计算方法引论-第十三章

2
utt(k,t2 )
u t
(k,
j)
u(k,
j
1) u(k, 2
j
1)
2 6
uttt
(k , t3 )
•二阶差商
2u x2
u(k
1,
j)
2u(k, h2
j)
u(k
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1,
j)
h2 12
u(4) xxxx
(x,
j)
(k, j)
计算方法引论( 第三版)
13.3
徐萃薇、孙绳武 高教2007
微分方程的差分近似
uk , j1 uk , j1
2
b uk 1, j
2uk, j h2
uk 1, j
0
uk, j1 uk, j1 2bs(uk 1, j 2uk, j uk 1, j )
R ,h
2
6
uttt(k,t3 )
bh2 12
u(4) xxxx
(
x,
j)
O( 2
h2 )
计算方法引论( 第三版)
R ,h
b
h2 24
u(4) xxxx
(x,
j
1)
h2 24
u(4) xxxx
(x,
j)
2 16
u(4) xxtt
(k,1)
2 16
u(4) xxtt
(k ,2 )
2 24
uttt(k,t
)
=O( 2+h2)
计算方法引论( 第三版)
13.6
徐萃薇、孙绳武 高教2007
边界用数值微分公式
•一阶差商
j 1, 2,
,
T
1
uk,0 (kh)
k 1, 2, , N 1
• Rτ,h=O(τ2+h2)(1
u0, j g1( j),
2bs)uj1 Duj
uN, j g2 ( j)
(1 2bs)uj1
2
j fj
0,1, 2,
• 矩阵形式 u0
,
T
u1
0 1 0 0
1 0 1 0
• 差商 代微商 h=1/N
u(k,
j
1) u(k, j) b u(k 1,
R ,h
2 u"tt (k,t1)
bh2 12
j) 2u(k,
h2
u(4) xxxx
(x,
j)
j) u(k
O(
1, h2 )
j)
R ,h
0
• 近似解满足差分方程
– 形式1
uk , j 1 uk , j
b uk 1, j
k 1, 2, , N 1,
j 1, 2,
,
T
1
uk,0 (kh)
k 1, 2, , N 1
u0, j g1( j),
uN, j g2 ( j)
j 0,1, 2,
,
T
• Rτ,h=O(τ2+h2) uj1 Cuj uj1 2 f j • 矩阵形式
j 1, 2,
,
T
13.19
徐萃薇、孙绳武 高教2007
二维问题
• 二维热传导方程初边值问题
– 求在区域G：0x1, 0y1, 0tT内满足方程和 边界条件的函数u(x, y, t).
u 2u 2u
t
x2
y2
0 x 1, 0 y 1, 0 t T
u(x, y,0) f (x, y) 0 x 1, 0 y 1
u(0, y,t) 1( y,t) u(1, y,t) 2 ( y,t)
0 y 1, 0 t T
u( u(
x, 0, t ) x,1, t )
1(x,t) 2 (x,t)
0 x 1, 0 t T
计算方法引论( 第三版)
13.20
徐萃薇、孙绳武 高教2007
二维问题交替方向法
u0, j
u1, j h
g1, j
uN
,
j
uN 1, j h
2, j
uN, j
uN 1, j h
g2, j
Rh=O(h2)
计算方法引论( 第三版)
13.8
徐萃薇、孙绳武 高教2007
显式格式
• 差分方程
uk, j1 uk, j bs(uk 1, j 2uk, j uk 1, j )
j 0,1,2,
,
T
1
uk,0 (kh)
k 1,2, , N 1
• u0, j g1( j),
uN, j g2 ( j)
j 0,1,2,
,
T
Rτ,h=O(τ2+h2)
• 矩阵形式
(I
B)u j 1
(I
A)u j
f j1
fj
u0
j 0,1,2,
,
T
1
计算方法引论( 第三版)
计算方法引论( 第三版)
13.1
徐萃薇、孙绳武 高教2007
热传导方程定解问题
• 热传导方程
u 2u Lu t b x2 0, b 0, 0<t T
• 初值问题 u(x,0) (x), x
• 初边值问题
– u(x,0)= (x), 0x1
