高考数学压轴专题最新备战高考《复数》难题汇编附答案
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【高中数学】数学《复数》高考复习知识点
一、选择题
1.设(1)1i x yi -=+,其中,x y 是实数,则x yi +在复平面内所对应的点位于( ) A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限 【答案】D
【解析】
由()11i x yi -=+,其中,x y 是实数,得:11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨
⎨-==-⎩⎩
,所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.
本题选择D 选项.
2.如图所示,在复平面内,OP 对应的复数是1-i ,将OP 向左平移一个单位后得到
00
O P ,则P 0对应的复数为( )
A .1-i
B .1-2i
C .-1-i
D .-i
【答案】D
【解析】
【分析】
要求P 0对应的复数,根据题意,只需知道0OP ,而0000
OP OO O P =+,从而可求P 0对应的复数
【详解】
因为00O P OP =,0OO 对应的复数是-1,
所以P 0对应的复数, 即0OP 对应的复数是
()11i i -+-=-,故选D. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义,复平面内复数、向量及点的对应关系,是基础题.
3.已知复数(2)z i i =-,其中i 是虚数单位,则z 的模z = ( )
A 3
B 5
C .3
D .5
【答案】B
【解析】
22(2)22(1)5z i i i i =-=-=+-=,故选B .
4.若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位,则z=
A .1+2i
B .1-2i
C .12i -+
D .12i --
【答案】B
【解析】
试题分析:设i z a b =+,则23i 32i z z a b +=+=-,故
,则12i z =-,选B.
【考点】注意共轭复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念,是一道基础题目.从历年高考题目看,复数题目往往不难,有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查,也是考生必定得分的题目之一.
5.设i 是虚数单位,若复数()103a a R i -
∈-是纯虚数,则a 的值为( ) A .-3
B .-1
C .1
D .3
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
因
, 故由题设
, 故,故选D . 考点:复数的概念与运算.
6.已知i 是虚数单位,则
131i i +=+( ) A .2i -
B .2i +
C .2i -+
D .2i -- 【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算计算复数的值即可.
【详解】
由复数的运算法则有: 13(13)(1)422(1)(11)2
i i i i i i i i ++-+===++-+.
故选B .
【点睛】
对于复数的乘法,类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可;对于复数的除法,关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式.
7.设复数21i x i =
-(i 是虚数单位),则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=( )
A .1i +
B .i -
C .i
D .0
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简1x +,再根据所求式子为2020(1)1x +-,从而求得结果.
【详解】 解:复数2(1i x i i =-是虚数单位), 而1122332020202020202020
202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-, 而2
121(1)111(1)(1)
i i i i x i i i i i -++++====--+-, 故11223320202020202020202020
202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=, 故选:D .
【点睛】
本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用,属于中档题.
8.若复数
()21a i a R i -∈+为纯虚数,则3ai -=( )
A B .13 C .10 D
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先求得实数a 的值,然后求解3ai -即可.
【详解】
由复数的运算法则有:
2(2)(1)221(1)(1)22
a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-, 复数()21a i a R i -∈+为纯虚数,则2020a a +=⎧⎨-≠⎩
,
即2,|3|a ai =--=
本题选择A 选项.
【点睛】
复数中,求解参数(或范围),在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分,所以问题中的参数必为实数,因此,确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.
9.已知z C ∈,2z i z i ++-=,则z 对应的点Z 的轨迹为( )
A .椭圆
B .双曲线
C .抛物线
D .线段
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数模的几何意义,结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.
【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2,即ZA ZB AB +=,另一方面,由三角不等式得ZA ZB AB +≥.
当且仅当点Z 在线段AB 上时,等号成立.
因此,点Z 的轨迹为线段.
故选:D.
【点睛】
本题考查复数模的几何意义,将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
10.若121z z -=,则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”,,a b ∈R ,则22a b +的最大值为( )
A .8-
B .8+
C .1+
D .8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+-=(,)a b 到原点的距离,计算得到答案.
【详解】