计算方法引论-第十三章
计算方法引论第三版课程设计
计算方法引论第三版课程设计
介绍
计算方法引论是计算机科学与技术专业中一门重要的课程。
本门课程主要讲述了计算方法的基本概念、计算误差和数字稳定性、线性方程组的解法、插值与逼近、数值积分、常微分方程数值解等内容。
本次课程设计主要围绕数值积分和常微分方程数值解展开，通过实践操作加深学生对课程内容的理解和掌握。
题目描述
设计一个科学计算工具，能够进行常用的数值积分和常微分方程数值解计算。
具体要求如下：
数值积分
1.实现复合梯形法、复合辛普森法和复合 Gauss-Legendre 积
分的算法；
2.给定被积分函数f(x)，计算积分 $\\int_a^b f(x) dx$ 的近似
值。
至少测试以下积分：
–$\\int_0^{\\pi} \\sin(x) dx$
–$\\int_0^1 e^{-x^2} dx$
常微分方程数值解
1.实现常微分方程初值问题的三种数值解法：欧拉法、改进
欧拉法和四阶龙格库塔法；。
计算方法
计算方法的计算对象是微积分，线性代数， 计算方法的计算对象是微积分，线性代数，常微分方 程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、 程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、数值微分 和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、 和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、计 算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。 算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。 计算方法的计算目标是高等数学问题的的数值解。 计算方法的计算目标是高等数学问题的的数值解。
已知时， 当η已知时，有|ε(x)|=|εr (x)| |x*|≤η|x*| 已知时
例 设 x = 1 ± 0.5, y = 10000 ± 5, x, y的近似值哪一个精度高些? 的近似值哪一个精度高些? 解 x*=1, 绝对误差限ξx=0.5,
相对误差限ηx=0.5/1=0.5
y*=10000, 绝对误差限ξy=5,
某个量的数学模型是sin 由泰勒展式 例 某个量的数学模型是 x,由泰勒展式
x x x sin x = x + +L , ∞ < x < +∞ 3! 5! 7!
sin x ≈ x x3 x5 x7 cos ξ 3 x + +L = 截断误差 sin x x = 3! 5! 7! 3!
用近似计算公式
少位有效数字？ 少位有效数字？ 解法1 解法 可知x精确到10 -3 ，从这一位到左边第一位非 零数字共有5位，因此有5位有效数字。 位有效数字。
x = 0.312036 × 102 , p=2, p-n= -3, 解法2 解法
所以x有5位有效数字。 位有效数字。
故n= 5,
1.2.3.4 算术运算的误差
1.2.2 误差的来源与分类
1.《计算方法》-误差
《计算方法》教案（第一章误差）选用教材：普通高等教育“十一五”国家级规划教材《计算方法引论》（第三版）徐箤薇孙绳武编著主讲老师：刘鸣放2010年3月于河南大学一．基本内容提要1. 误差的来源2. 浮点数、误差、误差限和有效数字3. 相对误差和相对误差限4. 误差的传播5. 在近似计算中需要注意的一些问题二．教学目的和要求1. 熟练掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系；2. 了解误差的来源以及误差传播的情况，掌握在基本算术运算中误差传播后对运算结果误差限的计算方法和函数求值中的误差估计；3. 理解并掌握几种减少误差避免错误结果应采取的措施，了解选用数值稳定的算法的重要性。
三．教学重点1.绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系，误差传播，减少误差避免错误结果应采取的措施。
四．教学难点1.误差传播；2. 数值稳定算法的选用。
五．课程类型新知识理论课；六．教学方法结合课堂提问，以讲授为主。
七．教学过程如下：Introduction1.《计算方法》课程介绍计算方法是用数值的方法研究研究科学与工程中的计算问题；它的内容主要包括：近似值的计算和误差估计两个方面；主要工具：计算机；地位：这门课已成为工科各专业，特别是计算机科学与技术、土木工程、机械、数学等专业的必修基础课。
2.发展状况几十年来，计算方法效率的提高是与计算机速度的提高几乎同步地、同比例地前进的。
这里简述一下国家重点基础研究计划项目（简称973项目）“大规模科学计算研究”（1999-2004）的主要内容，可以帮助同学们了解我国科学计算界所关心的问题。
此项目由石钟慈院士等人为首组织，集中了我国计算数学、计算物理、计算力学、计算机、以及材料、环境能源等领域60多名专家，跨学科，跨部门通力合作研究以下几个方面的主要内容：（1）复杂流体的高精度计算，含天气预报数值模拟研究；（2）新材料的物理性质机理多尺度计算研究，含超导、超硬度合金等问题的计算研究；（3）地质油藏模拟与波动问题及其反问题计算研究；（4）基础计算方法的理论创新与发展；（5）大规模计算软件系统的基础理论和实施。
《计算方法引论》-徐翠微主编
《计算方法引论》-徐翠微主编2009 ~ 2010学年第一学期计算方法教案计0701-0703 4h第二章插值法知识点:拉格朗日插值法，牛顿插值法，余项，分段插值。
实际问题中，时常不能给出f(x)的解析表达式或f(x)解析表达式过于复杂而难于计算，能采集的只是一些f(x)的离散点值{xi,f(xi)}(i=0,1,2,…n)。
因之，考虑近似方法成为自然之选。
定义:设f(x)为定义在区间[a，b]上的函数，x0,x1,…,xn为[a，b]上的互异点，yi=f(xi)。
若存在一个简单函数,(x)，满足(插值条件),(xi)=f(xi)，i=0，1，…，n。
则称 ,(x)为f(x)插值函数，f(x)为被插函数,点x0,x1,…,xn为插值节点,点{xi,f(xi)},i=0,1,2,…n为插值点。
于是计算f(x)的问题就转换为计算 ,(x)。
构造插值函数需要解决:插值函数是否存在唯一;插值函数如何构造(L插值);插值函数与被插函数的误差估计和收敛性。
对插值函数 ,(x)类型有多种不同的选择，代数多项式常被选作插值函数。
P23(2.18)和(2.19)指出，存在唯一的满足插值条件的n次插值多项式p(x)。
但是需要计算范德蒙行列式，构造插值多n项式工作量过大，简单表达式不易得到，实际中不采用这类方法。
p(x)?f(x) n插值法是一种古老的数学方法，拉格朗日(Lagrange)、牛顿(Newton)等分别给出了不同的解决方法。
拉格朗日插值拉格朗日(Lagrange)插值的基本思想:把插值多项式p(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数l(x)(i=0,1,…,n)的ni构造。
(1)线性插值?构造插值函数已知函数y=f(x)的两个插值点(x,y)，(x,y)，构造多项式y=p(x)，使p(x)=y,p(x)=y。
001111001111 《计算方法引论》、徐翠薇，高等教育出版社 2008年4月第三版第二章Lagrange插值法2009 ~ 2010学年第一学期计算方法教案计0701-0703 4h由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为, y y 1 0 , , , y y ，， x x p ( x ) + 0 0 1 , x x 1 0变形为 x-x0 x-x1 y 1, ， p(x) y 10 x1-x0 x0-x1记 x-x0 x-x1 , l(x) , l(x) 10 x1-x0 x0-x1则p(x)=l(x)y+l(x)y10011插值完毕～注意性质:l(x)=l(x)=1，l(x)=l(x)=0，p(x)=y，p(x)=y。
计算方法的课后答案解析
《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。
计算方法引论- 计算方法
的误差限。记为 。
• xx* 即 e
•
• 在工程中常记为：xx*
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18
绝对误差限例题
• 例5 我们用一把毫米刻度的米尺来测量桌子的长
度 x ，读出的长度为 x*1235m ，m
x * 是 x 的近似值，由于米尺的精度知道，它的
误差限为0.5mm，则有
整理课件
31
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• 古古怪怪广告和叫姐 姐
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• 化工古古怪怪古古怪 怪个
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Sn(x)1xx 22 !
