异面直线的距离

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计算长方体中的异面直线距离的几种方法

计算长方体中的异面直线距离的几种方法
1.有关定理
定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。

定理二：两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。

2. 常用计算方法
（1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。

（2）转化为求线面间的距离。

过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面α与a之间的距离就是异面直线的距离。

（3）转化为求平行平面间的距离。

过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离就是异面直线的距离。

（4）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。

（5）若两条异面直线在某一平面上的射影互相平行（或为一点和一直线），则可以求平行线的距离（或点到直线的距离），该距离就是异面直线的距离。

（6）几何公式法：设有两条异面直线a, b，a, b的公垂线AB长为d。

在a上找另一点C，b上找另一点D，AC=m，BD=n，CD=l，异面直线AC和BD所成角为θ。

第二公式：设异面直线a、b分别位于二面角α-l-β的半平面上，a与l交点为M，b与l交点为N，且MN=t。

a与l的夹角为θ1，b与l 夹角为θ2，二面角大小为θ3，a、b所成角为θ，则a、b之间距离为。

（7）向量公式法：设两条异面直线的方向向量为S1和S2，MN是两条直线上任意一点的连线的方向向量，则异面直线的距离。

异面直线的距离向量法

异面直线的距离向量法异面直线的距离向量法是一种通过向量运算来求解异面直线之间距离的方法。

以下是具体的步骤：首先，设两条异面直线分别由向量a和b确定，且这两条异面直线的公垂线的一个方向向量为n。

公垂线与两直线分别交于点A和B。

为了找到点A和B，我们可以在两条直线上分别任取一点P和Q。

然后，通过向量运算，我们可以得到向量PQ。

接下来，我们需要计算向量PQ在公垂线方向向量n上的投影。

这个投影的长度就是异面直线之间的距离，记作d。

具体地，投影长度d可以通过以下公式计算：d=∣n∣∣PQ⋅n∣其中，PQ⋅n表示向量PQ和n的点积，∣n∣表示向量n的模长。

然而，需要注意的是，上述公式中的n应该是单位向量，即模长为1的向量。

如果n不是单位向量，我们需要先将其单位化。

单位化向量的公式为：n unit=∣n∣n然后，将单位化后的n unit代入上述公式中计算距离d。

但这里有一个问题：上述解释中提到的公式实际上并不适用于计算异面直线之间的距离。

正确的做法应该是找到两条异面直线的公垂线，并计算这条公垂线的长度。

然而，直接通过向量运算找到公垂线并计算其长度是比较复杂的。

一种更实用的方法是使用以下公式：d=∣a×b∣∣(a×b)⋅c∣其中，a和b是两条异面直线上的两个方向向量（可以通过直线上的两点相减得到），c是连接两条异面直线上任意两点的向量（即上述的PQ），而a×b表示a和b的叉积，其结果是一个与a和b都垂直的向量，也就是公垂线的方向向量。

