热传导方程的混合问题共19页
数学物理方法-热传导方程
[t2
t1
kgradu ds]dt
S
流入的热量使V内温度发生了变化，在时间间隔 [t1, t2 ] 内区域V内各点温
度从 u(x, y, z, t1) 变化到 u(x, y, z, t2 ) ，则在 [t1,t2 ] 内V内温度升高所
需要的热量为
Q2 c[u(x, y, z,t2) u(x, y, z,t1)]dV V
移方向的张力应该为零，即 T sin2 T tg2 Tux |xL 0
所以边界条件是：
ux
u x
|xL
0
第二类边界条件又称为Neuman条件。
3.第三类边界条件 给出物理量及其边界上法线方向导数的线性关系
(u
u )
n
f3(M ,t)
其中 为常数。
弦振动问题的弹性支承，即是这类边界条件。
)
——三维热传导方程
其中 a2 k c
若物体内有热源，其强度为 F(x, y, z,t) , 则相应的热传导方程为
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u z 2
)
f
(x,
y, z,t)
其中 f F
c
作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不 是细杆（或薄板），而其中的温度只与 x，t（或x，y，t）有关，则三维 热传导方程就变成一维热传导方程
c u dV )dt
t1 V
t1 V
t
t2 (
t2
k2udV )dt (
c u dV )dt
t1 V
t1 V
t
由于时间间隔 [t1, t2 ] 及区域V都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以 上式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即
热传导与导热方程
热传导与导热方程热传导是物质内部热量传递的过程，可以通过研究导热方程来描述。
导热方程是一个重要的热传导模型，在各个领域都有广泛的应用。
本文将对热传导与导热方程进行详细解析。
一、热传导的基本概念热传导是物质中热量的传递过程，有三种基本方式：传导、对流和辐射。
其中，传导是通过固体或液体的分子热运动来传递热量。
固体传导的机制主要是由于颗粒振动引起的传热，而液体传导主要是由于颗粒原子间的碰撞引起的传热。
二、导热方程的概念和含义导热方程是描述热传导过程的数学模型，可以应用于各种热传导问题的求解。
它描述了物体内部温度的分布随时间的演变。
导热方程可以写成如下形式：∂T/∂t = α∇²T其中，∂T/∂t表示温度在时间上的变化率，∇²T表示温度梯度的二阶空间导数。
α是热扩散率，是材料的物理特性，与材料的热导率和比热容有关。
三、导热方程的推导过程导热方程的推导过程涉及热传导原理和假设条件。
首先，我们假设热传导介质是一个连续媒体，其内部不存在任何孔隙或断裂。
其次，我们假设热传导的过程是线性的，即温度梯度和热流密度成正比。
最后，我们应用热传导原理和能量守恒定律，推导出导热方程。
四、导热方程的边界条件和初值条件在使用导热方程求解具体问题时，需要给出合适的边界条件和初值条件。
边界条件包括温度、热流密度或者热通量在物体边界上的数值。
初值条件则是指初始时刻物体内部温度的分布情况。
五、导热方程的求解方法导热方程是一个二阶偏微分方程，可以通过数值方法或解析方法进行求解。
常见的数值方法有有限差分法、有限元法和有限体积法。
解析方法可以通过分离变量法或变换法求解。
六、导热方程的应用导热方程在物理学、工程学、材料科学等领域有广泛的应用。
例如，在热传导实验中，我们可以通过测量温度的变化来验证导热方程。
在工程设计中，我们可以利用导热方程来研究材料的热传导性能，以便优化设计。
在材料科学领域，导热方程可以帮助我们了解材料结构对热传导性能的影响。
热传导方程(扩散方程)ppt课件
( x ,t0) ( x )
波方程的Cauchy问题
由泛定方程和相应边界条件构成的定解问题称为 边值问题。
u0, (x,y),
u f (x, y).
