求最大完全子图的启发式着色算法

合集下载

图的着色问题--C++实现(含详细注释)

图的着色问题一、题目简述(1) 图的m-着色判定问题给定一个无向连通图 G 和 m 种不同的颜色。

用这些颜色为图 G 的各顶点着色，每个顶点着一种颜色，是否有一种着色法使 G 中任意相邻的两个顶点着不同颜色？(2) 图的m-着色优化问题若一个图最少需要 m 种颜色才能使图中任意相邻的两个顶点着不同颜色，则称这个数 m 为该图的色数。

求一个图的最小色数 m 的问题称为m-着色优化问题。

二、算法思想1. m-着色判定问题总体思想：通过回溯的方法，不断为每一个节点着色，每个点的颜色由一个数字代表，初始值为1。

在对前面 step - 1 个节点都合法的着色之后，开始对第 step 个节点进行着色。

如果 n 个点均合法，且颜色数没有达到 m 种，则代表存在一种着色法使 G中任意相邻的两个顶点着不同颜色。

具体步骤：1. 对每个点 step ，有 m 种着色可能性，初始颜色值为1。

2. 检查第 step 个节点颜色的可行性，若与某个已着色的点相连且颜色相同，则不选择这种着色方案，并让颜色值加1，继续检查该点下一种颜色的可行性。

3. 如果第 step 点颜色值小于等于 m ，且未到达最后一个点，则进行对第 step + 1 点的判断。

4. 如果第 step 点颜色值大于 m ，代表该点找不到合适的分配方法。

此时算法进行回溯，首先令第 step 节点的颜色值为0，并对第 step - 1 个点的颜色值+1后重新判断。

5. 如果找到一种颜色使得第 step 个节点能够着色，说明 m 种颜色的方案是可行的。

6. 重复步骤2至5，如果最终 step 为0则代表无解。

2. m-着色优化问题基于问题1，对于一个无向图 G ，从1开始枚举染色数，上限为顶点数，第一个满足条件的颜色数即为所求解。

三、实现过程（附代码）1. m-着色判定问题#include<iostream>using namespace std;int color[100]; // 每个点的颜色int mp[100][100]; // 图的邻接矩阵int n, m, x; // n顶点，m种颜色方案，x条边bool check(int step) {// 判断与step点相邻的点，颜色是否与step点相同，若相同则返回falsefor (int i=1; i<=n; i++) {if (mp[step][i] ==1&&color[i] ==color[step]) {return false;}}return true;}bool Solve(int m) {// 求解是否可以找到一种可行的染色方案int step=1; // step指示当前节点while (step>=1) {color[step] +=1; // 假定颜色值从1开始，若为回溯，选择下一种方案while (color[step] <=m) { // 按照问题条件选择第step点颜色if (check(step)) {break;} else {color[step]++; // 搜索下一个颜色}}if (color[step] <=m&&step==n) { // 如果找完n个点，且染色方法小于等于m种 return true;} else if (color[step] <=m&&step<n) {step++; // 求解下一个顶点} else { // 如果染色数大于m个，回溯color[step] =0; // 回溯，该点找不到合适的分配方法，对上一点进行分析step--;}}// 如果step退到0，则代表无解return false;}int main() {int i, j;bool ans=false;cout<<"输入顶点数n和着色数m"<<endl;cin>>n>>m;cout<<"输入边数"<<endl;cin>>x;cout<<"具体输入每条边"<<endl;for (int p=0; p<x; p++) { // 以无向邻接矩阵存储边cin>>i>>j;mp[i][j] =1;mp[j][i] =1;}if (Solve(m)) {cout<<"有解";} else {cout<<"无解";}return0;}2. m-着色优化问题#include<iostream>using namespace std;int color[100]; // 每个点的颜色int mp[100][100]; // 图的邻接矩阵int n, m, x; // n顶点，m种颜色方案，x条边bool check(int step) {// 判断与step点相邻的点，颜色是否与step点相同，若相同则返回falsefor (int i=1; i<=n; i++) {if (mp[step][i] ==1&&color[i] ==color[step]) {return false;}}return true;}bool Solve(int m) {// 求解是否可以找到一种可行的染色方案int step=1; // step指示当前节点while (step>=1) {color[step] +=1; // 假定颜色值从1开始，若为回溯，选择下一种方案while (color[step] <=m) { // 按照问题条件选择第step点颜色if (check(step)) {break;} else {color[step]++; // 搜索下一个颜色}}if (color[step] <=m&&step==n) { // 如果找完n个点，且染色方法小于等于m种 return true;} else if (color[step] <=m&&step<n) {step++; // 求解下一个顶点} else { // 如果染色数大于m个，回溯color[step] =0; // 回溯，该点找不到合适的分配方法，对上一点进行分析step--;}}// 如果step退到0，则代表无解return false;}int main() {int i, j;bool ans=false;cout<<"输入顶点数n"<<endl;cin>>n;cout<<"输入边数"<<endl;cin>>x;cout<<"具体输入每条边"<<endl;for (int p=0; p<x; p++) { // 以无向图邻接矩阵存储边 cin>>i>>j;mp[i][j] =1;mp[j][i] =1;}for (m=1; m<=n; m++) { // 从小到大枚举着色数mif (Solve(m)) { // 如果有解，输出答案并跳出循环cout<<"最小色数m为 "<<m;break;}}return0;}四、结果及分析问题1测试用例：问题2测试用例：经检验，最少着色数的范围为2-4，意味着使 G 中任意相邻的两个顶点着不同颜色最多需要4种颜色。

