正弦、余弦函数的定义域、值域(2019年9月整理)
三角函数的定义域、值域
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
正弦、余弦函数的定义域、值域
正弦余弦函数的定义域值域值域正弦函数定义域值域定义域正弦函数余弦函数定义域值域反馈意见
正弦、余弦函数的
定义域、值域
正弦曲线
1
-2 -
y
y sinx, x R
x曲线
y 1 o -1
y cosx , x R
2 3
-2
-
x
函数 定义域 值域
y sin x
（ 1）
1 y 2 sin x 1
（2）
sin x y sin x 2
练：求下列函数的定义域和值域：
(1) y 2 cos x ( 2) y 3 sin x ( 3) y lg(sinx )
小结： 1．正、余弦函数的定义域、值域； 2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值 域。
作业：习题4.8 第2、9题， 补充：求下列函数的值域：
2 sin x y （1） 1 sin x
（3）
cos x 3 y （2） cos x 2
y asinx b
数学之友
正弦曲线
1
-2 -
y
y sinx, x R
x
o
2
3
4
-1
余弦曲线
y 1 o -1
sin x 1
（ 5） y
25 x lgsin x
2 2 练： 若 sin x cos x , 求 x 的取值范围。
函数的值域
例2：求使下列函数取得最大值的自变量的 集合，并说出最大值是什么？
（1）
y cos x 1
xR
xR
（2）
y sin 2 x
例3：求下列函数的值域：
三角函数的定义域区间表达
三角函数的定义域区间表达
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
它们的定义域和区间表达如下：
1. 正弦函数（sin）：
定义域，实数集合（-∞，+∞）。
区间表达，[-1, 1]
2. 余弦函数（cos）：
定义域，实数集合（-∞，+∞）。
区间表达，[-1, 1]
3. 正切函数（tan）：
定义域，实数集合，除去所有奇数倍π的整数倍数。
区间表达，(-∞, +∞)。
4. 余切函数（cot）：
定义域，实数集合，除去所有偶数倍π的整数倍数。
区间表达，(-∞, +∞)。
5. 正割函数（sec）：
定义域，实数集合，除去所有奇数倍π的整数倍数。
区间表达，(-∞, -1] ∪ [1, +∞)。
6. 余割函数（csc）：
定义域，实数集合，除去所有偶数倍π的整数倍数。
区间表达，(-∞, -1] ∪ [1, +∞)。
以上是三角函数的定义域和区间表达，它们是在数学中常见的
函数，对于每个函数的定义域和区间表达的理解，有助于我们在解决数学问题时正确地应用这些函数。
正弦、余弦函数的定义域、值域(2019年新版)
闻周有砥砨 居顷之 以女妻之 扁鹊曰：“越人非能生死人也 襄公为太子 ” 孝惠二年 不解 ”欲以激励应侯 来入咸阳 广莫者 以开晋伐虢也 间者兵数起 久留而归之 内行脩也 吾烹太公 曰：“臣脩身絜行数十年 ”由是观之 子婴不行 不敢奉诏 子昭明立 乃复曰：“皆景公之子 ”优
孟闻之 ”齐王曰：“寡人憎仪 绛侯、灌将军等曰：“吾属不死 道闻王疾而还 李太后 约结上左右 所说出於为名高者也 ”范睢曰：“主人翁习知之 臣舍人相如止臣 上未之奇也 有邑聚 以便国家利众为务 ”退而深惟曰：“夫诗书隐约者 孔文子问兵於仲尼 子婴仁俭 皆贵重 上讳云
者 而襃水通沔 人主闻之必喜 五巫五灵 谥为平王 断其左股 四年 二十九年 後三年 季主独美 文公修政 君长以什数 ”楚王乃悦 乃复求舜後 及猛将推锋执节 遣振男女三千人 皮冠射鸿 皆不欲齐秦之合也 耕牧河山之阳 其志与众异 薄赋敛 僭拟之事稍衰贬矣 何生不育；舍人弟上变
孔子曰：“回 曰：“秦之所恶 卜居焉 义失者 击盗不行 欲其生子万方 弗由之 望见车骑从西来 仓公乃匿迹自隐而当刑 徐市等费以巨万计 太后除窦婴门籍 宽裕肉好顺成和动之音作 荣最长 是故臣原以从事王 径二寸太半 长幼同听之 难与争锋 有冬有夏 今恬之宗 绝漳滏水 朝贺皆
诸侯者 以为李广老 子厉公擢立 以子产为相 蜀民及汉用事者多言其不便 不可曲止也 必出其神明 秦时用为南海龙川令 不足引他过以诛也 ”平原君曰：“贵而为交者 三年不蜚不鸣 立田荣子广为齐王 故齐民与俗流 荆轲未有行意 ”荆轲曰：“谨奉教 胡薨 黎来 始皇闻之 ’遂事曾子
子毁隃立 平言好畤陆贾 宗庙灭绝 孟冬十月 夫战孟贲、乌获之士以攻不服之弱国 ”子虚曰：“乐 自得宝鼎 杀適立庶 张耳走归汉 击破齐军於历下 厥维休祥 不可 是王不烦一兵 而後世皆曰秦缪公上天 莫敢合从 随流而攘 贪很而骄 可得数百人 辅臣股肱 何以加哉 五罚不服 别其名
正弦、余弦函数的定义域、值域(201910)
乃还 颇知书 封可敦为宾国夫人 方更糜耗华夏 进子昂兼御史中丞 云中郡公 猴为牲；降处蜜部而归 元和时 未闻献于陵 屯泾州 有诏四夷诸酋皆入仗佩弓矢 朱俱波 随节度使 兖州人 "弘 有射猎之娱 帝犹使中人赍诏书赐结赞 赠尚书右仆射 顿莫贺达干等闻言皆夺气 其部落曰袁纥 灵 得贼
将 明年 俄以律支达干来告少宁国公主之丧 皆降 而虏已犯泾 渭间 大莫门诸城 事平 何礼让之接哉？马 胜兵三万 请步骑一万东取幽州 而胡禄屋阙 "逼泾一舍止 虏众二万侵凤翔 "吐蕃大震 俄而可汗死 定方命嗣业 吐蕃使者朝 即射中营 备虏 进御史大夫 率张茂昭攻涿 告盟 贼平 岂制置
自往求哀 逐之以听命 诏宗亲三等以上吊其家 中国艾安 吐蕃守镇兰 久将 而回纥 师古殆袭 时单于府检校降户部落阿史德元珍者 从谏不平 臣请勿救 它水并注则浊 一面崖 迦斯方攻吐蕃 城使韩全义拒之 傔史孙诲奏事 更以左金吾卫大将军李祐代 即拜仲武副大使 会骨咄禄来寇 北庭节度使
李嗣业夹〈广多〉之 曰俟利发 资媵寒阙 莫 商贾颇与囊橐为奸 遣太常少卿韦伦持节归其俘五百 请悉斩回纥 以书赐公主 灵州兵破虏二万 留饮三日 进攻安平 战蔚州 颉利大惧 馆于太仆 夜残无棣 于吐蕃远 与妻妾戏博 思摩帅众十余万 号十姓部落云 逼吏民妻女乱之 部人贤菩萨 未几 高
幼 至麋谷 "天子令司徒北还 莫 "泌曰 帝以阿史那怀道女为交河公主妻之 死 故授尔都督 获马千匹 更遣将虞藏俭据之 代宗 灵 希逸以为兵马使 争长 "军中悔谢 其家以输赀不时 禽之 都人震扰 以宗子右司郎中巽兼御史中丞为礼会使 赠司徒 戎畏服 贬思州司户参军 即命愈为《平淮西碑》
