章末总结(二)
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由于带电粒子做匀速圆周运动的周期与半径和速率均没有关系，这说明了它在磁场中 运动的时间仅与轨迹所对的圆心角大小有关。由图可以发现带电粒子从入射边进入， 又从入射边飞出，其轨迹所对的圆心角最大，那么，带电粒子从ab边飞出的轨迹中， 与ab相切的轨迹半径也就是它所有可能轨迹半径中的临界半径r0，r>r0，在磁场中运
[例5] 如图7所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x轴下方有一匀强电场， 电场强度为E。屏MN与y轴平行且相距L。一质量为m、电荷量为e的电子，在y轴上 某点A自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN上，那么：
图7 (1)电子释放位置与原点O的距离s需满足什么条件？ (2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？
3.临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此， 它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图6甲所示，于是 形成了多解。
图6 4.运动的周期性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形 成多解。如图6乙所示。
章末总结（二）
2020/8/17
一、安培力与力学知识的综合应用 1.通电导线在磁场中的平衡和加速
(1)首先把立体图画成易于分析的平面图，如侧视图、剖视图或俯视图等。 (2)确定导线所在处磁场的方向，根据左手定则确定安培力的方向。 (3)结合通电导线的受力分析、运动情况等，根据题目要求，列出平衡方程或牛 顿第二定律方程求解。
应使沿导轨方向的合力为零，得 BI2Lcos α＝mgsin α，I2＝coIs1 α。
答案
mgsin α (1) I1L
垂直于导轨平面向上
(2)coIs1 α
二、“电偏转与磁偏转”的区别
垂直电场线进入匀强电场(不计 垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)
重力)
洛伦兹力 F＝qvB，大小不变，方向 受力情况 电场力 F＝Eq，大小、方向不变
匀速圆周运动： 半径 r＝mqBv 周期 T＝2qπBm
垂直电场方向的速度保持不变
速度大小保持不变
[例2] 如图2所示，在虚线所示的宽度范围内，用场强为E的匀强电场可使以初速度v0 垂直于电场入射的某种正离子偏转θ角。在同样宽度范围内，若改用方向垂直于纸 面向外的匀强磁场，使该离子穿过磁场区域的偏转角度也为θ，则匀强磁场的磁感 应强度大小为多少？
图2
解析 设电场区域的宽度为d，带电离子在电场中做类平抛运动。
离子在电场中的加速度为 a＝qmE 沿电场方向的分速度为 vy＝at＝qmEvd0 因为偏转角为 θ，故有 tan θ＝vv0y＝qmEvd20， 解得 d＝mvq02tEan θ， 离子在磁场中做匀速圆周运动，
圆半径 R＝mqBv0， 由图可得 sin θ＝Rd＝dmqvB0，
[例4] 质谱仪原理如图4所示，a为粒子加速器，电压为U1；b 为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1，板间距 离为d；c为偏转分离器，磁感应强度为B2。今有一质量为m、 电荷量为e的正粒子(不计重力)，经加速后，该粒子恰能通过
速度选择器。粒子进入分离器后做半径为R的匀速圆周运动，
求：
图4
随 v 的改变而改变
运动类型
类平抛运动
匀速圆周运动或其一部分
运动轨迹图
偏移量 y 和偏转角 φ 要通过类 偏移量 y 和偏转角 φ 要结合圆的几
求解方法处理
平抛运动的规律求解
何关系和对圆周运动的分析求解
求解方法 重要特点
类平抛运动：
vx＝v0，vy＝qmE t x＝v0t，y＝12·qmE t2
tan φ＝vvxy
(1)粒子的速度v为多少？
(2)速度选择器的电压U2为多少？ (3)粒子在B2磁场中做匀速圆周运动的半径R为多大？
解析 (1)在 a 中，粒子被加速电场 U1 加速，由动能定理有 eU1＝12mv2，得 v＝ 2emU1。
(2)在b中，粒子受的电场力和洛伦兹力大小相等，
即 eUd2＝evB1，代入 v 值得 U2＝B1d 2emU1。
得 v≤q3BmL， 带电粒子在磁场中飞行时间最长是53πqmB ； 带电粒子的速度必须符合条件 v≤q3BmL。 答案 (1)53πqmB (2)v≤q3BmL
四、带电粒子在复合场中的运动 四种运动类型 (1)静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状 态或做匀速直线运动。 (2)匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒 子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。 (3)一般的曲线运动：当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向 不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也 不是抛物线。 (4)分阶段运动：带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随 区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。
