求异面直线之间距离的常用策略

求异面直线之间距离的常用策略

求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 1 定义法

就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。 例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。

思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得

CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂

线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200

，AD=DE=a ，DH=2a 。即异面直线CD 与AE 间的距离为2

a

。

2 转化为线面距离

若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。

例2 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。

思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作

AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD

交于D ，连结CD 。设A 到平面BCD 的距离为h 。由体积法V A-BCD =V C-ABD ， 得 h=

β

αβα2

2

cos cos 1sin sin -d

3转化为面面距离

若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈β。求a 、b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。

例3已知：三棱锥S-ABC 中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AD 与BC 的距离。

思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体， 设长方形的长、宽、高分别为x 、y 、z ，

则⎪⎩

⎪⎨⎧==+==+==+22222

2222222131415BC x z AC z y AB y x

解得x=3，y=2，z=1。由于平面SA ‖平面BC ，平面SA 、平面BC 间的距离是2，所以异面直线AD 与BC 的距离是2。

4 代数求极值法

根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。

例4 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，

求A 1B 与D 1B 1的距离。

思路分析：在A 1B 上任取一点M ，作

MP ⊥A 1B 1，PN ⊥B 1D 1，则MN ⊥B 1D 1，只要求

出MN 的最小值即可。设A 1M=x ，则MP=

2

2x ，

A 1P=22x 。所以P

B 1=a –22x ，PN=（a –22x ）

sin450=

2

1

（2a –x ），MN=22PN PM + =

222

23

2)32(23a x +-。当x=a 32时，MN min =a 33。 5公式法

异面直线间距离公式： d=

ϕcos 2222mn n m AB -++

例5 已知圆柱的底面半径为3，高为4，A 、B 两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB 与轴OO /之间的距离。

思路分析：在圆柱底面上AO ⊥OO /，BO /⊥OO /，又OO /是圆柱的高，AB=5，所以d=

2

3

3。即异面

1

A C

C A

B

直线AB 与轴OO /之间的距离为

2

3

3。 6 射影法

将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。

例6 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=1，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，E 是BD 的中点。求异面直线D 1M 、EN 间的距离。

思路分析：两条异面直线比较难转化为

线面、面面距离时，可采用射影到同一平面

内，把异面直线D 1M 、EN 射影到同一平面

BC 1内，转化为BC 1、QN 的距离，显然，

易知BC 1、QN 的距离为

42。所以异面直

线D 1M 、EN 间的距离为4

2

。

1

N

C