(),0,Z 122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.18.已知函数2()21x x f x a a =--，其中0a >且1a ≠．（1）已知()f x 的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；（2）若2a =，求()f x 的最小值；（3）若()f x 在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值．【答案】（1）()0,2-；（2）2-；（3）3.【分析】（1）求出()0f 即可得出结果；（2）由已知2()2221x x f x =-⨯-，令2x t =，0t >，可得()()212f t t =--，即可求出最小值；（3）令x u a =，则2()21f u u u =--.分类讨论当01a <<以及1a >时，根据指数函数的单调性求出x u a =在[0,1]上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出a 的值．【小问1详解】因为()000212f a a =-⨯-=-，所以定点坐标为()0,2-.【小问2详解】当2a =时，2()2221x x f x =-⨯-.令2x t =，0t >.则()()222112f t t t t =--=--，当1t =，即0x =时，函数()f x 有最小值2-.【小问3详解】令x u a =，则2()21f u u u =--.①当01a <<时，可知x u a =在[0,1]上单调递减，所以1a u ≤≤.又根据二次函数的性质可知，当1a u ≤≤时，2()21f u u u =--单调递减，所以2()21f u u u =--在u a =处取得最大值2()21f a a a =--.由已知可得，2212a a --=，解得1a =-或3a =.因为01a <<，所以两个数值均不满足；②当1a >时，可知x u a =在[0,1]上单调递增，所以1u a ≤≤.又根据二次函数的性质可知，当1u a ≤≤时，2()21f u u u =--单调递增，所以2()21f u u u =--在u a =处取得最大值2()21f a a a =--.由已知可得，2212a a --=，解得3a =或1a =-（舍去），所以3a =.综上所述，3a =.19.已知函数22π()2sin 4f x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭．（1）求π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求相应的x 值．【答案】（1）π04f ⎛⎫=⎪⎝⎭，πT =（2）π12x =时，()max 1f x =；5π12x =时，()min 2f x =-.【分析】(1)将函数化简为正弦型函数即可求解；(2)整体替换法先计算区间内是否含有极值，若有则为最值，若无则最值在端点处取得.【小问1详解】22π()2sin4f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ππcos 221sin 2212sin 2123x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 212cos 104433f ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π2ππ2T ω===.【小问2详解】由(1)知()π2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令ππ22π,32x k +=+得ππ,Z 12x k k =+∈,当0k =时，，()max πππ2sin 21112123f x f ⎛⎫⎛⎫==⨯+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ22π,32x k +=-+得5ππ,Z 12x k k =-+∈,与区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦无交集，又π2sin 0116f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，5π7π2sin 121126f ⎛⎫⎛⎫∴=-=-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()min 5π212f x f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭故π12x =时，()max 1f x =；5π12x =时，()min 2f x =-.20.如图，在函数2()log f x x =图像任取三点(,()),(,()),(,())A a f a B b f b C c f c ，满足1a ≥，2b a =+，2c b =+，分别过A 、B 、C 三点作x 轴垂线交x 轴于D 、E 、F．（1）当2a =时，求梯形ADEB 的周长；（2）用a 表示ABC 的面积S ，并求S 的最大值．【答案】（1）5+；（2）答案见解析.【分析】对于（1），由题可得12，AD BE DE ===，AB =，据此可得答案；对于（2），设AC 与BE 交点为P ，则S 12BP DF =⋅，据此可得答案.【小问1详解】由题可得，221log AD ==，2242，log DE BE ===.AB ==，则梯形ADEB 的周长为5+【小问2详解】设AC 与BE 交点为P ，则S 12BP DF =⋅.又()224log ，log AD a CF a ==+，且AD BE CF ∥∥，E 为DF 中点，则由梯形中位线定理得()222142log log log PE a a ⎡⎤=++=⎣⎦1a =，PE 变为三角形中位线，结论不变.），则()2222log log log BP BE PE a ⎛⎫=-=+-=则S 22222144421244log log a a BP DF BP a a a a ⎛⎫⎛⎫++=⋅===+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，其中1a ≥.