Laplace方程的边值问题
由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成 的定解问题称为混合问题。
uutt0a2(u(xxx,y,uzy)yuzz)0
kn|x0k(x) qnq0
u x
|xl
q0 k
u x |x0
q0 k
xl
若端点是绝热的，则
u u x|xl x x0 0
三、定解问题
定义1 在区域 G[0,) 上，由偏微分方程、初 始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为 初边值问题或混合问题。
u ut x,a 02 u xx (x 0),,
注 1、热传导方程不仅仅描述热传导现象，也可以
刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；
2、上述边界条件形式上与波动方程的边界条件 一样，但表示的物理意义不一样；
3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方 程有两个初始条件。
4、除了三维热传导方程外，物理上，温度的分 布在同一个界面上是相同的，可得一维热传导方
gk1 k
u1.
注意第三边界条件的推导：
研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题
把一个温度变化规律为 u(x, y, z, t)的物体放入 空
气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度
为 u1(x, y, z, t)，它与物体表面的温度u(x, y, z, t)并不
相同。这给出了第三边界条件的提法。
或
u knk1(uu1).
即得到（1.10）： ( u nu)|(x,y,z) g(x,y,z,t).
传热计算
T2 - 0
( ) ( ) \
qm,
C
h
p,h
T1
- T2
= qm,cC p,c t2 - t1
……………… (I )
式中， qm,h、qm,c ——分别为热、冷流体的质量流速， kg × s -1 ； C p,h、C p,c ——分别为热、冷流体的定压比容， J × kg -1 × K -1 ；
T1、T2 、——分别为热流体的进、出口温度， K ；
空气的流速加大，可加快热量的传递，这是一种什么形式的热量传递呢？我们定义为 对流给热。
对流给热的定义是，通过流体内质点的定向流动和混合而导致热量的传递。 对流给热服从牛顿冷却定律，也称牛顿给热定律。
先讨论一下对流给热的机理。如图 4-9 所示。固体壁面温度为 tw （高温端），流体湍流
主体的温度为 t 。
1 A
ççèæ
b1 l1
+
b2 l2
+
b3 l3
÷÷øö
4
图 4-7 多层平壁的稳态热传导 所以 n 层平壁热传导的公式为：
n
å (ti ) - ti+1
å Q = i=1
1
n
bi
A i=1 li
………………… (V )
4-5 圆筒壁稳定热传导计算
比平壁复杂的一点在于，传热面积 A 是个变量。
今有一长为 L ，内径为 r1 ，内壁温度为 t1 ，外半径为 r2 ，外壁温度为 t2 的圆筒，导出
Q
=
tw d
t
lA
……………… (VII )
7
由于上式中的传热边界层d 是难以测定的，所以仍无法进行计算。于是令 l = a ，则 dt
物质的热传递与传热方程
物质的热传递与传热方程热传递是指物体之间传递热量的过程。
在自然界中，热量会自动从高温物体传递到低温物体，以达到热平衡。
了解物质的热传递规律对于工程、科学研究以及日常生活都具有重要意义。
本文将探讨物质的热传递原理以及传热方程。
一、热传递方式物质的热传递可以通过三种方式进行：传导、对流和辐射。
1. 传导传导是指物体内部的热量传递。
当物体的一部分受热时，其分子会增加热运动并与周围分子碰撞，从而将热量传递给周围物体的分子。
常见的传导材料有金属、一些固体和液体。
传导热量的大小取决于材料的热导率和温度梯度。
2. 对流对流是指通过流体的运动来传递热量。
当流体受热并膨胀时，其密度减小，从而形成向上的浮力，推动冷流体下沉。
这种上升和下降的流体运动形成了对流传热。
对流传热可以是自然对流或强制对流，取决于流体运动的形式。
3. 辐射辐射是指通过电磁波的传播传递热量。