Байду номын сангаас
2.安培力做功的特点和实质 (1)安培力做功与路径有关，不像重力、电场力做功与路径无关。 (2)安培力做功的实质：起传递能量的作用。 ①安培力做正功：是将电源的能量转化为导线的动能或其他形式的能。 ②安培力做负功：是将其他形式的能转化为电能后或储存或转化为其他形式的能。
[例1] 如图1所示，光滑导轨与水平面成α角，导轨宽为L。匀强磁场的磁感应强度为B， 金属杆长为L，质量为m，水平放在导轨上。当回路总电流为I1时，金属杆正好能静 止。求：
[例3] 如图3所示，abcd是一个边长为L的正方形，它是磁感应强度为B的匀强磁场横 截面的边界线。一带电粒子从ad边的中点O与ad边成θ＝30°角且垂直于磁场方向射 入。若该带电粒子所带电荷量为q、质量为m(重力不计)，则该带电粒子在磁场中飞 行时间最长是多少？若要带电粒子飞行时间最长，带电粒子的速度必须符合什么条 件？
解析 (1)在电场中，电子从 A→O，由动能定理得 eEs＝12mv20 在磁场中，电子偏转，半径为 r＝meBv0， 据题意，有(2n＋1)r＝L 所以 s＝2Em（eL22nB＋2 1）2(n＝0，1，2，3，…) (2)在电场中匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子
总的运动时间
图3
解析 从题设的条件中，可知带电粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动， 粒子带正电，由左手定则可知它将向 ab 方向偏转，带电粒子可能的轨道如图所示(磁场 方向没有画出)，这些轨道的圆心均在与 v 方向垂直的 OM 上。带电粒子在磁场中运动， 洛伦兹力提供向心力，有 qvB＝mrv2，r＝mqBv① 运动的周期为 T＝2vπr＝2qπBm②
图1 (1)这时B至少多大？B的方向如何？ (2)若保持B的大小不变而将B的方向改为竖直向上，应把回路总电流I2调到多大才能 使金属杆保持静止？
解析 (1)画出金属杆的截面图，如图所示。
由三角形法则得，只有当安培力方向沿导轨平面向上时安培力才最小，B 也最小。根
据左手定则，这时 B 应垂直于导轨平面向上，大小满足 BI1L＝mgsin α，B＝mgIs1iLn α。 (2)当 B 的方向改为竖直向上时，这时安培力的方向变为水平向右，要使金属杆保持静止，
t＝(2n＋1) 2as＋T4＋nT2，其中 a＝Eme，T＝2eπBm。
整理后得 t＝BEL＋(2n＋1)2πemB(n＝0，1，2，3，…)
答案 (1)s＝2Em（eL22nB＋2 1）2(n＝0，1，2，3，…) (2)BEL＋(2n＋1)2πemB(n＝0，1，2，3，…)
(3)在 c 中，粒子受洛伦兹力作用而做圆周运动，轨道半径 R＝Bm2ve，代入 v 值得 R＝B12
2Ue1m。
答案 (1)
2eU1 m
(2)B1d
2eU1 m
1 (3)B2
2U1m e
带电粒子在复合场中运动问题的分析方法 (1)带电粒子在组合场中运动 要依据粒子运动过程的先后顺序和受力特点辨别清楚在电场中做什么运动， 在磁场中做什么运动。 (2)带电粒子在叠加场中的运动 ①当带电粒子(带电体)在叠加场中做匀速运动时，根据平衡条件列方程求解。 ②当带电粒子(带电体)在叠加场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第 二定律和平衡条件列方程求解。 ③当带电粒子(带电体)在叠加场中做非匀变速曲线运动时，常选用动能定理 或能量守恒定律列方程求解。
动时间是变化的，r≤r ，在磁场中运动的时间是相同的，也是在磁场中运动时间最 0
长的。由图可知，三角形 O2EF 和三角形 O2OE 均为正三角形，所以有∠OO2E＝π3。 轨迹所对的圆心角为 α＝2π－π3＝53π 运动的时间 t＝T2πα＝53πqmB，
由图还可以得到
r0＋r20＝L2，r0＝L3≥mqBv
五、带电粒子在磁场中运动的多解问题 1.带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件 下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。 如图5甲 ，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电， 其轨迹为b。
图5
2.磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要 考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。 如图5乙，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a， 如B垂直纸面向外，其轨迹为b。
由以上各式简化得 B＝Ecvo0s θ。
答案
Ecos θ v0
三、带电粒子在磁场中运动的临界问题 带电粒子在磁场中运动临界极值问题的分析方法 借助运动半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨 迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值。 注意：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运 动的时间越长。 (3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长。
