正弦、余弦、正切函数图象及其性质

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常见三角函数图像及其性质

常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。

函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。

三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

三角函数的图像和性质一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0)余弦函数y=cosx x [0,2]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (,-1) (23π,0) (2,1)二、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]2,2k k πππ-上是增函数；在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数性质例作以下函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求知足以下条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数概念：关于函数()y f x =，若是存在一个非零常数T ，使适当x 取概念域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做那个函数的周期。

注意：周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一样称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。

1.3.2余弦、正切函数的图象与性质

π π y = 3tan u在u ?（kπ ，kπ + ），k Z 上单调递增. 2 2 1 π π 1 π π \ y = 3tan( x + )在kπ - 〈 x + 〈kπ + 2 4 2 2 4 2
即x ?（2kπ
3 π π，kπ + ）上单调递增. 2 2 2
课堂小结
π π 1、y = tanx的作图是平移在（ - ，）上的图象得到的. 2 2
π y 例4:求下列函数的周期， = 3tan(2 x + ). 4
分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周期为π.
4 解：f（x） 3tan（2 x + ） = π
π = 3tan(2 x + + π) 4 轾 π π = 3tan 犏 x + ) + 2( 犏 2 4 臌
π \ 周期T = 2
π 周期T 2
π (1) y 3 tan(2 x ); 4
π f (x ) 2
1 π （2）变题y=3tan（ x + ） 2 4
1 π 解： f ( x) 3tan( x ) 2 4 1 π 3tan( x π) 2 4
1 π 3tan[ ( x 2π) ] 2 4
新课导入
提问： 1、正弦函数性质？
y sin x, x R
都有哪些
2、正弦函数的两个代数性质：
sin( x 2 ) sin x,sin( x) sin x
反映了正弦函数图象的什么几何特征？
教学目标
知识与能力
利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，根据性质探究正切函数的图象.

高中数学必修4正弦余弦正切余切函数图像的性质总结

高中数学必修4正弦余弦正切余切函数图像的性质总结三角函数是高中数学教学中一类基本的、重要的函数，下面是小编给大家带来的高中数学必修4正弦余弦正切余切函数图像的性质总结，希望对你有帮助。

高中数学正弦余弦正切余切函数图像的性质高中数学学习方法抓好基础是关键数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。

只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。

弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。

反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。

严防题海战术做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。

学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。

因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。

也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。

归纳数学大思维数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。

在平时听课时，一个明知的学生，应该听老师对该题目的分析和归纳。

但还有不少学生，不注意教师的分析，往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。

三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们的图像和性质对于初中数学学习者来说是必须掌握的内容。

在本文中，我将详细介绍三角函数的图像与性质，并给出一些例子和说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。

一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性变化。

正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像重复出现。

2. 幅度：正弦函数的幅度表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。

幅度越大，波峰和波谷的差值越大。

3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。

4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。

举例说明：假设有一条正弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。

在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像先从0逐渐上升到1，然后下降到0，再下降到-1，最后又上升到0。

这样的周期性变化会一直重复下去。

根据正弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是奇函数。

二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数有些相似，但也有一些不同之处。

余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。

2. 幅度：余弦函数的幅度也表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。

与正弦函数不同的是，余弦函数的幅度表示波峰和波谷的绝对值最大差值。

3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。

4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(x)。

举例说明：假设有一条余弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。

在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像先从1逐渐下降到0，然后下降到-1，再上升到0，最后又上升到1。

这样的周期性变化会一直重复下去。

根据余弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是偶函数。

三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一种重要函数，它的图像与正弦函数和余弦函数有很大的不同。

