(完整word版)高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
极坐标与参数方程高考题含答案)
极坐标与参数方程高考题1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12.2.已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为|4cos θ+3sin θ-6|, 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,(1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θθ=+⎧⎨=⎩(0≤θ≤π).(2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ=,θ=3π.故D 的直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.解：(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,经变换为C 上点(x,y),由22x y +=1得x 2+22y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,即曲线C 的方程为4x 2+2y =4.故C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos x y (θ为参数).(2)由解得或不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为12（，1）,所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12（x-12）,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=θθsin 4cos 23--. 5.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．6.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin (θ－π4)＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1，π2)．7.在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.8.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(4分) (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.9.在直角坐标版权法xOy 吕，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.(I)写出C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 解：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +-=(II)设132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又C，则PC ==， 故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).。
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。
例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。
例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。
解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。
2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。
为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且$\tan\theta=\frac{1}{3}$。
极坐标与参数方程题型大全及答案
参 数 方 程 集 中 训 练 题型 大 全一、回归教材数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为( ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为( ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为( ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y =5．点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为( )A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线34()45x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
3．已知直线113:()24x t l t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ， 则AB =_______________.4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
高三数学《极坐标与参数方程》专题测试题含答案
高三数学极坐标与参数方程专题测试题含答案（120分钟 每小题10分，共15小题，总分150分）1.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.2. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。
3.【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.4.【2015高考陕西，理23】在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．5.【2015高考新课标2，理23】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．6． 【2014全国2，理20】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.7. 【2014课标Ⅰ，理23】已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．8.【2015高考新课标1，理23】在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.9．【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.10.【2016高考新课标1卷】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．11.【2016高考新课标2理数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．12.【2018年全国卷Ⅲ理】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围； （2）求中点的轨迹的参数方程．13．【2018年理数全国卷II】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．14．【贵州省凯里市2018届四模】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程；(2)设直线（为任意锐角）、分别与曲线交于两点，试求面积的最小值.15．【辽宁省葫芦岛市2018年二模】直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.参考答案1.解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.…………5分 （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-. 综上，8a =或16a =-.…………10分【考点】极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系.【名师点睛】化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.2.解析：（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知cos 14=，=ρρθOP OM =。
极坐标与参数方程高考题含答案
