统计量和统计量的分布
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概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
一个任意分 布的总体
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
概率论与数理统计第六章统计量,样本及抽样分布
(2) X 1
~
2 (n1 ),
X2
~
2 (n2 ),
X1,
X
独
2
立
，
则
X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 ).
(3) X ~ 2 (n), E( X ) n, D( X ) 2n,
.
2021/3/11
20
(4). 2分布的分位点
对于给定的正数，0 1,
称满足条件
P
2 2 (n)
k 1
,
X
k 2
,,
X
k n
独立且与X
k同分布,
E
(
X
k i
)
k
k 1,2,,n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1, A2 ,, Ak ) p g(1,2 ,,k ) 其中g为连续函数.
这就是矩估计法的理论根据.
2021/3/11
18
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现 数理统计
10
3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确 定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高, 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我 们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.
2021/3/11
11
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
再由函数的性质有
lim h(t)
n
1 et2 2. 2
统计量及其分布
2 最小，其中c为任意给定常数。 ( x x ) i
样本均值的抽样分布 (例题分析)
【例】设一个总体含有4 个个体，分别为X1=1、X2=2、 X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。
总体均值和方差
总体的频数分布
X
i 1
N
i
N
N
2.5
2
2 ( X ) i i 1
0.02 0 2 1 0.1
21 Φ0.2
0.8414
(4) 样本 k 阶(原点)矩
1 n k Ak X i , k 1, 2, ; n i 1
1 n k 其观察值 k x i , k 1, 2, . n i 1
n n 1 2 1 2 2 E( S ) E X i nX (Xi X ) E n 1 i 1 n 1 i 1
2
1 n 2 2 E ( X i ) nE ( X ) n 1 i 1 2 1 n 2 2 2 ( ) n 2 n 1 i 1 n
n
k 1
n
2
2
n
,
定理 设总体X的期望E(X) = ,方差D(X) = 2，X1， X2，…，Xn为总体X的样本， X，S2分别为样本均值 和样本方差，则
E( X ) E( X )
D( X ) 2 D( X ) n n
E( S 2 ) D( X ) 2
思考：在分组样本场合，样本均值如何计算？ 二者结果相同吗？
x1 f1 x n f n 其中 x n
样本均值的抽样分布 (例题分析)
【例】设一个总体含有4 个个体，分别为X1=1、X2=2、 X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。
总体均值和方差
总体的频数分布
X
i 1
N
i
N
N
2.5
2
2 ( X ) i i 1
0.02 0 2 1 0.1
21 Φ0.2
0.8414
(4) 样本 k 阶(原点)矩
1 n k Ak X i , k 1, 2, ; n i 1
1 n k 其观察值 k x i , k 1, 2, . n i 1
n n 1 2 1 2 2 E( S ) E X i nX (Xi X ) E n 1 i 1 n 1 i 1
2
1 n 2 2 E ( X i ) nE ( X ) n 1 i 1 2 1 n 2 2 2 ( ) n 2 n 1 i 1 n
n
k 1
n
2
2
n
,
定理 设总体X的期望E(X) = ,方差D(X) = 2，X1， X2，…，Xn为总体X的样本， X，S2分别为样本均值 和样本方差，则
E( X ) E( X )
D( X ) 2 D( X ) n n
E( S 2 ) D( X ) 2
思考：在分组样本场合，样本均值如何计算？ 二者结果相同吗？
x1 f1 x n f n 其中 x n
《概率论与数理统计》统计量及其分布
律性的数学学科.
但数理统计以概率论为基础，更着重于根据试验得
到的数据来对研究对象的客观规律作出种种合理的估
计和判断.
4
第5章
统计量及其分布
数
描述统计学
理
对随机现象进行观测、试验, 以取得有代表
统
性的观测值.
计
的
推断统计学
分
对已取得的观测值进行整理、分析, 作出推
类
断、决策,从而找出所研究的对象的规律性.
O
5
n 10
10
15
20
x
32
01
抽样分布
2. t 分布
2
X
~
N
(0,1)
，
Y
~
x
(n)，且X与Y 独立，则
设随机变量
X
T
Y /n
服从自由度为n的t分布，记为t(n).
性质 密度f(t)是偶函数，且t分布的极限分布是标准正
态分布.