因()22424a a a +=+-，则函数24y a a =+在[)1,+∞上单调递增，得当1a ≥时，2224449450115544a a a a a a+≥⇒<≤⇒<+≤++.当且仅当1a =时取等号.又函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，则22249154log log a a ⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a =时取等号.即ABC 的面积22414log S a a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，其中1a ≥；当且仅当1a =时，ABC 的面积有最大值295log ⎛⎫⎪⎝⎭.21.已知整数,3m n ≥，集合(){}12,,,{0,1},1,2,,n n iX x x x x i n =∈= ∣，对于n X 中的任意两个元素()12,,,n A a a a = ，()12,,,n B b b b = ，定义A 与B 之间的距离为1(,)n i i i d A B a b ==-∑．若12,,,m n A A A X ∈ 且()()()12231,,,m m d A A d A A d A A -=== ，则称是12,,,m A A A 是n X 中的一个等距序列．（1）若1234(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,1)A A A A ====，判断1234,,,A A A A 是否是4X 中的一个等距序列？（2）设A ，B ，C 是3X 中的等距序列，求证：(,)d A C 为偶数；（3）设12,,,m A A A 是6X 中的等距序列，且161(1,1,,1)A = 个，60(0,0,,0)m A = 个，()12,5d A A =．求m 的最小值．【答案】（1）1234,,,A A A A 不是4X 中的一个等距序列（2）见解析（3）7【分析】（1）算出()12,d A A 与()23,d A A 验证不相等；（2）()(),,d A B d B C =结果为0,1,2,3来讨论；（3）分析从1变成0经过变换次数的规律，根据()12,5d A A =知道每次需要变换几个对应坐标.【小问1详解】()4121,110100001i i i d A A a b ==-=-+-+-+-=∑ ()4231,101101002i i i d A A a b ==-=-+-+-+-=∑ ()()1223,,d A A d A A ∴≠所以1234,,,A A A A 不是4X 中的一个等距序列【小问2详解】设()()()123123123,,,,,,A a a a B b b b C c c c ===把123123123,,a a a b b b c c c 分别称作()()()123123123,,,,,,A a a a B b b b C c c c ===的第一个，第二个，第三个坐标，若(){},,0,1,2,3d A B x x =∈则,A B 中有x 个对应坐标不相同，例如当(),1d A B =时，说明,A B 中有1个对应坐标不相同，其中()()1,1,0,1,1,1A B ==就是符合(),1d A B =的一种情况.①当()(),,0d A B d B C ==得A B C ==，所以(),0d A C =是偶数②当()(),,1d A B d B C ==，则,A B 中有1个对应坐标不相同，并且,B C 中有1个对应坐标不相同，所以,A C 中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A C =则(),0d A C =，当有2个对应坐标不相同时，(),2d A C =，都满足(),d A C 为偶数.③当()(),,2d A B d B C ==则,A B 中有2个对应坐标不相同，并且,B C 中有2个对应坐标不相同，所以,A C 中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A C =则(),0d A C =，当有2个对应坐标不相同时，(),2d A C =，都满足(),d A C 为偶数.④当()(),,3d A B d B C ==则,A B 中有3个对应坐标不相同，并且,B C 中有3个对应坐标不相同，所以,A C 中有0个对应坐标不相同，即A C =则(),0d A C =，满足(),d A C 为偶数.综上：A ，B ，C 是3X 中的等距序列，则(,)d A C 为偶数【小问3详解】根据第二问可得()12,5d A A =，则说明12,A A 中有5个对应坐标不相同由i A 变换到1i A +需改变5个坐标，保留1个不变，又因为从1变成0经过奇数次变化，所以从161(1,1,,1)A = 个变到60(0,0,,0)m A = 个至少经过6次变换，每个坐标变换5次，故m 的最小值为7.。

2022-2023学年北京市清华大学附中高一上学期期末数学试卷-含答案详解