极坐标与参数方程高考题含答案Newly compiled on November 23, 2020极坐标与参数方程高考题1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12. 2.已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为|4cos θ+3sin θ-6|, 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,.3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,(1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θθ=+⎧⎨=⎩ (0≤θ≤π).(2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ=θ=3π.故D 的直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.解：(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,经变换为C 上点(x,y),由22x y +=1得x 2+22y ⎪⎭⎫⎝⎛=1,即曲线C 的方程为4x 2+2y =4.故C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos x y (θ为参数).(2)由解得或不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为12（，1）,所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12（x-12）,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=θθsin 4cos 23--.5.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．6.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin (θ－π4)＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1，π2)．7.在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的普通方程．解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0. 故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.8.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |.解：(1)ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(4分)(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.9.在直角坐标版权法xOy 吕，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.(I)写出C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.解：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +-=(II)设132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又C，则PC == 故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).。
极坐标与参数方程 题型总结归纳 附答案
《极坐标与参数方程》高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。
题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ①套公式：利用点到线的距离公式①辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标的直角坐标方程为.这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边（①）由题意，可设点的直角坐标为 因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，xOy 1C ()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α.（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当时）（13sin =+πα即当时，，此时的直角坐标为.（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程()sin()2|3d παα==+-2()6k k Z παπ=+∈()d αP 31(,)22第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
(完整word版)高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线 l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线l 的一般方程．（Ⅱ）过曲线 C 上随意一点P 作与 l 夹角为 30°的直线，交l 于点 A ，求 |PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成一般方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．剖析：（Ⅰ ）联想三角函数的平方关系可取x=2cos θ、y=3sin θ得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数t 得直线 l 的一般方程；（Ⅱ ）设曲线C 上随意一点P（ 2cosθ， 3sinθ）．由点到直线的距离公式获得P 到直线 l 的距离，除以sin30°进一步获得 |PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线 C：+=1 ，可令 x=2cos θ、 y=3sin θ，故曲线 C 的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由① 得： t=x ﹣ 2，代入②并整理得： 2x+y ﹣ 6=0；（Ⅱ ）设曲线C 上随意一点P（ 2cosθ， 3sinθ）．P 到直线 l 的距离为．则，此中α为锐角．当 sin（θ+α）=﹣ 1 时， |PA|获得最大值，最大值为．当 sin（θ+α）=1 时， |PA|获得最小值，最小值为．评论：本题考察一般方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，表现了数学转变思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：，曲线 C 的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线 l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值．考点：参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．剖析：（1）第一，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）第一，化简曲线 C 的参数方程，而后，依据直线与圆的地点关系进行转变求解．解答：解：（ 1）∵直线 l 的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ） =，∴，∴ x ﹣ y+1=0 ．（2）依据曲线 C 的参数方程为：（ α为参数）．得（ x ﹣ 2） 2+y 2=4 ，它表示一个以（ 2， 0）为圆心，以 2 为半径的圆，圆心到直线的距离为： d= ，∴曲线 C 上的点到直线l 的距离的最大值= ．评论： 本题要点考察了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线 C 1：（ t 为参数），C 2：（ θ为参数）．（ 1）化 C 1，C 2 的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；（ 2）若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t=， Q 为 C 2 上的动点，求 P Q 中点 M 到直线 C 3： （ t 为参数）距离的最小值．考点 ： 圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程． 专题 ： 计算题；压轴题；转变思想．剖析： （1）分别消去两曲线参数方程中的参数获得两曲线的一般方程，即可获得曲线C 1 表示一个圆；曲线C 2表示 一个椭圆；（2）把 t 的值代入曲线 C 1 的参数方程得点 P 的坐标，而后把直线的参数方程化为一般方程，依据曲线 C 2 的参数方程设出 Q 的坐标， 利用中点坐标公式表示出M 的坐标， 利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可获得距离的最小值． 