这个公式的几何意义是计算向量c在公垂线方向上的投影长度，即异面直线之间的距离。

但请注意，这个公式中的分母∣a×b∣实际上是公垂线的方向向量的模长，而不是公垂线本身的长度。

因此，这个公式实际上并不直接给出异面直线之间的距离。

正确的做法应该是先通过其他方法（如几何方法或优化方法）找到公垂线与两条异面直线的交点，然后计算这两点之间的距离。

但在实际应用中，由于很难找到公垂线与两条异面直线的确切交点位置，因此通常使用近似方法或数值方法来估计异面直线之间的距离。

异面直线间距离公式

异面直线间距离公式异面直线是三维几何中一个重要的概念，指的是两条不在同一个平面上的直线。

在三维空间中，两条异面直线之间存在唯一的距离，这个距离是非常重要的，因为它可以帮助我们解决很多实际问题。

那么什么是异面直线之间的距离公式呢？下面让我们来详细介绍。

首先，我们需要明确一点：异面直线之间的距离不能直接通过计算两个直线的距离得出。

这是因为两条直线之间的距离并不一定是两个直线之间最近点的距离，因为它们可能会在某一个角度上相交。

因此，我们需要找到一条垂直于两条直线的直线，才能求出它们之间的距离。

具体来说，设两条直线为L1和L2，我们需要找到一条直线L3，它既垂直于L1，又垂直于L2。

这样，我们就可以通过求取L1和L2在L3上的投影长度来计算它们之间的距离。

如何求出直线L3呢？下面是一个简单的方法：首先，我们可以选择一个点P1，它在L1上。

然后，我们再选择一个点P2，它在L2上。

利用向量的知识，我们可以求出向量v1，它从点P1到点P2的矢量。

接下来，我们可以选择一个点P3，它在L2上，并且位于向量v1所在的平面上。

这样，我们就可以求出向量v2，它从点P1到点P3的矢量。

最后，我们就可以通过向量叉乘的方法，求出L3所在的方向向量，然后与L1上的任意一点连接，就可以得到直线L3了。

有了L3之后，我们就可以求出L1和L2在L3上的投影长度了。

具体来说，我们可以选择L1上的一个点P4和L2上的一个点P5，然后分别求出它们到直线L3的距离，这两个距离的和就是L1和L2之间的距离了。

至此，我们就得到了异面直线之间的距离公式：d = |P4P5|其中d表示L1和L2之间的距离，P4表示L1上距离L3最近的点，P5表示L2上距离L3最近的点。

需要注意的是，求出L3的方法不止一种，也可以利用解方程的方法来求出它的参数方程。

不过无论采用哪种方法，异面直线之间的距离公式都是一样的。

总之，异面直线之间的距离公式是三维几何中非常重要的一个公式，它在实际问题中有广泛的应用，比如计算两条高速公路的最短距离、求取物体间的最短距离等等。

异面直线间的距离公式

异面直线间的距离公式假设有两条异面直线L1和L2，我们需要找到一个平面P1与L1垂直，并且找到一个平面P2与L2垂直。

然后可以求得P1与P2之间的距离，再分别求取L1与P1、L2与P2之间的距离，最后将这三段距离相加就得到了异面直线L1和L2之间的距离。

首先，我们需要找到与直线L1垂直的平面P1、直线与平面垂直的条件是直线方向向量与平面的法向量垂直。

假设直线L1的方向向量为a，平面P1的法向量为n1，那么这两个向量的点积为零：a·n1=0将方程a·n1=0展开，可以得到一个方程组。

通过求解这个方程组，我们可以得到平面P1的方程。

具体求解的方法可以参考数学线性代数的相关知识。

同样地，我们也需要找到与直线L2垂直的平面P2、直线L2的方向向量为b，平面P2的法向量为n2，那么这两个向量的点积为零：b·n2=0通过求解方程组b·n2=0，我们可以得到平面P2的方程。

现在，我们已经找到了与直线L1和L2垂直的平面P1和P2的方程。

接下来，我们需要计算P1和P2之间的距离。

对于平面P1的方程a·n1=0，我们可以将平面P1的点P(x1,y1,z1)带入方程中，得到：a·(x1,y1,z1)=0将方向向量a展开，得到：(a1,a2,a3)·(x1,y1,z1)=0根据点积的定义，可以得到以下方程：a1*x1+a2*y1+a3*z1=0类似地，我们可以得到平面P2的方程：b1*x2+b2*y2+b3*z2=0现在，我们需要找到平面P1和P2之间的最短距离。

设平面P1上的一点为Q(x,y,z)，平面P2上的一点为R(u,v,w)。

则Q到平面P1的距离，即点Q到平面P1的法向量n1的投影与平面P1的法向量n1的模的商，可以表示为：d1=，n1·(Q-P1)，/，n1同样地，R到平面P2的距离d2可以表示为：d2=，n2·(R-P2)，/，n2接下来，我们需要计算两个平面P1和P2之间的距离d3、假设平面P1和P2的法向量分别为n1=(n11,n12,n13)和n2=(n21,n22,n23)，则P1和P2之间的距离可以表示为：d3=，(P2-P1)·(n1×n2)，/，n1×n2其中×表示向量的叉乘，·表示向量的点积。

向量法求异面直线的距离公式

向量法求异面直线的距离公式
异面直线之间的距离公式可以通过向量法来求解。

假设有两条异面直线，它们的方向向量分别为a和a，直线上的一点分别为a和a。

则异面直线的距离可以通过以下步骤来计算：
1.首先，我们计算两条直线上的一点，记为aa和aa，它们为两条直线的最近点。

2.然后，我们计算直线上的向量，记为a=aa−aa，它表示从一条直线上的点到另一条直线上的点的向量。

3.最后，我们计算异面直线的距离，记为a，它等于向量a在两条直线的法向量上的投影长度。

根据以上步骤，异面直线的距离公式可以表示为：
a=|a⋅(a×a)|/|a×a|
其中，⋅表示向量的内积，×表示向量的叉积，|a⋅(a×a)|表示向量a在向量(a×a)上的投影长度，|a×a|表示向量(a×a)的模长。

