北师大版七年级数学幂的运算(基础)知识讲解(含答案)

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七年级下册幂的知识点总结

七年级下册幂的知识点总结幂是初中数学中的重要知识点之一，它在解决各类问题时都有极高的实用价值。

本文将详细总结七年级下册幂的知识点，同时附带一些解题技巧和练习题，希望对于初学幂的同学有所帮助。

一、幂的概念及表示方法幂是由底数和指数两个数字组成的一个数学表达式，它表示了底数连乘若干次的结果。

例如，2³表示2连乘3次的结果，即2×2×2，结果为8。

在数学中，我们用“aⁿ”来表示幂，其中a表示底数，n表示指数。

如果指数n为正整数，我们称aⁿ为“a的n次幂”，如果n为零，a⁰ =1，若a不为零，零的幂未定义。

如果n为负整数，则aⁿ还可以表示为“1/a的n次幂”。

二、幂的基本运算1. 幂的乘法：幂的乘法规则是：aⁿ×aᵐ= aⁿ⁺ᵐ。

即，将底数相同的幂相乘时，底数不变，指数相加。

2. 幂的除法：幂的除法规则是：当同底数的幂相除时，保留底数，将指数相减，即aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ。

3. 幂的乘方：幂的乘方规则是：(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ。

即，先将幂底数a 转化为一次幂，再将指数进行运算。

三、幂的运算技巧1. 化幂为指数：如果一个幂的底数和指数都可以 factor，可以尝试将其化为指数形式进行运算。

例如：4⁶×2⁴×4² = (2²)¹²×2⁴×2⁴ = 2²⁴×2⁴ = 2³²2. 化指数为幂：如果运算式中的指数较大，可以尝试将其化为幂的形式进行计算。

例如：27²×81² = (3³)²×(3⁴)² = 3²¹×3²⁸ = 3⁴⁹四、练习题1. 计算：3³×9⁴÷27³2. 计算：8⁵÷4⁵×(2⁴)³3. 若a⁷×a⁶=a¹³，那么a=?5. 计算：(5²)³×(5³)²÷5⁴答案：1. 1解答：3³×9⁴÷27³ = 3³×(3²)⁴÷(3³)³ = 12. 64解答：8⁵÷4⁵×(2⁴)³ = 2³×2¹² = 643. a=1解答：a⁷×a⁶=a¹³，等价于a⁷⁺⁶=a¹³，即a^13=a^13，则a=1。

初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习(含答案)

初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习【知识点梳理】1．有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．n 一般地，，叫做底数，叫做指数，叫做幂。

