二次根式的分母有理化
高考数学中的根式化简中的分母有理化
高考数学中的根式化简中的分母有理化高考中的数学根式化简是一项非常重要的考点，而在这个过程中，分母有理化也是一个关键环节。
分母有理化在解题中有着重要的应用，而且不难掌握。
在这篇文章中，我们将深入探讨分母有理化的概念、方法以及实例。
一、分母有理化的概念分母有理化是指将一个分式的分母化为含有有理数的多项式。
有理数是指可以表示成有限小数、无限循环小数和整数的数字。
这个过程可以将分母的无理数转化为有理数，从而方便进行后续的计算和化简。
二、分母有理化的方法在进行分母有理化的过程中，我们需要注意以下几点方法：1.有理数的平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)该公式可以用于分母有理化中，因为它可以将分母中的平方差式进行化简。
例如，对于分式1/(√3-√2)，我们可以通过平方差公式将分母化简：=1/（√3-√2）×（√3+√2）/（√3+√2）=（√3+√2）/（√3²-√2²）=（√3+√2）/（1）=√3+√22.有理化分母当分母中含有双曲函数或其他特殊函数时，我们可以尝试有理化分母。
例如，对于分式1/(sinx-cosx)，我们可以尝试进行有理化分母，得到：=1/（sinx-cosx）×（sinx+cosx）/（sinx+cosx）=（sinx+cosx）/（sinx²-cosx²）=（sinx+cosx）/（sin²x-cos²x）=（sinx+cosx）/（1-2cos²x）3.共轭对于含有二次根式的分母，我们可以使用有理化共轭的方法进行化简。
例如，对于分式2/(3-2√2)，我们可以使用共轭的方法进行分母有理化：=2/（3-2√2）×（3+2√2）/（3+2√2）=2（3+2√2）/（9-8）=2（3+2√2）/1=2（3+2√2）三、分母有理化的实例以下是一些常见的分母有理化实例：1.将分式1/（√5-2）化简：=1/（√5-2）×（√5+2）/（√5+2）=（√5+2）/（5-4）=（√5+2）2.将分式2/（3-√2）化简：=2/（3-√2）×（3+√2）/（3+√2）=2（3+√2）/（9-2）=2（3+√2）/73.将分式1/（sinπ/6-cosπ/6）化简：=1/（sinπ/6-cosπ/6）×（sinπ/6+cosπ/6）/（sinπ/6+cosπ/6）=（sinπ/6+cosπ/6）/（sin²π/6-cos²π/6）=（sinπ/6+cosπ/6）/（1-2cos²π/6）=（sinπ/6+cosπ/6）/（1-√3）=（sinπ/6+cosπ/6）×（1+√3）/（1-√3）×（1+√3）=（sinπ/6+cosπ/6）×（1+√3）/（1-3）=（sinπ/6+cosπ/6）×（1+√3）/-2=（√2/2+√6/2）×（1+√3）/-2=-(√2/2+√6/2)×（1+√3）结语：分母有理化是高中数学中非常重要的考点，也是日常生活中数学运用的一部分。
二次根式 的性质4-分母有理化
成果应用
例1.化去下列各式分母中的根号
1 1
23 1 3
2 3 3 3
6
4 3 2
3 2
2 3 2
3 2 3 2
52 6
2 5
4 12 5
83
15 24
5 3
3 2
3 3 2
3
23
2
3 3 6 7
3 31 6 77
3 1
3 2
3
3
2
2 3
2
3 2
6 3 2
2 33 2
3 22 33 2 2 33 22 33 2
12 5 6 6
2 5 6 6
分母有理化
将分母中的根号化去，叫作分母有理化.
分母有理化
1 2 =
5 1
2 5 =
7 2
解：1 2 = 5 1
2 51
2
= 51 5 1
5 1 4
=
5 1 2
= 51 22
解：2 5 = 7 2
5 7 2 7 2 7 2
5 7 2 =
1
1
1
+
+
+
1
21 3 2 2 3 52 6 5
2 1 + 1 + 1 + 1 + 1
3 1 5 3 7 5 3 7 11 3
解：1 1 + 1 + 1 + 1 + 1
21 3 2 2 3 52 6 5
= 2 1+ 3 2+2 3+ 5 2+ 6 5
= 6 1
2 1 +
1
+
1
二次根式的计算一步一步的详细解说
二次根式的计算一步一步的详细解说
二次根式是指含有平方根的代数式。
其计算可以按以下步骤进行：
1. 化简根式。
即将根号内可简化的因数进行约分，将根号外的因数提出来，变成一个整数与根号的乘积。
比如，√8可以化简为2√2。
2. 合并同类项。
将根号内的同类项进行合并，将根号外的同类项进行合并，使得只剩下一个根号和一个整数。
比如，2√3+3√3可以合并为5√3。
3. 化简分数。
将根号下的分数化简为约分后的整数与根号的乘积。
比如，
√(4/9)可以化简为2/3。
4. 去分母（有理化分母）。
将分母中含有根号的分数转换为不含根号的有理数，使得分母为整数。
具体方法为将根号下的分母乘上根号下的分子，即进行分数乘法。
比如，1/√2可以通过有理化分母变成√2/2。
5. 求解方程。
对于包含二次根式的方程，可以通过有理化分母的方法将其化为不含根号的方程，然后根据正负号进行解方程。
比如，对于方程
√(x+2)+√(x-3)=5，将其有理化分母得到x=10。
以上是二次根式的计算过程。
在进行计算时，需要注意合并同类项、化简分数、有理化分母等步骤，以减少计算错误。
5.2.3 二次根式的有理化
合作交流
1.分母有理化：
把分母中的根号化去,使无理数分母变成 有理数,这个过程叫做分母有理化。
2.有理化因式：
两个含有根式（无理式）的代数式相乘， 如果它们的积为有理数（式），我们说 这两个代数式互为有理化因式.
如 2是 2的有理化式，3 1是 3－1的有理式.
例1.找出下列各式的有理化因式.
(3) a 1
(4) x2 1
(5) 27
(5) 3
(6)5 2 3 5 (6)5 2 3 5
例2.化简下列二次根式：
（1） 3 ，（2）3 2 ，（3） 1（, 4） 1
5 15
27 6
a
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
5
3
a
a-b
例3.把下列各式有理化.
a
a-b
（1） 1 ，（2） 1 ，（3） 1 ，
3－1 3 1
课堂检测
1.写出下列各式的有理化因式：
（1） 3－ 2，（2） 2 5，（3）2 3－5 2.