33
01
抽样分布
t分布的密度函数
n 1
n 1
那么如何来利用样本呢?
列表?
画图?
统计量!
样本来自于总体，含有总体性质的信息，但较为分
散. 为了进行统计推断，需要把分散的信息进行整理，
针对不同的研究目的，构造不同的样本函数，这种函
数在统计学中称为统计量.
18
本讲内容
01
总体与个体
02
样本
03
统计量
03
统计量
3.统计量
统计量——不含有未知参数的样本函数
f ( x)
n1
n2
x
但数理统计以概率论为基础，更着重于根据试验得
到的数据来对研究对象的客观规律作出种种合理的估
计和判断.
4
第5章
统计量及其分布
数
描述统计学
理
对随机现象进行观测、试验, 以取得有代表
统
性的观测值.
计
的
推断统计学
分
对已取得的观测值进行整理、分析, 作出推
类
断、决策,从而找出所研究的对象的规律性.
O
5
n 10
10
15
20
x
32
01
抽样分布
2. t 分布
2
X
~
N
(0,1)
，
Y
~
x
(n)，且X与Y 独立，则
设随机变量
X
T
Y /n
服从自由度为n的t分布，记为t(n).
性质 密度f(t)是偶函数，且t分布的极限分布是标准正
态分布.
33
01
抽样分布
t分布的密度函数
n 1
n 1
那么如何来利用样本呢?
列表?
画图?
统计量!
样本来自于总体，含有总体性质的信息，但较为分
散. 为了进行统计推断，需要把分散的信息进行整理，
针对不同的研究目的，构造不同的样本函数，这种函
数在统计学中称为统计量.
18
本讲内容
01
总体与个体
02
样本
03
统计量
03
统计量
3.统计量
统计量——不含有未知参数的样本函数
f ( x)
n1
n2
x
统计量及其分布
思考题
设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 ),
的一个样本，求 E( XS 2 ) ?
定理 2 设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 )
的样本，X 和S 分别为样本均值和样本均方差，则有
1) X ~ N(0, 1); / n
2) X ~ t(n 1).
nx 2 ];
③ s
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
;
④
ak
1 n
n i 1
xik ,
k 1, 2
;
⑤ bk
1 n
n
(xi x )k ,
i 1
k
1, 2
.
例1 设总体X 的期望为 E(X ) , 方差为 D(X ) 2 其样本为 X1, X2, , Xn , 求E(X ), D(X ), E(S 2) .
为t分布的上 分位点。
t1 (n) t (n)
若 0.5,直接查表;若 0.5, t (n) t1 (n).
当 n 45 , t (n) z .
(3) F-分布
设随机变量X与Y相互独立，且 X ~ 2 (n1), Y ~ 2 (n2 ),
则随机变量
F
X Y
/ n1 / n2
所服从的分布是自由度为 (n1, n2 )
~
F (2,
2)
作 业 17
P137: 4 P147: 4
1.6664.
解：因为
(n 1)
2
S
2
~ 2(n 1)
15S 2
2
~ 2(15)
P
S
2 2
1.6664
三大抽样分布及常用统计量的分布
随(1机) 样XX本132，试XX2问42 下; 列(2统) 计n量n各1XX服i21从; 什(么3)分(n3布？n1)Xi31i2
X
2 i
.
i2
i4
n
续解 (2) 因为X1～N(0,1)，
X
2 i
~
2(n
1)
故
i2
n 1X1
n
n
X1
～t(n-1).
X
2 i
X
2 i
(n 1)
i2
i2
例1 设总体X～N(0,1)， X1，X2，…，Xn为简单
项是独立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.
定理3： 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则
(1) 样本均值 X与样n本方差S 2相互独立；
(2)
(n 1)S 2
2
(Xi
i 1
2
X)2
~
2(n 1)
(4.1)
与以下补充性质的结论比较：
性质 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体
f(x)
其中f(x)是 2-分布的概率密度. O
图5-5 2(n) x
显然，在自由度n取定以后，2(n)的值只与有关.
例如，当n=21，=0.05时，由附表3(P254)可查得，
02.05(21) 32.67 即 P 2(21) 32.67 0.05.