xn n!
计算部分和 S n ( x ) 作为 e x 的值必然产生误差，其误
差为：
Rn(x)
e
xn1
(n1)!
在0与x之间
这个误差就是“截断误差”。
ex 1xx2...xn ...
2n
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12
舍入误差
• 在计算时总是只能取有限位有效数字进行计算而 引起，初始参数与中间结果都必须进行四舍五入， 这个误差称为舍入误差。
555 •
•
规 的发 范呆 化的
的 叮 叮 当 当 的
• 5466666666 • 5444444444444
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•
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计算方法引论课后答案
计算方法引论课后答案第一章误差1.什么是模型误差，什么是方法误差？例如，将地球近似看为一个标准球体，利用公式 $A=4\pi r$ 计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差。
在计算过程中，要用到 $\pi$，我们利用无穷乘积公式计算 $\pi$ 的值：pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\f rac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\ frac{8}{9}\cdot\cdots我们取前9项的乘积作为 $\pi$ 的近似值，得$\pi\approx3.xxxxxxxx5$。
这个去掉 $\pi$ 的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差，也称为截断误差。
2.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：816.956，76.000，.322，501.235，.182，130.015，236.23.解：816.96，76.000，.501.24，.130.02，236.23.3.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？81.897，0.008，136.320，050.180.解：五位，三位，六位，四位。
4.若 $1/4$ 用 0.25 表示，问有多少位有效数字？解：两位。
5.若 $a=1.1062$，$b=0.947$，是经过舍入后得到的近似值，问：$a+b$，$a\times b$ 各有几位有效数字？已知 $da<\frac{1}{2}\cdot10^{-4}$，$db<\frac{1}{2}\cdot10^{-3}$，又 $a+b=0.\times10$。
begin{aligned}d(a+b)&=da+db\leq da+db=\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.55\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以 $a+b$ 有三位有效数字；因为 $a\timesb=0.xxxxxxxx\times10$。
算学学习法
算学学习法
算学学习法-中华文库初中第一集-余介石-孙克定-中华书局
第一章绪论4（1）算学的重要(完整目录见顶部图片)4（2）算学没有假的6（3）学习算学并非苦事也非(完整目录见顶部图片)）所谓“天性不近算学”9（5）初等算学的两大类—代数和几何11第二章算术和代政的学习法13（6）不要见了数字害怕13（7）演算时首先要认清题目15（8）注意题目的特殊条件17（9(完整目录见顶部图片)伸和变化18（10）练习心算和记忆数字20（11）关于单位的运算23（12）六种基本运算法则25（13）数的系统27（14）代数是普遍化的算术30（15）注意各种运算的特殊性32（16）不要忽视了图解法35第三章几何和三角的学习法37（17）几何定理是否需要记忆37（18）几何定理的归类39（19）几何的证题通法44（20）几何定理与形式逻辑47（21）三角的实用性50（22(完整目录见顶部图片)记忆图51（20）怎样证明三角恒等式55（24）对数的应用58第四章结论61（25）算学各部门的相互连系61（26）算学与艺术63（27）算学游戏65（28）随时随地想出算学问题69（29）学会算学的方法养成推理的习惯70。
第1讲算法引论
第一章 算法引论
Sailes1m;taonur(n)0;min∞
while i<=(n-1)! do { pPHRMUTI(n-1,i); // PHRMUTI(n-1,i)是生成1到n-1的第i个排列的子过程 cost(T(p))EFP(c,T(p))； // EFP(c,T)是由费用矩阵c及路线T(p)所算得的总费用 if cost(T(p))<min { tourT(p); mincost(T(p)) } ii+1; } print min, tour
定义1.3 如果存在两个正常数c和n0,对于所有n> n0,有 |f(n)| ≥c|g(n)|
则记为f(n)=Ω(g(n))。 定义1.4 如果存在两个正常数c1 ,c2,和n0,对于所有的n>
n0,有 c1 g(n) | f (n) | c2 | g(n) | 则记为f(n)=Θ(g(n))。 一个算法的f(n)=Θ(g(n))意味着该算法在最好和最坏情况
第一章 算法引论
对于货郎担问题，其数学模型是带权图，与此图相关的 是费用矩阵。
1
5 5
1
7
2
2
3
4
4
3
2
1
3
4
1 2 7 5
1
4
4
3
2 4 1 2
7
4
1
3
5 3 2 3
第一章 算法引论
三、算法的详细设计 算法的详细设计是指设计求解某个具体问题的一系 列步骤，并且这些步骤可以通过计算机的各种操作 来实现。 以货郎担问题为例：相同的。
计算方法课件适合打印版
在F (2,3, -1, 2)中
2
(0.100 2 ) (0.110 2 ) 0.110 2
在F (2,3, -1, 2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21
(0.100 20 ) (0.110 21 ) 0.110 22
第1章 绪论
1.2 数值方法的分析
1.2 数值方法的分析
1.2.1 计算机上数的运算 浮点数运算结果产生误差的情况 (3)在浮点数系中数据的尾数字长t是有限
1.2.1 计算机上数的运算
浮点运算应注意
(4)在相同的指数条件下，两个数量相差较大的数字相 加（减）时，较小数的有效数字会被丧失
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算； (2)避免“大”“小”数相加减； (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失； (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数。
算法SUM4(A,n,S) 将数组A中的数按其符号分成两组,分别按算法 SUM3求和,最后计算和S 1. 0->n1;0->n2; 2. For i=1,2,…,n 2.1 if a[i]>=0 then n1+1->n1; a[i]->b[n1]; else n2+1->n2; a[i]->c[n2]; 3. 调用SUM3(B,n1,S1); 4. 调用SUM3(C,n2,S2); 5. S1+S2->S
定义 通常以计算机完成操作 a+b*c ,即一次浮点加法 一次浮点乘法，所需的时间作为一个时间单位，称为 浮点运算，记为flop.