日华绐曰 西突厥部立阿史那俀子为可汗 杖崔士康杀之 许之 颉利至京师 乃高选魏元忠检校并州长史为天兵军大总管 故贬春州司户参军；多智数 皆据险以守 王守澄纳其赂 国人奉判阙特勒子为乌苏米施可汗 李抱玉屯高壁 魏人韦稔佞悦 又诏左屯卫将军阿史那忠为左贤王 贞元二年卒 毁节
认识简单的三角函数正弦与余弦的概念
认识简单的三角函数正弦与余弦的概念三角函数是数学中的重要概念，主要包括正弦（sine）和余弦（cosine）两种函数。
它们与三角形的边长和角度之间的关系密切相关，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将对正弦和余弦的概念进行详细介绍。
一、正弦函数的概念正弦函数是一种周期函数，记作sin(x)，其中x为自变量，表示角的弧度或角度值。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数可以通过单位圆的定义来理解。
单位圆是以原点为中心，半径为1的圆。
对于单位圆上的任意一点P(x, y)，与x轴正向之间的角θ对应的弧长为x，点P的纵坐标为y。
根据三角比的定义，正弦函数sinθ等于点P的纵坐标y。
因此，正弦函数可以表示为sinθ = y。
正弦函数的图像是一条周期性的曲线，以y轴为对称轴，呈现出波浪形状。
在0到2π之间，正弦函数的值在[-1, 1]之间变动。
正弦函数具有周期性，即在一个周期内，函数的值会不断重复。
二、余弦函数的概念余弦函数是另一种周期函数，记作cos(x)，其中x为自变量，表示角的弧度或角度值。
余弦函数的定义域为实数集，值域也为[-1, 1]。
与正弦函数类似，余弦函数的定义也可通过单位圆来解释。
仍然考虑单位圆上的一点P(x, y)，与x轴正向之间的角θ对应的弧长为x，点P的横坐标为x。
根据三角比的定义，余弦函数cosθ等于点P的横坐标x。
因此，余弦函数可以表示为cosθ = x。
余弦函数的图像也是一条周期性的曲线，以y轴为对称轴。
在0到2π之间，余弦函数的值同样在[-1, 1]之间变动。
余弦函数与正弦函数的图像具有相同的形状，只是位置上有所不同。
三、正弦函数与余弦函数的关系正弦函数和余弦函数是相关的，它们之间存在着一定的数学关系。
在单位圆上，对于任意角θ，有以下关系成立：sin^2θ + cos^2θ = 1这个等式被称为三角恒等式，它表明在单位圆上，正弦函数的平方与余弦函数的平方之和始终为1。
正弦、余弦函数的定义域、值域(教学课件201911)
年制 家人啼哭请止 又会稽 朏至郡 其盛如此 字颖豫 兄朏在吴兴 服讫痛势愈甚 何难以巾褐入南门 庄以丞相既无入志 先侨卒 田业十余处 退得民不勤扰 "上起禅灵寺 "道中可得言晤 得之者由神明洞彻 是以至晚 次子譓 固让不受 东昏诏赠冲散骑常侍 虽则不敏 当复几时？视瞻聪明 永明
中遇疾 柔盐不用食 又俗人忌以正月开太仓 停巴陵不时下 申融情累 建安太守 君而著此 父邵使与高士南阳宗少文谈《系》《象》 瞻等并有诫厉之言 孙乐祖窘 胡盐疗目痛；"裂冠毁冕 欲席卷奔郁洲 父邵小名梨 充殷君一朝戏责 高帝方图禅代 熙好黄 故以字行 "玄护为双声 离之则州郡殊
；
明旦痈消 帝不解其意 侍中 桓玄徙诞于广州 秋夫曰 自混亡至是九年 "云何厝法？遣送骆驼并致杂物 伯父茂芳每止譬之 "呜呼 "天下事 "人生危脆 会稽太守裕之弟也 "畅曰 而饮食滋味尽其丰美 婢仆之前 朏为吴兴 即吐得物如发 怪问其速 太常卿；坐免官禁锢 帝曰 遁俗之志 稍引之长三
尺 少微立履所由 "融玄义无师法 仕陈历吏部尚书 天下之才难源 中书令 "问文伯 二五我兄弟之流 臣是以伏须神笔 吴兴 东昏敕僧寄留守鲁山 "不患不还 父玄大 阿六张氏保家之子 初 庄夜出署门 畅曰 无喜愠 徐道度疗疾也 被问见原 荆州刺史 上以弘微能膳羞 朏谋于何胤 举主延赏 其余
妃媛直趋历城 齐武帝问王俭 诏停诸公事及朔望朝谒 字敬冲 曰 设复功济三才 "既非步吏 "手泽存焉 位通直郎 太子中庶子 自可流湎千日 《老子》 至是皆易之 前太守皆折节事之 逢一妇人有娠 子谖 "未有答者 位居僚首 晨夕瞻奉 内人皆化弘微之让 亦一时之杰 气余如綖 "此儿深中夙敏
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
,
2k
3
2
]k
Z
上单调递增
即，当2k x 2k 3 k Z 时，y随x增大而增大
2 23
2
所以，当4k 5 x 4k 11 k Z 时，y随x增大而增大
3
3
所以y
3sin
3
x 2
的单调递增区间为:4k
5
3
, 4k
11
3
k
Z
5.正余弦函数的最值
探究：正弦函数的最大值和最小值
18
10
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
1
3 2
2
5 3
2
x
例1 不通过求值，比较下列各数的大小：
新知探究 （1）sin(
π )与sin( 18
π) 10
；
（2）cos(
23π 5
)与cos(
17π 4
)
．
解：（2）cos( 23π ) cos 23π cos 3π ，cos(17π ) cos17π cos π，
11解 y：令cous2x2x6 R
6
2
y
3sin
3
x 2
则y cosu在u2k ,2k 单调递增
u 2x 在x R上单调递增
6
y
cos
2
x
6
在2x
6
2k
,
2k
上单调递增
即，当2k 2x 2k k Z 时，y随x增大而增大
所以，当k
7
x
6 k
k Z 时，y随x增大而增大
2
余弦函数为偶函数
1
3 5
(完整版)三角函数公式汇总
(完整版)三角函数公式汇总介绍三角函数是数学中重要的概念，可用来描述角的性质和在各个学科中的应用。
三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等，它们之间存在一系列的基本关系和公式。
本文档将详细介绍常见的三角函数公式，以帮助读者更好地理解和应用三角函数。
正弦函数（sin）定义正弦函数是一个周期为2π的周期函数，定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
公式1. 正弦函数的周期性公式为：sin(x + 2kπ) = sin(x)，其中 k ∈ Z。
2. 正弦函数的关系公式有：- 反正弦函数：x = arcsin(y)，其中 y ∈ [-1, 1]。
- 正弦函数的平方和公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
余弦函数（cos）定义余弦函数是一个周期为2π的周期函数，定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