二、t分布
定义3 设随机变量X～N(0，1)，Y～ 2(n) ，
(4.1)
(4.1)式的自n 由度为什么是n-1？
从表面上看， (Xi X)2是n个正态随机变量 Xi X 的平方和，
但实际上它们不i是1 独立的，它们之间有一种线性约束关系：
统计学6
6 - 33
经济、管理类 基础课程
统计学
三、样本方差的分布
6 - 34
经济、管理类 基础课程
统计学
（一）样本方差的分布
设总体服从正态分布N 设总体服从正态分布N ~ (µ,σ2 )， X1，X2，… ，Xn为来自该正态总体的样本，则样本方差 为来自该正态总体的样本， s2 的分布为
(n −1)s
2
2. 3.
，则
Z=
X −µ
令 Y = Z 2 ，则 Y 服从自由度为1的χ2分布，即 服从自由度为1 分布，
σ
~ N(0,1)
Y ~ χ (1)
2
4.
当总体 X ~ N(µ,σ 2 ) ，从中抽取容量为n的样本，则 从中抽取容量为n的样本，
样 本 6 - 10
经济、管理类 基础课程
（三）抽样分布
(sampling distribution) distribution)
统计学
1. 样本统计量的概率分布 2. 是一种理论概率分布 3. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本均值, 样本比例，样本方差等
4. 结果来自容量相同的所有可能样本 结果来自容量相同的所有可能样本 5. 提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进 行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重 要依据
总体分布、样本分布、抽样分布
三、渐进分布和近似分布
6-3
经济、管理类 基础课程
统计学
一、统计量
（一）统计量的概念 • 是样本的特征值 • 设X1 , X2 ,…, Xn是从总体中抽取的容量 为n的一个样本，如果由此样本构造一 个函数T 个函数T（ X1 , X2 ,…, Xn ），不依赖于 任何未知参数，则称函数T 任何未知参数，则称函数T（ X1 , X2 ,…, Xn ）是一个统计量。
EViews序列的统计量检验和分布
N
4
意义同S中 ，正态分布的 K 值为3。如果 K 值大于3，
分布的凸起程度大于 正态分布；如果K值小于3，序列分布相 对于正态分布是平坦的。例1.1中X的峰度为2.5，说明X的分 布相对于正态分布是平坦的；而例1.3中GDP增长率的峰度为 2.14 ，说明GDP增长率的分布相对于正态分布也是平坦的。
16
其中，Cumulative Distribution(累积分布)操作用来描 绘序列的经验累积函数（CDF）。 CDF是序列中观测值不
超过指定值 r 的概率
Fx (r ) prob( x r )
Survivor(残存)操作用来描绘序列的经验残存函数
S x (r ) prob( x r ) 1 Fx (r )
23
居民消费（CS）和GDP的交叉相关系数
24
第三章
基本回归模型
经济计量研究始于经济学中的理论假设，根据经济理 论设定变量间的一组关系，如消费理论、生产理论和各种 宏观经济理论，对理论设定的关系进行定量刻画，如消费 函数中的边际消费倾向、生产函数中的各种弹性等进行实 证研究。单方程回归是最丰富多彩和广泛使用的统计技术 之一。本章介绍EViews中基本回归技术的使用，说明并估 计一个回归模型，进行简单的特征分析并在深入的分析中 使用估计结果。随后的章节讨论了检验和预测，以及更高 级，专业的技术，如加权最小二乘法、二阶段最小二乘法 (TSLS)、非线性最小二乘法、ARIMA/ARIMAX模型、 GMM（广义矩估计）、GARCH模型和定性的有限因变量 模型。这些技术和模型都建立在本章介绍的基本思想的基 础之上。
26
§3.1 创建方程对象
EViews中的单方程回归估计是用方程对象来完成 的。为了创建一个方程对象: 从主菜单选择Object/New
4
意义同S中 ，正态分布的 K 值为3。如果 K 值大于3，