– Ⅰ u(0,t)=g1(t), Ⅲ u(1,t)=g2(t),
1
u0
u1 2
C
2bs
1
0
1 0 2 1
00
0 0
0
0
1
2
计算方法引论( 第三版)
13.11
徐萃薇、孙绳武 高教2007
菱形格式
• 差分方程
uk, j1 uk, j1 2bs(uk 1, j uk, j1 uk, j1 uk 1, j )
k 1, 2, , N 1,
13.5
徐萃薇、孙绳武 高教2007
微分方程的差分近似(续)
• 差分近似四
uk , j1 uk , j
b 2
uk 1, j1
2uk , j1 h2
uk 1, j1
uk 1, j1
2uk , j1 h2
uk 1, j1
0
bs
bs
uk, j1 uk, j 2 (uk1, j1 2uk, j1 uk1, j1) 2 (uk1, j 2uk, j uk1, j )
隐式格式
• 差分方程
• Rτ,h=O(τ+h2) • 矩阵形式
uk, j uk, j1 bs(uk 1, j 2uk, j uk 1, j )
k 1, 2,
, N 1,
j 1, 2,
,
T
uk,0 (kh)
k 1, 2, , N 1
u0, j g1( j), uN, j g2 ( j) j 0,1, 2,
计算方法引论： 微分方程数值解法
▪ 常微分方程初值问题的数值解法 ▪ 双曲型方程的差分解法 ▪ 抛物型方程的差分解法 ▪ 橢圆型方程的差分解法 ▪ 有限元方法
第十三章 抛物型方程差分解法
• 初值问题和初边值混合问题 • 微分方程的差分近似 • 边界条件的差分近似 • 几种常用的差分格式 • 差分格式的稳定性 • 二维热传导方程的交替方向法
u x
(0,t )
u(h,t) u(0,t) h
h 2
uxx
(x, t )
u x
(1,t )
u(xN
,t)
u(xN1,t) h
h 2
uxx
(x,t)
•一阶中心差商
u
x
(0,t )
u(x0 ,t)
u(x1,t) h
h2 24
u
xxx(
x,
t
)
u x
(1,t )
u(xN ,t)
u(xN 1,t) h
13.13
徐萃薇、孙绳武 高教2007
增长因子 与矩阵H的特征值
• 误差方程
– 假定边界值的计算是精确的，在初始层引入误
差k0.则以后计算的结果中误差kj满足对应的齐
次方程
–
取kj 格式
nj
sin
kn
N
代入误差方程可锝λn
.例如显式
j1 n
s
in
kn N
nj sin
kn N
bs(nj sin
4bs sin2
k 2N
16b2s2 sin4 k 1 2N
max│λk,2│≥1+2bs ≥1(ρ(H)≥1+2bs)
计算方法引论( 第三版)
13.15
徐萃薇、孙绳武 高教2007
几种差分格式 的稳定性(续)
• 菱形格式
–
增长因子:
k ,1
2bs
cos
k N
1
4b2 s 2
sin 2
k N
(1
计算方法引论( 第三版)
13.18
徐萃薇、孙绳武 高教2007
几种差分格式 的H矩阵
• 隐式格式
H=B–1
• Richardson格式 (化为二层格式 )
H
C
I
I
O
• 菱形格式(化为二层格式 )
• 六点格式
D
H
1
2bs I
1 1
2bs 2bs
O
I
H=(I+B)–1(I+A)
计算方法引论( 第三版)
徐萃薇、孙绳武 高教2007
判稳条件
• 定理
– 差分格式(13.37)稳定的充分必要条件是存在
与h, 无关的常数c，使得对任何j(0< j ≤T/ )
有
Hj c
• 定理
– 差分格式(13.37)稳定的必要条件是
(H) 1 O( ) 这等价于
j (H) (H j ) c, 0 j T H是正规矩阵时它们也是充分条件
D 2bs 0 1 0 1
0 0 0 0
0 0
0
0
0 0
1 0
计算方法引论( 第三版)
13.12
徐萃薇、孙绳武 高教2007
六点格式
• 差分方程 uk, j1
uk,
j
bs 2
(uk1, j1
2uk,
j 1
uk 1,
j 1 )
bs 2
(uk 1,
j
2uk, j
uk 1,
j
)
k 1,2, , N 1,
k 2N
,
– 稳定的充要条件 bs≤1/2
k 1, 2,
,N 1