例1.3 设A1 , A2 , A3 , A4分别为10 20, 20 50,50 1,1100的矩阵,则按 结合律,有
计算方法引论课后答案
第一章 误差1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式24A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 其中我们取前9项的乘积作为π的近似值,得这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 2363. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字?解: 已知4311d 10,d 1022a b --<⨯<⨯, 又0.2053210a b +=⨯,()433211110100.551010222d a b da db da db ----+=+≤+=⨯+⨯=⨯<⨯,所以a b +有三位有效数字;因为0.1047571410a b ⨯=⨯,所以a b ⨯有三位有效数字.6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求1211,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ⋅与真值的相对误差限.解: 已知-4-41112221211d ,d ,d =10,d 1022x y x x y x x x =+=+⨯=⨯, ()44111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()42222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---⋅=+≈⨯+⨯≈⨯.7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2. 解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2d d 2d 1s a a a ==≤,则要求211d 0.5102200a a -≤==⨯.所以边长的误差不能超过20.510-⨯cm.8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''(读到秒),试问:计算sin ϕ将有多大误差?解: ()()1d sin cos d cos 45022ϕϕϕ*''⎛⎫'''== ⎪⎝⎭.9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式212s gt =确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小. 证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ⎛⎫=====⎪⎝⎭ d s 与t成正比,d s s与t 成反比,所以当d t 固定的时候, t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x xδ==. 11. 设x 的相对误差为%α,求nx 的相对误差.解: 1d d d %n n n nx nx x n xn x x xα-===. 12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知343V R π=,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V ========,则11%3a =⋅. 第二章 插值法与数值微分1.设y =在100,121,144x =三处的值是很容易求得的,试以这三个点建立y =的二次插值多项式,并用,且给出误差估计.用其中的任意两点,构造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数,,并分析其结果不同的原因.解: 已知012012100,121,144;10,11,12x x x y y y ======,建立二次Lagrange 插值函数可得:()211510.7228L ≈=.误差()()()()()()2012012,,,,3!f R x x x x x x x x x x ξξξ'''=---∈,所以利用前两个节点建立线性插值函数可得:()111510.7143L ≈=.利用后两个节点建立线性插值可得:()111510.7391L ≈=.利用前后两个节点建立线性插值可得:()111510.6818L ≈=.与,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值效果好.此说明,二次插值比线性插值效果好,内插比外插效果好.2. 利用(2.9)式证明 证明: 由(2.9)式当01x x x <<时,()()01max x x x f f x ξ≤≤''''≤,()()()01201101max 4x x x x x x x x x ≤≤--≤- 所以3. 若()0,1,...,j x n 为互异节点,且有 证明 证明: 由于且()0nk j j j x l x =∑和kx都为k 次多项式,而且在k+1个不同的节点处的函数值都相同0,1,...,k n =, 所以马上有()0,0,1,...,nk kj j j x l x xk n =≡=∑.4. 设给出sin x 在[],ππ-上的数值表,用二次插值进行计算,若希望截断误差小于510-,问函数表的步长最大能取多少?解: 记插值函数为p(x),则所以()()()()11cos max sin 3!i i i x x p x x x x x x ππξ-+-≤≤--=---()cos 1ξ-≤;令()()()()11i i i g x x x x x x x -+=---,设1i x x th -=+,得又()()()[]12,0,2t t t t t ϕ=--∈的最大值为10.3849ϕ⎛= ⎝⎭,所以有 所以0.0538h ≤.5. 用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点()()()()3,1,0,2,3,2,6,10---的三次插值公式. 解: Lagrange 插值函数:牛顿插值: 首先计算差商也可以利用等距节点构造,首先计算差分 可得前插公式 和后插公式6. 确定一次数不高于4的多项式()x ϕ,使()()()()()00,00,111,21ϕϕϕϕϕ''=====. 解: 利用重节点计算差商则可构造Hermite 插值函数满足题设条件:7. 寻找过1n +个点01,,...,n x x x 的21n +次多项式()21n H x +,满足条件: 解: 和Lagrange 插值函数的构造类似,可将插值函数写成其中,基函数满足条件 (1)()()(),,,21n i n i h x h x P n ∈+;(2)()()()(),,,,,0;,0n i n i n ij ij n i j j ijj h x h x h x h x δδ''====则可由已知条件,可得()()()()2,,,12n i n i i i n i h x l x x x l x '⎡⎤=--⎣⎦;()()()2,,n i i n i h x x x l x '=-.所以可得8. 过0,1两点构造一个三次Hermite 插值多项式,满足条件: 解: 计算重节点的差商马上可得9. 过给定数组(1) 作一分段线性插值函数.(2) 取第二类边界条件,作三次样条插值多项式.(3) 用两种插值函数分别计算75.5,78.3x x ==的函数值. 