求异面直线之间距离的常用策略
求异面直线距离的常用方法
求异面直线距离的常用方法
1、辅助平面法
（1）线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况。
若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度。
（2）线面平行法，用于一般情况。
其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离
（3）面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面（2）介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离。
2、等积法
在一般情况下，求异面直线间的距离可转化为
（1）一异面直线与过另一异面直线且平行于第一条异面直线的平面之间的距离。
（2）分别过两异面直线的两个平行平面之间的距离。
上述两种距离总是通过直线上（或平面上）一点到另一平面之间的距离求出，除直接求出外，一般都要通过等面积计算再求高的办法来求得的。
异面直线的距离向量法
异面直线的距离向量法异面直线的距离向量法是一种通过向量运算来求解异面直线之间距离的方法。
以下是具体的步骤：首先，设两条异面直线分别由向量a和b确定，且这两条异面直线的公垂线的一个方向向量为n。
公垂线与两直线分别交于点A和B。
为了找到点A和B，我们可以在两条直线上分别任取一点P和Q。
然后，通过向量运算，我们可以得到向量PQ。
接下来，我们需要计算向量PQ在公垂线方向向量n上的投影。
这个投影的长度就是异面直线之间的距离，记作d。
具体地，投影长度d可以通过以下公式计算：d=∣n∣∣PQ⋅n∣其中，PQ⋅n表示向量PQ和n的点积，∣n∣表示向量n的模长。
然而，需要注意的是，上述公式中的n应该是单位向量，即模长为1的向量。
如果n不是单位向量，我们需要先将其单位化。
单位化向量的公式为：n unit=∣n∣n然后，将单位化后的n unit代入上述公式中计算距离d。
但这里有一个问题：上述解释中提到的公式实际上并不适用于计算异面直线之间的距离。
正确的做法应该是找到两条异面直线的公垂线，并计算这条公垂线的长度。
然而，直接通过向量运算找到公垂线并计算其长度是比较复杂的。
一种更实用的方法是使用以下公式：d=∣a×b∣∣(a×b)⋅c∣其中，a和b是两条异面直线上的两个方向向量（可以通过直线上的两点相减得到），c是连接两条异面直线上任意两点的向量（即上述的PQ），而a×b表示a和b的叉积，其结果是一个与a和b都垂直的向量，也就是公垂线的方向向量。
这个公式的几何意义是计算向量c在公垂线方向上的投影长度，即异面直线之间的距离。
但请注意，这个公式中的分母∣a×b∣实际上是公垂线的方向向量的模长，而不是公垂线本身的长度。
因此，这个公式实际上并不直接给出异面直线之间的距离。
正确的做法应该是先通过其他方法（如几何方法或优化方法）找到公垂线与两条异面直线的交点，然后计算这两点之间的距离。
但在实际应用中，由于很难找到公垂线与两条异面直线的确切交点位置，因此通常使用近似方法或数值方法来估计异面直线之间的距离。
向量法求异面直线所成的距离
向量法求异面直线所成的距离
异面直线是指不在同一平面上的两条直线。
求解这两条异面直线所成的距离，可以使用向量法。
向量法可以通过向量的数量积和向量的模长求得两条直线之间的距离。
下面我们通过实例来详细说明向量法如何求解两条异面直线之间的距离。
假设有两条异面直线，它们的方程分别为：
直线1:
$x = 3 + 2t$
$y = 1 - t$
$z = -2 + 3t$
首先我们需要确定两条直线上的任意两个点，然后用这两个点之间的连线构成的向量来表示两条直线之间的直线向量。
所以我们任意选择直线1上的两个点 $A(3,1,-2)$ 和$B(5,-1,4)$ ，计算它们之间的向量：
$\vec{AB} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ -1 - 1 \\ 4 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$
同样，我们任意选择直线2上的两个点 $C(1,2,5)$ 和 $D(5,6,15)$，计算它们之间的向量：
然后，我们需要求解两条直线之间的最短距离，也就是求解这两个向量的数量积：
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 2 \times 4 + (-2) \times 4 + 6 \times 10 = 52$
接下来，我们需要计算两个向量的模长：
因此，两条直线之间的距离为：
因此，两条异面直线所成的距离为 $\frac{13}{19}$。
求异面直线的距离的各种方法
异面直线的距离确定和计算两条异面直线间的距离，关键在于实现两个转化：一是转化为一条异面直线和另一条异面直线所在而与它平行的平面之间的距离；二是转化为两条异面直线分别所在的两个平行平面之间的距离。
1．直接法根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。