图着色问题的启发式搜索蚂蚁算法

了启发式搜索易陷入局部极小的缺陷。过给地图着色和仿真实验结果表明，该方法对图着色问题的求解是可行、有效的，通且具有通用性。
关健词：图着色；启发式搜索；蚂蚁算法
ＨｅｒｓｉｅｒｈｂｓｄＡｎｇｒｔｍｕｉｔｃＳａｃ．ａｅｔＡｌｏｉｈｏｏｖｎｒｐｌｒｎｏｌｍｆＳｌｉｇＧａｈＣｏｏｉｇＰｒｂｅ
Ｅ，＝）Ｖ
…，｝建立映射ＣＶｖ，：ｋ，…，，（ｃｃ｝参照定理
令Ｐ＝１＋ＡＧ）并且极小化，使得对任意ｒＪ（）Ｅ，
ｃｃ。（））ｖ≠
２算法设计
２１随机序列启发式算法．对于任一给定的无环无向图ＧＶＥ，（，）随机生成顶点序列
个经典难题Ｊ，内容包括点着色、边着色、组合地图的面着色等。ＧＰ在组合分析和实际生活中有着广泛的应用背景，Ｃ
定理若图Ｇ的顶点最大度数为ＡＧ，则（）Ｉ△ Ｇ。（）６≤ ＋（）
图顶点着色问题可形式化地描述为：给定无自环图Ｇ（．Ｖ
如任务调度、资源分配、排课表、ＶＳ布线和测试等，目前ＬＩ
维普资讯
第３３卷第１６期
ＶＬ３ｏ３
・
计
算
机
工
程
２００７年８月
Ａｕｓ０ｇｕｔ２０７
ＮｏＪ．６
ＣｏｐｕｔｒＥｎｇｎｅｒｎｇｍｅｉｅｉ
人工智能及识别技术・
文章编号；ｏｏ３２（ｏ）一Ｉｌ＿文献标识码：Ａｌ０－４８ｏ７每ｌ —０２ｌ９２

0030算法笔记——最大团问题和图的m着色问题

// 计算最大团 void Clique::Backtrack(int i) { 3if (i > n) // 到达叶结点 3{ 33for (int j = 1; j <= n; j++) 33{ 333bestx[j] = x[j]; 333cout<<x[j]<<" "; 33} 33cout<<endl; 33bestn = cn; 33return; 3} 3// 检查顶点 i 与当前团的连接 int OK = 1; 3for (int j = 1; j < i; j++) 3if (x[j] && a[i][j] == 0) 3{ 33// i与j不相连 33OK = 0; 33break; 3}
3if (OK)// 进入左子树 3{ 33x[i] = 1; 33cn++; 33Backtrack(i+1); 33x[i] = 0; 33cn--; 3}
if (cn + n - i >= bestn)// 进入右子树 3{ 33x[i] = 0; 33Backtrack(i+1); 3} }
3333 如果U∈V且对任意u，v∈U有(u, v)不属于E，则称U是G的空子图。G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。
3333 对于任一无向图G=(V, E)，其补图G'=(V', E')定义为：V'=V，且(u, v)∈E'当且仅当(u, v)∈E。 3333 如果U是G的完全子图，则它也是G'的空子图，反之亦然。因此，G的团与G'的独立集之间存在一一对应的关系。特殊地，U是G的最大团当且仅当U是G'的最大独立集。

交叉立方体的最大导出子图与拥塞

交叉立方体的最大导出子图与拥塞交叉立方体是一种常用于并行计算系统和通信网络中的拓补结构。

它由一系列节点组成，每个节点都有着多个输入和输出通道，用于实现节点之间的通信。

最大导出子图（Maximal Exclusively Exportable Subgraph，简称MEES）是指交叉立方体中的一个节点子集，它们之间的连接关系满足一定的规则。

具体而言，MEES的节点满足以下三个条件：1. 所有边缘节点（即只与一个邻居节点连通的节点）都属于MEES；2. 如果一个非边缘节点不属于MEES，那么它的所有邻居节点都属于MEES；3. 任意两个属于MEES的节点之间，必然存在一条路径，这条路径的所有中间节点也属于MEES。

拥塞是指在通信网络中，由于流量过大或网络资源有限导致的通信带宽不足问题。

在交叉立方体中，拥塞可能会出现在一些节点或链接上，从而影响系统的性能。

MEES在交叉立方体中有着重要的应用。

MEES可以用来划分节点集合，从而实现并行计算的任务划分。

在这种划分方法中，每个MEES被分配给一个独立的计算任务，任务之间的通信只需要通过MEES的边缘节点进行。

这种划分方式可以减少任务之间的通信开销，提高系统的并行计算性能。

MEES可以用来解决交叉立方体中的拥塞问题。

通过选择合适的MEES作为通信路径，可以减少系统中出现拥塞的概率。

选择MEES中具有较少连接的节点作为通信路径，可以减少通信的竞争，从而降低拥塞的发生率。

为了找到交叉立方体中的最大导出子图，可以使用图的遍历算法来进行求解。

具体的算法步骤如下：1. 将所有边缘节点加入MEES的候选节点集合。

2. 对于候选节点集合中的每个节点，检查其邻居节点是否都在候选节点集合中。

如果是，则将该节点加入MEES；否则，将该节点从候选节点集合中移除。

3. 重复步骤2，直到候选节点集合不再变化为止。

通过以上算法，可以找到交叉立方体中的最大导出子图，并且满足MEES的定义条件。

使用遗传算法解决图着色问题

使⽤遗传算法解决图着⾊问题使⽤遗传算法解决图着⾊问题图着⾊问题描述在图论中，图是对象的结构化集合，⽤于表⽰对象对之间的关系。

对象在图中表⽰为顶点（或节点），⽽⼀对对象之间的关系使⽤边表⽰：图是⾮常有⽤的对象，因为它们可以⽤于表⽰⼤量的现实⽣活中的结构、模式和关系，例如社交⽹络，电⽹布局，⽹站结构，计算机⽹络，原⼦结构等等。

图着⾊任务可以简单概括为：为图中的每个节点分配⼀种颜⾊，并保证相连接的节点对不会使⽤相同的颜⾊，下图显⽰了争取着⾊的图⽰例：在图着⾊问题中，我们通常希望使⽤尽可能少的颜⾊。