解答：（t 为参数）化为一般方程得： （x+4 ） 2+（ y ﹣ 3） 2=1，解：（ 1）把曲线 C 1：所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4， 3），半径 1 的圆；把 C 2：（ θ为参数） 化为一般方程得： + =1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴为 8，短半轴为 3 的椭圆；（2）把 t=代入到曲线 C 1 的参数方程得： P （﹣ 4， 4），把直线 C 3：（t 为参数）化为一般方程得： x ﹣ 2y ﹣ 7=0，设 Q 的坐标为 Q （ 8cos θ， 3sin θ），故 M （﹣ 2+4cos θ， 2+ sin θ）所以 M 到直线的距离d= =，（此中 sin α= ， cos α= ）进而当 cos θ= ， sin θ=﹣时， d 获得最小值．评论：本题考察学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学识题，灵巧运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴成立直角坐标系，圆 C 的极坐标方程为，直线 l 的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆 C上不一样于 A ， B 的随意一点．（Ⅰ ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△ PAB 面积的最大值．考点：参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．剖析：（Ⅰ ）由圆 C 的极坐标方程为2，把，化为ρ=代入即可得出．（II ）把直线的参数方程化为一般方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得 |AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：C 的极坐标方程为2，解：（Ⅰ ）由圆，化为ρ=把代入可得：圆 C 的一般方程为x 2+y2﹣ 2x+2y=0 ，即（ x﹣ 1）2+（ y+1 ）2=2．∴圆心坐标为（ 1，﹣ 1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ ）由直线l 的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t 可得直线l 的一般方程：，∴圆心到直线l 的距离，∴|AB|=2==，点 P 直线 AB 距离的最大值为，．评论：本题考察了把直线的参数方程化为一般方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．剖析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，而后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为一般方程为（ 4 分）点到直线的距离（ 6 分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（ 10 分）评论：本题考察参数方程、极坐标方程与一般方程的差别和联系，二者要会相互转变，依据实质状况选择不一样的方程进行求解，这也是每年高考必考的热门问题．6．在直角坐标系xoy 中，直线 I 的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线 I 被曲线 C 所截得的弦长；（2）若 M （ x， y）是曲线 C 上的动点，求 x+y 的最大值．考点：参数方程化成一般方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．剖析：（1）将曲线 C 化为一般方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长知足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M ，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可获得最大值．解答：解：（ 1）直线 I 的参数方程为（t为参数），消去t，可得， 3x+4y+1=0 ；因为ρ= cos（θ+ ） = （），2 2 2﹣x+y=0 ，其圆心为（，﹣），半径为 r= ，即有ρ=ρcosθ﹣ρsinθ，则有 x +y圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M （，），则 x+y=因为θ∈R，则x+y 的最大值为=sin （1．），评论：本题考察参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考察参数的几何意义及运用，考察学生的计算能力，属于中档题．7．选修 4﹣ 4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy ，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线 C 的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的一般方程；（Ⅱ）若 Q 为 C 上的动点，求PQ 中点 M 到直线 l：（t为参数）距离的最小值．考参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．点：专坐标系和参数方程．题：分（ 1）利用 x= ρcosθ， y= ρsinθ即可得出；析：（ 2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单一性即可得出，解解（ 1）∵ P 点的极坐标为，答：∴=3，= ．∴点 P 的直角坐标2 2 2把ρ=x +y， y= ρsinθ代入可得，即∴曲线 C 的直角坐标方程为．（ 2）曲线 C 的参数方程为（θ为参数），直线 l 的一般方程为 x﹣ 2y﹣ 7=0设，则线段 PQ 的中点．那么点 M 到直线 l 的距离. ，∴点 M 到直线 l 的最小距离为．点本题考察了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的评：单一性等基础知识与基本技术方法，考察了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．（Ⅰ）求圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线 l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O， P，与直线l 的交点为Q，求线段 PQ 的长．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的地点关系．专题：直线与圆．剖析：（I）圆 C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（ x﹣ 1）2+y2=1．把 x= ρcosθ， y= ρsinθ代入化简即可获得此圆的极坐标方程．（II ）由直线 l 的极坐标方程是ρ（ sinθ+ ）=3 ，射线 OM ：θ= ．可得一般方程：直线 l ，射线 OM ．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：（ I）圆 C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（ x﹣1）2+y2=1．把 x= ρcosθ，y= ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II ）如下图，由直线l 的极坐标方程是ρ（ sinθ+ ） =3 ，射线OM ：θ= ．可得一般方程：直线l ，射线OM ．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|= =2．评论：本题考察了极坐标化为一般方程、曲线交点与方程联立获得的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1的参数方程为（α为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为ρsin（θ+ ） =4 ．（ 1）求曲线 C1的一般方程与曲线 C2 的直角坐标方程；（ 2）设 P 为曲线 C1上的动点，求点 P 到 C2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．剖析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、 y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，可得 d 的最小值，以及此时的α的值，进而求得点P的坐标．解答：解：（ 1）由曲线 C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线 C1 的一般方程为：．由曲线 C2 ：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以 x+y ﹣ 8=0，即曲线 C2 的直角坐标方程为：x+y ﹣ 8=0 ．（2）由（ 1）知椭圆 C1与直线 C2无公共点，椭圆上的点到直线 x+y ﹣ 8=0 的距离为，∴当时， d 的最小值为，此时点P 的坐标为．评论：本题主要考察把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．10．已知直线l 的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心 C 的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．