例：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．解：作SO⊥面ABCD于O，则点O是正方形ABCD的中心．∵SO⊥AC，BO⊥AC，∴AC⊥面SOB．在△SOB中，作OH⊥SB于H①，根据①、②可知OH是AC与SB的距离．∵OH·SB＝SO·OB，2．转化法把所求的异面直线间的距离转化为线面间的距离或转化为面面间的距离．例：在等边圆锥(轴截面为等边三角形的圆锥叫做等边圆锥)S-ABC中，母线长为a，底面圆的直径为AC，∠CAB＝60°．求：异面直线SA与BC的距离．解：如图L2-17，易知SA与BC不垂直，可考虑过SA作一个平面与BC平行，转化为求直线与平面间的距离．作AD∥BC交底面圆⊙O于D点．∵BC∥AD，∴BC∥平面SAD，取AD、BC的中点E、F，则平面ADS⊥平面SEF，过F点作FH⊥SE于H，则FH⊥平面SAD．所以FH为直线BC与平面SAD间的距离，也就是异面直线SA与BC 的距离．在△SEF中，由FH·SE＝EF·SO，3．等积法不用作出异面直线间的距离，利用同一个几何体的体积为定值，布列方程来求异面直线间的距离．例如上面的例2，在求SA与BC间的距离时，我们转化为求平行的BC与平面SAD间的距离，可由同一个三棱锥换取不同的底面来计算．设BC与平面SAD间的距离为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为4．极值法不必作出异面直线间的距离，利用异面直线上两点间距离的最小值的性质，适当列出函数式，求此函数的最小值．还是以例2来说，在求异面直线SA与BC间的距离时，可先在SA任取一点D，作DE⊥直径AC于E，则DE⊥底面圆．再作EF⊥BC于F，则有DF⊥BC，于是DF的最小值就是SA与BC间的距离．宏志网校俊杰。
空间向量求异面直线的距离方法
空间向量求异面直线的距离方法1. 直接法！嘿，你看，就像你要直接找到两个异面直线之间最短的那条线一样，非常直白地去求啊。
比如正方体里的两条异面棱，你就直观地去找到它们之间最短距离的那个线段。
2. 转化法呀！哎呀，这就像你走不通一条路，那咱就换条路走嘛。
把异面直线的距离转化成别的容易求的距离呀。
比如在三棱锥里，把异面直线的距离转化成求某个面到另一条线的距离。
3. 向量法呗！哇塞，这可厉害啦。
利用向量来搞定异面直线的距离。
就像有了个神奇的工具！比如在一个复杂的几何体中，用向量来算算异面直线的距离，超酷的好不好！4. 定义法呢！这不就跟你找东西按照规定的方法去找一样嘛。
按照异面直线距离的定义去求解呀。
就像找一个特定的宝藏，按照线索去找。
比如在一个棱柱里，根据定义慢慢找异面直线的距离。
5. 等体积法呀！嘿呀，这就好像不同的方法可以解决同一个问题一样。
通过等体积来求出异面直线的距离哟。
比如在一个四面体中，通过等体积的巧妙变换来求出需要的距离。
6. 最值法啦！想想看呀，就跟我们追求最好的结果一样。
找到某个关联量的最值来得到异面直线的距离。
像在一个特殊的图形中，通过巧妙地找最值来求出异面直线的距离。
7. 射影法哟！哇，这就像影子一样，通过它来找到距离呢。
比如在一个有特点的几何体中，利用射影的原理来求异面直线的距离。
8. 公式法咯！简单直接啊，用专门的公式来算。
就好像有个现成的答案等你用一样。
比如在某些典型的模型中，用适用的公式快速求出异面直线的距离。
9. 拼凑法呀！哈哈，就像是把零碎的东西拼凑起来一样。
通过巧妙地拼凑来找到异面直线的距离呢。
比如在一个不规则的几何体中，一点点拼凑出求解异面直线距离的条件。
我的观点结论是：这些方法各有特点，我们要根据具体情况灵活运用，总能找到异面直线的距离呀！。
计算异面直线距离的几种方法
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计算异面直线距离的几种方法
作者：吐尔逊·阿布都卡地尔买买提依明·阿木提
来源：《读写算》2013年第03期
摘要：在本文中主要介绍计算异面直线距离的垂面法，平移法，公式法，转化法，极值法等方法。
关键词：异面直线距离
计算异面直线的距离是高考辅导中的一个难点，它在高考辅导中又很重要的应用。
我在本文中对我在本文中讨论异面直线距离的概念有关的问题，主要介绍计算异面直线距离的几种方法。
1.垂面法
其想路是若直线a和b是异面直线，过b（或a）作平面a，使得
解：延长B1C1到N，使B1C1=C1N，连接D1N，MN。
容易得到D1N∥A1C1，而
A1C1∥AC，故D1N∥AC，∴AC∥平面D1MN。
因此，异面直线AC和D1M的距离就是直线AC到平面D1MN的距离，从而，只需求出点C到平面D1MN的距离即可，设这个距离为d，我们用体积法来求。
；故异面直线AC和D1M的距离为；
5.总结
本文介绍的是常用的方法，这些方法有各自的特点和优越性，当我们计算异面直线距离适当地应用上述的方法，给我们带来一些方便和特殊效果。
异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)
异面直线间的距离求异面直线之间距离的常用策略： 求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有： 1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
向量法求异面直线的距离公式