三角函数的图像和性质

π ωx＋ 4
(ω>0)的最小正周期为π，则函数 ( π B．关于直线x＝对称 8 π D．关于点8 ，0对称 )
π 2π 解析：∵f(x)＝sin ωx＋4 的最小正周期为π，∴ ω ＝π，ω＝2， π π π 3π ∴f(x)＝sin 2x＋4 ．当x＝时，2x＋＝，∴A、C错误；当x 4 4 4
[即时应用] 求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤ 4的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－，． 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝时，ymax＝，当 t＝－时，ymin＝． 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
2．求三角函数单调区间的 2 种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
[演练冲关] π 1．最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的函数是( 3
π π B，因为sin2×3－6 ＝sin
π ＝1，所以选B． 2
答案：B
2．函数
π y＝cos4－2x的单调减区间为____________． π π y＝cos4－2x＝cos2x－4 得
解析：由
π 2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π(k∈Z)， 4 π 5π 解得 kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)． 8 8
π π π π 3 在 3，2 上单调递减知，＝，∴ω＝． 2ω 3 2

正弦函数余弦函数的图像与性质

三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数，用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用正弦和余弦函数来描述，如桥梁振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(x)。

高一正弦余弦正切函数的图像与性质复习课

例 3. 求函数 y sin x tan x 在[ , ]上最大值和最小值.
44
例 4. 求函数 y 3 tan x 的定义域和值域.
例
5.已知函数
f
(x)

tan(
2x) .
3
⑴求函数的单调区间；
⑵求函数图象在 x (0, 2 ) 上的对称点坐标.
例 6.已知函数 f ( x) tan( x )( 0)
y＝tanx
[－＋2kπ，
[(2k－1)π，2kπ]
单＋2kπ] 上递增，k∈Z；上递增，∈Z；
调 [ ＋2kπ，＋2kπ] [2kπ，(2k＋1)π]
性上递减，k∈Z
上递减，k∈Z
(－＋ Kπ， + Kπ) 上递增 k∈Z
x ＝＋2kπ 时，最 ymax＝1(k∈Z)；值 x＝- 2kπ 时，
明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，

三角函数图像与性质

7．(2013·四川高考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的部分图象如图3－4－2所示，则ω，φ的值分别是()
图3－4－2 A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4，
自测后你觉得哪类题做起来困难呢？那我们一起来解决吧！
典例：
题型一三角函数的定义域和值域
(1)函数y＝的定义域为________．
A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位
3．[2014·福建卷]将函数y＝sinx的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是()
A．y＝f(x)是奇函数B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称D．y＝f(x)的图像关于点对称
导疑：由解析式求函数定义域应考虑________.
导学：由tanx-1 0得tanx 1所以x ________．
所以所求定义域为________.
(2)求下列函数的值域①y＝2cos2x＋2cosx②y＝3cosx－ sinx，x∈[0，π]；
导疑：二次函数给定区间如何求值域？形如y＝Asin(ωx＋φ)函数的值域？
A. B.
C. D.
2．函数f(x)＝2cos 是()
A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为2π的非奇非偶函数D．最小正周期为π的偶函数
3．函数f(x)＝sin 的图象的一条对称轴是()
A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－
4．比较大小：sin ________sin .
A．A＝3，T＝，φ＝－ B．A＝1，T＝，φ＝
C．A＝1，T＝，φ＝－ D．A＝1，T＝，φ＝－
图3－4－3图3－4－4

高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版)

(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。

（工 W R ）7Tcos 卯=。

=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ；偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为之并；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。

5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当 0,非奇非偶当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包；一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和的符号，通过诱导公式先将化正。

三角函数图象和性质(总结的很全面不看后悔)

三角函数专题辅导课程安排制作者：程国辉专题辅导一三角函数的基本性质及解题思路课时：4-5学时学习目标：1. 掌握常用公式的变换。

2. 明确一般三角函数化简求值的思路。

第一部分三角函数公式 1、两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β)tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β2、倍角公式：sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α)3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

余弦与正切函数

余弦与正切函数余弦函数和正切函数是数学中常见的两个三角函数，它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。