所有物体都会向外发射热辐射，其强度与物体的温度有关。
热辐射可以在真空中传递，因此，在没有其他传热方式的情况下，辐射是物体热量传递的唯一方式。
二、传热方程传热方程是用来描述热传递过程的数学模型。
根据不同的传热方式，我们有不同的传热方程。
1. 传导传热方程传导传热方程是用来描述物体内部热量传递的方程。
其一维形式可以表示为：q = -kA(dT/dx)其中，q是热流量，单位为瓦特(W)；k是材料的热导率，单位为瓦特/(米·开尔文)，A是传热截面积，单位为平方米；dT/dx是温度梯度，单位是开尔文/米。
通过该方程，我们可以计算出传热速率和材料的热导率之间的关系，从而预测热传递的行为。
2. 对流传热方程对流传热方程用来描述通过流体的传热过程。
其一维形式可以表示为：q = hA(Ts - T)其中，q是热流量，单位为瓦特(W)；h是对流换热系数，单位为瓦特/(平方米·开尔文)；A是传热面积，单位为平方米；Ts是表面温度，单位为开尔文；T是流体温度，单位为开尔文。
热传导方程习题解答
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 13 / 51
初边值问题的分离变量法
Example 2.1
用分离变量法求下列定解问题的解:
ut = a2uxx (t > 0, 0 < x < π), u(0, t) = ux(π, t) = 0 (t > 0), u(x, 0) = f(x) (0 < x < π).
故单位时间流入 (x, x + ∆x) 的热量为
( ∂
) ∂u
πl2
dQ = dQ1 + dQ2 + dQ3 = ∂x
k(x) ∂x
·
x∗
4 ∆x − k1(u − u1)πl∆x.
综上, 从时刻 t1 到 t2 流入位于 [x1, x2] 杆段的热量为
∫ t2
t1
∫ x2
x1
[ ∂ ∂x
(
)
∂u
k(x) ∂x
y,
z)
∂N ∂n
dSdt.
因此从时刻 t1 到 t2 流入区域 Ω (Γ 为 Ω 的表面) 的质量为
∫ t2
D(x, y, z) ∂N dSdt = ∫ t2
t1
Γ
∂n
t1
div(DgradN)dxdydzdt.
Ω
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 5 / 51
热传导方程及其定解问题的导出
(
)
∂u 1 ∂ ∂t = cρ ∂x
∂u k(x) ∂x
−
4k1 cρl
(u
−
u1).
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 4 / 51
热传导方程(扩散方程)
u q0 k n x=l处： u
n
x
n
若端点是绝热的，则
u u |xl x x
0
x 0
三、定解问题 定义1 在区域 G [0, ) 上，由偏微分方程、初 始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为 初边值问题或混合问题。
ut a 2 uxx 0, u x ,0 ( x ), u o, t 1 ( t ), 0 x l , t 0, 0 x l , t 0, ux l , t hu l , t 2 (t ), t 0, h 0.
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S 流入 内的热量 Q1+热源提供的热量 Q2
下面分别计算这些热量
（1） 内温度变化所需要的能量 Q 设物体 G 的比热（单位质量的物体温度改变 1 C 所需要的热量为c c( x , y , z ), 密度为 ( x , y , z ), 那么包含点 ( x , y , z )的体积微元 dV的温度从 u( x , y , z , t1 ) 变为 u( x, y, z , t 2 ) 所需要的热量为
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件）
初始条件：
u( x , t ) ( x , y , z ), ( x , y, z ) G , t 0 : (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u f x , y , z
或者 2u f x, y, z .
拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温 度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静 电场的电位分布等物理现象。
热传导方程[整理版]
![热传导方程[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/e62ce79703d276a20029bd64783e0912a2167c64.png)
前言本文只是针对小白而写，可以使新手对热传导理论由很浅到不浅的认识，如想更深学习热传导知识，请转其它文档。
一、概念与常量1、温度场：指某一时刻τ下，物体内各点的温度分布状态。
在直角坐标系中：t=f(x,y,z,τ)；在柱坐标系中：t=f(r,θ,z,τ)；在球坐标系中：t=f(r,θ,∅,τ)。
补充：根据温度场表达式，可分析出导热过程是几维、稳态或非稳态的现象，温度场是几维的、稳态的或非稳态的。
2、等温面与等温线：三维物体内同一时刻所有温度相同的点的集合称为等温面；一个平面与三维物体等温面相交所得的的曲线线条即为平面温度场中的等温线。
3、温度梯度：在具有连续温度场的物体内，过任意一点P温度变化率最大的方向位于等温线的法线方向上。
称过点P的最大温度变化率为温度梯度(temperature gradient)。
用grad t表示。
定义为：grad t=∂t∂nn补充：温度梯度表明了温度在空间上的最大变化率及其方向，是向量，其正向与热流方向恰好相反。
对于连续可导的温度场同样存在连续的温度梯度场。
在直角坐标系中：grad t=∂t∂xi+∂t∂yj+∂t∂zk3、导热系数定义式：λ=q-grad t单位W/(m⋅K)导热系数在数值上等于单位温度降度(即1K/m)下，在垂直于热流密度的单位面积上所传导的热流量。
导热系数是表征物质导热能力强弱的一个物性参数。
补充：由物质的种类、性质、温度、压力、密度以及湿度影响。
二、热量传递的三种基本方式热量传递共有三种基本方式：热传导；热对流；热辐射三、导热微分方程式（统一形式：ρc∂t∂τ=λ∇2t+q）直角坐标系：ρc∂t∂τ=∂∂x(λ∂t∂x)+∂∂y(λ∂t∂y)+∂∂z(λ∂t∂z)+q圆柱坐标系：ρc∂t∂τ=1r∂∂r(λr∂t∂r)+1r2∂∂ϕ(λ∂t∂ϕ)+∂∂z(λ∂t∂z)+q球坐标系：ρc∂t∂τ=1r2∂∂r(λr2∂t∂r)+1r2sinθ∂∂θ(λsinθ∂t∂θ)+1r2sin2θ∂∂ϕ(λ∂t∂ϕ)+ q其中，称α=λρc为热扩散系数，单位m2/s，ρ为物质密度，c为物体比热容，λ为物体导热系数，q为热源的发热率密度，h为物体与外界的对流交换系数。
热传导方程
3这时可记2λμ=,此时关于X 的方程的解为:cos sin .X A x B x μμμμμ=+从而我们得到满足泛定方程的一系列解:()22cos sin .a tu T X A x B x eμμμμμμμμ−==+为了得到满足初始条件的解,需要把这一系列解叠加起来;由于此时μ的取值没有限制,可以取所有实数值从而需要求积分:()22cos sin a tu u d A x B x ed μμμμμμμμ∞∞−−∞−∞==+∫∫10例8.1 一个具有常初温0u 的细杆，已知它的一端保持温度为零，求杆上以后的温度分布。
解：该问题可以归结为求解如下定解问题：()()()()()200,0,0,0 0,,0 0.t xx u a u x t u t t u x u x =<<∞>=≥=<<∞12二维和三维情形传导和扩散通常是在三维情况中进行的，这时泛定方程应该包含三个空间变量：()223.t xx yy zz u a u u u a u =++=Δ 就像在特殊情况下可以得到一维传导和扩散问题一样，在某些情况下，我们也可以得到二维问题：()222.t xx yy u a u u a u =+=Δ 类似地，三维无界介质中的热传导问题可以归结为如下定解问题（Cauchy 问题）：()()23,,,,0,,t u a u u x y z x y z ϕ⎧=Δ⎪⎨=⎪⎩第九章Lapalce方程的Fourier 解1316讨论可知，该本征值问题在2,0,1,2,n n λ=="时有非平凡解：()cos sin n n n a n b n θθθΘ=+。
同时关于r 的方程变为：22'''-0r R rR n R +=。
该方程的通解为：-000ln ,.n nn n n R c d r R c r d r =+=+为得到满足边界条件的解，叠加这些特解得到：()()()0,,n n u l u l f θθθ∞===∑。
数理方程第三章热传导方程
关于一维Fourier变换的性质（1）-（7）对于多 维Fourier变换也成立。此外还有 性质8.若