2.把下列各式的分母有理化：
（1）－8 3 （2）3 2 （3） 5a （4） 2y 2
8
6 27 2a 10ay 2 xy 4xy
-2
（5）
64
，3（6）
12
xy
，（7）
1
.
7－ 11
2 3－3 2
33 2
- 7 - 11
- 2 3 3 2 6
- 1- 2 3
（4）
1
2
, (5)
3－ 5 1-
3 2
55 .
2 3
5 2- 3
47
a b a b a2 a2 a2- a-2
初二上学期二次根式的化简：分母有理化
二次根式化简-----分母有理化导学案授课教师：杨海平学习重点：有理化因式以及分母有理化学校难点：分母有理化学习过程：一、大胆尝试、寻找方法：请你思考：如何化去下列各式中根号中的分母或者分母中的根号？（1）57 （2）)0,0(43>>y x x y （3）52 （4）3325二、文字归纳，形成结论：分母有理化：______________________________________________________________ __________________________________________________________________________思考：如何将ba +2进行分母有理化？互为有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理化因式。
一般常见的有理化因式有：a 的有理化因式为__________b a +的有理化因式为__________b a ±的有理化因式为__________b a ±的有理化因式为__________ b n a m ±的有理化因式为__________三、强化理解，学以致用：例题1、找出下列各式中有理化因式：（1）b a + （2）12 （3）25- （4）25+（5）107- （6）623+ （7）11832- （8）)(22a x a x a >--归纳总结：有理化因式确定方法？例题2、将下列各式分母有理化：（1）62 （2）121 （3）5210（4）)0,0(6492>>y x y x （5）231-（6）3232-+（7）32347++ （8）233232--归纳总结分母有理化的方法与步骤：的值等于多少？则、已知：例x x x 1,2513--=求值：变式、已知：3101,3101-=+=y x22)1(xy y x + 22)2(y xy x +-)12009()200820091231121(+⋅++++++Λ变式：四、当堂训练，热炒热卖：详见<天府前沿P37第10题>五、知识回顾，万源归本：1、本节课主要学习了哪些知识？2、通过本节课的学习，你掌握了哪些技巧？3、通过本节课的学习，你能解决哪些问题？六、课后作业，超越自我：《起航二次根式化简第四课时》1009912313212114++++++++Λ、化简例。
二次根式分母有理化综合训练
二次根式分母有理化综合训练分母有理化： 在进行二次根式的运算时，如遇到132+这样的式子，还需要进一步的化简： ()()()1313)13213)1321313)13213222-=--=--=-+-=+（（（，这种化去分母中根号的运算叫分母有理化.笔记：分母有理化的方法把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含_____________.1、按要求填空： （1）把21分母有理化,分子分母应同时乘以_______,得到________; （2）把531+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （3）把1541+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （4）把2371+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; 注意：()()b a b a b a -=-+ 2、分母中含有根号的二次根式分母有理化： （1）121 （2）231 （3）541（4）52 （5） 812 （6）3273、较为复杂的分母有理化练习：（1）321+ （2）23321- （3）32347++（4）3211-+ （5）ab a b b a - （6）b a b a --4、计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．7、观察以下各式： 343412323112121-=+-=+-=+，， 利用以上规律计算：()12019201820191341231121+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++7、阅读下面问题：12)12)(12()121211-=-+-⨯=+（ 2323)(23(23231-=-+-=+）252)52)(5(25251-=-+-=+ 试求：（1）n n ++11（n 为正整数）的值. （2）利用上面所揭示的规律计算：201620151201520141431321211++++++++++8、阅读下面问题： 12)12)(12()12(1121-=-+-⨯=+； ;23)23)(23(23231-=-+-=+ 34)34)(34(34341-=-+-=+.…… 试求：（1）671+的值；（2）17231+的值；（3）n n ++11（n 为正整数）的值.。
二次根式,分母有理化(可编辑修改word版)
上海市延吉第二初级中学数学拓展教学案年级：八授课教师：丁晓玲授课时间：2013 年9 月日课题1:二次根式分母分子有理化课时 2 第 1 课时（本章总课时：11）课型新授学习目标1.理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化2.能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算，会解系数或常数项含二次根式的元一次方程和一元一次不等式.3.在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法。
一（涵盖教学目标的三个维度）教学重点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学难点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学过程教师活动学生活动教学设计说明一、复习引入新课回顾如何将1分母有理化x二、典例讲解、巩固练习一、解答题(共15 道，每道8 分)1.已知a<0，化简—答案：解：原式==∵∴ 从而求得：又∵a<0, ∴a=-1.解题思路：先用完全平方式对根号下的式子化简，然后根据算术平方根的双重非负性得出a 的值，代入求解易错点：算术平方根的双重非负性和完全平方式试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算2.若，求答案：解：∴∵0<a<1∴∴从而解题思路：先算的平方，利用完全平方式出现,从而再开方求出结果易错点：完全平方公式，开方的时候判断符号试题难度：三颗星知识点：完全平方公式3.化简：（1）（2）答案：（1）原式= ===（2）原式=====解题思路：将根号下的式子化成完全平方的形式，再进行开方易错点：将根号下的式子化成完全平方的形式试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算4.