分布的凸起程度大于 正态分布；如果K值小于3，序列分布相 对于正态分布是平坦的。例1.1中X的峰度为2.5，说明X的分 布相对于正态分布是平坦的；而例1.3中GDP增长率的峰度为 2.14 ，说明GDP增长率的分布相对于正态分布也是平坦的。
16
其中，Cumulative Distribution(累积分布)操作用来描 绘序列的经验累积函数（CDF）。 CDF是序列中观测值不
超过指定值 r 的概率
Fx (r ) prob( x r )
Survivor(残存)操作用来描绘序列的经验残存函数
S x (r ) prob( x r ) 1 Fx (r )
23
居民消费（CS）和GDP的交叉相关系数
24
第三章
基本回归模型
经济计量研究始于经济学中的理论假设，根据经济理 论设定变量间的一组关系，如消费理论、生产理论和各种 宏观经济理论，对理论设定的关系进行定量刻画，如消费 函数中的边际消费倾向、生产函数中的各种弹性等进行实 证研究。单方程回归是最丰富多彩和广泛使用的统计技术 之一。本章介绍EViews中基本回归技术的使用，说明并估 计一个回归模型，进行简单的特征分析并在深入的分析中 使用估计结果。随后的章节讨论了检验和预测，以及更高 级，专业的技术，如加权最小二乘法、二阶段最小二乘法 (TSLS)、非线性最小二乘法、ARIMA/ARIMAX模型、 GMM（广义矩估计）、GARCH模型和定性的有限因变量 模型。这些技术和模型都建立在本章介绍的基本思想的基 础之上。
26
§3.1 创建方程对象
EViews中的单方程回归估计是用方程对象来完成 的。为了创建一个方程对象: 从主菜单选择Object/New
数据的分布和统计量
数据的分布和统计量在我们的日常生活和工作中，数据无处不在。
从我们每天的消费记录，到公司的销售业绩，再到全球的气候数据，数据的身影随处可见。
而要理解这些数据，弄清楚它们所蕴含的信息，就需要了解数据的分布和统计量。
数据的分布，简单来说，就是数据在不同取值范围内的出现频率或概率。
想象一下，我们有一组学生的考试成绩数据，这些成绩可能会集中在某个范围内，比如大部分学生的成绩在 70 分到 90 分之间，只有少数学生的成绩低于 60 分或高于 95 分。
这种成绩在不同分数段的分布情况，就是数据的分布。
常见的数据分布类型有很多，比如正态分布。
正态分布是一种非常常见且重要的分布，它的形状就像一个钟形曲线。
在正态分布中，数据大多集中在平均值附近，离平均值越远，数据出现的频率就越低。
很多自然现象和社会现象的数据都近似地服从正态分布，比如人的身高、体重等。
除了正态分布，还有均匀分布。
在均匀分布中，数据在某个范围内出现的概率是相等的。
比如说，从 1 到 10 随机抽取一个数字，每个数字被抽到的概率都是十分之一，这就是均匀分布。
了解数据的分布对于我们分析和理解数据非常重要。
它可以帮助我们发现数据中的规律和趋势，判断数据是否异常，以及为后续的数据分析和决策提供基础。
说完数据的分布，再来说说统计量。
统计量是对数据特征的一种概括性描述。
就好像我们用几个关键的词语来描述一个人的特点一样，统计量就是用几个数字来描述一组数据的特点。
其中，最常见的统计量就是均值。
均值也就是我们常说的平均数，它是通过将所有数据相加，然后除以数据的个数得到的。
比如一组数据 2、4、6、8、10，它们的均值就是（2 ＋ 4 ＋ 6 ＋ 8 ＋ 10）÷ 5 ＝ 6 。
均值可以让我们对数据的中心位置有一个大致的了解。
然而，均值有时候也会有局限性。
比如，在一组数据中，如果存在少数极大值或极小值，均值就可能会被这些极端值所影响，不能很好地反映数据的真实情况。
(概率论与数理统计茆诗松)第5章统计量及其分布
统计量用于评估和 预测经济趋势例如 GDP、CPI等。
统计量用于研究经济 现象之间的相关性例 如通过回归分析探究 收入与消费的关系。
统计量用于风险评估 和决策制定例如在投 资组合优化中应用统 计量来降低风险。
统计量用于市场调研和 消费者行为分析例如通 过调查数据了解消费者 的购买意愿和偏好。