剖析：（I）先利用三角函数的和角公式睁开圆 C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用2 2 2C 的直角坐标．ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ=x +y ，进行代换即得圆 C 的直角坐标方程，进而获得圆心（II ）欲求切线长的最小值，转变为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（ I）∵，∴，∴圆 C 的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（ 5 分）（II ）∵ 直线 l 的一般方程为，圆心 C 到直线 l 距离是，∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是（ 10 分）评论：本题考察点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点，领会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的地点的差别，能进行极坐标和直角坐标的互化．11．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴成立坐标系，直线l 的参数方程为，（ t 为参数），曲线 C 1 的方程为 ρ（ ρ﹣ 4sin θ） =12 ，定点 A （ 6， 0），点 P 是曲线 C 1 上的动点， Q 为 AP 的中点．（ 1）求点 Q 的轨迹 C 2 的直角坐标方程；（ 2）直线 l 与直线 C 2 交于 A ，B 两点，若 |AB| ≥2 ，务实数 a 的取值范围．考点 ： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程． 专题 ： 坐标系和参数方程．剖析： （1）第一，将曲线 C 1 化为直角坐标方程，而后，依据中点坐标公式，成立关系，进而确立点Q 的轨迹 C 2 的直角坐标方程；（2）第一，将直线方程化为一般方程，而后，依据距离关系，确立取值范围．解答： 解：（ 1）依据题意，得22﹣ 4y=12 ，曲线 C 1 的直角坐标方程为： x +y 设点 P （ x ′， y ′）， Q （ x ， y ），依据中点坐标公式，得，代入 x 2+y 2﹣ 4y=12 ，得点 Q 的轨迹 C 2 的直角坐标方程为： （ x ﹣3） 2+（ y ﹣ 1） 2=4，（ 2）直线 l 的一般方程为： y=ax ，依据题意，得，解得实数 a 的取值范围为： [0， ] ．评论： 本题要点考察了圆的极坐标方程、 直线的参数方程， 直线与圆的地点关系等知识， 考察比较综合， 属于中档题，解题要点是正确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系 xoy中以O 为极点，x轴正半轴为极轴成立坐标系．圆 C 1，直线C 2 的极坐标方程分别为ρ=4sin θ，ρcos（） =2．（ Ⅰ ）求C 1 与 C 2 交点的极坐标；（ Ⅱ ）设 P 为 C 1 的圆心， Q 为 C 1 与 C 2 交点连线的中点， 已知直线 PQ 的参数方程为（ t ∈R 为参数），求 a ，b 的值．考点 ： 点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的地点关系；参数方程化成一般方程． 专题 ： 压轴题；直线与圆．剖析： （I ）先将圆 C 1，直线 C 2 化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II ）由（ I ）得， P 与 Q 点的坐标分别为（ 0， 2），（1， 3），进而直线 PQ 的直角坐标方程为 x ﹣y+2=0 ，由参数方程可得 y= x ﹣+1，进而结构对于 a ， b 的方程组，解得 a ， b 的值．解答： 解：（ I ）圆 C 1，直线 C 2 的直角坐标方程分别为x 2+（ y ﹣2） 2=4， x+y ﹣ 4=0 ，解得 或 ，∴C 与 C 交点的极坐标为（ 4， ）．（ 2，）．12（II ）由（ I ）得， P 与 Q 点的坐标分别为（ 0， 2），（1， 3）， 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x ﹣ y+2=0 ，由参数方程可得 y= x ﹣ +1，∴，解得 a=﹣ 1，b=2 ．评论： 本题主要考察把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为一般方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．13．在直角坐标系 xOy 中， l 是过定点 P （ 4， 2）且倾斜角为 α的直线；在极坐标系（以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，取同样单位长度）中，曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ（ Ⅰ ）写出直线 l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；（ Ⅱ ）若曲线 C 与直线订交于不一样的两点 M 、 N ，求 |PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（ I ）直线 l 的参数方程为（ t 为参数）．2曲线 C 的极坐标方程 ρ=4cos θ可化为 ρ=4 ρcos θ．把 x= ρcos θ，y= ρsin θ代入曲线 C 的极坐标方程可得 x 2+y 2=4x ，即（ x ﹣ 2） 2+y 2=4．（II ）把直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）代入圆的方程可得： t 2+4（ sin α+cos α） t+4=0 ． ∵曲线 C 与直线订交于不一样的两点 M 、 N ，∴△ =16 （ sin α+cos α）2﹣ 16＞ 0， ∴sin αcos α＞0，又 α∈[0，π），∴．又 t 1+t 2=﹣ 4（ sin α+cos α）， t 1t 2=4．∴|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4|sin α+cos α|=，∵ ， ∴，∴．∴|PM|+|PN| 的取值范围是．评论：本题考察了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆订交弦长问题，属于中档题．14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2 sinθ．（Ⅰ）写出⊙ C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线 l 上一动点，当P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．剖析：2，把代入即可得出；．（I）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2 sinθ．化为ρ=2（II ）设 P ，又 C ．利用两点之间的距离公式可得|PC|= ，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（ I）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2 sin θ．2 2 2，∴ρ=2 ，化为 x +y =配方为=3．（II ）设 P ，又 C ．∴|PC|= = ≥2 ，所以当 t=0 时， |PC|获得最小值 2 ．此时 P（ 3，0）．评论：本题考察了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2订交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线 C1， C2的极坐标方程转变为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦 AB 的长度．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．剖析：（Ⅰ ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用C1的直角坐标方程．（Ⅱ ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（长度．解答：解：（Ⅰ）曲线 C2 ：（ p∈R）表示直线 y=x，2ρcosθ曲线 C1：ρ=6cosθ，即ρ=62 2 2 2所以 x +y =6x 即（ x﹣3） +y =92 2 2C2及曲线ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ=x +y ，进行代换即得曲线3，0）到直线的距离，最后联合点到直线的距离公式弦AB 的（Ⅱ ）∵圆心（ 3， 0）到直线的距离，r=3 所以弦长 AB==．∴弦 AB 的长度．评论：本小题主要考察圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴成立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆 C 的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心 C 的极坐标；（Ⅱ）当 r 为什么值时，圆 C 上的点到直线l 的最大距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的地点关系．