小波变换原理与应用
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co 2 fs)t(jsi2 n f)(t
即信号是由一些不同频率的正弦项叠加起来的，
如果信号中频率为f的分量幅度较大，那么这个分量就
和正弦项重叠，他们的即就比较大，这表明信号有一
20个21/3频/11率为f的主要分量。
4
信号一 cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*100*t)+ cos(2*pi*50*t)
2.3 几种常用小波
（1） Haar小波 A.Haar于1990年提出一种正交函数系，定义如下：
1 0 x 1/ 2
H 1 1/ 2 x 1
0 其他
2021/3/11
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（2）Meyer函数
Meyer小波函数 和尺度函数都是在频域中进
行定义的，是具有紧支撑的正交小波。
wenku.baidu.com
2
e -1/2 j/2
信号二
2021/3/11
5
对上面两个信号进行FT后得到的频域图 信号一
由于这个信 号的频率分 量一直保持 不变，我们 将此类信号 称之为平稳 信号
信号二
非平稳信号
2021/3/11
6
由上面两个频域图可以看出傅里叶变换只能给出信 号的频谱分量，而无法给出相应的频谱分量的出现时间 ，当我们想知道频率分量出现的确切时间时，傅里叶变 换对于非平稳信号是不合适的。而且现实中几乎所有的 生物信号都是非平稳的。那么我们应该怎样将时间信息 加到频率图中去呢？这时我们可以考虑将部分非平稳信 号看成平稳信号。
20b2为1/3/1时1 间平移因子。
13
2.2.2离散小波变换
W fa ,b f t,a ,b t
将a,b离散化，令 a2j,b2jk,j,k Z ，可以得 到离散小波变换：
D fW j ,k ft ,j,k t
其中：
j
j,kt222jtk， j,kZ
2021/3/11
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9
2021/3/11
加窄窗之后对应的 STFT，可见有较好 的时间分辨率，但 是频率分辨率很差。
加较宽窗之后对应 的STFT，可见有较 好的频率分辨率， 但是时间分辨率很 差。
10
2.1 小波的发展历史——工程到数学
1807: Joseph Fourier——FT，只有频率分辨率而没有时 间分辨率
Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献
在信号处理领域中，自从Inrid Daubechies完善了小波 变换的数学理论和Stephane Mallat构造了小波分解和重 构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了 广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、 图像信息处理等
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波
1945: Gabor——STFT
1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代 提出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续 小波变换CWT（ continuous wavelet transform ）
1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波
2021/3/11
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2.2.1 连续小波变换
如果函数 x满足以下容许性条件：
2
C d
则称 x为一容许性小波，并定义如下的积分变
换：
W fa ,b a 1 2fx xa b d,fx x L 2R 以上积分变换为 f x以 x为母小波的积分连
续小波变换，a为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，
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2
主要内容
一、FT和STFT 二、小波变换 三、小波变换在图像处理中的应用
2021/3/11
3
1.1 傅里叶变换（FT）
FT：S(f)s(t)ej2fd t t
IFT：s(t) S(f)ej2fd t f
通过上述FT公式可以发现，信号的频域是一些指数 项的累加和，每个指数项对应特定的频率，然后在整个 时域整合起来。其中指数项可以用以下的表达式表示：
sin2v23
1
2 4
3
3
2-1/2ej/2
cos2v23
1
4 8
3
3
0 [2,8]
33
其中，va为构造函数Meyer的辅助函数，且有：
2 -1/2
2 3
2
1/
2
c
os
2
v 3 2
1
2 4
3
3
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0
4
3
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（3）其他常用小波
① Daubechies(dbN)小波系 ② Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系 ③ Symlets(symN)小波系 ④ Morlet(morl)小波 ⑤ Coiflet(CoifN)小波系
小波变换原理与应用
2021/3/11
学院：电子信息工程学院 专业：xxx 姓名：
时间：2016年3月26号 1
为什么需要要对信号进行变换
原始信号有一些信息是很难获取的，为了获得更多的 信息，我们需要对原始信号进行数学变换。从而获得 更多的信息。例如生活中常见的心电图，在心电图的 时域信号中一般很难找到这些病情，所以心脏病专家 一般用记录在磁带上的时域心电图来分析心电信号， 从而确定病症是否存在。
2021/3/11
8
如果我们有一个无限长的窗口，然后做傅里叶变换， 会得到完美的频率分辨率，但是结果中不包含时间 信息。更进一步为了获得信号的平稳性，我们需要 一个宽度足够短的窗函数，窗口越短，时间分辨率 越高，信号的稳定性越高，但是频率分辨率却越来 越低。
窄窗=高时间分辨率，低频率分辨率 宽窗=高频率分辨率，低时间分辨率
2021/3/11
7
1.2STFT
STFT: ST X ()(F t,f)T [x (t)• (t t')• ]e j2 fd t t
t
STFT只不过是对乘了一个窗函数的信号做傅里叶变换， 以此得到在某段时间内的频率信息。 根据海森堡测不准原理，在STFT中由于窗口长度有限， 它仅仅覆盖了信号的一部分，因此导致频率分辨率较 差，即我们不能确切的知道信号中那些频率分量存在， 只知道那些频段的分量存在。
1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解 和重构算法）
2021/3/11
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小波的发展历史——工程到数学
1988： Inrid Daubechies作为小波的创始人，揭示了小 波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系，使离 散小波分析变成为现实
即信号是由一些不同频率的正弦项叠加起来的，
如果信号中频率为f的分量幅度较大，那么这个分量就