向量法求异面直线的距离公式
异面直线之间的距离公式可以通过向量法来求解。
假设有两条异面直线，它们的方向向量分别为a和a，直线上的一点分别为a和a。
则异面直线的距离可以通过以下步骤来计算：
1.首先，我们计算两条直线上的一点，记为aa和aa，它们为两条直线的最近点。
2.然后，我们计算直线上的向量，记为a=aa−aa，它表示从一条直线上的点到另一条直线上的点的向量。
3.最后，我们计算异面直线的距离，记为a，它等于向量a在两条直线的法向量上的投影长度。
根据以上步骤，异面直线的距离公式可以表示为：
a=|a⋅(a×a)|/|a×a|
其中，⋅表示向量的内积，×表示向量的叉积，|a⋅(a×a)|表示向量a在向量(a×a)上的投影长度，|a×a|表示向量(a×a)的模长。
需要注意的是，如果向量a和a不垂直，则上述公式给出的结果为两条直线之间的最短距离。
如果向量a和a垂直，则它们之间的夹角为a/2，此时两条直线之间的距离为0。
这就是使用向量法求解异面直线的距离公式。
通过计算两条直线之间的最短距离，我们可以更好地理解两条异面直线之间的关系。
如何求异面直线间的距离
。
解 答 过程 由读 者 自 己 写 出
)
作辅 助平 面 法
1 2 ) 过 两 异 面 直 线 中一 条 直 线可 以 作一个 平 面和 另 一 条直 线平 行 ) 作 两个 互相平 行 的平 面 分 别 过 异面 直 线 的两 条直线 可 以
,
。 。
异面 直线有 如下 两个 性 质
根据上 述 两个 性质 行 或 面 面平 行 间 的距 离 例
,
然 后很 据 条件 求 此 公垂 线 段 的长
,
。
一
般来 说
例 求
,
,
当 两 异 面 直线 互 相垂 直 时或其 中一 条直线 垂直 于过另 一 直线 的平 面时
1
、
用 定 义法 直
接作 出 其 公垂 线 段进 行 求 解 较 为 快捷 方 便
a 棱 长 为 的正方 体 A :
BCD
:
A
:
C 与 B D 间 的距 离
,
通 过构 造一 个 四 面体
,
,
使 异面 直线 中 的一 条值 线
。
在 某 个面上 而 另 一 条平 行这个 平 面 且 过这 个 面所 对 的顶点 这样 把 求 异 面 道线 间 的距 离转 化 为 求 这 个 面 为底 面 的四 面体 的高 这 种 解 法 能 使一 些 难度 较大 的题 目得到 奇迹般 的结果
//DC
;
。
,
刀 平面 C
E心
,
八
A B , D: 与
,
、
色
故
B D 与 B C 间 的距 离 转化 为 平
:
;
,
;
面
平面 C 证明
异面直线距离的求解方法
异面直线距离的求解方法摘要：在数学教学中，充分运用数学知识的解题功能，有利于学生的全面发展，培养学生分析问题解决问题的能力，从而挖掘学生更深层次的学习潜能。
本文从四个方面探讨了如何根据各种情形运用不同的方法求异面直线的距离，有助于教学难点的突破，可以引导学生更新解题思路，提高学生的思维能力。
关键词：异面直线距离公垂线法最值法线面平行法体积法在立体几何学习中，求异面直线之间的距离是学习中的难点，因此掌握几种求异面直线距离的常用方法是非常必要的。
一、公垂线法找出或作出两异面直线的公垂线然后进行计算是求异面直线之间的距离的首要方法。
由于两条异面直线的公垂线唯一存在，因此有时找出或作出其公垂线比较困难，但是如果两异面直线中的一条在另一条所在的垂面内时，它们之间的公垂线往往比较容易作出。
例1：边长为a的正方形的两条对角线AC，BD交于O，以BD为折痕将正方形折成空间图形，这时若△ACD为等边三角形，求异面直线AC和BD之间的距离。
解：如图，∵△ACD为等边三角形∴AD=DC=AC=AB∴点A在平面BCD的射影O为△BDC的外心∵△BCD为直角三角形∴O为斜边BD的中点∵AO⊥平面BCD∴AO⊥BD又∵OC⊥BD∴BD⊥平面AOC在平面AOC内作OE⊥AC于E，则OE为异面直线BD、AC距离。
∵AO=OC=a，AC=a，又在Rt△AOC中，OA #8226;OC=AC #8226;OE∴OE==a二、最值法如果两条异面直线分别在两个互相垂直的平面内，应用最值法求两条异面直线的距离是比较方便的。
我们知道两条异面直线之间的距离是连结异面直线上两点距离中的最小者，故我们可以将异面直线的距离表示成某个变量的目标函数，通过求函数的最小值求得两条异面直线的距离。
例2：已知正方体ABCD—ABCD的棱长为a，求异面直线AB和BD的距离。
解：如图，在AB上任取一点M，在平面AB内作MP⊥AB于P，在平面AC内作PN⊥BD 于N，连MN。
向量法求异面直线距离
向量法求异面直线距离异面直线是指在三维空间中不在同一平面上的两条直线。
可以使用向量法来求异面直线间的距离。
首先，我们需要确定两条异面直线的方程。
一般情况下，异面直线的方程可以写成以下形式：L1: r = a1 + t1 d1L2: r = a2 + t2 d2其中，a1和a2是两条直线上的点，d1和d2分别是两条直线的方向向量，t1和t2是参数。
我们可以通过两点法或点向式法求得两条直线上的点。
具体方法如下：两点法：已知异面直线上两个点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)，则可以得到两条直线的参数式方程：L1: r = P1 + t1 (P2 - P1)L2: r = P2 + t2 (P1 - P2)点向式法：已知异面直线上一点P(x0,y0,z0)和方向向量d(a,b,c)，则可以得到两条直线的参数式方程：L1: r = P + t1 dL2: r = P + t2 d'其中，d'为L2的方向向量。