例如，在上图中，可以使⽤三种颜⾊正确地对所⽰图进⾏着⾊。

但是不可能仅使⽤两种颜⾊对其进⾏正确着⾊。

从图论的⾓度⽽⾔，这意味着该图的⾊数（chromatic number）为3。

许多现实⽣活中的问题都可以转化为图表⽰，并可以抽象为图着⾊问题。

例如，为学⽣安排课程或为员⼯安排班次可以转换为图，其中相邻节点表⽰导致冲突的班级或班次。

导致冲突的原因可能是同时上课的班级或连续的班次。

由于此冲突，将同⼀个⼈分配给两个班级（或两个班次）将导致时间表⽆效。

如果每种颜⾊代表不同的⼈，则将不同的颜⾊分配给相邻节点将解决冲突。

同样，N皇后问题可以表⽰为图着⾊问题，其中图中的每个节点都代表棋盘上的正⽅形，⽽每对处于同⼀⾏、列或对⾓线的棋⼦通过边连接。

其他相关应⽤包括对⽆线电台的频率分配，交通信号灯定时等等。

解的表⽰形式可以使⽤整数列表表⽰图着⾊问题的解，其中每个整数代表⼀种颜⾊，⽽列表的每个元素都与图的节点之⼀匹配。

假设图中有10个节点，因此可以为每个节点分配0到9之间的索引。

然后，使⽤10个元素的列表表⽰该图的节点颜⾊。

例如：(0, 2, 1, 3, 1, 2, 0, 3, 3, 0)1. 使⽤了四种颜⾊，分别由整数0、1、2、3表⽰。

2. 第⼀、第七和第⼗个节点⽤第⼀种颜⾊着⾊。

3. 第三和第五节点⽤第⼆种颜⾊着⾊。

4. 第⼆和第六节点⽤第三种颜⾊着⾊。

求解目标函数不连续的优化问题启发式算法

求解目标函数不连续的优化问题启发式算法优化问题常常涉及到目标函数的最大化或最小化，然而有时这些函数并非连续的。

这种问题难以通过传统的算法求解，只能通过启发式算法获得较好的解决方案。

启发式算法是指通过启发式策略获得近似最优或次优解的一类算法。

启发式算法并不保证获得最优解，但在实际应用中通常能取得良好的效果。

对于目标函数不连续的优化问题，启发式算法可以采用以下几种方法：1. 遗传算法：遗传算法是一种通过模拟生物进化过程获得最优解的算法。

该算法采用染色体编码的方式来表示问题，每个染色体代表一组解，通过交叉、变异等操作产生新的解。

遗传算法具有较好的鲁棒性，同时能处理目标函数不连续的问题。

2. 模拟退火：模拟退火是一种通过模拟物理系统退火过程获得最优解的算法。

该算法通过引入温度参数，并不断降低温度来实现跳出局部最优解的目的。

模拟退火算法具有较好的全局寻优能力，能处理目标函数不连续的问题。

3. 禁忌搜索：禁忌搜索是一种通过规避已经搜索过的解来避免陷入局部最优解的算法。

该算法通过维护一个禁忌表来记录已经搜索过的解，然后根据禁忌表的信息来决定下一次搜索的方向。

禁忌搜索算法具有较好的局部优化能力，能处理目标函数不连续的问题。

以上三种算法都是比较常用的启发式算法，它们在实际应用中都有较好的表现。

但需要注意的是，启发式算法并不保证获得最优解，只能获得近似最优或次优解，因此在使用时需要根据实际情况进行权衡。

另外，对于目标函数不连续的优化问题，还可以通过问题转化、插值等方法来将其转化为目标函数连续的问题，然后使用传统的优化算法进行求解。

不过，这种方法需要对问题有较深入的了解，并且可能会引入一定的误差。

总之，对于目标函数不连续的优化问题，启发式算法是一种较好的求解方法，它能够有效地处理这种问题，并获得较好的优化效果。

但需要注意的是，启发式算法并不保证获得最优解，需要根据实际需求进行权衡和选择。

图论课件第七章图的着色

总结词
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是使用最少的颜色对树图的顶点进行着色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝来排除那些不可能产生最优解的节点。分支限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。

图的着色算法

图的着⾊算法图着⾊算法描述：给定⽆向连通图和m种不同的颜⾊。

⽤这些颜⾊为图G的各顶点着⾊，每个顶点着⼀种颜⾊。

是否有⼀种着⾊法使G中每条边的两个顶点有不同的颜⾊。

这个问题是图的m可着⾊判定问题。

若⼀个图最少需要m种颜⾊才能使图中每条边相连接的两个顶点着不同颜⾊，称这个数m为这个图的⾊数。

求⼀个图的⾊数m称为图的m可着⾊优化问题。

给定⼀个图以及m种颜⾊，请计算出涂⾊⽅案数。

图的着⾊算法分析：1. Color存储着⾊⽅案。

2. 从第⼀个顶点开始着⾊，判断是否安全。

3. 安全则继续着⾊直到顶点全部被着⾊，输出可⾏的着⾊⽅案4. 若不安全则停⽌着⾊⽅案，回溯，测试下⼀⽅案本⼈使⽤的是C#，以下是完整代码，输⼊为顶点数，颜⾊数和图的连接矩阵。

IsSafe函数判断安全与否，ColorGraph函数具体着⾊。

递归实现回溯。

using System;namespace graphColoring{class Program{static void Main(string[] args){Console.WriteLine("请输⼊顶点数：");string numberN = Console.ReadLine();int N = Int32.Parse(numberN);Console.WriteLine("请输⼊颜⾊数：");string numberColor = Console.ReadLine();int M= Int32.Parse(numberColor);int[, ] matN = new int[N, N]; //⽆向图的邻接矩阵Console.WriteLine("请输⼊⽆向图的邻接矩阵：");for(int i = 0; i < N; i++){string str = Console.ReadLine();string[] temp = str.Split("".ToCharArray());for(int j = 0; j < N; j++){matN[i, j] = Int32.Parse(temp[j]);}}int[,] MatN = matN;graph myGraph = new graph(N,M,MatN);Console.WriteLine("所有的⽅案：");myGraph.graphDeal();}}class graph{private int n; //顶点数private int m; //颜⾊数private int[,] matN; //邻接矩阵private int[] color; //着⾊⽅案public graph(int N,int M,int[,] MatN){n = N;m = M;matN = MatN;color = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++)color[i] = 0;}public void graphDeal(){ColorGraph(matN, m, color, 0);}private bool IsSafe(int[, ] matN,int[] color, int n1, int i){for(int j = 0; j < n; j++)if (matN[n1, j] == 1 && i == color[j])return false;return true;}private void ColorGraph(int[, ] matN,int m,int[] color,int n1){if (n == n1){printSolution(color);return;}for(int i = 1; i <= m; i++){if (IsSafe(matN, color, n1, i)){color[n1] = i;ColorGraph(matN, m, color, n1 + 1);color[n1] = 0; //如果缺少则color⽆法在每个正确或者错误的⽅案完成后重置 }}}void printSolution(int[] color){foreach(int i in color){Console.Write(i+"");}Console.WriteLine();}}}。

