数列专题
数列专题 (优秀经典练习题及答案详解).
,已知 S n 求 an ,应分n 1 时a1
S1
;
n 2时, an = Sn Sn1
两步,最后考虑 a1 是否满足后面的an .
4.①在等差数列{an}中,已知 a1,d,m,n,则 d=ann- -a11=ann--mam(n>1,m≠n), 从而有 an=am+(n-m)d. ②若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am+an=ap+aq.
①等差数列 an a1 (n 1)d ②等比数列 an a1qn1
2.前n项和公式:
①等差数列:
Sn
n(a1an ) 2
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列: Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
3. an 与 Sn 的关系:
Sn
与
an
的关系:an
S1 Sn
(n Sn1
1) (n 1)
故选 A
7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 S9 =72,则 a2 +a4 +a9= ________. 7.解析:∵{an}是等差数列,由 S9=72,得 S9=9a5,a5=8, ∴a2+a4+a9=(a2+a9)+a4=(a5+a6)+a4=3a5=24.
8.已知数列的通项公式 an=-5n+2,则其前 n 项和 Sn=________.
A. 22018 1
B. 32018 6
C.
1 2
2018
7 2
D.
1 3
2018
10 3
6.解析 A:由题可知:当 n 1 时,3S1 2a1 31 ,所以 a1 3 ,
当 n 2 时,
① 3Sn 2an 3n
高中数学专题-数列
高中数学专题-数列一、基础知识1.等差数列的定义与性质定义:1n n a a d+-=(d 为常数),()11n a a n d=+-等差中项:x A y ,,成等差数列2A x y⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S nad+-==+性质:{}n a 是等差数列(1)若m n p q+=+,则m n p q a a a a +=+;(2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2;(3)若三个成等差数列,可设为a d a a d-+,,(4)若n n a b ,是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ,,则2121m m m m a S b T --=(5){}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+(a b ,为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数)nS 的最值可求二次函数2n S an bn=+的最值;或者求出{}n a 中的正、负分界项,即:当100a d ><,,解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S达到最大值时的n 值.当100a d <>,,由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ,有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S ndS S =-奇偶,1+=n na a S S 偶奇.(7)项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ,有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-na S S =-偶奇,1-=n n S S 偶奇.2.等比数列的定义与性质定义:1n na q a +=(q 为常数,0q ≠),11n n a a q -=.等比中项:x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=,或G xy =.前n 项和:()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩(要注意!)性质:{}n a 是等比数列(1)若m n p q+=+,则m n p qa a a a =··(2)232n n n n n S S S S S --,,……仍为等比数列,公比为nq .注意:由nS 求na 时应注意什么?1n =时,11a S =;2n ≥时,1n n n a S S -=-.二、等差数列和等比数列对比等差数列等比数列定义a n-a n-1=常数(n≥2)a na n-1=常数(n≥2)通项公式a n=a1+(n-1)d a n=a1q n-1(q≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法:2a n+1=a n+a n+2(n≥1)⇔{a n}为等差数列(3)通项公式法:a n=pn+q(pq为常数)⇔{a n}为等差数列(4)前n项和公式法:S n=An2+Bn(A、B为常数)⇔{a n}为等差数列(5){a n}为等比数列,a n>0⇔{log a a n}为等差数列(1)定义法(2)中项公式法:a2n+1=a n·a n+2(n≥1)(a n≠0)⇔{a n}为等比数列(3)通项公式法:a n=c·q n(c、q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{a n}为等比数列(4){a n}为等差数列⇔{a an}为等比数列(a>0且a≠1)性质(1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q特别:若m+n=2p,则a m+a n=2a p.(2)a n=a m+(n-m)d(3)数列S m,S2m-S m,S3m-S2m,…也是等差数列,即2(S2m-S m)=S m+(S3m-S2m)(1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q特别地,若m+n=2p,则a m·a n=a2p.(2)a n=a m q n-m(3)若等比数列前n项和为S n则S m,S2m-S m,S3m-S2m仍成等比数列,即(S2m-S m)2=S m(S3m-S2m)(m∈N*,公比q≠-1).前n 项和S n=n a1+a n2=na1+n n-12d(1)q≠1,S n=a11-q n1-q=a1-a n q1-q(2)q=1,S n=na1三、考点方法归纳考点一求数列的通项公式1.由a n与S n的关系求通项公式:由S n与a n的递推关系求a n的常用思路有:①利用S n-S n-1=a n(n≥2)转化为a n的递推关系,再求其通项公式;数列的通项a n与前n项和S n的关系是a n S1,n=1,S n-S n-1,n≥2.当n=1时,a1若适合S n-S n-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项a n;当n=1时,a1若不适合S n-S n-1,则用分段函数的形式表示。
数列经典题目(竞赛专题)
当an · an+1 为偶数时, 当an · an+1 为奇数时.
证明, 对每个 n ∈ N∗ , 都有 an ̸= 0. 13. (奥地利 − 波兰,1980) 设数列 {an } 满足 |ak+m − ak − am | p, q ∈ N∗ , 都有 ap aq 1 1 − < + . p q p q 14. (苏联莫斯科,1972) 将 0 和 1 之间所有分母不超过 n 的分数都写成既约形式, 再按递增顺序排成一 a c 列. 设 和 是其中任意两个相邻的既约分数, 证明 b d |bc − ad| = 1. 15. (波兰,1978) 对给定的 a1 ∈ R, 用下列方式定义数列 a1 , a2 , · · · : 对 n ∈ N∗ , ( ) 1 an − 1 , 当an ̸= 0时, an an+1 = 2 0, 当a ̸= 0时,
2), x1 = a, x2 = b, 记 Sn = x1 + x2 + · · · + xn , 则下列结 ) (B) x100 = −b, S100 = 2b − a; (D) x100 = −a, S100 = b − a . 1 时,xn+2 等于 xn xn+1 的个位数, 则 x1998 等于 . . . . ( (C) 6; (D) 8 . 2), 则数列的通项公式为 an = . )
的每一项都是整数, 其中 n ∈ N∗ . 并求所有使 an 被 3 整除的 n ∈ N∗ . 19. (捷克,1978) 证明, 数列 bn = ( √ )n ( √ )n 3+ 5 3− 5 − −2 2 2
的每一项都是自然数, 其中 n ∈ N∗ , 并且当 n 为偶数或奇数时分别具有 5m2 或 m2 的形式, 其中 m ∈ N∗ .
高中数学 数列专题
高中数学-数列专题第1讲数列的概念及其表示 (1)第2讲等差数列及前n项和 (16)第3讲等比数列及前n项和 (31)第4讲数列求和、数列的综合应用 (46)第1讲数列的概念及其表示考点一数列的概念及其表示方法知识点1数列的定义(1)按照一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列的第一项,也叫首项.(2)数列与函数的关系从函数观点看,数列可以看成:以正整数集N*或N*的有限子集{1,2,3,…,n}为定义域的函数a n=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2数列的表示方法3数列的分类注意点数列图象是一些孤立的点数列作为一种特殊的函数,由于它的定义域为正整数集N*或它的有限子集,所以它的图象是一系列孤立的点.入门测1.思维辨析(1)数列{a n}和集合{a1,a2,a3,…,a n}表达的意义相同.()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(4)数列:1,0,1,0,1,0,…,通项公式只能是a n=1+(-1)n+12.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.数列13,18,115,124,…的一个通项公式为()A.a n=12n+1B.a n=1n+2C.a n=1n(n+2)D.a n=12n-1答案 C解析观察知a n=1(n+1)2-1=1n(n+2).3.若数列{a n}中,a1=3,a n+a n-1=4(n≥2),则a2015的值为()A.1 B.2C.3 D.4答案 C解析因为a1=3,a n+a n-1=4(n≥2),所以a1=3,a2=1,a3=3,a4=1,…,显然当n是奇数时,a n=3,所以a2015=3.解题法[考法综述]利用归纳法求数列的通项公式,或给出递推关系式求数列中的项,并研究数列的简单性质.命题法数列的概念和表示方法及单调性的判断典例(1)已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-2λn(n∈N*),则“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)写出下面各数列的一个通项公式:①3,5,7,9,…; ②1,3,6,10,15,…;③-1,32,-13,34,-15,36,…;④3,33,333,3333,….[解析] (1)若数列{a n }为递增数列,则有a n +1-a n >0,即2n +1>2λ对任意的n ∈N *都成立,于是有3>2λ,λ<32.由λ<1可得λ<32,但反过来,由λ<32不能得到λ<1,因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件,故选A.(2)①各项减去1后为正偶数,所以a n =2n +1. ②将数列改写为1×22,2×32,3×42,4×52,5×62,…因而有a n =n (n +1)2,也可逐差法a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,a 5-a 4=5,…,a n -a n -1=n ,各式累加得a n =n (n +1)2.③奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n ;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1, 所以a n =(-1)n·2+(-1)nn.④将数列各项改写为93,993,9993,99993,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以a n =13(10n -1).[答案] (1)A (2)见解析【解题法】 归纳法求通项公式及数列单调性的判断(1)求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n 项与序号n 之间的关系,常用技巧有:①借助于(-1)n 或(-1)n +1来解决项的符号问题.②项为分数的数列,可进行恰当的变形,寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系.③对较复杂的数列的通项公式的探求,可采用添项、还原、分割等方法,转化为熟知的数列,如等差数列、等比数列等来解决.④根据图形特征写出数列的通项公式,首先,要观察图形,寻找相邻的两个图形之间的变化;其次,要把这些变化同图形的序号联系起来,发现其中的规律;最后,归纳猜想出通项公式.(2)数列单调性的判断方法①作差比较法:a n +1-a n >0⇔数列{a n }是单调递增数列;a n +1-a n <0⇔数列{a n }是单调递减数列;a n +1-a n =0⇔数列{a n }是常数列.②作商比较法:当a n >0时,则a n +1a n >1⇔数列{a n }是单调递增数列;a n +1a n<1⇔数列{a n }是单调递减数列;a n +1a n=1⇔数列{a n }是常数列. 当a n <0时,则a n +1a n >1⇔数列{a n }是单调递减数列;a n +1a n <1⇔数列{a n }是单调递增数列;a n +1a n=1⇔数列{a n }是常数列.③结合相应函数的图象直观判断数列的单调性.对点练1.设等差数列{a n }的公差为d ,若数列{2a 1a n }为递减数列,则( ) A .d <0 B .d >0 C .a 1d <0 D .a 1d >0答案 C解析 ∵数列{2a 1a n }为递减数列,∴2 a 1a n >2 a 1a n +1,n ∈N *,∴a 1a n >a 1a n +1,∴a 1(a n +1-a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列,∴a 1d <0.故选C.2.下列可以作为数列{a n }:1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( ) A .a n =1B .a n =(-1)n +12C .a n =2-⎪⎪⎪⎪sin n π2D .a n =(-1)n -1+32答案 C解析 A 项显然不成立;n =1时,a 1=-1+12=0,故B 项不正确;n =2时,a 2=(-1)2-1+32=1,故D 项不正确.由a n =2-⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1=1,a 2=2,a 3=1,a 4=2,…,故选C. 3.下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是( )A .a n =n 2-n +1B .a n =n (n -1)2C .a n =n (n +1)2D .a n =n (n +2)2答案 C解析 解法一:令n =1,2,3,4,验证选项知选C.解法二:a 1=1,a 2=a 1+2,a 3=a 2+3,a 4=a 3+4,…,a n =a n -1+n . ∴(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)=n +(n -1)+…+3+2.因此a n =1+2+3+…+n =n (n +1)2.考点二 数列的通项公式知识点1 a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ,则a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n =1),S n -S n -1(n ≥2).2 已知递推关系式求通项一般用代数的变形技巧整理变形,然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式.注意点 已知S n 求a n 时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用,分n =1和n ≥2两种情况讨论,特别注意a n =S n -S n -1中需n ≥2.(2)由S n -S n -1=a n 推得a n ,当n =1时,a 1也适合“a n 式”,则需统一“合写”. (3)由S n -S n -1=a n 推得a n ,当n =1时,a 1不适合“a n 式”,则数列的通项公式应分段表示(“分写”),即a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n =1),S n -S n -1(n ≥2).入门测1.思维辨析(1)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对∀n ∈N *,都有a n +1=S n +1-S n .( ) (2)在数列{a n }中,对于任意正整数m ,n ,a m +n =a mn +1,若a 1=1,则a 2=2.( ) (3)若已知数列{a n }的递推公式为a n +1=12a n -1,且a 2=1,则可以写出数列{a n }的任何一项.( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ 2.数列{a n }中,a 1=1,a n =1a n -1+1,则a 4等于( )A.53B.43 C .1 D.23答案 A解析 由a 1=1,a n =1a n -1+1得,a 2=1a 1+1=2,a 3=1a 2+1=12+1=32,a 4=1a 3+1=23+1=53.故选A.3.在正项数列{a n }中,若a 1=1,且对所有n ∈N *满足na n +1-(n +1)a n =0,则a 2015=( ) A .1011 B .1012 C .2014 D .2015答案 D解析 由a 1=1,na n +1-(n +1)a n =0可得a n +1a n =n +1n ,得到a 2a 1=21,a 3a 2=32,a 4a 3=43,…,a n +1a n=n +1n ,上述式子两边分别相乘得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n +1a n =a n +1=21×32×43×…×n +1n =n +1,故a n =n ,所以a 2015=2015,故选D.解题法[考法综述] 高考以考查a n 与S n 的关系为主要目标以求通项公式a n 为问题形式,特别是给出递推公式如何构造数列求通项公式作为一个重难点和命题热点.命题法 由S n 求a n 或由递推关系式求a n典例 (1)若数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+3n ,则此数列的通项公式为a n =________. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2,n ∈N *),a 1=12,求S n .[解析] (1)当n =1时, a 1=S 1=2×12+3×1=5;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n 2+3n )-[2(n -1)2+3(n -1)]=4n +1.当n =1时,4×1+1=5=a 1,∴a n =4n +1.(2)∵当n ≥2,n ∈N *时,a n =S n -S n -1, ∴S n -S n -1+2S n S n -1=0,即1S n -1S n -1=2,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是公差为2的等差数列,又S 1=a 1=12,∴1S 1=2,∴1S n =2+(n -1)·2=2n , ∴S n =12n.[答案] (1)4n +1 (2)见解析 【解题法】 求通项公式的方法 (1)由S n 求a n 的步骤 ①先利用a 1=S 1求出a 1.②用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n的表达式.③对n =1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n =1与n ≥2两段来写.(2)由递推公式求通项公式的常见类型与方法①形如a n +1=a n +f (n ),常用累加法.即利用恒等式a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)求通项公式.②形如a n +1=a n f (n ),常用累乘法,即利用恒等式a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n -1求通项公式.③形如a n +1=ba n +d (其中b ,d 为常数,b ≠0,1)的数列,常用构造法.其基本思路是:构造a n +1+x =b (a n +x )⎝⎛⎭⎫其中x =db -1,则{a n +x }是公比为b 的等比数列,利用它即可求出a n .④形如a n +1=pa n qa n +r (p ,q ,r 是常数)的数列,将其变形为1a n +1=r p ·1a n +qp .若p =r ,则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,且公差为q p ,可用公式求通项;若p ≠r ,则采用③的办法来求.⑤形如a n +2=pa n +1+qa n (p ,q 是常数,且p +q =1)的数列,构造等比数列.将其变形为a n +2-a n +1=(-q )·(a n +1-a n ),则{a n -a n -1}(n ≥2,n ∈N *)是等比数列,且公比为-q ,可以求得a n-a n -1=f (n ),然后用累加法求得通项.⑥形如a 1+2a 2+3a 3+…+na n =f (n )的式子, 由a 1+2a 2+3a 3+…+na n =f (n ),①得a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1=f (n -1),② 再由①-②可得a n .对点练1.设数列{a n }满足a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n ∈N *),则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.答案2011解析 由a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n ∈N *)得,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=1+2+3+…+n =n (n +1)2, 则1a n =2n (n +1)=2⎝⎛⎭⎫1n -1n +1,故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10=2⎝⎛⎭⎫1-12+12-13+…+110-111=2⎝⎛⎭⎫1-111=2011. 2.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +2,则数列{a n }的通项公式为________. 答案 a n =2·3n -1-1解析 ∵a n +1=3a n +2,∴a n +1+1=3(a n +1). ∴a n +1+1a n +1=3,∴数列{a n +1}是等比数列,公比q =3.又a 1+1=2,∴a n +1=2·3n -1, ∴a n =2·3n -1-1.3.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -3,则数列{a n }的通项公式为________.答案 a n =⎩⎪⎨⎪⎧-1,n =1,2n -1,n ≥2解析 当n =1时,a 1=S 1=-1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -1,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧-1,n =1,2n -1,n ≥2.4.S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a n >0,a 2n +2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.解 (1)由a 2n +2a n =4S n +3,可知a 2n +1+2a n +1=4S n +1+3. 可得a 2n +1-a 2n +2(a n +1-a n )=4a n +1,即 2(a n +1+a n )=a 2n +1-a 2n =(a n +1+a n )(a n +1-a n ).由于a n >0,可得a n +1-a n =2.又a 21+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n +1. (2)由a n =2n +1可知 b n =1a n a n +1=1(2n +1)(2n +3)=12⎝⎛⎭⎫12n +1-12n +3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n =12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13-15+⎝⎛⎭⎫15-17+…+⎝⎛⎭⎫12n +1-12n +3 =n3(2n +3).5.已知数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn ,k ∈N *,且S n 的最大值为8.试确定常数k ,并求数列{a n }的通项公式.解 因为S n =-12n 2+kn =-12(n -k )2+12k 2,其中k 是常数,且k ∈N *,所以当n =k 时,S n取最大值12k 2,故12k 2=8,k 2=16,因此k =4,从而S n =-12n 2+4n .当n =1时,a 1=S 1=-12+4=72;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=⎝⎛⎭⎫-12n 2+4n -⎣⎡⎦⎤-12(n -1)2+4(n -1)=92-n .当n=1时,92-1=72=a1,所以a n=92-n.微型专题数列中的创新题型创新考向以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点,考查频次较高.命题形式:常见的有新定义、新规则等.创新例题把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).则第7个三角形数是()A.27 B.28C.29 D.30答案 B解析由图可知,第7个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.创新练习1.将石子摆成如图所示的梯形形状,称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2014项与5的差,即a2014-5=()A.2018×2012 B.2020×2013C.1009×2012 D.1010×2013答案 D解析观察图中的“梯形数”可得:a2-a1=4,a3-a2=5,a4-a3=6…a2014-a2013=2016,累加得:a2014-a1=4+5+6+…+2016=2013×20202=2013×1010,即a2014-5=2013×1010.2.