需要注意的是，如果向量a和a不垂直，则上述公式给出的结果为两条直线之间的最短距离。

如果向量a和a垂直，则它们之间的夹角为a/2，此时两条直线之间的距离为0。

这就是使用向量法求解异面直线的距离公式。

通过计算两条直线之间的最短距离，我们可以更好地理解两条异面直线之间的关系。

求异面直线的方法

七种求异面直线距离的方法陶双喜湖南省长沙县一中数学组异面直线的距离是空间距离的一种重要类型，也是高考经久不衰的热点问题。

求这种距离的方法多种多样，本文通过一个例题的多种解法来谈其求解方略，以供大家参考例：正方体ABCD - AB^I C J U 的棱长为a ，求异面直线AC 和BG 的距离. 解法1 （直接法）：如图1，取BC 的中点E ，连接DE 、BE ，分别交AC 、 BG 于M 、N 两点，连接MN 、B 1D ，则可证空 ENMD NB 1.MN // B 1D ,由三垂线定理可得 B 1D _ AC , RD —BG , . MN_AC,MN_BG 。

故 MN 的长即为异面直线AC 和BC 1的距离。

显然，MN =1 3D 3a . 3 3 MB C图1D 1B 1即异面直线 AC 和BG 的距离为 a . 3 评注：此法叫定义法，即根据定义作出异面直线的公垂线段，但难度较大解法2 （线线距=线面距）： V AC // AC 1 -AC 与BC 1的距离等于AC 与平面ABG 的距离。

如图2，过AC 的中点0作0E -BO 1于E ，易证平面BDD 1B 1 -平面ABG , OE —平面A 1BC 1 o OE 的长即为AC 与BG 的距离。

图272 46 在 Rt BOO 中，BO aQO^i =a,BO 1 a ,2 2 B !■ OE 二B0 0013a .即异面直线AC 和BC 1的距离为3BO 1、3a .3评注：此法是将线线距离转化为线面距离来求，这是求线线距离的一种常用方法解法3 （线线距=•线面距=•点面距）T AC // A1C1. AC与BG的距离等于AC与平面ABG 的距离,即点C到平面ABG的距离，记为h，则由V C^B C I二V~CC1二V A」B I C I得1•氾C、.2a）2.h ，h -a。

即AC 和BC1的距离为—a.3 4 3 2 3 3评注：此法是将线线距离转化为线面距离，然后转化为点面距离来求。

异面直线距离求法

异面直线距离求法异面直线指的是在三维空间中，不在同一个平面上的两条直线。

计算异面直线之间的距离是很有实际意义的，比如在计算机图形学中，可以用来确定两条直线之间的最短距离，以便进行图像渲染和碰撞检测等操作。

我们需要明确两条异面直线的定义和特点。

异面直线可以由它们的方程表示，一般形式为：L1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0L2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0其中，A1、B1、C1和D1是L1的系数，A2、B2、C2和D2是L2的系数。

对于异面直线，它们的方向向量不平行，这意味着它们在三维空间中不会相交或重合。

接下来，我们介绍一种常用的方法来计算异面直线之间的距离，即利用点到直线的距离公式。

假设我们要计算L1上的一点P1到L2的距离，可以通过以下步骤进行计算：步骤1：首先，我们需要找到L2上离P1最近的点P2。

我们可以利用向量和点的关系来求解。

将L2的方程代入P1的坐标，得到方程组：A2x + B2y + C2z + D2 = 0x = x1y = y1z = z1通过求解这个方程组，我们可以得到P2的坐标。

步骤2：计算P1和P2之间的距离。

我们可以利用点到直线的距离公式来计算，即：d = |(P2 - P1)·n| / |n|其中，·表示向量的点积运算，n是L2的方向向量。

通过这种方法，我们可以计算出异面直线L1和L2之间的距离。

需要注意的是，如果两条直线平行或重合，它们之间的距离是不存在的。

除了上述方法，还有其他一些求解异面直线距离的方法，比如利用向量的投影和参数方程等。

这些方法各有特点，可以根据具体的情况选择使用。

总结起来，异面直线距离的计算是一项基础的几何计算，对于三维空间中的各种问题都有着重要的应用价值。

通过合适的方法，我们可以准确地计算出异面直线之间的距离，从而解决实际问题。

希望本文可以对读者理解异面直线距离的计算方法有所帮助。

空间异面直线距离公式

空间异面直线距离公式一、引言在数学中，空间异面直线距离公式是一个重要的概念。

它可以帮助我们计算两条异面直线之间的距离，是解决空间几何问题的重要工具。

本文将详细介绍空间异面直线距离公式的定义、推导和应用。

二、定义空间异面直线是指不在同一个平面内的两条直线。

它们的交点称为异面直线的垂足。

空间异面直线距离公式是指计算两条异面直线之间距离的公式。

三、推导假设有两条异面直线L1和L2，它们的方程分别为：L1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0L2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0其中，A1、B1、C1、D1、A2、B2、C2、D2均为常数。