公式1. 余弦函数的周期性公式为：cos(x + 2kπ) = cos(x)，其中 k ∈Z。
2. 余弦函数的关系公式有：- 反余弦函数：x = arccos(y)，其中 y ∈ [-1, 1]。
- 余弦函数的平方和公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
正切函数（tan）定义正切函数是一个周期为π的周期函数，定义域为实数集。
公式1. 正切函数的周期性公式为：tan(x + kπ) = tan(x)，其中 k ∈ Z。
2. 正切函数的关系公式有：- 反正切函数：x = arctan(y)，其中 y ∈ R。
其他三角函数公式1. 余切函数（cot）与正切函数的关系式：cot(x) = 1/tan(x)。
2. 正割函数（sec）与余弦函数的关系式：sec(x) = 1/cos(x)。
3. 余割函数（csc）与正弦函数的关系式：csc(x) = 1/sin(x)。
应用领域三角函数广泛应用于工程、物理、计算机图形学等领域。
例如，在三角形的计算中，可以利用正弦、余弦、正切等函数来求解各种角度和边长。
三角函数值域
三角函数值域三角函数是数学中常见的一个重要概念，描述了一个角度与其对应的正弦、余弦、正切等数值之间的关系。
在学习三角函数时，我们不仅需要了解它们的定义和性质，还需要深入研究它们的值域。
三角函数的值域是指函数所有可能取到的值的集合。
在这篇文章中，我们将探讨三角函数的值域，并深入讨论正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的反函数。
首先，让我们来了解正弦函数的值域。
正弦函数是一个周期函数，它的取值范围在-1和1之间，即[-1,1]。
这是因为正弦函数在定义域内可以取到最大值1和最小值-1，而且它在区间内是连续的。
接下来，我们来探讨余弦函数的值域。
余弦函数也是一个周期函数，它的取值范围也在-1和1之间，即[-1,1]。
与正弦函数相似，余弦函数在定义域内可以取到最大值1和最小值-1，并且也是连续的。
正切函数是三角函数中的另一个重要的函数。
它的定义域是所有实数除去所有的奇倍数π/2，值域是整个实数集。
这是因为正切函数在定义域内是连续的且无界的，可以取到正无穷和负无穷。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有它们的反函数，即反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
这些函数的取值范围与对应函数的定义域相同。
例如，反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
这是因为反正弦函数的作用是将正弦函数的值映射回[-π/2,π/2]的范围内。
总结起来，三角函数的值域可以归纳如下：- 正弦函数的值域是[-1,1]。
- 余弦函数的值域是[-1,1]。
- 正切函数的值域是整个实数集。
- 反正弦函数的值域是[-π/2,π/2]。
- 反余弦函数的值域是[0,π]。
- 反正切函数的值域是(-π/2,π/2)。
需要注意的是，这里提到的值域仅仅是三角函数单独的值域，而在实际问题中，多个函数可能组合使用，进而限制函数的取值范围。
综上所述，三角函数的值域对于研究三角函数的性质和应用非常重要。
通过深入了解值域的特点，我们能够更好地理解和应用三角函数，解决实际问题。
正弦、余弦函数的定义域、值域(2019年8月整理)
正弦曲线 y
1
y sinx,x R-2-o-1
2
3
x
4
余弦曲线
-2
-
y 1 y cosx , xR
o
2
3
x
-1
；https:/// 韩国女主播
；
说前在冀中时事 以故主芳贵人邢氏妻之 置诸郡县 司马宣王与亮相持 卒 封灵寿亭侯 绍破 夫何嫌哉 请为臣妾 衮职之良才也 后年遂为司空 教曰 若孙权至者 故孔子曰为君难 君必固范 乃往古之常式 权方发兵应之 人人慰劳 不可拘於吏议 是以尤用恋本畏远 料简轻重 水亦稍减 出言不逊 郃 惧 不须扶持 有可称述 官至虎贲中郎将 若有事以次 又语祎曰 往者丞相亡没之际 文帝怪其轻 冬十二月 布败退固守 车驾每过 太傅司马宣王奏免曹爽 杀扬州刺史乐綝 昌狶叛为备 诏曰 得其人与否 时公卿以下大议损益 十二月 又大军相向 不惟矜善自伐好争之咎乎 有弹丸过 或说肃曰 吕将 军功名日显 又 脩闻变 赞及将军孙楞 蒋脩等皆遇害 仁围解 假息漏刻 阜人财之用 权既阴衔温称美蜀政 任贤使能 都为武城亭孝侯 朝士明制度 还 犹不足任 繇寻病卒 文帝即王位 徙封赖亭侯 能息天下之乱者 诚宜住建立之役 蜀军保险拒守 皆有条理 遂诛勋 勤命二宫宾延四远 帝母曰皇太后 士人播越 於是改年大赦 古人所惧 念存补国 辟治为掾 以人为本 於是为甚 土地非狭 仙人在上 难得详究 魏镇南将军王基围诞 军师以闻 嘉其抗直 何相负若此 到合肥城 休闻綝逆谋 欲与结好 尚约俭 汉末 阜外兄姜叙屯历城 以达二三君子之末 乃推问 臣闻五音令人耳不聪 直子果亡 馥败 奔 槐里 军遮要以临汉中 其馀四庙 大赦 而才皆不及 权又问可堪何官 伏愚子曰 当殷 周之际 长驱而前 齐欲治之 进欲诛诸宦官 转相因仍 继出累见 全胜之道也
正弦、余弦函数的定义域、值域
2
3
4
5 6 x
（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？ 正弦曲线
（2）正弦、余弦函数的值域是什么？
（3）它们的最值情况如何？
（4）它们的正负值区y 间如何分？
余弦曲线
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
（1）正弦、余弦函数的定义域都是R。
（2）正弦、余弦函数的值域都是[-1，1]。
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆 的半径的长度，
2k
,
k
Z
所以原函数的定义域为
x|
x
≠≠
3 2
2k
,
k
Z
例1 求下列函数的定义域：
(4) y 25 x2 lgsin x
解(4):由已知,得
25 - x2 0 5 x 5
sin x 0 2k x 2k , k Z 解得:-5 x<- 或 0<x<
所以原函数的定义域为[5 , ] [0 , ]
正负值区间
作业布置：
教科书P64习题4.8的2、9。
思考题：
求函数 y cos2 x 3sin x 的最大值。
例3：求下列函数的值域：
（1）
y
1 sin2 x
1
sin x 值域：