[例5] 如图7所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x轴下方有一匀强电场， 电场强度为E。屏MN与y轴平行且相距L。一质量为m、电荷量为e的电子，在y轴上 某点A自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN上，那么：
图7 (1)电子释放位置与原点O的距离s需满足什么条件？ (2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？
3.临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此， 它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图6甲所示，于是 形成了多解。
图6 4.运动的周期性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形 成多解。如图6乙所示。
章末总结（二）
2020/8/17
一、安培力与力学知识的综合应用 1.通电导线在磁场中的平衡和加速
(1)首先把立体图画成易于分析的平面图，如侧视图、剖视图或俯视图等。 (2)确定导线所在处磁场的方向，根据左手定则确定安培力的方向。 (3)结合通电导线的受力分析、运动情况等，根据题目要求，列出平衡方程或牛 顿第二定律方程求解。
应使沿导轨方向的合力为零，得 BI2Lcos α＝mgsin α，I2＝coIs1 α。
答案
mgsin α (1) I1L
垂直于导轨平面向上
(2)coIs1 α
二、“电偏转与磁偏转”的区别
垂直电场线进入匀强电场(不计 垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)
重力)
洛伦兹力 F＝qvB，大小不变，方向 受力情况 电场力 F＝Eq，大小、方向不变
匀速圆周运动： 半径 r＝mqBv 周期 T＝2qπBm
垂直电场方向的速度保持不变
速度大小保持不变
[例2] 如图2所示，在虚线所示的宽度范围内，用场强为E的匀强电场可使以初速度v0 垂直于电场入射的某种正离子偏转θ角。在同样宽度范围内，若改用方向垂直于纸 面向外的匀强磁场，使该离子穿过磁场区域的偏转角度也为θ，则匀强磁场的磁感 应强度大小为多少？
图2
解析 设电场区域的宽度为d，带电离子在电场中做类平抛运动。
离子在电场中的加速度为 a＝qmE 沿电场方向的分速度为 vy＝at＝qmEvd0 因为偏转角为 θ，故有 tan θ＝vv0y＝qmEvd20， 解得 d＝mvq02tEan θ， 离子在磁场中做匀速圆周运动，
圆半径 R＝mqBv0， 由图可得 sin θ＝Rd＝dmqvB0，
[例4] 质谱仪原理如图4所示，a为粒子加速器，电压为U1；b 为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1，板间距 离为d；c为偏转分离器，磁感应强度为B2。今有一质量为m、 电荷量为e的正粒子(不计重力)，经加速后，该粒子恰能通过
速度选择器。粒子进入分离器后做半径为R的匀速圆周运动，
求：
图4
随 v 的改变而改变
运动类型
类平抛运动
匀速圆周运动或其一部分
运动轨迹图
偏移量 y 和偏转角 φ 要通过类 偏移量 y 和偏转角 φ 要结合圆的几
求解方法处理
平抛运动的规律求解
何关系和对圆周运动的分析求解
求解方法 重要特点
类平抛运动：
vx＝v0，vy＝qmE t x＝v0t，y＝12·qmE t2
tan φ＝vvxy
(1)粒子的速度v为多少？
(2)速度选择器的电压U2为多少？ (3)粒子在B2磁场中做匀速圆周运动的半径R为多大？
解析 (1)在 a 中，粒子被加速电场 U1 加速，由动能定理有 eU1＝12mv2，得 v＝ 2emU1。
(2)在b中，粒子受的电场力和洛伦兹力大小相等，
即 eUd2＝evB1，代入 v 值得 U2＝B1d 2emU1。
得 v≤q3BmL， 带电粒子在磁场中飞行时间最长是53πqmB ； 带电粒子的速度必须符合条件 v≤q3BmL。 答案 (1)53πqmB (2)v≤q3BmL
四、带电粒子在复合场中的运动 四种运动类型 (1)静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状 态或做匀速直线运动。 (2)匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒 子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。 (3)一般的曲线运动：当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向 不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也 不是抛物线。 (4)分阶段运动：带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随 区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。
Байду номын сангаас