答案：解：原式===3-1 =2解题思路：把根号下的式子化成完全平方式的形式，然后进行开方得出结果易错点：完全平方式和算术平方根的双重非负性试题难度：三颗星知识点：完全平方公式5. 若a、b 为有理数，且满足等式，求a+b 的值答案：解：∵∴等式右边= 对照等式两端，可得：a3，b=1 ∴a+b=4解题思路：先把根号下的式子写成完全平方的形式，开方后对照系数求出a 和b 的值，从而求出a+b 的值易错点：完全平方公式试题难度：五颗星知识点：实数的综合运算6. 化简：(1) (2)答案：解：（1）原式=| |—==(2)原式==解题思路：求解时从前往后每步按照运算法则求解易错点：分母有理化，算术平方根的双重非负性，最简二次根式试题难度：二颗星知识点：实数的综合运算7.若，求的值答案：解：===|a|-|b|其中，∴原式==2解题思路：先化简，在求值易错点：分母有理化试题难度：三颗星知识点：实数的综合运算8.若，求的值答案：解：对等号左端分子有理化：=由得：已知:从而解出：∴a=5 代入原式得：解题思路：根据已知条件的特点，想到用分子有理化，进而解一个方程组得出 a 的值，从而代入要求解的式子里，用完全平方式得出结果易错点：分子有理化 试题难度：五颗星知识点：完全平方公式9.答案：=解题思路：化简求值，注意观察特点易错点：平方差公式 试题难度：二颗星知识点：平方差公式10. 已知，求 x2y2，答案：解：从而==解题思路：利用分母有理化和完全平方式求解易错点：分母有理化，完全平方公式试题难度：三颗星 知识点：实数的综合运算11. 若,则ab 的值为？答案：解：=解题思路：观察到 b 可以分解为两个因式乘积，从而可以进行约分易错点：因式分解试题难度：二颗星 知识点：因式分解--提取公因式 12. 比较大小：（1）设，则a 、b 、c 之间的大小关系是？（2）（2011 上海）如果 a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A. a ＋c ＞b ＋c B. c －a ＞c －bC. ac ＞bcD. （3）通过估算比较与 1.5 的大小（4）比较与 2.9 的大小答案：解：（1）由,得：a<b<c （2）不妨取 a=1,b=0,c=-1,带入验证可得：A为正确选项（3），其中由于，所以（4）∵29>24.389，∴解题思路：不同类型的数比较大小，要根据其特点选择不同的方法， 第一题可以看到两根号下的数相加和相同，这个时候要想到用同时 n 次方，这里是同时平方； 第二道题是选择题，不需要书写步骤， 用特殊值代入更为简便，还可以保证正确率 第三道题利用形似 法，第四道题利用的同时 n 次方。
分母有理化及最简二次根式
综合练习题
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} - sqrt{6}}$。
解析
首先将分子分母同乘以$sqrt{3} + sqrt{6}$，得到$frac{(sqrt{3} + sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})}{(sqrt{3} - sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})} = frac{3 + 2sqrt{18} + 6}{3 - 6} = frac{-9sqrt{2}}{3} = -sqrt{2}$。
04
练习题与解析
基础练习题
题目
化简二次根式$frac{1}{sqrt{2}}$。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
解析
首先将分母有理化，即分子分母同乘以$sqrt{2}$， 得到$frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。
根式。
判断被开方数的因式是否为整式
03
检查被开方数的因式是否为整式，若不是整式则不是最简二次
根式。
化简技巧
提取公因式法
将根号内的多项式进行因式分解，提取公因式，简化根式。
分母有理化法
通过乘以共轭式的方法，将分母化为有理数，从而简化根式。
分子有理化法
在分子或分母有理化时，有时需要采用分子有理化的方法，即将分 子或分母同时乘以共轭因子，以简化根式。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{5}}{sqrt{5} + 2sqrt{5}}$。
VS
二次根式中分母有理化
二次根式中分母有理化1. 什么是二次根式有理化？嘿，大家好！今天我们来聊聊二次根式中分母有理化的事儿。
这听上去有点复杂，但别担心，我们一步一步来，就像做菜一样，慢慢加料，搞定它！1.1 二次根式的基本概念二次根式，其实就是根号下有数字的那种，比如说√2、√5。
这些根号有个特点，就是它们的分母一般不会是个特别整齐的数。
你会发现，如果分母里也有根号，那就需要动点手脚，让它看起来更简洁。
1.2 为什么要有理化？有理化的意思是，把根号从分母里“赶”出来，这样分母就不再有根号了。
这样做有啥好处呢？首先，这样的表达更规范，数学里经常要求我们用这种方式来写答案。
其次，这让计算变得更简单，不容易出错。
2. 怎么做分母有理化？好啦，接下来我们就要实际操作了，跟着我一起来看看吧！2.1 单根号分母的有理化假设我们有一个分数，像是1/√2。
看着有点让人头疼对吧？但其实处理起来很简单。
我们要做的就是乘上一个合适的数，让分母里的根号“消失”。
在这个例子里，我们可以把分数的分子和分母都乘上√2。
这样：[ frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} ]。
为什么这么做呢？因为分母√2 × √2 就变成了 2，根号就“消失”了，整个分数就变得清爽多了。
2.2 两个根号相乘的分母有理化有时候分母里会有两个根号相乘，比如1/√(2√3)。
这时，我们就得先把根号化简一下，然后再用类似的方法处理。
首先，化简一下根号。
√(2√3) 可以写成√2 × √√3。
然后，我们要让分母变得整齐。
先把1/√2 和1/√√3 分开来处理。
对了，先处理第一个根号：[ frac{1}{sqrt{2}} ]。
我们已经知道处理方法啦，就是乘上√2/√2：[ frac{sqrt{2}}{2} ]。
接下来，对付第二个根号，我们先化简成1/√3。
用相同的法子，乘上√3/√3：[ frac{sqrt{3}}{3} ]。
二次根式分母有理化
二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，也是同学们的难点，本文介绍几种有理化方法。
供同学们学习时参考。
一. 常规基本法
例1. 化简
解：原式
评注：这是最基本最常用的方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式。
二. 分解约简法
例2. 化简
解：原式
评注：分母提取“公因式”后可直接约分，避免分母有理化，从而简化运算。
例3. 化简
解：原式
评注：由于的有理化因式可能为零，所以不能将分子分母同乘以
；若分两种情况讨论又比较繁琐。
注意到本题的结构特征，故改用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化而又避免讨论。
例4. 化简
解：
评注：注意到7可分拆为4+3，与可配成，从而与分母约分而获得巧解，避繁就简。
例5. 化简.