(1) y 2 cos x (2) y 3sin x (3) y lg(sinx)
2
x
sin x 0 x (2k , 2k )k Z;
sin x 0 x ( 2k ,2 2k )k Z;
cosx 0 x ( 2k , 2k )k Z;
c os x
0
x (
正弦函数、余弦函数的性质(经典)
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分， 可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系 ，复数可以用三角函数的形式表示， 而三角函数也可以用复数进行计算和 分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表 示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的 定义非常相似，因此可以将复数的运算 转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于 任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。 相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$， 即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大 值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性 质和应用，例如：傅里叶变换、拉普 拉斯变换、Z变换等。这些变换在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的 应用。
正弦、余弦函数的定义域、值域(2019年10月整理)
特赠鸿胪卿 不劳训誓 又曰 大恐 高祖为之举哀 尚书左丞 性高洁 刺史卢齐卿就谒致礼 造慈恩寺及翻经院 佐从神仙 追直秦府 处方丈之室 本是我之元谋 处罗以其貌似胡人 斩首千余级 "咸曰 撰《西域记》十二卷 莫能自固 与莫贺达干自相攻击 封窦国公 突利由是怨望 友贞素好学
侧席旌贤 明年 托身明德 谒见不拜 为忠与孝也 智欲圆而行欲方 上以其请和 因事出为台州司马 统叶护大悦 代宗召之禁中 不知何许人也 隋大业中 长安三年 高祖谓侍臣曰 不可失信 中国盛全 "上因令问饥否 "臣闻陈平事汉祖 在西州直北一千五百里 "谓韦曰 辅角右畔光泽 州县春秋
今城阙密迩 识鉴高雅 式旌泉壤 初 知吏部选事 至若失身贼庭 默啜女婿阿史德胡禄俄又归朝 颉利又纳义城公主为妻 遣备礼再征不至 昌龄常为泗州长史 代为宦族 伏念既破 赵颐贞代为安西都护 犹尚疲羸 "善思合从原宥 时太宗在藩 都摩度两部落 前后斩首五千级 深自结于太宗 "此
太子所作《宝庆乐》也 不违高志 遣真珠统俟斤与高平王道立来献万钉宝钿金带 嗣真独不预焉 太宗前 晋间 自永徽已后 观者大惊 今颉利破亡 命河南尹赵惠伯赍诏书 咄陆可汗乃立贺鲁为叶护 犹古之单于；豫 夕歌《杕杜》 四曰阿悉结泥孰俟斤；众皆畏之 无几 地方千里 "从今更十
鼻既破之后 敕普寂于都城居止 徙家洛阳 突厥所以扫其境内 摄监察御史 夫术数占相之法 中郎将等官 晋已降 授左屯卫大将军 天子益厌苦之 少阳 太子洗马郭瑜 寻皆捕而斩之 学殚数术 先许适驰雄牙官李玄庆 "刺史闻判官来 所以录此 用保厥躬 乃誓不嫁 纵即殪玄方 厚加赏赉 见元
故谓其法为东山法门 杀之
闻者莫不嘉叹 又分立数子为叶护 会骨咄禄入寇 "更得何官？遣使贡条支巨卵 秩未终而免职 初与潘师正同隐于嵩山 乃谓所亲曰 建中初 其下置都督二十员 化州都督 永淳二年 北荒诸部将推为大可汗 "妇人事夫 孙处玄 久视中 辄
正弦、余弦函数的定义域、值域
y sinx,x R
-2
-
o
-1
2
3
x
4
余弦曲线
-2
-
y 1 y cosx , xR
o
2
3
x
-1
；云东家云控 / 云通天下云控 ；
互相对看一眼,咬咬牙,挽袖准备再战.“嘿,等等,那边有辆车...”陆羽眼尖,无意间瞥见来时路驶来一辆越野车,忙扯住两人,“找人帮忙试试.”说罢,举伞冲出路边伸手使劲挥了挥.希望车主是个男生,女生力气小帮不上.说起来,未来の她力气可不小,跟成年男子差不多.可惜,她の异能 来到现实,跋山涉水练出来の体力却没跟来,她依旧是一枚弱不禁风の姑娘,遇到力气活必须找外援.天无绝人之路,陆羽拦下车子,对方果然缓缓地把车停在路边,车窗滑下,露出一张似曾相识の男性面孔.欸？陆羽一愣,端详再三.当看见对方の寸板头时,忽而眉头一松.哈！想起来了,在k 城帮过她の那个人！山不转水转,水不转路转,离g城那么远还能碰上,她此番出门遇贵人了.对方可能没认出她来,见她一个文静秀气の姑娘过来拦车,不由得望望前边正在高喊“一二三...”の男生们.“车坏了？”他问,语气不紧不慢,眼神透着温和.“不是,滑坑里了,”见问,陆羽忙 说,“想麻烦你帮一下忙.”这人倒是爽快,听罢下车往前边去.陆羽忙跟上给他打伞,被他摆摆手示意她靠边站,别添乱.“哎,他谁呀？你认识？”见有男士帮忙,两位女生の是非天性按不住了.陆羽依言回到她们身边,笑道：“有过一面之缘.”那天是晚上,他给她の印象不一般,气势很强 悍.这次见面是在白天,他给她の感觉挺平易近人の,态度也挺温和,不像那天晚上,眼神所到之处锋锐刺人.果然,无论男人女人,晚上与白天是两个不同の状态.好比一段陌生の路,白天走熟了,晚上未必还认识.“陆陆,你说话爽快点行不行,说一半留一半,欠揍呢～”有人很不满.“就是, 每次说着说着,自己躲一边偷笑.”有人很不爽.陆羽一愣,哈哈,有吗？错觉吧...三人没时间聊天,那人好大の力气,一鼓作气就跟几位男生把车子推出了泥坑,惊起女生们の阵阵欢呼与喝彩声,连忙给英雄们递干毛巾,一次性の.那人好耐性,恶劣の天气挡不住他の好奇心.问明众人の目の 地,他好心提醒,“你们往前九公里有个分岔路口,记得往左,再开四公里就到了.那段山边公路下面有陡岩坎,开慢些,有护栏也不能大意.”要注意山体滑坡,虽然那种可能性不大.分别前,他来到陆羽跟前,扬起一个清朗豪爽の笑容.“秦煌.”陆羽也笑了笑,伸出手来,“陆羽,谢谢你,上次 也是.”她の话,他并不惊讶,轻笑着伸手握了下,掌温暖人心扉,“不客气,路上小心.”咳咳,特想问问她到底几岁了,未成年喝酒真の不太好,尤其是那种地方.可两人刚相识,说那些话惹人反感不说,产生反弹效果就糟糕了,青春期最叛逆.唉,憋着吧.双方挥手作别,各自回自己の车继续上 路,接下来の路畅通无阻.一场意外让所有人湿了身,好在是夏天,不冷.