f ( x ) f1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) f n ( xn ), 其中 f i ( xi ) L( , ), 则有
F ( f ) F ( f i ) i
(1i ) x
Hale Waihona Puke 0例2：设 f ( x ) e
Ax 2
( A 0),
求F ( f )( )
2 1 Ax i x 解： F f e e dx 2 1 i Ax2 i x Ax 2 i x {e e 2 A xe e dx} 2 2 Ai Ax 2 F ( xe ) 2 A dF ( f ) d
为此在u(x,t)的积分表达式中做变量替换 ( x) ( 2a t ), 则 1 2 u x, t e x 2a t d
x x0 , t 0
由的有界性，当x (-, ),t>0时，积分关于x，t是 一致收敛的，当x x0 , t 0 时可在积分号下取极限，
t
K ( x , t ) d
d K ( x , t ) f , d
0
()
u x , t K ( x , t ) d
t
d K ( x , t ) f , d
2） 微分性质 设 f ,
3）乘多项式 设
f , xf , x m f绝对可积，则 (m 1)
d F xf i F f d m d F xm f i m F f m d
3热传导方程(扩散方程)
（3）热源提供的热量Q2
Q2
t2
[ F ( x , y , z , t )dV ]dt
t1
t2
(1.3)
由热量守恒定律得：
t2 u u u u c dV]dt [ ( (k ) (k ) (k ))dV]dt t1 [ t1 t x x y y z z
Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系.
§1.1 数学模型的建立
数学模型建立的一般方法：
确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式; 简化整理，得到方程。
三、定解问题 定义1 在区域 G [0, ) 上，由偏微分方程、初 始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为 初边值问题或混合问题。
ut a 2 uxx 0, u x , 0 ( x ), u o, t 1 ( t ), 0 x l , t 0, 0 x l , t 0, ux l , t h u l , t 2 ( t ), t 0, h 0.
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 f ( x , y , z , t ), t y z x
(1.5)
k , 其中 a c
2
F f , f 称为非齐次项（自由项）。 c
三维无热源热传导方程：
2 2 2 u u u 2 u a 2 2 2 0 . t y z x
热传导 试验定 律或牛 顿定律
3热传导方程(扩散方程)
u
g ( x , y , z , t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g ( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n
g ( x , y , z , t ),
定义2 在区域 R 3 [0, ) 上，由偏微分方程和初 始条件组成的定解问题称为初值问题或柯西问题。 例如三维热传导方程的初值问题为：
2 3 u a ( u u u ) f ( x , y , z , t ), ( x , y , z , t ) R , t 0, t xx yy zz 3 u ( x , y , z , t ) | ( x , y , z ), ( x , y , z , t ) R . t 0
准备知识
2. *通量与散度 设向量场 A ( P, Q, R ), P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
( n 为 的单位法向量）
G 内任意点处的散度为 P Q R div A A x y z
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件：
u( x , y , z , t ) ( x , y , z ), ( x , y , z ) G , t 0 : (1.7)
边界条件：( G )
例如三维热传导方程的第一初边值问题为：
数学物理方程谷超豪版第二章课后答案.doc