解: (1)做分段线性插值函数可得:其中, ()[][]076 75,76;0 75,76.x x l x x ⎧-∈⎪=⎨∉⎪⎩()[][][]175 75,7677 76,77;0 75,77.x x l x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪∉⎩ (2)把已知节点值带入M 关系式可得: 由边界条件可得050M M ==,所以上面方程组变为可求解方程组解得12340.0058,0.0067,0.0036,0.0071M M M M ====.所以可得在每个区间上的三次样条函数的表达式: (3)当75.5x =时,()()()50175.5 2.76875.5 2.83375.5 2.8005I l l =+=;()()()()()30.00580.005875.575.576 2.7687675.5 2.83375.575 2.79966s ⎛⎫=-+-+--= ⎪⎝⎭当78.3x =时,()()()53475.5 2.97978.3 3.06278.3 3.0039I ll =+=;10. 若给出sin ,cos ,tan x x x 的函数表:用表上的数据和任一插值公式求: (1) 用tan x 表格直接计算tan1.5695.(2) 用sin1.5695和cos1.5695来计算tan1.5695.并讨论这两个结果中误差变化的原因. 解: 利用Lagrange 插值直接用tan 表计算得tan1.5695819.0342874999274≈;利用Lagrange 插值计算sin 得sin1.56950.99999917500000≈;利用Lagrange 插值计算cos 得cos1.56950.00129630000000≈;最后利用sin/cos 计算tan 得tan1.5695771.4257309264500≈.出现小除数,误差被放大.11. 求三次样条函数()s x ,已知和边界条件解: 把表中数据带入M 关系式可得由边界条件还可得到两个方程: 联立两个方程组可解得:带入M 表达式便可得所求三次样条函数.12. 称n 阶方阵()ij A a =具有严格对角优势,若 (1) 试证明:具有严格对角优势的方阵必可逆. (2) 证明:方程组(2.62)解存在唯一.证明: (1)设矩阵A 按行严格对角占优,如果A 奇异,则存在非零向量x 使得Ax=0,写成分量形式为令指标0i 使得00i x x∞=≠,则因此0000010n i i i i j j j i x a a =≠⎛⎫⎪-≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑ 即000010ni i i j j j i a a =≠-≤∑上式与矩阵按行严格对角占优矛盾,因此矩阵非奇异. (2)方程组(2.62)由于该方程组系数矩阵为严格对角占优的方阵,所以由克拉默法则可知方程组存在唯一解.。
力学中的计算方法(引论)
2
0
Of course mine is more I can tell tell that distance I can that this accurate ! The accuracy between two planets part’s diameter isis relates to not only 1 million light year ±the 1 20cm 1cm. absolute error, light year.but also to the size of the exact value.
1 1 In e(n 1 ) n1
What happened ?!
考察第n步的误差
En
* * n |En1| n ! | E0 | | En | | I n I n | | (1 nI n1 ) (1 nI n 1 ) |
可见初始的小扰动 | E0 | 0 .5 108 迅速积累，误差呈递增走势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
＋考试(70)
＋平时成绩(10)
先修课程：
高等数学，线性代数，计算机语言等。
引 论
•
提问：数值分析是做什么用的？
提出问题
如：工程问题，自然现象……
建立数学模型
解析解
半解析解
求解
数值解
建立数学模型
选择数值方法
上机计算
编写计算程序
数值解
后处理
运算量： 一个算法所需的乘除运算总次数. 计算量是衡量一个算法好坏的重要指标。
ε* 0 .5 10m n 10 n εr * m x* 0 .a1a 2 a n 10 2 0 .a1 1 10 n 1 2a1
计算方法引论第三版教学设计
计算方法引论第三版教学设计一、课程目标计算方法是大学数学中非常重要的一门课程，它是现代科学技术、工程技术和社会科学研究的基础。
本课程的目标是使学生能够掌握数值计算的基本原理和方法，并能够应用数值计算方法解决实际问题。
二、课程大纲1.引论–探究数值计算的应用背景和意义–计算机及计算方法的发展历程2.插值法–插值多项式的构造及其应用–拉格朗日插值法、牛顿插值法及其相关的误差分析3.数值微积分与数值积分–数值微分、数值积分的定义和基本原理–微积分基本公式和复合公式–数值积分的公式和误差估计4.数值方法的初步讨论–数值解的概念–数值方法的一些基本思想–误差分析、收敛性理论和稳定性的基本概念5.常微分方程的数值解法–常微分方程初值问题的欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法等数值解法–变步长法与自适应步长法6.异常求解–线性方程组的直接解法和迭代法–非线性方程的求解三、课堂教学方式本课程以理论和实践相结合的方式进行教学，授课中主要采取讲授法和问题导向教学法。
通过讲解相关知识点的基本原理及其在实际应用中的应用，鼓励学生进行课堂实验和作业练习，加深学生对所学内容的理解和掌握。
四、授课重点1.数值计算的基本原理和方法2.插值多项式的构造及其应用3.数值积分的公式和误差估计4.常微分方程数值解法5.线性方程组的直接解法和迭代法五、课程评价方式1.平时成绩：包括课堂表现、作业和实验报告等2.期中成绩：考试形式为闭卷笔试，占总成绩的30%3.期末成绩：考试形式为闭卷笔试，占总成绩的50%4.学习总结：包括对本课程的课堂教学、教学质量、教师工作和自身学习情况的评价，占总成绩的20%六、总结本课程是大学数学中非常重要的一门课程，通过本课程的学习，学生可以掌握数值计算的基本原理和方法，并能够应用数值计算方法解决实际问题。
同时，本课程的授课方式采用讲授法和问题导向教学法相结合的方式，旨在让学生更好的理解所学知识。
最后，希望同学们在学习本课程的过程中能够认真学习、勤奋思考，取得学习上的优异成绩！。
计算方法引论第三版教学设计 (2)
计算方法引论第三版教学设计1. 课程简介本课程旨在为计算机科学与技术专业的本科生介绍计算方法的基本知识和方法，帮助他们了解计算方法的基本概念、理论和应用。
2. 教学目标通过本课程的学习，学生应该具备以下能力：1.掌握计算方法的基本概念和理论；2.理解各种计算方法的优缺点和适用范围；3.能够熟练应用计算方法解决实际问题。
3. 教学内容3.1 计算方法的基本概念和理论1.计算方法的概念及其与数学模型的关系；2.常用数值计算方法的分类和特点；3.数值计算中的误差分析；4.线性代数基础；5.最小二乘法。
3.2 常用数值计算方法1.插值法；2.数值微积分；3.非线性方程求解；4.线性方程组求解；5.常微分方程数值解法；6.偏微分方程数值解法。
3.3 应用案例分析介绍计算方法在工程、科学和社会生活中的应用案例，让学生更好地理解计算方法的实际应用和意义。
4. 教学方法本课程采用讲授、案例分析和计算实验相结合的教学方式。