n n a a a a a ⋅⋅⋅= 个a n n a 读作“的次幂”或读作“的次方”．n a a n a n 【注意】(1)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算的结果．(2)一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如5就是，就是，指数是1通常省略15a 1a 不写．2．有理数幂的符号法则(1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．(3)特别地，．()11,00n n n ==为正整数【注意】“负幂”与“负数的幂”区别：“负幂”例如表示的相反数，其结果为负数．“负51()2-51()2数的幂”例如，结果要看指数，即负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数．1()2n -3．有理数的混合运算一个算式里含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中的两种或两种以上的运算，称为有理数的混合运算．【注意】加法、减法、乘法、除法有各自的运算法则，也有各自的运算技巧，减法可以统一成加法，除法可以统一成乘法，加法与乘法还有各自的运算律，乘方是乘法的特例，也有自己的符号法则，同时也要考虑整体的符号关系以及简便算法．4．有理数的混合运算顺序(1)先乘方，再乘除，最后加减．(2)同级运算，从左到右依次进行．(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．【注意】(1)在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下，学习混含运算，首先应注意的就是运算顺序的问题．(2)通常把六种基本的代数运算分成三级：第一级运算是加和减，第二级运算是乘和除，第三级运算是乘方和开方（以后学习）．运算顺序的规定是先算高级运算，再算低级运算，同级运算在一起，按从左到右的顺序计算．对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．(3)括号前带负号，去括号后要将括号内的各项都要变号，即．()(),a b a b a b a b -+=----=-+5．科学记数法把一个数写成（其中，是正整数）的形式，这种记数法称为科学记数10n a ⨯110a <≤n 法．【注意】(1)科学记数法是一种特定的记数方法，应明白其中包含的基本原理及其结构，即要掌握形式的结构特征：，为正整数，且值等于原数的整数位数减1．10n a ⨯110a <≤n n (2)在把用科学记数法表示的数还原为原数时，根据其基本原理和结构，把的小数点向右a 移动位，中数字不够时，用补足．n a 0【典型例题讲解】【例1】计算：．2007200812()2⨯-【分析】直接进行各自的乘方运算非常困难，但根据乘方的意义可得．共200722222=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯2007个2相乘，2008200811()()22-=2007112008200722111111111222222222=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯个个（）利用乘法交换律和结合律，把2007个2与结合在一起相乘，利用互为倒数即可求出数12值．【解析】2007200812()2⨯-20072008122=⨯（）．20072007200711111222222=⨯⨯⨯⨯=（）（）=（2）【方法总结】此题主要应用互为倒数、乘法运算律及乘方的意义进行计算，事实上我们不难发现，当与互为倒数时，其值为1．计算时要注意符号的问题．多加理解与练()m m m a b ab = a b 习，最好能达到一看题目就可以得出结果的程度．【借题发挥】计算：、．2010201115()5⨯-200920102 2.55⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【解析】．20102010201111115()55555⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯-⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．200920092009201020102252552.5 2.5552522⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯=-⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【例2】计算：．22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算，分清计算的先后顺序，还要注意去括号的时候要注意符号．【解析】22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦[]135(13)435(1253)40.04⎡⎤=---+-⨯÷=---+-⨯÷⎢⎥⎣⎦[][]35(175)435(74)4=---+-÷=---+-÷．[]35(18.5)3(23.5)20.5=---+-=---=【借题发挥】计算：()()[]2243225.02115.01--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+-【解析】原式＝()[]()()2411110.52910.571167554162⎛⎫⎛⎫-+-÷⨯-=-+-÷⨯-=-+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例3】已知，，求的值．12x =-13y =-432231x y x --【分析】把，的值分别代入要求的式子，按有理数混合运算顺序进行计算．x y 【解析】把，代入，得12x =-13y =-432231x y x -- 原式43211112()3()23()231627111()124⨯--⨯-⨯-⨯-==---11114141789()3893627544-==+⨯=+=【方法总结】此类题一方面代入要准确，即负数或分数代入时一般加上小括号，另一方面代入后计算必须准确，最后结果是分数时一定是最简分数．【借题发挥】求当时，代数式的值．2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y--+++-【解析】将带入，得2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y --+++-原式＝．()()()()()()()()()()2222221222113114221531521⨯-----⨯-⨯-+--+=+=⨯-+-----【例4】(1)补充完整下表：1323334353637383392781(2)从表中你发现3的方幂的个位数有何规律？(3)3251的个位数是什么数字？为什么？【分析】幂的个位上的数字3、9、7、l 交错重复出现，即每隔四个数，个位数字就重复一次，所以用251除以4所得的余数来确定．【解析】(1)132333435363738339278124372921876561(2)个位上的数字为3、9、7、1交错重复出现．(3)的个位数是7，因为除以4的余数是3．是重复出现时的第三个数．2513251【方法总结】此类题一般都是通过写出一些简单的幂，通过这些幂的结果总结出末位出现数字的种类及循环规律，进一步把指数按循环数进行分解，通过剩余指数求得最后答案．【借题发挥】的个位数是，的个位数是，253263的个位数是，的个位数是．273283【解析】3,9,7,1．【例5】怎样比较，，的大小呢？553444335【解析】本题如果通过硬算，数字太大，不可能，因此要观察此三个数的特点，经观察，我们发现55、44、33存在着最大公因数11，不妨利用这一点以及乘方的定义来入手解题．具体过程如下：5511115533333(33333)243=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 个344111144444444(4444)256=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 个．33111133555555(555)125=⋅⋅⋅=⨯⨯= 个因为,所以256243125>>111111256243125>>即．445533435>>【借题发挥】1．试比较的大小．443322234、、【解析】因为：，则，即()()()111111444113331122211221633274416======，，11111627<．442233243<=2．你能比较和的大小吗？2004200320032004 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和1n n +(1)n n +的大小（是自然数）．然后，我们从分析…这些简单情形人手，从中发现规n 1,2,3,n n n ===律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算．比较下列各组中两个数的大小（填“>”，“<”或“”）．- ①___；②____；③ ；④____；⑤ ；…21123223433454456556 (2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是．1n n +(1)n n + (3)根据上面归纳猜想后得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：．2004200320032004【解析】经计算与分析可推出结论：当时，＜；当时，＞．3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞ (2) 当时，＜；当时，＞3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(3)＞．(2)【借题发挥】比较下面各对数的大小：___；；．211243342010200920092010【解析】＜；＞；＞．【例6】比较与的大小．109.99810⨯111.00110⨯【分析】二者是用科学记数法表示的数，一方面可以把它们化成原数，通过比较原数大小来比较这两个数的大小；另一方面也可以把它化为相同指数，通过比较前面数（即）的大小来比a 较二者大小．【解析】解法一：，109.9981099980000000⨯=.111.00110100100000000⨯= 又,100100000000>99980000000．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯ 解法二：,1110101.001l01. 0011010 10.0110⨯=⨯⨯=⨯ 又，10.019.998> ．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯【方法总结】解法一是常规方法，但书写起来很麻烦，易出现错误；方法二较巧妙地转化了，容易比较大小．