绝密★启用前2022-2023学年北京市清华大学附中高一（上）期末数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A ={y|y =log 2x,x >2}，B ={y|y <4}，则A ∩B =( ) A. {y|0<y <4}B. {y|0<y <1}C. {y|1<y <4}D. ⌀2. 命题“∀x >0，x 2−2x +1≥0”的否定是( ) A. ∃x >0，x 2−2x +1<0 B. ∀x >0，x 2−2x +1<0 C. ∃x ≤0，x 2−2x +1<0D. ∀x ≤0，x 2−2x +1<03. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( ) A. y =−1xB. y =3x −3−xC. y =tanxD. y =√x4. 已知a =(12)3.1,b =3.112,c =lg 12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <a <bB. a <c <bC. c <b <aD. a <b <c5. 函数f(x)=x|x|+lnx 2的图象可能是( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A.B.C.D.6. 已知函数f(x)={ax 2−x −14,x ≤1log a x −1,x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( )A. [14,12)B. [14,12]C. (0,12]D. [12,1)二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。

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北京市清华附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={0,1,2}，则()A. 0∈AB. 1∉AC. 2=AD. 3∈A2.下列函数中，在定义域内是减函数的是()A. f(x)=−1x B. f(x)=√x C. f(x)=12xD. f(x)=tanx3.已知角α的终边上一点P(3,m)，且cosα=35，则m=()A. 4B. −4C. ±4D. ±54.设a=log13π，b=log3π，c=log4π，则()A. a<c<bB. c<b<aC. a<b<cD. b<c<a5.已知平面α⊥平面β，α∩β=ι，a⊂α，b⊂β，则“a⊥ι”是“a⊥b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=6x−log2x，则f(x)的零点所在区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4,+∞)7.函数f(x)=11−x+lg(x+1)的定义域是()A. (−∞,−1)B. (−1,+∞)C. (−1,1)D. (−1,1)∪(1,+∞)8.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。

每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在要求每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产产品A，产品B 的利润之和的最大值为A. 1800元B. 2100元C. 2400元D. 2700元9.设θ为第四象限的角，cosθ=45，则sin2θ=()A. 725B. 2425C. −725D. −242510.设函数f(x)=e x+x−2,g(x)=lnx+x2−3，若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0，则()A. g(a)<0<f(b)B. f(b)<0<g(a)C. 0<g(a)<f(b)D. f(b)<g(a)<0二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.如果幂函数f(x)=x n的图象经过点(2,2√2)，则f(4)=_____________．12.已知θ为第二象限角，若tan(θ+π4)=12，则sin(7π2+θ)−sin(θ−3π)=________．13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|<π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是______ ．14.对于函数f(x)=2sin(2x+π3)，给出下列结论：其中正确的结论是________.(填序号)①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线x=π12成轴对称；③图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到；④图象向左平移π12个单位长度，即得到函数y=2cos2x的图象．15..已知函数f(x)={kx+2,x≤0lnx,x>0(k∈R)，若函数y=|f(x)|+k有三个零点，则实数k的取值范围是____________。

16.函数f(x)=log a x+a(x+1)2−8在区间(0,1)内无零点，则实数a的范围是________________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）17.化简计算：(1)计算：log 2√748+log 212−12log 242+(18)−13×(−76)0+80.25×√24； (2)化简：sin(π+α)⋅tan(π2−α)⋅cos(π2+α)cos(π−α)⋅sin(3π2−α)⋅tan(2π−α)．18. 已知tan α2=12，求①sinα，cosα即tanα的值；②sin(α−π4)．19. 已知函数f(x)=2+log 3x(1≤x ≤9)，求函数g(x)=[f(x)]2+f(x 2)的最大值和最小值．20. 已知函数f(x)=cos 2x +sinxcosx ．(1)求函数f(x)的对称轴方程；(2)若sinα=35，α∈(π2,π)，求f(α2+π24)的值．21.已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f(x)=f(x+1)+f(x−1)恒成立.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)已知f(3)=2，求f(192)．22.