解：原式
评注：把1转化为，再用平方差公式“因式分解”即能约分。
三. 巧用通分法
例6. 化简
解：原式
评注：注意到本题两“项”互为倒数，且分母互为有理化因式的结构特征，故采用直接通分，同时又达到了分母有理化的效果，使化简更为简捷。
四. 裂项约简法
例7. 化简
解：原式
评注：裂项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径。
例8. 化简
解：将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。
故原式
评注：本题解法中，先计算原式的倒数，明显方便多了。
五. 等比性质法
例9. 化简
解：
评注：若用常规方法，分子、分母同乘以分母的有理化因式则计算比较繁杂且易出错，注意到本题的结构特征，可用等比性质巧解。
分母有理化的方法
分母有理化的方法在数学中，我们经常会遇到分母有理化的问题，即将分母中含有根号或者分式的形式化简为整数或者含有整数的形式。
下面我们将介绍几种常见的分母有理化的方法。
一、有理化分母的基本原则。
有理化分母的基本原则是利用分子有理化的方法，将分母中的根号等形式化简为整数或者含有整数的形式。
这样可以方便进行运算，简化问题的复杂程度。
二、分母有理化的方法。
1. 有理化分母的一般方法。
当分母是含有根号的形式时，我们可以采用有理化的方法，即乘以分子分母的共轭形式，将根号部分消去，从而得到一个有理化的分母。
例如，对于分母为√a-b的分式，我们可以将其乘以√a+b，得到分母为a-b。
2. 分母有理化的特殊情况。
当分母中含有二次根式时，可以利用分子分母有理化的方法，将根号部分的平方项相消，得到一个有理化的分母。
例如，对于分母为1/√a+√b的分式，我们可以将其乘以√a-√b，得到分母为a-b。
3. 分母有理化的实际应用。
在实际问题中，分母有理化的方法常常用于化简复杂的分式，使得问题更易于处理。
例如，在代数运算中，我们可以利用分母有理化的方法，将复杂的分式化简为简单的形式，从而方便进行加减乘除等运算。
三、总结。
分母有理化的方法是数学中常见的问题处理方法，通过有理化分母，我们可以将复杂的分式化简为简单的形式，从而方便进行进一步的运算。
在实际问题中，有理化分母的方法也具有重要的应用价值，能够帮助我们更好地解决实际问题。
通过以上介绍，相信大家对分母有理化的方法有了更深入的了解。
希望大家在学习数学的过程中，能够灵活运用分母有理化的方法，解决各种复杂的问题，提高数学解决问题的能力。
专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(原卷版)
专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版）第一部分 典例精析+变式训练类型一 分母有理化技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。
典例1（2021秋•曲阳县期末）把√3a√12ab化去分母中的根号后得（ ） A ．4b B ．2√b C ．12√b D ．√b 2b变式训练1．（2022春•东莞市期中）化简：√8= ．2．（2021春•龙山县期末）把√12√2a化成最简二次根式，结果是 ． 技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母 典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简√2+1．解：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1．上述化简的过程，就是进行分母有理化． 【问题解决】 （1）化简2−√3的结果为： ；（2）猜想：若n 是正整数，则√n+1+√n进行分母有理化的结果为： ；（3）若有理数a ，b 满足√2−1+√2+1=2√2−1，求a ，b 的值．变式训练1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：2+√5= ．2．（2022秋•牡丹区期末）若3−√7的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+√7）ab ＝ ．技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简 典例3 化简：3332变式训练： 1.化简：2224(2)24x x x x x技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。
典例4 （2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值√x+√y+√xy+y √x−√y，其中x ＝5，y =15．针对训练：化简：（1y （24323技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。
24．观察下面式子的化简过程：√6√2+√3+√5=√6+3)−5√2+√3+√5=√2+√3)2√5)2√2+√3+√5=√2+√3−√5．化简√10√5+√13+√8，并将这一问题作尽可能的推广．变式训练： 12235(23)(35)类型二分子有理化典例6（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：√7−√6=(√7−√6)(√7+√6)√7+√6=1√7+√6．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：√7−√6=1√7+√6，√6−√5=1√6+√5．因为√7+√6＞√6+√5，所以√7−√6＜√6−√5．再例如：求y=√x+2−√x−2的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2−√x−2=4√x+2+√x−2．当x＝2时，分母√x+2+√x−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较3√2−4和2√3−√10的大小；（2）求y=√1+x−√x的最大值．针对训练1．（青羊区校级期中）已知a=√2−1，b＝3﹣2√2，c=√3−√2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b2．（2020秋•武侯区校级月考）计算：（1）比较√15−√14和√14−√13的大小；（2）求y=√x+1−√x−1+3的最大值．第二部分 专题提优训练1．（2022秋•绥化期末）化简√21√3的结果是 ． 2．（2021秋•阳城县期末）化简√8√20的结果是 ． 3．（2021秋•徐汇区校级期中）化简：√x−3−1= ． 4．（2021春•宁阳县期末）化简√12= ，√2−1= ．5．（2012秋•珙县校级月考）化简：2−√3= ．6．（2021春•江城区期末）化简√2√27的结果是 ． 7．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，求x 2+xy +y 2的平方根．8．（2022春•普陀区校级期末）计算：√5−√5−1．9．（2021秋•浦东新区校级月考）计算：√32+√3−1+√3．10．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法． 如：√2+1√2−1=√2+1)(√2+1)(√2−1)(√2+1)=3+2√2． 除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． 如：化简√2+√3−√2−√3．解：设x =√2+√3√2−√3，易知√2+√3＞√2−√3，故x ＞0．由于x 2＝（√2+√3−√2−√3）2＝2+√3+2−√3−2√(2+√3)(2−√3)=2． 解得x =√2，即√2+√3−√2−√3=√2 根据以上方法，化简：√23+2√2+√√−√√11．（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+√3）（2−√3）＝1，（√5+√2）（√5−√2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如√3=√3√3×√3=√33，√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+√7的有理化因式可以是，3√2分母有理化得．（2）计算：①1+√2+√2+√3+√3+√4+⋯+√1999+√2000．②已知：x=√3−1√3+1，y=√3+1√3−1，求x2+y2的值．12．（2022春•钢城区期末）阅读下列解题过程：√2+1=√2−1)(√2+1)×(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①√7+√6=；②√n+√n−1=；（2）应用：求√2+1+√3+√2+√4+√3+√5+√4+⋯+√10+√9的值；（3）拓广：√3−1−√5−√3+√7−√5−√9−√7=．13．（2021春•广饶县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简√3+√2解：√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a +2√b 的方法：如果能找到两个实数m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn ＝b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n ． 