11101.0011010.0110⨯=⨯【借题发挥】试比较：和．20099.9810⨯20101.0510⨯【解析】．2010200920091.051010.5109.9810⨯=⨯>⨯【例7】定义“”“”两种运算，对于任意的两个数、，都有，○+○－a b a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-．求[()()]的值．4○－3○+5○+6○－2【分解】按规定的“”与“”进行各自的运算，运算时先算士括号里的，再算中括号里的．○+○－【解析】由，，得a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-[()()]4○－3○+5○+6○－2[()()]4=○－351+-○+621⨯-()()4=○－7○+114=○－7111+-．4=○－174=⨯171-67=【方法总结】此类题按规定的运算关系进行计算，首先要读懂表达式的含义，会套用公式，计算时注意符号关系及准确性外，还要注意运算的先后顺序．【借题发挥】“△”表示一种新的运算符号，其意义是对于任意，都存在△，如果△△a b a b 2a b =-x (1,则．3)2=x =【解析】由△，得△△,即，则，所a b 2a b =-x (13)2=()()21312x x ⨯-=-=△△()212x --=以．12x =【例8】若尺布可做件上衣，则尺布能做多少件这样的上衣？619【解析】第题按计算件，但实际情况是只能做件，所以只能舍，不能入；961.5÷=105．【借题发挥】若每条船能载个人，则个人需要几条船？310【解析】按计算，但实际情况是条船不够，需要4条船，所以在这里应该入，取1103=33÷3134．【方法总结】在实际问题中，经常对药对一些数位上的数进行取舍，有的要求进行四舍五入，有的则按生活及生产实际进行取舍，千万不能遇及以上的数就入，遇以下的数就舍．555【随堂练习】1．计算：．2008(1)-=【答案】1．2．计算：．20102010201020104(0.25)(1)1-+-+= 【答案】原式＝．201020102010201014()(1)111114-+-+=-++= 3．若，则．21(2)0a b ++-=20102009()a b a ++=【答案】由题意知得，代入原式可求结果为：0．1020a b +=⎧⎨-=⎩12a b =-⎧⎨=⎩4．如果那么的值为．214,,2x y ==222x y -【答案】．222112243122x y -=⨯-=5．现有一根长为1米的木条，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，照此截下去，那么六次后剩下的木条为米．【答案】第一次截后剩下米，第二次后剩下米，第三次后剩下米，由此推下1221142⎛⎫= ⎪⎝⎭312⎛⎫ ⎪⎝⎭去，第次后剩下米．所以六次后剩下的木条为（米）．n 12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭611264⎛⎫= ⎪⎝⎭6．计算：（1）；（2）；（3）321()(1)33-÷-232(3)-⨯-32221(0.2)(1).3(0.3)-⨯÷-【答案】（1）；（2）108；（3）．290.002-7．（1）. （2）.451132131511÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯()1452515213⨯-÷+-（3）. （4）.()3432322⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-÷-()()()3428102-⨯---÷+-（5）.()[]2345.0813231325.01-----⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---（6）.()54436183242113÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）225-347-1111620-11147224-8．利用乘方的有关知识确定的末两位数字．20076【答案】9．已知“三角”表示运算“”，“正方形”表示的运算是“” ，试计a b c -+d f g e -+-算的值．【答案】原式＝．()()()199649551996281474116-+⨯-+-=-⨯=-9．计算：．111111111248163264128256512++++++++【答案】原式＝11111111111122448816128256256512⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．151********-=10．光年是天文学中使用的距离单位，指的是光在真空中经历一年所走的距离，若真空中光的速度为千米／秒，用科学记数法表示l 光年是多少？（1年按天计算）300000365【答案】已知：千米／秒，（秒）．300000v =365243600t =⨯⨯ 由（千米）．300000365243600s vt ==⨯⨯⨯9460800000000=129.460810=⨯所以，l 光年是千米．129.460810⨯11．阅读下列解题过程：计算：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-解：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-（第一步）()662515⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-=（第二步）()()2515-÷-=（第三步）53-=回答：（1）上面的解题过程中有两个错误，第一处是第步，错误的原因是；第二处是第步，错误原因是．（2）正确的结果是．【答案】（1）二，乘除为同一等级的计算，没有按照从前往后的顺序求解；（2）三，负数乘以负数得到正数，题中为负数．（2）．3215【课堂总结】【课后作业】一、填空题1．．=---3232．．()22533235-⨯-⨯+=3．．()()()()()=-⨯---⨯---⨯++n n n 212211111014．．()()=-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-5214387165．．()()()=-⨯-+⨯-03.716.016.4003.76．．()()=-⨯+-÷-2333227．若、互为倒数，、互为相反数，，则．a b c d 2=m ()=-+⋅+23m ab ba d c 8．一个数用科学记数法表示为，则它是位整数．10n a ⨯二、选择题9．下列公式计算正确的是（）A ．B ．()527527⨯--=⨯--31354453=÷=⨯÷C ． D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛÷÷=÷÷5454354543()932=--10．计算的值是（）()()2007200822-+-A ．1 B ． C ． D ．2-20072-2007211．下列各组数中，相等的一组是( )．A ．与B ．与23-2(3)-2(3)--3(2)-- C ．与 D ．与3(3)-33-223-⨯332-⨯12．用合理的方法计算：(1) ； (2) ；515635236767---1544 3.87 4.253495-+-+(3) ； (4) ； 1511342461832⎛⎫⎛⎫--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()110.5678111-----+⎡⎤⎣⎦13．计算：（1）；（2）；63221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷2131521（3）；（4）.⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--838712787431⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯1811351121961365514．用科学计数法表示下列计算结果：（1）一昼夜小时是多少秒？24 （2）50251002⨯15．(1)阅读短文《拆项计算》：拆项计算下面带分数的计算申，常把整数部分和分数部分拆开，以简化计算过程，举例如下：5231591736342⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5231591736342523159173634252315917363425213063241235644⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=----++--⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭=-+=-(2)仿照第(1)小题的计算方法计算：5211200620054000116332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】1．－11 2．21 3．1 4．2 5．－281.2 6．－7 7．－1 8．1n +9．D 10．D 11．C12．(1) 515655163523325319867676677⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2) 1541451454 3.87 4.253437437495459459-+-+=-+-+=(3) 151153424146183218⎛⎫⎛⎫--+--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4) ()110.56781110.4321-----+=-⎡⎤⎣⎦13．(1) 121266612323⎛⎫⎛⎫-⨯=⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) ()2117216853255⎛⎫÷-=⨯-=- ⎪⎝⎭(3) 377733114812888⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4).51111351936361853911366623518633519⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-÷-=⨯-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．(1) 一昼夜小时是（秒）244246060864008.6410⨯⨯==⨯(2) ＝50251002⨯50505010025410010⨯==15．原式＝()5211352200620054000110.6332263⎛⎫⎛⎫--+++--++=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