我们可以通过以下步骤推导出空间异面直线距离公式：1. 求出两条直线的方向向量L1的方向向量为(a1, b1, c1)，L2的方向向量为(a2, b2, c2)。

2. 求出两条直线的法向量L1的法向量为(A1, B1, C1)，L2的法向量为(A2, B2, C2)。

3. 求出两条直线的垂足设两条直线的垂足为P，P点坐标为(x0, y0, z0)。

由于P点在L1上，所以有：A1x0 + B1y0 + C1z0 + D1 = 0同理，由于P点在L2上，所以有：A2x0 + B2y0 + C2z0 + D2 = 0解得：x0 = (B1C2D2 - B2C1D1) / (A1B2 - A2B1)y0 = (A2C1D1 - A1C2D2) / (A1B2 - A2B1)z0 = (A1B2D2 - A2B1D1) / (A1B2 - A2B1)4. 求出两条直线之间的距离两条直线之间的距离为P点到L1和L2的距离之和。

向量法求异面直线距离

向量法求异面直线距离异面直线是指在三维空间中不在同一平面上的两条直线。

可以使用向量法来求异面直线间的距离。

首先，我们需要确定两条异面直线的方程。

一般情况下，异面直线的方程可以写成以下形式：L1: r = a1 + t1 d1L2: r = a2 + t2 d2其中，a1和a2是两条直线上的点，d1和d2分别是两条直线的方向向量，t1和t2是参数。

我们可以通过两点法或点向式法求得两条直线上的点。

具体方法如下：两点法：已知异面直线上两个点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)，则可以得到两条直线的参数式方程：L1: r = P1 + t1 (P2 - P1)L2: r = P2 + t2 (P1 - P2)点向式法：已知异面直线上一点P(x0,y0,z0)和方向向量d(a,b,c)，则可以得到两条直线的参数式方程：L1: r = P + t1 dL2: r = P + t2 d'其中，d'为L2的方向向量。

接下来，需要计算两条直线之间的距离。

我们知道，两条平行直线的距离为它们之间任意两个点之间的距离。

因此，我们可以通过计算两条直线上任意两个点之间的距离来求得异面直线的距离。

假设我们在L1上取一个点Q1(x1,y1,z1)，在L2上取一个点Q2(x2,y2,z2)。

我们可以通过以下公式计算两点之间的距离d：d = | (Q2 - Q1) · n | / | n |其中，“·”表示点乘，n为两个方向向量的叉积。

对于计算两个向量的叉积，我们可以使用行列式的方法：n = | i j k || d1x d1y d1z || d2x d2y d2z |其中，i、j、k为单位向量，d1和d2分别为L1和L2的方向向量。

总结一下求异面直线距离的步骤：1.求出两条异面直线的参数式方程；2.在两条直线上各自任意取一点，计算它们之间的距离；3.求出两个方向向量的叉积，并计算出它的模长；4.将步骤2和步骤3的结果代入公式中，求得异面直线的距离。

两异面直线之间的距离公式

两异面直线之间的距离公式
两异面直线的距离公式是d=【AB*n】/【n】（AB表示异面直线任意2点的连线，n表示法向量）。

异面直线的距离，确定和计算两条异面直线间的距离,关键在于实现两个转化：
一是转化为一条异面直线和另一条异面直线所在而与它平行的平面之间的距离。

二是转化为两条异面直线分别所在的两个平行平面之间的距离。

拓展资料
和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段。

两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离。

定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。

定理二：两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。

异面直线间的距离(全部方法详细例题)

异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。

常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。

常用方法有： 1、定义法2、垂直平面法（转化为线面距）3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。