接下来，需要计算两条直线之间的距离。
我们知道，两条平行直线的距离为它们之间任意两个点之间的距离。
因此，我们可以通过计算两条直线上任意两个点之间的距离来求得异面直线的距离。
假设我们在L1上取一个点Q1(x1,y1,z1)，在L2上取一个点Q2(x2,y2,z2)。
我们可以通过以下公式计算两点之间的距离d：d = | (Q2 - Q1) · n | / | n |其中，“·”表示点乘，n为两个方向向量的叉积。
对于计算两个向量的叉积，我们可以使用行列式的方法：n = | i j k || d1x d1y d1z || d2x d2y d2z |其中，i、j、k为单位向量，d1和d2分别为L1和L2的方向向量。
总结一下求异面直线距离的步骤：1.求出两条异面直线的参数式方程；2.在两条直线上各自任意取一点，计算它们之间的距离；3.求出两个方向向量的叉积，并计算出它的模长；4.将步骤2和步骤3的结果代入公式中，求得异面直线的距离。
异面直线距离的四种解法
异面直线距离的四种解法问题：高中数学第二册下（B）第51页4.已知正方体的棱长为1，求直线DA1与AC的距离。
分析：立体几何中包含点面、线面、面面和异面直线四种距离，其中点面距离是基础，异面直线距离是难点，但又常利用线面转化为点面。
在教学大纲和考试大纲中，对于异面直线的距离，只要求会计算出给出的线或在坐标表示下的距离。
此题恰为公垂线未知，宜采用转化的方法或坐标法，试述四种方法如下：由课本P50知，两条异面直线的距离，等于其中一条直线（）到过另一条直线（）且与这条直线（）平行的平面的距离，可得两种转化：一、转化为点面距离，利用三角形求解：解：如图连结A1C1，则AC//面A1C1D连A1D,DC1,DO1过O作OE⊥O1D于E因为：A1C1⊥B1B1D1D1又OE⊥O1D 所以OE⊥面A1C1D因此OE即为直线DA1与AC的距离，在Rt△OO1D在中求得OE=3 3二、转化为三棱锥的高，利用等体积求解。
解:如图连结A1C1,DC1,则AC//面A1C1D因此三棱锥A-A1C1D高h即为直线DA1与AC的距离V A-A1C1D=V C1-AA1D=13S△AA1D×C1D1得h=3 3极易建立空间直角坐标系，运用向量代数推动十分方便三、与异面直线均垂直求法向量，经连两点求距离解：建立如图坐标系:则：A（0,0,0）A1(1,0,1)B(1,0,1) C(0,1,0 )设DA1,AC确立的平面的向量为n=(X,Y ,Z)则:直线DA1与AC的距离d=四、垂直相交求的垂线，距离公式求距离解：设MN为DA1与AC的垂线，其中M在DA1上，N在AC上设M(m,0,m), N(1-n,n,0)则：MN=（1-n-m,n,-m ）, 由MN ×DA 1=0, MN ×AC=0, 得m=n=13从而MN=(13 ,13 ,-13 ), MN =33。
异面直线距离求解方法
浅议异面直线距离求解方法638404 四川省武胜中心中学校 段 方 建求异面直线的距离问题，是立体几何中的一个重、难点。
在现行教材中占有十分重要的地位，但学生在学习中遇到此类问题时，常感到困难，无所适从。
本文就人教版高中数学第二册（下B ）的习题9.8第4题求解方法的分析、探讨。
归纳了几种求异面直线的距离问题的常用方法，仅供参考。
题目：已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离。
一、利用定义求异面直线的距离利用定义求异面直线的距离，首先应作出异面直线的公垂线段，或转化为线面、面面距离求解，则要求作出线面、面面距，并证明。
然后再将其放置于平面几何图形中利用相关策略求解，解答的关键是要找到所求的“线段”，按“作”、“证”、“求”的步骤求解。
解：如图，连结C A ''，则AC ∥面D C A ''，连结D B BD '',分别与C A AC '',交于O O ',连O D C D D A ''',,，过O 作OE ⊥D O '于E∵C A ''⊥，面D D B B '' ∴C A ''⊥OE又OE ⊥,D O ' ∴OE ⊥面D C A ''因此OE 即为直线'DA 与AC 的距离.在Rt △D O O '中，,O O OD D O OE '•='•可求得.33=OE 二、利用向量方法求异面直线的距离利用向量方法求异面直线的距离，首先要针对题目要求建立恰当的空间直角坐标系，然后求出两条异面直线的公共法向量，再计算两条异面直线上各取一点连结的线段在公共法向量上的射影长，即应用d =解：如右图所示，建立空间直角坐标系.可知：)0,1,1(-=)1,1,0(--='A D设),,1(μλ=n 且0,0='•=•A D n n即.001=--=+-μλλ且∴),1,1,1(=n 又)0,0,1(=，∴33==d ，故异面直线'DA 与AC 的距离是33. 三、利用等体积法求异面直线的距离利用等体积法求异面直线的距离，就是说将距离看成几何体体积表示的一个要素，一般是指可以将其看成高线的时候，可以把几何体的体积通过换底换高，用不同的方式表示，进而建立方程的办法求解，其基本思想就是利用体积不变性。
求异面直线距离的几种方法