统计量用于描述大量粒子系统的宏观性质如温度、压强等。 在高能物理实验中统计量用于分析粒子碰撞数据以发现新粒子或研究基本粒子的相互作用。 在天体物理中统计量用于研究星系分布、宇宙射线等以揭示宇宙的演化历史和结构。 在凝聚态物理中统计量用于描述量子多体系统的性质如超导、量子相变等。
单击此处添加标题
性质：二项分布具有可加性即如果有两个独立的二项分布的随机变量X和Y那么 X+Y仍然服从二项分布。
单击此处添加标题
应用：二项分布在统计学、生物学、医学等领域有广泛的应用例如在遗传学中 研究基因的遗传规律在可靠性工程中研究设备的寿命等。
定义：泊松分布是一种离散概率分布描述了在单位时间内（或单位面积内）随机事件发生的次数。
适用范围：非参数检验适用于总体分布未知或已知分布不满足参数检验条件的情况能够更加灵活地处理 各种数据类型和分布。
添加标题
常见方法：常见的非参数检验方法包括符号检验、秩次检验、中位数检验等这些方法都是基于样本数据 本身的特性进行统计推断不需要对总体参数进行假设检验。
添加标题
优点与局限性：非参数检验具有适用范围广、灵活性高等优点但也存在一定的局限性如对于小样本数据 可能不太稳定等。因此在选择统计检验方法时需要根据具体情况进行综合考虑。
性
构造方法：利 用样本数据和 适当的数学方 法来构造有效
估计
应用：在统计 学、经济学、 社会学等领域
5.3统计量及其分布
例题1
现从离散均匀分布的总体中抽取容量为3的样本。 求有序统计量 x ( 1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) 的分布列。 有序统计量既不相互 独立，又不同分布 X p 2 1/27 0 1/3 1 1/3 2 1/3
x(1)
p
0 19/27
1 7/27
2.单个次序统计量的分布
• • • • 定理： 设总体X的密度函数为p(x)，分布函数为F(x) x1 , x 2 , L x n 为样本，则第k个次序统计量 x (k ) 的密度函数为
1.样本偏度
b3 γ1 = 2 3 b2
• 样本偏度反映了总体分布密度函数的对称性， • 当r1=0时，样本对称 • 当r1<0时，样本左尾长；当r1>0时，样本右尾长
2.样本峰度
b4 γ2 = 2 −3 b2
•样本峰度反映了总体分布密度曲线在其峰值 附近的陡峭程度。 •当r2<0时，曲线为平顶型； •当r2>0时，曲线为尖顶型 作业：268页16
2 i 2 i 2 i 2 i 2 2 i
2
2.性质
• 定理 设总体X具有二阶矩， x1 , x 2 , L x n 为总体 • 得到的样本，其中 E ( x) = µ Var ( x) = σ 2 < +∞
则E ( x) = µ
分析
2
Var ( x) =
σ
2
n
2
E (s ) = σ
2
2
1 E ( s ) = E[ ( xi − x) 2 ] ∑ n -1
四、次序统计量及其分布
• 1、定义 x • 设 x1 , x 2 ,L xn 是取自总体X的样本，(i ) 称为该样 本的第i个次序统计量。 • 最小次序统计量 最大次序统计量 从小到大排列后的有序样本
几种常用统计量的分布
P{
χ2
χ
2 a
(n)
}
f
a2 (n)
x dx a
的点χa 2(n)称为 χ2 分布单侧 分位点或双侧临界值，如图11-5 所示 .
图11-5
几种常用统计量的分布
定义4
设X ~ N ( ， 2 ) ，样本方差为S 2，则统计量χ2
(n
1)S 2
2
服从自由度为n
1
的χ 2分布，记作
χ2
n
/ n
几种常用统计量的分布
证明
X ~ N ( ， 2 ) ，( X1.，X 2 ， ，X n )是来自总体 X 的样本 ，
X
~
N ( ， 2 )(i 1，2 ，
，n) ，其线性函数 X
1 n
n i 1
Xi
也服从正态分布，即
E X
E1 n
n i 1
Xi
1n E
n i1
Xi
1 n n
(
EX i i 1，2
n) ，
1 n
1
DX
D n
i 1
Xi
n2
n
D Xi
i 1
1 n2 2 (
n2
n
X1 ，X 2 ， X n相互独立) ，
则X ~ N ( ， 2 ) ，故 X ~ N (0 ，1) .