第二章热传导方程§ 1热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dQ k 1(u u 1 )dsdt又假设杆的密度为，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度u u( x,t) 。
记杆的截面面积 l 2为 S 。
t 到 tt 内流入截面坐标为 x 到 xx 一小段细杆的热量为 4由假设，在任意时刻dQu s t k u2u s x tkxs t k1x x x xx 2 xt 到 tt 在截面为杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻x 到 xx 一小段中产生的热量为4k 1dQ2k 1 u u l x tu u s x t1l1又在时刻 t 到 tt 在截面为 x 到 xx 这一小段内由于温度变化所需的热量为dQc u x,tt u x,t s x c u s x t由热量守恒原理得：3t tcu s x t k2us x t4k 1u u s x tt tx2 xl1消去 sx t ，再令x 0 ， t 2 u 0 得精确的关系：cuk 4k 1 u ut x 2 l1u k 2u 4ka 22 u4k或t cx2c 1u u 1x2c 1u u 1ll其中a2kc2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为 ，则从时刻 t 1 到 t 2 流入此闭曲面的溶 质，由 dMDudsdt ，其中 D 为扩散系数，得nt 2D udsdtMt 1 snt 2t 2C udvdtM 1C u x, y, z, t 2 u x, y, z, t 1 dxdydzCudtdvt 1tt 1t两者应该相等，由奥、高公式得：t 2uuut 2C udvdtMD D D dvdt M 1t 1xx y y z zt 1t其中 C 叫做孔积系数 =孔隙体积。
热传导方程的混合问题
n b ( nl a )2 t n x n b ( nl a )2 t0 An e sin M e l l l
l
与其相对应的特征函数为
X n ( x) Bnsin
n x l
11
再将(2.16)代入方程(2.13),得
t ) T (t ) 0 2 l
Tn (t ) Cn e
)2 t ( an l
n x n 1 2 l
u t 0 ( x) 0 x l
(2.11) (2.12)
u x0 1 (t ) u xl 2 (t ) 0 t T
(0) 1 (0) (l ) 2 (0)
这里假定函数 f ( x t ) ( x) 1 (t )和2 (t ) 都是连续的,且满足相容性条件： 如同讨论波动方程的情形一样,这里泛定方程和定解条件都是线性
)2 t ( an l
为了求出问题(I)的解, 考虑级数
sin
(2.19)
这时只要 ( x) 可在 [0 l ] 上展成以 l
An
2 n x ( x )sin dx l 0 l
(2.20)
为系数的正弦Fourier级数即可.现在将(2.20)代入(2.19), 我们就
12
u (0 t ) 1 2a
t
e
y2 4 a2t
( y)dy
由于被积函数关于 y 是奇函数,故上式中的积分为零,即 u(0 t ) 0 为了应用Poisson公式(1.11)解混合问题(2.2),根据引理5.3 我们把初始数据 ( x) 作奇延拓
( x) ( x ) ( x) x 0 x 0.
热传导方程(扩散方程)
为 u1(x, y, z, t)，它与物体表面的温度u(x, y, z, t)并不
相同。这给出了第三边界条件的提法。
热传导 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
试验定 律或牛
dQ k1(u u1)dSdt,
(1.11)
顿定律 其中比例常数 k1 0 称为热交换系数
例如三维热传导方程的第一初边值问题为：
ut
a2 (uxx
uyy
uzz )
f (x, y, z, t),
(x, y, z,t) ,
u( x, y, z, t) |t0 ( x, y, z), ( x, y, z, t) ,
u |(x, y,z) g( x, y, z, t), t 0.
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
注：
u k n g( x, y, z, t), ( x, y, z) ,
t 0, (1.9)
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，表示物体绝热。
u 表示 u 沿边界 上的单位外法线方向 n 的方向导数
程：
u t
a2
2u x2
.
(1.12)
而对于薄片的热传导，可得二维热传导方程：
u t
a
2
(
2u x 2
2u y2 ).