在一个数列中,如果∀n∈N*,都有a n a n+1a n+2=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列的公积.已知数列{a n}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+…+a12=________.答案28解析依题意得数列{a n}是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28.3.对于E={a1,a2,...,a100}的子集X={a i1,a i2,...,a ik},定义X的“特征数列”为x1,x2,...,x100,其中x i1=x i2=...=x ik=1,其余项均为0,例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0, 0(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于________.(2)若E的子集P的“特征数列”为p1,p2,…,p100满足p1=1,p i+p i+1=1,1≤i≤99.E的子集Q的“特征数列”为q1,q2,…,q100满足q1=1,q j+q j+1+q j+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为________.答案(1)2(2)17解析(1)据“特征数列”定义知子集{a1,a3,a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0,…,0,故其前三项和为2.(2)由定义知p1=1,p2=0,p3=1,p4=0…故集合P={a1,a3,a5,…,a99}={a i|i=2k+1,k∈N且k≤49},又q1=1,q2=q3=0,q4=1,q5=q6=0,q7=1,…,∴集合Q={a1,a4,a7,a10…}={a i|i=3k+1,k∈N且k≤33}.若a k∈P∩Q,则k=2k1+1=3k2+1,k1,k2∈N,k1≤49,k2≤33.即2k1=3k2,不妨设6k3=2k1=3k2,所以k1=3k3,k2=2k3,0≤3k3≤49,0≤2k3≤33,k3∈N,得k3∈{0,1,2,3,…,16},k =6k3+1,共有17个,P∩Q中元素个数为17.创新指导1.准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆.2.方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,从而找到恰当的解决方法.已知数列{a n}中,a n=n2-kn(n∈N*),且{a n}单调递增,则k的取值范围是________.[错解][错因分析]在解答的过程中虽然注意了数列的定义域为正整数集,但是不能用二次函数对称轴法来判断数列的单调性.因为数列的图象不是连续的,而是离散的点.[正解]由题意得a n+1-a n=2n+1-k,又{a n}单调递增,故2n+1-k>0恒成立,即k<2n +1(n∈N*)恒成立,解得k<3.[答案]k<3[心得体会]课时练基础组1.数列{a n}的通项a n=nn2+90,则数列{a n}中的最大值是()A.310 B.19C.119 D.1060答案 C解析因为a n=1n+90n,运用基本不等式得,1n+90n≤1290,由于n∈N*,不难发现当n=9或10时,a n=119最大,故选C.2.数列{a n}的前n项积为n2,那么当n≥2时,{a n}的通项公式为() A.a n=2n-1 B.a n=n2C.a n=(n+1)2n2D.a n=n2(n-1)2答案 D解析设数列{a n}的前n项积为T n,则T n=n2,当n≥2时,a n=T nT n-1=n2 (n-1)2.3.已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n+S m=S n+m,且a1=1,那么a10等于() A.1 B.9C.10 D.55答案 A解析∵S n+S m=S n+m,a1=1,∴S1=1.可令m=1,得S n+1=S n+1,∴S n+1-S n=1.即当n≥1时,a n+1=1,∴a10=1.4.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1(n∈N*),则a5等于()A.-16 B.16C.31 D.32答案 B解析当n=1时,S1=2a1-1,∴a1=1.当n ≥2时,S n -1=2a n -1-1, ∴a n =2a n -2a n -1, ∴a n =2a n -1.∴{a n }是等比数列且a 1=1,q =2, 故a 5=a 1×q 4=24=16.5.已知数列{a n }满足a 0=1,a n =a 0+a 1+…+a n -1(n ≥1),则当n ≥1时,a n 等于( ) A .2n B.12n (n +1) C .2n -1 D .2n -1答案 C解析 由题设可知a 1=a 0=1,a 2=a 0+a 1=2. 代入四个选项检验可知a n =2n -1.故选C.6. 已知数列{a n }的通项公式为a n =(n +2)⎝⎛⎭⎫78n,则当a n 取得最大值时,n 等于( ) A .5 B .6 C .5或6 D .7答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n -1,a n ≥a n +1,∴⎩⎨⎧(n +2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n +1)⎝⎛⎭⎫78n -1,(n +2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n +3)⎝⎛⎭⎫78n +1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6,n ≥5.∴n =5或6. 7.在数列{a n }中,a 1=1,a n +1-a n =2n +1,则数列的通项a n =________. 答案 n 2解析 ∵a n +1-a n =2n +1.∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1=(2n -1)+(2n -3)+…+5+3+1=n 2(n ≥2).当n =1时,也适用a n =n 2.8.已知数列{a n }的首项a 1=2,其前n 项和为S n .若S n +1=2S n +1,则a n =________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,3·2n -2,n ≥2解析 由S n +1=2S n +1,则有S n =2S n -1+1(n ≥2),两式相减得a n +1=2a n ,又S 2=a 1+a 2=2a 1+1,a 2=3,所以数列{a n }从第二项开始成等比数列,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,3·2n -2,n ≥2.9.已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,设S n 为数列{a n }的前n 项和,对于任意的n >1,n ∈N *,S n +1+S n -1=2(S n +1)都成立,则S 10=________.答案 91解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S n +1+S n -1=2S n +2,S n +2+S n =2S n +1+2,两式相减得a n +2+a n =2a n +1(n ≥2),∴数列{a n }从第二项开始为等差数列,当n =2时,S 3+S 1=2S 2+2,∴a 3=a 2+2=4,∴S 10=1+2+4+6+…+18=1+9(2+18)2=91. 10. 如图所示的图形由小正方形组成,请观察图①至图④的规律,并依此规律,写出第n 个图形中小正方形的个数是________.答案n (n +1)2解析 由已知,有a 1=1,a 2=3,a 3=6,a 4=10, ∴a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,…,a n -a n -1=n , 各式相加,得a n -a 1=2+3+…+n , 即a n =1+2+…+n =n (n +1)2,故第n 个图形中小正方形的个数是n (n +1)2. 11.已知数列{a n }满足:a 1=1,2n -1a n =a n -1(n ∈N *,n ≥2). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于11000? 解 (1)n ≥2时,a n a n -1=⎝⎛⎭⎫12n -1, 故a n =a n a n -1·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1=⎝⎛⎭⎫12n -1·⎝⎛⎭⎫12n -2·…·⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫121 =⎝⎛⎭⎫121+2+…+(n -1)=⎝⎛⎭⎫12(n -1)n 2,当n =1时,a 1=⎝⎛⎭⎫120=1,即n =1时也成立. ∴a n =⎝⎛⎭⎫12(n -1)n 2.(2)∵y =(n -1)n 在[1,+∞)上单调递增, ∴y =⎝⎛⎭⎫12(n -1)n 2在[1,+∞)上单调递减. 当n ≥5时,(n -1)n 2≥10,a n =⎝⎛⎭⎫12(n -1)n 2 ≤11024. ∴从第5项开始及以后各项均小于11000. 12.已知数列{a n }满足a n +1=⎩⎨⎧2a n ,0<a n≤12,2a n-1,12<a n<1,且a 1=67,求a 2015.解 ∵a 1=67∈⎝⎛⎭⎫12,1,∴a 2=2a 1-1=57. ∵a 2∈⎝⎛⎭⎫12,1,∴a 3=2a 2-1=37. ∵a 3∈⎝⎛⎭⎫0,12,∴a 4=2a 3=67=a 1, ∴{a n }是周期数列,T =3,∴a 2015=a 3×671+2=a 2=57.能力组13.已知数列{a n }满足条件12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n +5,则数列{a n }的通项公式为( )A .a n =2n +1B .a n =⎩⎪⎨⎪⎧14(n =1)2n +1(n ≥2)C .a n =2nD .a n =2n +2答案 B解析 由题意可知,数列{a n }满足条件12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n +5,则12a 1+122a 2+123a 3+…+12n -1a n -1 =2(n -1)+5,n >1,两式相减可得:a n2n =2n +5-2(n -1)-5=2,∴a n =2n +1,n >1,n ∈N *. 当n =1时,a 12=7,∴a 1=14,综上可知,数列{a n }的通项公式为:a n =⎩⎪⎨⎪⎧14(n =1),2n +1(n ≥2).故选B.14.在如图所示的数阵中,第9行的第2个数为________.答案 66解析 每行的第二个数构成一个数列{a n },由题意知a 2=3,a 3=6,a 4=11,a 5=18,则a 3-a 2=3,a 4-a 3=5,a 5-a 4=7,…,a n -a n -1=2(n -1)-1=2n -3,各式两边同时相加,得 a n -a 2=(2n -3+3)×(n -2)2=n 2-2n ,即a n =n 2-2n +a 2=n 2-2n +3(n ≥2),故a 9=92-2×9+3=66. 15.已知数列{a n }满足前n 项和S n =n 2+1,数列{b n }满足b n =2a n +1,且前n 项和为T n ,设c n =T 2n +1-T n .(1)求数列{b n }的通项公式; (2)判断数列{c n }的增减性.解 (1)a 1=2,a n =S n -S n -1=2n -1(n ≥2).∴b n=⎩⎨⎧23(n =1)1n (n ≥2).(2)∵c n =b n +1+b n +2+…+b 2n +1 =1n +1+1n +2+…+12n +1, ∴c n +1-c n =12n +2+12n +3-1n +1=12n +3-12n +2=-1(2n +3)(2n +2)<0, ∴{c n }是递减数列.16.已知数列{a n }中,a 1=12,a n +1=3a na n +3.(1)求a n ;(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ,且b n ·n (3-4a n )a n =1,求证:12≤S n <1.解 (1)由已知得a n ≠0则由a n +1=3a n a n +3,得1a n +1=a n +33a n ,即1a n +1-1a n =13,而1a 1=2,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以2为首项,以13为公差的等差数列.∴1a n =2+13(n -1)=n +53,∴a n =3n +5. (2)证明:∵b n ·n (3-4a n )a n =1,由(1)知a n =3n +5,∴b n =a n n (3-4a n )=1n (n +1)=1n -1n +1,∴S n =b 1+b 2+…+b n =⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+⎝⎛⎭⎫13-14+…+⎝⎛⎭⎫1n -1n +1=1-1n +1, 又∵n ≥1,∴n +1≥2,∴0<1n +1≤12. ∴12≤S n <1. 第2讲 等差数列及前n 项和 考点一 等差数列的概念及运算知识点1 等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示,定义的表达式为a n +1-a n =d ,d 为常数.2 等差中项如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,且A =a +b2. 3 等差数列的通项公式及其变形通项公式:a n =a 1+(n -1)d ,其中a 1是首项,d 是公差.通项公式的变形:a n =a m +(n -m )d ,m ,n ∈N *.4 等差数列的前n 项和 等差数列的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时,数列{a n }为递增数列; 当d <0时,数列{a n }为递减数列; 当d =0时,数列{a n }为常数列.注意点 定义法证明等差数列时的注意事项(1)证明等差数列时,切忌只通过计算数列的a 2-a 1,a 3-a 2,a 4-a 3等有限的几个项的差后,发现它们都等于同一个常数,就断言数列{a n }为等差数列.(2)用定义法证明等差数列时,常采用a n +1-a n =d ,若采用a n -a n -1=d ,则n ≥2,否则n =1时无意义.入门测1.思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=6,a 3=4,则公差d 等于( ) A .1 B.53 C .2 D .3答案 C 解析 因为S 3=(a 1+a 3)×32=6,而a 3=4.所以a 1=0,所以d =a 3-a 12=2. 3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8 B .10 C .12 D .14答案 C解析 ∵S 3=3(a 1+a 3)2=3a 2=12,∴a 2=4.∵a 1=2,∴d =a 2-a 1=4-2=2. ∴a 6=a 1+5d =12.故选C.[考法综述] 等差数列的定义,通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容,用定义判断或证明等差数列,由n ,a n ,S n ,a 1,d 五个量之间的关系考查基本运算能力.命题法1 等差数列的基本运算典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10=30,a 20=50. (1)求通项a n ; (2)若S n =242,求n .[解] (1)由a n =a 1+(n -1)d ,a 10=30,a 20=50,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1+9d =30,a 1+19d =50.解得a 1=12,d =2.所以a n =2n +10; (2)由S n =na 1+n (n -1)2d ,S n =242, 得方程12n +n (n -1)2×2=242, 解得n =11或n =-22(舍去).【解题法】 等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.命题法2 等差数列的判定与证明典例2 数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=2a n +1-a n +2. (1)设b n =a n +1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.[解] (1)证明:∵a n +2=2a n +1-a n +2, ∴b n +1-b n =a n +2-a n +1-(a n +1-a n ) =2a n +1-a n +2-2a n +1+a n =2.∴{b n }是以1为首项,2为公差的等差数列. (2)由(1)得b n =1+2(n -1),即a n +1-a n =2n -1, ∴a 2-a 1=1,a 3-a 2=3,a 4-a 3=5, …,a n -a n -1=2n -3,累加法可得 a n -a 1=1+3+5+…+(2n -3)=(n -1)2, ∴a n =n 2-2n +2.【解题法】 等差数列的判定方法(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证a n -a n -1为同一常数. (2)等差中项法:验证2a n -1=a n +a n -2(n ≥3,n ∈N *)成立. (3)通项公式法:验证a n =pn +q . (4)前n 项和公式法:验证S n =An 2+Bn .1.在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6=( ) A .-1 B .0 C .1D .6答案 B解析 设数列{a n }的公差为d ,由a 4=a 2+2d ,a 2=4,a 4=2,得2=4+2d ,d =-1,∴a 6=a 4+2d =0.故选B.2.已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n .若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( ) A .a 1d >0,dS 4>0 B .a 1d <0,dS 4<0 C .a 1d >0,dS 4<0 D .a 1d <0,dS 4>0 答案 B解析 由a 24=a 3a 8,得(a 1+2d )(a 1+7d )=(a 1+3d )2,整理得d (5d +3a 1)=0,又d ≠0,∴a 1=-53d ,则a 1d =-53d 2<0,又∵S 4=4a 1+6d =-23d ,∴dS 4=-23d 2<0,故选B.3.设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为________.答案 -12解析 由已知得S 1=a 1,S 2=a 1+a 2=2a 1-1,S 4=4a 1+4×32×(-1)=4a 1-6,而S 1,S 2,S 4成等比数列,所以(2a 1-1)2=a 1(4a 1-6),整理得2a 1+1=0,解得a 1=-12.4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n +1=λS n -1,其中λ为常数. (1)证明:a n +2-a n =λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由. 解 (1)证明:由题设,a n a n +1=λS n -1,a n +1a n +2=λS n +1-1. 两式相减得a n +1(a n +2-a n )=λa n +1. 由于a n +1≠0,所以a n +2-a n =λ.(2)由题设,a 1=1,a 1a 2=λS 1-1,可得a 2=λ-1. 由(1)知,a 3=λ+1. 令2a 2=a 1+a 3,解得λ=4. 故a n +2-a n =4,由此可得{a 2n -1}是首项为1,公差为4的等差数列,a 2n -1=4n -3; {a 2n }是首项为3,公差为4的等差数列,a 2n =4n -1. 所以a n =2n -1,a n +1-a n =2.因此存在λ=4,使得数列{a n }为等差数列.考点二 等差数列的性质及应用知识点等差数列及其前n 项和的性质已知{a n }为等差数列,d 为公差,S n 为该数列的前n 项和.(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等,即a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=…=a k +a n -k +1=….(2)等差数列{a n }中,当m +n =p +q 时,a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *). 特别地,若m +n =2p ,则2a p =a m +a n (m ,n ,p ∈N *).(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列,即a k ,a k +m ,a k +2m ,…仍是等差数列,公差为md (k ,m ∈N *).(4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…也成等差数列,公差为n 2d .(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列,其首项与{a n }首项相同,公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中,①若项数为偶数2n ,则S 2n =n (a 1+a 2n )=n (a n +a n +1);S 偶-S 奇=nd ;S 奇S 偶=a na n +1.②若项数为奇数2n -1,则S 2n -1=(2n -1)a n ;S 奇-S 偶=a n ;S 奇S 偶=nn -1.(7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列,且前n 项和分别是S n 和T n ,则S 2m -1T 2m -1=a mb m. (8)若数列{a n },{b n }是公差分别为d 1,d 2的等差数列,则数列{pa n },{a n +p },{pa n +qb n }都是等差数列(p ,q 都是常数),且公差分别为pd 1,d 1,pd 1+qd 2.注意点 前n 项和性质的理解等差数列{a n }中,设前n 项和为S n ,则S n ,S 2n ,S 3n 的关系为2(S 2n -S n )=S n +(S 3n -S 2n )不要理解为2S 2n =S n +S 3n .入门测1.思维辨析(1)等差数列{a n }中,有a 1+a 7=a 2+a 6.( )(2)若已知四个数成等差数列,则这四个数可设为a -2d ,a -d ,a +d ,a +2d .( ) (3)若三个数成等差数列,则这三个数可设为:a -d ,a ,a +d .( )(4)求等差数列的前n 项和的最值时,只需将它的前n 项和进行配方,即得顶点为其最值处.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 2+a 10=4,则S 11的值为( ) A .12 B .18 C .22 D .44答案 C解析 由题可知S 11=11(a 1+a 11)2=11(a 2+a 10)2=11×42=22,故选C.3.在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=90,则a 10-13a 14的值为( )A .12B .14C .16D .18答案 A解析 由题意知5a 8=90,a 8=18,a 10-13a 14=a 1+9d -13(a 1+13d )=23a 8=12,选A 项.[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容,灵活应用由概念推导出的重要性质,在解题过程中可以达到避繁就简的目的.命题法1 等差数列性质的应用典例1 等差数列{a n }中,如果a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则数列{a n }前9项的和为( )A .297B .144C .99D .66[解析] 由a 1+a 4+a 7=39,得3a 4=39,a 4=13. 由a 3+a 6+a 9=27,得3a 6=27,a 6=9. 所以S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 4+a 6)2=9×(13+9)2=9×11=99,故选C. [答案] C【解题法】 应用等差数列性质应注意(1)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用,如a n =a m +(n -m )d ,d =a n -a mn -m,S 2n -1=(2n -1)a n ,S n =n (a 1+a n )2=n (a 2+a n -1)2(n ,m ∈N *)等.(2)如果{a n }为等差数列,m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ( m ,n ,p ,q ∈N *).一般地,a m+a n ≠a m +n ,必须是两项相加,当然也可以是a m -n +a m +n =2a m .因此,若出现a m -n ,a m ,a m +n 等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件.命题法2 与等差数列前n 项和有关的最值问题典例2 等差数列{a n }中,设S n 为其前n 项和,且a 1>0,S 3=S 11,则当n 为多少时,S n最大?[解] 解法一:由S 3=S 11得3a 1+3×22d =11a 1+11×102d ,则d =-213a 1.从而S n =d2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n =-a 113(n -7)2+4913a 1,又a 1>0,所以-a 113<0.故当n =7时,S n 最大.解法二:由于S n =an 2+bn 是关于n 的二次函数,由S 3=S 11,可知S n =an 2+bn 的图象关于n =3+112=7对称.由解法一可知a =-a 113<0,故当n =7时,S n 最大.解法三:由解法一可知,d =-213a 1.要使S n 最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0,a n +1≤0, 即⎩⎨⎧a 1+(n -1)⎝⎛⎭⎫-213a 1≥0,a 1+n ⎝⎛⎭⎫-213a 1≤0,解得6.5≤n ≤7.5,故当n =7时,S n 最大. 解法四:由S 3=S 11,可得2a 1+13d =0, 即(a 1+6d )+(a 1+7d )=0,故a 7+a 8=0,又由a 1>0,S 3=S 11可知d <0, 所以a 7>0,a 8<0,所以当n =7时,S n 最大. 【解题法】 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *. (2)图象法:利用二次函数图象的对称性来确定n 的值,使S n 取得最值.