在讲解基本概念和理论的同时，尤其注重计算方法的实际应用。
在课堂上，讲师会通过多个应用案例的讲解，让学生更好地理解和掌握计算方法。
5. 教学评估本课程的评估分为两个部分：1.期末考试占总成绩的70%；2.计算实验和课堂作业占总成绩的30%。
期末考试主要考察学生对计算方法的掌握程度和应用能力；计算实验和课堂作业主要考察学生的实践操作能力和分析问题的能力。
6. 教学资源6.1 教材王芳等，计算方法引论（第3版），高等教育出版社，2017年。
6.2 计算工具MATLAB、Python等计算工具。
6.3 参考资料1.Burden, R. L., & Fres, J. D. (2010). 数值分析（第九版）. 高等教育出版社.pidus, L., & Pinder, G. F. (2012). Numericalsolution of partial differential equations in scienceand engineering（第二版）. John Wiley & Sons.7. 教学计划本课程为期一学期，每周2学时，共计30学时。
计算方法引论第四版课程设计
计算方法引论第四版课程设计概述计算方法是科学计算的基础，广泛应用于科学、工程、金融、医学等各领域。
本课程设计旨在通过实际案例对计算方法的应用进行探究，提高学生对计算方法的理解和应用能力。
课程设计内容设计目标通过本课程设计，使学生:1.掌握计算方法的数学原理和基本算法;2.学会使用计算方法解决实际问题;3.培养自主思考和创新能力。
设计要求1.学生需要使用 Matlab 编写代码并进行模拟实验;2.课程设计分组进行，每组学生自行选题并进行独立研究;3.学生需要提交完整的课程设计报告，包括理论分析、实验过程、结果分析、结论等部分;4.学生需要在汇报时进行课程设计成果的展示，展示形式不限。
选题范围1.数值积分2.常微分方程数值解3.有限差分法4.迭代法5.插值法6.曲线拟合7.数值优化8.矩阵计算9.流体力学数值模拟10.其他相关数值计算方法实验要求1.研究对象必须为实际问题或者现有研究问题，不能是极为简单的数学问题;2.课程设计成果需要展示研究问题的解决方案及其优缺点;3.学生需要在报告中反思课程设计过程，包括遇到的问题及其解决办法。
课程设计流程1.学生分组提交选题申请及初步理论研究报告;2.批准选题后，学生开展实验研究及代码编写;3.学生提交中期报告，包含实验的理论分析、过程及结果展示;4.学生提交最终报告，并进行展示。
成绩评定1.实验报告占总成绩的 50%;2.实验展示占总成绩的 30%;3.课程设计报告占总成绩的 20%。
总结本课程设计采用分组进行，通过学生自选研究题目，增强学生自主学习和动手能力。
同时，在实验过程中学生需要同步进行理论分析，培养学生综合运用知识的能力。
针对不同的实验内容，给出了评分细则，保证了成果的完整性和研究的深度。
此课程设计有利于培养学生的实践能力和学术素养，是一项非常有意义的教学活动。
计算方法引论课后答案.
计算⽅法引论课后答案.第⼀章误差1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是⽅法误差.解: 例如,把地球近似看为⼀个标准球体,利⽤公式24A r π=计算其表⾯积,这个近似看为球体的过程产⽣的误差即为模型误差.在计算过程中,要⽤到π,我们利⽤⽆穷乘积公式计算π的值:12222...q q π=?其中112,3,...n q q n +?=??==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得3.141587725...π≈这个去掉π的⽆穷乘积公式中第9项后的部分产⽣的误差就是⽅法误差,也成为截断误差.2. 按照四舍五⼊的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五⼊原则得到的近似数,它们各有⼏位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位三位六位四位4. 若1/4⽤0.25表⽰,问有多少位有效数字? 解: 两位5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍⼊后得到的近似值,问:,a b a b +?各有⼏位有效数字?解: 已知4311d 10,d 1022a b --()433211110100.551010222d a b da db da db ----+=+≤+=?+?=?所以a b +有三位有效数字;因为0.1047571410a b ?=?,()43321110.94710 1.1062100.600451010222所以a b ?有三位有效数字.6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍⼊后作为12,x x 的近似值.求1211,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ?与真值的相对误差限. 解: 已知-4-41112221211d ,d ,d =10,d 1022x y x x y x x x =+=+?=?, ()44111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x xx x x y --==≈=≈? ???;()42222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x xx x x y --==≈=≈? ???;()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---?=+≈?+?≈?.7. 正⽅形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其⾯积的误差不超过1cm 2.解: 设正⽅形⾯积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2d d 2d 1s a a a ==≤,则要求211d 0.5102200a a -≤==?.所以边长的误差不能超过20.510-?cm.8. ⽤观测恒星的⽅法求得某地维度为4502'''o(读到秒),试问:计算sin ?将有多⼤误差?解: ()()1d sin cos d cos 45022*''?'''==o.9 . 真空中⾃由落体运动距离s 与时间的关系由公式212s gt =确定,g 是重⼒加速度.现在假设g 是准确的,⽽对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加⽽相对误差却减⼩.证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ??d s 与t 成正⽐,d s s与t 成反⽐,所以当d t 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加⽽相对误差却减⼩.10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x x δ==.11. 设x 的相对误差为%α,求nx 的相对误差.解: 1d d d %n n n n x nx x n xn x x xα-===.12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知34 3V R π=,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V ========,则11%3a =?.第⼆章插值法与数值微分1.