(1.13)
3 拉普拉斯方程
当我们研究物理中的各类现象，如振动、热传导、
扩散等的稳定过程时，由于表达该物理过程的物
理量 不随u 时间变化而变化，因此
u. 0
t
如果我们考虑的是一个稳定的热场，则可以得到
热传导题解题技巧
热传导题解题技巧热传导是热学中的一个重要概念，它描述了热量在物体之间的传递过程。
当我们解题时，掌握一些技巧可以帮助我们更好地理解和解决热传导相关的问题。
本文将介绍一些有效的热传导题解题技巧。
首先，我们来了解一下热传导的基本原理。
热传导是指热量由热源沿温度梯度传递至低温处的过程。
按照傅里叶定律，热传导的速率与温度差成正比，与物体的导热性质成反比。
因此，在解决热传导问题时，需要考虑物体的温度差和导热性质。
其次，要掌握解决热传导问题的常见方程。
热传导问题通常可以用热传导方程来描述。
对于一维热传导问题，常见的方程是热传导方程：$$\frac{{d^2T}}{{dx^2}} = \frac{1}{{\alpha}} \frac{{dT}}{{dt}}$$其中，$$\frac{{d^2T}}{{dx^2}}$$表示温度梯度的二阶导数，$$\frac{{dT}}{{dt}}$$表示温度变化率，$$\alpha$$表示热扩散系数。
通过对该方程的求解，可以得到物体在不同位置的温度分布。
进一步地，解决热传导问题时可以使用一些常见的近似方法。
例如，当传热过程中的温度差较小时，可以采用线性近似法。
这个方法基于温度梯度的线性变化关系。
另一个常见的近似方法是稳态近似法，即热传导过程中物体的温度分布保持不变。
这个方法适用于物体较大、传热时间较长的情况。
在解决具体问题时，需要灵活运用合适的数学工具。
例如，当遇到复杂的几何形状时，可以选择使用坐标变换、积分等方法来简化问题。
此外，还可以利用不同物质的导热性质差异，在热传导问题中引入新的物质以改变传热效果。
除此之外，需要注意边界条件的处理。
热传导问题的解决离不开边界条件的设定。
常见的边界条件有定温边界和定热流边界。
定温边界意味着在该边界上温度始终保持不变，而定热流边界意味着在该边界上的传热速率始终保持不变。
明确边界条件可以帮助我们更准确地求解热传导问题。
最后，还有一些常见的热传导题类型需要注意。
热传导和拉普拉斯方程
23
Φ′′(θ ) + λΦ (θ ) = 0
Φ (θ ) = Φ (θ + 2π )
周期性条件
（4） （5）
r 2 R′′( r ) + rR′(r ) − λ R ( r ) = 0
（6） （7）
R (0 ) < ∞
自然边界条件
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附: 欧拉方程 r 2 R′′( r ) + rR′( r ) − n 2 R ( r ) = 0 的求解.
∞
⎞ x ⎟ , an = An Bn . ⎠
利用初始条件得
2 l ⎛ (n + 1 )π 2 an = ∫ ϕ ( x) sin ⎜ l 0 l ⎝ ⎞ x ⎟ dx ⎠
4
• 举例
⎧ ∂u ∂ 2u x ∈ (0, l ), t > 0 = a2 2 , ⎪ ∂t ∂x ⎪ u0 ⎪ x ∈ [0, l ] ⎨u ( x, 0) = x, l ⎪ ⎪u (0, t ) = u x (l , t ) = 0, t ≥ 0 ⎪ ⎩
nπ y a
−e 2
−
nπ y a
,
− nπ y a
nπ y a
+e 2
.
18
· 椭圆方程
Ω : x2 + y 2 < 1
2 2 ⎧ ∂ u ∂ u ⎪ Δ u = 2 + 2 = 0, ∂x ∂y ⎨ ⎪u = f ( x , y ) ⎩ ∂Ω
（1）
以前的定解问题所在的区域都是区间或矩形域，均 采用直角坐标系。但如果定解区域为圆形、圆柱形或者 球形时，采用直角坐标系难以适用，而采用极坐标系、 柱坐标系或者球面坐标系。
⎛ a 2 (n + 1 ) 2 π 2 ⎞ ⎛ (n + 1 )π (−1) n 2 2 u ( x, t ) = 2 ∑ exp ⎜ − t ⎟ sin ⎜ l2 l π n =0 (n + 1 )2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 2u0