波特图的见解

当 r 时，幅值达到最大值 Mr ；
当 r 时，幅值迅速减小，M () 0.707 时
的频率c 称为截止频率；频率大于c 后，输出 幅值衰减更快。
M ()
1
0.707
0
Mr
1
r c
图5-6 振荡环节的频率响应
推广：当振荡环节传递函数的分子是常数K时，
即
G(s)
T
2
s
2
K
2Ts
1
，其对应频率特性 G( j) 的起
幅频特性
Im j
1
0
G
1
0
Re
G( j) 1 相频特性
j
图5-10 滞后环节频率特性图
G( j) (弧度） 57.3 (度）
二、系统的开环幅相曲线 线性系统的开环频率特性通常可写成如下形式：
m2h
h
K ( j s 1) [ j 2 ( j)2 2 j j ( j) 1]
G( j)H ( j)
点 0 为 G( j0) K, G( j0) 00 。
（五） 一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为
G(s) s 1
对应的频率特性是
G( j) j 1
幅频特性 G( j) 2 2 1
相频特性
G( j) arctg
当 0 时， G( j0) 1 ，G( j0) 00 ；
当
y(t) be jt be jt a1es1t a2es2t anesnt
对稳定系统,s1,s2,….sn都具有负实部，当时间t趋 于无穷大时，上式的暂态分量将衰减至零。因此
系统的稳态响应为
yW
(t)
lim
t
y(t)
be jt
be jt
其中待定系数b和 b可按下式计算
b
G(s)
(s
X j )( s
相频特性
G(
j
)
arctg
1
2T T 2
2
当 0 时， G( j0) 1 ，G( j0) 00 ；
当 1 时， G( j 1 ) 1 ，G( j 1 ) 900 ；
T
T
2
T
当 时， G( j) 0 ，G( j) 180 0 ；
振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ有关。
当 1 时， G( j 1 ) 1 ， G( j 1 ) 450 ；
T
T
2
T
当 时， G( j) 0 ，G( j) 900 ；
Im
Im
0
Re
0
0
Re
0
图5－4 惯性环节的频率特性 图5－9 不稳定惯性环节的频率特性
（八） 滞后环节 滞后环节的传递函数为
G(s) e s
对应的频率特性是 G( j ) e j
Im
G
0 n
r
n
n n
1Байду номын сангаас
Re
0
Mr
r
图5-5 振荡环节的频率响应
当阻尼比较小时会产生谐振，谐振峰值
Mr(Mr>0)和谐振频率ωr由幅频特性的极值方程
解出。 d G( j) d 1T 2 2 2 4 2T 2 2 0
d
d
r
1 T
1 2 2 n
1 2 2
(0
1) 2
其中 n
1 T
j 1 n2l
j 1 l
( j)
( jTi 1) [Ti 2 ( j)2 2 iTi ( j) 1]
i 1
i 1
解 系统开环频率特性为
幅频特性 G( j)H ( j) K
1
2T12 1 2T22 1
相频特性 G( j)H ( j) arctgT1 arctgT2
起点 0, G( j)H( j) K, G( j)H( j) 0
G( j ) 1 j
幅频特性
G( j) 1 1 j
相频特性
G( j) arctg 900
0
Im
G
Re
900
0
图5-3 积分环节的频率响应
（三） 惯性环节 惯性环节的传递函数为
G(s) 1 Ts 1
对应的频率特性是
G( j ) 1 jT 1
幅频特性
G( j) 1 1 T 2 2
1
时，
G( j 1)
2 ， G( j 1 ) 450 ；
T
当 时， G( j) ，G( j) 900 ；
Im
G
G
0
0
1
Re
图5-7 一阶微分环节的频率响应
（六） 二阶微分环节 二阶微分环节的传递函数为 G(s) 2s2 2 s 1
对应的频率特性是
G( j) 2 2 j2 1
G
1
Re
0
0
图5-8 二阶微分环节频率特性图
（七） 不稳定惯性环节
不稳定惯性环节的传递函数为
G(s) 1 1 Ts
对应的频率特性是
G( j ) 1 1 jT
幅频特性
G( j)
1
T 2 2 1
相频特性
G( j) (arctgT) arctgT
当 0 时， G( j0) 1 ， G( j0) 00 ；
解 系统开环频率特性为
G( j)H ( j) K
1
j
1
jT1 1
1
jT2 1