例如：化简√3±2√2解：√3±2√2=√(√2)2+12+2√2=√(√2+1)2=√2+1 【理解应用】（1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于 ．（2）计算： ①√7−2√10； ②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2020+√2019+√2021+√2020．14．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：√7−√6=√7−√6)(√7+√6)√7+√6=√7+√6．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小可以先将它们分子有理化如下：√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5． 因为√7+√6＞√6+√5，所以，√7−√6＜√6−√5． 再例如，求y =√x +2−√x −2的最大值、做法如下： 解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =√x +2−√x −2=√x+2+√x−2．当x ＝2时，分母√x +2+√x −2有最小值2．所以y 的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较√15−√14和√14−√13的大小； （2）求y =√x +1−√x −1+3的最大值．。
八年级数学上册 16.3 二次根式的运算(3)分母有理化教
分母有理化课题16.3（3）分母有理化设计依据（注：只在开始新章节教学课必填）教材章节分析：学生学情分析：课型新授课教学目标1、知道有理化因式的概念，知道分母有理化并掌握分母有理化的方法2、经历比较、分析等数学活动过程，体会分母有理化就是实施二次根式的除法；3、通过交流不同算法，提高学生思维的灵活性。
4、通过对不同方法的比较、讨论, 提高解题能力，培养学生规范、简洁、准确解答的良好学习习惯。
重点明确分母有理化的含意；利用分母有理化进行除式为一个根式的除法运算。
难点找出有理化因式，如何采用简洁的方法进行分母有理化教学准备多媒体教学学生活动形式讨论，交流，总结，练习教学过程设计意图课题引入：一、复习：1、计算：知识呈现：二、新授|：1、?622、试一试请把ba32中的分母b3作为3b。
3、例1 计算：4、例题3 解下列方程和不等式：5、把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。
三、巩固练习：1、将下列各式分母有理化：2、讨论：如何将下列各式分母有理化：4、解下列方程和关于X的不等式：课堂小结：四、本课小结：分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。
（运用其它途径，也可达到分母有理化的目的）：课外练习册P:9~10 习题16.3（3）作业16.3(4) 混合运算预习要求。
专题03 二次根式之分母有理化(解析版)
专题03 二次根式之分母有理化一、例题讲解1.（2020-2021·安徽·月考试卷） 计算(1−23−4)×(2345)−(1−√2√3√4√5)×(√2√3+√4的结果等于( )A.12 B.√55 C.√33 D.√22【答案】B【解答】解：设a =√2√3√4，原式=(1−a )(a √5)−(1−a −√5)×a =a √5−a 2√5a +a 2+√5=√55．故选B ．2.（2020-2021·广东·月考试卷） 已知：a =2−√3，b =√3+2，则√a 2+ab +b 2的值为( )A.5B.17C.√15D.√17【答案】C【解答】解：∵ a =2−√3=√3+2(2−√3)(√3+2)=√3+2，b =√3+2=√3(2−√3)(√3+2)=2−√3，∵ a +b =4，ab =(2−√3)(2+√3)=22−3=1，∵ √a 2+ab +b 2=√(a +b )2−ab =√42−1=√15.故选C .3.（2020-2021·江苏·月考试卷） 若x =√5+1，y =√5−1，则x−yx 2−y 2的值为________. 【答案】√510【解答】解：∵x =√5+1，y =√5−1， ∴x +y =√5+1+√5−1=2√5，∴x−y x 2−y 2=x−y (x+y )(x−y )=1x+y=2√5=√510.故答案为：√510.4.（2020-2021·湖南·期末试卷） 化简题中，有四个同学的解法如下： ①√5+√2=√5−√2)(√5+√2)(√5−√2)=√5−√2，②√5+√2=√5+√2)(√5−√2)√5+√2=√5−√2， ③√a+√b=√a−√b)(√a+√b)(√a−√b)=√a −√b ，④√a+√b=√a+√b)(√a−√b)√a+√b=√a −√b .他们的解法，正确的是________.（填序号） 【答案】①②④【解答】解：①√5+√2=√5−√2)(√5+√2)(√5−√2)=√5−√2，故①正确；②√5+√2=√5+√2)(√5−√2)√5+√2=√5−√2，故②正确；③√a+√b （√a −√b ≠0）=√a−√b)(√a+√b)(√a−√b)=(a−b )(√a−√b)a−b=√a −√b ，故③错误；④a+√b=√a+√b)(√a−√b)a+√b=√a −√b ，故④正确.综上所述，计算正确的有①②④.故答案为：①②④.5.（2020-2021·安徽·月考试卷） 阅读材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如3，3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=53√3； √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=2(√3−1)2=√3−1；√3+1=√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1.以上这种化简的方法叫分母有理化． 解决问题： (1)用上述方法化简5+3；(2)比较大小：√19−3√2与3√2−√17；(3)化简：√3+1√5+√3√7+√5⋯+√2021+√2019．【答案】解：√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=2(√5−√3)5−3=√5−√3．√19−3√2=√19+√18)(√19−√18)(√19+√18)=√19+√18，3√2−√17=√18+√17)(√18−√17)(√18+√17)=√18+√17，∵√19>√17，∴√19+√18>√18+√17，∴√19−3√2>3√2−√17．(3)原式=√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√2019−√20172+√2021−√20192=√2021−12．6.（2020-2021·安徽·月考试卷） 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：(√3+√2)⋅(√3−√2)=(√3)2−(√2)2=1；(√5+√2)(√5−√2)=(√5)2−(√2)2=3，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3；√3=√3√3×√3=√33，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： (1)3+√7的有理化因式是________，√2+1分母有理化得________；(2)比较大小：√6−2________ 3−√7（用“>”“<”或“=”填空）；(3)计算：√5+13+√5√13+3+⋯+√2017+√2013√2021+√2017.【解答】解：(1)∵(3+√7)(3−√7)=32−(√7)2=2，∴3+√7的有理化因式是3−√7.√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1.故答案为：3−√7；√2−1.√6−2=√6+2(√6−2)(√6+2)=√6+22，3−√7=√7(3−√7)(3+√7)=3+√72，∵√6+22<3+√72，∴√6−2<3−√7.<. (3)原式=√5−1)(√5+1)(√5−1)√5)(3+√5)(3−√5)√13−3)(√13+3)(√13−3)⋯+√2017−√2013)(2017+2013)(2017−√2013)√2021−√2017)(√2021+√2017)(√2021−√2017)=√5−1+3−√5+√13−3+⋯+√2017−√2013+√2021−√2017=√2021−1．7.（2020-2021·安徽·月考试卷） 像√2×√2=2， (√3+1)×(√3−1)=2， (√5+√2)×(√5−√2)=3…两个含有二次根式的式子相乘，积不含有二次根式，则称这两个式子互为有理化因式． 爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． 例1：23=√323×3=√36； 例2：√2+1√2−1=√2+1)2(√2−1)×(√2+1)=2+2√2+12−1=3+2√2.