奥数整除问题

奥数整除问题

奥数整除问题

整除

求1~1000能被2，3，5中至少一个整除的数的个数。

解答：1~1000中能被2整除的数有[1000÷2]=500个;能被3整除的数有[1000÷3]=333个;能被5整除的数有[1000÷5]=200个。若得500+333+200=1033>1000，原因是计算有重复，比如12在被2整除与被3整除的数中都计算了，也就是被2×3=6整除的数计重复了，同理2×5=10，3×5=15也被重复计数了，应当减去。但是被2×3×5=30整除的数又被减重复了，需要找回。可用容斥原理求得

[1000÷2]+[1000÷3]+[1000÷5]-

([1000÷6]+[1000÷10]+[1000÷15])+[1000÷30]

=500+333+200-(166+100+66)+33=734(个)

我们知道，2、4、6、8、10、……都是能被2整除的整数.如果在这些数之间作和运算或差运算：

2+4=6，4+6=10，6+8=14，

2+6=8，4+8=12，6+10=16，

2+8=10，4+10=14，…………

2+10=12，…………

…………

2+4+6=12，

2+4+6+8=20，

2+4+6+8+10=30，

4-2=2，6-4=2，8-6=2，

6-2=4，8-4=4，10-6=4，

8-2=6，10-4=6，…………

10-2=8，

…………

我们发现，它们之间的和或差也都能被2整除.因此，我们有理由猜想：能被2整除的数之间的和或差也能被2整除.

我们还知道，3、6、9、12、15、……都是能被3整除的数.如果在这些数之间作和运算或者差运算：

3+6=9，6+9=15，9+12=21，

3+9=12，6+12=18，9+15=24，

3+12=15，6+15=21，………

3+15=18，…………

………

3+6+9=18，

3+6+9+12=30，

3+6+9+12+18=48，

………

6-3=3，9-6=3，12-9=3，

9-3=6，12-6=6，15-9=6，

12-3=9，15-6=9，………

15-3=12，………

这些运算的结果也都能被3整除.因此，我们又有理由猜想：能被3整除的数之间的和或差也能被3整除.

有了前面的两点猜想，我们似乎可以作更大胆的猜想：如果有一些数能被某个数整除，那么，这些数之间的和或差也一定能被某个数整除.

【规律】

如果有整数A、B、C、……都能被整数m整除，那么，就有

A±B±C±……

的结果也能被m整除.

事实上，整数A、B、C、……都能被整数m整除，那么，这些整数就可以分别写成m的倍数形式：

A=a?m，B=b?m，C=c?m，……

（其中a、b、c仍为整数）.这样

A±B±C±……

=a?m±b?m±c?m±……

=（a±b±c±……）?m.

显然，后面的结果是m的倍数，能被m整除.这就说明了原式

A±B±C±……

也能被m整除.猜想是正确的.

【练习】

运用上面的规律你能判断出下面哪些算式的得数能被2、3或5整除.

（1）123456789×1991+987654321；

（2）987654321×1992-123456789；

（3）2+4+6+……+1998+20xx；

（4）5000-4998+4996-4994+……+4-2；

（5）1×2+3×4+5×6+……+99×100；

（6）1×2×3+4×5×6+7×8×9+……+97×98×99；

（7）

1×2×3×4×5+6×7×8×9×10+11×12×13×14×15+……+96×97×98×99×100；

（8）19921+19922+19923+ (19922000)

数的整除性规律

【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除

【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。

例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24

3|24，则3|1248621。

又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27

9|27，则9|372681。

【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。

例如，

173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。

43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。

【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。

例如，

32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被

125整除。

3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。

214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。

【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的`数，与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小

的差)能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。

例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数

是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。

又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的

数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13|221，则

13|1095874。

再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即11|99，则11|868967。

此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：一个数，当

且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差(大减小)

能被11整除时，则这个数便能被11整除。

例如，4239235的奇数位上的数字之和为4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，0÷11=0，即11|0，

则11|4239235。

从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右

1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留

下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，