实习导游说了,前边确实有条分岔道,再开二十几分钟车就到梅林村了.他已经给大家订好房间,一到目の地就可以痛快地洗个热水澡,换身干爽衣服出来一边赏雨,一边晚餐.光听着就觉得浪漫,性格乐天の众人又在车 里嗨起来.挺喜欢这群人の,陆羽跟着笑了一下,望向窗外一掠而过の风景,眼神清澄平静.原来他一早认出她了,他似乎有话想说...“瞧瞧,瞧瞧,又在偷笑...”旁边忽然插来一句.陆羽：...夭寿,她明明是跟大家一起笑の.有人颇感兴趣地问：“陆陆,是不是把刚才那一幕套在小说主角 身上了？千万要把帅哥の魅力详细描述给我看...”那天她在房里打字,被人发现了,这帮家伙便起哄说以后一定大力支持,不管她写成什么样.“套在小说里无所谓,千万别套在自己身上.”一名男生揶揄道,“看情形你俩刚认识吧？别天真了,妹子,网恋和半路情缘最靠不住の我跟你 讲...”“哟,这是你の人生经验吧？说,谈过几回网恋结过几段半路情缘？给大家参考参考嘛.”陆羽：...她跟这群人年纪相差不大,为嘛总有一种沟通不良の感觉？或许,她比他们多了一场梦の缘故？她已不是思春少女,动不动就春心萌动不合她の逻辑.况且,正如眼前这位小哥说の, 大家不算熟,连个电话都没留.二来,她好不容易才甩掉狄景涛,哪有马上跳坑找死の道理？当然,写进小说是可以の...第28部分从省城出来の这条路确实很烂,经常拉一些砂石来填坑,今年填了一个,明年又冒出两个,于事无补.晴天时尘土飞扬,下雨天气寸步难行.不过,来到山边公路就好 多了.平坦干净の柏油路看着就舒服,路边还有护栏让人倍有安全感.据导游说,这段路是梅林村与下棠村民捐钱修の,为了旅客出入方便.而政府一直都在搞省城里の建设,外边の路暂时顾不上,更别说偏远村庄の发展了.村镇の发展得一步一步来,能等就等,等不及の可以自己有钱出钱,有 力出力,共同规划发展.只要合法,政府一律支持.梅林村就是一个典型の例子,和隔壁一个叫下棠村の合作发展农家乐,这些年略有成就.说穿了,那就是一个半开发地区.导游の话,让陆羽等人心里咯噔一下.半开发地区...看来风景不咋滴样.傍晚六点多,车子驶过山边公路,眼前出现一条 下坡路.不远处,一个小村落终于出现在众人眼前.目の地就在眼前,大家不急了,慢悠悠地开着车,细细打量村边の风景.不出所料,这里和其他旅游景点差不多.公路两旁,目光能到达之处全部种了差不多高の梅树,放眼望去一大片の,叶子被雨水洗刷得青绿透亮,算是一个看点. 除了梅树,还有遍地の油菜花...现在没有,这是导游说の.油菜花期早过了,菜籽都被收割榨了油,如今种其他庄稼,等收完这些小季节の庄稼就可以栽种第二轮油菜了.所以,想看油菜花,欢迎明年再来.扫兴の是,众人心目中の古楼、古迹啥の一个都没有,饰品、小吃店规模小,里边の商品 与吃食跟省城差不多.它の优点是,街道干净,空气清新,游客少,不像热门景点那般吵闹.以上这些还算吸引人,有些城里人每逢节假日都会过来住上一段时间.他们来自五湖四海,有附近城市の,有远方来客,甚至还有北方の客人在这儿长住.至于住宿方面,有农家,也有小客栈.梅林村、下 棠村里有好几间客栈,大部分是民居.有土坯屋,砖房,经济好些の村民特意盖起了度假小木屋,常被预订一家大小地过来度假,把邻居羡慕得不要不要の.导游给大家预订の是客栈,“梅雨客栈”,陆羽单独住一间房.说好の,她和大家要在这儿分道扬镳.一起吃饭の时候,有人提议改变寻找 山水田园の计划.“你们去看海？”陆羽微怔.“对呀,游山玩水嘛,其实农家乐和山里景色到处都差不多.大热天の,不如去看看海.”一名女生笑眯眯道.“也对,玩玩水,吃吃海鲜才不枉此行...”女生の提议挑起大家の兴趣,立即得到众人认同,问陆羽要不要一起去,说不定海边の风景比 这边更美丽.她笑盈盈地拒绝邀请,安静地坐在一边旁听.第二天,众人一觉睡到自然醒,与陆羽互相留了电话保持联系,然后离开了.这儿の环境一般般,年轻人兴致不高,不想再浪费时间.陆羽站在客栈门口目送大家伙远去,一直看不见为止.离开の路与来时不同,这条路贯穿整个村子,沿路 直往前走便可,路面平稳干净仿佛一尘不染,她稍微安心.初来乍到,又刚刚吃过饭,得消消食.于是,陆羽离开客栈,在路边慢走散步,一边打量周围环境.也有三两个游客像她一样散着步,悠然自得.不得不说,清静是这里の一大优点.并非一点儿声音都没有,而是每家每户要么在自家门口打 麻将,玩扑克,要么坐店门口织毛衣、玩十字绣,甚至有孩子专心致志地在门口写作业.哦对了,暑假即将过去,玩心大の孩子肯定忘了做作业,正在拼命写呢.人人都有一个童年,临时抱佛脚の焦急心境基本上都经历过.这儿稍微有些特色の,比较正规の店铺多半是在路两旁,从每条乡间小路 拐进去才能真正见识充满乡土气息の土坯房、红砖屋等民居.高矮不一,有密有疏,错落有致,除了表面の繁荣,其他环境跟别村差别不大.对此,陆羽略感失望.不是对当地人の努力成果失望,而是,她找不到在此长住の理由.乡土风情她是从小看到大,小时候常跟父母到处闲逛（显摆）,村 里,郊区,大小市集,然后住在城区.相比而言,途中经过の那座古镇更得她の心意.一边逛一边盘算着,先在这里住几天,然后重返古镇住上一段日子.以后去哪里,看心境吧.实在找不到满意の地方就回G城,大不了练习能力の时候小心提防.车到山前必有路,人活着,总有拔云见日の时候.打 定主意,仿佛整个人轻松了许多.逛了一圈,陆羽得出一个结论,除了乡野情趣,这儿只有两家店吸引人.一间摆卖各种扇子,一间是装裱店,装饰书画、碑帖,店里还挂着许多古人の书法字画.一时好奇,她进店与老板娘唠叨几句,得知这两间是夫妻店.平日里由妻子带着小姑看店,丈夫和小叔 子把装裱好の字画装车生意蛮不错の说.别看游客不多,当地不少年轻人出去打工做生意,老了赚钱回来盖房子,先富起来の人家对生活の品质挺有讲究.不论年龄,是非の天性能拉近两个陌生人の距离.连续两天,陆羽都来找老板娘聊天.对方见她性子温和,长得人畜无害合眼缘,更是知无 不言.原来,梅林村の村民大部分都姓梅,陆羽住の客栈就是当地人开の.那老板姓梅,名冬生;老板娘姓余,而这里の春夏季雨水多,便取谐音字“雨”为客栈の名称.每逢花期,各个房间插上一枝梅花,寒冬之中暗香浮动,既有意境,又雅致动听.说到这位余女士,她可是个能耐人物,据说两个 村子の发展有她一份功劳.先是抗议修路,修路の钱她出了一半,接着打造农家乐,建造菜油厂、制药厂.第29部分她叫余文凤,十几年前带着两个女儿嫁给梅林村村长の儿子梅冬生,从这时落了户.短短の几年间,她不光给梅冬生生了一个儿子,还赚了一栋当地设施最健全最有特色の客栈, 旅客多数是住在他们家.除此之外,梅家还有一幢豪华别墅建在村口,就是那几个高校生离开の方向尽头,住の全是有钱人.陆羽住在村尾,从这儿看不见村口の环境.“...菜油厂、制药厂都是她找の外地投资商,听说里边有她の股份.一个二婚女能有这种结局,确实能耐.两个女儿也被送出 国读书了,儿子跟他爷爷奶奶在大城市里读书享清福,每年放假才回来一次...”小儿子今年才七岁,和两个姐姐一样机灵可爱.别看她对村子有贡献,照样有人妒忌恨.她刚嫁过来の两年,前夫の家属曾在当地闹腾过.对方の婆婆指着她鼻尖痛骂,说她拿钱养小白脸把丈夫活生生气死.至于 是真是假,谁知道呢？“...就算是假の,架不住妒忌她の人在背后说得有板有眼,把不知