求异面直线距离的几种方法求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进行转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这部分知识会有一定的帮助.一、平移法解题思路若能找到一条直线c，使c与异面直线a 和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，则c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长.例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC和A1D间的距离.解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.由平面几何知识，有AQQN=21，则AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.（请同学们完成）二、线面垂直法解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且a⊥α于O，过O在α内作OP⊥b于P，则OP的长为异面直线a、b间的距离.例2如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.解析∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.过O1做O1E⊥A1C于E，则O1E是异面直线B1D1与A1C的距离.∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，∴O1E=A1O1CC1A1C=22aa3a=66a，即B1D1与A1C 的距离为66a.三、面面平行法解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面α、β，使α∥β，那么α、β的距离就是a、b的距离.例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.解析如图3，G为AA1的中点.∵GF∥A1D，GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG.∵A1D⊥AD1，A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离.故异面直线EF与DB1的距离为：MN=14AD1=24a.四、转化法解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，则异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转化思想，是求异面直线间距离的常用方法.例4如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求异面直线AM和DN间的距离.解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1与DN一定相交在一个平面内，从而有AM∥平面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到平面A1DC1的距离，进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离.设所求的距离为d，运用体积法VA-A1DC1=VC1-A1AD，即13dS△A1DC1=13aS△A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=aa2232a2=33a.五、公式法解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求.公式1如图5，三棱锥A-BCD中，若AB和CD所成的角为θ，三棱锥A-BCD的体积为VA-BCD，则异面直线AB与CD之间的距离d=6VA-BCDABCDsinθ.图5图6公式2已知平面α∩β=a，二面角α-a-β的平面角为θ，如图6.直线b与平面α、β分别相交于A、B，点A、B到棱a的距离分别为m、n.则异面直线a和b之间的距离d=mnsinθm2+n2-2mncos θ.以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同学可以自己证明一下.例5如图7，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为是B1C1的中点，求AC与BP的距离.解法1运用公式1来求.设AC和BP所成的角为θ，取A1D1的中点为N，连结AN，则∠CAN=θ.不难求出sin∠CAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a12a2=16a3.d=6VP-ABCACBPsinθ=6×a362a5a231010=23a.即AC与PB之间的距离为23a.解法2运用公式2来求.如图8，容易求出点B到AC的距离为m=2a2，点P到AC的距离n=32a4.设二面角P-AC-B的平面角为θ，用面积的射影公式容易求得cosθ=13，从而sinθ==mnsinθm2+n2-2mncosθ，代入已知数值得d=23a，即AC与PB之间的距离为23a.练习S-ABC为正四面体，棱长为a，求不相邻的两条棱AC、SB的距离.（提示：过B做BC′AC，连接AC′、SC′、CC′，作SO⊥面和SB的距离就是三棱锥C - SBC′的高h=22a）.（收稿日期：2015-07-09）。