n
/ n
几种常用统计量的分布
例1
解
因为总体 X 服从正态分布N 5 ，9 ，所以 X 服从正态分布N (5 ，9 ) ，故
图11-2
几种常用统计量的分布
显然，f x随着n不同而不同，且f x为偶函数 . 当n 时，有
lim f x
数理统计-第一章 统计量及其分布
太原理工大学 景英川
第一章 统计量及其分布
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第一章 统计量及其分布
但在实际中,在样本量特别大时 (如 n≥100 ),又常用分组样本来代替完 全样本,这时需要对样本进行分组整理， 它能简明扼要地表示样本,使人们能更 好地认识总体,这是分组样本的优点。
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第一章 统计量及其分布
则 Fn (x)是一非减右连续函数，且满足 Fn (-∞) =0, Fn (+ ∞)=1 由此可见， Fn (x)是一个分布函数，称 Fn (x)为经验分 布函数。 太原理工大学 景英川
第一章 统计量及其分布
1.6 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机 抽取 5 听饮料，称得其净重为（单 位：克） 351 347 355 344 351 这是一个容量为 5 的样本，经排序可得有序样本：
而若第一次抽到的是合格品,则第二次抽到不合格品 的概率为
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第一章 统计量及其分布
显然，如此得到的样本不是简单随 机样本。但是，当 N 很大时，我们可 以看到上述二种情 形的概率都近似等 于 p。所以当 N 很大，而 n不大（一个 经验法则是 ）时可以把 该样本近似地 看成简单随机样本。
从总体中抽取样本可以有不同的抽法,为了能 由样本对总体作出较可靠的推断,就希望 样本能很 好的代表总体。这就需要对抽样方法提出一些要 求,最常用的"简单随机抽样”有 如下二个要求： （1）样本具有随机性，即要求总体中每一个个体 都有同等机会被选入样本，这便意味着每一样品xi 与总体X有相同的分布。 （2）样本要有独立性，即要求样本中每一样品的 取值不影响其它样品的取值，这意 味着x1， x2, …,xn 相互独立。
第一章 统计量及其分布
概率论与数理统计--第五章 统计量及其分布
例。 某公司要采购一批产品，每件产品不是合格的就是不合格的。该批产品的不合格率是p,由此，若从该批产品中中随机抽取一件，设X为其产品的不合格数，显然X的分布是两点分布，但p是未知的，而p决定了该批产品的质量，直接影响采购行为的经济效益，因此人们就会对p提出一些问题： 1，p的大小如何？ 2，p大概落到什么范围？ 3，能否认为p满足设定要求?（p≤0.05）
5.2.2 频数--频率分布表
样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的最常用方法之一是给出其频数分布表或频率分布表。
例5.2.2 为研究某厂工人生产某种产品的能力， 我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品 的数量，数据如下
(1) 对样本进行分组：作为一般性的原则，组数通 常在5~20个，对容量较小的样本;
这是一个容量为10的样本的观测值，(体会抽样作用) 对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。
这样的样本称为完全样本。
例5.1.4 考察某厂生产的某种电子元件的 寿命，选了100只进行寿命试验，得到 如下数据：
表5.1.2 100只元件的寿命数据
表5.1.2中的样本观测值没有具体的数值， 只有一个范围，这样的样本称为分组样本。
设总体X具有分布函数F(x), x1, x2, …, xn 为取自该总体的容量为n的样本，则样本联合分布函数为
用简单随机抽样方法得到的样本称为 简单随机样本，也简称样本。
于是，样本 x1, x2, …, xn 可以看成是 独立同分布( iid ) 的随机变量， 其共同分布即为总体分布。
5.2.1 经验分布函数
(2) 确定每组组距：近似公式为 组距d = (最大观测值 最小观测值)/组数;
(3) 确定每组组限： 各组区间端点为 a0, a1=a0+d, a2=a0+2d, …, ak=a0+kd, 形成如下的分组区间 (a0 , a1] , (a1, a2], …, (ak-1 , ak]
5.2.2 频数--频率分布表
样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的最常用方法之一是给出其频数分布表或频率分布表。