请你解决下列问题：(1)2√3−3√5的有理化因式可以是（ ） A.2√3−3√5 B.2√3+3√5 C.√3−√5 D.√3+√5(2)化简：√32+√3.【解答】解：(1)(2√3−3√5)(2√3+3√5)=(2√3)2−(3√5)2=12−45=−33， ∵ 2√3−3√5的有理化因式为2√3+3√5.故选B. (2√32+√3=√3√3⋅√3√3(2+√3)(2−√3)=√3+2−√34−3=2.8.（2020-2021·安徽·月考试卷） 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知a =2+√3，求2a 2−8a +1的值．他是这样解答的：∵ a =2+3=√3(2+3)(2−3)=2−√3，∵ a −2=−√3，∵ (a −2)2=3，即a 2−4a +4=3，∵ a 2−4a =−1，∵ 2a 2−8a +1=2(a 2−4a )+1=2×(−1)+1=−1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： 3+2=________； (2)化简：√2+1√3+√2√4+√3⋯+√169+√168；(3)若a =√5−2，求a 4−4a 3−4a +3的值．【解答】解：3+2=√3−√2(3+2)(3−2)=√3−√2.故答案为：√3−√2.(2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√169−√168=√169−1=13−1=12. (3)∵ a =√5−2=√5+2，∵ a −2=√5，∵ (a −2)2=5，即a 2−4a +4=5，∵ a 2−4a =1，∵ a 4−4a 3−4a +3=a 2(a 2−4a )−4a +3=a 2×1−4a +3=a 2−4a +3=1+3=4．9.（2020-2021·江西·期中试卷） 观察下列运算过程：1+2=2+1=√2−1(2+1)(2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1，√2+√3=√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2． (1)请运用上面的运算方法计算：1+√3√3+√5√5+√7；(2)利用上面的规律，比较√11−√10与√12−√11的大小． 【答案】解：1+√3+√3+√5√5+√7=√3−12+√5−√32+√7−√52=√7−12. (2)∵ √11−√10=√11+√10，√12−√11=√12+√11， ∵ √11+√10<√12+√11，∵ √11+√10>√12+√11，即√11−√10>√12−√11．二、实战演练1.（2020-2021·安徽·月考试卷） 已知a =√3+√2 ，b =√3−√2，那么a 与b 的关系为( )A.互为相反数B.互为倒数C.相等D.a 是b 的平方根【答案】C 【解答】解：∵ b =√3−√2=√3+√2(√3−√2)(√3+√2)=√3+√2，∴ a =b ．故选C ．2.（2020-2021·湖南·月考试卷） 若x =2−1，则x 2−2x =( )A.√2B.1C.2+√2D.√2−1【答案】B 【解答】解：∵ x =√2−1=√2+1(√2−1)(√2+1)=√2+1，∵ x 2−2x =x(x −2)=(√2+1)(√2+1−2)=2−1=1．故选B .3.（2020-2021·湖南·期末试卷） 已知x =√7−2，a 是x 整数部分，b 是x 的小数部分，则ba =________. 【答案】√7−24【解答】解：∵x =√7−2=√7+2，又2<√7<3，∴4<√7+2<5，即4<x <5，∴a =4，b =√7+2−4=√7−2，∴ba =√7−24.故答案为：√7−24.4.（2020-2021·山西·月考试卷） 在数学课外学习活动中，小华和他的同学遇到一道题： 已知a =2+√3，求a +1的值．小华是这样解答的：∵ a =2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∵ a +1=3−√3．请你根据小华的解题过程，解决下列问题． (1)填空√3−√2=________；√3−1=________．(2)化简√2+1√3+√2√4+√3⋯√289+√288．(3)若a =5−3，求(2a −√3)2−1的值．【解答】解：√3−√2=√3−√2(√3−√2)(√3+√2)=√3+√2;√3−1=√3−1(√3−1)(√3+1)=√3+12.故答案为：√3+√2；√3+12. (2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√289−√288=√289−1=17−1=16． (3)∵a =√5−√3=√5+√3(√5−√3)(√5+√3)=√5+√32，∴2a =√5+√3，∴(2a −√3)2=5，∴(2a −√3)2−1=4．5.（2020-2021·安徽·期中试卷） 阅读下面的材料，并解决问题．√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1； √3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；⋯⋯(1)观察上式并填空：√4+√3=________；(2)观察上述规律并猜想：当n 是正整数时，√n+1+√n=________；（用含n 的式子表示，不用说明理由）(3)请利用(2)的结论计算： ①(√2+1√3+√2√4+√3+√5+√4)×(√5+1)=________； ②(√2+1√3+√2+⋯√2020+√2019√2021+√2020)×(√2021+1).【解答】解：√4+√3=√4−√3(√4+√3)(√4−√3)=√4−√3=2−√3.故答案为：2−√3.(2)1√n+1+√n=√n+1−√n(√n+1+√n)(√n+1−√n)=√n +1−√n ．故答案为：√n +1−√n．(3)①原式=(√5−1)×(√5+1)=5−1=4. 故答案为：4．②原式=(√2−1+√3−√2+⋯+√2020−√2019+√2021−√2020)×(√2021+1) =(√2021−1)(√2021+1)=2021−1=2020．6.（2020-2021·福建·月考试卷） 阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时， 我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33；√23=√2×33×3=√63； √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=2(√3−1)(√3)2−12=√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．(1)化简：√3=________；√25=________；√5+√3=________； (2)化简：√3+1+√5+√3√7+√5⋯+√2019+√2017；(3)已知x =√5−√3√5+√3，y =√5+√3√5−√3，求y x +xy的值．【解答】解：√3=√3√3×√3=2√33；√25=√2√5=√2×√5√5×√5=√105；√5+√3=√5−√3(√5+√3)(√5−√3)=√5−√32. 故答案为：2√33；√105；√5−√32. √3+1√5+√3√7+√5⋯√2019+√2017=√3−1(√3+1)(√3−1)√5−√3(√5+√3)(√5−√3)√7−√5(√7+√5)(√7−√5)⋯+√2019−√2017(√2019+√2017)(√2019−√2017) =√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√2019−√20172=√2019−12. (3)∵x =√5−√3√5+√3，y =√5+√3√5−√3，∴x 2=(√5−√3)2(√5+√3)2=√158+2√15，y 2=(√5+√3)2(√5−√3)2=√158−2√15，xy =√5−√3√5+√3√5+√3√5−√3=1，∴yx +xy =y 2+x 2xy=8+2√158−2√15+8−2√158+2√151=√158−2√15√158+2√15=√15)2√15)2(8−2√15)(8+2√15)=64+32√15+60+64−32√15+6064−60=62.7.（2020-2021·河北·月考试卷） 阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为√a×√a=a，(√2+1)(√2−1)=1，所以√a与√a，√2+1与√2−1互为有理化因式.(1)2√3−1的有理化因式是________；(2)这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：√3=√3√3×√3=2√33，√5+√3√5−√3=√5+√3)2(√5−√3)(√5+√3)=5+2√15+35−3=8+2√152=4+√15.用上述方法对√32+3进行分母有理化.(3)利用所需知识判断．若a=2+√5，b=2−√5则a，b的关系是________；(4)直接写结果：(√2+1√3+√2√2020+√2019)(√2020+1)=________.【解答】解：(1)(2√3−1)(2√3+1)=12−1=11，故2√3−1的有理化因式为2√3+1.故答案为：2√3+1.