七年级下册数学《幂的运算》知识点整理

七年级下册数学《幂的运算》知识点整理幂的运算
一、本节学习指导
本节知识是数学中的基础部分，在以后的学习中经常会和其他知识结合起来，单独命题频率也相当高，但基本都很容易，一般是选择题、填空题，同学们要牢牢掌握本节涉及的公式。

本节有学习视频。

二、知识要点
nn 1、幂(power):指乘方运算的结果。

a指将a自乘n次(n个a相乘)。

把a
看作乘方的结果，叫做a的n次幂。

2、对于任意底数a,b，当,，,为正整数时，有:
不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数
n 3、科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10的形式(其中1?|a|,10),这种记数法叫做科学记数法.
注:在科学计数法法中如果a的绝对值一定要小于10并且大于1.
例:用科学计数法法表示:25000000;40000000;
76 分析:第一个数字表示为:2.5×10，注意，这里我们没有表示为25×10，后面这种
7表示方法是错误的。

第二个数字很简单，科学计数法表示为:4×10。

三、经验之谈:
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三个运算法则是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据(所以要求每个学生都要掌握三个运算法则的数学表达
式(“m、n都为正整数)”和语言表述“同底数幂相乘，底数不变，指数相加，幂的乘方，底数不变，指数相乘，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方”。

在运用时要灵活一些。

七年级数学幂的运算及整体代入(法则的逆用二)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：幂的运算法则：①同底数幂相乘，_________，_________．即_____________．②同底数幂相除，_________，_________．即_____________．③幂的乘方，___________，___________．即_____________．④积的乘方等于___________．即_____________．问题2：幂的运算法则逆用：①观察已知及所求，对比确定______________________之间的关系；②根据____________对已知或所求进行等价变形，使之成为__________________．幂的运算及整体代入（法则的逆用二）（北师版）一、单选题(共9道，每道11分)1.已知，则的值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：根据积的乘方等于乘方的积；幂的乘方，底数不变，指数相乘，对左边进行运算，得到再根据等式两边字母和相同字母的指数都对应相等，可知：，∴，∴故选C．试题难度：三颗星知识点：幂的运算2.已知，，则的值为( )A.12B.9C.8D.3答案：B解题思路：思路分析：①观察已知和所求，x，y不能求出，考虑整体代入，考虑把，当作整体；②逆用幂的运算法则，对所求进行等价变形，找到整体，然后代入．∵，故选B．试题难度：三颗星知识点：整体代入3.已知，，则的值为( )A.-80B.2C.3D.82答案：A解题思路：∵，故选A．试题难度：三颗星知识点：整体代入4.计算，，则的值为( )A.-30B.-20C.-8D.10答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：整体代入5.若，则的值为( )A.1B.3C.4D.6答案：B解题思路：观察已知和所求，发现等式左右两边，幂的底数不同，分析可知，16是4的平方，12是3和4的乘积，因此考虑逆用幂的运算法则，对已知进行变形，使之成为同底数的幂．再根据等式两边字母和相同字母的指数都对应相等，可知：故选B．试题难度：三颗星知识点：幂的运算6.已知，则的值为( )A.-2B.1C.2D.7答案：C解题思路：观察已知和所求，发现等式左右两边，幂的底数不同，分析可知：4，8和16都可以化成以2为底数的幂的形式，因此考虑逆用幂的运算法则，对已知进行变形，使之成为同底数的幂．故选C．试题难度：三颗星知识点：幂的运算7.若，，，则的大小关系是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：幂的比较大小，优先考虑化简为同底数或同指数的幂，再进行比较．观察，，三个数，都是幂，但是指数和底数都不相同，但是观察指数，发现它们的指数都是111的整数倍，可以把它们都化成指数是111的幂，然后再比较大小．∵∴故选D．试题难度：三颗星知识点：幂的比较大小8.若，，，则的大小关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：观察，，三个数，都是幂，但是指数和底数都不相同，但是观察底数，都和4有关，可以把它们都化成底数是4的幂，然后再比较大小．∵，，∴故选C．试题难度：三颗星知识点：幂的比较大小9.若，，则的大小关系为( )A. B.C. D.无法判断答案：C解题思路：观察，，分子和分母都是幂，但是指数和底数都不相同，分母的底数都是9，指数相差9，分子的底数为99和11，可以把99写成9×11的形式，化成底数为11的同底数幂．∵∴故选C．试题难度：三颗星知识点：幂的比较大小。

幂的运算习题精选及答案

幂的运算习题精选及答案1、幂的运算幂是一种基本的数学概念，它表示一个数(底数)的多少次方(指数)。

比如2^3表示2的3次方，结果为8。

而2^4则表示2的4次方，结果为16。

在幂的运算中，要注意两个特殊的情况：0的0次方和负指数幂的计算。

当底数为0时，任何正指数的幂都为0，而0的0次方的结果则没有定义。

因此，在实际的计算中，应该特别注意这种情况，避免出现错误。

另外，负指数幂的计算也需要特别注意。

具体来说，对于一个正数a和一个非零整数n，a^-n等于1/(a^n)。

2、幂的运算习题精选现在给出一些幂的运算练习题，供大家进行练习。

每道题目后面都会附有答案和解析，供大家参考。

题目一：计算3^4。

答案：3^4=81。

解析：3^4表示3的4次方，根据幂的计算规则，我们可以得到3^4=3*3*3*3=81。

题目二：计算2^-3。

答案：2^-3=1/8。

解析：2^-3等于1/(2^3)，也就是1/8。

题目三：计算(-4)^3。

答案：(-4)^3=-64。

解析：(-4)^3表示-4的3次方，也就是-4*-4*-4，结果为-64。

题目四：计算7^0。

答案：7^0=1。

解析：任何数的0次方都等于1，因此7^0=1。

题目五：计算(-3)^-2。

答案：(-3)^-2=1/9。

解析：(-3)^-2等于1/((-3)^2)，也就是1/9。

3、总结通过对幂的基本概念和运算规则的介绍，以及相应的练习题的答案和解析的演示，我们可以掌握幂的基本运算技巧。

而在实际的计算过程中，我们还需要密切注意一些特殊情况的处理，这样才能保证计算结果的准确性。

北师大七年级下册数学W1幂的运算复习

第一周周末学案幂的运算学号_______ 姓名________【知识要点】1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数，指数。

用公式表。

2.幂的乘方法则：幂的乘方，底数，指数。

用公式表示为。

3.积的乘方法则：积的乘方，把积的每一个因式，再把所得的积。

用公式表示为。

4.同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数，指数。

用公式表示为。

5.我们规定：a 0= ,a -n = 。

【基础演练】 1、计算：（2013湖北黄冈）－(－3)2＝p 2·（-p ）·(-p)5=(-2x 3y 4)3=(x 4)3=_______ (a m )2=________， m 12=( )2=( )3=( )4。