专题：计算题．剖析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的一般方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线 C 的一般方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P 到直线 l 的距离的最大值，最后列出对于 r 的方程即可求出r 值．解答：解：（ 1）由ρsin（θ+ ） = ，得ρ（ cosθ+sin θ） =1，∴直线 l： x+y ﹣ 1=0 ．由得 C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心 C 的极坐标（ 1，）．（2）在圆 C：的圆心到直线l 的距离为：∵圆 C 上的点到直线l 的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当 r=2 ﹣时，圆C上的点到直线l 的最大距离为3．评论：本小题主要考察坐标系与参数方程的有关知识，详细波及到极坐标方程、参数方程与一般方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．17．选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程在直角坐标 xOy 中，圆 C 1： x 2+y 2=4，圆 C 2：（x ﹣ 2） 2+y 2=4．（ Ⅰ ）在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C 1， C 2 的极坐标方程，并求出圆 C 1， C 2的交点坐标（用极坐标表示） ； （ Ⅱ ）求圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程．考点 ： 简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程． 专题 ： 计算题；压轴题．剖析：（I ）利用，以及 x 2 2 2C 1， C 2 的极坐标方程，求出圆 C 1， C 2 的交点极坐标，+y =ρ，直接写出圆 而后求出直角坐标（用坐标表示） ；（II ）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，而后求出圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程．解答：解：（ I ）由 222， x +y =ρ，可知圆 ，的极坐标方程为 ρ=2，圆 ，即的极坐标方程为 ρ=4cos θ，解得： ρ=2，，故圆 C 1， C 2 的交点坐标（ 2，），（ 2， ）．（II ）解法一：由得圆 C 1， C 2 的交点的直角坐标（ 1，），（1，）．故圆 C 1， C 2 的公共弦的参数方程为（或圆 C 1， C 2 的公共弦的参数方程为）（解法二）将 x=1 代入得 ρcos θ=1进而于是圆 C 1， C 2 的公共弦的参数方程为 ．评论： 本题考察简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考察计算能力．。
(完整版)极坐标与参数方程高考习题练习含答案
欢迎阅读极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ B ）.A.C 2.ρ4=A.ρ=C.ρ= 0sin cos 2ρθθθ∴=≤≤ ⎪+⎝⎭ 所以选A 。
二．填空题1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______. 2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。
【答案】 31【解析】.C (2014陕西)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是C5 (2014天津)在以O 为极点的极坐标系中，圆θρ4sin =和直线a =θρsin 相交于,A B 两点.若ΔAOB 是等边三角形，则a 的值为___________. 解：3 圆的方程为2224x y ，直线为y a .因为AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得3a .6. (2014广东)（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿三．解答题1. (2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.(Ⅰ).直线ld =则||PA =当(sin θ当(sin θ2. (20142cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y +垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.3. （2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【答案】 （1） π∈[0,θθsin 2,θcos ，==y x （2） 03θsin ρ4-cos θ 2ρ=+ 【解析】（1）（2）4（2014 （I （II 解：圆C (2)故圆（2013）A ． C ．=()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和（2013天津数学（理））已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则|CP | =1（2013上海卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为_____152+_____ 解析：2（2013北京卷（理））在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于____1_____. 3重庆数学（理））在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,则______AB = 【答案】1642013广东（理））(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为 ， 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则切线的极坐标方程为 .【答案】x+y=2 ；sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5（2013陕西（理））C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为______ .【答案】R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 26（2013江西（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________【答案】2cos sin 0ρθθ-=7（2013湖南卷（理））在平面直角坐标系xoy中,若,3cos, :(t)C:2sin x t xly t a yϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,则常数a的值为________.【答案】38（2013湖北（理））在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为cossinx ay bθθ=⎧⎨=⎩()0a bϕ>>为参数，.)中,（2013α与β=(Ⅰ(Ⅱ9（20132C(I)12(II)设P为1C的圆心,Q为1C与2C交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为()3312x t at Rby t⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b的值【答案】10（2013福建（理））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos(4a πρθ-=,且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由点)4A π在直线cos(4a πρθ-=上,可得a =(Ⅱ)11（2013程为.【答案】0 ①12（2013新课标1（理））选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】将45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩消去参数,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得,28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=; (Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为(2,4π),(2,)2π. 【2012新课标文23】已知曲线C 1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2．正三角形ABC 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，） （Ⅰ）求点A 、B 、C 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围． 解析：【2012辽宁文23】在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。