求异面直线之间距离的四个技巧
异面直线是既不平行也不相交的两条直线.这组直线的空间位置关系较为特殊，我们往往很难直接求得异面直线之间的距离，需采用一些方法和技巧，如平移法、向量法、等体积法、构造函数法等，才能使问题获解.下面结合实例，谈一谈求异面直线之间距离的四个技巧.一、平移法求异面直线之间的距离，要首先把握异面直线之间距离的定义和两直线之间的位置关系.异面直线之间的距离是指这两直线之间的公垂线的长，而公垂线必须同时垂直于两条异面直线.可采用平移法，通过平移其中的一条直线a ，使其与另一条直线b 相交，这样便构造出一个平面，过直线a 上的一点作这个平面的垂线，该线即为两条异面直线的公垂线，求得公垂线的长即可求得两条异面直线之间的距离.例1.如图1所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求异面直线A 1D 和AC 之间的距离.解：连接BD 1、BD 、AD 1，设BD 与AC 的交点为M ，AN 与A 1D 的交点为F ，根据三垂线定理可知：BD 1⊥A 1D ，BD 1⊥AC ，因为N 为DD 1的中点，由三角形中位线的性质可知BD 1∥MN ,MN ∥EF ,即BD 1∥EF ，可知EF 即为异面直线A 1D 和AC 的公垂线，因为BD 1=3a ，所以MN.又因为N 为DD 1的中点，且AA 1∥DN ，则△AA 1F ∽△NDF ，所以AF NF =AA 1ND=2，AF NF =23.因为EF ∥MN ，则EF MN =AF AN =23，可知EF =23MN=，因此异面直线A 1D 和AC之间的距离为.采用平移法解题，需仔细观察立体几何图形中的点、线、面之间的位置关系，尤其要关注线和面之间的垂直、平行关系，通过平移直线将原本看起来毫无联系的两条异面直线关联起来，再利用平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式、三角形中位线的性质等来求公垂线的长.图1图2二、向量法对于易于建立空间直角坐标系的立体几何问题，可采用向量法来求解.在求异面直线之间的距离时，可分别求得两条直线的方向向量a 、b ，并设出两条异面的公垂线，然后根据向量之间的垂直关系建立方程组，通过解方程求得公垂线的方向向量，最后求其模长，即可求得异面直线之间的距离.例2.如图2所示，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，其对角线为AC ′，点M 、N 分别为棱BB ′和B ′C ′的中点，MN 的中点为P ，求异面直线DP 与AC ′之间的距离.解：如图2所示，以D ′为原点，D ′C ′为x 轴、D ′A ′为y 轴、D ′D 为z 轴建立空间直角坐标系，设DP 与AC ′的公垂线为QR ，分别与DP 、AC ′相交于点Q 、R ，根据定比分点公式可得 OR =sOA +(1-s ) OC ′， OQ =t OP +(1-s ) OD ，0<s <1，0<t <1，则A (0,1,1)，C ′(1,0,0)，P (1,34,14)，D (0,0,1)，则R (1-s ,s ,s )，Q (t ,34t ,1-34t ).因为 RQ ⊥AC ′且 RQ ⊥ DP ，所以ìíîïï3s +t -2=0,178t +s -74=0,解得ìíîïïs =4086,s =5286,可得R (4686,4086,4086)，Q (5286,3986,4786)，则RQ 的模长为，即异面直线DP 与AC ′之间的距离为.相较于常规方法，向量法更加简单.在运用向量法解题时，同学们需熟记一些向量的运算法则，如向量的加法、减法，向量的数量积公式、模的公式.探索探索与与研研究究49三、等体积法等体积法一般适用于求解三棱锥问题，是指转换三棱锥的底面和高，根据同一个三棱锥或两个三棱锥的体积相等建立关系式，求得问题的答案.在求异面直线之间的距离时，可将异面直线置于三棱锥中，采用等体积法求三棱锥的高，进而求得两条异面的公垂线的长.在解题时，同学们要善于寻找体积相等的三棱锥，或易于计算体积的三棱锥的底面和高，建立等价关系式.例3.如图3所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为BC 的中点，求直线ED 1与直线CC1之间的距离.图3图4解：如图4所示，过点E 作EE 1∥CC 1，连接D 1E 1.已知点E 为BC 的中点，则点E 1为B 1C 1的中点，所以B 1E 1=E 1C 1.因为EE 1⊂平面D 1EE 1，EE 1∥CC 1，则CC 1∥平面D 1EE 1，则异面直线ED 1与CC 1之间的距离即为直线CC 1到平面D 1EE 1的距离，也就是点C 1到平面D 1EE 1的距离.设点C 1到平面D 1EE 1的距离为a ，由V C 1-D 1EE 1=V E -C 1D 1E 1可得：13S △D 1EE 1·a =13S △C 1D 1E1·EE 1.