2、(1)若a m·a m=a 8,则m= (2)若a 5·(a n )3=a 11，则n=3、用科学记数法表示：(1)0.00000730=(2)-0.00001023=4、一种细菌的半径为3.9×10-5m,用小数表示应是m.氢原子中电子和原子核之间的距离为0.00000000529厘米。

用科学记数法表示这个距离为 5、已知a m=3, a n=9, 则a3m-2n= .6、用小数或分数表示下列各数. （1）2-5（2）1.03×10-4(3)2)23(-(4)(-3)-47、(2013湖南株洲)下列计算正确的是（）A. B. C. D.8、(2013山东烟台)下列各运算中，正确的是（）A .BC .D .9、如果(),990-=a ()11.0--=b ,235-⎪⎭⎫⎝⎛-=c ,那么c b a ,,三数的大小为A.c b a >>B.b a c >>C.b c a >>D.a b c >>10、已知(a x·a y )5=a 20(a ＞0，且a ≠1)，那么x 、y 应满足（） A x+y=15 B x+y=4 C xy=4 D y=11、填空（1）. 104×107=______，(－5)7×(－5)3=_______，b 2m·b4n-2m=_________。

七年级下册数学幂的运算

七年级下册数学幂的运算一、幂的运算知识点。

1. 同底数幂的乘法。

- 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即a^m· a^n = a^m + n（a≠0，m、n为整数）。

- 例如：2^3×2^4 = 2^3 + 4=2^7 = 128。

- 推导：a^m表示m个a相乘，a^n表示n个a相乘，那么a^m· a^n就是(m + n)个a相乘，所以结果为a^m + n。

2. 幂的乘方。

- 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即(a^m)^n=a^mn（a≠0，m、n为整数）。

- 例如：(3^2)^3 = 3^2×3=3^6 = 729。

- 推导：(a^m)^n表示n个a^m相乘，a^m中有m个a相乘，那么n个a^m相乘就有mn个a相乘，所以结果为a^mn。

3. 积的乘方。

- 法则：积的乘方等于乘方的积。

即(ab)^n=a^n b^n（a≠0，b≠0，n为整数）。

- 例如：(2×3)^2 = 2^2×3^2=4×9 = 36。

- 推导：(ab)^n=⏟(ab)×(ab)×·s×(ab)_n个(ab)=⏟(a× a×·s× a)_n个a×⏟(b× b×·s×b)_n个b=a^n b^n。

4. 同底数幂的除法。

- 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即a^m÷ a^n = a^m - n（a≠0，m、n为整数且m>n）。

- 例如：5^5÷5^3 = 5^5 - 3=5^2 = 25。

- 特殊情况：当m = n时，a^m÷ a^n=a^m - n=a^0，规定a^0 = 1(a≠0)；当m < n时，a^m÷ a^n=(1)/(a^n - m)。

二、典型例题。

七年级幂的运算知识点总结

七年级幂的运算知识点总结幂运算也叫指数运算，是数学运算中的一种，用于表示一个数（底数）被自己乘若干遍（幂次方）的结果。

七年级学生已经学习了幂运算的概念以及一些基础的幂运算的计算，下面来总结一下七年级幂运算的知识点和注意事项。

一、幂运算的定义幂运算是指以一个数（称为底数）为底，以另一个数（称为指数）为幂的运算，经过计算后得到一个数（称为幂），记作a的n次幂，其公式为：a的n次幂 = a^n其中，a为底数，n为指数，^表示幂运算符号。

二、幂运算的性质1. 幂运算的乘法性质：对于所有实数a和b以及任意整数m，n，有以下公式成立：a的m次幂 * a的n次幂 = a的(m+n)次幂2. 幂运算的除法性质：对于所有实数a和b以及任意整数m，n，有以下公式成立：a的m次幂 / a的n次幂 = a的(m-n)次幂3. 幂运算的幂运算性质：对于所有实数a以及任意整数m，n和k，有以下公式成立：(a的m次幂)^n = a的(m x n)次幂(a的n次幂)^k = a的(n x k)次幂4. 幂运算的零次幂和一次幂：a的0次幂 = 1a的1次幂 = a三、幂运算的计算方法1. 指数为正整数的幂运算指数为正整数的幂运算，直接使用乘法计算。

例如，2的3次幂：2^3 = 2 x 2 x 2 = 82. 指数为负整数的幂运算指数为负整数的幂运算可以转化为指数为正整数的分式，然后运用倒数的概念转化为乘法，即：a的–n次幂 = 1/ (a的n次幂)例如：2^(-3) = 1 / (2^3) = 1/83. 指数为分数的幂运算指数为分数的幂运算可以转化为开方运算和整数幂运算：a^(m/n) = (a^m)^(1/n) = n√(a^m)例如：5^(2/3) = (5^2)^(1/3) = 5√25 = 2.924四、幂运算习题中的注意事项1. 注意底数和指数的顺序。

2. 注意运算符号。

3. 注意乘方和开方运算的区别。

4. 注意正指数和负指数的幂运算之间的转换。

七年级数学幂的运算

七年级数学幂的运算一、幂的定义。

1. 一般地，a^n表示n个a相乘，其中a叫做底数，n叫做指数，a^n叫做幂。

例如2^3 = 2×2×2 = 8，这里2是底数，3是指数，8是幂。

二、同底数幂的乘法。

1. 法则。

- 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即a^m×a^n=a^m + n（m，n都是正整数）。

- 例如：2^3×2^4 = 2^3+4=2^7 = 128。

2. 推导。

- 根据幂的定义，a^m表示m个a相乘，a^n表示n个a相乘，那么a^m×a^n 就是(m + n)个a相乘，所以a^m×a^n=a^m + n。

三、幂的乘方。

1. 法则。

- 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即(a^m)^n=a^mn（m，n都是正整数）。

- 例如：(2^3)^4=2^3×4=2^12。

2. 推导。

- 根据幂的定义，(a^m)^n表示n个a^m相乘，a^m = a×a×·s×a（m个a），那么(a^m)^n=a^m×a^m×·s×a^m（n个a^m），所以(a^m)^n=a^mn。