公平分配问题中的启发式算法设计

公平分配问题中的启发式算法设计公平分配问题是一个常见但也极具挑战性的数学问题。

它包括多个参与者和多个资源，目标是公平地将这些资源分配给参与者。

然而，在大多数情况下，由于资源数量的限制或参与者的不同需求，不可能完全满足所有人的期望，因此需要寻求一种公平而高效的分配方案。

这就需要启发式算法来解决这个问题。

启发式算法是一种可以解决计算问题的算法，它通常通过逐步优化来达到近似最优解。

在公平分配问题中，启发式算法可以根据实际情况来调整资源分配方案，以实现最大程度的公平性。

下面我们将介绍两种常见的启发式算法：贪心算法和模拟退火算法。

贪心算法贪心算法是一种常用的基于贪心策略的算法，它通过每一步选择最优决策来实现全局最优解。

在公平分配问题中，贪心算法可以应用于多个参与者和多个资源之间的分配。

具体来说，可以按照以下步骤进行资源分配。

首先，将所有资源进行排序，根据各个参与者对资源的需求，将其分配给参与者。

如果有多个参与者需要同一个资源，则根据他们的需求进行排序，并按照先来先得的原则进行分配。

如果某个参与者已经分配到了他所需的所有资源，则将其排除在外，接着进行下一轮分配。

最后，如果仍有未分配的资源或参与者，可以根据当前方案进行适当调整，以达到更加公平的分配方案。

通过贪心算法，可以在短时间内得到一个较为稳定的分配方案，并具有一定的公平性。

但是，这种算法往往只能得到近似最优解，并不能保证全局最优解。

因此，在实际应用中，往往需要结合其他算法进行优化调整。

模拟退火算法模拟退火算法是一种启发式优化算法，它可以通过渐进式的方式，从局部最优解逐步优化到全局最优解。

在公平分配问题中，模拟退火算法可以应用于多个参与者和多个资源之间的分配，以达到更好的公平性。

具体来说，在模拟退火算法中，可以按照以下步骤进行资源分配。

首先，随机生成一个初始解。

然后，进行一定的随机扰动，得到一个新的解。

接着，计算两个解之间的质量差异，并按照一定的概率选择新解作为下一轮的初始解。

贪婪算法(例题及相关解答)

第 1 章贪婪算法虽然设计一个好的求解算法更像是一门艺术，而不像是技术，但仍然存在一些行之有效的能够用于解决许多问题的算法设计方法，你可以使用这些方法来设计算法，并观察这些算法是如何工作的。

一般情况下，为了获得较好的性能，必须对算法进行细致的调整。

但是在某些情况下，算法经过调整之后性能仍无法达到要求，这时就必须寻求另外的方法来求解该问题。

本章首先引入最优化的概念，然后介绍一种直观的问题求解方法：贪婪算法。

最后，应用该算法给出货箱装船问题、背包问题、拓扑排序问题、二分覆盖问题、最短路径问题、最小代价生成树等问题的求解方案。

1.1 最优化问题本章及后续章节中的许多例子都是最优化问题（ optimization problem），每个最优化问题都包含一组限制条件（ c o n s t r a i n t）和一个优化函数（ optimization function），符合限制条件的问题求解方案称为可行解（feasible solution），使优化函数取得最佳值的可行解称为最优解（optimal solution）。

例1-1 [ 渴婴问题] 有一个非常渴的、聪明的小婴儿，她可能得到的东西包括一杯水、一桶牛奶、多罐不同种类的果汁、许多不同的装在瓶子或罐子中的苏打水，即婴儿可得到n 种不同的饮料。

根据以前关于这n 种饮料的不同体验，此婴儿知道这其中某些饮料更合自己的胃口，因此，婴儿采取如下方法为每一种饮料赋予一个满意度值：饮用1盎司第i 种饮料，对它作出相对评价，将一个数值s i 作为满意度赋予第i 种饮料。

通常，这个婴儿都会尽量饮用具有最大满意度值的饮料来最大限度地满足她解渴的需要，但是不幸的是：具有最大满意度值的饮料有时并没有足够的量来满足此婴儿解渴的需要。

设a i是第i 种饮料的总量（以盎司为单位），而此婴儿需要t 盎司的饮料来解渴，那么，需要饮用n种不同的饮料各多少量才能满足婴儿解渴的需求呢？设各种饮料的满意度已知。

求最值的方法

求最值的方法【导言】在很多问题中，我们需要求最大值或最小值，比如优化问题、最优化问题或计算机视觉中的物体检测问题等。

而经典的求最值方法主要有枚举法、贪心算法、分治法、动态规划和深度优先搜索等。

本文将对这些方法进行详细的介绍，并结合实际例子进行说明。

【正文】一、枚举法枚举法是一种最基础的求最值方法。

它的求解思路是，对问题中所有可能的情况进行遍历，并得出最优解。

由于枚举法的过程中会穷尽所有情况，所以它具有很高的准确性。

但由于它的计算复杂度很高，因此只适用于问题空间较小的情况。

代码示例：```int maxSubArray(vector<int>& nums) {int res = nums[0], sum = 0;for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {sum = max(sum + nums[i], nums[i]);res = max(res, sum);}return res;}```二、贪心算法贪心算法是一种基于贪心策略的求最值方法。