√3 2+√3=√3)2(2+√3)(2−√3)=4−4√3+34−3=7−4√3.(3)a=√5(2+√5)(2−√5)=√5−2=−b.故答案为：a和b互为相反数.(4)原式=(√2−1+√3−√2+⋯+√2020−√2019)×(√2020+1)=(√2020−1)×(√2020+1)=2020−1=2019.故答案为：2019.8.（2020-2021·河北·期中试卷）写作业时，小明被一道题难住了：“若a=3+√10，求a2+6a−27的值．”老师给予了必要的方法提示；不宜直接代入计算，需要先化简已知式，如a=2+√3.∵a=2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∵ a−2=−√3.……请你根据老师的提示，解决如下问题：(1)计算：3+√6=__________；(2)若a=3+√10，求a2+6a−27的值．【解答】解：3+√6=√6(3+√6)(3−√6)=3−√63.故答案为：3−√63.(2)∵ a=3+√10=√10(3+√10)(3−√10)=√10−3，∵ a+3=√10,∵ a2+6a−27=(a+3)2−36=(√10)2−36=−26.9.（2020-2021·河南·月考试卷）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：(√2+1)(√2−1)=1，(√3+√2)(√3−√2)=1，(√4+√3)(√4−√3)=1，(√5+√4)(√5−√4)=1......(1)观察上面的规律，计算下面的式子：√2+1+√3+√2√4+√3⋯+√2020+√2019；(2)利用上面的规律，试比较√11−√10与√12−√11的大小．【答案】解：(1)原式=(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2020−√2019)=√2020−1. (2)√11−√10=11+10，√12−√11=12+11.∵ √11+√10<√12+√11．∵√11+√10>√12+√11，即√11−√10>√12−√11．三、课后练习1.（2020-2021·湖南·月考试卷） 若x =2+√3，y =2−√3，则x 与y 关系是( )A.x >yB.x =yC.x <yD.xy =1【答案】B【解答】解：∵ y =2−√3=√3(2−√3)(2+√3)=2+√3，而x =2+√3，∵ x =y ．故选B ．2.（2020-2021·山西·月考试卷） 已知：a =2−√3，b =2+√3，则a 与b 的关系是( )A.a −b =0B.a +b =0C.ab =1D.a 2=b 2【答案】C【解答】解：∵ a =2−√3=√3(2−√3)(2+√3)=2+√3，b =2+√3=√3(2−√3)(2+√3)=2−√3，∵ a +b =4，a −b =2√3，ab =(2+√3)(2−√3)=22−(√3)2=1， a 2=7+4√3，b 2=7−4√3，a 2≠b 2.故选C .3.（2020-2021·上海·月考试卷） 已知a =√3+√2，b =√3−√2，则a 2−b 2的值是________． 【答案】−4√6 【解答】解：∵ a =√3+√2=√3−√2，b =√3−√2=√3+√2，∵ a 2−b 2=(a +b )(a −b )=2√3×(−2√2)=−4√6.故答案为：−4√6.4.（2020-2021·安徽·月考试卷） 阅读下列解题过程：√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1； √3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2； √4+√3=√4−√3(√4+√3)(√4−√3)=2−√3；…解答下列各题：√10+√9=________；(2)观察上面的解题过程，请直接写出式子√n+√n−1=________；(3)利用这一规律计算：(√2+1√3+√2√4+√3⋯√2022+√2021)×(√2022+1).【解答】解：√10+√9=√10−√9(√10+√9)(√10−√9)=√10−3.故答案为：√10−3.√n+√n−1=√n−√n−1(√n+√n−1)(√n−√n−1)=√n−√n−1.故答案为：√n−√n−1.(3)原式=(√2−1+√3−√2+⋯+√2022−√2021)(√2022+1)=(√2022−1)(√2022+1)=2022−1= 2021．5.（2020-2021·安徽·月考试卷）把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①√5=√5√5×√5=2√55；②√2−1=√2+1)(√2−1)(√2+1)=√2+1(√2)2−12=√2+1．根据上述材料，回答下列问题．(1)化简√3−1，(2)计算2+13+24+3⋯20+19．【答案】解：(1)原式=√3+1)(√3−1)(√3+1)=(√3+1)．(2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋅⋅⋅+√20−√19=√20−1=2√5−1．6.（2020-2021·广东·月考试卷）观察下列一组等式，解答后面的问题：(√2+1)(√2−1)=1，(√3+√2)(√3−√2)=1，(√4+√3)(√4−√3)=1，(√5+√4)(√5−√4)=1，⋯(1)根据上面的规律，计算下列式子的值：(√2+1√3+√2√4+√3√2016+√2015)(√2016+1)；(2)利用上面的规律，比较√12−√11与√13−√12的大小．【答案】解：(1)原式=(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2016−√2015)(√2016+1)=(√2016+ 1)(√2016−1)=2016−1=2015.(2)√12−√11=√12−√11)(√12+√11)√12+√11=√12+√11=√12+√11，√13−√12=√13−√12)(√13+√12)√13+√12=√13+√12=√13+√12，又√12+√11<√13+√12．∵ √12−√11>√13−√12．7.（2020-2021·广东·月考试卷） 小明在解决问题：已知a =2+√3，求2a 2−8a +1的值，他是这样分析与解答的：因为 a =2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，所以a −2=−√3，所以(a −2)2=3，即a 2−4a +4=3，所以a 2−4a =−1， 所以2a 2−8a +1=2(a 2−4a )+1=2×(−1)+1=−1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： √7+√6=________；(2) √2+1√3+√2√4+√3+⋯√100+√99；(3)若a =√2−1，求4a 2−8a +1的值．【解答】解：√7+√6=√7+√6(√7+√6)(√7−√6)=√7+√6.故答案为：√7+√6.(2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√100−√99=√100−1=9. (3)因为a =√2−1=√2+1(√2−1)(√2+1)=√2+1，所以a −1=√2，所以(a −1)2=2，即a 2−2a +1=2，所以a 2−2a =1， 所以4a 2−8a +1=4(a 2−2a)+1=4×1+1=5. 8.（2020-2021·上海·月考试卷） 已知：x =3−2√2，求x 2−6x+2x−3的值．【答案】解：∵ x =3−2√2=√2(3−2√2)(3+2√2)=3+2√2，∵ 原式=(x−3)2+2−9x−3=√2−3)23+2√2−3=2√2=√22√2×√2=√24．9.（2020-2021·广东·月考试卷） 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33（一）， √23=√2×33×3=√63（二）， √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1（三），以上这种化简的步骤叫做分母有理化．√3+1还可以用以下方法化简：√3+1=√3+1=√3)22√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1（四）.(1)直接写出化简结果①√2+1=________，②√5=________；(2)请选择适当的方法化简√5+√3；(3)化简：√3+1√5+√3√7+√5⋯+√2n+1+√2n−1．【解答】解：(1)①√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；②√5=√5√5×√5=√55.故答案为：√2−1；√55.(2)原式=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=2(√5−√3)5−3=√5−√3.(3)原式=√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√2n+1−√2n−12=√2n+1−12．。
二次根式的分母有理化
2 1
x x
9
小结
怎样化去被开方数中的分母 怎样化去分母中的根号 二次根式的最后结果应满足： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含分母;
(3)分母中不含有根号.