例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。

思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。

在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。

即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。

2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。

从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。

例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。

思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。

求异面直线之间距离的四个技巧

异面直线是既不平行也不相交的两条直线.这组直线的空间位置关系较为特殊，我们往往很难直接求得异面直线之间的距离，需采用一些方法和技巧，如平移法、向量法、等体积法、构造函数法等，才能使问题获解.下面结合实例，谈一谈求异面直线之间距离的四个技巧.一、平移法求异面直线之间的距离，要首先把握异面直线之间距离的定义和两直线之间的位置关系.异面直线之间的距离是指这两直线之间的公垂线的长，而公垂线必须同时垂直于两条异面直线.可采用平移法，通过平移其中的一条直线a ，使其与另一条直线b 相交，这样便构造出一个平面，过直线a 上的一点作这个平面的垂线，该线即为两条异面直线的公垂线，求得公垂线的长即可求得两条异面直线之间的距离.例1.如图1所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求异面直线A 1D 和AC 之间的距离.解：连接BD 1、BD 、AD 1，设BD 与AC 的交点为M ，AN 与A 1D 的交点为F ，根据三垂线定理可知：BD 1⊥A 1D ，BD 1⊥AC ，因为N 为DD 1的中点，由三角形中位线的性质可知BD 1∥MN ,MN ∥EF ,即BD 1∥EF ，可知EF 即为异面直线A 1D 和AC 的公垂线，因为BD 1=3a ，所以MN.又因为N 为DD 1的中点，且AA 1∥DN ，则△AA 1F ∽△NDF ，所以AF NF =AA 1ND=2，AF NF =23.因为EF ∥MN ，则EF MN =AF AN =23，可知EF =23MN=，因此异面直线A 1D 和AC之间的距离为.采用平移法解题，需仔细观察立体几何图形中的点、线、面之间的位置关系，尤其要关注线和面之间的垂直、平行关系，通过平移直线将原本看起来毫无联系的两条异面直线关联起来，再利用平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式、三角形中位线的性质等来求公垂线的长.图1图2二、向量法对于易于建立空间直角坐标系的立体几何问题，可采用向量法来求解.在求异面直线之间的距离时，可分别求得两条直线的方向向量a 、b ，并设出两条异面的公垂线，然后根据向量之间的垂直关系建立方程组，通过解方程求得公垂线的方向向量，最后求其模长，即可求得异面直线之间的距离.例2.如图2所示，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，其对角线为AC ′，点M 、N 分别为棱BB ′和B ′C ′的中点，MN 的中点为P ，求异面直线DP 与AC ′之间的距离.解：如图2所示，以D ′为原点，D ′C ′为x 轴、D ′A ′为y 轴、D ′D 为z 轴建立空间直角坐标系，设DP 与AC ′的公垂线为QR ，分别与DP 、AC ′相交于点Q 、R ，根据定比分点公式可得 OR =sOA +(1-s ) OC ′， OQ =t OP +(1-s ) OD ，0<s <1，0<t <1，则A (0,1,1)，C ′(1,0,0)，P (1,34,14)，D (0,0,1)，则R (1-s ,s ,s )，Q (t ,34t ,1-34t ).因为 RQ ⊥AC ′且 RQ ⊥ DP ，所以ìíîïï3s +t -2=0,178t +s -74=0,解得ìíîïïs =4086,s =5286,可得R (4686,4086,4086)，Q (5286,3986,4786)，则RQ 的模长为，即异面直线DP 与AC ′之间的距离为.相较于常规方法，向量法更加简单.在运用向量法解题时，同学们需熟记一些向量的运算法则，如向量的加法、减法，向量的数量积公式、模的公式.探索探索与与研研究究49三、等体积法等体积法一般适用于求解三棱锥问题，是指转换三棱锥的底面和高，根据同一个三棱锥或两个三棱锥的体积相等建立关系式，求得问题的答案.在求异面直线之间的距离时，可将异面直线置于三棱锥中，采用等体积法求三棱锥的高，进而求得两条异面的公垂线的长.在解题时，同学们要善于寻找体积相等的三棱锥，或易于计算体积的三棱锥的底面和高，建立等价关系式.例3.如图3所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为BC 的中点，求直线ED 1与直线CC1之间的距离.图3图4解：如图4所示，过点E 作EE 1∥CC 1，连接D 1E 1.已知点E 为BC 的中点，则点E 1为B 1C 1的中点，所以B 1E 1=E 1C 1.因为EE 1⊂平面D 1EE 1，EE 1∥CC 1，则CC 1∥平面D 1EE 1，则异面直线ED 1与CC 1之间的距离即为直线CC 1到平面D 1EE 1的距离，也就是点C 1到平面D 1EE 1的距离.设点C 1到平面D 1EE 1的距离为a ，由V C 1-D 1EE 1=V E -C 1D 1E 1可得：13S △D 1EE 1·a =13S △C 1D 1E1·EE 1.因为CC 1⊥A 1B 1C 1D 1，EE 1⊥A 1B 1C 1D 1，且D 1E 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则EE 1⊥D 1E 1，S △D 1EE 1=12×EE 1×D 1E 1=5.因为正方体的棱长为2，则S △C 1D 1E 1=1，EE 1=2，故C 1到平面D 1EE 1的距离a =S △C 1D 1E 1·EE 1S △D 1EE1=1×25=则直线ED 1与直线CC1之间的距离为.运用该等体积法求异面直线之间的距离，可省去找公垂线的麻烦，且简化了运算的过程.四、函数构造法我们知道，公垂线是两条异面直线之间的最小距离.若很容易找到异面之间的公垂线，但无法快速求得公垂线的长，或无法找到公垂线，可根据勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式等求得公垂线的表达式，或两异面直线上任意两点之间的距离的表达式，然后将其构造成函数模型，通过研究函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得异面直线之间的距离.例4.如图5所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，A 1B 和D 1B 1为正方形ABA 1B 1和正方形A 1B 1C 1D 1的对角线，求异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离.解：在A 1B 上任取一点M ，作MP ⊥A 1B 1于点P ，作NP ⊥A 1B 1于点P ，与D 1B 1交于点N .根据三垂线定理可知MN ⊥D 1B 1.设A 1M =x ，在等腰△A 1PM 中，MP =A 1P ，因为A 1B 1=a ，PB 1=a -，PN =(a )sin 45°=12(2a -x )，由于平面ABA 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以PN ⊥PM ，在Rt△PMN 中，MN =PM 2+PN 2=函数y =为复合函数，与二次函数y =3(x -)2+43a 2的单调性一致，由二次函数的性质可知当x 时，函数的最小值为，所以异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离为.通过添加辅助线，构造出垂直于D 1B 1的平面PNM ，只要在平面PNM 中找到一条直线垂直于A 1B ，那么该直线即是异面直线A 1B 和D 1B 1的公垂线.在Rt△PMN 中，根据勾股定理建立关于x 的关系式，求得公垂线的表达式，然后将其看作关于x 的函数式，通过分析函数的单调性求得函数的最小值，即可解题.可见，求异面直线之间的距离，关键是根据几何图形的特点和性质，以及点、线、面的位置关系找到异面直线的公垂线，并求得其长度.同学们可根据题目的条件，灵活选用上述四种方法.（作者单位：江苏省昆山文峰高级中学）图5探索探索与与研研究究50。