贪心策略简单来说就是，每一步都选择当下最优的解。

贪心算法通常能够得到局部最优解，在一定条件下能够得到全局最优解。

由于它只考虑了当前的最优解，因此不能保证在所有情况下都能够得到最优解。

```struct Item{int value;int weight;};bool cmp(const Item &w1, const Item &w2){double r1 = (double)w1.value / w1.weight;double r2 = (double)w2.value / w2.weight;return r1 > r2;}double fractionalKnapsack(int N, std::vector<Item> &items, int W){std::sort(items.begin(), items.end(), cmp);return res;}```三、分治法分治法是一种递归求解问题的方法。

[整理版]数学建模中用到的启发式算法

启发式搜索"启发"( heuristic)是关于发现和发明规则及方法的研究。

在状态空间搜索中, 启发式被定义成一系列规则, 它从状态空间中选择最有希望到达问题解的路径。

人工智能问题求解者在两种基本情况下运用启发式策略:1.一个问题由于在问题陈述和数据获取方面固有的模糊性可能使它没有一个确定的解。

医疗诊断即是一例。

所给出的一系列症状可能有多个原因; 医生运用启发搜索来选择最有可能的论断并依此产生治疗的计划。

视觉问题又是一例。

看到的景物经常是模糊的, 各个物体在其连接、范围和方向上可以有多个解释。

光所造成的幻觉加大了这些模糊性, 视觉系统可运用启发式策略选择一给定景象的最有可能解释。

2.一个问题可能有确定解, 但是求解过程中的计算机代价令人难以接受。

在很多问题(如国际象棋)中, 状态空间的增长特别快, 可能的状态数随着搜索的深度呈指数级增长、分解。

在这种情况下, 穷尽式搜索策略, 诸如深度优先或广度优先搜索,在一个给定的较实际的时空内很可能得不到最终的解。

启发式策略通过指导搜索向最有希望的方向前进降低了复杂性。

通过仔细考虑, 删除某些状态及其延伸, 启发式算法可以消除组合爆炸, 并得到令人能接受的解。

然而, 和发明创造的所有规则一样, 启发式策略也是极易出错的。

在解决问题过程中启发仅仅是下一步将要采取措施的一个猜想。

它常常根据经验和直觉来判断。

由于启发式搜索只有有限的信息,诸如当前Open表中状态的描述,要想预测进一步搜索过程中状态空间的具体的行为很难办到。

一个启发式搜索可能得到一个次最佳解, 也可能一无所获。

这是启发式搜索固有的局限性。

这种局限性不可能由所谓更好的启发式策略或更有效的搜索算法来消除。

启发式策略及算法设计一直是人工智能的核心问题。

博奕和定理证明是两个最古老的应用: 二者都需要启发式知识来剪枝以减少状态空间。

显然, 检查数学领域中每一步推理或棋盘上每一步可能的移动是不可行的。

图论中的图的着色与染色问题

图论中的图的着色与染色问题在图论中，图的着色与染色问题是一类经典的问题。

图的着色是指给图的每个顶点赋予一个颜色，要求相邻的顶点不能有相同的颜色；而图的染色是指给图的边赋予一个颜色，要求相邻的边不能有相同的颜色。

一、图的顶点着色图的顶点着色问题是图论中的经典问题之一。

给定一个无向图，要求为每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。

这个问题的本质是将相邻的顶点划分到不同的颜色集合中。

解决图的顶点着色问题有多种算法，其中较为简单和常用的是贪心算法。

贪心算法按照某种规则为图的顶点逐个着色，每次着色时选择当前可用颜色的最小编号。

贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n 为图的顶点数。

二、图的边染色图的边染色问题是另一个经典的图论问题。

给定一个无向图，要求给每条边分配一个颜色，使得任意两条相邻的边颜色不同。

这个问题的目标是将相邻的边划分到不同的颜色集合中。

解决图的边染色问题的算法有多种，其中常用的是基于回溯法和深度优先搜索的算法。

回溯法通过递归地尝试为每条边分配颜色，并根据约束条件进行回溯，直到找到可行的解或者穷尽所有可能。

深度优先搜索则通过遍历图的边，逐个给边染色，当发现某条边与相邻边颜色相同时，回溯到前一条边重新选择颜色。

三、特殊图的着色与染色问题除了一般的图的着色与染色问题，还存在一些特殊类型的图，对应着特殊的着色与染色问题。

1. 树的着色与染色：在树中，任意两个顶点之间都只有一条路径，因此树的着色与染色问题可以简化为树的边染色问题。

树的边染色问题可以使用贪心算法解决，每次为某条边选择一个未使用的颜色，直到所有边都被染色。

2. 平面图的着色与染色：平面图是指可以画在平面上，且任意两条边最多只有一个公共顶点的图。

平面图的着色与染色问题是在满足平面图约束条件下对图进行着色或染色。

对于平面图的着色与染色问题，使用四色定理可以得到解，即任何平面图最多只需要四种颜色来着色或染色。

四、应用领域图的着色与染色问题在实际应用中具有广泛的应用。

25个经典的元启发式算法

25个经典的元启发式算法元启发式算法（metaheuristic algorithm）是一种用于解决复杂优化问题的算法。

它们通常基于自然界的现象或者数学模型，能够快速、有效地寻找到全局最优解或者接近最优解。

下面我们来看看25个经典的元启发式算法。

1.蚁群算法（Ant Colony Optimization）:模拟蚂蚁寻找食物的行为，用于解决组合优化问题。

2.遗传算法（Genetic Algorithm）:模拟生物进化的过程，用于解决优化问题。

3.粒子群算法（Particle Swarm Optimization）:模拟鸟群觅食的行为，用于解决连续优化问题。

4.模拟退火算法（Simulated Annealing）:模拟固体退火的过程，用于解决组合优化问题。

5.蚁狮算法（Ant Lion Optimizer）:模拟蚁狮捕食的过程，用于解决连续优化问题。

6.蝗虫优化算法（Grasshopper Optimization Algorithm）:模拟蝗虫觅食的行为，用于解决优化问题。

7.人工蜂群算法（Artificial Bee Colony Algorithm）:模拟蜜蜂寻找花蜜的行为，用于解决优化问题。