四、积的乘方。

1. 法则。

- 积的乘方等于乘方的积。

即(ab)^n=a^n b^n（n是正整数）。

- 例如：(2×3)^2 = 2^2×3^2=4×9 = 36。

2. 推导。

- 根据幂的定义，(ab)^n=(ab)×(ab)×·s×(ab)（n个ab），利用乘法交换律和结合律可得(ab)^n=(a×a×·s×a)×(b×b×·s×b)=a^n b^n。

五、同底数幂的除法。

1. 法则。

- 同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即a^m÷a^n=a^m - n(a≠0,m,n都是正整数，且m>n)。

北师大版七年级数学下册《同步考点解读-专题训练》专题1.2幂的除法运算(知识解读)(原卷版+解析)

专题1.2 幂的除法运算（知识解读）【学习目标】1. 掌握正整数幂的除法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算．2. 运用同底数幂的除法法则解决一下实际问题．3.理解零次幂的性质及有关综合运算。

4.掌握用科学计数法表示较小的数。

5.了解负整数指数幂的意义，并进行有关的运算。

【知识点梳理】知识点1：幂的除法运算口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

a m÷a n=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)知识点2：零指数a0=1 (a≠0)知识3：科学记数法科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成a⨯10-n 的形式，其中n是正整数，1≤ a <10 ，这叫科学记数法．注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非0 数字前有m 个0，则10d 的指数n=m+1．知识点4：负整数幂当n 是正整数时，1nnaa-=（0a≠，n是正整数）【典例分析】【考点1 幂的除法运算】【典例1】计算a6÷a3，正确的结果是（）A．3B．a3C．a2D．3a 【变式1-1】计算m3÷m3结果是（）A．m6B．m C．0D．1【变式1-2】计算（﹣a）12÷（﹣a）3的结果为（）A．a4B．﹣a4C．a9D．﹣a9【典例2】已知x a＝3，x b＝5，则x a﹣b＝（）A．B．C．D．15【变式2-1】已知3m＝12，3n＝4，则3m﹣n的值为（）A．3B．4C．6D．8【变式2-2】若5a＝3，5b＝12，则5b﹣a＝．【典例3】已知3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n的值．【变式3-1】已知a m＝4，a n＝8，求a3m﹣2n的值．【变式3-2】（1）已知3a＝4，3b＝5，求32a﹣3b的值；（2）若3x+2y﹣3＝0，求8x•4y．【典例4】计算：a2•（﹣a4）3÷（a3）2．【变式4-1】计算：（1）a•a2•a3；（2）（﹣2ab）2；（3）（a3）5；（4）（﹣a）6÷（﹣a）2÷（﹣a）2．【变式4-2】计算：（x2）3•x3﹣（﹣x）2•x9÷x2．【变式4-3】计算题：（1）（a2）3•（a2）4÷（a2）5；（2）（5a2+2a）﹣4（2+2a2）．【考点2 零指数】【典例5】（一1）0等于（）A．﹣1B．0C．1D．无意义【变式5-1】若（x﹣1）0有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≠1D．x为任意数【变式5-2】计算（﹣5）0的结果是（）A．1B．﹣5C．0D．﹣【考点3：科学计数法】【典例6】（2022•海曙区校级模拟）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（）A．22×10﹣10B．2.2×10﹣10C．2.2×10﹣9D．2.2×10﹣8【变式6-1】（2019•烟台一模）碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（）A．0.5×10﹣9米B．5×10﹣8米C．5×10﹣9米D．5×10﹣10米【变式6-2】（2020•汇川区模拟）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣1【考点4：负指数整数幂】【典例7】（2022春•元宝区校级期末）计算（）﹣2的结果是（）A．﹣9B．9C．D．﹣【变式7-1】（2022春•北碚区校级期末）（）﹣2值为（）A．B．﹣C．D．﹣【典例8】（2022•南陵县自主招生）计算．【变式8-1】（2022春•兰州期末）计算：（）﹣1﹣（﹣3﹣3.14）0+（﹣）﹣2．【变式8-2】（2022春•城固县期末）计算：（﹣）﹣3+（﹣3）0﹣（﹣1）﹣2．【变式8-3】（2022春•西安期末）计算：﹣（﹣1）﹣1．专题1.2 幂的除法运算（知识解读）【学习目标】1. 掌握正整数幂的除法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算．2. 运用同底数幂的除法法则解决一下实际问题．3.理解零次幂的性质及有关综合运算。

专题1.1 幂的运算【八大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)

关系是�
�（填“<”或“>”）．
【答案】<
【详解】解：参照题目中比较大小的方法可知，
【变式
1-2】（2023
春·上海杨浦·七年级统考期中）用简便方法计算：−
35
×
(
−
2 3
)5
×
(
−
5)6
【答案】500000
【分析】根据积的乘方即可求出答案．
【详解】原式=
35
×
(
2 3
)5
×
56
=
（3
×
2 3
5
）
×
56
= 25 × 55 × 5
=
（2
×
5
5）
×
5
= 5 × 105
= 500000
【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
【题型 1 利用幂的运算法则进行简便运算】【例 1】（2023 春·河北保定·七年级校联考期末）用简便方法计算：
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(1) 4 2019 ×
5
−1.25 2020；
(2) −9 3 ×
−2 3×
3
1 3
3．
【答案】(1)54
(2)8
【分析】（1）先将小数化为分数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可；
专题 1.1 幂的运算【八大题型】
【北师大版】
【题型 1 利用幂的运算法则进行简便运算】 ...........................................................................................................1 【题型 2 利用幂的运算法则求式子的值】 ...............................................................................................................4 【题型 3 利用幂的运算法则比较大小】 ...................................................................................................................6 【题型 4 利用幂的运算法则整体代入求值】 .........................................................................................................10 【题型 5 利用幂的运算法则求字母的值】 .............................................................................................................12 【题型 6 利用幂的运算法则表示代数式】 .............................................................................................................14 【题型 7 幂的混合运算】 ......................................................................................................................................... 17 【题型 8 新定义下的幂的运算】 ............................................................................................................................. 19