设y =在100,121,144x =三处的值是很容易求得的,试以这三个点建⽴y =的⼆次插值多项式,,且给出误差估计.⽤其中的任意两点,构造线性插值函数,⽤得到的三个线性插值函数,,并分析其结果不同的原因.解: 已知012012100,121,144;10,11,12x x x y y y ======,建⽴⼆次Lagrange 插值函数可得:()()()()21211441001441011100121100144121100121144121100 12144121144100x x x x L x x x ----= +------+--()211510.7228L ≈=.误差()()()()()()2012012,,,,3!f R x x x x x x x x x x ξξξ'''=---∈,所以20.00065550.001631R <<利⽤前两个节点建⽴线性插值函数可得:()()()()()11211001011100121121100x x L x --=+--()111510.7143L ≈=.利⽤后两个节点建⽴线性插值可得:()()()()()11441211112121144144121x x L x --=+--()111510.7391L ≈=.利⽤前后两个节点建⽴线性插值可得:()()()()()21441001012100144144100x x L x --=+()111510.6818L ≈=.,⼆次插值⽐线性插值效果好,利⽤前两个节点的线性插值⽐其他两个线性插值效果好.此说明,⼆次插值⽐线性插值效果好,插⽐外插效果好.2. 利⽤(2.9)式证明()()()0121001max ,8x x x x x R x f x x x x ≤≤-''≤≤≤证明: 由(2.9)式()()()()0101,2!f R x x x x x x x ξξ''=--<<当01x x x <<时,()()01max x x x f f x ξ≤≤''''≤,()()()01201101max 4x x x x x x x x x ≤≤--≤- 所以()()()0121001max ,8x x x x x R x f x x x x ≤≤-''≤≤≤3. 若()0,1,...,j x n 为互异节点,且有()()()()()()()()()011011............j j n j jj j j j j n x x x x x x x x l x xx x x x x x x -+-+----=证明()0,0,1,...,nk kj j j x l x xk n =≡=∑证明: 由于() 1 ;0 .j i ij i j l x i j δ=?==?≠? 且()0nk j j j x l x =∑和kx都为k 次多项式,⽽且在k+1个不同的节点处的函数值都相同0,1,...,k n =, 所以马上有()0,0,1,...,nk kj j j x l x xk n =≡=∑.4. 设给出sin x 在[],ππ-上的数值表,⽤⼆次插值进⾏计算,若希望截断误差⼩于5 10-,问函数表的步长最⼤能取多少? 解: 记插值函数为p(x),则()()()()()11sin sin 3!i i i x p x x x x x x x ξ-+'''-=--- 所以()()()()11cos max sin 3!i i i x x p x x x x x x ππξ-+-≤≤--=---()()()[]3112,0,2i g x th h t t t t -+=--∈⼜()()()[]12,0,2t t t t t ?=--∈的最⼤值为10.3849??= ?,所以有 350.3849max sin 106x x p h ππ--≤≤-≤< 所以 0.0538h ≤.5. ⽤拉格朗⽇插值和⽜顿插值找经过点()()()()3,1,0,2,3,2,6,10---的三次插值公式. 解: Lagrange 插值函数:()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12302330101020310121301301223202123303132 31033101622731033 .2781/5x x x x x x x x x x x x L x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------= +------------++--------+--=++-+-++⽜顿插值: ⾸先计算差商3 10 2 13 2 1.333 0.38896 104 0.8889 0.1420-----()()()()()3130.38893 1.142033.N x x x x x x x =-++-+++-也可以利⽤等距节点构造,⾸先计算差分。
科学计算引论-复习概要
§ 3.1 数值微分 数值微分，基本公式 Taylor展开法 插值计算法 外推算法
15
§ 3.2 机械求积公式 机械求积公式，求积节点，求积系数 代数精度的概念，代数精度法 插值求积法，插值型求积公式，性质，余项及其分析方法
16
§ 3.3 Newton-Cotes 公式及其复合求积法 具等距节点的插值型求积公式
Newton-Cotes公式 梯形公式，Simpson公式及其余项 复合求积公式
17
变步长求积法 变步长梯形公式 Romberg算法
§ 3.4 变步长求积法
18
§ 3.5 Gauss 求积公式 Gauss 求积公式， Gauss点，代数精度 Gauss点的确定，Legendre 多项式 Gauss系数的计算 Gauss求积公式的特点
23
第五章 非线性方程数值解法 § 5.1 几何方法 § 5.2 Picard 迭代法 § 5.3 Newton 迭代法
24
非线性方程组求根问题 隔离区间 二分法 弦截法 Steffensen方法
§ 5.1 几何方法
25
§ 5.2 Picard 迭代法 Picard迭代，构造方式 收敛性分析准则：全局收敛，局部收敛 Aitken加速迭代法
科学计算引论-复习 概要
考核方式： 平时成绩：20% 大作业：20% 笔试卷面成绩：60%
考核方式
时间安排： 答疑：2014年6月29日(第20周周日)14:30-17:30
@科技楼南楼813室
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各章内容简介
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
数值分析基础 函数逼近 数值微积分 线性方程组数值解法 非线性方程数值解法 最优化方法 常微分方程初值问题数值解法 常微分方程边值问题数值解法 偏微分方程数值解法