本文将介绍余弦函数和正切函数的定义、性质及其应用。

一、余弦函数的定义和性质余弦函数（cosine function）是一个周期函数，表示一个角的邻边与斜边的比值。

其数学表示为：y = cos(x)，其中x是角度（单位为弧度），y是余弦函数的值。

余弦函数的图像呈现波浪形态，且在每个周期内，函数的最大值为1，最小值为-1。

余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。

2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。

3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。

4. 值域：余弦函数的值域为[-1, 1]。

5. 零点：当角度x为0、π、2π等整数倍的时候，余弦函数为0。

二、正切函数的定义和性质正切函数（tangent function）表示一个角的正弦与余弦的比值。

其数学表示为：y = tan(x)，其中x是角度（单位为弧度），y是正切函数的值。

正切函数的图像是呈现周期性且无界的函数。

正切函数具有以下性质：1. 周期性：正切函数的周期为π，即tan(x+π) = tan(x)。

2. 对称性：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。

3. 值域：正切函数的值域为(-∞, +∞)，即正切函数无上下界。

4. 零点：当角度x为0、π、2π等整数倍的时候，正切函数为0。

三、余弦函数与正切函数的应用余弦函数和正切函数在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。

1. 三角函数广泛应用于物理学中的波动、振动、旋转等问题，如机械振动、电磁波传播等。

在这些问题中，余弦函数和正切函数可以描述物体的周期性运动和波动传播规律。

2. 在工程学中，余弦函数和正切函数广泛应用于信号处理、电子电路设计等领域。

例如，在通信领域中，正弦信号经过正交调制后可以得到余弦信号，从而用于传输和解调信号。

三角函数的图象与性质总结

三角函数的图象与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

正弦、余弦、正切函数图象及其性质

函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。

2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。

当ω＜0时，要特别注意。

如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。

3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。

余弦、正切函数的图像和性质

问题正切函数 y = tanx 是否为周期函数？
∵f x +π = tan x +π = tanx ＝f(x)
是它的一个周期 ∴y = tanx 是周期函数，
ππ (- , ) 2 2
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？一个周期内的图像
y tan x x 利用正切线画出函数，，的图像: 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线，，，，， 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线

自我小结
谈谈本节课你的收获是什么？哪部分知识掌握的比较好？还有什么不清楚的细节吗？……… 1.课本习题 2.学案课后练习 3.（选做）导学练
思考
我们已经学习了正弦、余弦函数的图像我们是怎么得到它们的图像的呢？利用单位圆中的三角函数线作图（由一个周期到整个定义域）
探索新知
通过回顾，对我们研究正切函数图像有什么启发吗？（利用正切线）
π 2 3π 2
O
π
2π x
-1
y cosx , x [0,2π]
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2

正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
余弦函数的图象
y
1
余弦曲线

-4
-3
-2
其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y=cosx (xR)
6
4

三角函数正弦余弦与正切函数

三角函数正弦余弦与正切函数三角函数是数学中非常重要的一部分，其中正弦、余弦和正切函数是三角函数中最常用的函数之一。

它们在几何学、物理学、工程学以及其他许多数学相关领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将详细讨论正弦、余弦和正切函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

正弦函数（sine function）是一个周期为2π的周期函数，常用符号为sin(x)。

在一个单位圆内，正弦函数的值等于对应角的弧度值的y坐标。

换句话说，对于一个角度x，正弦函数的值等于对应的弧度值sin(x)。

余弦函数（cosine function）也是一个周期为2π的周期函数，常用符号为cos(x)。

在一个单位圆内，余弦函数的值等于对应角的弧度值的x坐标。

换句话说，对于一个角度x，余弦函数的值等于对应的弧度值cos(x)。

正切函数（tangent function）是正弦函数和余弦函数的比值，常用符号为tan(x)。

正切函数的值等于正弦函数的值除以余弦函数的值，即tan(x) = sin(x) / cos(x)。

正弦、余弦和正切函数有许多重要的性质。

其中一个重要的性质是它们的周期性，即它们的值在每个周期内都是重复的。

正弦和余弦函数的最小正周期是2π，而正切函数的最小正周期是π。

另一个重要的性质是它们的奇偶性。

正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，而余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。