(3)项的符号法:当a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n +1≤0的项数n ,使S n 取最大值;当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1 ≥0的项数n ,使S n 取最小值,即正项变负项处最大,负项变正项处最小,若有零项,则使S n 取最值的n 有两个.1.设{a n }是等差数列.下列结论中正确的是( ) A .若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0 B .若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0 C .若0<a 1<a 2,则a 2>a 1a 3 D .若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0 答案 C解析 若{a n }是递减的等差数列,则选项A 、B 都不一定正确.若{a n }为公差为0的等差数列,则选项D 不正确.对于C 选项,由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列,由等差中项的性质得a 2=a 1+a 32,由基本不等式得a 1+a 32>a 1a 3,所以C 正确. 2.在等差数列{a n }中,a 1>0,a 2012+a 2013>0,a 2012·a 2013<0,则使S n >0成立的最大自然数n 是( )A .4025B .4024C .4023D .4022答案 B解析 ∵等差数列{a n }的首项a 1>0,a 2012+a 2013>0,a 2012·a 2013<0,假设a 2012<0<a 2013,则d >0,而a 1>0,可得a 2012=a 1+2011d >0,矛盾,故不可能. ∴a 2012>0,a 2013<0. 再根据S 4024=4024(a 1+a 4024)2=2012(a 2012+a 2013)>0,而S 4025=4025a 2013<0,因此使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 为4024.3.已知等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若S n T n =2n 3n +1,则a nb n =( )A.23 B.2n -13n -1 C.2n +13n +1D.2n -13n +4答案 B解析 a n b n =2a n2b n =2n -12(a 1+a 2n -1)2n -12(b 1+b 2n -1)=S 2n -1T 2n -1=2(2n -1)3(2n -1)+1=2n -13n -1.故选B.4.在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________. 答案 10解析 由a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,得5a 5=25,所以a 5=5,故a 2+a 8=2a 5=10.5.中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________. 答案 5解析 设等差数列的首项为a 1,根据等差数列的性质可得,a 1+2015=2×1010,解得a 1=5.6.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n =8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎫-1,-78 解析 由题意知d <0且⎩⎪⎨⎪⎧ a 8>0,a 9<0,即⎩⎪⎨⎪⎧7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d <-78.7.若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大. 答案 8解析 根据题意知a 7+a 8+a 9=3a 8>0,即a 8>0.又a 8+a 9=a 7+a 10<0,∴a 9<0,∴当n =8时,{a n }的前n 项和最大.8.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22. (1)求通项a n ; (2)求S n 的最小值;(3)若数列{b n }是等差数列,且b n =S nn +c,求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列, 所以a 3+a 4=a 2+a 5=22. 又a 3·a 4=117,所以a 3,a 4是方程x 2-22x +117=0的两实根, 又公差d >0,所以a 3<a 4, 所以a 3=9,a 4=13,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =9,a 1+3d =13,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =4.所以通项a n =4n -3. (2)由(1)知a 1=1,d =4. 所以S n =na 1+n (n -1)2×d =2n 2-n =2⎝⎛⎭⎫n -142-18. 所以当n =1时,S n 最小,最小值为S 1=a 1=1. (3)由(2)知S n =2n 2-n ,所以b n =S nn +c =2n 2-n n +c,所以b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c. 因为数列{b n }是等差数列, 所以2b 2=b 1+b 3, 即62+c ×2=11+c +153+c, 所以2c 2+c =0,所以c =-12或c =0(舍去),故c =-12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 5=9,S 5=15,则使其前n 项和S n 取得最小值时的n =________.[错解][错因分析] 等差数列的前n 项和最值问题,可以通过找对称轴来确定,本题只关注到n ∈N *,并未关注到n =1与n =2时,S 1=S 2,导致错误.[正解] ∵a 5=9,S 5=15,∴a 1=-3,d =3. ∴a n =3n -6,S n =32n 2-92n .把S n 看作是关于n 的二次函数,其对称轴为n =32.∴当n =1或n =2时,S 1=S 2且最小. [心得体会]课时练 基础组1.已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,S 11=992,则a 12的值是( )A .15B .30C .31D .64答案 A解析 由题意可知2a 8=a 7+a 9=16⇒a 8=8,S 11=11(a 1+a 11)2=11×2a 62=11a 6=992,a 6=92,则d =a 8-a 62=74,所以a 12=a 8+4d =15,故选A. 2.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和,若对任意的n ∈N *满足a n +1=a n +a 2,且a 3=2,则S 2014=( )A .1006×2013B .1006×2014C .1007×2013D .1007×2014答案 C解析 在a n +1=a n +a 2中,令n =1,则a 2=a 1+a 2,a 1=0,令n =2,则a 3=2=2a 2,a 2=1,于是a n +1-a n =1,故数列{a n }是首项为0,公差为1的等差数列,S 2014=2014×20132=1007×2013.故选C.3.在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1a n +2(n ∈N *),则该数列的通项为( )A .a n =1nB .a n =2n +1C .a n =2n +2D .a n =3n答案 A解析由已知式2a n+1=1a n+1a n+2可得1a n+1-1a n=1a n+2-1a n+1,知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是首项为1a1=1,公差为1a2-1a1=2-1=1的等差数列,所以1a n=n,即a n=1n.4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63 B.45C.36 D.27答案 B解析S3=9,S6-S3=36-9=27,根据S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,S9-S6=45,S9-S6=a7+a8+a9=45,故选B.5.已知等差数列{a n}中,前四项和为60,最后四项和为260,且S n=520,则a7=() A.20 B.40C.60 D.80答案 B解析前四项的和是60,后四项的和是260,若有偶数项,则中间两项的和是(60+260)÷4=80.S n=520,520÷80不能整除,说明没有偶数项,有奇数项,则中间项是(60+260)÷8=40.所以共有520÷40=13项,因此a7是中间项,所以a7=40.6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4S2=4,则S6S4=()A.94 B.32C.53D.4答案 A解析由S4S2=4,可设S2=x,S4=4x.∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴2(S4-S2)=S2+(S6-S4).则S6=3S4-3S2=12x-3x=9x,因此,S6S4=9x4x=94.7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=-3,a k+1=32,S k=-12,则正整数k=______.答案13解析由S k+1=S k+a k+1=-12+32=-212,又S k+1=(k+1)(a1+a k+1)2=(k+1)⎝⎛⎭⎫-3+322=-212,解得k=13.8.设正项数列{a n }的前n 项和是S n ,若{a n }和{S n }都是等差数列,且公差相等,则a 1=________.答案14解析 设等差数列{a n }的公差为d , 则S n =d 2n 2+(a 1-d2)n ,∴S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n ,数列{S n }是等差数列,则S n 是关于n 的一次函数(或者是常数),则a 1-d2=0,S n =d2n ,从而数列{S n }的公差是d2,那么有d 2=d ,d =0(舍去)或d =12,故a 1=14.9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=10,S 5=55,则a 10=________. 答案 39解析 设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+(a 1+d )=10,5a 1+5×42d =55,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+d =10,a 1+2d =11,解得a 1=3,d =4,a 10=a 1+(10-1)d =39. 10设数列{a n }为等差数列,数列{b n }为等比数列.若a 1<a 2,b 1<b 2,且b i =a 2i (i =1,2,3),则数列{b n }的公比为________.答案 3+2 2解析 设a 1,a 2,a 3分别为a -d ,a ,a +d ,因为a 1<a 2,所以d >0,又b 22=b 1b 3,所以a 4=(a -d )2(a +d )2=(a 2-d 2)2,则a 2=d 2-a 2或a 2=a 2-d 2(舍),则d =±2a .若d =-2a ,则q =b 2b 1=⎝⎛⎭⎫a 2a 12=(1-2)2=3-22<1,舍去;若d =2a ,则q =⎝⎛⎭⎫a 2a 12=3+2 2. 11.等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=10,a 2为整数,且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1=10,a 2为整数知,等差数列{a n }的公差d 为整数,又S n ≤S 4,故a 4≥0,a 5≤0,于是10+3d ≥0,10+4d ≤0.解得-103≤d ≤-52. 因此d =-3.数列{a n }的通项公式为a n =13-3n . (2)b n =1(13-3n )(10-3n )=13⎝⎛⎭⎫110-3n -113-3n .于是T n =b 1+b 2+…+b n =13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫17-110+⎝⎛⎭⎫14-17+…+⎝⎛ 110-3n -⎭⎫113-3n=13⎝⎛⎭⎫110-3n -110=n10(10-3n ).12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a n +2S n S n -1=0(n ≥2,n ∈N *),a 1=12,判断{a n }是否为等差数列,并说明你的理由.解 数列{a n }不是等差数列,a n =S n -S n -1(n ≥2),a n +2S n S n -1=0, ∴S n -S n -1+2S n S n -1=0(n ≥2), ∴1S n -1S n -1=2(n ≥2),又S 1=a 1=12, ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项,2为公差的等差数列. ∴1S n =2+(n -1)×2=2n ,故S n =12n. ∴当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12(n -1)=-12n (n -1),∴a n +1=-12n (n +1),而a n +1-a n =-12n (n +1)--12n (n -1)=-12n ⎝⎛⎭⎫1n +1-1n -1=1n (n -1)(n +1).∴当n ≥2时,a n +1-a n 的值不是一个与n 无关的常数,故数列{a n }不是一个等差数列.能力组13.已知正项数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,2a 2n =a 2n +1+a 2n -1(n ≥2),则a 6等于( )A .16B .8C .2 2D .4答案 D解析 由2a 2n =a 2n +1+a 2n -1(n ≥2)可得,数列{a 2n }是首项为a 21=1,公差为a 22-a 21=3的等差数列,由此可得a 2n =1+3(n -1)=3n -2,即得a n =3n -2,∴a 6=3×6-2=4,故应选D.14.已知数列{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使S n >0的n 的最大值为( )A .11B .19C .20D .21答案 B 解析 ∵a 11a 10<-1,且S n 有最大值, ∴a 10>0,a 11<0,且a 10+a 11<0, ∴S 19=19(a 1+a 19)2=19·a 10>0, S 20=20(a 1+a 20)2=10(a 10+a 11)<0, 故使得S n >0的n 的最大值为19.。
数列专题练习
数列(专题练习)(一)等差数列1.设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,公差d 不等于零.若a 1,a 2,a 5成等比数列,则( )A .a 1d >0,dS 3>0B .a 1d >0,dS 3<0C .a 1d <0,dS 3>0D .a 1d <0,dS 3<0 2.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 6=16,S 5=35,则{a n }的公差为( )A .-3B .-2C .3D .2 3.已知数列{a n }满足2a n+1=a n +a n+2.若a 7+a 5=12,且a 7=7,则a 8=( )A .6B .12C .10D .84.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题今有白米一百八十石,令三人从上及和减率分之,只云甲多丙米三十六石,问:各该若干?”其意思为:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人来分,他们分得的白米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少白米?”请问甲应该分得白米为( )A .96石B .78石C .60石D .42石 5.在a ,b 中插入n 个数,使它们和a 、b 组成等差数列a ,a 1,a 2,…a n ,b ,则a 1+a 2+…+a n =( ) A .n (a+b ) B .2b a n )(+ C .2b a 1n ))((++ D .2b a 2n ))((++ 6.在等差数列{a n }中,a 1011=5,a 1+2a 4=9则a 2019=( )A .9B .8C .7D .6 7.数列{a n }满足a n +a n+2=2a n+1(n∈N*),且a 1+a 2+a 3=9,a 4=8,则a 5=( ) A .221 B .9 C .217D .7 8.已知等差数列{a n }的公差为d ,若b n =2an ,且b 1+b 3=17,b 2+b 4=68,则d=( )A .1B .2C .3D .49.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,首项a 1>0,公差d <0,a 10•S 21<0,则S n 最大时,n 的值为( ) A .11 B .10 C .9 D .810.已知数列{a n }、{b m }的通项公式分别为a n =4n -2(1≤n≤100,n∈N *),b m =6m -4(m∈N*),由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列,求新数列的各项和( )A .6788B .6800C .6812D .6824 11.已知函数f (x )(x∈R )满足f (2-x )=2-f (x ),若函数y=1-x 1x +与y=f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑=+m1i i i y x )(=( )A .0B .mC .2mD .4m 12.等差数列a 1,a 2…,a n (n∈N *),满足|a 1|+|a 2|+…+|a n |=|a 1+1|+|a 2+1|+…+|a n +1|=|a 1+2|+|a 2+2|+…+|a n +2|=|a 1+3|+|a 2+3|+…+|a n +3|=2010,则( ) A .n 的最大值是50 B .n 的最小值是50 C .n 的最大值是51 D .n 的最小值是5113.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=-3,S 5=-10,则a 5=__________,S n 的最小值为__________. 14.已知数列{a n }与{na 2n }均为等差数列(n∈N*),且a 1=1,则a 10=__________.15.若数列{a n }满足a 1=2,a n+1=a n -2,则a 2019=__________.16.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若1n 22-n 3n n +=T S ,则99b a=__________.17.设{a n }是等差数列,a 1=-10,且a 2+10,a 3+8,a 4+6成等比数列. (1)求{a n }的通项公式;(2)记{a n }的前n 项和为S n ,求S n 的最小值.18.在等差数列{a n }中,已知a 1+a 3=12,a 2+a 4=18,n∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求a 3+a 6+a 9+…+a 3n .19.等差数列{a n }中,公差d <0,a 2+a 6=-8,a 3a 5=7. (1)求{a n }的通项公式;(2)记T n 为数列{b n }前n 项的和,其中b n =|a n |,n∈N *,若T n ≥1464,求n 的最小值.20.在等差数列{a n }中,a 15+a 16+a 17=-45,a 9=-36,S n 为其前n 项和. (1)求S n 的最小值,并求出相应的n 值;(2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.21.设{a n }为递增等差数列,S n 为其前n 项和,满足a 1a 3-a 5=S 10,S 11=33. (1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ;(2)试求所有的正整数m ,使2m 3m 1m a aa +++为正整数.22.数列{a n }的前n 项和记为S n ,a 1=1,a n+1=2S n +1(n≥1). (1)求a 2,a 3;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)等差数列{b n }的前n 项和T n 有最大值,且T 3=15,又a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列,求T n .(二)等比数列1.在等比数列{a n }中,a 4、a 12是方程x 2+3x+1=0的两根,则a 8=( )A .1B .-1C .±1D .±32.已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1008a 1011+a 1009a 1010=8,则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 2018等于( ) A .2016 B .2017 C .2018 D .20193.正项等比数列{a n }中,存在两项a m ,a n ,使得n m a a =1a 3,且a 7=a 6+6a 5,则n4m 1+的最小值是( ) A .3 B .23 C .625 D .37 4.若a ,b 是方程x 2-px+q=0(p <0,q >0)的两个根,且a ,b ,2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值为( )A .-4B .-3C .-2D .-1 5.已知数列{a n }是公比为2的正项等比数列,若a m ,a n 满足2a n <a m <1024a n ,则(m -1)2+n 的最小值为( ) A .3 B .5 C .6 D .10 6.已知各项为正的等比数列{a n },其公比为q ,且对任意n∈N *有a n+2=a n+1+2a n ,则q=( ) A .2 B .23C .2D .1 7.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列等式中一定成立的是( )A .S n +S 2n =S 3nB .S 22n =S n S 3nC .S 22n =S n +S 2n -S 3nD .S 2n +S 22n =S n (S 2n +S 3n )8.《九章算术》中有如下问题:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长1尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等,则所需时间为( )(结果精确到0.1.参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771.)A .2.2天B .2.4天C .2.6天D .2.8天 9.一个放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年就有43的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要的年数是( )A .6B .5C .4D .3 10.设{a n }为等比数列,给出四个数列:∈{2a n };∈{a n2};∈{2a n };∈{log 2|a n |},一定为等比数列的是( ) A .∈∈ B .∈∈ C .∈∈ D .∈∈11.记S n 为数列{a n }的前n 项和;已知{a n }和{S n -k}(k 为常数)均为等比数到,则k 的值可能为( ) A .a 1 B .a 2 C .a 3 D .a 1+a 3 12.若存在等比数列{a n },使得a 1(a 2+a 3)=6a 1-9,则公比q 的最大值为( )A .451+ B .251+ C .451-+ D .251-+ 13.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列结论中一定成立的( )A .若a 5>0,则S 2019<0B .若a 5>0,则S 2019>0C .若a 6>0,则S 2018<0D .若a 6>0,则S 2018>014.已知无穷等比数列{a n }满足:对任意的n∈N *,sin a n =1,则数列{a n }公比q 的取值集合为__________.15.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9=S 3+2S 6,则S 6+31S 取得最小值时,S 9的值为__________.16.设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和,若63a a =−21,则63S S =__________. 17.设无穷等比数列{a n }的公比为q ,若{a n }的各项和等于q ,则首项a 1的取值范围是__________.18.已知单调递增的等比数列{a n }满足:a 2+a 3+a 4=28,且a 3+2是a 2,a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =a n log 21a n ,S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ,对任意正整数n ,S n +(n+m )a n+1<0恒成立,试求m 的取值范围.19.设数列{a n }的首项a 1为常数,且a n+1=3n -2a n (n∈N *).(1)判断数列{a n −53n}是否为等比数列,请说明理由;(2)S n 是数列{a n }的前n 项的和,若{S n }是递增数列,求a 1的取值范围.20.已知数列{a n }的前n 项和S n =n (n+1)+2,其中n∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a k+2,a 3k+2(k∈N *)为等比数列{b n }的前三项,求数列{b n }的通项公式.21.已知数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,b n −a n =2n +1,且S n +T n =2n+1+n 2−2. (1)求T n -S n ; (2)求数列{nn2b }的前n 项和R n .22.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n =2a n -n ,(n∈N *) (1)证明:{a n +1}是等比数列;并求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =(2n+1)a n +2n+1,求数列{b n }的前n 项和为T n ;(3)若c n =3n +(-1)n -1λ•(a n +1)(λ为非零常数,n∈N *),问是否存在整数λ,使得对任意n∈N *,都有c n+1>c n ?专题(三)数列的递推式1.