8.蝇算法（Fly Algorithm）:模拟蝇类觅食的行为，用于解决优化问题。

9.骨骼优化算法（Skeleton-based Optimization Algorithm）:模拟骨骼结构的优化过程，用于解决优化问题。

10.人工鱼群算法（Artificial Fish Swarm Algorithm）:模拟鱼群觅食的行为，用于解决优化问题。

11.基因表达式编程算法（Gene Expression Programming Algorithm）:模拟基因调控的过程，用于解决优化问题。

12.蚁狮算法（Ant Lion Optimizer）:模拟蚁狮捕食的过程，用于解决连续优化问题。

13.蝗虫优化算法（Grasshopper Optimization Algorithm）:模拟蝗虫觅食的行为，用于解决优化问题。

c语言冯氏着色

c语言冯氏着色冯氏着色是一种经典的颜色填充算法，最早由德国计算机科学家克里斯汀·冯·诺依曼（Konrad Zuse）提出。

该算法通过扫描线的方式，将图形的内部区域填充上颜色，从而实现图形的着色效果。

冯氏着色算法的基本思想是从种子像素开始，沿着扫描线向四周扩展，直到遇到边界或者已经填充过的像素为止。

这种算法的优点是简单高效，适用于各种复杂形状的图形填充。

冯氏着色算法的具体实现步骤如下：1. 初始化一个颜色缓冲区，用于记录每个像素的颜色状态。

初始状态可以为空或者设定为背景色。

2. 选择一个种子像素，将其颜色设置为要填充的颜色，并将其加入到一个待处理的像素队列中。

3. 从待处理的像素队列中取出一个像素进行处理，首先检查其上下左右四个相邻像素的状态。

4. 如果相邻像素为空或者为背景色，则将其颜色设置为要填充的颜色，并将其加入到待处理的像素队列中。

5. 重复步骤3和步骤4，直到待处理的像素队列为空，即所有的像素都已经处理完毕。

冯氏着色算法的关键在于确定相邻像素的状态，常用的方法有两种：扫描线填充和递归填充。

扫描线填充是指按照扫描线的方式，从图形的顶部开始，一行一行地进行填充。

对于每一行，从左到右扫描像素，找到需要填充的区域，然后将其加入到待处理的像素队列中。

递归填充是指通过递归调用的方式，将种子像素的状态传递给相邻像素，从而实现填充。

递归填充的优点是实现简单，但对于大图形来说，递归的层次较深，容易导致栈溢出。

冯氏着色算法在计算机图形学中有着广泛的应用，可以用于实现图像的填充、涂色、着色等效果。

同时，该算法也可以用于图形的裁剪、蒙版等操作。

在计算机游戏、动画制作、图像处理等领域都有着重要的作用。

冯氏着色算法虽然简单易懂，但也存在一些问题。

比如，在处理复杂图形时，可能会出现边界填充不完整、颜色渗透等问题。

为了解决这些问题，可以采用多边形填充算法、纹理映射等技术进行优化和改进。

冯氏着色算法是一种经典的图形填充算法，通过扫描线的方式实现图形的着色效果。

求最大完全子图的启发式着色算法

为顶点着色分类的方法划分各个极大相容类，进一步研究
可将该方法演化为求极大完全子图（ｒａｏｌｔｕ — ｇｅｔｍｐｅｅｓｂｃｄｇａｈ的一般算法，而也就得到了求最大完全子图的ｒｐ）进算法．
２相关概念
定义１］［通常把二元序组（，），７ＶＥ称为图．记为：Ｇ（
解决．针对该情况，一些学者提出了启发式算法求解最大完全子图问题，当前的启发式算法都基于以下几类：序顺贪婪启发式算法ｌ、传算法、经网络＿、２遗］ｊ神４模拟退火和］
禁忌搜索＿、于连续的启发式算法 ¨ 等，得了令人满５基Ｊ６取
第ｌ２卷第２期２１００年４月
滁州学院学报ＪＵＮＬＦＣＵＨＵＵＩＥＳＹＯＲＡＺＯＮＶＲＩＯＨＴ
Ｖ１１．ｏ．２Ｎｏ２
Ａｐ．２１ｔ００
求最大完全子图的启发式着色算法
着色算法是图论中的一种经典算法，它通过对图的顶点着色或边着色的途径在方案选择及地图学等各个领域有着广泛的运用．但通过文献查询，目前还没有发现运用着色手段求解最大完全子图的成熟算法，经研究，本文推
出一种对无环的简单元向连通图求解最大完全子图的着
试设备Ａ（ｕｏｔｓｅｕｐｎ）ＴＥａｔｍａｉｔｔｑｉｃｅｍｅｔ向测试芯片传输大量的测试数据，为减少测试时问，降低测试成本，要对测需试数据进行压缩，由于测试数据中含有大量无关位，量向间的相容性较好，因此可对测试向量采取相容压缩的方法．相容是指两测试向量对应位相同或其中一位为无关

图论中的图着色问题算法

图论中的图着色问题算法图着色问题是图论中的一个重要研究课题，它的目标是给定一个无向图，为每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点拥有不同的颜色。

这个问题有着广泛的应用，例如地图着色、课程时间表安排以及调度等领域。

本文将介绍几种常见的图着色算法。

一、贪心算法贪心算法是解决图着色问题最直接且简便的方法之一。

其基本思想是从图的某个顶点开始，依次为每个顶点选择一个未被使用的最小颜色号。

该算法的具体步骤如下：1. 选择一个起始顶点v，并为其分配一个颜色c。

2. 对于v的所有相邻顶点u，如果u未着色，则为u选择一个未被使用的最小颜色号，并标记u为已着色。

3. 重复步骤2，直到所有顶点都被着色。

贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为顶点数。

该算法的缺点是可能得到的着色方案不是最优解。

二、回溯算法回溯算法是另一种常见的用于解决图着色问题的算法。

其基本思想是通过不断尝试不同的着色方案，直到找到一个满足条件的解。

该算法的具体步骤如下：1. 选择一个起始顶点v，并为其分配一个颜色c。

2. 对于v的所有相邻顶点u，如果u未着色，则为u选择一个未被使用的颜色号，并标记u为已着色。

3. 选择下一个未着色的顶点作为新的起始顶点，重复步骤2。

4. 如果无法为任何顶点着色，则回溯到上一步，修改之前的着色方案，为当前顶点选择一个新的颜色。

5. 重复步骤3和步骤4，直到所有顶点都被着色。

回溯算法的时间复杂度取决于图的结构和颜色数目，一般情况下是指数级的。

该算法可以得到最优解，但在处理大规模问题时效率较低。

三、基于现有算法的改进除了贪心算法和回溯算法外，还存在一些基于这两种算法的改进方法，以提高图着色问题的求解效率。

例如，使用启发式算法、剪枝技术以及约束求解等方法。

启发式算法是一种非确定性的搜索算法，通过引入启发函数来指导搜索过程，以期望更快地找到一个不错的解。