幅频特性 G( j)H ( j) K
1
2T12 1 2T22 1
相频特性G( j)H ( j) 90 arctgT1 arctgT2
起点 0, G( j)H( j) , G( j)H( j) 90
终点 , G( j)H( j) 0, G( j)H( j) 270
终点 , G( j)H( j) 0, G( j)H( j) 180
与负虚轴交点 arctgT1 arctgT2 90
1
T1T2
G( j)H ( j) K T1T2
T1 T2
若在例4－1系统中增加一个积分环节，则系统为1型系统
其开环传函为 G(s)H (s)
K
s(T1s 1)(T2s 1)
1
相频特性G(
j)H
(
j)
2
180
2Ta1r2 ct1gT12T2 2arc1tgT2
起点 0, G( j)H( j) , G( j)H( j) 180
终点 , G( j)H( j) 0, G( j)H( j) 360
起点或终点存在无穷大，求渐近线
与实轴交点 令
例4-2 系统的开环传递函数为
一、典型环节幅相曲线
（一） 放大环节（比例环节)
放大环节的传递函数为 G(s) K （K为常数）
对应的频率特性是
Im
G( j) K
幅频特性
G( j) K
相频特性
K
Re
0
0
G( j ) 00
图5-2 放大环节的频率响应
（二） 积分环节 积分环节的传递函数为
G(s) 1 s
对应的频率特性是
A(s) B(s)
(s
s1)(s
A(s) s2)(s
sn
)
由此得到输出信号的拉氏变换
Y(s) G(s)X (s)
(s
s1)(s
A(s) s2)(s
sn )
(s
X j )(s
j )
b b a1 a2 an
s j s j s s1 s s2
s sn
对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为
二、实验法
当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传递函数时， 在系统的输入端输入正弦信号X(t)= Xsinωt，测出不同频 率时系统稳态输出的振幅Y和相移φ，便可得到它的幅频 特性和相频特性。
§ 4-2 频率特性的图形表示
幅相频率特性曲线 对数频率特性曲线
4.2.1 幅相频率特性曲线
幅相频率特性曲线：简称幅相曲线，又称极坐标图， 是以角频率ω作自变量，把幅频特性和相频特性用一条 曲线同时表示在复平面上。
)
(
)
arctg
ImG( Re G(
j j
) )
称为系统的相频特性，反
映系统在不同频率正弦信号的作用下，输出信号相对输
入信号的相移。
系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。
获取系统频率特性的途径: 一、解析法
当已知系统的传递函数时，用s=jω代入传递函数可 得到系统的频率特性G(jω)。
j )
(s
j )
s j
G( j)X
2j
b
G(s)
(s
X j )( s
j )
(s
j )
s j
G(
j ) X
2j
G(jω)是一个复数，用模和幅角可表示为
G( j) G( j) e j ()
(
)
G(
j)
arctg
ImG( Re G(
j) j)
同样，G(-jω)可以表示为
G( j) G( j) e j() G( j) e j()
则系统稳态响应可化为
yW (t) G( j ) e j ( )
Xe jt 2j
G( j ) e j ( )
Xe jt 2j
G( j ) X e j(t ) e j(t )
2j
G( j ) X sin(t )
或 yW (t) Y sin(t )
式中Y=|G(jω)|X为稳态输出信号的幅值; G( j) 为稳态输出信号的相移。
G( j) K jT 1
时，其频率特性是圆心为
K ,0 2
，半径为
K 的实轴下方半个圆周。
2
（四） 振荡环节
振荡环节的传递函数为
G(s)
T
2s2
1
2Ts
1
对应的频率特性是
G(
j )
T 2 2
1
j2T
1
1
(1 T 2 2 )
j2T
幅频特性
G( j)
1
(1T 2 2 )2 4 2T 2 2
注意： 幅频特性是角频率的偶函数，相频特性是的奇函数， 因此，角频率从0变化到无穷大时的幅相曲线与从负无 穷大变化到0的幅相曲线关于实轴对称，通常，只画出 从0变至时的幅相曲线，并在曲线上用箭头表示增大的 方向。 只要的值取得足够多，用解析的方法得到不同值时的 幅值和相角，就可以在极坐标平面上画出较精确的幅相 频率特性曲线。
Im
G
.