设a ,b∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n+1=a n 2+b ,n∈N *,则( ) A .当b=21时,a 10>10 B .当b=41时,a 10>10 C .当b=-2时,a 10>10 D .当b=-4时,a 10>102.在数列{a n }中,a 1=-41,a n =1-1-a 1n (n >1),则a 2019的值为( ) A .41-B .54C .5D .以上都不对 3.在数列{a n }中,已知a 1=1,a n+1-a n =2n ,则a n =( )A .2n -1B .2n -1C .2n+1-3D .2n+1-1 4.已知数列{a n }满足a 1=21,a n+1=a n +nn 12+,则a n =( ) A .n 1-23 B .2-1n 3+ C .1−1n 1+ D .n123+5.已知等比数列{a n }满足:a 1=4,S n =pa n+1+m (p >0),则p −m 1取最小值时,数列{a n }的通项公式为( )A .a n =4•3n -1B .a n =3•4n -1C .a n =2n+1D .a n =4n 6.数列{a n }满足a n+2=a n+1+2a n ,且a 1=1,a 2=2,则a 6=( )A .24B .25C .26D .277.已知数列{a n }满足(n+1)a n =na n+1,a 2=4,等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 2=a 2,则{b n }的前6项和为( ) A .-63 B .-126 C .63 D .126 8.各项均正的数列{a n }满足a 1=4,a n+1=2a n +2n+1,则a n 等于( )A .n •2n -1B .(n+1)•2nC .n •2n+1D .(n -1)•2n 9.已知S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n+1=S n +a n +1,a 2+a 6=10,则S 7=( )A .20B .25C .30D .35 10.已知数列{a n }满足2a n ≤a n -1+a n+1(n ∈N *,n ≥2),则( )A .a 5≤4a 2-3a 1B .a 2+a 7≤a 3+a 6C .3(a 7-a 6)≥a 6-a 3D .a 2+a 3≥a 6+a 711.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=2,a n +a n+1=2n (n ∈N *),则S 13=( )A .34213-B .32213+C .34214-D .32214+12.若数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a 2=2,(S n +1)(S n+2+1)=(S n+1+1)2,则S n =( )A .21n n )(+ B .2n+1 C .2n -1 D .2n+1+1专题(四)数列与三角、向量综合1.在平面四边形ABCD 中,∈ACD 面积是∈ABC 面积的2倍,数列{a n }满足a 1=3,且CA =(a n+1-3)CB +(a n -2)CD ,则a 5=( )A .31B .33C .63D .652.已知数列{a n }为等差数列,且满足OA =a 1OB +a 2107OC ,若AB =λAC (λ∈R ),点O 为直线BC 外一点,则a 1009=( )A .3B .2C .1D .21 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,设A (a 1009,1),B (2,-1),C (2,2)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若向量OA 与OB 在向量OC 方向上的投影相同,则S 2017为( ) A .-2016 B .-2017 C .2017 D .04.如图,已知点E 为平行四边形ABCD 的边AB 上一点,AE =2EB ,F n (n ∈N *)为边DC 上的一列点,连接AF n 交BD 于G n ,点G n (n ∈N *)满足D G n =31a n+1A G n -(3a n +2)E G n ,其中数列{a n }是首项为1的正项数列,则a 4的值为( )A .45B .51C .53D .615.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若OB =a 7OA +a 2006OC ,且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O ),则S 2012等于( )A .1006B .2012C .22012D .2-2012 6.设a k =(cos6πk ,sin 6πk +cos 6πk ),k∈Z ,则a 2015 • a 2016 =( ) A .3 B .213-C .132-D .2 7.在等差数列{a n }中,a n ≠0(n ∈N *).角α顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边经过点(a 2,a 1+a 3),则ααααcos sin cos 2sin -+=( )A .5B .4C .3D .28.已知函数f (x )=sin (ωx+φ)(ω>0,|φ|<2π)的部分图象如图,则∑=20191n 6n )(πf =( )A .-1B .21C .0D .19.设等差数列{a n }满足)()()(65247274sin cos sin cos sin a a a a a a +-=1,公差d∈(-1,0),则d=( )A .-4π B .-5π C .-6π D .-7π10.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3)若点C 满足OC =a 1OA +a 2012OB ,其中{a n }为等差数列,且a 1006+a 1007=1,则点C 的轨迹方程为( )A .3x+2y -11=0B .(x -1)2+(y -2)2=5C .2x -y=0D .x+2y -5=011.将向量a 1=(x 1,y 1),a 2=(x 2,y 2),…a n =(x n ,y n )组成的系列称为向量列{a n },并定义向量列{a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n .如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量,那么称这样的向量列为等差向量列.若向量列{a n }是等差向量列,那么下述四个向量中,与S 21一定平行的向量是( )A .a 10B .a 11C .a 20D .a 21 12.设函数f (x )=2x -cosx ,{a n }是公差为8π的等差数列,f (a 1)+f (a 2)+…+f (a 5)=5π,则[f(a 3)]2−a 2a 3=( )A .0B .161π2 C .81π2 D .1613π2 13.已知A ,B ,C 为∈ABC 的三个内角,向量m 满足|m |=26,且m =(2sin 2C B +,cos 2CB -),若A 最大时,动点P 使得|PB |,|BC |,|PC |||BC PA 的最大值是__________.14.已知点集L ={(x ,y)|y =m •n },其中m =(x−2b ,2),n =(1,b+1),点P n (a n ,b n )∈L ,P 1=L∩{(x ,y )|x=1},且a n+1-a n =1,则数列{b n }的通项公式为__________.15.已知向量a ,b 满足a =(-2sinx ,3(cosx+sinx )),b=(cosx ,cosx -sinx ),函数f (x )=a •b (x∈R ). (1)求f (x )的单调区间; (2)已知数列a n =n 2f(24112n ππ-)(n∈N *),求{a n }前2n 项和为S 2n .16.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a -b sin -sin 3C B =csin +sin BA .(1)求角A 的大小;(2)若等差数列{a n }的公差不为零,a 1sinA=1,且a 2,a 4,a 8成等比数列;若b n =1n n a a 1+,求数列{b n }的前n 项和S n .专题(五)数列求和1.已知数列{a n }满足:a n ≠1,a n+1=2-n a 1(n∈N *),数列{b n }中,b n =1a 1n -,且b 1,b 2,b 4成等比数列; (1)求证:{b n }是等差数列; (2)S n 是数列{b n }的前n 项和,求数列{n1S }的前n 项和T n .2.在数列{a n }中,a 1=23,a n+1=4a n −))((2n 1n n 8n 3+++(n ∈N *). (1)设b n =a n −)(1n n 1+,求证:数列{b n }是等比数列;(2)求数列{a n }的前n 项和S n .3.已知正项数列{a n }的前n 和为S n ,且2a 1S n =a n 2+a n . (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(31)n •a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .4.设{a n }是首项为a ,公差为d 的等差数列(d ≠0),S n 是前n 项和.记b n =cn n 2n+S ,n ∈N *,其中c 为实数. (1)若数列{c n }满足c n =nnS ,证明:数列{c n }等差数列; (2)若c=0,且b 1,b 2,b 4成等比数列,证明:S nk =n 2S k (k ,n ∈N *); (3)若{b n }是等差数列,证明:c=0.。
数列分专题经典练习-题型大全-典型例题
数列专题一.等差数列练习题1.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n =2n 2-5n ,证明数列{a n }是等差数列。
2.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n =n 2,则{a n }是( )A.等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列C.等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列3.等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 2+a 5=4,a n =33,则n 为( )A .48B .49C .50D .514.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的范围是______。
5.如果等差数列{}n a 中,34512712,___.a a a a a a ++=+++=那么6.已知1,a ,b 成等差数列,3,a +2,b +5成等比数列,则公差为( )A .3或-3B .3或-1C .3D .-37.已知{a n }为等差数列,若a 1+a 5+a 9=π,则cos(a 2+a 8)的值为______.8.等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++,则这个数列的通项公式为( )A .21n a n =+B .21n a n =-C .23n a n =-D .25n a n =-9.设{n a }为等差数列,公差d = -2,n S 为其前n 项和.若1011S S =,则1a =( )A.18B.20C.22D.2410.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若363,24S S ==,则9__.a = 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若924972,___.S a a a =++=则12.{}n a 是公差为-2的等差数列,a 1+a 4+….. + a 97 =50,a 3+a 6+ a 9+….. + a 99 =( )A.-182B.-78C.-148D.-8213.}{n a 是等差数列,且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若 则k =14.在等差数列}{n a 中,若4681012120a a a a a ++++=,则10122a a -= 15.已知}{n a 为等差数列,a 1+a 8+ a 13+ a 18=100,求a 10= 16.已知数列{a n }的前n 项和S n =n (n -40),则下列判断正确的是( ) A.a 19>0,a 21<0B.a 20>0,a 21<0C.a 19<0,a 21>0D.a 19<0,a 20>017.等差数列{a n }中,a 1>0,S 4=S 9,则S n 取最大值时,n=18.等差数列{}n a 中,125a =,917S S =,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。
高中数学《数列》复习专题
1 n 1 练1.若an an 1 1 ( ) , a1 0, 求通项公式. 2 解:
专题2:求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 2.累乘型 an an1 f ( n)
n 1个 an 1 q an 2 an q a
例3.数列 {an }满足an 3an1 1, a1 1, 求 {an }的通项公式 .
解: 设 为待定系数, an 3an 1 1
1 1 n 1 那么an =(a1 )3 2 2 an 3an1 1 1 1 n 1 即an = 3 1 2 2 an 3(an 1 ) n 1 3 3 +1 也即an = 1 1 2 则 令 , 2 3 1 1 即an 3(an 1 ) 2 2 1 1 {an }是以a1 为首项, 2 2 3为公差的等比数列.
练1.an
1 4n 1
2
, 求S n .
1 1 练 2.an 2 , 证明Sn . 4n 4n 3 3
1 1 1 例2.求和: 2+ 3 3+ 4 4+ 5
1 99+ 100
1 1 1 练3.求和: + 1+ 3 2+ 4 3+ 5
1 n + n+2
2 an an1 an1
专题2:求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 回顾:求等差数列的通 项公式:— —累加法
由递推公式 an an1 d (n 2)可知, a2 a1 d 当n 2时, a3 a2 d a4 a3 d n 1个 a n 1 a n 2 d a n a n 1 d
数列复习专题精选完整版ppt课件
数列与函数问题:化归思想,函数与方程思想
恒成立问题: 论证推理
探索性问题--恒成立问题
恒成立问题: 论证推理
探索性问题--存在性问题
注:(1)不等式恒成立与最值问题相关联:确定变量最大或最小(2)数列最值问题关联:单调数列特征,或数列取值正负变化特征,或数列二次函数特征(3)恒成立问题:推理论证(4)存在性问题:寻找,特值法、代入验证法等
二、数列基本方法
1、方程(组)思想、函数思想2、代入法,因式分解降次法3、待定系数法4、分类讨论思想5、化归转换思想★6、不等式放缩应用
数列问题探究-典型例举
数列问题探究-典型例举
数列问题:
2、一般数列通项递推的应用(关于Sn--an)
递推式运用原则:减元原则、降次原则、目标趋近原则
知识拓展与方法应用:
数 列
1.知识
2. 问题
3. 方法
一、数列基础知识
一般数列:
特殊数列:等差数列
特殊数列:等差数列性质 足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
特殊数列:等比数列
特殊数列:等比数列性质 足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
二、数列基本问题
公式变式\性质应用
题例
基本关系式应用:正用代入--逆用作差
一般数列通项递推的应用
数列求和:数列递推问题:数列与不等式问题:数列与函数:探索性问题:成立与存在性问题预测方向
数列递推问题
数列递推问题
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
小结:(1)高考卷选择填空题型:等差等比比重大,一般数列通项或和,新定义与创新型问题(2)高考数列解答题:通项、前n项和,★递推问题,不等式证明(3)含参数问题:取值或范围,最值问题(4)重点问题:特殊数列、递推问题等
(完整版)数列求通项专题(总复习专题-方法全面-有答案)全
求数列通项专题题型一:定义法(也叫公式法)直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目例:等差数列}a {n 是递增数列,前n 项和为n S ,且931a ,a ,a 成等比数列,255a S =.求数列}a {n 的通项。
解:设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列,∴9123a a a =,即)d 8a (a )d 2a (1121+=+,得d a d 12= ∵0d ≠,∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得:53a 1=,53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二:已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。
)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例:(1)已知数列的前项和,求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解:当时,;1=n 311==S a 当时,; 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n (2)已知数列的前项和满足,求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解:由,得,1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习:1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为,,,求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三:形如用累加法(也叫逐差求和法):)(1n f a a n n +=+(1)若f(n)为常数,即:,此时数列为等差数列,则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+(2)若f(n)为n 的函数时,用累加法. 方法如下: 由 得:)(1n f a a n n =-+时,,2≥n )1(1-=--n f a a n n ,)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即:.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便,也可用横式来写:时,,2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1:已知数列{a n }中,a 1=1,对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++,求n a .解:由已知得11(1)n n a a n n --=+,121(1)n n a a n n ---=-,……,32134a a -=⨯,21123a a -=⨯,以上式子累加,利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+, 3121n a n ∴=-+例2:已知数列满足,求数列的通项公式。
数列专题训练
1.已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足21n n s =-。
(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n na 的前n 项和n T 。
2.设数列{}n a 的前n 项和12n n s +=,数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n b 的前n 项和n T 。
3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且10a =,对任意*n N ∈,都有1(1)n n na s n n +=++。
(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*31()2n n S a n N =-∈。
(1)求数列{}n a 的通项公式: (2)设32log 12n n a b =+,求12231111...n nb b b b b b -+++17.数列{}n a 满足111,32n n n a a a +==+。
证明: (1)数列{2}n n a +是等比数列; (2)对一切正整数n ,有121113 (2)n a a a +++<。
1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设21222log log log n n b a a a =+++ ,求(8)n n b nk -≥对任意n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围. 2.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足131n n S a n n +=++,n ∈N *,且418S =,令n n ab n = (1)求1b ,2b ,3b 的值 (2)求数列{}n b 的通项公式 (3)求证:对一切n ∈N *,有121111 (2)n a a a +++<.18.已知数列{}n a 满足:1a a =,21122n n n a a a +=-+,其中n ∈N *. (Ⅰ)是否存在实数a 使得{}n a 为等差数列,若存在,求出a 的值,若不存在,请说明理由; (Ⅱ)当4a =时,证明:121111 (2)n a a a +++<.3.已知数列{}n a 满足112a =,1(1)(1)n n n na a n na +=++(n ∈N *). (I )求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记n S 为数列{}n a 的前n项和,11n n n S b S +⎛⎫=-⎝,求证:1245nb b b +++< . 4.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足224n n S a n +=+(n ∈N *). (1)求证:数列{1}n a -为等比数列,并求{}n a 的通项公式. (2)令113n n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为nT ,求证:14n T <. 5.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,点(n ,n S )满足1()2x f x k +=-,且314S =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令2log n n n b a a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .6.已知数列{}n a 满足12323n a a a na n ++++= (n ∈N *). (1)求数列{}n a 的通项公式n a ;(2)令2n n n b a a +=(n ∈N *),12n n T b b b =++ ,求证:32n T <. 7.已知等差数列{}n a 的首项为a (a ∈R ,a ≠0).设数列的前n 项和为n S ,且对任意正整数n 都有24121n n a n a n -=-. (1)求数列{}n a 的通项公式及n S ;(2)是否存在正整数n 和k ,使得n S ,1n S +,n k S +成等比数列?若存在,求出n 和k 的值;若不存在,请说明理由.8.已知数列{}n a 满足2n n a qa +=(q 为实数,且1q ≠),n ∈N *,11a =,22a =,且23a a +,34a a +,45a a +成等差数列(1)求q 的值和{}n a 的通项公式; (2)设222log 1n n n a b a =-,n ∈N *,求数列{}n b 的前n 项和.9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为2n n S k m =⋅+,0k ≠,且13a =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设n nnb a =,求数列{}n b 的前n 项和n T . 10.已知数列{}n a 的首项大于0,公差1d =,且12231123a a a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足:11b =-,2b λ=,111(1)n n n nn b b n a -+--=+,其中2n ≥. ①求数列{}n b 的通项n b ;②是否存在实数λ,使得数列{}n b 为等比数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 11.已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,且2S n +3=3a n (n ∈N *).(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设{}n b b n =,T n =b 1+b 2+b 3+…+b n ,求证:T n <(n ∈N *).12.已知数列{}n a 的前n 项和S n 满足S n +1+S n ﹣1=2S n +1(n ≥2,n ∈N *),且a 1=2,a 2=3. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设{}n b b n =4n+(﹣1)n ﹣1•λ•2an (λ为非零整数,n ∈N *),求λ的值,使得对任意n ∈N *,b n +1>b n 恒成立.13.设{}n a 是单调递增的等差数列,S n 为其前n 项和,且满足4S 3=S 6,a 2+2是a 1,a 13的等比中项. (I )求数列{}n a 的通项公式;(II )是否存在m ,k ∈N *,使a m +a m +4=a k +2?说明理由;(III )若数列{}n b 满足b 1=﹣1,b n +1﹣b n =a n ,求数列{}n b 的通项公式.14.已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列,其前n 项和为S n ,满足S 5﹣2a 2=25,且a 1,a 4,a 13恰为等比数列{}n b 的前三项(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)设n T 是数列{}的前n 项和,是否存在k ∈N *,使得等式1﹣2T k =成立,若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.15.已知各项为正的等差数列{}n a 的公差为d=1,且+=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足:b 1=λ,a n +1b n +1+a n b n =(﹣1)n +1(n ∈N ),是否存在实数λ,使得数列{}n b 为等比数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.16.