求异面直线距离的几种方法

求异面直线距离的几种方法求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进行转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这部分知识会有一定的帮助.一、平移法解题思路若能找到一条直线c，使c与异面直线a 和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，则c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长.例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC和A1D间的距离.解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.由平面几何知识，有AQQN=21，则AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.（请同学们完成）二、线面垂直法解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且a⊥α于O，过O在α内作OP⊥b于P，则OP的长为异面直线a、b间的距离.例2如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.解析∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.过O1做O1E⊥A1C于E，则O1E是异面直线B1D1与A1C的距离.∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，∴O1E=A1O1?CC1A1C=22a?a3a=66a，即B1D1与A1C的距离为66a.三、面面平行法解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面α、β，使α∥β，那么α、β的距离就是a、b的距离.例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.解析如图3，G为AA1的中点.∵GF∥A1D，GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG.∵A1D⊥AD1，A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D 与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离.故异面直线EF与DB1的距离为：MN=14AD1=24a.四、转化法解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，则异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转化思想，是求异面直线间距离的常用方法.例4如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.M、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求异面直线AM和DN间的距离.解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1与DN一定相交在一个平面内，从而有AM∥平面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到平面A1DC1的距离，进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离.设所求的距离为d，运用体积法V A-A1DC1=VC1-A1AD，即13d?S△A1DC1=13a?S△A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=a?a2232a2=33a.五、公式法解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求.公式1如图5，三棱锥A-BCD中，若AB和CD 所成的角为θ，三棱锥A-BCD的体积为V A-BCD，则异面直线AB与CD之间的距离d=6V A-BCDAB?CDsin θ.图5图6公式2已知平面α∩β=a，二面角α-a-β的平面角为θ，如图6.直线b与平面α、β分别相交于A、B，点A、B到棱a的距离分别为m、n.则异面直线a和b之间的距离d=mnsinθm2+n2-2mncosθ.以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同学可以自己证明一下.例5如图7，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.P是B1C1的中点，求AC与BP的距离.解法1运用公式1来求.设AC和BP所成的角为θ，取A1D1的中点为N，连结AN，则∠CAN=θ.不难求出sin∠CAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a?12a2=16a3.d=6VP-ABCAC?BPsinθ=6×a362a?5a2?31010=23a.即AC与PB之间的距离为23a.解法2运用公式2来求.如图8，容易求出点B到AC的距离为m=2a2，点P到AC的距离n=32a4.设二面角P-AC-B的平面角为θ，用面积的射影公式容易求得cosθ=13，从而sinθ=223.d=mnsinθm2+n2-2mncosθ，代入已知数值得d=23a，即AC与PB之间的距离为23a.练习S-ABC为正四面体，棱长为a，求不相邻的两条棱AC、SB的距离.（提示：过B做BC′AC，连接AC′、SC′、CC′，作SO⊥面ABC.AC和SB 的距离就是三棱锥C - SBC′的高h=22a）.（收稿日期：2015-07-09）【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】。

