10.第十课_乘法公式

乘法公式

教学目标：

1.掌握平方差公式的推导及应用.

2. 理解并掌握完全平方公式的推导过程。

3. 灵活应用平方差公式、完全平方公式进行计算.

4. 体验归纳添括号法则.

教学重难点：

重点：1.掌握平方差公式的推导及应用。

2. 理解并掌握完全平方公式的推导过程。

3.体验归纳添括号法则.

难点：1.掌握平方差公式的推导及应用。

2. 理解并掌握完全平方公式的推导过程。

教学过程：

设疑导入：

某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.

探究新知：

一、平方差公式

活动一：

带领学生复习，多项式与多项式相乘的法则。

让学生动手计算下列多项式的积，观察计算结果的特点，发现其中的规律

①(x＋1)( x–1)；

②(m＋2)( m–2)；

③(2m＋1)(2m–1)；

④(5y＋z)(5y–z).

师生共同总结归纳：

平方差公式：

(a+b)(a−b)= a2−b2

两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.

公式变形：

1.(a – b ) ( a + b) = a2–b2

2.(b + a )( –b + a ) = a2–b2

提示：

1.公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项

式或者多项式；

2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另

一项互为相反数；

3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方。

活动二：

动手完成填一填，注意提示符号的变化。

口答做一做，要求快问快答。

通过以上基本训练之后，让学生完成例题。

例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ；

(2)(–x+2y)(–x–2y).

注意提示：（1）当相同项带有“负号”时，展开之后必须用括号括起来。

二、完全平分公式

活动一：

探究：一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.

让学生通过两种方式求试验田的总面积。

直接求：总面积=(a+b)(a+b)

间接求：总面积=a2+ab+ab+b2

问题1：你有什么发现？（无论哪种求法，总面积是一样的）(a+b)2=a2+2ab+b2

这个式子是不是一定成立的呢？我们用多项式的乘法法则来计算一下下列多项式的积：

(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=

(2)(2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= .

(3)(3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= .

(4)(4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= .

根据计算结果，你发现了什么？

归纳总结，完全平分公式：

(a+b)2= a2+2ab+b2

(a –b )2= a 2–2ab +b 2

也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 口诀：“首平方，尾平方，积的2倍放中央” 。

活动二：

观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：

(1) 说一说积的次数和项数.（积为二次三项式）

(2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a ，b 有什么关系？（积中两项为两数的平方和）

(3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a ， b 有什么关系？它的符号与什么有关？

例2 运用完全平方公式计算：

(1)(4m +n )2 (2)

例3 已知x –y ＝6，xy ＝–8.

求:(1) x 2＋y 2的值； (2)(x +y )2的值.

提示：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：

x 2＋y 2＝(x –y )2＋2xy ＝(x+y )2–2xy ，(x –y )2＝(x+y )2–4xy .

三、添括号法则

让学生自己回顾去括号法则

a +(

b +

c ) = a +b +c ;

a – (

b +

c ) = a – b – c .

问题1：将下列式子添括号变形

212y ⎛⎫- ⎪⎝⎭

a+b+c= a–b–c=

让学生自由发言，老师总结：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).

例4 运用乘法公式计算:

(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ; (2) (a+b+c)2.

巩固提高：

1. 利用完全平方公式计算：

(1)(5–a)2；(2)(–3m–4n)2；

(3)(–3a＋b)2.

2.填空

(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____.

(2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，

则k=______

(3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______.

课堂小结：

说一说平方差公式内容，运用它的时候要抓住什么特征？有哪些可能出现的形式？

说一说完全平方公式的内容，它有哪些地方需要注意。

注意完全平方公式有几种常见的变形

a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab; 4ab=(a+b)2–(a–b)2.