设{}n a 是单调递增的等差数列,S n 为其前n 项和,且满足4S 3=S 6,a 2+2是a 1,a 13的等比中项. (I )求数列{}n a 的通项公式;(II )是否存在m ,k ∈N *,使a m +a m +4=a k +2?说明理由; (Ⅲ)若数列{}n b 满足,求数列{}n b 的前n 项积的最大值.17.已知S n 为数列{}n a 的前n 项和,S n =na n ﹣3n (n ﹣1)(n ∈N *),且a 2=11. (1)证明数列{}n a 是等差数列,并求其前n 项和S n ; (2)设数列{}n b 满足{}n b b n =,求证:b 1+b 2+…+b n<.1.设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,且S 3+S 4=S 5,a 7=5a 2+2. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设{}n b b n =()n ﹣1,求数列{}n b {a n b n }的前n 项和n T T n .二.解答题(共24小题)2.已知数列{}n a 是首项a 1=4的等比数列,其前n 项和为S n ,且S 3,S 2,S 4成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若{}n b b n =log 2|a n |(n ≥1,n ∈N ),设n T 为数列{}的前n 项和,求证:n T T n <2.3.数列{}n a 是首项a 1=4的等比数列,s n 为其前n 项和,且S 3,S 2,S 4成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若{}n b b n =log 2|a n |,设n T 为数列{}的前n 项和,求证T n <.4.已知数列{}n a 是等比数列,S n 为数列{}n a 的前n 项和,且a 3=3,S 3=9 (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设{}n b b n =log 2,且{b n }为递增数列,若c n =,求证:c 1+c 2+c 3+…+c n <1.5.设数列{}n a 的前n 项和为S n ,满足2S n =a n +1﹣2n +1+1,n ∈N *,且a 1,a 2+5,a 3成等差数列.(1)求a 1,a 2,a 3的值;(2)求证:数列{a n +2n}是等比数列 (3)证明:对一切正整数n ,有++…+<.6.已知数列{}n a 满足a 1=,且a n +1=3a n ﹣1,b n =a n ﹣. (1)求证:数列{}n b 是等比数列. (2)若不等式≤m 对∀n ∈N *恒成立,求实数m 的取值范围.7.已知数列{}n a 满足a n +2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列(1)求q 的值和{}n a 的通项公式; (2)设{}n b b n =,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.8.设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,且2a 5﹣S 4=2,3a 2+a 6=32. (I )求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)记,求T n .9.在等差数列{}n a 中,S n 为其前n 项和(n ∈N *),且a 2=3,S 4=16 (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设{}n b b n =,求数列{b n }的前n 项和T n .10.已知等比数列{}n a 的公比q >1.且2(a n +a n +2)=5a n +1,n ∈N *. (I )求q 的值;(Ⅱ)若a 32=a 10,求数列{}的前n 项和S n .11.已知数列{}n a 满足a 1=且a n +1=.设{}n b b n +2=3,数列{c n }满足c n =a n •b n .(1)求数列{}n b 通项公式; (2)求数列{c n }的前n 项和S n ; (3)若c n ≤+m ﹣1对一切正整数n 恒成立,求实数m 的取值范围.12.已知数列{}n a 满足:++…+=(n ∈N *).(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若{}n b b n =a n a n +1,S n 为数列{}n b 的前n 项和,对于任意的正整数n ,S n >2λ﹣恒成立,求实数λ的取值范围.13.已知数列{}n a 与{}n b 满足a n +1﹣a n =2(b n +1﹣b n )(n ∈N *). (1)若a 1=1,{}n b b n =3n+5,求数列{a n }的通项公式;(2)若a 1=6,{}n b b n =2n(n ∈N *)且λa n >2n+n +2λ对一切n ∈N *恒成立,求实数λ的取值范围.14.已知等差数列{}n a 中,2a 2+a 3+a 5=20,且前10项和S 10=100. (I )求数列{}n a 的通项公式; (II )求数列的前n 项和.15.已知等差数列的{}n a 前n 项和为S n ,且S 3﹣2a 2=3,S 4=16;数列{b n }满足b 1+2b 2+3b 3+…+nb n =(n ﹣1)2n+1. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)记c n =a n +(﹣1)n log 2b n ,数列{c n }的前n 项和为n T (n ∈N *),当n 为奇数时,求n T 的表达式.16.已知等比数列{}n a 和等差数列{}n b 均是首项为1的递增数列,且a 2=b 2,a 3=b 4. (I )求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)若数列{c n }满足c n =a n +(﹣1)nb n ,求数列{c n )前n 项和S n .17.已知等差数列{}n a ,等比数列{}n b 满足:a 1=b 1=1,a 2=b 2,2a 3﹣b 3=1. (Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)记c n =a n b n ,求数列{c n }的前n 项和S n .18.已知数列{}n a 的首项a 1=1,且满足(a n +1﹣1)a n +a n +1=0(n ∈N *).(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设c n =,求数列{c n }的前n 项和S n .19.已知:数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足22n n S a n =-(n ∈N*) (1)证明数列{2}n a +是等比数列.并求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)若数列{}n b 满足2log (2)n n b a =+,设n T 为数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和,对一切n ∈N *都有n T k <,求最小正整数k .20.己知非单调数列{}n a 是公比为q 的等比数列,且114a =-,2416a a =,记51n n na b a =-. (I )求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若对任意正整数n ,|1|3n m b -≥都成立,求实数m 的取值范围;(Ⅲ)设数列2{}n b ,21{}n b -的前n 项和分别为n S ,n T .证明:对任意的正整数n ,都有223n n S T <+. 21.已知数列{}n a 满足12323n a a a na n ++++= (n ∈N *). (1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)令12112na n nb a -=(n ∈N *),12n n T b b b =+++ ,写出n T 关于n 的表达式,并求满足52n T >时n 的取值范围.22.已知公比不等于1的等比数列{}n a ,满足:33a =,39S =,其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设2233log n n b a +=,若14n n n c b b +=,求数列{}n c 的前n 项和n T .23.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,n ∈N *,且5624a a +=,315S =. (1)求{}n a 的通项公式; (2)设211n n b a =-,求数列{}n b 的前n 项和n T .24.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n n S a =-(n ∈N *). (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设131log n n b a =,n c =,求数列{}n c 的前n 项和n T .25.已知数列{}n a 各项均为正数,且11a =,2211n n n n a a a a ++-=+. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设21n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <.。
数列求通项公式专题(完美总结)
求通项公式专题1、作差法:已知数列{a n }的前n 项和S n ,求通项公式n a例 已知数列{a n }的前n 项和S n ,求数列{a n }的通项公式.(1)S n =2n -1;(2)S n =2n 2+n +3.变式训练 已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式,求a n . (1)S n =2n 2-3n ;(2)S n =3n -2.2.累加法:型如)(1n f a a n n +=+的数列例 已知数列}{n a 满足21=a ,231++=+n a a n n ,求}{n a 的通项公式.变式训练 已知数列}{n a 满足21=a ,12123-+⋅=-n n n a a ,求}{n a 的通项公式.3.累乘法:型如)(1n f a a n n ⋅=+的数列例 已知数列}{n a 满足11=a ,n n a nn a 21+=+,求}{n a 的通项公式.变式训练 已知数列}{n a 满足11=a ,12n n n a a +=⋅,求}{n a 的通项公式.4.构造法4-1型如b ka a n n +=+1(b k 、为常数)的数列构造}{λ+n a 为等比数列▲例 已知数列}{n a 满足21=a ,321+=+n n a a ,求}{n a 的通项公式.变式训练1 已知数列}{n a 满足11=a ,231+=+n n a a ,求}{n a 的通项公式.变式训练2 已知数列}{n a 满足2171-=a ,)2(5231≥+=-n a a n n ,求}{n a 的通项公式.4-2 型如001B n A pa a n n ++=+的数列解法:设1(1)()n n a A n B p a An B ++++=++,去括号整理对比001B n A pa a n n ++=+解出A 、B的值,构造出}{B An a n ++为等比数列.理解该数列的构造原理,若出现00201C n B n A pa a n n +++=+,方法也相同.例 已知数列}{n a 满足11=a ,1231n n a a n +=+-,求}{n a 的通项公式.变式训练 已知数列}{n a 满足11=a ,1321n n a a n +=++,求}{n a 的通项公式.4-3 型如n n n q m pa a ⋅+=+1的数列将原递推公式两边同除以1n q +得q m q a q p q a n n n n +⋅=++11,设n n n a b q=,得q m b q p b n n +⋅=+1, 转化为“6-1型如b ka a n n +=+1(b k 、为常数)的数列构造}{λ+n a 为等比数列”.例 已知数列}{n a 满足11=a ,123n n n a a +=+,求}{n a 的通项公式.变式训练1 已知数列}{n a 满足21=a ,n n n a a 2211+=+,求}{n a 的通项公式.变式训练2 已知数列{}n a 中,651=a ,11)21(31+++=n n n a a ,求n a 。
专题05数列
专题05数列(添加试题分类成品)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________二、多选题2.设正整数010112222k k k kn a a a a --=×+×++×+×L ,其中{}0,1i a Î,记()01k n a a a w =+++L .则( )A .()()2n n w w =B .()()231n n w w +=+C .()()8543n n w w +=+D .()21nnw -=三、单选题3.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若45S =-,6221S S =,则8S =( ).A .120B .85C .85-D .120-四、填空题4.将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an },则{an }的前n 项和为________.五、单选题六、双空题6.某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20dm 12dm ´的长方形纸,对折1次共可以得到10dm 12dm ´,20dm 6dm ´两种规格的图形,它们的面积之和21240dm S =,对折2次共可以得到5dm 12dm ´,10dm 6dm ´,20dm 3dm ´三种规格的图形,它们的面积之和22180dm S =,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折n次,那么1nk k S ==å______2dm.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ;(2)求使n n S a >成立的n 的最小值.12.已知数列{}n a 满足11a =,11,,2,.n n n a n aa n ++ì=í+î为奇数为偶数(1)记2n nb a =,写出1b ,2b ,并求数列{}n b 的通项公式;(2)求{}na 的前20项和.13.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求112231(1)n n n a a a a a a -+-+¼+-.14.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==.(1)求{}n a 的通项公式;(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ÎN 中的项的个数,求数列{}m b 的前100项和100S .于是12(1)n a a n D =+-,又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数,因此{}na 为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件.故选:C 2.ACD【分析】利用()n w 的定义可判断ACD 选项的正误,利用特殊值法可判断B 选项的正误.【详解】对于A 选项,()01k n a a a w =+++L ,12101122222k k k k n a a a a +-=×+×++×+×L ,所以,()()012kn a a a n w w =+++=L ,A 选项正确;对于B 选项,取2n =,012237121212n +==×+×+×,()73w \=,而0120212=×+×,则()21w =,即()()721w w ¹+,B 选项错误;对于C 选项,3430234301018522251212222k k k k n a a a a a a +++=×+×++×+=×+×+×+×++×L L ,所以,()01852kn a a a w +=++++L ,2320123201014322231212222k k k k n a a a a a a +++=×+×++×+=×+×+×+×++×L L ,所以,()01432k n a a a w +=++++L ,因此,()()8543n n w w +=+,C 选项正确;对于D 选项,01121222n n --=+++L ,故()21n n w -=,D 选项正确.故选:ACD.3.C【分析】方法一:根据等比数列的前n 项和公式求出公比,再根据48,S S 的关系即可解出;方法二:根据等比数列的前n 项和的性质求解.【详解】方法一:设等比数列{}na 的公比为q ,首项为1a ,由题意,2n m £,即2log n m £,当1m =时,10b =.当)12,21k k m +éÎ-ë时,,m b k k *=ÎN ,则()()()()1001234573233636465100S b b b b b b b b b b b b =++++++++++++++L L L L 0122438416532637480=+´+´+´+´+´+´=.[方法三]:由题意知)1,2,2k k m b k m +é=Îë,因此,当1m =时,10b =;[2,4)m Î时,1m b =;[4,8)m Î时,2m b =;[8,16)m Î时,3m b =;[16,32)m Î时,4m b =;[32,64)m Î时,5m b =;[64,128)m Î时,6m b =.所以1001234100S b b b b b =+++++L 0(11)(222)(666)=++++++++++L L 0122438416532637480=+´+´+´+´+´+´=.所以数列{}nb 的前100项和100480S =.【整体点评】(2)方法一:通过数列{}n a 的前几项以及数列{}m b 的规律可以得到12100,,,b b b L 的值,从而求出数列{}m b 的前100项和,这是本题的通性通法;方法二:通过解指数不等式可得数列{}m b 的通项公式,从而求出数列{}m b 的前100项和,是本题的最优解;方法三,是方法一的简化版.答案第171页,共22页。
数列专题 第1讲
第1讲 数列的概念与简单表示法1.数列的定义按照□01一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的□02项.2.数列的分类3.数列的表示法数列有三种常见表示法,它们分别是□07列表法、□08图象法和□09解析法. 4.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与□10序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.1.若数列{a n }的前n 项和为S n ,通项公式为a n , 则a n =⎩⎨⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2.2.在数列{a n }中,若a n 最大,则⎩⎨⎧ a n ≥a n -1,a n ≥a n +1.若a n 最小,则⎩⎨⎧a n ≤a n -1,a n ≤a n +1. 3.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.1.在数列{a n }中,a 1=1,a n a n -1=a n -1+(-1)n (n ≥2,n ∈N *),则a 3a 5的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D.382.(2019·湖南三市联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =a 1(4n -1)3,若a 4=32,则a 1的值为( )A.12B.14C.18D.1163.在数列{a n }中,a 1=1,对于所有的n ≥2,n ∈N 都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,则a 3+a 5=( )A.6116B.259C.2516D.31154.在数列{a n }中,若a 1=2,a n =11-a n -1(n ≥2,n ∈N *),则a 8=( )A .-1B .1 C.12 D .25.已知数列32,54,76,9m -n ,m +n 10,…,根据前3项给出的规律,实数对(m ,n )为________.6.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +1n (n +1),则数列a n =________.核心考向突破考向一 利用a n 与S n 的关系求通项公式例1 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n +1,则a n =________.(2)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和,若S n =2a n +1,则S 6=________.触类旁通S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. ①利用a n =S n -S n -1(n ≥2)转化为只含S n ,S n -1的关系式,再求解. ②利用S n -S n -1=a n (n ≥2)转化为只含a n ,a n -1的关系式,再求解.即时训练 1.(2019·宁夏模拟)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=________.2.(2018·石家庄质检)设数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1=________,S5=________.考向二由递推关系求数列的通项公式例2分别求出满足下列条件的数列的通项公式.(1)a1=0,a n+1=a n+(2n-1) (n∈N*);(2)a1=1,a n=nn-1a n-1 (n≥2,n∈N*);(3)a1=-2,a n+1=3a n+6 (n∈N*).(4)a1=-2,a n+1=3a n+6n(n∈N*).触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且a n-a n-1=f(n),可用“累加法”求a n.(2)已知a1且a na n-1=f(n),可用“累乘法”求a n.(3)已知a1且a n+1=qa n+b,则a n+1+k=q(a n+k)(其中k可由待定系数法确定),可转化为等比数列{a n+k}.(4)形如a n+1=Aa nBa n+C(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.即时训练 3.在数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a na n+2(n∈N*),则14是这个数列的()A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项4.若数列{a n}满足:a1=1,a n+1=a n+2n,则数列a n=________.5.在数列{a n}中,a1=4,na n+1=(n+2)a n,则数列a n=________.考向三 数列的性质 角度1 数列的单调性例3 (2019·吉林模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-2λn (n ∈N *),若数列{a n }为递增数列,则λ取值范围为________.角度2 数列的周期性例4 在数列{a n }中,已知a 1=1,a n +1=-1a n +1,记S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2018=( )A .20152B .-20152C .20172D .-20172 角度3 数列的最值例5 (1)若数列{a n }的前n 项和S n =n 2-10n (n ∈N *),则数列{na n }中数值最小的项是( )A .第2项B .第3项C .第4项D .第5项 (2)已知数列{a n }的通项公式为a n =(n +2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ,则当a n 取得最大值时,n =________.即时训练 6.已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=1+a n1-a n(n ∈N *),则a 1·a 2·a 3·…·a 2019=( )A .-6B .6C .-3D .37.已知数列{a n }满足a n =⎩⎨⎧(1-3a )·n +10a ,n ≤6,a n -7,n >6(n ∈N *),若对任意的n∈N *,均有a n >a n +1,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13,58C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13,12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,58。
数列专题复习及答案