• 隐式格式
– –
增长因子:
1 k
无条件稳定
1
1 4bs sin2
k 2N
,
k 1, 2,
,N 1
• Richardson格式
– 增长因子:
k ,1
4bs sin2
k 2N
16b2s2 sin4 k 1 2N
– 完全不稳定
k ,2
h2 24
u
xxx(
x,
t
)
计算方法引论( 第三版)
13.7
徐萃薇、孙绳武 高教2007
第三类边界条件的差分近似
• 近似一
u1, j
u0, j h
1, ju0, j
g1, j
uN
,
j
uN 1, j h
2, juN , j
g2, j
Rh=O(h)
• 近似二
u0, j
u1, j h
1, j
u x
1 (t )u
x0
g1 (t )
u x
2 (t)u
x1
g2
(t)
0t T
计算方法引论( 第三版)
13.2
徐萃薇、孙绳武 高教2007
一些数值微分公式
•一阶差商
u t
(k, j)
u(k,
j
1)
u(k,
j)
2
utt (k , t1 )
u t
(k,
j)
u(k,
j)
u(k,
j
1)
Bu
j
u j1
fj
j 1, 2,
,
T
u0
,
T
1 2bs
B
bs
0
bs 0 1 2bs bs
0
0
0 0
0
0
bs 1 2bs
计算方法引论( 第三版)
13.10
徐萃薇、孙绳武 高教2007
Richardson格式
• 差分方程
uk, j1 uk, j1 2bs(uk 1, j 2uk, j uk 1, j )
2uk, j h2
uk 1, j
0
– 形式2 uk, j1 uk, j bs(uk1, j 2uk, j uk1, j ) s=/h2
• 截断误差
R ,h
2 u"tt (k,t1)
bh2 12
u(4) xxxx
(
x,
j)
O(
h2 )
计算方法引论( 第三版)
13.4
徐萃薇、孙绳武 高教2007
k=1,2, ,N 1,
j 0,1, 2,
,
T
1
uk,0 (kh)
k 1, 2, , N 1
•• 矩Rτ阵,h=形O(式τ+h2)u
j 1
u0, j Auj
g1 ( f
j),
j
j
uN, j 0,1,
g2 2,
(
j)
,
T
j
0,1, 1
2,
,
T
u0
1 2bs bs 0 0
0 uj (u1, j ,u2, j , ,uN 1, j )T
A
bs
0
1 2bs bs 00
0
0
bs 1 2bs
f j (bsg1( j),0, ,0,bsg2 ( j))T ((h),(2h), ,((N 1)h))T
计算方法引论( 第三版)
13.9
徐萃薇、孙绳武 高教2007
微分方程的差分近似(续)
• 差分近似二
uk, j
uk , j1
b uk 1, j
2uk, j h2
uk 1, j
0
uk, j uk, j1 bs(uk 1, j 2uk, j uk 1, j )
R ,h
2
utt
(k
,
t2
)
bh2 12
u(4) xxxx
(x,
j)
O(
h2 )
• 差分近似三
2bs)1
k ,2
2bs cos
k N
1
4b2 s 2
sin 2
k N
(1
2bs)1
– 无条件稳定
• 六点格式
– 增长因子: – 无条件稳定
1 2bs sin2 k 2N ,
1 2bs sin2 k 2N
k 1, 2,
,N 1
计算方法引论( 第三版)
13.16
徐萃薇、孙绳武 高教2007
(k
1)n N
2nj sin
kn N
nj sin
(k
1)n N
)
n
1
2bs(1
cos
n N
)
1
4bs
s in 2
n 2N
• 实际上λp就是逐层误差的增长因子 也是H=A的特
征值
计算方法引论( 第三版)
13.14
徐萃薇、孙绳武 高教2007
几种差分格式 的稳定性
• 显式格式
– 增长因子:
k
1
4bs sin2
稳定性定义
• 差分格式统一表示
u j Hu j1 f j
u0
– 例如显式格式H=A.
(13.37)
• 误差方程
j=H j-1 , j=Hj 0
• 定义 若j在一定范数下满足
0为初始误差
j c 0 , j 1
则称差分格式是稳定的，其中c是与h, 无关的常数
计算方法引论( 第三版)
13.17