高考极坐标与参数方程习题大全
一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。
A. 53，-⎛⎝ ⎫πB. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、4 C 、29D 、5二、填空题（每小题5分，共30分）1、点()22-，的极坐标为 。
2、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。
（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin ρθθ+=________ _____。
4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。
5、圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。
三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分）1、求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
(3)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值及此时P的直角坐标.
7.在坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin =2 .
极坐标系与参数方程
题型一与圆有关的问题
1.已知曲线C1的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 .（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
2.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈ .(1)求C的参数方程.(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
题型二 根据椭圆参数方程求最值
6.曲线C1的参数方程为 (θ为参数),将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的 倍,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.
(1)求曲线C2和直线l的普通方程.
9．以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐标为 ，若直线l的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 ，（ 为参数).
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）设直线l与曲线 交于 两点，求 .
10.在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .
极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)
专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=． （1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。
高考数学23题(极坐标与参数方程)大训练(含答案)
高考23题(极坐标与参数方程)大训练1.(1)在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动，求圆C 的极坐标方程；(2)．设直线l 经过点)3,2(πP ，倾斜角6πα=，写出直线l 的极坐标方程.2．(2009·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M 、N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求出M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．3.已知曲线C 的极坐标方程是=ρ2sin θ ，设直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）设直线l 与x 轴的交点是,M N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.4.已知曲线1C 的参数方程为210cos ,10sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=． （1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程. （2）曲线1C ，2C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．5.(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．6.(本题满分12分)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．7.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．8.(2013·高考课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．9.(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．10.（2013·福建高考理科·Ｔ21）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4,2π，直线l 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ，且点A 在直线l 上。
高考极坐标与参数方程大题题型汇总
高考极坐标与参数方程大题题型汇总本文是一篇数学题型汇总，主要涉及极坐标和参数方程。
第一题给出了一个圆的参数方程，要求求出其极坐标方程，并求出与一条直线的交点的线段长度。
第二题给出了一条直线的参数方程和一个圆的极坐标方程，要求求出该直线和圆的交点，并求出弦长。
第三题给出了一个曲线的参数方程和一条直线的极坐标方程，要求求出直线和曲线的交点，并求出弦长。
具体来说，第一题中，圆C的普通方程是$(x-1)^2+y^2=1$，转化为极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。
设点P的极坐标为$(\rho_1,\theta_1)$，则解得$\theta_1=\pi/3$，设点Q的极坐标为$(\rho_2,\theta_2)$，则解得$\theta_2=\pi/3$，$\rho_2=3$。
因此，线段PQ的长度为2.第二题中，圆M的直角坐标方程为$x+(y-3)=1$，直线$l$的普通方程为$3x+4y-3a+4=0$，将其转化为极坐标方程为$\rho(\sin\theta+\cos\theta)=1$。
设直线$l$和圆$M$的交点分别为$P$和$Q$，则由题意可知线段PQ的长度为3.因此，代入弦长公式，解得$a=12\pm\sqrt{22}$。
第三题中，曲线C的极坐标方程为$\rho=5$，直线$l$的普通方程为$x+y=\frac{1}{\sqrt{2}}$，将其转化为极坐标方程为$\rho(\sin\theta+\cos\theta)=1/\sqrt{2}$。
设直线$l$和曲线$C$的交点分别为$P$和$Q$，则由题意可知线段PQ的长度为$\sqrt{50}$。
1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta。
y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为：$x+y-1=0$。
2) 设$P(9\cos^3\alpha。
3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离$d$为：d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$$为求$d$的最大值，对$d$求导得：frac{d}{d\alpha}d=-\frac{27\cos^2\alpha\sin\alpha+9\sin^2\alpha\cos\alpha}{2\sqrt{2} }$$令其等于0，解得$\tan\alpha=\frac{1}{3}$。
(完整word版)极坐标与参数方程(近年高考题和各种类型总结)
