分数计算巧算(含详细参考答案)

分

数 计 算巧算（裂项解法） 班 级： 姓 名： 【例1】 计算：11101⨯＋12111⨯+……+100991⨯=（100

9） 【分析与解】本题属于

)1(1+⨯n n 类型，因而有)1(1+⨯n n =n 1－11+n ；成立。 原式=（

101－111）＋（111－121）＋……＋（991－1001）=101－1001=100

9 做一做1 计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋50491⨯=（50

49） 【例2】 计算：21＋61＋121＋201＋301＋421＋561=（87） 【分析与解】本题似乎不属于上面所讲的题型，但我们可以将分数的分母分解为两个连续自然数乘积的形式，即转化为“)

1(1+⨯n n ”类型，如2=l ×2，6=2×3，12=3×4… 。 原式=

211⨯＋321⨯＋431⨯＋541⨯＋651⨯＋761⨯＋8

71⨯ =（1－21）＋（21－31）＋（31－41）＋（41－51）＋（51－61）＋（61－71）＋（71－81）=8

7 做一做2 计算：721＋901＋1101＋1321＋1561=（104

5） 【例3】计算：311⨯＋531⨯＋7

51⨯＋……＋99971⨯=（9949） 解原式=21×（11－3

1）＋21×（31—51）＋21×（51－71）＋……＋21×（971－991） =21×（1－31＋31－51＋51－71＋……＋971－991）=21×（1－991）=9949 小结本题属于)(1k n n +⨯类型，因而有)(1k n n +⨯=k 1(n 1－k

n +1)成立 做一做3 计算：

421⨯＋641⨯＋861⨯＋……＋100981⨯=（200

49） 【例4】计算：131－127＋209－3011＋4213－5615=（8

7） 分析与解：运用mn n m +=n

m 11+。 因为127=31＋41，209=41＋51，3011=51＋61，4213=61＋71，5615=71＋8

1 所以，原式=3

11－（31＋41）＋（41＋51）－（51＋61）＋（61＋71）－（71＋81） =311－31－41＋41＋51－51－61＋61＋71－71－81=87

做一做4计算：211＋

65－127＋209－3011=（6

51） 【例5】计算：3211⨯⨯＋4321⨯⨯＋…111091⨯⨯=（11027） 分析与解 本题属于“)

2()1(1+⨯+⨯n n n ”的类型。根据公式①进行分解： 原式=

21×（211⨯－321⨯）＋21×（321⨯－431⨯）＋…＋21×（1091⨯－11101⨯） =21×（21－11101⨯）=21×11054=110

27 做一做5 计算：4321⨯⨯＋5431⨯⨯＋…＋10981⨯⨯=（90

7） 【例6】计算：6421⨯⨯＋8641⨯⨯＋…＋10098961⨯⨯=（4900153） 分析与解 本题属于公式②的类型：“)

2()(1k n k n n +⨯+⨯”。 原式=

41×（421⨯－641⨯）＋41×（641⨯－8

61⨯）＋…＋41×（98961⨯－100981⨯） =41×（421⨯－641⨯＋641⨯－8

61⨯＋…＋98961⨯－100981⨯） =41×（421⨯－100

981⨯）=4900153 做一做6 计算：5311⨯⨯＋7531⨯⨯＋9751⨯⨯＋…＋99

97951⨯⨯=（9603800）

练 习 三

1、

541⨯＋651⨯＋761⨯＋……＋40391⨯=（409）

2、301＋421＋561＋721＋901＋1101＋132

1=（607）

3、

15131⨯＋17151⨯＋19171⨯＋……＋39371⨯=（391）

4、

1431991631351+++=（654）

5、

282531073743413⨯++⨯+⨯+⨯ =（2827）

6、721⨯＋1271⨯＋17121⨯＋22171⨯＋……＋97921⨯＋102971⨯=（515）

7、11＋6113＋12

115＋20117＋30119＋42121＋56123＋72125＋90127=（52171）

8、411－209＋3011－4213＋5615=（8

11）

9、

1098265425432⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ =（18013）

10、

2221201543143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ =（462

115）