因为CC 1⊥A 1B 1C 1D 1，EE 1⊥A 1B 1C 1D 1，且D 1E 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则EE 1⊥D 1E 1，S △D 1EE 1=12×EE 1×D 1E 1=5.因为正方体的棱长为2，则S △C 1D 1E 1=1，EE 1=2，故C 1到平面D 1EE 1的距离a =S △C 1D 1E 1·EE 1S △D 1EE1=1×25=则直线ED 1与直线CC1之间的距离为.运用该等体积法求异面直线之间的距离，可省去找公垂线的麻烦，且简化了运算的过程.四、函数构造法我们知道，公垂线是两条异面直线之间的最小距离.若很容易找到异面之间的公垂线，但无法快速求得公垂线的长，或无法找到公垂线，可根据勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式等求得公垂线的表达式，或两异面直线上任意两点之间的距离的表达式，然后将其构造成函数模型，通过研究函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得异面直线之间的距离.例4.如图5所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，A 1B 和D 1B 1为正方形ABA 1B 1和正方形A 1B 1C 1D 1的对角线，求异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离.解：在A 1B 上任取一点M ，作MP ⊥A 1B 1于点P ，作NP ⊥A 1B 1于点P ，与D 1B 1交于点N .根据三垂线定理可知MN ⊥D 1B 1.设A 1M =x ，在等腰△A 1PM 中，MP =A 1P ，因为A 1B 1=a ，PB 1=a -，PN =(a )sin 45°=12(2a -x )，由于平面ABA 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以PN ⊥PM ，在Rt△PMN 中，MN =PM 2+PN 2=函数y =为复合函数，与二次函数y =3(x -)2+43a 2的单调性一致，由二次函数的性质可知当x 时，函数的最小值为，所以异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离为.通过添加辅助线，构造出垂直于D 1B 1的平面PNM ，只要在平面PNM 中找到一条直线垂直于A 1B ，那么该直线即是异面直线A 1B 和D 1B 1的公垂线.在Rt△PMN 中，根据勾股定理建立关于x 的关系式，求得公垂线的表达式，然后将其看作关于x 的函数式，通过分析函数的单调性求得函数的最小值，即可解题.可见，求异面直线之间的距离，关键是根据几何图形的特点和性质，以及点、线、面的位置关系找到异面直线的公垂线，并求得其长度.同学们可根据题目的条件，灵活选用上述四种方法.（作者单位：江苏省昆山文峰高级中学）图5探索探索与与研研究究50。
求异面直线之间的距离的方法
求异面直线之间的距离的方法宝子，今天咱来唠唠求异面直线之间距离的方法呀。
有一种方法呢，叫定义法。
啥是定义法呢？就是直接根据异面直线距离的定义来求呗。
异面直线的距离就是公垂线段的长度呀。
这就像是在两条异面直线之间找一座最短的桥，这座桥得和两条直线都垂直呢。
不过这方法有时候不太好找这个公垂线段，就像在一堆乱麻里找一根特定的线一样麻烦。
再来说说向量法吧。
向量可是个很神奇的东西呢。
我们可以先找到两条异面直线的方向向量，再找一个向量，这个向量能和这两个方向向量都垂直。
就像给这两条异面直线找一个共同的“好朋友”向量。
然后呢，在两条异面直线上分别找个点，构成一个向量。
用这个向量和那个共同的“好朋友”向量做点积，再除以“好朋友”向量的模长，就有可能得到距离啦。
这就像是通过这个特殊的向量关系来算出两条异面直线之间的“小秘密”距离。
还有一种等体积法呢。
想象一下，把两条异面直线放到一个几何体里，比如说三棱锥。
然后利用三棱锥的体积不变这个特性。
我们可以换不同的底面和高来表示这个三棱锥的体积。
当我们巧妙地选择底面和高的时候，就可以通过体积的等式来求出异面直线之间的距离啦。
这就像是给三棱锥玩了个变身游戏，从不同的角度算出体积，然后揪出异面直线的距离这个小调皮。
宝子呀，这些方法各有各的妙处，在不同的题目里就像不同的小工具。
有时候可能一个方法就轻松搞定，有时候可能得试试好几个方法才能找到最合适的那一个。
多做做题目，你就会对这些方法越来越熟悉啦，就像和它们成了好朋友一样，一看到求异面直线距离的题，就能马上想到用哪个小妙招啦。
异面直线间的距离(全部方法详细例题).pdf
CD⊥AD,C D⊥DE,即 C D⊥平面ADE,过D作 DH⊥AE于 H,
可得 D H⊥AE,DH⊥CD,所以DH是异面直线 A E、CD的公垂
b 上一点 A 作a 的平行线
思路分析： B F、AE两条异面直线分别在直二面角
P-AB-Q 是直二面角,
则y z AC 14
最小值即可。
设A M=x
a 。
当x=
2 5 公式法异面直线间距离公式：d= AB m n 2mncos
3
