数列专题

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一、单选题（共20小题）
1. [容易] 已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）
A．16 B．8 C．4 D．2
2. [容易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）
A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n
3. [较易] 若等比数列{a n}的各项均为正数，a2＝3，4a32＝a1a7，则a5＝（）
A．B．C．12 D．24
4. [较易] 3+33+35+…+32n+1＝（）
A．（9n﹣1）B．（9n+1﹣1）C．（9n﹣1）D．（9n+1﹣1）
5. [较易] 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a6+a7+a8＝（）
A．63 B．45 C．39 D．27
6. [容易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
7. [较易] 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S4＝1，S8＝3，则a9+a10+a11+a12＝（）
A．8 B．6 C．4 D．2
8. [容易] 等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）
A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8
9. [较易] 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
10. [较易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）
A．1 B．2 C．4 D．8
11. [容易] 已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）
A．100 B．99 C．98 D．97
12. [较易] 等比数列{a n}的各项都为正数，记{a n}的前n项和为S n，若S3＝1，S5﹣S2＝4，则a1＝（）
A．B．C．D．
13. [容易] 已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）
A．21 B．42 C．63 D．84
14. [容易] 已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）
A．2 B．1 C．D．
15. [容易] 已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）
A．5 B．7 C．9 D．11
16. [较易] 已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）
A．B．C．10 D．12
17. [容易] 等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）
A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．
18. [容易] 设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2＝3，S4＝15，则S6＝（）
A．31 B．32 C．63 D．64
19. [较易] 已知{a n}是公差为3的等差数列．若a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的前10项和S10＝（）
A．165 B．138 C．60 D．30
20. [较易] 已知数列{a n}是等差数列，且a9＝3，则a4+a8+2a12＝（）
A．12 B．9 C．6 D．3
二、填空题（共10小题）
21. [较易] 记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝．
22. [较易] 记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝，a42＝a6，则S5＝．
23. [较易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝．
24. [容易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝．
25. [较易] 已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．
26. [较易] 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝﹣3，S5＝﹣10，则a5＝，S n的最小值为﹣．
27. [较易] 记S n为数列{a n}的前n项和．若S n＝2a n+1，则S6＝﹣．
28. [较易] 记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝0，a6+a7＝14，则S7＝．
29. [较易] 设{a n}是等差数列，且a1＝3，a2+a5＝36，则{a n}的通项公式为﹣．
30. [较易] 若等差数列{a n}的前5项的和为25，则a1+a5＝．
三、解答题（共10小题）
31. [较易] 已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．
32. [较易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．
（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；
（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．
33. [较易] 设{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．
34. [较易] 在等差数列{a n}中，已知a1+a3＝12，a2+a4＝18，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求a3+a6+a9+…+a3n．
35. [较易] 等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m．
36. [一般] 已知数列{a n}的前n项和S n＝1+λa n，其中λ≠0．
（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S5＝，求λ．
37. [一般] 已知各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0．
（1）求a2，a3；
（2）求{a n}的通项公式．
38. [一般] 已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求{b n}的前n项和．
39. [一般] 已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{a n}的通项公式．
40. [一般] 设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