正切函数则既不是奇函数也不是偶函数，即tan(-x) ≠ -tan(x)。

正弦、余弦和正切函数还有许多其他的性质，例如它们的定义域、值域以及增减性等。

对于正弦和余弦函数来说，它们的定义域是整个实数集，值域是[-1, 1]；而对于正切函数来说，它的定义域是所有余弦函数不等于零的实数，值域是整个实数集。

在几何学中，正弦、余弦和正切函数常常用来计算三角形的边长和角度。

通过已知两个边长或两个角度，可以使用三角函数来求解未知的边长或角度，从而帮助我们理解和解决各种几何问题。

数学中的三角函数正弦余弦与正切的应用

数学中的三角函数正弦余弦与正切的应用在数学中，三角函数是一种基础的数学工具，常用于解决与角度和三角形相关的问题。

其中，正弦、余弦和正切是三角函数中最常见且广泛应用的三种。

它们在几何、物理、工程等领域中起到了重要的作用。

本文将介绍三角函数正弦、余弦和正切的定义、性质以及其在各个领域中的具体应用。

一、正弦函数的定义与性质在三角函数中，正弦函数(sin)是最基本且常见的函数之一。

它的定义如下：定义1：对于任意实数x，正弦函数sin(x)的值等于以x为角度的弧所对应的直角三角形中，斜边的长度与斜边所在直角的邻边的比值。

正弦函数的性质如下：性质1：正弦函数的周期为2π（或360°）。

即sin(x+2π) = sin(x)，对于任意实数x。

性质2：正弦函数的取值范围为[-1,1]。

即-1≤ sin(x) ≤1，对于任意实数x。

正弦函数在几何、物理等领域中有许多应用。

1. 几何中的应用正弦函数在解决几何问题中起到了重要的作用，尤其是在三角形中。

其中，正弦定理是一项基于正弦函数的重要几何定理。

它可以用于计算三角形的边长或角度。

利用正弦函数，可以得到正弦定理的数学表达式如下：对于任意三角形ABC，边长分别为a, b, c，对应的角度分别为A, B, C，那么有：sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c根据这个定理，我们可以根据已知的两个边与它们夹角的关系，求解未知边长或角度。

2. 物理中的应用正弦函数在物理学中的应用非常广泛。

例如，振动和波动等现象均可以通过正弦函数进行描述和分析。

在简谐振动中，物体以正弦函数的形式来回振动。

振动的幅度、频率以及相位差等都可以通过正弦函数来表示。

在波动中，正弦函数也被广泛应用。

例如，声波、光波等均可以表示为正弦函数的形式。

通过正弦函数可以描述波的振幅、频率、波长等特征。

3. 工程中的应用正弦函数在工程领域中也有很多应用。

例如，在电工学中，交流电信号可以表示为正弦函数。

三角函数余弦正弦正切

三角函数余弦正弦正切
三角函数是数学中的一种重要函数，它们的定义和性质在数学中有着广泛的应用。

其中，余弦、正弦和正切是三角函数中最基本的三个函数，下面我们来详细了解一下它们的定义和性质。

一、余弦函数
余弦函数是指在单位圆上，以圆心为原点，某个点的横坐标与半径的比值。

其定义域为实数集，值域为[-1,1]。

余弦函数的图像是一条波浪线，它的周期为2π，即cos(x+2π)=cos(x)。

余弦函数在三角学中有着广泛的应用，例如在计算机图形学中，余弦函数可以用来计算两个向量之间的夹角，从而实现图像的旋转和缩放等操作。

二、正弦函数
正弦函数是指在单位圆上，以圆心为原点，某个点的纵坐标与半径的比值。

其定义域为实数集，值域为[-1,1]。

正弦函数的图像也是一条波浪线，它的周期为2π，即sin(x+2π)=sin(x)。

正弦函数在三角学中也有着广泛的应用，例如在物理学中，正弦函数可以用来描述周期性的现象，例如振动和波动等。

三、正切函数
正切函数是指在单位圆上，以圆心为原点，某个点的纵坐标与横坐标的比值。

其定义域为实数集，值域为(-∞,∞)。

正切函数的图像是一条无限延伸的曲线，它的周期为π，即tan(x+π)=tan(x)。

正切函数在三角学中也有着广泛的应用，例如在工程学中，正切函数可以用来计算斜率和角度等问题。

余弦、正弦和正切是三角函数中最基本的三个函数，它们在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

通过深入了解它们的定义和性质，我们可以更好地理解和应用它们。