AO ⊥OO /,BO /⊥OO /,又 OO /是圆柱的高, AB=5 ,所以AB 与OO /之间的距离为
BD 的中点。
求异面直线 D M 、EN 间的距离。
内,转化为 BC 1、QN 的距离, 显然,。
所以异面直线 D M EN
QN 求异面直线 DA
思路分析：此题是求异面直线的距离问题,这个距离可作是
例 8 已知： SA ⊥平面 ABCD, ∠DAB= ∠ABC=90 ゜,
SA=AB=BC=a,AD=2a ,B
∴点 A 到面SCD的距离为SCD
的距离为
而以S为顶点,△ABD为底面的三棱锥的体积为
4。
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求异面直线之间距离的常用策略
求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
1 定义法
就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得
CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂
线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200
，AD=DE=a ，DH=2a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2
a。
2 转化为线面距离
若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例2 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作
AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD
交于D ，连结CD 。
设A 到平面BCD 的距离为h 。
由体积法V A-BCD =V C-ABD ， 得 h=
β
αβα2
2
cos cos 1sin sin -d
3转化为面面距离
若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈β。
求a 、b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。
例3已知：三棱锥S-ABC 中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AD 与BC 的距离。
思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。
所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体， 设长方形的长、宽、高分别为x 、y 、z ，
则⎪⎩
⎪⎨⎧==+==+==+22222
2222222131415BC x z AC z y AB y x
解得x=3，y=2，z=1。
由于平面SA ‖平面BC ，平面SA 、平面BC 间的距离是2，所以异面直线AD 与BC 的距离是2。
4 代数求极值法
根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。
例4 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，
求A 1B 与D 1B 1的距离。
思路分析：在A 1B 上任取一点M ，作
MP ⊥A 1B 1，PN ⊥B 1D 1，则MN ⊥B 1D 1，只要求
出MN 的最小值即可。
设A 1M=x ，则MP=
2
2x ，
A 1P=22x 。
所以P
B 1=a –22x ，PN=（a –22x ）
sin450=
2
1
（2a –x ），MN=22PN PM + =
222
23
2)32(23a x +-。
当x=a 32时，MN min =a 33。
5公式法
异面直线间距离公式： d=
ϕcos 2222mn n m AB -++
例5 已知圆柱的底面半径为3，高为4，A 、B 两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB 与轴OO /之间的距离。
思路分析：在圆柱底面上AO ⊥OO /，BO /⊥OO /，又OO /是圆柱的高，AB=5，所以d=
2
3
3。
即异面
1
A C
C A
B
直线AB 与轴OO /之间的距离为
2
3
3。
6 射影法
将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。
例6 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=1，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，E 是BD 的中点。
求异面直线D 1M 、EN 间的距离。
思路分析：两条异面直线比较难转化为
线面、面面距离时，可采用射影到同一平面
内，把异面直线D 1M 、EN 射影到同一平面
BC 1内，转化为BC 1、QN 的距离，显然，
易知BC 1、QN 的距离为
42。
所以异面直
线D 1M 、EN 间的距离为4
2。
1
N
C。