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参考答案
一、单选题（共20小题）
1.【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），
则由前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，有
，∴，
∴，
故选：C．
2.【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由S4＝0，a5＝5，得
，∴，
∴a n＝2n﹣5，，
故选：A．
3.【解答】解：数列{a n}是等比数列，各项均为正数，4a32＝a1a7＝，所以，所以q＝2．
所以a5＝＝3×23＝24．
故选：D．
4.【解答】解：数列3，33，35，…，32n+1是首项为3，公比为32的等比数列；
且32n+1是第n+1项；
∴＝．
故选：D．
5.【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由S3＝9，S6＝36，
得，
解得a1＝1，d＝2；
∴a6+a7+a8＝3a1+18d＝3+36＝39．
故选：C．
6.【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，
∴＝a1+a1+d+4a1+d，
把a1＝2，代入得d＝﹣3
∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．
故选：B．
7.【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S4＝1，S8＝3，
由等比数列的性质得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，
∴1，3﹣1＝2，S12﹣S8＝a9+a10+a11+a12成等比数列，
∴a9+a10+a11+a12＝4．
故选：C．
8.【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，
∴，
∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0，
解得d＝﹣2，
∴{a n}前6项的和为＝＝﹣24．
故选：A．
9.【解答】解：设塔顶的a1盏灯，
由题意{a n}是公比为2的等比数列，
∴S7＝＝381，
解得a1＝3．
故选：B．
10.【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{a n}的公差为4．
故选：C．
11.【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9＝＝＝9a5．
∴9a5＝27，a5＝3，
又∵a10＝8，
∴d＝1，
∴a100＝a5+95d＝98，
故选：C．
12.【解答】解：等比数列{a n}的公比设为q，各项都为正数，记{a n}的前n项和为S n，
若S3＝1，S5﹣S2＝4，
可得a1+a2+a3＝1，a3+a4+a5＝4，
即有a1（1+q+q2）＝1，
a1q2（1+q+q2）＝4，
相除可得q＝2（﹣2舍去），
且a1＝，
故选：B．
13.【解答】解：∵a1＝3，a1+a3+a5＝21，
∴，
∴q4+q2+1＝7，
∴q4+q2﹣6＝0，
∴q2＝2，
∴a3+a5+a7＝＝3×（2+4+8）＝42．
故选：B．
14.【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵，a3a5＝4（a4﹣1），
∴＝4，
化为q3＝8，解得q＝2
则a2＝＝．
故选：C．
15.【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3＝1．
则S5＝＝5a3＝5．
故选：A．
16.【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8＝4S4，
∴8a1+×1＝4×（4a1+），
解得a1＝．
则a10＝+9×1＝．
故选：B．
17.【解答】解：由题意可得a42＝a2•a8，
即a42＝（a4﹣4）（a4+8），
解得a4＝8，
∴a1＝a4﹣3×2＝2，
∴S n＝na1+d，
＝2n+×2＝n（n+1），
故选：A．
18.【解答】解：S2＝a1+a2，S4﹣S2＝a3+a4＝（a1+a2）q2，S6﹣S4＝a5+a6＝（a1+a2）q4，
所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
即3，12，S6﹣15成等比数列，
可得122＝3（S6﹣15），
解得S6＝63
故选：C．
19.【解答】解：{a n}是公差d为3的等差数列，若a1，a2，a4成等比数列，
则a1a4＝a22，即a1（a1+9）＝（a1+3）2，
解得a1＝3，
又d＝3，可得S10＝10a1+×10×9d＝30+45×3＝165．
故选：A．
20.【解答】解：因为{a n}是等差数列，所以a4+a8+2a12＝2a6+2a12＝4a9＝12．
故选：A．
二、填空题（共10小题）
21.【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，S3＝，
∴q≠1，＝，
整理可得，，
解可得，q＝﹣，
则S4＝＝＝．
故答案为：
22.【解答】解：在等比数列中，由a42＝a6，得q6a12＝q5a1＞0，
即q＞0，q＝3，
则S5＝＝，
故答案为：
23.【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3＝5，a7＝13，得d＝，
∴a1＝a3﹣2d＝5﹣4＝1．
则．
故答案为：100．
24.【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则
由a1≠0，a2＝3a1可得，d＝2a1，
∴
＝
＝，
故答案为：4．
25.【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
则，解得．
∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．
故答案为：16．
26.【解答】解：设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝﹣3，S5＝﹣10，
∴，
解得a1＝﹣4，d＝1，
∴a5＝a1+4d＝﹣4+4×1＝0，
S n＝＝﹣4n+＝（n﹣）2﹣，
∴n＝4或n＝5时，S n取最小值为S4＝S5＝﹣10．
故答案为：0，﹣10．
27.【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n＝2a n+1，①
当n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1＝﹣1，
当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1+1，②，
由①﹣②可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，
∴a n＝2a n﹣1，
∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，
∴S6＝＝﹣63，
故答案为：﹣63
28.【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝0，a6+a7＝14，