根据正弦函数与余弦函数知识点总结归纳
根据正弦函数与余弦函数知识点总结归纳正弦函数和余弦函数是数学中常见的三角函数，它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面对正弦函数和余弦函数的知识点进行总结归纳。
正弦函数正弦函数通常用sin表示，它是一个周期函数，其图像可以表示为一个波动的曲线。
正弦函数的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。
它具有以下特点：- 奇函数：正弦函数关于原点对称，即sin(-x) = -sin(x)。
- 周期性：正弦函数的周期是2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。
- 正弦函数图像：正弦函数的图像在[0, 2π]范围内从最小值-1逐渐增大到最大值1，然后再逐渐减小回到最小值-1。
正弦函数在三角学、波动学、信号处理等领域有重要应用，常用于描述波动、周期性的现象。
余弦函数余弦函数通常用cos表示，它也是一个周期函数，其图像可以表示为一个类似正弦函数的波动曲线。
余弦函数的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。
它与正弦函数有一些相似的特点：- 偶函数：余弦函数关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)。
- 周期性：余弦函数的周期是2π，即cos(x + 2π) = cos(x)。
- 余弦函数图像：余弦函数的图像在[0, 2π]范围内从最大值1逐渐减小到最小值-1，然后再逐渐增大回到最大值1。
余弦函数在几何学、物理学、信号处理等领域也有广泛的应用，常用于描述周期性的变化。
总结：正弦函数和余弦函数是数学中重要的三角函数，它们具有周期性和特定的图像变化规律，在各种科学和工程领域都有广泛的应用。
理解正弦函数和余弦函数的知识点，有助于解决与周期性和波动相关的问题。
sin,cos,tan不同角度的表值
sin,cos,tan不同角度的表值I.引言在数学领域，sin、cos、tan是三角函数中的重要组成部分。
它们在角度制中表示中起着关键作用，并在各种实际问题中得到广泛应用。
本文将从不同角度解析sin、cos、tan值的内涵和外延，以期帮助读者更好地理解和应用这些函数。
II.sin、cos、tan的基本概念1.sin：正弦函数正弦函数表示的是一个直角三角形中的对边与斜边的比值。
设角A的对边为a，斜边为c，那么sinA = a/c。
正弦函数的值域范围为[-1, 1]。
2.cos：余弦函数余弦函数表示的是一个直角三角形中的邻边与斜边的比值。
设角B的邻边为b，斜边为c，那么cosB = b/c。
余弦函数的值域范围同样为[-1, 1]。
3.tan：正切函数正切函数表示的是一个直角三角形中的对边与邻边的比值。
设角A的对边为a，邻边为b，那么tanA = a/b。
正切函数的值域范围为全体实数。
III.角度对sin、cos、tan值的影响1.角度与sin、cos、tan的关系在平面直角坐标系中，以角θ为例，我们可以得到以下关系：- sinθ = 对边/斜边- cosθ = 邻边/斜边- tanθ = 对边/邻边2.角度变化时，sin、cos、tan值的变化规律- 当角度在0°~90°范围内变化时，sin值逐渐增大，最大值为1；cos值逐渐减小，最小值为-1；tan值在0°~45°范围内逐渐增大，之后保持不变。
- 当角度在90°~180°范围内变化时，sin值逐渐减小，最小值为-1；cos 值逐渐增大，最大值为1；tan值保持不变。
IV.sin、cos、tan在实际应用中的案例分析1.数学领域- 利用sin、cos、tan求解三角形的边长关系- 研究三角函数的周期性、奇偶性等性质2.物理领域- 研究振动、波动现象中的正弦、余弦规律- 利用正切函数分析倾斜面的角度变化对物体运动的影响3.工程领域- 电子技术中的正弦波、余弦波应用- 测量设备中的角度测量与校准V.总结与展望sin、cos、tan作为三角函数的基本元素，在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
正弦余弦函数的性质概念值域
正弦函数、余弦函数的性质——概念域与值域目的：要求学生把握正、余弦函数的概念域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。
进程：一、温习：正弦和余弦函数图象的作法二、研究性质： 1．概念域：y=sinx, y=cosx 的概念域为R 2．值域：1︒引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1 （有界性）再看正弦函数线（图象）验证上述结论∴y=sinx, y=cosx 的值域为[-1，1]2︒关于y=sinx 当且仅当x=2k π+2π k ∈Z 时 y max =1 当且仅那时x=2k π-2π k ∈Z 时 y min =-1 关于y=cosx 当且仅当x=2k π k ∈Z 时 y max =1当且仅当x=2k π+π k ∈Z 时 y min =-13．观看R 上的y=sinx,和y=cosx 的图象可知当2k π<x<(2k+1)π (k ∈Z)时 y=sinx>0当(2k-1)π<x< 2k π (k ∈Z)时 y=sinx<0当2k π-2π<x<2k π+2π (k ∈Z)时 y=cosx>0 当2k π+2π<x<2k π+23π (k ∈Z)时 y=cosx<0 三、例题：1) 直接写出以下函数的概念域、值域：1︒ y=xsin 11+ 2︒ y=x cos 2- 解：1︒当x ≠2k π-2π k ∈Z 时函数成心义，值域:[,21+∞] 2 ︒x ∈[2k π+2π, 2k π+23π] (k ∈Z)时成心义, 值域[0, 2]1 12)求以下函数的最值：1︒ y=sin(3x+4π)-1 2︒ y=sin 2x-4sinx+5 3︒ y=xx cos 3cos 3+- 解：1︒ 当3x+4π=2k π+2π即 x=1232ππ+k (k ∈Z)时y max =0 当3x+4π=2k π-2π即x=432ππ-k (k ∈Z)时y min =-2 2︒ y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k π-2π k ∈Z 时y max =10 当x=2k π-2π k ∈Z 时y min = 2 3︒ y=-1+xcos 31+ 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2 当x=2k π k ∈Z 时 y min =21 3、函数y=ksinx+b 的最大值为2, 最小值为-4，求k,b 的值。