极坐标与参数方程（近年高考题和各种类型总结）一、最近8年极坐标与参数方程题型归纳（2018）【点差法】在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (1)求C 和l 的直角坐标方程(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率（2017）【极坐标求轨迹问题】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16=⋅OP OM ，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为)3,2(π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.（2016）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB =,求l 的斜率.(2015）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.（2014）【根据极角范围求轨迹】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.（2013）【轨迹问题】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．（2012）【参数坐标求最值、范围】已知曲线1C 的参数方程是)(3s i n y 2c o s x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考极坐标与参数方程大题题型汇总1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是C 的交点为O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分(2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2.2．已知直线l 的参数方程为431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆Ma 的值．解：（1）∵2222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-⇒=-⇒+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1x y +-=；(5分）（2）把直线l的参数方程431x t ay t=-+⎧⎨=-⎩（t为参数）化为普通方程得：34340x y a+-+=，∵直线l截圆M所得弦长为，且圆M的圆心(0,3)M到直线l的距离|163|19522ad a-===⇒=或376a=，∴376a=或92a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin51cos52yx(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求曲线c的极坐标方程（2）若直线l的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。
解：(1)∵曲线c的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin51cos52yx(α为参数)∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将⎩⎨⎧==θρθρsincosyx代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ即曲线c的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ(2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c到直线l的距离为d=22=2∴弦长为225-=234．已知曲线C：2219xy+=，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=（1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.解：（1）曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的直角坐标方程为20x y -+= （2）设(3cos ,sin )P αα，P 到直线l的距离d =ϕ为锐角，且1tan 3ϕ=）当cos()1αϕ+=时，P 到直线l的距离的最大值max d =5．设经过点(1,0)P -的直线l 交曲线C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)于A 、B 两点．（1）写出曲线C 的普通方程；（2）当直线l 的倾斜角60α=时，求||||PA PB +与||||PA PB ⋅的值．解：（1）C ：22143x y +=．（2）设l：112x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）联立得：254120t t --=1216||||||5PA PB t t +=-==，1212||||||5PA PB t t ⋅==6．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB⋅．解：（1）直线l的参数方程为1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为θρsin 6=. （2）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +--=，127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅=7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为)4ρθπ=+.（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，试求11PA PB+的值.解：（1）由)4ρθπ=+，展开化为2(cos sin )4(cos sin )2ρρθρθρθρθ=-=-，将代入,得22440x y x y +-+-， 所以，圆C 的直角坐标方程是22440x y x y +-+-. cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）把直线l的参数方程2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入圆的方程并整理，可得：240t +-=. 设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121240t t t t +=-⋅=-<，所以12t t -==∴121212111142t t PA PB t t t t -+=+===⋅.8．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）求曲线1C 的标准方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．解：（1）曲线1C 的标准方程是：22194x y +=（2）曲线C 的标准方程是：2100x y +-= 设点(3cos ,2sin )M αα，由点到直线的距离公式得：)10d αϕ==--其中34cos ,sin 55ϕϕ==0αϕ∴-=时，mind =98(,)55M9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1y x --=交于A ，B 两点. （1）求AB的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，（t 为参数），代入曲线C 的方程得24100t t +-=．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-=（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)-，， 所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t +=-，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM =．10．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。
解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即12112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（2）把直线12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x 得2221(1)(1)4,1)202t t t ++=+-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为211．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．解：(1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)，M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆，易得|RP |的最小值为1.12．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．解： (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．。