北师大版本七年级下册第一单元《整式的乘除》全章知识讲解+经典练习

《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1）＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。

北师大版七年级幂的运算

( 1 xy3z2 )2 =________． 2
【例
8】计算：（1）

1 3
1999
32000
=_________；
（2）（ 0.25）1998 （ 4）1999 =_________；
（3）（﹣8）57×0.12555=_________；（4）（ 2）2002 （ 2）2001 =_________；
【例 5】（1）若 a2n 3 ，求 a3n 4 的值；（2）若 xm x2m 2 ，求 x9m 的值．
【例 6】已知 am 2, an 3 ,求（1） amn 的值；（2） a2mn 的值；（3） a2m3n 的值.
要点三、积的乘方法则
(ab)n an bn (其中 n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得
．
9.已知 a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序是
．
10.计算（1） x (x3)8 (x4 )3 ；
（2） ( 1 a2b3)3 (a3b2 )2 ． 3
11.已知 ax=﹣2，ay=3．求：（1）ax+y 的值；（2）a3x 的值；（3）a3x+2y 的值．
要点二、幂的乘方法则
(am )n amn (其中 m, n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： ((am )n ) p amnp ( a 0 ， m, n, p 均为正整数)
（2）逆用公式：
amn
am
n
an
m
，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能
C. m ＝3， n ＝5

七年级下册数学第8章《幂的运算》考点+易错讲义

第8章《幂的运算》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 运用幂的基本性质进行运算【考点解读】掌握幂的基本性质是解决问题的关键，要根据算式的特点确定运算的顺序，并选择幂的基本性质进行正确计算，不要混淆同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方. 例1 (2017·江西)下列运算正确的是( )A. 5210()a a -=B. 22236a a a =gC. 23a a a -+=-D. 623623a a a -÷=-分析: 5210()a a -=，故选项A 正确；23236a a a =g，故选项B 错误；2a a a -+=-，故选项C 错误；624623a a a -÷=-，故选项D 错误.答案:A【规律·技法】根据合并同类项、幂的乘方及同底数幂的乘法的定义解答. 【反馈练习】1.下列计算正确的是( )A. 224x x x +=B. 3332x x x -=C. 236x x x =g D. 236()x x =点拨:正确应用各类计算法则计算. 2.计算:201320111(3)()3-⨯-= .点拨:应用积的乘方的逆运算，把2013(3)-折分成20112(3)(3)-⨯-.考点2 运用零指数、负整数指数幂的意义进行运算【考点解读】明确零指数、负整数指数幂的规定，同时区分一些形式上相似而实质上不一样的算式，如03与03-，12-与12--等. 例2 计算0112()2-+的结果是 . 分析:0112()1232-+=+=.答案:3 【规律·技法】本题考查了0次幂和负整数指数幂的意义，解答本题的关键是熟记相关法则. 【反馈练习】3.计算018()2---的结果是( )A. 7-B. 7C. 172D. 9 点拨:018()8172---=-=. 4.计算2133-⨯的结果是( )A. 3B. 3-C. 2D. 2- 点拨: 1133-=. 考点3 用科学记数法表示数【考点解读】要善于总结用科学记数法表示数的一般性规律，如:40.000110-=，50.0000110-=，60.00000110-=，70.000000110-=等.例3 (2017·济宁)某桑蚕丝的直径为0.000 016 m ，将0.000 016用科学记数法表示是() A. 41.610-⨯ B. 51.610-⨯ C. 61.610-⨯ D. 61610-⨯ 分析:绝时值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10na -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定，则50.000016 1.610-=⨯.答案:B【规律·技法】用科学记数法表示较小的数，一般形式为10na -⨯，其中110a ≤<，n 由原数左边起第一个非零数字前面0的个数所决定. 【反馈练习】5.生物学家发现了一种病毒，其长度为0.000 000 32 mm ，数据0.000 000 32用科学记数法表示正确的是( )A. 73.210⨯ B. 53.210-⨯ C. 73.210-⨯ D. 83.210-⨯ 点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.6.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000 073 m ，将0.000 073用科学记数法表示为 .点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.考点4 幂的相关运算【考点解读】熟练掌握有关幂的运算法则. 例4 下列运算正确的是( )A. 320a a -=B. 23a a a =gC. 432a a a ÷= D. 325()a a =分析:32a a a -=，故选项A 不正确；23a a a =g ，故选项B 正确；43a a a ÷=，故选项C 不正确；326()a a =，故选项D 不正确.答案:B【规律·技法】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，这些运算很容易混淆，一定要记准不同的运算法则. 【反馈练习】7.下列计算结果正确的是( )A. 842a a a ÷=B. 236a a a =g C. 248()a a = D. 236(2)8a a -= 点拨mnm na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).8.下列运算正确的是( )A. 5210()a a = B. 1644x x x ÷=C. 224235a a a +=D. 3332b b b =g点拨m n m na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).易错题辨析易错点 1 运用同底数幂的乘法法则计算时，漏掉了指数是“1”的因式例1计算: 32m m m ∙g . 错误解答: 32325m m m mm +∙==g s.错因分析:本题错在忽视最后一个因式m 的指数是1，误认为它的指数是0. 正确解答:323216m m m mm ++∙==g .易错辨析:单个字母的指数是1而不是0，只不过指数为1时可以省略不写，但不能认为指数是0.易错点2 运算法则使用不当例2计算:(1) 43(3)xy -; (2) 22(3)a b . 错误解答:(1) 4312(3)3xy xy -=-. (2) 2242(3)6a b a b =.错因分析:积的乘方是将积中的每一个因式分别乘方，而(1)中只将最后一个因式乘方，忽略了3-，x 两个因式的乘方，而(2)中错误地将乘方的次数乘以系数了. 正确解答:(1) 43312(3)27xy x y -=-. (2) 2242(3)9a b a b =.易错辨析:运用积的乘方法则时，要注意不能遗漏因式.易错点3 错用合并同类项法则例3计算: 3223()()x x +.错误解答: 32236612()()x x x x x +=+=.错因分析:本题错在将合并同类项法则与同底数幂乘法法则相混淆，错解中既运用了合并同类项法则，又运用了同底数幂相乘的法则.本题实际上是合并同类项，利用合并同类项法则将系数相加作为和的系数，字母和字母指数不变. 正确解答:3223666()()2x x x x x +=+=. 易错辨析:正确区分合并同类项与同底数幕乘法.易错点4 错用同底数幂除法法则例4计算:62x x ÷. 错误解答: 62623x x xx ÷÷==.错因分析:上面的解法用错了法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除. 正确解答: 62624x x xx -÷==.易错辨析:同底数幕除法法则为mnm na a a -÷= (其中m ，n 是整数)，注意m n -不能写成m n ÷.易错点5 运算中符号出错例5 计算:62()()y y -÷-. 错误解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=-.错因分析: 44444()(1)(1)y y y y -=-=-=g g . 正确解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=.易错辨析:当n 为奇数时，()nna a -=-;当n 为偶数时，()nna a -=.反馈练习1.给出下列算式:①43272()()a a c a c --=-g ；②326()a a -=-；③3342()a a a -÷=；④633()()a a a -÷-=-.其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个点拨:注意运算的顺序，正确运用法则运算.2.若20.3a =-，23b -=-，21()3c -=-，01()3d =-，则( )A. a b c d <<<B. b a d c <<<C. a d c b <<<D. c a d b <<<点拨:分别计算出,,,a b c d 的值，比较即可.3.给出下列各式:①523[()]a a --g；②43()a a -g ；③2332()()a a -g ；④43[()]a --.其中计算结果为12a -的有( )A.①和③B.①和②C.②和③D.③和④点拨:注意“偶次方”和“奇次方”的符号处理. 4.计算: 23()()p p --=g ；231()2a b -= . 点拨:正确运用法则计算，最后结果化为最简形式.5.计算: 2018201952()()25-⨯-= . 点拨:把20192()5-分解为201822()()55--g 即可。

