异面直线的距离

距离（二）
异面直线的距离
已知异面直线AA1和BC， 直线AB与异面直线AA1，BC都垂 直相交。
A1
和两条异面直线都垂直相交 的直线叫做两条异面直线的 公垂线，公垂线夹在异面直 线间的部分，叫做这两条异 面直线的公垂线段。
C A B
思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？
有多少条公垂线？
定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。
存在性： 直线AB就是异面 直线a,b的公垂线
A’
A β a c
Q B
M
a’
B’ b
唯一性：
α
P
假如还有直线A’B’也是a,b的公垂线，则
A’B’⊥a A’B’⊥b a’//a A’B’⊥a’ 所以 A’B’⊥平面α 又AB ⊥平面α AB//A’B’ 则 a,b共面 矛盾！
定理二：两条异面直线的公垂线段长是分别连
F b n a
d
EF n n
E
例 2：
如图，已知空间四边形OABC各边及 对角线长都是1，D,E分别是OA,BC 的中点，连结DE。 （1）求证：DE是OA和BC的公垂线。
D O
（2）求OA和BC间的距离。
A E B C
例3：
正方体ABCD——A1B1C1D1中，P为AB中点，Q为 BC中点，AA1=a, O为正方形ABCD的中心，求PQ 与C1O间的距离。
结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。
A 练习：证明定理二 B D b C a
两条异面直线的公垂线段的长度，叫做 两条异面直线的距离
例1：课本P50 例2
A’ d m l
E
a
a’ θ
A n
F
b
d l m n 2mncos
2 2 2
求异面直线的距离的常用方法：
（1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
D1 A1 C1 B1
D O Q A P B
C
例4：
已知二面角α -l-β 的大小是1200，A,C l , B , D
且AB⊥l,CD⊥l，AB=CD=a, AC=2a, 求（1）BD的长； （2）BD和AC所成角的余弦值； （3）BD和AC的距离。
B A l α C D β
作业：课本P51
a
（2） 转化为求线面间的距离。
a//平面α
b
α
b
（3） 转化为求平行平面间的距离。
a//平面β , b//平面α
α
β b
a
a
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（2），（3）可进一步转化为点到平面的距离。
（4）用模型公式
d l m n 2mncos
2 2 2
（5）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两 异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长
3,4,5,8