高等教育大学本科课件 材料力学 第3章 轴向拉压变形

0 EA
2EA
+ x
l FNi li FN ( x) dx EA l EA
Page10
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
例：杆绕CD轴匀速转动，求杆的总伸长。
l
C
dF ( ) 2(l )dm 2(l ) Ad
x
d
FN(x)
x
x
D FN ( x) 0 dFN ( ) x 2(l ) Ad
步骤：1、分解载荷；
2、分段求变形；
2、求每种载荷作用下整
3、求代数和。
杆的变形；
3、叠加。
分段求变形
l FNi li FN ( x) dx EA l EA
叠加法
l FN (Fi ) li
EA
Page13
BUAA
两种方法的适用条件：
MECHANICS OF MATERIALS
—分段求变形法 对每一段独立求变形，然后在相加 —— 要求小变形条件
当退化到各向同性弹性体时得到两个弹性常数。但柯 西认为纳维的单常数理论才是正确的。
1829年，泊松用纳维—柯西方法讨论板的平衡问题 时
指出，各向同性弹性杆受到单向拉伸，产生纵向应 变，同时会联带产生横向收缩，此横向应变为-x， 并证明=1/4。纳维—柯西—泊松的单常数理论
Page5
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
Page7
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
常见材料的性能参数
对于各向同性材料，弹性模量E、泊松比 与剪切模量G
存在如下关系：
G E
2(1 )
Page8
BUAA
例题
MECHANICS OF MATERIALS
A (D2 d2) 4
A (D2 d 2 )(1 )2 4
Page2
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
F
F
b
b1
l l1
➢ 拉压杆的轴向变形与胡克定律
l ~ FN
F FN
AA
l
l
E
l FN l
EA
拉压刚度
Page3
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 拉压杆的横向变形与泊松比
F
F
b
b1
l l1
b b1 b
1833年，格林研究电磁波在弹性介质表面上的反射 与
折射时，首次用能量法证明，各向同性弹性材料的应 变许能多函人数进中行应试当验包来括验两证个泊弹松性比常为数1/。4的理论结论
维尔泰姆(1848)：试验结果表明接近1/3； 基尔霍夫(1859)：测出了三种钢材和两种黄铜， 1/4； 科尔纽(1869)：光学干涉法测出玻璃=0.237;
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
第三章 轴向拉压变形
§3-1 引言 §3-2 拉压杆的变形与叠加原理
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§3-2 拉压杆的变形与叠加原理
F
F
b
b1
l l1
杆件受轴向载荷时，其轴向与横向尺寸均发生变化。
纵向变形：杆件沿轴向或载荷方向的变形 横向变形：垂直于轴向或载荷方向的变形
l FN l
EA
l
FNi li FN ( x) dx EA l EA
—叠加法
对每种载荷情况独立求解，然后将作用效果相加 —— 要求线弹性、小变形
Page14
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 从数学上理解叠加法
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 ) ？f ( x1 x2 )
1879年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松 比是独立的材料常数，否定了单常数理论。
Page6
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 关于横向变形的两点说明
F
F
b
b1
l l1
横向应变中的横向：横截面上任意一点沿面内任意方向
P
P
外径D和内径d如何变化？
泊松比：对于大多数各向同性材料0<<0.5 铜泡沫： =-0.39
EA
几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作 用产生的效果的总和
Page12
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 两种方法的对比
P
3P
A
B
C
l FN l
EA
—分段求变形
—叠加原理
方法：分段求变形，将每段变形相加。
方法：分解载荷，将载荷作用效 果相加。
步骤：1、分段求轴力；(截面法)
P
精确分析方法：
1、轴力难以分析；
A
2、节点位置难以确定。
f ( x) kx
l ~ FN
F FN
AA
l FN l
EA
l
l
E
l FN l
EA
当函数是线性齐次函数时，叠加原理成立
1、线弹性：物理线性——应力与应变的关系 2、小变形：几何线性——用原始尺寸进行受力分析
(几组外力之间没有耦合作用)
Page15
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
作业：3-2, 3-4, 3-8
Page16
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
本讲内容
第三章 轴向拉压变形
§3-3 桁架的节点位移 §3-5 拉压静不定问题
Page17
BUAA
B
C B
C
MECHANICS OF MATERIALS
§3-3 桁架的节点位移
已知各杆EA, lAC, 角。求 节点A的位移 A
b
b
横向正应变
试验表明：在比例极限内，横向正应变与轴向正应变成正比
一般 与 符号相反。
定义：
泊松比
Page4
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 关于泊松比
1821年，纳维首次用分子理论研究各向同性弹性体 的 平1衡82问5题年，，其柯基西本把方纳程维中的只理包论含推一广个到弹各性向常异数性。弹性体，
0wenku.baidu.com
l l FN ( x) dx 0 E( x) A( x)
Page11
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 叠加原理（力的独立作用原理）
P
3P
例：AB段和BC段的长度均为l，拉
A
B
C 压刚度为EA，求杆的总伸长。
P
A
B
C
l1
P 2l EA
l Pl
A
3P
B
C
l2
3 Pl EA
Page9
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 多力杆的变形
P
3P
A
B
C
l FN l
EA
分段求变形法
例：AB段和BC段的长度均为l，拉 压刚度为EA，求杆的总伸长。
P +
-
l Pl 2Pl Pl
2P
EA EA
EA
q
求dx段的变形
x
ql
FN(x)=qx
l l FN ( x)dx ql 2