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计算方法引论：微分方程数值解法▪常微分方程初值问题的数值解法▪双曲型方程的差分解法▪抛物型方程的差分解法▪橢圆型方程的差分解法▪有限元方法第十三章抛物型方程差分解法•初值问题和初边值混合问题•微分方程的差分近似•边界条件的差分近似•几种常用的差分格式•差分格式的稳定性•二维热传导方程的交替方向法热传导方程定解问题•热传导方程•初值问题•初边值问题–u (x ,0)=ϕ(x ), 0≤x ≤1 –Ⅰu (0,t )=g 1(t ), Ⅲu (1,t )=g 2(t ), 220, 0, 0<u u Lu b b t T t x ∂∂=-=>≤∂∂(,0)(), u x x x ϕ=<+∞110221()() 0()()x x u t u g t x t T u t u g t x λλ==⎧∂⎛⎫-=⎪ ⎪∂⎝⎭⎪≤≤⎨∂⎛⎫⎪+= ⎪⎪∂⎝⎭⎩一些数值微分公式•一阶差商•二阶差商1(,)(,1)(,)(,)2tt k j u u k j u k j u k t t ττ∂+-''=-∂2(,)(,)(,1)(,)2tt k j u u k j u k j u k t t ττ∂--''=+∂23(,)(,1)(,1)(,)26ttt k j u u k j u k j u k t t ττ∂+--''=-∂22(4)22(,)(1,)2(,)(1,)(,)12xxxx k j u u k j u k j u k j h u x j x h∂+-+-=-∂微分方程的差分近似•差商代微商h =1/N•近似解满足差分方程–形式1–形式2 s =τ/h 2•截断误差,2(,1)(,)(1,)2(,)(1,)0h u k j u k j u k j u k j u k j b R h ττ+-+-+---=2(4)2,1(,)(,)()212h tt xxxx bh R u"k t u x j O h τττ=-=+ 022,1,,1,1,=+----++hu u u b u u j k j k j k jk j k τ2(4)2,1(,)(,)()212h tt xxxx bh R u"k t u x j O h τττ=-=+,1,1,,1,(2)k j k j k j k j k j u u bs u u u ++-=+-+•差分近似二•差分近似三22,1,,11,,=+----+-h u u u b u u j k j k j k j k j k τ0222,1,,11,1,=+----+-+h u u u b u u j k j k j k j k j k τ,,11,,1,(2)k j k j k j k j k j u u bs u u u -+-=+-+2(4)2,2 (,)(,)()212h tt xxxx bh R u k t u x j O h τττ''=--=+,1,11,,1,2(2)k j k j k j k j k j u u bs u u u +-+-=+-+22(4)22,3 (,)(,)()612httt xxxx bh R u k t u x j O h τττ'''=-=+•差分近似四022221,11,1,121,11,1,1,1,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-------++-++++h u u u h u u u b u u j k j k j k j k j k j k j k j k τ,1,1,1,11,11,,1,(2)(2)22k j k j k j k j k j k j k j k j bs bs u u u u u u u u ++++-++-=+-++-+22222(4)(4)(4)(4),1222(,1)(,)(,)(,) (,)2424161624 =(+)h xxxx xxxx xxtt xxtt ttt h h R b u x j u x j u k u k u k t O h ττττηητ⎛⎫''=-+++++ ⎪⎝⎭边界用数值微分公式•一阶差商•一阶中心差商(0,)(,)(0,) (,)2xx t u u h t u t h u x t x h ∂-''=-∂1(1,)(,)(,) (,)2N N xx t u x t u x t u h u x t x h --∂'=+∂201(0,)21(1,)(,)(,) (,)24(,)(,) (,)24xxx t N N xxx t u x t u x t u h u x t x h u x t u x t u h u x t x h --⎧-∂'''=-⎪∂⎪⎨-∂⎪'''=-⎪∂⎩第三类边界条件的差分近似•近似一R h =O (h )•近似二R h =O (h 2)1,0,1,0,1,,1,2,,2,j j j j j N j N j j N j j u u u g h u u u g h λλ--⎧-=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩0,1,0,1,1,1,,1,,1,2,2,j j j j j j N j N j N j N j j j u u u u g h h u u u u g h h λλ-----+⎧-=⎪⎪⎨-+⎪+=⎪⎩显式格式•差分方程•R τ,h =O (τ+h 2)•矩阵形式,1,1,,1,,00,1,2(2) =1,2,,1, 0,1,2,,1() 1,2,,1(), () 0,1,2,,k j k j k j k j k j k j N j u u bs u u u T k N j u kh k N T u g j u g j j τϕτττ++-=+-+⎧⎪⎡⎤⎪-=-⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎨==-⎪⎪⎡⎤⎪===⎢⎥⎪⎣⎦⎩10 0,1,2,,1j j j T j τ+⎧⎡⎤=+=-⎪⎢⎥⎣⎦⎨⎪=⎩u Au f u ϕ12 0 0 0 12 0 0 0 0 0 12bs bs bs bs bs bs bs -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A T 1,2,1,T 12T (,,,)((),0,,0,())((),(2),,((1)))j j j N j j u u u bsg j bsg j h h N h ττϕϕϕ-===-u f ϕ隐式格式•差分方程•R τ,h =O (τ+h 2)•矩阵形式,,11,,1,,00,1,2(2) 1,2,,1, 1,2,,() 1,2,,1(), () 0,1,2,,k j k j k j k j k j k j N j u u bs u u u T k N j u kh k N T u g j u g j j τϕτττ-+-=+-+⎧⎪⎡⎤⎪=-=⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎨==-⎪⎪⎡⎤⎪===⎢⎥⎪⎣⎦⎩10 1,2,,j j j T j τ-⎧⎡⎤=+=⎪⎢⎥⎣⎦⎨⎪=⎩Bu u f u ϕ12 0 0 0 12 0 0 0 0 0 12bs bs bs bs bs bs bs +-⎛⎫ ⎪-+- ⎪= ⎪ ⎪-+⎝⎭BRichardson 格式•差分方程•R τ,h =O (τ2+h 2)•矩阵形式,1,11,,1,,00,1,22(2) 1,2,,1, 1,2,,1() 1,2,,1(), () 0,1,2,,k j k j k j k j k j k j N j u u bs u u u T k N j u kh k N T u g j u g j j τϕτττ+-+-=+-+⎧⎪⎡⎤⎪=-=-⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎨==-⎪⎪⎡⎤⎪===⎢⎥⎪⎣⎦⎩11012 1,2,,1j j j j T j τ+-⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦=u Cu u f u u ϕ2 1 0 0 01 2 1 0 02 0 0 0 1 2bs -⎛⎫ ⎪-- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭C菱形格式•差分方程•Rτ,h=O(τ2+h2)•矩阵形式,1,11,,1,11,,00,1,22()1,2,,1,1,2,,1() 1,2,,1(),() 0,1,2,, k j k j k j k j k j k jkj N ju u bs u u u uTk N ju kh k NT u g j u g j