和正弦项重叠，他们的即就比较大，这表明信号有一
20个21/3频/11率为f的主要分量。
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信号一 cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*100*t)+ cos(2*pi*50*t)
2.3 几种常用小波
（1） Haar小波 A.Haar于1990年提出一种正交函数系，定义如下：
1 0 x 1/ 2
H 1 1/ 2 x 1
0 其他
2021/3/11
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（2）Meyer函数
Meyer小波函数 和尺度函数都是在频域中进
行定义的，是具有紧支撑的正交小波。
wenku.baidu.com
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e -1/2 j/2
信号二
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对上面两个信号进行FT后得到的频域图 信号一
由于这个信 号的频率分 量一直保持 不变，我们 将此类信号 称之为平稳 信号
信号二
非平稳信号
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由上面两个频域图可以看出傅里叶变换只能给出信 号的频谱分量，而无法给出相应的频谱分量的出现时间 ，当我们想知道频率分量出现的确切时间时，傅里叶变 换对于非平稳信号是不合适的。而且现实中几乎所有的 生物信号都是非平稳的。那么我们应该怎样将时间信息 加到频率图中去呢？这时我们可以考虑将部分非平稳信 号看成平稳信号。
20b2为1/3/1时1 间平移因子。
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2.2.2离散小波变换
W fa ,b f t,a ,b t
将a,b离散化，令 a2j,b2jk,j,k Z ，可以得 到离散小波变换：
D fW j ,k ft ,j,k t
其中：
j
j,kt222jtk， j,kZ
2021/3/11
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2021/3/11
加窄窗之后对应的 STFT，可见有较好 的时间分辨率，但 是频率分辨率很差。
加较宽窗之后对应 的STFT，可见有较 好的频率分辨率， 但是时间分辨率很 差。
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2.1 小波的发展历史——工程到数学
1807: Joseph Fourier——FT，只有频率分辨率而没有时 间分辨率
Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献
在信号处理领域中，自从Inrid Daubechies完善了小波 变换的数学理论和Stephane Mallat构造了小波分解和重 构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了 广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、 图像信息处理等
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波
1945: Gabor——STFT
1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代 提出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续 小波变换CWT（ continuous wavelet transform ）
1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波
2021/3/11
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2.2.1 连续小波变换
如果函数 x满足以下容许性条件：
2
C d
则称 x为一容许性小波，并定义如下的积分变
换：
W fa ,b a 1 2fx xa b d,fx x L 2R 以上积分变换为 f x以 x为母小波的积分连
续小波变换，a为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，
2021/3/11
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主要内容
一、FT和STFT 二、小波变换 三、小波变换在图像处理中的应用
2021/3/11
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1.1 傅里叶变换（FT）
FT：S(f)s(t)ej2fd t t
IFT：s(t) S(f)ej2fd t f
通过上述FT公式可以发现，信号的频域是一些指数 项的累加和，每个指数项对应特定的频率，然后在整个 时域整合起来。其中指数项可以用以下的表达式表示：
sin2v23
1
2 4
3
3
2-1/2ej/2
cos2v23
1
4 8
3
3
0 [2,8]
33
其中，va为构造函数Meyer的辅助函数，且有：
2 -1/2
2 3
2
1/
2
c
os
2
v 3 2
1
2 4
3
3
2021/3/11
0
4
3
16
（3）其他常用小波
① Daubechies(dbN)小波系 ② Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系 ③ Symlets(symN)小波系 ④ Morlet(morl)小波 ⑤ Coiflet(CoifN)小波系
小波变换原理与应用
2021/3/11
学院：电子信息工程学院 专业：xxx 姓名：
时间：2016年3月26号 1
为什么需要要对信号进行变换
原始信号有一些信息是很难获取的，为了获得更多的 信息，我们需要对原始信号进行数学变换。从而获得 更多的信息。例如生活中常见的心电图，在心电图的 时域信号中一般很难找到这些病情，所以心脏病专家 一般用记录在磁带上的时域心电图来分析心电信号， 从而确定病症是否存在。
2021/3/11
8
如果我们有一个无限长的窗口，然后做傅里叶变换， 会得到完美的频率分辨率，但是结果中不包含时间 信息。更进一步为了获得信号的平稳性，我们需要 一个宽度足够短的窗函数，窗口越短，时间分辨率 越高，信号的稳定性越高，但是频率分辨率却越来 越低。
窄窗=高时间分辨率，低频率分辨率 宽窗=高频率分辨率，低时间分辨率
2021/3/11
7
1.2STFT
STFT: ST X ()(F t,f)T [x (t)• (t t')• ]e j2 fd t t
t
STFT只不过是对乘了一个窗函数的信号做傅里叶变换， 以此得到在某段时间内的频率信息。 根据海森堡测不准原理，在STFT中由于窗口长度有限， 它仅仅覆盖了信号的一部分，因此导致频率分辨率较 差，即我们不能确切的知道信号中那些频率分量存在， 只知道那些频段的分量存在。
1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解 和重构算法）
2021/3/11
11
小波的发展历史——工程到数学
1988： Inrid Daubechies作为小波的创始人，揭示了小 波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系，使离 散小波分析变成为现实