浅谈立体几何异面直线的距离

浅谈立体几何异面直线的距离
立体几何异面直线的距离是一个关于立体几何的重要概念，在数学和工程领域应用广泛。

它是两条异面直线之间的最短距离，这条最短距离称为异面直线距离。

在三维空间中，异面直线可以从一系列不同的角度来定义，例如异面直线、共面直线、线段之间的距离等等。

异面直线距离可以用两种不同的方式来表示：一种是以投影的方式表示，另一种是以方向向量的方式表示。

投影是把一个向量或者一条直线从一种坐标系统映射到另一种坐标系统的过程，它可以让我们非常清晰的观察到直线的距离。

方向向量的方式则是表示两条异面直线通过一个方向向量来表示，这个方向向量表示了两条异面直线之间的最短距离。

异面直线距离是在计算机图形学中非常重要的一类算法，它可以用来测量物体的距离，也可以用来确定物体的位置。

例如，在三维空间的一个大场景中，我们需要确定一个物体的位置，就需要用异面直线距离来测量两个物体之间的最短距离，然后再根据这个最短距离来确定物体的位置。

异面直线距离也可以用来求解一些几何问题，例如求解空间中两个平面之间的最短距离、两条曲线之间的最短距离等等。

此外，异面直线距离也被广泛应用于计算机图像处理，比如图像的灰度匹配、边缘检测等等。

它也可以用来计算一些高级的几何结构，比如平面交叉检测、曲面交叉检测等等。

总而言之，异面直线距离是一个重要的几何概念，它在数学和工
程领域有着广泛的应用。

它可以用来解决各种问题，比如计算物体之间的最短距离、计算空间几何结构、图像处理等等。

因此，异面直线距离是一个重要的几何概念，研究它有重要的意义，在工程领域的应用能够提高工程的质量和效率。

异面直线间的距离(全部方法详细例题).pdf

CD⊥AD,C D⊥DE,即 C D⊥平面ADE,过D作 DH⊥AE于 H,
可得 D H⊥AE,DH⊥CD,所以DH是异面直线 A E、CD的公垂
b 上一点 A 作a 的平行线
思路分析： B F、AE两条异面直线分别在直二面角
P-AB-Q 是直二面角,
则y z AC 14
最小值即可。

设A M=x
a 。

当x=
2 5 公式法异面直线间距离公式：d= AB m n 2mncos
3
AO ⊥OO /,BO /⊥OO /,又 OO /是圆柱的高, AB=5 ,所以AB 与OO /之间的距离为
BD 的中点。

求异面直线 D M 、EN 间的距离。

内,转化为 BC 1、QN 的距离, 显然,。

所以异面直线 D M EN
QN 求异面直线 DA
思路分析：此题是求异面直线的距离问题,这个距离可作是
例 8 已知： SA ⊥平面 ABCD, ∠DAB= ∠ABC=90 ゜,
SA=AB=BC=a,AD=2a ,B
∴点 A 到面SCD的距离为SCD
的距离为
而以S为顶点,△ABD为底面的三棱锥的体积为
4。

异面直线间的距离(全部方法详细例题)

异面直线间得距离求异面直线之间得距离就是立体几何重、难点之一。

常有利用图形性质,直接找出该公垂线,然后求解;或者通过空间图形性质,将异面直线距离转化为直线与其平行平面间得距离,或转化为分别过两异面直线得平行平面间得距离,或转为求一元二次函数得最值问题,或用等体积变换得方法来解。

常用方法有: 1、定义法2、垂直平面法(转化为线面距)3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1 定义法就就是先作出这两条异面直线得公垂线,然后求出公垂线得长,即异面直线之间得距离。

例1 已知:边长a 为得两个正方形ABCD 与CDEF 成1200得二面角,求异面直线CD 与AE 间得距离。

思路分析:由四边形ABCD 与CDEF 就是正方形,得CD ⊥AD,CD ⊥DE,即CD ⊥平面ADE,过D 作DH ⊥AE 于H,可得DH ⊥AE,DH ⊥CD,所以DH 就是异面直线AE 、CD 得公垂线。