2014年北师大新版七年级数学辅导第一讲幂的运算

2014年春七年级数学精品班辅导第一讲：幂的运算提供者：叶怡然知识点1：同底数幂的乘法⑴字母表示：；(m ，n 都是 )⑵语言叙述：同底数幂相乘，，；⑶条件：① 相同；② ；结论：① ；② ； ⑷逆运用：a m+n = ；1、底数为数字：103a ×105b＝ (a ，b 都是正整数) 933)5(255-⨯⨯-＝ 2、底数为字母：54·a a ＝ n m m y y+2＝ (m ，n 都是正整数) 3、底数为单项式：42)3()3(ab ab ⋅＝ 23)6()6(mn mn -＝4、底数为多项式：(a ＋b)2·(b ＋a)3＝ (2m －n)3·(n －2m)2＝知识点2：幂的乘方⑴字母表示：；(m ，n 都是 )⑵语言叙述：幂的乘方，，；⑶条件：；结论：① ；② ；⑷逆运用：a mn = = ；1、底数为数字：()=-n m m 2125.0 (m ，n 都是正整数,且m ＞n)3221⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＝2、底数为字母：()734x x ∙＝ n n 2)(a ＝（m ，n 都是正整数）3、底数为单项式：323243⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-z xy ＝ ()[]4332mn ＝ 4、底数为多项式：()[]n m c b a 2++＝（m ，n 都是正整数） ()[]n nm b a 2363++＝（m ，n 都是正整数）知识点3：、积的乘方⑴字母表示：；(n 是 )⑵语言叙述：积的乘方，等于；⑶条件：；结论：① ；② ；⑷逆运用：a n b n = ；⑸拓展：(a b c)n = ；1、底数为数字：（6×5）7 ＝（0.3×7）m＝（m 是正整数）2、底数为字母或单项式：4)3(ab ＝ ()[]n m n m z xy+-232＝（m ，n 都是正整数） 3、底数为多项式：()[]3)2(b a b a -+-＝ ()[]n m b a n m --+)(2 (m ，n 都是正整数,且m ＞n)知识点4:同底数幂的除法⑴字母表示：；(a ，m ，n 都是，且。

北师大七年级1.1—1.2幂的运算复习(李洪涛)

检测
见导学稿（做在课堂练习本上，写出过程）自学检测1 第4题自学指导2、自学检测2全部自学指导3 第2题
逆用法则
1、若 2、若
=6
am
x m
= =
2,则a3m
y 2,m
8 动脑筋！ =_____.
m
3x+2y x y
= 3 ,则
8
=(m )³ (m )²
6 x+y =____,m 3x+2y =______. 72 mm x+y =mx my
(m－n)

15
④ (x－2y)4· (2y－x) 5· (x－2y)6=
(2y－x)
15
考眼力，辩真伪
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1) x3·x5=x15 (× ) (2) x3+x3=x6 (
×)
（（
(3) （-x2） ·(-x)3 = x5
√ √
））
(4)a3·a2 - a2·a3 = 0 (5)a3·b5=(ab)8
字母表示： m （ab) m m =a b
其中m是正整数
分别乘方的积。
语言叙述：积的乘方等于每一个因数
法则的逆用
同底数幂相乘：
am· an=am+n 幂的乘方： (am)n=amn 积的乘方： (ab)n=anbn
逆用
am+n=am· an amn=(am)n anbn=(ab)n
想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？
计算（口答） 5 6 （1）(10 ) =
7 3 （2）(a )
30 10 21 a
25 x