已知集合{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4}，求集合A的个数．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了元素与集合的关系，由集合A={0,1,2}，故可得答案．解：因为A={0,1,2}，故可得0∈A是正确的，故选A．2.答案：C解析：解：A D两选项里的函数图象在定义域内是不连续的，因此不能说在定义域内具有什么样的单调性，故排除．B选项该函数是幂函数，它的图象在定义域内是单调递增的，故排除．故选C．常见函数单调性的判断，采用排除法即可．做这类题应该掌握住常用函数的图象及性质．3.答案：C解析：解：∵角α的终边上一点P(3,m)，且cosα=35，∴√9+m2=35，∴m=±4．故选：C．由角α的终边上一点P(3,m)，且cosα=35，可得√9+m2=35，即可求出m的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.答案：A解析：本题考查比较大小，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用对数函数的性质即可比较．解：因为，，，则a <c <b ，故选A ． 5.答案：A解析：解：由面面垂直的性质得当a ⊥l ，则a ⊥β，则a ⊥b 成立，即充分性成立，反之当b ⊥l 时，满足a ⊥b ，但此时a ⊥l 不一定成立，即必要性不成立，即“a ⊥l ”是“a ⊥b ”的充分不必要条件，故选：A ．根据面面垂直的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间面面垂直的性质是解决本题的关键． 6.答案：C解析：本题考查了函数零点存在性定理，属于基础题．分别计算f(2)>0，f(4)<0，根据零点存在定理可得．解：因为f(2)=3−log 22=2>0，f(4)=32−log 24=−12<0，所以f(x)在(2,4)上有零点，故选C ． 7.答案：D解析：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．根据函数成立的条件，即可得到结论．解：要使函数f(x)有意义，则{x +1>01−x ≠0，即{x >−1x ≠1，解得x >−1且x ≠1，即函数的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)，故选D ．8.答案：C解析：根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．解：设分别生产甲乙两种产品为x 桶，y 桶，利润为z 元则根据题意可得{2x +2y ≤123x +y ≤12x,y ∈N ∗，z =300x +400y作出不等式组表示的平面区域，作直线L ：3x +4y =0，然后把直线向可行域平移，当x =0，y =6，此时z 最大z =2400故选C ．9.答案：D解析：由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2θ的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．解：∵θ为第四象限的角，cosθ=45，∴sinθ=−√1−cos 2θ=−35，则sin2θ=2sinθcosθ=−2425，故选：D ． 10.答案：A解析：熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．先判断函数f(x)，g(x)在R上的单调性，再利用f(a)=0，g(b)=0判断a，b的取值范围即可．解：①由于y=e x及y=x−2关于x是单调递增函数，∴函数f(x)=e x+x−2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2−x的图象，∵f(0)=1+0−2<0，f(1)=e−1>0，f(a)=0，∴0<a<1．同理g(x)=lnx+x2−3在R+上单调递增，g(1)=ln1+1−3=−2<0，g(√3)=ln√3+(√3)2−3=1ln3>0，g(b)=0，2∴1<b<√3．∴g(a)=lna+a2−3<g(1)=ln1+1−3=−2<0，f(b)=e b+b−2>f(1)=e+1−2=e−1>0．∴g(a)<0<f(b)．故选：A．11.答案：8解析：本题考查了幂函数的解析式及其性质、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：因为幂函数f(x)=x n的图象经过点(2,2√2)，所以2n=2√2，所以n=3，2所以f(4)=432=23=8．故答案为8．12.答案：2√105解析：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中根据两角和的正切函数求得tanθ的值，进而利用诱导公式代入求解是解答的关键．由题意得，求得tanθ=−13，又由θ为第二象限角，求得sinθ=√1010,cosθ=−3√1010，再由诱导公式，即可求解．解：由tan(θ+π4)=12，可得tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=12，解得tanθ=−13，又由θ为第二象限角，所以sinθ=√1010,cosθ=−3√1010，又由．故答案为2√105．13.答案：f(x)=2sin(πx+π6)，x∈R解析：本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式的应用问题，是基础题．根据函数图象可得周期T、振幅A，利用周期公式求出ω，利用f(13)=2及φ的范围求出φ的值，即可确定函数解析式．解：∵根据图象判断，周期为T=4×(56−13)=2，A=2，∴2πω=2，解得：ω=π；又2sin(π×13+φ)=2，∴π3+φ=2kπ+π2，k∈Z，∴φ=2kπ+π6，k∈Z；又|φ|<π2，∴φ=π6；∴f(x)的解析式为f(x)=2sin(πx+π6)，x∈R．