在⊿ADE 中,∠ADE=1200,AD=DE=a,DH=。

即异面直线CD 与AE间得距离为。

2 垂直平面法:转化为线面距离,若a 、b 就是两条异面直线,过b 上一点A 作a 得平行线a /,记a /与b 确定得平面α。

从而,异面直线a 、b 间得距离等于线面a 、α间得距离。

例1 如图,BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 得两个面内,与棱分别成α、β角,又它们与棱得交点间得距离为d,求两条异面直线BF 、AE 间得距离。

思路分析:BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 得两个面内,∠EAB=α,∠FAB=β,AB=d,在平面Q 内,过B 作BH ‖AE,将异面直线BF 、AE 间得距离转化为AE 与平面BCD 间得距离,即为A 到平面BCD 间得距离,又因二面角P-AB-Q 就是直二面角,过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C,即AC ⊥平面ABD,过A 作AD ⊥BD 交于D,连结CD 。

向量法求异面直线距离

向量法求异面直线距离异面直线的距离可以用向量法计算。

具体步骤如下：1. 以一条直线为基准，设其上有一点Q，再设另一条直线上一点P，连接PQ。

2. 计算PQ向量的模长，即为所求异面直线的距离。

PQ向量可以用以下公式计算：PQ = QP1 - QP2其中QP1和QP2分别为点Q到两条直线的向量。

向量的计算公式为：QP1 = PQ1 = (x1, y1, z1) - QQP2 = PQ2 = (x2, y2, z2) - Q其中Q为第一条直线上任意一点，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别为第一条直线和第二条直线上与点Q最近的点的坐标。

将向量QP1和QP2带入PQ向量公式，即可得到异面直线的距离。

示例：设有两条直线L1和L2，分别由以下点确定：L1：A(1, 2, 3)、B(4, 5, 6)L2：C(7, 8, 9)、D(10, 11, 12)求L1和L2的距离。

首先，取L1上一点Q为A，计算向量QP1：QP1 = (x1, y1, z1) - Q = (4, 5, 6) - (1, 2, 3) = (3, 3, 3)再计算向量QP2：QP2 = (x2, y2, z2) - Q = (10, 11, 12) - (1, 2, 3) = (9, 9, 9)将向量QP1和QP2代入PQ向量公式，即可得到异面直线的距离：PQ = QP1 - QP2 = (3, 3, 3) - (9, 9, 9) = (-6, -6, -6)|PQ| = √((-6)² + (-6)² + (-6)²) = √(108) ≈ 10.39因此，L1和L2的距离约为10.39。

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F b n a
d
EF n n
E
例 2：
如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1，D,E分别是OA,BC 的中点，连结DE。（1）求证：DE是OA和BC的公垂线。
D O
（2）求OA和BC间的距离。
A E B C
例3：
正方体ABCD——A1B1C1D1中，P为AB中点，Q为 BC中点，AA1=a, O为正方形ABCD的中心，求PQ 与C1O间的距离。
D1 A1 面角α -l-β 的大小是1200，A,C l , B , D
且AB⊥l,CD⊥l，AB=CD=a, AC=2a, 求（1）BD的长；（2）BD和AC所成角的余弦值；（3）BD和AC的距离。
B A l α C D β
作业：课本P51
距离（二）
异面直线的距离
已知异面直线AA1和BC，直线AB与异面直线AA1，BC都垂直相交。
A1
和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。
C A B
思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？
有多少条公垂线？
定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。
结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。
A 练习：证明定理二 B D b C a
两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离
例1：课本P50 例2
A’ d m l
E
a
a’ θ
A n
F
b
d l m n 2mncos
2 2 2
求异面直线的距离的常用方法：
（1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
a
（2）转化为求线面间的距离。
a//平面α
b
α
b
（3）转化为求平行平面间的距离。
a//平面β , b//平面α
α
β b
a
a
b
（2），（3）可进一步转化为点到平面的距离。
（4）用模型公式
d l m n 2mncos
2 2 2
（5）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长
存在性：直线AB就是异面直线a,b的公垂线
A’
A β a c
Q B
M
a’
B’ b
唯一性：
α
P
假如还有直线A’B’也是a,b的公垂线，则
A’B’⊥a A’B’⊥b a’//a A’B’⊥a’ 所以 A’B’⊥平面α 又AB ⊥平面α AB//A’B’ 则 a,b共面矛盾！
定理二：两条异面直线的公垂线段长是分别连
3,4,5,8