jτϕτττ+-++--=+--+⎧⎪⎡⎤⎪=-=-⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎨==-⎪⎪⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎩⎪⎪111(12)(12)2j j j jbs bs+-+=+-+=u Du u fuuϕ0 1 0 0 0 01 0 1 0 0 020 1 0 1 0 00 0 0 0bs=D1 0⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭六点格式•差分方程•R τ,h=O (τ2+h 2)•矩阵形式,1,1,1,11,11,,1,,00,1,2(2)(2)22 1,2,,1, 0,1,2,,1() 1,2,,1(), () 0,k j k j k j k j k j k j k j k j k j N j bs bs u u u u u u u u T k N j u kh k N u g j u g j j τϕττ++++-++-=+-++-+⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦==-===1,2,,T τ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎩110()() 0,1,2,,1j j j j T j τ++⎧⎡⎤+=+++=-⎪⎢⎥⎣⎦⎨⎪=⎩I B u I A u f f u ϕ增长因子与矩阵H 的特征值•误差方程–假定边界值的计算是精确的，在初始层引入误差εk 0.则以后计算的结果中误差εkj 满足对应的齐次方程–取代入误差方程可锝λn .例如显式格式•实际上λp 就是逐层误差的增长因子也是H =A 的特征值N n bs N n bs Nn k N kn N n k bs N kn N kn n j n j n j n j n j n2sin 41)cos 1(21))1(sin sin 2)1(sin (sin sin 21ππλπλπλπλπλπλ-=--==-+-++=+N kn j n kj πλεsin =几种差分格式的稳定性•显式格式–增长因子: –稳定的充要条件bs≤1/2•隐式格式–增长因子:–无条件稳定•Richardson 格式–增长因子:–完全不稳定max│λk ,2│≥1+2bs ≥1(ρ(H )≥1+2bs )214sin , 1,2,,12k k bs k N N λπ=-=-12114sin , 1,2,,12kk bs k N N μ-π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭2224,12224,24sin 16sin 1224sin 16sin 122k k k k bs b s N N k k bs b s N N λλ⎧ππ=-++⎪⎪⎨ππ⎪=--+⎪⎩几种差分格式的稳定性(续) •菱形格式–增长因子:–无条件稳定•六点格式–增长因子:–无条件稳定2212sin2,1,2,,112sin2kbsN k NkbsNπ-=-π+2221 ,12221 ,22cos14sin(12)2cos14sin(12) kkk kbs b s bsN Nk kbs b s bsN Nλλ--⎧⎛⎫ππ=+-+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫ππ⎪=--+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩稳定性定义•差分格式统一表示(13.37)–例如显式格式H =A.•误差方程εj =H εj -1 , εj =H j ε0 ε0为初始误差•定义若εj 在一定范数下满足则称差分格式是稳定的，其中c 是与h ,τ无关的常数10j j j -=+⎧⎪⎨=⎪⎩u Hu f u ϕ0, 1j c j ≤≥εε判稳条件•定理–差分格式(13.37)稳定的充分必要条件是存在与h ,τ无关的常数c ，使得对任何j (0< j ≤T /τ)有•定理–差分格式(13.37)稳定的必要条件是这等价于H 是正规矩阵时它们也是充分条件j c≤H ()1()O ρτ≤+H ()(), 0j j T c j ρρτ=≤<≤H H几种差分格式的H 矩阵•隐式格式H =B –1•Richardson 格式(化为二层格式)•菱形格式(化为二层格式)•六点格式H =(I +B )–1(I +A ) ⎛⎫= ⎪⎝⎭C I H I O 12 1212 bs bs bs -⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭D I H I O二维问题•二维热传导方程初边值问题–求在区域G ：0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤t ≤T 内满足方程和边界条件的函数u (x , y , t ).22221212 01, 01, 0(,,0)(,) 01, 01(0,,)(,)01, 0(1,,)(,) (,0,)(,)01, 0(,1,)(,)u u ux y t T t x y u x y f x y x y u y t y t y t Tu y t y t u x t x t x t T u x t x t ψψϕϕ⎧∂∂∂=+<<<<<<⎪∂∂∂⎪⎪=≤≤≤≤⎪=⎨≤≤≤≤⎪=⎪⎪=≤≤≤≤⎪=⎩二维问题交替方向法•差分格式–一维差分格式原则上可推广应用,但不经济–多用局部一维的隐式格式–P-R –D-R11112222,,1,,1,,1,,122111112,,,1,,1,1,,12222()()22()()j j j j j j j j i k i k i k i k i k i k i k i k j j j j j j j j i ki k i k i k i k i k i k i k u u u u u u u u t x y u u u u u u u u t y y +++++-+-++++++-+-⎧--+-+⎪=+⎪∆∆∆⎪⎨⎪--+-+⎪=-⎪∆∆∆⎩212212121222,,1,,1,,1,,1222221212121222222,,1,,1,,1,,12222()()22()()j j j j j j j j i k i k i k i k i k i k i k i k j j j j j j j j i k i k i k i k i k i k i k i k u u u u u u u u t x y u u u u u u u u t x y +++++-+-+++++++++-+-⎧--+-+=+⎪∆∆∆⎪⎨--+-+⎪=+⎪∆∆∆⎩交替方向法稳定性•增长因子–P-R–D-R•稳定性–二格式恒稳定22212222122214sin 14sin 2214sin 14sin22k t k t M y N x G k k t t N M x yπ∆π∆--∆∆=ππ∆∆++∆∆⋅221212222212116 sin sin22,,14 sin 14 sin 22n m s s t t N M G s s n m x y s s N M ππ+∆∆===ππ⎛⎫⎛⎫∆∆++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭稳定性与收敛性•适定性–微分方程问题是适定的,如果解存在、唯一、连续依赖于数据.•差分格式的相容性Rτ,h , R h→0 (τ, h→0)•收敛性u k,j-u(x k, y j) →0 (τ, h→0)•Lax等价定理适定初边值问题的相容的差分格式是收敛的当且仅当它是稳定的.。