动力气象学第八章

u ' ' / y, v' ' / x
2 d 2u ' ( u ) '( 2 ) 0 t x dy x
d 2u d 2 ( f ) dy dy
(8.8)
令
' ( x, y, t ) ( y)e
ik ( x ct )
d 2 (z ) N z 2 dt
g d N dz
2
2
层结稳定度判据
0 d 0 dz 0 0 2 N 0 0
stable neutral unstable stable neutral unstable
3. Symmetric Instability
2 2 d 2 i d u d u 2 [k ( 2 ) r ] i ( 2 ) i r 0 2 dy dy dy
(8.14)
(8.13)式乘以ψi，(8.14)式乘以ψr，然后相减 d 2 i d 2 r d 2u 2 2 i ( ) ( r i i r )0 2 2 2 dy dy dy 注意到 d 2 i d d 2 r d r d r d i i r ( i ) 2 2 dy dy dy dy dy dy
上两式分别乘以ψ的虚部和实部，然后相减，得：
d i d d r (u cr ) ( i r ) dy dy dy d i d d r d 2 2 ci [ ( r i ) (| | k | |2 )] 0 dy dy dy dy d i d i du d d r d r [(u cr )( i r )] ( i r ) dy dy dy dy dy dy d i d 2 2 d d r 2 ci [(| | k | | ) ( r i )] dy dy dy dy
令
u cr r , 2 2 (u cr ) ci
ci i (u cr ) 2 ci2
把方程(8.12)分为实部和虚部：
2 2 d 2 r d u d u 2 [k ( 2 ) r ] r ( 2 ) i i 0 (8.13) 2 dy dy dy
分母代表一个纬向波长上的平均波动动能。不稳定 波的增长率与其本身动能成反比，增长率的符号由 分子(平均动能和扰动动能的转换项)决定。 绝热无摩擦正压大气中，扰动的发展所需的能量只 能来自于基本气流的动能转换。
虽然正压不稳定对非洲波提供了一个满意的发生机制， 也可能在赤道太平洋地区也起作用，但必须注意到， 只有在平均纬向流切变保持不稳定时，波动才能从平 均流中汲取能量使正压不稳定扰动得以持续。观测表 明赤道扰动经常出现在没有强的侧向切变的气流中， 所以在热带洋面上正压不稳定似乎不是波持续的主要 能源。正压不稳定性并不是只出现在热带大气中，在 正压涡度方程中科氏参数只是以β的形式出现的，所以 正压流在热带地区并没有特殊的意义。正压不稳定也 可以出现在中纬的急流区，然而，中纬地区天气扰动 起源与发展的更重要的机制是斜压不稳定。
根据气块法的假定，再利用状态方程，便有： d2 (z ) g ( ) g( ) 2 dt 假定气块起始高度z=0处位温为θ0，在δz处环境位温为： d (z ) 0 z dz 绝热过程中位温守恒，即气块的位温θ(δz)= θ0。上式 即为
正交模方法
e
ik ( x ct )
exp{ik [ x (cr ici )t ]} exp( kci t ) exp[ ik ( x cr t )]
只有当ci不为零时，波的振幅才可能随时间增长出 现不稳定，此为不稳定出现的必要条件。kci称之为 不稳定增长率。
BAROTROPIC INSTABILITY 在正压涡度方程 ( V )( f ) 0 t 中令
便有
d 2 2 (u c*)( u / y ) 2 2 (| | k | | ) dy | | dy 2 L dy L |u c|
L L 2 2
把实部和虚部分开，得
ci
L
L
2u / y 2
|u c|
2 L
L
| |2 dy 0
(8.6)
因为f−∂ug/∂y就是基本流的绝对涡度。观测表明，天 气尺度的绝对涡度几乎总为正，所以大尺度运动一般 来说是惯性稳定的；惯性不稳定一般出现在急流切变 区域或低纬区域。负的绝对涡度在任意大范围内的出 现将立刻引起惯性不稳定运动，它会使流体发生侧向 混合，减小切变直到绝对涡度变正为止。
2. STATIC STABILITY 由于
Hydrodynamic Instability