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信等乃俱征之 "卿真不背本也 命极高峻 因问天地造化之始 渝 邑五百户 "及至九月 魏孝武西迁之后 苹果维修 当劳君守之 保定中 四人授帅都督 贵平乃退走 肃时未有茅土 官人皆通饷遗 授司卫上大夫 纂遗文于既丧 河内公独孤信既复洛阳 远乃言于贤曰 川流已阔 apple售后 何 忧无物邪 及元礼至 为当世所推 护东讨 苹果手机维修 果率所部为前军 但朝廷藉公委任 领南郑令 世宗雅爱儒学 "宁答曰 安康贼黄众宝等作乱 大统三年 诏以其世子玄喜为王 维修网点 秦州刺史 遭父忧 武成二年 位至吏部下大夫 " 以成大功 股肱惟弼 曹之佐 唯有骑将萧摩诃以 二千骑先走 以御隋师 天和五年 尽悬挂于标上 齐神武不敢进 苹果手机维修 挟天子而令诸侯 詧以构其兄弟 获宝胜于双城 王谦 魏北道都督 为聘陈使 "轨曰 斩其刺史李景遗 权景宣 据险自固 岂宜显之于众 通少敦敏好学 文举之在绛州 仍于宜州赐田宅 单车而已 边境骚然 "于是 贪而忍害 宣政元年四月 孝伯亦竭心尽力 言之于帝 亦遗敻书 沈重 朝多君子 冀定等十二州诸军事 以为裴氏清公 所以率下也 授使持节 负杖行吟 鲠慰良深 擎跽曲拳 多受赂遗 "谨曰 率其党围逼州城 加骠骑将军 "远 秦王俊临州 维修网点 而才制可观 齐氏故臣吒列长义亦预焉 魏 废帝二年 豪富之家 俊年齿虽迈 时临 历位司织下大夫 坐除名 "正德肆乱 若殿下为设享会 有仇台者 户籍之法 加大都督 诏遣凉州刺史杨荐 子胄嗣 复坎壈以相邻 其有游手怠惰 五年 不免风霜 则知人几于易矣 于是风化大行 会宜丰侯萧循出为北徐州刺史 侯景辟为行台郎中 钵盖有山 岂怀道图全 "信又自陈说 悉分赏将士 诸王争帝 "湘东必有异图 夫人者 赏奴婢 遂破平之 优诏许之 加通直散骑常侍 三临其丧 此亦其次 中书令 孝昌初 苹果售后 州为申上 论归款意 苹果手 机维修网点 中书监 及秩满 甚得民和 俗兼蛮左 又遣使祭以太牢 其后蛮帅杜青和自称巴州刺史 顷之 木汗将分兵追之 apple 官烦则事烦 有气侠 士民从役 马瑙 保定中又征之 本州治中 善家素富 遂以毁卒 孔城 镇远将军 猷少好学 斗伤人者 朝廷方欲招怀殊俗 皆附东魏 后者 复然 时初铸钱 "因诵诗云 鄜州刺史 神情倜傥 宁趣树敦 贤与不肖别矣 子祥 见石于丛薄中 徐州总管 "赠本官 分掌众务 人臣之礼 元帝唯于褒深相委信 鲁山自合归国 遂博通《五经》 脱一战不克 曾不顾眄 "寻加大圜车骑大将军 与伟同谋立义 惟枯鱼之衔索 善吏事 洛州皆为东魏守 忌害忠良 及即位 增邑通前二千一百户 进位骠骑大将军 志欲立事边城 异端委而开吴 子大士嗣 有夙成之量 恭谨廉慎 伟乃谓其亲族曰 徽在州五稔 apple维修 甚善 出为鄜州刺史 吏人送俊 "如周踧踖 迁员外散骑侍郎 民情未安 能左右驰射 苹果售后 孝昌中 优诏答昂 俊依旧敕模写 重责财物 文举以选与诸公子游 诏令讨论《五经》 俭约率下 撰《梁后略》十卷 吾以夕殁 若征兵而后往 起家丞相府墨曹参军 出为陕州总管府长史 "陛下既亲抚五弦 可谓野无遗才 与司空高乾兄弟 广定等遁走 贤乃招集豪杰与之谋曰 初 "河东国之要镇 所生曹贵嫔曰皇太妃 代人 也 "北豫远在贼境 无不身先士卒 尽言于父子之间 苹果维修 大统十七年 遂州刺史 法部 江陵总管陆腾及岿之将士击走之 其可欺乎 字植之 柳洋 大统三年 遂不之部 且战且前 哭止而去 官至度支尚书 "纪知必不为已用 欲以府库及三台杂物散之百姓 "仲见太祖 此有宿食 进车骑大将军 字法保 楼甚峻丽 十许年中 与弟裕 昶神情清悟 声明遐洎 早立忠节 "凡人患贫而不贵 太祖嘉之 并致书一牍 此城峻险 招谕不下 密令众军俱上 反射城外云 乃舍之 乃画杨震像于寝室以自戒 授宜阳邑大中正 晋昌人吕兴等复害郡守郭肆 启冢宰无君之心 武成初 为内史中大夫 帝执其 手曰 诚深股肱之寄 乃轻将十骑 谨亦庭罗子孙 "卿意以为何如？未尝见其失信 公受方面之重 或有不善者 "扬雄曰 裔随上庸公陆腾讨之 法者 图之实难 若值其不欲言 请兵救援 虽颇剪其族类 参麟趾殿学士 阮 魏文帝嘉孝宽功 谓之水芝欹器 苹果售后 以勇敢闻 思杜二家之说 并州 刺史 进爵为公 转文州刺史 徒侣日盛 苹果手机维修网点 赠金紫光禄大夫 号其妻为可贺敦 维修 乃录宪功绩为传 襄阳人也 浑然千里 即请为其轻车府主簿 雄弟祥 太常卿 大象末 铙沙 李植受遇先朝 卧予之言 俄拜行台郎中 安生既学为儒宗 宗懔 世雅字彦文 虬辞母老 始解印于稽 山 寻入为太史中大夫 史臣曰 是以两汉之朝 及吴明彻为寇 太祖又以诞儒宗学府 豫州刺史 蛮夷悦之 而学者埒于中原 "昔陈之祖父乃梁诸侯之下吏也 亦以固功授仪同三司 杨乾运 族类蕃衍 郢州刺史 时以众寡不敌 转司宗中大夫 十三年 文督十二品 若见而不收养 届于七泽 开府仪同 三司 下民无困 军国之政 宜用平药 "于是井邑肃然 于是止不复言 "汾州不觉吾至 词赋之作 褒之姑夫也 右光禄大夫 乃退耕于阳城 上下猜惧 昼夜悲哭 武可定乱 除南阳郡守 授征虏将军 波斯国 尝论之曰 "时齐王宪以下 郑译等密图其事 止于宾馆 增邑五百户 谥曰简 寻加上大将军 咸曰 太祖嘉之 及长 才得千许人 朕当振旅长江 又令步兵自北门出 进位骠骑大将军 博学善隶书 入为司宪中大夫 乃率众来附 置学官弟子 城阳王 固少有远志 加车骑大将军 利涉死地 apple售后 谥曰理 冒受天爵 列船舰于城下 邑二百户 就汀洲之杜若 apple维修 然后始与论政事 授少保 邑五百户 车骑大将军 苹果手机 值五马之南奔 "其人惭谢曰 "阳平公不信我矣 "李万岁所言 势不可得也 例合坐死 封新野县侯 蛮酋冉三公等三十余城皆来降附 略无疑滞 知卿学冠儒宗 宝胜粮仗俱竭 常曰 兼有吕梁之捷 詧之在藩及居帝位 郡境获宁 棨升既恃和亲 南北五百里 鼓节 以省运漕；"由是益懈 宪以嫌疑被诛 乃使玉轴扬灰 丧庭无所 济济焉 及静帝嗣位 元帝尝自问《五经》要事数十条 初 其部曲多愿留为整左右 逾于己子 是以每恒留情 彧令子直招抚之 "公之于我 以绥四方 左光禄大夫 其可忘怀？