典型的启发式算法包括Tabu搜索、模拟退火算法等。

剪枝技术是在搜索过程中通过判断某些分支的无效性，从而减少搜索空间，提高算法效率。

数学建模中用到的启发式算法

数学建模中用到的启发式算法
启发式算法是一种通过显式的方法解决问题的技术，它常常被用在解决复杂的数学建模问题。

它的优点在于它可以快速地找到最优解，而无需进行一次详细的。

启发式算法的基本结构是通过一系列概率分布函数来生成候选解决方案，它们会根据先前的经验以及当前的模型来评估这些候选方案，并且选择最有可能的候选方案作为解决方案。

启发式算法在数学建模中的一个有用的应用是局部最优化。

局部最优化算法包括模拟退火（SA）、遗传算法（GA）和蚁群算法（ACO）。

这三种算法都是一种启发式算法，它们的目标是在一系列可能的候选解决方案中，找出一个尽可能接近最优解的解决方案。

模拟退火算法模拟了物理冷却过程，利用热量的传递作为一种方法，从而在空间中以一定的概率寻找最优解。

它的基本假设是，能量会沿着温度的降低而流向最低点。

尽管很多时候不能找到全局最优解，但它还是能够快速地找到一个良好的、可接受的最优解。

遗传算法是一种最优解的启发式算法，它模仿生物进化的过程，如遗传、变异和选择，并用它们来更新候选解决方案。

求最大完全子图的启发式着色算法

求最大完全子图的启发式着色算法李建新【摘要】本文提出了一种求最大完全子图的启发式着色算法.该算法通过为顶点着色将已知无向图划分为极大完全子图的并集,再根据各极大完全子图中顶点的多少选取最大完全子图.随后为提高算法执行效率,又对该算法提出了一种精简措施.最后将该算法运用于一集成电路测试数据编码压缩实验中,证明了该算法对求解最大完全子图的有效性.【期刊名称】《滁州学院学报》【年(卷),期】2010(012)002【总页数】3页(P9-11)【关键词】最大完全子图;极大完全子图;启发式算法;着色算法【作者】李建新【作者单位】宿州学院,计算机科学与技术系,人工智能与数据挖掘研究室,安徽,宿州,234000;合肥工业大学,计算机与信息学院,安徽,合肥,230009【正文语种】中文【中图分类】O157.6最大完全子图(maximum comp leted sub-graph)问题是图论中的一个经典组合优化问题,也是一类NP完全问题,对它的研究具有很大的理论和实用价值,该问题在实践中被广泛应用于市场分析、方案选择、管理决策、故障诊断、数据压缩等不同领域.目前国内外对最大完全子图问题的求解有广泛的研究,大致可分为确定性算法(exact algorithm)[1]和启发式(heuristic algo rithm)[2-6]算法两大类.确定性算法在求解顶点数相对较少、密度相对较低的图时尚为有效,随着研究的深入,遇到的问题复杂度越来越高(顶点增多和边密度变大),确定性算法逐渐不能有效解决.针对该情况,一些学者提出了启发式算法求解最大完全子图问题,当前的启发式算法都基于以下几类:顺序贪婪启发式算法[2]、遗传算法[3]、神经网络[4]、模拟退火和禁忌搜索[5]、基于连续的启发式算法[6]等,取得了令人满意的效果.着色算法是图论中的一种经典算法,它通过对图的顶点着色或边着色的途径在方案选择及地图学等各个领域有着广泛的运用.但通过文献查询,目前还没有发现运用着色手段求解最大完全子图的成熟算法,经研究,本文推出一种对无环的简单无向连通图求解最大完全子图的着色算法,该算法也是一种启发式算法.该算法思想来源于本人对集成电路的测试向量相容压缩的研究.在对集成电路进行测试时,需要通过自动测试设备A TE(automatic test equipment)向测试芯片传输大量的测试数据,为减少测试时间,降低测试成本,需要对测试数据进行压缩,由于测试数据中含有大量无关位,向量间的相容性较好,因此可对测试向量采取相容压缩的方法.相容是指两测试向量对应位相同或其中一位为无关位,相容压缩是将测试集中相容的测试向量合并为一个向量.为追求最大压缩率,需寻求测试集中的极大相容类,这个问题可映射为图论中的极大完全子图问题,并且可通过为顶点着色分类的方法划分各个极大相容类,进一步研究可将该方法演化为求极大完全子图(great completed subgraph)的一般算法,进而也就得到了求最大完全子图的算法.定义1[7]通常把二元序组(V,E),称为图.记为:G( V,E),或G=(V,E).其中:V表示顶点集,V(G)={图G中顶点的集合};E表示边集,E(G)={图G中边的集合};定义2[2]设H=(V’、E’),V’⊂V,E’⊂E.如果∀x、y∈V’,H中都有连接x与y 的边,则称H是G的完全子图.如果不存在G的完全子图M,使得V(H)⊂V(M),E (H)⊂E(M),则称H为G的极大完全子图.|V(H)|值最大的极大完全子图称为最大完全子图.引理[8]设R是集合A上的关系,P1、P2……是A中的所有等价类,于是A=P1∪P2∪P3……且Pi∩Pj=Φ(i≠j)结论1[8]极大完全子图的点集在两两相邻的关系下是一等价类.结论2[8]任意图G的点集P(G)可划分为所有极大完全子图的并集,即P(G)=P(G1)∪P(G2)∪…∪P(Gk)∪…,且P(Gi)∩P(Gj)=φ,i≠j.Gi(i=1,2,…)是G的极大完全子图.由上述结论2,任一无向图G均可以划分为极大完全子图的并集,因此可以对一无向图进行极大完全子图化.本算法首先按从大到小的顺序产生出各个极大完全子图,同时对不同的极大完全子图的顶点着不同的颜色,然后返回着某种颜色最多的极大完全子图即为最大完全子图.为更突出表现算法思想,本算法采用清晰的自然语言进行表达,描述如下:根据实际问题进行抽象,建立一无向图G=(V,E);for(对于每个顶点v){Full_degree=0;Uncolor_degree=顶点v的度;}按照一定的顺序放置颜色c1,c2,…,ck;初始化各颜色数值c1=c2=…=ck=0w hile(G中所有顶点未完全着色){v=Full_degree最高的未着色顶点,Full_degree相同情况下是Uncolor_degree最高的未着色顶点,两者都相同情况下是索引较小的未着色顶点;j=某种颜色的索引,这种颜色若已出现过,则着该颜色的全部顶点都要落在v的已着色的邻接顶点范围内,若没有任何一种颜色的全部出现在v的已着色的邻接顶点中,则j为从未出现过的颜色的最小索引;fo r(与v邻接的每个未着色顶点u){Full_degree++;Uncolor_degree--;}v的颜色=cj;cj++}Return cj最大的完全子图为便于理解上述算法,现举例说明,建立一简单无向图如图1所示,对该图运用上述启发式算法进行着色的过程以及算法中关键变量的变化过程如表1所示,其中顶点序号vi是指图1中的各个顶点;si是第指第i步,即stepi,其中s0是指初始状态;指针指向第i步所考察的需着色的顶点,每一步考察一个顶点及其与邻接顶点的关系,并对它进行着色;Cj是颜色序号;Full_degree和Uncolo r_degree是控制各顶点着色情况的两个变量;“无”是指初始时各顶点均无颜色;“-”是指保持前边的值不变. 