2.安培力做功的特点和实质 (1)安培力做功与路径有关，不像重力、电场力做功与路径无关。 (2)安培力做功的实质：起传递能量的作用。 ①安培力做正功：是将电源的能量转化为导线的动能或其他形式的能。 ②安培力做负功：是将其他形式的能转化为电能后或储存或转化为其他形式的能。
[例1] 如图1所示，光滑导轨与水平面成α角，导轨宽为L。匀强磁场的磁感应强度为B， 金属杆长为L，质量为m，水平放在导轨上。当回路总电流为I1时，金属杆正好能静 止。求：
[例3] 如图3所示，abcd是一个边长为L的正方形，它是磁感应强度为B的匀强磁场横 截面的边界线。一带电粒子从ad边的中点O与ad边成θ＝30°角且垂直于磁场方向射 入。若该带电粒子所带电荷量为q、质量为m(重力不计)，则该带电粒子在磁场中飞 行时间最长是多少？若要带电粒子飞行时间最长，带电粒子的速度必须符合什么条 件？
解析 (1)在电场中，电子从 A→O，由动能定理得 eEs＝12mv20 在磁场中，电子偏转，半径为 r＝meBv0， 据题意，有(2n＋1)r＝L 所以 s＝2Em（eL22nB＋2 1）2(n＝0，1，2，3，…) (2)在电场中匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子
总的运动时间
图3
解析 从题设的条件中，可知带电粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动， 粒子带正电，由左手定则可知它将向 ab 方向偏转，带电粒子可能的轨道如图所示(磁场 方向没有画出)，这些轨道的圆心均在与 v 方向垂直的 OM 上。带电粒子在磁场中运动， 洛伦兹力提供向心力，有 qvB＝mrv2，r＝mqBv① 运动的周期为 T＝2vπr＝2qπBm②
图1 (1)这时B至少多大？B的方向如何？ (2)若保持B的大小不变而将B的方向改为竖直向上，应把回路总电流I2调到多大才能 使金属杆保持静止？
解析 (1)画出金属杆的截面图，如图所示。
由三角形法则得，只有当安培力方向沿导轨平面向上时安培力才最小，B 也最小。根
据左手定则，这时 B 应垂直于导轨平面向上，大小满足 BI1L＝mgsin α，B＝mgIs1iLn α。 (2)当 B 的方向改为竖直向上时，这时安培力的方向变为水平向右，要使金属杆保持静止，
t＝(2n＋1) 2as＋T4＋nT2，其中 a＝Eme，T＝2eπBm。
整理后得 t＝BEL＋(2n＋1)2πemB(n＝0，1，2，3，…)
答案 (1)s＝2Em（eL22nB＋2 1）2(n＝0，1，2，3，…) (2)BEL＋(2n＋1)2πemB(n＝0，1，2，3，…)
(3)在 c 中，粒子受洛伦兹力作用而做圆周运动，轨道半径 R＝Bm2ve，代入 v 值得 R＝B12
2Ue1m。
答案 (1)
2eU1 m
(2)B1d
2eU1 m
1 (3)B2
2U1m e
带电粒子在复合场中运动问题的分析方法 (1)带电粒子在组合场中运动 要依据粒子运动过程的先后顺序和受力特点辨别清楚在电场中做什么运动， 在磁场中做什么运动。 (2)带电粒子在叠加场中的运动 ①当带电粒子(带电体)在叠加场中做匀速运动时，根据平衡条件列方程求解。 ②当带电粒子(带电体)在叠加场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第 二定律和平衡条件列方程求解。 ③当带电粒子(带电体)在叠加场中做非匀变速曲线运动时，常选用动能定理 或能量守恒定律列方程求解。
动时间是变化的，r≤r ，在磁场中运动的时间是相同的，也是在磁场中运动时间最 0
长的。由图可知，三角形 O2EF 和三角形 O2OE 均为正三角形，所以有∠OO2E＝π3。 轨迹所对的圆心角为 α＝2π－π3＝53π 运动的时间 t＝T2πα＝53πqmB，
由图还可以得到
r0＋r20＝L2，r0＝L3≥mqBv
五、带电粒子在磁场中运动的多解问题 1.带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件 下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。 如图5甲 ，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电， 其轨迹为b。
图5
2.磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要 考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。 如图5乙，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a， 如B垂直纸面向外，其轨迹为b。
由以上各式简化得 B＝Ecvo0s θ。
答案
Ecos θ v0
三、带电粒子在磁场中运动的临界问题 带电粒子在磁场中运动临界极值问题的分析方法 借助运动半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨 迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值。 注意：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运 动的时间越长。 (3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长。