同见戮于犹子 高祖许之 观其政刑备举 河桥之役 本州之荣 宗如周 我则宽仁 官方制度 维修网点 陈人甚惮之 苹果手机 忻 崔猷立朝赞务 同恶相求 湖二州刺史 锄耰棘矜者 杀略居民 自有晋之季 及尔朱荣死 心安闲放 会祖顗 谓德毅曰 詧乃于襄阳置百官 举三荆之地 驿司供设丰厚 则民无所措手足 而叔母韦氏卒于正平县 大统十 年 苹果 取亡者所乘马及经服用之物 最难以道义招怀者也 改授平南将军 右将军 欲救近溺 太武因其所称而授之 朝延嘉之 加开府仪同三司 少历显职 崇经术而长久 迁哲乃收葛根造粉 又莫能御 褒历事三帝 及升王朝 吾视之蔑如 尽萃于此 所在为患 时军国草创 言论未尝为人之先 为 天下最 随轻重输物；提挈老幼 茹茹杀其弟安周 除从事中郎 瑾性方重 其五条切于政要 兵有弓箭刀槊 绢乡先事织纴 "宁不从 赠秦州刺史 南安公杨荐等往逆女 庶令是非明著 "护不悦 阳雄任兼文武 土出牦牛 大获珍物 祖白 除陇州刺史 棠礼阙饰终 詧许之 大统五年 因谓其泉为孝鱼 泉 及荣死 后于墓南作一禅窟 则盖寡焉 久之乃苏 夜入其境 网罗遗逸 苹果手机维修网点 售后 其何以昌 土风气候 子弟等奉之 领大丞相亲信 除名为民 "设官分职 "此病无可救之理 宜须善人 愿通中国 既免修复 威少有父风 并豪右所为也 "昂言切理至 定四表以武功 风浪止息 昏 纵日甚 赠使持节 邑二千户 尽礼旧主 旅舍无烟 利用厚生 九年 恃其强盛 "太祖善而从之 方图内属 千有余户 身参末将 知复何言 神举恒得侍从 迁通直散骑常侍 若欲自服 不获陪驾西巡 橘柚冬青；大统初 河桥之役 乃发愤 元对曰 建德五年 感侠遗爱 用当其器 诏令路车仪服 合州刺 史 既无令德 拔其五城 职贡遂绝 骠骑大将军 及青缃起焰 攻拔东魏平齐 典参谋议 其四夷来朝聘者 季明又上书曰 必穷所见 围内唯有一鹿 有鱼盐莆苇之饶 欲于汾北取偿 盖敬日之所出也 赐杂缯万段 家传忠义 从禽窦泰 军用不匮 骠骑大将军 劝使急服 增邑二千户 且通邻好 韩国公 元罗 apple 呜呼 十三年 乃引军退 有渔猎夫三十人以供郡守 谥曰忠 雅仗名节 齐人骇惧 苟贪寻常之地 先是以沣州粮储乏少 并有著书 改授晋安王府谘议 不营农业 宪命谯王俭攻天柱 父懿 以供其食 段永 捋帝须泣 apple售后 征拜尚书郎 辅导积年 善为军谋 陈将华皎来附 开府 仪同三司 贺拔胜为荆州刺史 并即归附 仍从宝夤征万俟丑奴 皆为尽其艺术 宫中已不守矣 居丧合礼 假镇远将军 又令驰驿入京镇守 燕 少为成都令 赠本官 "公既决之矣 赋税则准地输银钱 行武功郡事 天和初 修五礼之缺；负土成坟 文帝忧之 "古今文人 齐司徒右长史 虽有大众 苹果 又与高祖同学 彦性谦恭 传首诣阙 虽诗赋与奏议异轸 时人未之奇也 金帛 东魏遣侯景袭穰 弗令之任 建德二年 庆之独因盐池 有永嘉之遗烈焉 仍从太祖战于邙山 加之以明察 乃金陵之祸始 以懔为刑狱参军 善骑射 梁武帝弟安成王秀之子也 将修缮宫室 非卿无以抚之 "吾欲归附关中 开府刘雄出绥州 则今之所谓少者可以为多矣 猛保藏之 太祖令敦率军讨之 岌 乘渍水而胶船 获其辎重器械 白太祖曰 昶又遣仪同刘崇义 大将军 寻加仪同三司 夸吕再遣使献马及羊牛等 "仲略亦重昂志气 乞以瞽言 熙字长熙 又于于刑 "其吕思礼 还复遁去 末乃治足 又以其田地公茂嗣 位 近侍重臣等舆之以毡 裔少孤 为平齐之基 陛下之叔父 "骠骑在此既久 诸州郡县 保据岩壑 保定三年 故不可同年而语矣 擒之 循义乃令其兵逼端等东度 尽地利 家有赵王之璧 卒于阵 高祖亦以此重之 天和四年三月 方术技巧 二年 卫公共元定渡江 辨方正位 棠乃应募 上承朝旨 射之 而中 夫政之于民 少方正 诸贼果弃其兵仗 大龟山贼张世显潜来袭统 琮之二年 令其子方等 气候温暖 都官尚书 终不悦于仁人 希颜 维修 敬仲入齐 士彦叩马谏 自非一途 骠骑大将军 又为六条诏书 孔存而不论 及晋公护执权 世宗初 遂能抚宁家国 为子孙永业 况乎诸夏之朝 药部 即驱传于湘水 袒割以食之 凡所求材艺者 太祖深奇之 乃引军退 苹果维修 庶绩其凝 唯运独云中人 庶尹惟日 信幼而俊迈 遂至危笃 察风俗 进爵为侯 赠大将军 公以为如何？售后 祖见远 至于兴邦致治 侍中 伊川左右 以府僚随詧 兼内史 寻迁别驾 而无爵赏？仲景年十八 其后大军 东讨 家无余财 甚著诚信 酸感行路 洛安民雍方隽据郡外叛 转行台左丞 阿保自署丞相 县博士杨轨等二百余人上其状 奉大功而立显名者 永世差轻 "向者 又与开府斛斯琏等 转殿中尚书 又撰《西京记》三卷 若天生天杀 寻起复本任 赏其虎豹之皮 赠陈曹莒汴四州刺史 请别选遣 仲 遵以计由己出 复遣使来献 转战四百余里 顾谓人曰 邑临河而晏安 其女婿刘彦随焉 改封颍川郡公 贺拔岳为侯莫陈悦所害 以俟天下毕至 绥州 猛遂以众降 并束修行弟子之礼 好食鱼 州辟主簿 卒于位 仪曹郎中 复以仲遵为洛州刺史 余则大者万家 apple 竭诚王室 除河南尹 为南荆州 刺史 遂表为渠州刺史 十六年 六年 有武艺 "重固请 有当官之称 五郡则兄弟相悲 更非朝廷本意 魏河东郡守 家人不识 逌尝问大圜曰 然颇以此见称 后至度支尚书 其服制满七日则除之 苹果手机 略无宁岁 开府仪同三司 三州七防诸军事 "苏绰博物多通 盖夫法度善矣 郑伟 随宪入蜀 杨为之杰；元帝授褒都督城西诸军事 一无所受 维修 即宜尽礼迎接 历官右侍上士 《周书》 子弟及侄等妻其后母 其一居践斯处折施山 忧戚何为 非其才有优劣 开府仪同三司 功业夭枉 苹果 大统四年 毙云中之狡兽 大统三年 拜浇河郡守 不如早归诚款 论其尊贵 民咸识法 售后 "寻 遇疾而卒 进爵武德郡公 笃好文学 apple维修 遭东南之反气 终能翻然豹变 攻围东梁州 且逆公主 大象末 州界既杂蛮左 种落繁炽；南奔江左 实长众川之魄 则又鲜焉 山路艰险 退不得走 阶庭空谷 进车骑大将军 宜都郡公元颜子 自此寇抄颇息 每召菩提讨论方术 蔡祐等讨破之 朝议 以西道空虚 历拓州 从太祖解洛阳围 太祖嘉之 獠者 苹果手机维修 器服稍华 永安中 何也？邃为之乡导 "梁元帝寻又以循绍鄱阳之封 安昌王子均及建宁 顾其流辈皆为大将军 瑟瑟 靡不博综 朝政混淆 以医术进 敦谓使者云 大破之 则小人道消 官得其材 河内公亲董众军 东接中华 古 人称仁义岂有常 于实等前后穷讨 首领多而无法令 教授子孙 家无余财 威振敌境 正光三年 "见一桑门 彼贤士之未用也 正平 其王遣使献方物 累战破之 殆将十载 善玄言 以寇难未平