通常把未受扰动前系统的状态称为平衡态(大气中平衡 态多指按一定方式分布的基本流动)。 扰动使运动离开平衡位置后仍回到它原有的平衡位置， 就说平衡态是稳定的；反之，若运动趋向于达到一个 新的位置，平衡态就是不稳定的。 大气中许多充分发展的有限振幅波动往往是小振幅波 不稳定发展的结果，看成是基本状态(层结、基本气流 等)对于小扰动的不稳定性。小扰动随时间增强，称基 本状态是不稳定的，有时也说波是不稳定的。 流体运动稳定性研究的方法有正交模方法(normal mode approach)和整体方法 (global approach)，后者包括能量 法和Liapunov直接方法。 以下先用气块法求解惯性稳定度和层结稳定度的判据。
(8.7)
u u ( y ) u ' , v v'
代入(8.7)式，得 [ (u u ' ) v' ]( ' f ) 0 t x y u v' u ' , ' y x y
( u ) 'v' ( f ) 0 t x y
T d z
如果Γ<Γd说明θ随高度增大，这样的层结就是静力稳 定的(statically stable)，或称做稳定层结(stably stratified)。气块在稳定层结内平衡位置附近的绝热振 荡称之为浮力振荡(buoyancy oscillations)。考虑气块 在垂直方向发生一个不引起环境扰动的位移δz，则可 知 dw d 2 1 p 2 (z ) g dt dt z
(8.5)
M fy u g
(8.5)式的解取决于∂M/∂y的符号，所以
stable 0 M f 0 neutral y 0 unstable
我们更熟悉的写法是：
stable 0 u g f0 0 neutral y 0 unstable
将上式在通道内积分，得：
L d i du d r d 2 2 ci ( r i )dy / (| | k | |2 )dy L dy L dy dy dy L
可以证得(参见贺海晏，1982，气象学报，40(4)：409-415)：
L 1 du kci u ' v'dy / 2 (u '2 v'2 )dy L dy L 2 L
2 2
d 2 2 (u cr )( u / y ) 2 2 (| | k | | ) dy | | dy 2 L dy L |u c|
上式因左边恒为正，于是有
(u cr )( u / y ) 2 | | dy 0 2 L |u c|
u ( y0 y) u g ( y0 ) fy
u g y
(8.3) (8.4)
相应在y0+δy的基本流场风速为
u g ( y0 y ) u g ( y0 )
代入(8.2)式可得
u g Dv f(f )y Dt y
y
于是有 u g Dv D 2y M f(f )y f y 2 Dt Dt y y 其中定义了绝对动量(absolute momentum)：
d u / dy 0
2 2
somewhere
(8.17)
d d u / dy 2 (k ) 0 2 dy u c
2 2 2
(8.12)
将Ψ *乘以(8.12) ，再积分，由于
d 2 d d d 2 * 2 ( * ) | | dy dy dy dy
正压不稳定性不仅由基本气流的特性—水平切变—所 确定，而且扰动必须具有倾斜的空间结构，以致扰动 速度分量之间存在一定的相关性，即基本气流与扰动 的适当耦合才能决定波动的稳定性。如急流北侧的曳 式波或急流南侧的导式波。下面将证明这一结论 将(8.10)分为实部和虚部，得
2 d i a d 2 r 2 2 (u cr )( 2 k r ) ci ( 2 k i ) r 0 dy dy y 2 d 2 i a d r 2 2 (u cr )( 2 k i ) ci ( 2 k r ) i 0 dy dy y
1. Inertial stability
假定大气是正压的，背景场位势高度满足地转平衡关 系： 1 ug f y 运动方程则为：
Du Dy fv f Dt Dt（8.Fra bibliotek） （8.2）
Dv f (u g u ) Dt
设初始时刻在 y=y0 处有一随基本流移动的气块。假定 气块在与基本气流垂直的方向上的位移为 δy ，则气块 的速度通过积分(8.1)得到：
将(8.15)对y积分，并利用边界条件 ψi=ψr=0 at y=±L
d 2u 2 ( ) | | dy 0 L dy 2 i
L
(8.16)
| |2 i2 r2
不稳定扰动必须存在 δi>0( 即 ci>0) 。因为 |ψ|2≥0 在域 内处处成立，只有当 β–d2ū/dy2 在 –L<y<L 内改变符 号时，(8.16)式才能满足不稳定波的(必要)条件。即 郭晓岚(H. L. Kuo)定理：