故答案为：f(x)=2sin(πx+π6)，x∈R．14.答案：②④解析：本题是三角函数图象和性质的综合应用，熟练掌握正弦型函数的对称性及平移变换法则是解答本题的关键．解：当x=0时，2sin(2x+π3)=√3≠0，故①错误；当x=π12时，2sin(2x+π3)=2，取最大值，故②正确；函数y=2sin2x的图象向左平移π3个单位可得到y=2sin2(x+π3)=f(x)=2sin(2x+2π3)的图象，故③错误；函数f(x)=2sin(2x+π3)的图象向左平移π12个单位，即得到函数y=2sin[2(x+π12)+π3]=2sin(2x+π2)=2cos2x的图象，故④正确；故答案为②④15.答案：k≤−2解析：本题考查根的存在性及个数的判断，考查数形结合的思想．作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．由题意可得|f(x)|=−k≥0，进而可得k≤0，作出图象，结合图象可得答案．解：由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=−k≥0，所以k≤0，作出函数y=|f(x)|的图象，由图象可知：要使y=−k与函数y=|f(x)|有三个交点，则有−k≥2，即k≤−2，故答案为：k≤−2．16.答案：(1,2]解析：本题考查了函数单调性的判断与应用及函数零点判定定理的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于基础题．分0<a<1与a>1两种情况讨论，从而由函数零点判定定理及函数的单调性判断实数a的范围．解：若0<a<1时，f(x)=log a x+a(x+1)2−8在定义域内连续，且limx→0f(x)→+∞，f(1)=0+4(a−2)<0，故函数f(x)=log a x+a(x+1)2−8在区间(0,1)内有零点；若a>1时，函数f(x)=log a x+a(x+1)2−8在区间(0,1)上是增函数，且limx→0f(x)→−∞，故只需使f(1)≤0，即4(a−2)≤0，故a≤2，故实数a的范围是(1,2]；故答案为(1,2]．17.答案：(1)原式=log2√7×12√48×√42+8(−1)×(−13)×1+(23)14×214=log21√2+2+234+14=log22−12+4=72．解(2)原式=(−sinα)⋅cosαsinα⋅(−sinα)(−cosα)⋅(−cosα)⋅(−sinαcosα)=−1．解析：本题考查对数的运算及指数运算性质，考查三角函数值的求法，是基础题．(1)直接利用对数的运算及指数运算性质化简求值；(2)利用诱导公式及特殊角的三角函数值得答案．18.答案：解：①∵tan α2=12，∴sinα=2sin α2cos α2cos 2α2+sin 2α2c =2tan α2tan 2α2+1=45， cosα=cos 2α2−sin 2α2cos 2α2+sin 2α2=1−tan 2α21+tan 2α2=35，tanα=sinαcosα=43; ②sin(α−π4)=sinαcos π4−cosαsin π4=√22(45−35)=√210．解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，属于基础题．①由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα、tanα的值；②利用两角差的余弦公式求得sin(α−π4)的值．19.答案：解：因为f(x)=2+log 3x ，所以g(x)=(2+log 3x)2+2+log 3x 2=(log 3x)2+6log 3x +6=(log 3x +3)2−3．由{1≤x ≤9,1≤x 2≤9,解得1≤x ≤3，所以0≤log 3x ≤1．由g(x)=(log 3x +3)2−3得其最大值为13，最小值为6．解析：本题考查对数函数及其性质和函数的最值，属于基础题．根据f(x)的定义域为[1,9]先求出g(x)的定义域为[1,3]，然后利用二次函数的最值再求函数g(x)=f2(x)+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=(log3x+3)2−3的最大值与最小值．20.答案：解：(1)函数f(x)=cos2x+sinxcosx=1+cos2x2+12sin2x=√22sin(2x+π4)+12，令2x+π4=π2+kπ(k∈Z)，解得x=π8+kπ2(k∈Z)，即为所求的对称轴方程．(2)由sinα=35，α∈(π2,π)，则cosα=−√1−sin2α=−45，而f(α2+π24)=√22sin(α+π3)+12=√22(sinαcosπ3+cosαsinπ3)+12，将sinα=35，cosα=−45代入上式，求得：f(α2+π24)=3√2−4√6+1020．解析：(1)利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求出函数f(x)的对称轴方程．(2)由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和差的三角公式求得f(α2+π24)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题．21.答案：(1)略；(2)−2解析：(1)证明∵f(x)=f(x+1)+f(x−1)，∴f(x+1)=f(x)−f(x−1)，则f(x+2)=f[(x+ 1)+1]=f(x+1)−f(x)=−f(x−1)∴f(x+3)=−f(x)∴f(x+6)=f(x)∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期.(2)f(192)=f(0)=−f(3)=−2．22.答案：4．解析：因为集合{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4}，所以集合A为{1,2,3}，{1,2,4},{1,2,3,4}，{1,2}．。