数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题l、已知a n=n E N*)'则数列忆}的最大项是旷+1562、在等差数列{a J中,若a4+a6十Gio+ a12 = 90'则知0-—a l4=3、酰廿等比数列包},若Gi= l a5 = 4, 则a3的值为4、数列{a J中,a3= 2, a5 = l, 则数列{}是等差数列,则a ll=a n +l5、在数列{a J和{九}中,b n是a n与a n+I的等差中项,a1=2且对任意nEN*都有3a n+I -a n = Q , 则数列{九}的通项公式为6、设等差数列{a n}的公差d不为O,a1 = 9d, a k是a,与a2k的等比中项,则k=7、等差数列{a J的前n项和为S n,若S4�10,S5sl5,则a4的最大值为8、正数数列{a J中,已知a1= 2, 且对任意的s,t EN*, 都有a s+a t= a s+t成立,则1 1+ + +a l a2 a2a3 a n a n+I s9、等差数列{a J的前n项和为S n,且a4-a2 = 8,a3 + a5 = 26 , 记兀=号-,如果存在正整数M,使得对一切正整数n,T n sM都成立.则M的最小值是10、已知无穷等比数列{a n}中,各项的和为s,且lim[3(a1+a尸+a n)—S]=4,则实n今OO数a l的范围11、设正数数列{a J的前n项和为S n,且存在正数t'使得对千所有自然数n,有寂=n a +t 成立,若lim 瓦< t'则实数t的取值范围为2 n➔ 00a n12、数列{a,)的通项公式为a,={�::3(1:::; n:::; 2),则lirn s = n之3,n EN*) nn➔oo13、已知数列[a,}的通项三式为a,�2•-1+I, 则a立+a立+a立+a,, 立=12a n 0:::;;a n<—)14、数列{a }满足a= 2 6n+l � l '若a l=—,则a2001的值为2a n -I —:::;;a n< I)7215、在数列{a J中,如果对任意nEN*都有a n+2—a n+l= k (k为常数),则称{a J为等a n+l -a n差比数列,k称为公差比.现给出下列命题:(1)等差比数列的公差比一定不为0;(2)等差数列一定是等差比数列;(3)若a n=-3勹2,则数列{aJ是等差比数列;(4)若等比数列是等差比数列,则其公比等千公差比.其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列{a n}的公差为d,前n项的和为S n,当首项a l和d变化时a2+as+a11是一个定值,则下列各数中也为定值的是( )A. s7B. SsC. s l3D. s l517、在等差数列{aJ中,Cli> 0, 5a5 = 17 a10 , 则数列{aJ前n项和凡取最大值时,n的值为()A.12B.llC.10D.918、设{a n}为等差数列,若生)_<—1,且它的前n项和S n有最小值,那么当凡取得最小正值时,n=a l O()A 11 B.17 C.19 D. 2019、等差数列{a n}的前n项和为S n,且Ss< S6, S6 = S1 > Ss,则下列结论中错误的是()A d<O C. S9 > SB. a7 = 0D. S6和S7均为S n的最大值20、已知数列{a J、{九}都是公差为1的等差数列,其首项分别为a l、b l'且a1+ b1 = 5, a1 ,b1 EN*. 设e n= a b,, (n E N勹,则数列{e n}的前10项和等千()A. 55B. 70C.85D.10021、已知等差数列{a J的前n项和为S n,若OB=CliOA十生OO OC,且A,B,C三点共线(该直线不过原点0),则s200= c )A. 100B. 101C. 200D. 201A 7n+4522、已知两个等差数列{aJ和{仇}的前n项和分别为A n和B n,且_____!!.='则使B n+3a得二为整数的正整数n的个数是(b nA. 2三、解答题B. 3C. 4D. 523、设数列忆}的前n项和为S n,已知a l=a'a n+I =凡+3n,n E N*.(1)设九=凡_3n,求忱}的通项公式;(2)若a*n+I� 化,nEN,求a的取值范围.24、数列曰}满足a 1=a , a 2 = -a (a > 0) , 且{a n }从第二项起是公差为6的等差数列,凡是{a n }的前n项和.(1)当n �2时,用a与n表示a n 与S n (2)若在s 6与趴两项中至少有一项是凡的最小值,试求a的取值范围;125、数列{aJ中,a l=—,点(n,2a n+l -aJ在直线y =x 上,其中nEN *2(1)设九=a n +l -a n -1, 求证数列{九}是等比数列;(2)求数列{a n }的通项;(3)设S n 、Tn 分别为数列{a小{九}的前n项和,是否存在实数入,使得数列{凡:入T"}为等差数列?若存在,试求出入;若不存在,则说明理由。
数列难题专题
数列难题专题一.解答题(共20小题)1.已知数列{an }的前n项和为Sn,且,数列{bn}满足b1=1,且bn+1=bn+2.(Ⅰ)求数列{an }、{bn}的通项公式;(Ⅱ)设,求数列{cn }的前2n项和T2n.2.设数列{an }的首项a1为常数,且an+1=3n﹣2an,(n∈N*)(1)证明:{an﹣}是等比数列;(2)若a1=,{an}中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存在说明理由.(3)若{an }是递增数列,求a1的取值范围.3.数列{an }的首项a1=1,前n项和Sn与an之间满足an=(n≥2).(1)求证:数列{}是等差数列;(2)设存在正数k,使(1+S1)(1+S2)..(1+Sn)对一切n∈N×都成立,求k的最大值.4.若数列{an }满足条件:存在正整数k,使得=对一切n∈N*,n>k都成立,则称数列{an}为k级等比数列.(1)若an =2n sin(ωn+)(ω为常数),且{an}是3级等比数列,求ω所有可能值的集合;(2)若正项数列{an }既为2级等比数列,也为3级等比数列,证明:{an}为等比数列.5.已知数列{an }中,a1=1,其前n项的和为Sn,且满足an=(n≥2).(1)求证:数列{}是等差数列;(2)证明:当n≥2时,S1+S2+S3+…+Sn<.6.各项均为正数的等比数列{an }中,a1=1,a2a4=16,单调递增数列{bn}的前n项和为Sn,a4=b3,且6Sn =b+3bn+2(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an }、{bn}的通项公式;(Ⅱ)令cn=(n∈N*),(1)求数列{cn }的前n项和Tn;(2)若n∈N*时m>cn恒成立,求m的取值范围.7.已知数列{an }满足:a1=1,,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn }的前n项和为Sn,且满足,试确定b1的值,使得数列{bn}为等差数列;(3)将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{cn },且c1=5,求证:存在无数个满足条件的无穷等比数列{cn}.8.已知数列{an }的各项均为正数,其前n项和为Sn,且Sn=.(1)求证:数列{Sn2}为等差数列;(2)从数列{Sn 2}中抽出k个不同的项按一定次序组成新数列{bk}.①若b1≤3,且b1b2,b2b3,b3b1成等差数列,求b1+b2+b3的值;②是否存在偶数k,使得b1b2,b2b3,b3b4,…,bk﹣1bk,bkb1成等差数列?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.9.已知数列{an }中,a1=a,a2=2,数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=n(3a1+an),n∈N*.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)若Tn 是数列{bn}的前n项和,且对一切n∈N*都成立,求实数m取值范围.10.已知二次函数f(x)=x2+x.数列{an }的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在二次函数y=f(x)的图象上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn =anan+1cos[(n+1)π](n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn≥tn2对n∈N*恒成立,求实数t的取值范围;(Ⅲ)在数列{an}中是否存在这样一些项:a,a,a,…,a这些项都能够构成以a1为首项,q(0<q<5)为公比的等比数列{a}?若存在,写出nk关于f(x)的表达式;若不存在,说明理由.11.设Sn 为正项数列{an}的前n项和,满足2Sn=a+an﹣2.(I)求{an}的通项公式;(II)若不等式(1+)≥4对任意正整数n都成立,求实数t的取值范围;(III)设bn=e(其中r是自然对数的底数),求证:.12.已知数列{an }的首项a1=a(a>0),其前n项和为Sn,设bn=an+an+1(n∈N*).数列{bn}的前n项和为Tn ,满足Tn=n2.(1)求证:数列{bn}的任意连续三项不成等比数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)若对∀n∈N*且n≥2,不等式(an ﹣1)(an+1﹣1)≥2(1﹣n)恒成立,求a的取值范围.13.已知各项均不为零的数列{an }的前n项和为Sn,且满足a1=c,2Sn=anan+1+r.(1)若r=﹣6,数列{an}能否成为等差数列?若能,求c满足的条件;若不能,请说明理由.(2)设Pn =,Qn=,若r>c>4,求证:对于一切n∈N*,不等式﹣n<Pn ﹣Qn<n2+n恒成立.14.已知数列{an }中,a1=1,an+1=1+,记bn=(1)求证:数列{bn }是等比数列,并求bn;(2)求数列{an }的通项公式an;(3)记cn =nbn,Sn=c1+c2+…+cn,对任意正整数n,不等式+Sn+n(﹣)n+1﹣(﹣)n>0恒成立,求最小正整数m.15.已知数列{an }满足a1=1,且an+12+an2=2(an+1an+an+1﹣an﹣).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:++…+<;(3)记Sn =++…+,证明:对于一切n≥2,都有Sn2>2(++…+).16.已知数列{an }中,a2=2,前n项和为.(I)证明数列{an+1﹣an}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式;(II)设,数列{bn }的前n项和为Tn,求使不等式对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.17.已知数列{an }的前n项和sn,点(n,sn)(n∈N*)在函数y=x2+x的图象上(1)求{an}的通项公式;(2)设数列{}的前n项和为Tn ,不等式Tn>loga(1﹣a)对任意的正整数恒成立,求实数a的取值范围.18.若无穷数列{an }满足:只要ap=aq(p,q∈N*),必有ap+1=aq+1,则称{an}具有性质P.(1)若{an }具有性质P,且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2,a6+a7+a8=21,求a3;(2)若无穷数列{bn }是等差数列,无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列,b1=c5=1;b5=c1=81,an=bn+cn,判断{an}是否具有性质P,并说明理由;(3)设{bn }是无穷数列,已知an+1=bn+sinan(n∈N*),求证:“对任意a1,{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”.19.已知递增的等差数列{an }的首项a1=1,且a1、a2、a4成等比数列.(1)求数列{an }的通项公式an;(2)设数列{cn }对任意n∈N*,都有成立,求c1+c2+…+c2012的值.(3)若(n∈N*),求证:数列{bn}中的任意一项总可以表示成其他两项之积.20.已知数列{an }的前n项和为Sn,且满足a1=a(a≠3),,设,n∈N*.(1)求证:数列{bn}是等比数列;(2)若an+1≥an,n∈N*,求实数a的最小值;(3)当a=4时,给出一个新数列{en },其中,设这个新数列的前n项和为Cn,若C n 可以写成t p(t,p∈N*且t>1,p>1)的形式,则称Cn为“指数型和”.问{Cn}中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.。
数列难题专题(含答案)
数列难题专题一.解答题(共50小题)1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n (n+1)(n ∈N *). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若数列{b n }满足:,求数列{b n }的通项公式;(Ⅲ)令(n ∈N *),求数列{c n }的前n 项和T n .2.已知数列{a n }是等差数列,且a 1=2,a 1+a 2+a 3=12. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =a n •3n ,求数列{b n }的前n 项和S n .3.已知数列{a n }中,a 1=3,a 2=5,其前n 项和S n 满足S n +S n ﹣2=2S n ﹣1+2n ﹣1(n ≥3).令b n =.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若f (x )=2x ﹣1,求证:T n =b 1f (1)+b 2f (2)+…+b n f (n )<(n ≥1).4.已知等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)令b n =(﹣1)n ﹣1,求数列{b n }的前n 项和T n .5.已知等差数列{a n }的公差d >0,设{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2•S 3=36. (Ⅰ)求d 及S n ;(Ⅱ)求m ,k (m ,k ∈N *)的值,使得a m +a m+1+a m+2+…+a m+k =65.6.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a ,a n+1=S n +3n ,n ∈N *. (Ⅰ)设b n =S n ﹣3n ,求数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)若a n+1≥a n ,n ∈N *,求a 的取值范围.7.已知数列{an }的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:an+2﹣an=λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.8.设数列{an }的首项a1∈(0,1),an=,n=2,3,4…(1)求{an}的通项公式;(2)设,求证bn <bn+1,其中n为正整数.9.设数列满足|an﹣|≤1,n∈N*.(Ⅰ)求证:|an |≥2n﹣1(|a1|﹣2)(n∈N*)(Ⅱ)若|an |≤()n,n∈N*,证明:|an|≤2,n∈N*.10.已知数列{an }的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.11.给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|﹣|x+c|.数列a1,a2,a3,…满足an+1=f(an),n∈N*.(1)若a1=﹣c﹣2,求a2及a3;(2)求证:对任意n∈N*,an+1﹣an≥c;(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.12.数列{an }满足:a1+2a2+…nan=4﹣,n∈N+.(1)求a3的值;(2)求数列{an }的前 n项和Tn;(3)令b1=a1,bn=+(1+++…+)an(n≥2),证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.13.设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2﹣(n2+n﹣3)Sn﹣3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.14.已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列{an}前n项和为Sn ,且满足S5=2a4+a5,a9=a3+a4.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若am am+1=am+2,求正整数m的值;(3)是否存在正整数m,使得恰好为数列{an}中的一项?若存在,求出所有满足条件的m值,若不存在,说明理由.15.已知等差数列{an }中,首项a1=1,公差d为整数,且满足a1+3<a3,a2+5>a4,数列{bn}满足,其前n项和为Sn.(1)求数列{an }的通项公式an;(2)若S2为S1,Sm(m∈N*)的等比中项,求m的值.16.已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2(n ∈N *) (1)证明:1≤≤2(n ∈N *);(2)设数列{a n 2}的前n 项和为S n ,证明(n ∈N *).17.已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且a 2,a 5,a 14分别是等比数列{b n }的b 2,b 3,b 4. (Ⅰ)求数列{a n }与{b n }的通项公式; (Ⅱ)设数列{c n }对任意自然数n 均有=a n+1成立,求c 1+c 2+…+c 2014的值.18.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,,n ∈N *.(1)求a 2的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)证明:对一切正整数n ,有.19.数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和S n 与a n 之间满足a n =(n ≥2).(1)求证:数列{}是等差数列;(2)设存在正数k ,使(1+S 1)(1+S 2)..(1+S n )对一切n ∈N ×都成立,求k 的最大值. 20.若数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,.(1)证明:数列{a n ﹣2}为等比数列; (2)求数列{S n }的前n 项和T n .21.已知数列{a n },{b n }满足b n =a n+1﹣a n ,其中n=1,2,3,…. (Ⅰ)若a 1=1,b n =n ,求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若b n+1b n ﹣1=b n (n ≥2),且b 1=1,b 2=2.(ⅰ)记c n =a 6n ﹣1(n ≥1),求证:数列{c n }为等差数列; (ⅱ)若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求a 1应满足的条件.22.在数列{an }中,a1=3,an+1an+λan+1+μan2=0(n∈N+)(Ⅰ)若λ=0,μ=﹣2,求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若λ=(k0∈N+,k≥2),μ=﹣1,证明:2+<<2+.23.设数列{an }的前n项和为Sn,若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.(1)若数列{an }的前n项和为Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;(2)设{an }是等差数列,其首项a1=1,公差d<0,若{an}是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列{an },总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.24.已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列{an} 前n项和为Sn ,且满足S3=a4,a3+a5=2+a4(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an }前2k项和S2k;(3)在数列{an }中,是否存在连续的三项am,am+1,am+2,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条件的正整数m的值;若不存在,说明理由.25.已知数列{an }满足a1=1,|an+1﹣an|=p n,n∈N*.(Ⅰ)若{an }是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;(Ⅱ)若p=,且{a2n﹣1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式.26.已知数列{an }满足:a1∈N*,a1≤36,且an+1=(n=1,2,…),记集合M={an|n∈N*}.(Ⅰ)若a1=6,写出集合M的所有元素;(Ⅱ)如集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;(Ⅲ)求集合M的元素个数的最大值.27.设数列{an }的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1﹣2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有.28.已知公比为q(q≠1)的无穷等比数列{an }的首项a1=1.(1)若q=,在a1与a2之间插入k个数b1,b2,…,bk,使得a1,b1,b2,…,bk,a2,a3成等差数列,求这k个数;(2)对于任意给定的正整数m,在a1,a2,a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数,构成一个等差数列,求公比q的所有可能取值的集合(用m表示);(3)当且仅当q取何值时,在数列{an }的每相邻两项ak,ak+1之间插入ck(k∈N*,ck∈N)个数,使之成为一个等差数列?并求c1的所有可能值的集合及{cn}的通项公式(用q表示).29.已知数列{an }的各项均为正数,bn=n(1+)n an(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x﹣e x的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令cn =(a1a2…an),数列{an},{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn,证明:Tn<eSn.30.设等差数列{an }的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn.31.正整数列{an },{bn}满足:a1≥b1,且对一切k≥2,k∈N*,ak是ak﹣1与bk﹣1的等差中项,bk是ak﹣1与bk﹣1的等比中项.(1)若a2=2,b2=1,求a1,b1的值;(2)求证:{an }是等差数列的充要条件是{an}为常数数列;(3)记cn =|an﹣bn|,当n≥2(n∈N*)时,指出c2+…+cn与c1的大小关系并说明理由.32.已知数列{an }是无穷数列,a1=a,a2=b(a,b是正整数),.(Ⅰ)若a1=2,a2=1,写出a4,a5的值;(Ⅱ)已知数列{an }中,求证:数列{an}中有无穷项为1;(Ⅲ)已知数列{an }中任何一项都不等于1,记bn=max{a2n﹣1,a2n}(n=1,2,3,…;max{m,n}为m,n较大者).求证:数列{bn}是单调递减数列.33.对于项数为m的有穷数列{an },记bk=max{a1,a2,…,ak}(k=1,2,…,m),即bk为a1,a2,…,a k 中的最大值,并称数列{bn}是{an}的控制数列,如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{an }的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{an}.(2)设{bn }是{an}的控制数列,满足ak+bm﹣k+1=C(C为常数,k=1,2,…,m),求证:bk=ak(k=1,2,…,m).(3)设m=100,常数a∈(,1),an =an2﹣n,{bn}是{an}的控制数列,求(b1﹣a1)+(b2﹣a2)+…+(b100﹣a100).34.已知数列{an }是等差数列,Sn为{an}的前n项和,且a10=19,S10=100;数列{bn}对任意n∈N*,总有b1•b2•b3…bn﹣1•bn=an+2成立.(Ⅰ)求数列{an }和{bn}的通项公式;(Ⅱ)记cn =(﹣1)n,求数列{cn}的前n项和Tn.35.已知f(x)=,数列{an }为首项是1,以f(1)为公比的等比数列;数列{bn}中b1=,且bn+1=f(bn),(1)求数列{an }和{bn}的通项公式(2)令,{cn }的前n项和为Tn,证明:对∀n∈N+有1≤Tn<4.36.已知数列{an }满足a1=,an=(n≥2,n∈N).(1)试判断数列是否为等比数列,并说明理由;(2)设bn =,求数列{bn}的前n项和Sn;(3)设cn =ansin,数列{cn}的前n项和为Tn.求证:对任意的n∈N*,Tn<.37.已知数列{an }满足an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1.(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围;(2)设{an }是公比为q的等比数列,Sn=a1+a2+…an,若Sn≤Sn+1≤3Sn,n∈N*,求q的取值范围.(3)若a1,a2,…ak成等差数列,且a1+a2+…ak=1000,求正整数k的最大值,以及k取最大值时相应数列a1,a2,…ak的公差.38.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x)=x成立,则称x为f(x)的不动点.如果函数f(x)=有且仅有两个不动点0和2.(1)试求b、c满足的关系式.(2)若c=2时,各项不为零的数列{an }满足4Sn•f()=1,求证:<<.(3)设bn =﹣,Tn为数列{bn}的前n项和,求证:T2009﹣1<ln2009<T2008.39.在数列{an }中,a1=1,an+1=(1+)an+.(1)设bn =,求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an }的前n项和Sn.40.已知数列{an }的前n项和为Sn,且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).(Ⅰ)求数列{an }的通项公式an;(Ⅱ)设Tn 为数列{}的前n项和,求Tn;(Ⅲ)设bn =,证明:b1+b2+b3+…+bn<.41.已知数列an满足(1)求数列an 的通项公式an;(2)设,求数列bn 的前n项和Sn;(3)设,数列cn 的前n项和为Tn.求证:对任意的.42.如图,已知曲线C 1:y=(x >0)及曲线C 2:y=(x >0),C 1上的点P 1的横坐标为a 1(0<a 1<).从C 1上的点P n (n ∈N +)作直线平行于x 轴,交曲线C 2于点Q n ,再从点Q n 作直线平行于y 轴,交曲线C 1于点P n+1.点P n (n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{a n } (Ⅰ)试求a n+1与a n 之间的关系,并证明:a 2n ﹣1<; (Ⅱ)若a 1=,求证:|a 2﹣a 1|+|a 3﹣a 2|+…+|a n+1﹣a n |<.43.已知数列{a n }中,a 1=1,a n+1=(n ∈N *).(1)求证:{+}是等比数列,并求{a n }的通项公式a n ;(2)数列{b n }满足b n =(3n ﹣1)••a n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,若不等式(﹣1)n λ<T n +对一切n ∈N *恒成立,求λ的取值范围.44.设数列{a n }的前n 项和为S n ,对一切n ∈N *,点(n ,)都在函数f (x )=x+的图象上.(1)计算a 1,a 2,a 3,并归纳出数列{a n }的通项公式;(2)将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1),(a 2,a 3),(a 4,a 5,a 6),(a 7,a 8,a 9,a 10);(a 11),(a 12,a 13),(a 14,a 15,a 16),(a 17,a 18,a 19,a 20);(a 21)…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n },求b 5+b 100的值; (3)设A n 为数列的前n 项积,若不等式A n <f (a )﹣对一切n ∈N *都成立,求a的取值范围.45.数列{bn }的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有;(1)试证明数列{bn}是等差数列,并求其通项公式;(2)如果等比数列{an }共有2017项,其首项与公比均为2,在数列{an}的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个(﹣1)i bi (i∈N*)后,得到一个新数列{cn},求数列{cn}中所有项的和;(3)如果存在n∈N*,使不等式成立,若存在,求实数λ的范围,若不存在,请说明理由.46.