∴，
解得a1＝﹣4，d＝2，
∴S7＝7a1+＝﹣28+42＝14．
故答案为：14．
29.【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1＝3，a2+a5＝36，
∴，
解得a1＝3，d＝6，
∴a n＝a1+（n﹣1）d＝3+（n﹣1）×6＝6n﹣3．
∴{a n}的通项公式为a n＝6n﹣3．
故答案为：a n＝6n﹣3．
30.【解答】解：∵等差数列{a n}的前5项的和为25，
∴＝25，
∴a1+a5＝25×＝10．
故答案为：10．
三、解答题（共10小题）
31.【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，
由a1＝2，a3＝2a2+16，得2q2＝4q+16，
即q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝﹣2（舍）或q＝4．
∴；
（2）b n＝log2a n＝，
∵b1＝1，b n+1﹣b n＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2，
∴数列{b n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则数列{b n}的前n项和．
32.【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，
若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，
若a3＝4，则d＝＝﹣2，
则a n＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，
（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，
当n＝1时，不等式成立，
当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，
又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n
﹣2）≥﹣2a1，
又由a1＞0，则有n≤10，
则有2≤n≤10，
综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
33.【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
∴（a3+8）2＝（a2+10）（a4+6），
∴（﹣2+2d）2＝d（﹣4+3d），
解得d＝2，
∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣10+2n﹣2＝2n﹣12．
（Ⅱ）由a1＝﹣10，d＝2，得：
S n＝﹣10n+＝n2﹣11n＝（n﹣）2﹣，
∴n＝5或n＝6时，S n取最小值﹣30．
34.【解答】解：（I）因为{a n}是等差数列，a1+a3＝12，a2+a4＝18，所以
解得d＝3，a1＝3．则a n＝3+（n﹣1）×3＝3n，n∈N*．…………．（7分）
（II）a3，a6，a9，…，a3n构成首项为a3＝9，公差为9的等差数列．
则＝．…………．（13分）
35.【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．
∴1×q4＝4×（1×q2），
解得q＝±2，
当q＝2时，a n＝2n﹣1，
当q＝﹣2时，a n＝（﹣2）n﹣1，
∴{a n}的通项公式为，a n＝2n﹣1，或a n＝（﹣2）n﹣1．
（2）记S n为{a n}的前n项和．
当a1＝1，q＝﹣2时，S n＝＝＝，
由S m＝63，得S m＝＝63，m∈N，无解；
当a1＝1，q＝2时，S n＝＝＝2n﹣1，
由S m＝63，得S m＝2m﹣1＝63，m∈N，
解得m＝6．
36.【解答】解：（1）∵S n＝1+λa n，λ≠0．
∴a n≠0．
当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝1+λa n﹣1﹣λa n﹣1＝λa n﹣λa n﹣1，
即（λ﹣1）a n＝λa n﹣1，
∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，
即＝，（n≥2），
∴{a n}是等比数列，公比q＝，
当n＝1时，S1＝1+λa1＝a1，
即a1＝，
∴a n＝•（）n﹣1．
（2）若S5＝，
则若S5＝1+λ[•（）4]＝，
即（）5＝﹣1＝﹣，
则＝﹣，得λ＝﹣1．
37.【解答】解：（1）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，
当n＝1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2＝0，
而a1＝1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2＝0，解可得a2＝，
当n＝2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3＝0，
又由a2＝，解可得a3＝，
故a2＝，a3＝；
（2）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，
变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+1）＝0，
即有a n＝2a n+1或a n＝﹣1，
又由数列{a n}各项都为正数，
则有a n＝2a n+1，
故数列{a n}是首项为a1＝1，公比为的等比数列，
则a n＝1×（）n﹣1＝（）n﹣1，
故a n＝（）n﹣1．
38.【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1＝nb n．
当n＝1时，a1b2+b2＝b1．
∵b1＝1，b2＝，
∴a1＝2，
又∵{a n}是公差为3的等差数列，
∴a n＝3n﹣1，
（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1＝nb n．
即3b n+1＝b n．
即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，
∴{b n}的前n项和S n＝＝（1﹣3﹣n）＝﹣．39.【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，
则：（常数），
由于，
故：，
数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．
整理得：，
所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．
（2）数列{b n}是为等比数列，
由于（常数）；
（3）由（1）得：，
根据，
所以：．
40.【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．
n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．
∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．
当n＝1时，a1＝2，上式也成立．
∴a n＝．
（2）＝＝﹣．
∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．。