0
0.5
450
0 Re
1
1/ T
图5-4 惯性环节的频率响应
证明：
G( j)
jT
1
1
1
1
T 2
2
j
1
T T 2
2
ReG
(
j
)
1
1
T 2
2
u()
则有
ImG(
j
)
1
T T 2
2
v()
u( )
12 2
v( )2
1
1
T 2
2
1 2 2
1
T T 2
2
2
1 2 2
推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即
第四章 频域响应
§ 4-1 线性系统的频率响应
X(s)
Y(s)
G(s)
图4-1 系统方框图
设线性定常系统(图4-1)的传递函数为
Y (s) G(s) X (s)
其输入信号为
x(t) X sint
则输入信号的拉氏变换是
X (s)
X s2 2
(s
X j)(s
j )
系统的传递函数通常可以写成
G(s)
相频特性
G( j) arctgT
当 0 时， G( j0) 1 ，G( j0) 00 ；
当 1 时， G( j 1 )
T
T
1 2
0.707，G(
j
1 T
)
450
；
当 时， G( j) 0 ，G( j) 900 ；
当ω由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性
在 G( j) 平面上是正实轴下方的半个圆周，
系统的频率特性：G( j) G( j) e jG( j)
系统的频率特性反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳
态响应与输入正弦信号的关系。
其中： G( j ) Y ( ) 称为系统的幅频特性，反映系统在
不同频率正弦X信号作用下，输出稳态幅值与输入信号幅值 的比值，即系统的放大（或衰减）特性。
G(
j
起点或终点存在无穷大，求渐近线
起点 0, G( j)H( j) , G( j)H( j) 90 起点存在无穷大，求渐近线 将频率特性写成实部与虚部的形式
G(
j)H (
j)
K (1 jT1)(1 jT2 )( j) (1 2T12 )(1 2T22 )
K[(T1 T2 ) j(1 T1T22 ) (1 2T12 )(1 2T22 )
Re[G( j)H ( j)] Im[G( j)H ( j)]
实频特性 Re[G( j)H ( j)]
Im[G( j)H ( j)]
0 Re[G( j)H ( j)] K(T1 T2 ) Im[G( j)H ( j)]
与实轴交点 令 Im[G( j)H ( j) 0
得 x
1 T1T2
幅频特性
G( j) 1 2 2 2 4 2 2 2
相频特性
G(
j
)
arctg
1
2 2
2
当 0 时， G( j0) 1 ，G( j0) 00；
当
1
时，
G( j 1)
2
， G( j 1 ) 900 ；
T
当 时， G( j) ，G( j) 180 0 ；
Im
2 ( 1)
称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，
是振荡环节频率特性曲线与虚轴交点处的频率。
谐振峰值
M r G( jr ) 2
1 (0 1 2
1) 2
谐振相移
r G( jr ) arctg
1 2 2 90 0 arcsin
1 2
振荡环节的幅值特性曲线
当 0 r 时，随着ω的增加，幅值缓慢增大；
Re[G(
j
x
)
H
(
j
x
)]
KT1T2 T1 T2
若在例4－1系统中再增加一个积分环节，则系统
为2型系统 其开环传函为
G(s)H (s)
s2 (T1s
K 1)(T2 s
1)
解 系统开环频率特性为 G( j)H ( j) K 1 1 1
1
j j jT1 1 jT2 1
幅频特性 G( j)H ( j) K