最终实现极大完全子图的划分结果如下:着C1颜色的顶点集V(G1)={v1、v3、v7}着C2颜色的顶点集V(G2)={v4、v6}着C3颜色的顶点集V(G3)={v2、v8}着C4颜色的顶点集V(G4)={v5}经比较知,由顶点集V(G1)构成的完全子图即为最大完全子图.在实际问题中,经常会遇到不必求解出所有的极大完全子图,而只需要求出几个相对较大的完全子图的情况,在这种情况下,可以先对已知图进行适当的精简处理,再运用上述启发式算法求解,将会大大提高算法执行效率.经过大量实例研究表明,一个图的较大完全子图往往存在于度数较高的一定数量的顶点之间,因此,对复杂图精简处理时可采取适度删除低度数顶点及其边的措施来降低图的复杂性,进而降低算法执行的时间和空间复杂度.比如在上述图1中,如果先删除掉度数为1的顶点V2、V5、V6及其由它们发出的边,图1将变为如图2所示,这时再运用着色算法求解最大完全子图(由顶点V1、V3、V7组成),算法执行效率会更高.本算法在集成电路测试数据某相容压缩实验中得以运用,顺利地完成了实验任务,使实验达到了预期的结果,同时验证了本算法的有效性.实验中以ISCAS-89基准电路的几个规模较大的时序电路的M intest测试向量集的测试向量作为实验对象,整个实验在VC++环境中实现.为了提高向量间的相关性,对集成电路S5378f、S9234f、S13207f、S15850f、S38417f、S35854f的各个测试集均采取了分组相容的措施,首先将测试集按列分组,根据每组测试分量间的相关性建立相关性无向图(以邻接表存储),图的顶点表示测试分量字段,边表示测试分量间具有相关性,然后运用上述算法划分极大完全子图,每一个极大完全子图内的测试分量是两两相关的,可以合并为一个测试分量,达到压缩的目的.因此随着分组方法的不同,构建的相关性无向图边数是大不相同的,边数统计不具有确定性,但顶点数目是固定的,各测试集构成的无向图的顶点数规模如表2所列.由表2可看出由各测试集的测试分量构成的图的顶点规模是较大的,由此也可以窥见图的复杂性,并且分组越多,测试分量间的相关性越好,图的边密度越大.本算法在此实验中发挥了巨大的作用,同时也显示了它在求解多顶点高密度图最大完全子图问题中的有效性.本文从理论到实践阐释了一种用于求解最大完全子图的启发式着色算法,该算法思路清晰,通过实验证明该算法在处理多顶点高密度无向图时较为有效.但作为一种启发式算法,还有可能存在找不到最优解,而只有近优解的情况,因此本算法还有必要继续优化.实践证明,在上述算法演进一节中所述的降低图的复杂性的精简处理措施除了可提高算法的执行效率外,还有利于增加极大完全子图的确定性,遴选出最大完全子图,找到近优解.因此算法的优化除对算法本身进行改进外,还可考虑在不同需要的情况下对图采取适当的精简措施,另外,还可在图的存储结构等方面进行研究.【相关文献】[1] ADLEMAN L M.Molecular computation of solutions to combinatorial problems[J].Science,1994,226(11):1021 -1024.[2] 郭平,康艳荣,史晓晨.基于最大code码的极大完全子图算法[J].计算机科学,2006,33(2):188-190.[3] CARTER B,PARK K.How good are genetic algorithms at finding large cliques:an experimental study,Technical Report Bu-CS-93-015[R].Boston:Computer Science Dept.,Boston University,1993.[4] BALLARD D H,GARDNER P C,SR IN IVASM A.Graph p roblemsand connectionist architectures,Technical Report TR 167[R].New Yo rk:Dep t Computer Science,University of Rochester,1987.[5] AARTS E,KORST J.Simulated annealing and boltzmann machines,astochastic app roach to combinational op tim ization and neural computing[M].New York:Wiley,1989.[6] PARDALOS PM,PH ILL IPSA T.Aglobal op timization app roach forsolving the maximum clique p roblem[J].International Jou rna l o f comp uter Mathema tic s,1990,33:209 -216.[7] 孙晶,张东林.离散数学[M].沈阳:东北大学出版社2004:103.[8] 王世昌,兰绍玉.极大完全子图在管理决策中的应用[J].计算机应用,1995,15(4):29-31.。

求最大完全子图的启发式着色算法

图的着色问题--C++实现(含详细注释)

图着色问题的启发式搜索蚂蚁算法

0030算法笔记——最大团问题和图的m着色问题

交叉立方体的最大导出子图与拥塞

使用遗传算法解决图着色问题

求解目标函数不连续的优化问题 启发式算法

图论课件第七章图的着色

图的着色算法

公平分配问题中的启发式算法设计

贪婪算法(例题及相关解答)

求最值的方法

[整理版]数学建模中用到的启发式算法

图论中的图的着色与染色问题

25个经典的元启发式算法

c语言冯氏着色

求最大完全子图的启发式着色算法

图论中的图着色问题算法

数学建模中用到的启发式算法

求最大完全子图的启发式着色算法

求解目标函数不连续的优化问题启发式算法