已知数列{an}的首项,,n=1,2,….(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)证明:对任意的x>0,,n=1,2,…;(Ⅲ)证明:.47.已知数列{an }的前n项和为Sn,数列{bn},{cn}满足(n+1)bn=an+1﹣,(n+2)cn=﹣,其中n∈N*.(1)若数列{an }是公差为2的等差数列,求数列{cn}的通项公式;(2)若存在实数λ,使得对一切n∈N*,有bn ≤λ≤cn,求证:数列{an}是等差数列.48.已知数列{an }满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn }滿足,证明:数列{bn}是等差数列;(Ⅲ)证明:.49.已知数列{an }的各项均为正数,且a1=1,对任意的n∈N*,均有an+12﹣1=4an(an+1),bn=2log2(1+an)﹣1.(1)求证:{1+an }是等比数列,并求出{an}的通项公式;(2)若数列{bn }中去掉{an}的项后,余下的项组成数列{cn},求c1+c2+…+c100;(3)设dn =,数列{dn}的前n项和为Tn,是否存在正整数m(1<m<n),使得T1、Tm、Tn成等比数列,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.50.在数列{an }中,a1=2,an+1=an+2n+1(n∈N*)(1)求证:数列{an﹣2n}为等差数列;(2)设数列{bn }满足bn=log2(an+1﹣n),若…对一切n∈N*且n≥2恒成立,求实数k的取值范围.参考答案与试题解析一.解答题(共50小题)1.已知数列{an }的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn }满足:,求数列{bn}的通项公式;(Ⅲ)令(n∈N*),求数列{cn }的前n项和Tn.【分析】(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=n(n+1)﹣(n﹣1)n=2n,由此能求出数列{an}的通项公式.(Ⅱ)由(n≥1),知,所以,由此能求出bn.(Ⅲ)=n(3n+1)=n•3n+n,所以Tn =c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+…+n),令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,由错位相减法能求出,由此能求出数列{cn}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an =Sn﹣Sn﹣1=n(n+1)﹣(n﹣1)n=2n,知a1=2满足该式,∴数列{an }的通项公式为an=2n.(2分)(Ⅱ)∵(n≥1)①∴②(4分)②﹣①得:,bn+1=2(3n+1+1),故bn=2(3n+1)(n∈N*).(6分)(Ⅲ)=n(3n+1)=n•3n+n,∴Tn =c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+…+n)(8分)令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,①则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得:﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴,…(10分)∴数列{cn}的前n项和…(12分)【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项,结合含两个变量的不等式的处理问题,对数学思维的要求比较高,要求学生理解“存在”、“恒成立”,以及运用一般与特殊的关系进行否定,本题有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.解题时要认真审题,注意错位相减法的灵活运用.2.已知数列{an }是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn =an•3n,求数列{bn}的前n项和Sn.【分析】(1)由数列{an }是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12,利用等差数列的通项公式先求出d=2,由此能求出数列{an}的通项公式.(2)由an =2n,知bn=an•3n=2n•3n,所以Sn=2×3+4×32+6×33+…+2(n﹣1)×3n﹣1+2n×3n,再由错位相减法能够求出数列{bn }的前n项和Sn.【解答】解:(1)∵数列{an }是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12,∴2+2+d+2+2d=12,解得d=2,∴an=2+(n﹣1)×2=2n.(2)∵an=2n,∴bn =an•3n=2n•3n,∴Sn=2×3+4×32+6×33+…+2(n﹣1)×3n﹣1+2n×3n,①3Sn=2×32+4×33+6×34+…+2(n﹣1)×3n+2n×3n+1,②①﹣②得﹣2Sn=6+2×32+2×33+2×34+…+2×3n﹣2n×3n+1=2×﹣2n×3n+1=3n+1﹣2n×3n+1﹣3=(1﹣2n)×3n+1﹣3∴Sn=+.【点评】本题考查数列的通项公式的求法和数列前n项和的求法,综合性强,难度大,易出错.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地运用错位相减法进行求和.3.已知数列{an }中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1(n≥3).令bn=.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若f(x)=2x﹣1,求证:Tn =b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)<(n≥1).【分析】(Ⅰ)由题意知an =an﹣1+2n﹣1(n≥3)(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a3﹣a2)+a2=2n+1.(Ⅱ)由于=.故Tn =b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)=,由此可证明Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)<(n≥1).【解答】解:(Ⅰ)由题意知Sn ﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1(n≥3)即an =an﹣1+2n﹣1(n≥3)∴an =(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a3﹣a2)+a2=2n﹣1+2n﹣2+…+22+5=2n+1(n≥3)检验知n=1、2时,结论也成立,故an=2n+1.(Ⅱ)由于bn=,f(x)=2x﹣1,∴=.故Tn =b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)==.【点评】本题考查数列的性质和综合应用,解题时要认真审题.仔细解答.4.已知等差数列{an }的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)令bn =(﹣1)n﹣1,求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】(Ⅰ)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得bn=.对n分类讨论“裂项求和”即可得出.【解答】解:(Ⅰ)∵等差数列{an }的公差为2,前n项和为Sn,∴Sn ==n2﹣n+na1,∵S1,S2,S4成等比数列,∴,∴,化为,解得a1=1.∴an =a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得bn=(﹣1)n﹣1==.∴Tn=﹣++…+.当n为偶数时,Tn=﹣++…+﹣=1﹣=.当n为奇数时,Tn=﹣++…﹣+=1+=.∴Tn=.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法,属于难题.5.已知等差数列{an }的公差d>0,设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2•S3=36.(Ⅰ)求d及Sn;(Ⅱ)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am +am+1+am+2+…+am+k=65.【分析】(Ⅰ)根据等差数列通项公式和前n项和公式,把条件转化为关于公差d的二次方程求解,注意d的范围对方程的根进行取舍;(Ⅱ)由(Ⅰ)求出等差数列{an }的通项公式,利用等差数列的前n项和公式,对am+am+1+am+2+…+am+k=65化简,列出关于m 、k 的方程,再由m ,k ∈N *进行分类讨论,求出符合条件的m 、k 的值. 【解答】解:(Ⅰ)由a 1=1,S 2•S 3=36得, (a 1+a 2)(a 1+a 2+a 3)=36,即(2+d )(3+3d )=36,化为d 2+3d ﹣10=0, 解得d=2或﹣5, 又公差d >0,则d=2, 所以S n =n=n 2(n ∈N *).(Ⅱ)由(Ⅰ)得,a n =1+2(n ﹣1)=2n ﹣1, 由a m +a m+1+a m+2+…+a m+k =65得,,即(k+1)(2m+k ﹣1)=65,又m ,k ∈N *,则(k+1)(2m+k ﹣1)=5×13,或(k+1)(2m+k ﹣1)=1×65, 下面分类求解:当k+1=5时,2m+k ﹣1=13,解得k=4,m=5;当k+1=13时,2m+k ﹣1=5,解得k=12,m=﹣3,故舍去; 当k+1=1时,2m+k ﹣1=65,解得k=0,故舍去;当k+1=65时,2m+k ﹣1=1,解得k=64,m=﹣31,故舍去; 综上得,k=4,m=5.【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式,及分类讨论思想和方程思想,难度较大,考查了分析问题和解决问题的能力.6.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a ,a n+1=S n +3n ,n ∈N *. (Ⅰ)设b n =S n ﹣3n ,求数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)若a n+1≥a n ,n ∈N *,求a 的取值范围.【分析】(Ⅰ)依题意得S n+1=2S n +3n ,由此可知S n+1﹣3n+1=2(S n ﹣3n ).所以b n =S n ﹣3n =(a ﹣3)2n ﹣1,n ∈N *.(Ⅱ)由题设条件知S n =3n +(a ﹣3)2n ﹣1,n ∈N *,于是,a n =S n ﹣S n ﹣1=,由此可以求得a 的取值范围是[﹣9,+∞).【解答】解:(Ⅰ)依题意,S n+1﹣S n =a n+1=S n +3n ,即S n+1=2S n +3n , 由此得S n+1﹣3n+1=2S n +3n ﹣3n+1=2(S n ﹣3n ).(4分)因此,所求通项公式为bn =Sn﹣3n=(a﹣3)2n﹣1,n∈N*.①(6分)(Ⅱ)由①知Sn=3n+(a﹣3)2n﹣1,n∈N*,于是,当n≥2时,a n =Sn﹣Sn﹣1=3n+(a﹣3)×2n﹣1﹣3n﹣1﹣(a﹣3)×2n﹣2=2×3n﹣1+(a﹣3)2n﹣2,a n+1﹣an=4×3n﹣1+(a﹣3)2n﹣2=,当n≥2时,⇔a≥﹣9.又a2=a1+3>a1.综上,所求的a的取值范围是[﹣9,+∞).(12分)【点评】本题考查数列的综合运用,解题时要仔细审题,注意挖掘题设中的隐含条件.7.已知数列{an }的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:an+2﹣an=λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.【分析】(Ⅰ)利用an an+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,相减即可得出;(Ⅱ)对λ分类讨论:λ=0直接验证即可;λ≠0,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.可得λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d,.得到λSn=,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ即可.【解答】(Ⅰ)证明:∵an an+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,∴an+1(an+2﹣an)=λan+1∵an+1≠0,∴an+2﹣an=λ.(Ⅱ)解:①当λ=0时,an an+1=﹣1,假设{an}为等差数列,设公差为d.则an+2﹣an=0,∴2d=0,解得d=0,∴an =an+1=1,∴12=﹣1,矛盾,因此λ=0时{an}不为等差数列.②当λ≠0时,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.则λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d,∴.∴,,∴λSn=1+=,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ=4.此时可得,an=2n﹣1.因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于难题.8.设数列{an }的首项a1∈(0,1),an=,n=2,3,4…(1)求{an}的通项公式;(2)设,求证bn <bn+1,其中n为正整数.【分析】(1)由题条件知,所以{1﹣an }是首项为1﹣a1,公比为的等比数列,由此可知(2)方法一:由题设条件知,故bn >0.那么,bn+12﹣bn2=an+12(3﹣2an+1)﹣an2(3﹣2an)=由此可知bn <bn+1,n为正整数.方法二:由题设条件知,所以.由此可知bn<bn+1,n为正整数.【解答】解:(1)由,整理得.又1﹣a1≠0,所以{1﹣an}是首项为1﹣a1,公比为的等比数列,得(2)方法一:由(1)可知,故bn>0.那么,bn+12﹣bn2=an+12(3﹣2an+1)﹣an2(3﹣2an)= =又由(1)知an >0且an≠1,故bn+12﹣bn2>0,因此bn <bn+1,n为正整数.方法二:由(1)可知,因为,所以.由an≠1可得,即两边开平方得.即bn <bn+1,n为正整数.【点评】本题考查数列的综合应用,难度较大,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件.9.设数列满足|an﹣|≤1,n∈N*.(Ⅰ)求证:|an |≥2n﹣1(|a1|﹣2)(n∈N*)(Ⅱ)若|an |≤()n,n∈N*,证明:|an|≤2,n∈N*.【分析】(I)使用三角不等式得出|an |﹣|an+1|≤1,变形得﹣≤,使用累加法可求得<1,即结论成立;(II)利用(I)的结论得出﹣<,进而得出|an|<2+()m•2n,利用m的任意性可证|an|≤2.【解答】解:(I)∵|an ﹣|≤1,∴|an|﹣|an+1|≤1,∴﹣≤,n∈N*,∴=(﹣)+(﹣)+…+(﹣)≤+++…+==1﹣<1.∴|an |≥2n﹣1(|a1|﹣2)(n∈N*).(II)任取n∈N*,由(I)知,对于任意m>n,﹣=(﹣)+(﹣)+…+(﹣)≤++…+=<.∴|an|<(+)•2n≤[+•()m]•2n=2+()m•2n.①由m的任意性可知|an|≤2.否则,存在n∈N*,使得|a|>2,取正整数m0>log且m>n,则2•()<2•()=|a|﹣2,与①式矛盾.综上,对于任意n∈N*,都有|an|≤2.【点评】本题考查了不等式的应用与证明,等比数列的求和公式,放缩法证明不等式,难度较大.10.已知数列{an }的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.【分析】(1)利用“当n≥2时,an =Sn﹣Sn﹣1;当n=1时,a1=S1”即可得出;(2)对任意的n>1,假设都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.利用等比数列的定义可得,即(3n﹣2)2=1×(3m﹣2),解出m为正整数即可.【解答】(1)解:∵Sn=,n∈N*.∴当n≥2时,an =Sn﹣Sn﹣1=﹣=3n﹣2,(*)当n=1时,a1=S1==1.因此当n=1时,(*)也成立.∴数列{an }的通项公式an=3n﹣2.(2)证明:对任意的n>1,假设都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.则,∴(3n﹣2)2=1×(3m﹣2),化为m=3n2﹣4n+2,∵n>1,∴m=3n2﹣4n+2=>1,因此对任意的n>1,都存在m=3n2﹣4n+2∈N*,使得a1,an,am成等比数列.【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了恒成立问题的等价转化方法,考查了反证法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.11.给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|﹣|x+c|.数列a1,a2,a3,…满足an+1=f(an),n∈N*.(1)若a1=﹣c﹣2,求a2及a3;(2)求证:对任意n∈N*,an+1﹣an≥c;(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.【分析】(1)对于分别取n=1,2,an+1=f(an),n∈N*.去掉绝对值符合即可得出;(2)由已知可得f(x)=,分三种情况讨论即可证明;(3)由(2)及c>0,得an+1≥an,即{an}为无穷递增数列.分以下三种情况讨论:当a1<﹣c﹣4时,当﹣c﹣4≤a1<﹣c时,当a1≥﹣c时.即可得出a1的取值范围.【解答】解:(1)a2=f(a1)=f(﹣c﹣2)=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2,a 3=f(a2)=f(2)=2|2+c+4|﹣|2+c|=2(6+c)﹣(c+2)=10+c.(2)由已知可得f(x)=当an ≥﹣c时,an+1﹣an=c+8>c;当﹣c﹣4≤an <﹣c时,an+1﹣an=2an+3c+8≥2(﹣c﹣4)+3c+8=c;当an <﹣c﹣4时,an+1﹣an=﹣2an﹣c﹣8>﹣2(﹣c﹣4)﹣c﹣8=c.∴对任意n∈N*,an+1﹣an≥c;(3)假设存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列.由(2)及c>0,得an+1≥an,即{an}为无穷递增数列.又{an }为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an≥﹣c,从而an+1=f(an)=an+c+8,由于{an}为等差数列,因此公差d=c+8.①当a1<﹣c﹣4时,则a2=f(a1)=﹣a1﹣c﹣8,又a2=a1+d=a1+c+8,故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8,即a1=﹣c﹣8,从而a2=0,当n≥2时,由于{an }为递增数列,故an≥a2=0>﹣c,∴an+1=f(an)=an+c+8,而a2=a1+c+8,故当a1=﹣c﹣8时,{an}为无穷等差数列,符合要求;②若﹣c﹣4≤a1<﹣c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,又a2=a1+d=a1+c+8,∴3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=﹣c,应舍去;③若a1≥﹣c,则由an≥a1得到an+1=f(an)=an+c+8,从而{an}为无穷等差数列,符合要求.综上可知:a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c,+∞).【点评】本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法,考查了推理能力和计算能力.12.数列{an }满足:a1+2a2+…nan=4﹣,n∈N+.(1)求a3的值;(2)求数列{an }的前 n项和Tn;(3)令b1=a1,bn=+(1+++…+)an(n≥2),证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.【分析】(1)利用数列的递推关系即可求a3的值;(2)利用作差法求出数列{an }的通项公式,利用等比数列的前n项和公式即可求数列{an}的前 n项和Tn;(3)利用构造法,结合裂项法进行求解即可证明不等式.【解答】解:(1)∵a1+2a2+…nan=4﹣,n∈N+.∴a1=4﹣3=1,1+2a2=4﹣=2,解得a2=,∵a1+2a2+…+nan=4﹣,n∈N+.∴a1+2a2+…+(n﹣1)an﹣1=4﹣,n∈N+.两式相减得nan=4﹣﹣(4﹣)=,n≥2,则an=,n≥2,当n=1时,a1=1也满足,∴an=,n≥1,则a3=;(2)∵an=,n≥1,∴数列{an}是公比q=,则数列{an }的前 n项和Tn==2﹣21﹣n.(3)bn =+(1+++…+)an,∴b1=a1,b2=+(1+)a2,b3=(1++)a3,∴bn =+(1+++…+)an,∴Sn =b1+b2+…+bn=(1+++…+)a1+(1+++…+)a2+…+(1+++…+)an=(1+++…+)(a1+a2+…+an)=(1+++…+)Tn=(1+++…+)(2﹣21﹣n)<2×(1+++…+),设f(x)=lnx+﹣1,x>1,则f′(x)=﹣.即f(x)在(1,+∞)上为增函数,∵f(1)=0,即f(x)>0,∵k≥2,且k∈N•时,,∴f()=ln+﹣1>0,即ln>,∴ln,,…,即=lnn,∴2×(1+++…+)=2+2×(++…+)<2+2lnn,即Sn<2(1+lnn)=2+2lnn.【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算,以及数列和不等式的综合,利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键.考查学生的计算能力,综合性较强,难度较大.13.设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2﹣(n2+n﹣3)Sn﹣3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.【分析】(1)本题可以用n=1代入题中条件,利用S1=a1求出a1的值;(2)利用an 与Sn的关系,将条件转化为an的方程,从而求出an;(3)利用放缩法,将所求的每一个因式进行裂项求和,即可得到本题结论.【解答】解:(1)令n=1得:,即.∴(S1+3)(S1﹣2)=0.∵S1>0,∴S1=2,即a1=2.(2)由得:.∵an>0(n∈N*),∴Sn>0.∴.∴当n≥2时,,又∵a1=2=2×1,∴.(3)由(2)可知=,∀n∈N*,=<=(),当n=1时,显然有=<;当n≥2时,<+=﹣•<所以,对一切正整数n,有.【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法,还用到了放缩法,计算量较大,有一定的思维难度,属于难题.14.已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列{an}前n项和为Sn ,且满足S5=2a4+a5,a9=a3+a4.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若am am+1=am+2,求正整数m的值;(3)是否存在正整数m,使得恰好为数列{an}中的一项?若存在,求出所有满足条件的m值,若不存在,说明理由.【分析】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q由题意列式求出公差和公比,则等差数列和等比数列的通项公式即可得出;(2)分am =2k和am=2k﹣1,利用amam+1=am+2即可求出满足该等式的正整数m的值;(3)对于k∈N*,有..假设存在正整数m,使得恰好为数列{an}中的一项,设=L(L∈N*),则,变形得到(3﹣L)3m﹣1=(L﹣1)(m2﹣1),由此式得到L的可能取值,然后依次分类讨论求解.【解答】解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,则a1=1,a2=2,a3=1+d,a4=2q,a9=1+4d.∵S5=2a4+a5,∴a1+a2+a3=a4,即4+d=2q,又a9=a3+a4.∴1+4d=1+d+2q.解得:d=2,q=3.∴对于k∈N*,有.故;(2)若am =2k,则由amam+1=am+2,得2•3k﹣1(2k+1)=2•3k,解得:k=1,则m=2;若am=2k﹣1,则由(2k﹣1)•2•3k﹣1=2k+1,此时左边为偶数,右边为奇数,不成立.故满足条件的正数为2;(3)对于k∈N*,有..假设存在正整数m,使得恰好为数列{an}中的一项,又由(1)知,数列中的每一项都为正数,故可设=L(L∈N*),则,变形得到(3﹣L)3m﹣1=(L﹣1)(m2﹣1)①.∵m≥1,L≥1,3m﹣1>0,∴L≤3.又L∈N*,故L可能取1,2,3.当L=1时,(3﹣L)3m﹣1>0,(L﹣1)(m2﹣1)=0,∴①不成立;当L=2时,(3﹣2)3m﹣1=(2﹣1)(m2﹣1),即3m﹣1=m2﹣1.若m=1,3m﹣1≠m2﹣1,令,则=.因此,1=T2>T3>…,故只有T2=1,此时m=2,L=2=a2.当L=3时,(3﹣3)3m﹣1=(3﹣1)(m2﹣1).∴m=1,L=3=a3.综上,存在正整数m=1,使得恰好为数列{an}中的第三项,存在正整数m=2,使得恰好为数列{an}中的第二项.【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质,训练了分类讨论的数学思想方法,考查了学生综合分析问题和解决问题的能力,考查了学生的逻辑思维能力,是压轴题.15.已知等差数列{an }中,首项a1=1,公差d为整数,且满足a1+3<a3,a2+5>a4,数列{bn}满足,其前n项和为Sn.(1)求数列{an }的通项公式an;(2)若S2为S1,Sm(m∈N*)的等比中项,求m的值.【分析】(1)由题意,得,由此可解得an=1+(n﹣1)•2=2n﹣1.(2)由=,知=.由此可求出m的值.【解答】解:(1)由题意,得解得<d<.又d∈Z,∴d=2.∴an=1+(n﹣1)•2=2n﹣1.(2)∵=,∴=.∵,,,S2为S1,Sm(m∈N*)的等比中项,∴S22=SmS1,即,解得m=12.【点评】本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.16.已知数列{an }满足a1=且an+1=an﹣an2(n∈N*)(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{an 2}的前n项和为Sn,证明(n∈N*).【分析】(1)通过题意易得0<an ≤(n∈N*),利用an﹣an+1=可得>1,利用==≤2,即得结论;(2)通过=an ﹣an+1累加得Sn=a1﹣an+1,对an+1=an﹣an2两边同除以an+1an采用累积法可求出an+1的范围,从而得出结论.【解答】证明:(1)由题意可知:an+1﹣an=﹣an2≤0,即an+1≤an,故an≤,1≤.由an =(1﹣an﹣1)an﹣1得an=(1﹣an﹣1)(1﹣an﹣2)…(1﹣a1)a1>0.所以0<an≤(n∈N*),又∵a2=a1﹣=,∴==2,又∵an ﹣an+1=,∴an>an+1,∴>1,∴==≤2,∴1≤≤2(n∈N*),综上所述,1<≤2(n∈N*);(2)由已知,=an ﹣an+1,=an﹣1﹣an,…,=a1﹣a2,累加,得Sn =++…+=a1﹣an+1,①由an+1=an﹣an2两边同除以an+1an得,和1≤≤2,得1≤≤2,累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n,因此≤an+1≤(n∈N*)②,由①②得≤(n∈N*).【点评】本题是一道数列与不等式的综合题,考查数学归纳法,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.17.已知等差数列{an }的首项a1=1,公差d>0,且a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4.(Ⅰ)求数列{an }与{bn}的通项公式;(Ⅱ)设数列{cn }对任意自然数n均有=an+1成立,求c1+c2+…+c2014的值.【分析】(Ⅰ)依题意,a2,a5,a14成等比数列⇒(1+4d)2=(1+d)(1+13d),可求得d,继而可求得数列{an }的通项公式;由b2=a2=3,b3=a5=9,可求得q与其首项,从而可得数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)由(Ⅰ)知an =2n﹣1,bn=3n﹣1,由++…+=an+1,可求得c1=b1a2=3,=an+1﹣an=2(n≥2),于是可求得数列{cn }的通项公式,继而可求得c1+c2+…+c2014的值.【解答】解:(Ⅰ)∵a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,∵a2,a5,a14成等比数列,∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2,∴an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1;又b2=a2=3,b3=a5=9,∴q=3,b1=1,∴bn=3n﹣1.(Ⅱ)∵++…+=an+1,∴=a2,即c1=b1a2=3,又++…+=an(n≥2),∴=an+1﹣an=2(n≥2),∴cn =2bn=2•3n﹣1(n≥2),∴cn=.∴c1+c2+…+c2014=3+2×3+2×32+…+2×32013=3+2×(3+32+ (32013)=3+2×。