例5.2.2 为研究某厂工人生产某种产品的能力， 我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品 的数量，数据如下
(1) 对样本进行分组：作为一般性的原则，组数通 常在5~20个，对容量较小的样本;
这是一个容量为10的样本的观测值，(体会抽样作用) 对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。
这样的样本称为完全样本。
例5.1.4 考察某厂生产的某种电子元件的 寿命，选了100只进行寿命试验，得到 如下数据：
表5.1.2 100只元件的寿命数据
表5.1.2中的样本观测值没有具体的数值， 只有一个范围，这样的样本称为分组样本。
设总体X具有分布函数F(x), x1, x2, …, xn 为取自该总体的容量为n的样本，则样本联合分布函数为
用简单随机抽样方法得到的样本称为 简单随机样本，也简称样本。
于是，样本 x1, x2, …, xn 可以看成是 独立同分布( iid ) 的随机变量， 其共同分布即为总体分布。
5.2.1 经验分布函数
(2) 确定每组组距：近似公式为 组距d = (最大观测值 最小观测值)/组数;
(3) 确定每组组限： 各组区间端点为 a0, a1=a0+d, a2=a0+2d, …, ak=a0+kd, 形成如下的分组区间 (a0 , a1] , (a1, a2], …, (ak-1 , ak]
(概率论与数理统计 茆诗松) 第5章 统计量及其分布(5.4)
当随机变量 2 2(n) 时，对给定 (01)， 称满足 P(2 12(n)) 的 12(n) 是自由度为 n1的卡方分布的 1 分位数. 分位数 12(n) 可以从附表3 中查到。
P{ X
2 1
(n)} ,
该密度函 数的图像 是一只取 非负值的 偏态分布
E 2 n, Var( 2 ) 2n
习题5.4：
Q4
5.4.2 F 分布
定义5.4.2 设X1 2(m), X2 2(n), X1与X2独立， 则称 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度为 m 与 n 的 F分布，记为F F(m, n)，其中m 称为分子自 由度，n 称为分母自由度。
t ( n)
t
(n)
当随机变量t t(n) 时，称满足 P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数. 分位数 t1(n) 可以从附表4中查到。 譬如 n=10,=0.05，那么从附表4上查得
t10.05(10) = t0.95(10)=1.812 . 由于 t 分布的密度函数关于0 对称, 故其分位数 间有如下关系
~ t (m n 2)
1 4 5 7 9 14 16
• n2时，t 分布的方差存在，且为n/(n2)；
• 当自由度较大 (如n30) 时， t 分布可以用正态分布 N(0,1)近似。
当随机变量t t(n) 时，称满足 P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数.
注:
t (n) t1 (n)
在推论5.4.1的记号下，设 12 =22 = 2 ，
2 2 ( x x ) ( y y ) i i i 1 i 1 m n
统计量的分布
=0 n
n
(Xi X)Xi nX
i1
i1
这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下
2
(
n
) 的值只与有关.
例如，当n=21，=0.05时，由附表可查得
02.05(21) 32.67 即 P2 (2 1 ) 3 2 .6 7 0 .0 5 .
2分布的双侧分位数
的把数满足12P 2( n),2 22(1 2 n )2称(n 为) 2f分(P x布) 的2 双 侧 2 2 分(n 位) 数2
查表 x 0 时 ， (x ) 的 值 可 以 查 表
x 0 时 , ( x ) 1 (x )
例 X ~N(0,1)
P （ 1X2） ( 2 ) ( 1 ) 0 . 9 7 7 2 0 . 8 4 1 3 0 . 1 3 5 9 P （X1） ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 0 . 8 4 1 3 0 . 1 5 8 7
P{Xx2},
则称 x
为X分布的双侧分位数或双侧临界值.
2
y
如图.
2
2
x 2 O x 2 x
标准正态分布的分位数
在实际问题中， 常取0.1、0.05、0.01.
常用到下面几个临界值：
u0.05 =1.645， u0.05/2=1.96，
u0.01 =2.326 u0.01/2=2.575
2分布的数学期望与方差
设 2～ 2(n)，则E( 2)=n，D( 2)=2n.
2分布的可加性
设 1 2~2 (n 1 ),
2 2~2 (n 2),
且
2 1