知识象一艘船 让它载着我们
驶向理想的……
3 1 2 3
（2） x 1 x x 1 x
x 1 x x 1 x
8
3、计算： 1 1 1 1
1
1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
4、已知x 1 ，求 x 1 2 4 x 1 4 的值
n
n
(
(m n)( m n) m n)( m n)
(m n)( m mn
n)
m
n
（第三小题还有其他方法吗？）
三、能力拓展
7
1、（口答）说出下列各式的一个有理化因式：
5 3 2 a b x 1 x 1 x 1 x2
2、化简： （1） 1 2 3
(3) 2y 2y 3x 6xy 3x 3x 3x 3x
探究（二）
5
1
如何化简
2 1
1
( 2 1)
2 1
2 1 ( 2 1)( 2 1)
1
问题2：如何将
分母有理化有理化？
x y
1
( x y)
x y
x y ( x y )( x y ) x y
化去根号中的分母：
6
3
（1） 3 1
（2）
4
1 33
2
（3）
二次根式加减法运算法则
二次根式加减法运算法则
二次根式加减法运算法则是将两个二次根式进行加减运算的方法。
1. 相加减分解法：如果两个二次根式的根指数和根号内的表达式完全相同，那么可以直接将它们的系数相加减即可，根指数和根号内的表达式保持不变。
例如：√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 0
2. 合并同类项法：如果两个二次根式的根号内的表达式相同，但是根指数不同，可以将它们的系数相加减，并将根号内的表达式保持不变。
例如：2√2 + 3√2 = 5√2，4√5 - 2√5 = 2√5
3. 有理化法：如果两个二次根式的根号内含有分母，可以通过有理化的方法将分母去掉，然后再按照相加减分解法或合并同类项法进行运算。
例如：(1/√2) + (√3/√2) = (√2 + √3)/(√2*√2) = (√2 + √3)/2，(1/√5) - (2/3√5) = (3 - 2√5)/(3√5)
需要注意的是，在进行二次根式加减法运算时，要先将根号内的表达式进行化简，然后再按照以上的运算法则进行运算。
二次根式的化简方法
二次根式的化简方法二次根式是指含有平方根的代数表达式，通常写为√n的形式，其中n为一个非负实数。
化简二次根式是将其转化为最简形式的过程，使其不再包含平方根。
本文将介绍几种常用的二次根式化简方法。
一、将根式中含有平方数的因子提出当根式中含有平方数的因子时，可以将其提出，从而简化根式。
例如，要化简√12，可以将12拆解为2的因子：√12=√(2×2×3)。
然后，将2的平方数因子2提到根号外面：√12=2√3。
这样，根式被化简为了最简形式。
二、合并同类项当二次根式中含有相同的根号内数字时，可以进行合并操作，简化根式。
例如，要化简√6+√6，可以合并这两个根式：√6+√6=2√6。
同理，对于含有3个或更多相同根号内数字的根式，也可以使用合并同类项的方法进行化简。
三、有理化分母当二次根式的分母含有根号时，可以通过有理化分母的方法进行化简。
有理化分母的基本思想是，将分母有理化，即使其不再包含根号。
具体操作是，将分母乘以其共轭形式的分子和分母，这样可以使分子和分母都为有理数。
例如，要化简1/(√2+1)，可以先将分母乘以其共轭形式的分子和分母：1/(√2+1)×(√2-1)/(√2-1)。
进行乘法运算后，分母变为有理数，分子为1×(√2-1)=√2-1，所以化简后的结果为√2-1。
四、使用平方根的性质使用平方根的性质可以帮助化简二次根式。
以下是几个常用的平方根性质：1. 平方根的乘法性质：√(a×b) = √a × √b，其中a和b为非负实数。
2. 平方根的除法性质：√(a/b) = (√a)/(√b)，其中a和b为非负实数，且b不等于0。
3. 平方根的加法性质：√a+√b≠√(a+b)，这个性质无法直接运用于化简，但可以用来判断是否可以继续化简。
通过运用这些性质，可以将二次根式转化为最简形式。
综上所述，二次根式的化简方法包括将含有平方数的因子提出、合并同类项、有理化分母和使用平方根的性质。
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小结
怎样化去被开方数中的分母 怎样化去分母中的根号 二次根式的最后结果应满足： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含分母;
(3)分母中不含有根号.
知识象一艘船 让它载着我们
驶向理想的……
化去根号中的分母：
6
3
（1） 3 1
（2）
4
1 33
2
（3）
m m
n
n
(m
n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：
（1） 3 3( 3 1) 3 3
3 1 ( 3 1)( 3 1) 2
（2） 4
1 33
2 (4
(4 33
3 3 2)(4
2) 3 3
4 2)
3 3 30
2
（3）
m m
二次根式的分母 有理化
1
新知探究:
探究（一）
如何去掉 1 中被开方数中的分母呢?
3
分析：
1 1 3 3
3
33 3
2 思考与探索 1.练习题：化简下列各式
(1)
3
3
42
(2) 1 2 2 8 16 4
(3) 1 a
1 a
aa
a a a2 a
由此你能的得到一般结论吗? 3
(3) 2y 2y 3x 6xy 3x 3x 3x 3x
探究（二）
5
1
如何化简
2 1
1
( 2 1)
2 1
2 1 ( 2 1)( 2 1)
1
问题2：如何将
分母有理化有理化？
x y
1
( x y)
x y
x y ( x y )( x y ) x y
n
n
(
(m n)( m n) m n)( m n)
(m n)( m mn
n)
m
n
（第三小题还有其他方法吗？）
三、能力拓展
7
1、（口答）说出下列各式的一个有理化因式：
5 3 2 a b x 1 x 1 x 1 x2
2、化简： （1） 1 2 3
当a≥0,b>0时,怎样化去 a 中的分母? b
a ab b bb
ab b2
ab b2
ab b
化去根号中的分母：
4
(1) 2 (2) 2 1 (3) 2 y (x 0, y 0)
3
3 3x
解:(1) 2 23 6
3 33 3
(2) 2 1 7 7 3 21 3 3 33 3
3 1 2 3
（2） x 1 x x 1 x
x 1 x x 1 x
8
3、计算： 1 1 1 1
1
1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
4、已知x 1
，求
x
1
2
4
x
1
4
的值
2 1
x x