(完整)高考数列大题专题
(完整)高考数列大题专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考中的数列—最后一讲(内部资料勿外传)1.已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值;(2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k;(3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式.2.设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n.3.已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n项和为S n,且,,成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n;(Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小.4.已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10(I)求数列{a n}的通项公式;(II)求数列{}的前n项和.5.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5.(I)求数列{b n}的通项公式;(II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列.6.在数1 和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积计作T n,再令a n=lgT n,n≥1.(I)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=tana n?tana n+1,求数列{b n}的前n项和S n.7.设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0.(Ⅰ)若S 5=5,求S 6及a 1;(Ⅱ)求d 的取值范围.8.已知等差数列{a n }的前3项和为6,前8项和为﹣4.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =(4﹣a n )q n ﹣1(q ≠0,n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .9.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=2,且对任意m 、n ∈N *都有a 2m ﹣1+a 2n ﹣1=2a m+n ﹣1+2(m ﹣n )2(1)求a 3,a 5;(2)设b n =a 2n+1﹣a 2n ﹣1(n ∈N *),证明:{b n }是等差数列;(3)设c n =(a n+1﹣a n )q n ﹣1(q ≠0,n ∈N *),求数列{c n }的前n 项和S n .10.已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n }的通项;(Ⅱ)求数列{2an }的前n 项和S n .11.已知数列{a n }满足,,n ∈N ×.(1)令b n =a n+1﹣a n ,证明:{b n }是等比数列;(2)求{a n }的通项公式.12.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ∈N *,点(n ,S n ),均在函数y=b x +r (b >0)且b ≠1,b ,r 均为常数)的图象上.(1)求r 的值;(2)当b=2时,记b n =n ∈N *求数列{b n }的前n 项和T n .13.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)令b n =211n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T .14.已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a2a6=55,a2+a7=16(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=(n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.15.设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q(n∈N*,P>0).数列{b n}定义如下:对于正整数m,b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值.(Ⅰ)若,求b3;(Ⅱ)若p=2,q=﹣1,求数列{b m}的前2m项和公式;16.已知数列{x n}的首项x1=3,通项x n=2n p+np(n∈N*,p,q为常数),且成等差数列.求:(Ⅰ)p,q的值;(Ⅱ)数列{x n}前n项和S n的公式.17.设数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2n,(Ⅰ)求a1,a4(Ⅱ)证明:{a n+1﹣2a n}是等比数列;(Ⅲ)求{a n}的通项公式.18.在数列{a n}中,a1=1,.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)令,求数列{b n}的前n项和S n;(Ⅲ)求数列{a n}的前n项和T n.19.已知数列{a n}的首项,,n=1,2,3,….(Ⅰ)证明:数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的前n项和S n.20.在数列{}n a 中,10a =,且对任意*k N ∈k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等差数列,其公差为k d 。
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数列专题一、单选题(共20小题)1. [容易] 已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16 B.8 C.4 D.22. [容易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n﹣5 B.a n=3n﹣10 C.S n=2n2﹣8n D.S n=n2﹣2n3. [较易] 若等比数列{a n}的各项均为正数,a2=3,4a32=a1a7,则a5=()A.B.C.12 D.244. [较易] 3+33+35+…+32n+1=()A.(9n﹣1)B.(9n+1﹣1)C.(9n﹣1)D.(9n+1﹣1)5. [较易] 设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a6+a7+a8=()A.63 B.45 C.39 D.276. [容易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.127. [较易] 已知等比数列{a n}的前n项和为S n,S4=1,S8=3,则a9+a10+a11+a12=()A.8 B.6 C.4 D.28. [容易] 等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.﹣24 B.﹣3 C.3 D.89. [较易] 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏10. [较易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1 B.2 C.4 D.811. [容易] 已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100 B.99 C.98 D.9712. [较易] 等比数列{a n}的各项都为正数,记{a n}的前n项和为S n,若S3=1,S5﹣S2=4,则a1=()A.B.C.D.13. [容易] 已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21 B.42 C.63 D.8414. [容易] 已知等比数列{a n}满足a1=,a3a5=4(a4﹣1),则a2=()A.2 B.1 C.D.15. [容易] 已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5 B.7 C.9 D.1116. [较易] 已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和,若S8=4S4,则a10=()A.B.C.10 D.1217. [容易] 等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=()A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D.18. [容易] 设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31 B.32 C.63 D.6419. [较易] 已知{a n}是公差为3的等差数列.若a1,a2,a4成等比数列,则{a n}的前10项和S10=()A.165 B.138 C.60 D.3020. [较易] 已知数列{a n}是等差数列,且a9=3,则a4+a8+2a12=()A.12 B.9 C.6 D.3二、填空题(共10小题)21. [较易] 记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=.22. [较易] 记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=,a42=a6,则S5=.23. [较易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=.24. [容易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=.25. [较易] 已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.26. [较易] 设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=﹣3,S5=﹣10,则a5=,S n的最小值为﹣.27. [较易] 记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1,则S6=﹣.28. [较易] 记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=0,a6+a7=14,则S7=.29. [较易] 设{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为﹣.30. [较易] 若等差数列{a n}的前5项的和为25,则a1+a5=.三、解答题(共10小题)31. [较易] 已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n,求数列{b n}的前n项和.32. [较易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S9=﹣a5.(1)若a3=4,求{a n}的通项公式;(2)若a1>0,求使得S n≥a n的n的取值范围.33. [较易] 设{a n}是等差数列,a1=﹣10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)记{a n}的前n项和为S n,求S n的最小值.34. [较易] 在等差数列{a n}中,已知a1+a3=12,a2+a4=18,n∈N*.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)求a3+a6+a9+…+a3n.35. [较易] 等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和.若S m=63,求m.36. [一般] 已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求λ.37. [一般] 已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1,a n2﹣(2a n+1﹣1)a n﹣2a n+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{a n}的通项公式.38. [一般] 已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.39. [一般] 已知数列{a n}满足a1=1,na n+1=2(n+1)a n,设b n=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{b n}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{a n}的通项公式.40. [一般] 设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.数列专题参考答案一、单选题(共20小题)1.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q(q>0),则由前4项和为15,且a5=3a3+4a1,有,∴,∴,故选:C.2.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,由S4=0,a5=5,得,∴,∴a n=2n﹣5,,故选:A.3.【解答】解:数列{a n}是等比数列,各项均为正数,4a32=a1a7=,所以,所以q=2.所以a5==3×23=24.故选:D.4.【解答】解:数列3,33,35,…,32n+1是首项为3,公比为32的等比数列;且32n+1是第n+1项;∴=.故选:D.5.【解答】解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由S3=9,S6=36,得,解得a1=1,d=2;∴a6+a7+a8=3a1+18d=3+36=39.故选:C.6.【解答】解:∵S n为等差数列{a n}的前n项和,3S3=S2+S4,a1=2,∴=a1+a1+d+4a1+d,把a1=2,代入得d=﹣3∴a5=2+4×(﹣3)=﹣10.故选:B.7.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,S4=1,S8=3,由等比数列的性质得S4,S8﹣S4,S12﹣S8成等比数列,∴1,3﹣1=2,S12﹣S8=a9+a10+a11+a12成等比数列,∴a9+a10+a11+a12=4.故选:C.8.【解答】解:∵等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列,∴,∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1,d≠0,解得d=﹣2,∴{a n}前6项的和为==﹣24.故选:A.9.【解答】解:设塔顶的a1盏灯,由题意{a n}是公比为2的等比数列,∴S7==381,解得a1=3.故选:B.10.【解答】解:∵S n为等差数列{a n}的前n项和,a4+a5=24,S6=48,∴,解得a1=﹣2,d=4,∴{a n}的公差为4.故选:C.11.【解答】解:∵等差数列{a n}前9项的和为27,S9===9a5.∴9a5=27,a5=3,又∵a10=8,∴d=1,∴a100=a5+95d=98,故选:C.12.【解答】解:等比数列{a n}的公比设为q,各项都为正数,记{a n}的前n项和为S n,若S3=1,S5﹣S2=4,可得a1+a2+a3=1,a3+a4+a5=4,即有a1(1+q+q2)=1,a1q2(1+q+q2)=4,相除可得q=2(﹣2舍去),且a1=,故选:B.13.【解答】解:∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴,∴q4+q2+1=7,∴q4+q2﹣6=0,∴q2=2,∴a3+a5+a7==3×(2+4+8)=42.故选:B.14.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q,∵,a3a5=4(a4﹣1),∴=4,化为q3=8,解得q=2则a2==.故选:C.15.【解答】解:由等差数列{a n}的性质,a1+a3+a5=3=3a3,解得a3=1.则S5==5a3=5.故选:A.16.【解答】解:∵{a n}是公差为1的等差数列,S8=4S4,∴8a1+×1=4×(4a1+),解得a1=.则a10=+9×1=.故选:B.17.【解答】解:由题意可得a42=a2•a8,即a42=(a4﹣4)(a4+8),解得a4=8,∴a1=a4﹣3×2=2,∴S n=na1+d,=2n+×2=n(n+1),故选:A.18.【解答】解:S2=a1+a2,S4﹣S2=a3+a4=(a1+a2)q2,S6﹣S4=a5+a6=(a1+a2)q4,所以S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列,即3,12,S6﹣15成等比数列,可得122=3(S6﹣15),解得S6=63故选:C.19.【解答】解:{a n}是公差d为3的等差数列,若a1,a2,a4成等比数列,则a1a4=a22,即a1(a1+9)=(a1+3)2,解得a1=3,又d=3,可得S10=10a1+×10×9d=30+45×3=165.故选:A.20.【解答】解:因为{a n}是等差数列,所以a4+a8+2a12=2a6+2a12=4a9=12.故选:A.二、填空题(共10小题)21.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和,a1=1,S3=,∴q≠1,=,整理可得,,解可得,q=﹣,则S4===.故答案为:22.【解答】解:在等比数列中,由a42=a6,得q6a12=q5a1>0,即q>0,q=3,则S5==,故答案为:23.【解答】解:在等差数列{a n}中,由a3=5,a7=13,得d=,∴a1=a3﹣2d=5﹣4=1.则.故答案为:100.24.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,则由a1≠0,a2=3a1可得,d=2a1,∴==,故答案为:4.25.【解答】解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则,解得.∴=6×(﹣5)+15×2=16.故答案为:16.26.【解答】解:设等差数列{a n}的前n项和为S n,a2=﹣3,S5=﹣10,∴,解得a1=﹣4,d=1,∴a5=a1+4d=﹣4+4×1=0,S n==﹣4n+=(n﹣)2﹣,∴n=4或n=5时,S n取最小值为S4=S5=﹣10.故答案为:0,﹣10.27.【解答】解:S n为数列{a n}的前n项和,S n=2a n+1,①当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=﹣1,当n≥2时,S n﹣1=2a n﹣1+1,②,由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1,∴a n=2a n﹣1,∴{a n}是以﹣1为首项,以2为公比的等比数列,∴S6==﹣63,故答案为:﹣6328.【解答】解:∵等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=0,a6+a7=14,∴,解得a1=﹣4,d=2,∴S7=7a1+=﹣28+42=14.故答案为:14.29.【解答】解:∵{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,∴,解得a1=3,d=6,∴a n=a1+(n﹣1)d=3+(n﹣1)×6=6n﹣3.∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3.故答案为:a n=6n﹣3.30.【解答】解:∵等差数列{a n}的前5项的和为25,∴=25,∴a1+a5=25×=10.故答案为:10.三、解答题(共10小题)31.【解答】解:(1)设等比数列的公比为q,由a1=2,a3=2a2+16,得2q2=4q+16,即q2﹣2q﹣8=0,解得q=﹣2(舍)或q=4.∴;(2)b n=log2a n=,∵b1=1,b n+1﹣b n=2(n+1)﹣1﹣2n+1=2,∴数列{b n}是以1为首项,以2为公差的等差数列,则数列{b n}的前n项和.32.【解答】解:(1)根据题意,等差数列{a n}中,设其公差为d,若S9=﹣a5,则S9==9a5=﹣a5,变形可得a5=0,即a1+4d=0,若a3=4,则d==﹣2,则a n=a3+(n﹣3)d=﹣2n+10,(2)若S n≥a n,则na1+d≥a1+(n﹣1)d,当n=1时,不等式成立,当n≥2时,有≥d﹣a1,变形可得(n﹣2)d≥﹣2a1,又由S9=﹣a5,即S9==9a5=﹣a5,则有a5=0,即a1+4d=0,则有(n﹣2)≥﹣2a1,又由a1>0,则有n≤10,则有2≤n≤10,综合可得:n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.33.【解答】解:(Ⅰ)∵{a n}是等差数列,a1=﹣10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.∴(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),∴(﹣2+2d)2=d(﹣4+3d),解得d=2,∴a n=a1+(n﹣1)d=﹣10+2n﹣2=2n﹣12.(Ⅱ)由a1=﹣10,d=2,得:S n=﹣10n+=n2﹣11n=(n﹣)2﹣,∴n=5或n=6时,S n取最小值﹣30.34.【解答】解:(I)因为{a n}是等差数列,a1+a3=12,a2+a4=18,所以解得d=3,a1=3.则a n=3+(n﹣1)×3=3n,n∈N*.………….(7分)(II)a3,a6,a9,…,a3n构成首项为a3=9,公差为9的等差数列.则=.………….(13分)35.【解答】解:(1)∵等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.∴1×q4=4×(1×q2),解得q=±2,当q=2时,a n=2n﹣1,当q=﹣2时,a n=(﹣2)n﹣1,∴{a n}的通项公式为,a n=2n﹣1,或a n=(﹣2)n﹣1.(2)记S n为{a n}的前n项和.当a1=1,q=﹣2时,S n===,由S m=63,得S m==63,m∈N,无解;当a1=1,q=2时,S n===2n﹣1,由S m=63,得S m=2m﹣1=63,m∈N,解得m=6.36.【解答】解:(1)∵S n=1+λa n,λ≠0.∴a n≠0.当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1,即(λ﹣1)a n=λa n﹣1,∵λ≠0,a n≠0.∴λ﹣1≠0.即λ≠1,即=,(n≥2),∴{a n}是等比数列,公比q=,当n=1时,S1=1+λa1=a1,即a1=,∴a n=•()n﹣1.(2)若S5=,则若S5=1+λ[•()4]=,即()5=﹣1=﹣,则=﹣,得λ=﹣1.37.【解答】解:(1)根据题意,a n2﹣(2a n+1﹣1)a n﹣2a n+1=0,当n=1时,有a12﹣(2a2﹣1)a1﹣2a2=0,而a1=1,则有1﹣(2a2﹣1)﹣2a2=0,解可得a2=,当n=2时,有a22﹣(2a3﹣1)a2﹣2a3=0,又由a2=,解可得a3=,故a2=,a3=;(2)根据题意,a n2﹣(2a n+1﹣1)a n﹣2a n+1=0,变形可得(a n﹣2a n+1)(a n+1)=0,即有a n=2a n+1或a n=﹣1,又由数列{a n}各项都为正数,则有a n=2a n+1,故数列{a n}是首项为a1=1,公比为的等比数列,则a n=1×()n﹣1=()n﹣1,故a n=()n﹣1.38.【解答】解:(Ⅰ)∵a n b n+1+b n+1=nb n.当n=1时,a1b2+b2=b1.∵b1=1,b2=,∴a1=2,又∵{a n}是公差为3的等差数列,∴a n=3n﹣1,(Ⅱ)由(I)知:(3n﹣1)b n+1+b n+1=nb n.即3b n+1=b n.即数列{b n}是以1为首项,以为公比的等比数列,∴{b n}的前n项和S n==(1﹣3﹣n)=﹣.39.【解答】解:(1)数列{a n}满足a1=1,na n+1=2(n+1)a n,则:(常数),由于,故:,数列{b n}是以b1为首项,2为公比的等比数列.整理得:,所以:b1=1,b2=2,b3=4.(2)数列{b n}是为等比数列,由于(常数);(3)由(1)得:,根据,所以:.40.【解答】解:(1)数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)a n=2n.n≥2时,a1+3a2+…+(2n﹣3)a n﹣1=2(n﹣1).∴(2n﹣1)a n=2.∴a n=.当n=1时,a1=2,上式也成立.∴a n=.(2)==﹣.∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=.。