江苏省南京市鼓楼区2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题

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2024届江苏省南京市鼓楼区鼓楼实验中学中考数学全真模拟试题含解析

2024届江苏省南京市鼓楼区鼓楼实验中学中考数学全真模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．等腰三角形两边长分别是2 cm 和5 cm ，则这个三角形周长是（）A ．9 cmB ．12 cmC ．9 cm 或12 cmD ．14 cm2．如果数据x 1，x 2，…，x n 的方差是3，则另一组数据2x 1，2x 2，…，2x n 的方差是（）A ．3B ．6C ．12D ．53．某青年排球队12名队员年龄情况如下：年龄18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（）A ．20，19B ．19，19C ．19，20.5D ．19，204．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5．下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6．如果关于x 的方程220x x c ++=没有实数根，那么c 在2、1、0、3-中取值是（）A ．2；B ．1；C ．0；D ．3-．7．下列运算中，计算结果正确的是（）A ．a 2•a 3=a 6B ．a 2+a 3=a 5C ．（a 2）3=a 6D ．a 12÷a 6=a 2 8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若BC=2，则EF 的长度为（）A．B．1 C．D．9．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣310．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D 为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．312B．36C．33D．3211．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．10000x﹣10=14700(140)0x+B．10000x+10=14700(140)0x+C．10000(140)0x-﹣10=14700xD．10000(140)0x-+10=14700x12．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB=2，BC=1．连接AI，交FG于点Q，则QI=（）A．1 B 61C66D．43二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB 长_____海里．14．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个．15．分解因式2242xy xy x ++=___________16．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所示尺寸（单位：mm ），计算出这个立体图形的表面积．17．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，且半径OC ⊥AB ，点D 在半径OB 的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由BC ，线段CD 和线段BD 所围成图形的阴影部分的面积为__．18．在ABC 中，A ∠：B ∠：C ∠=1：2：3，CD AB ⊥于点D ，若AB 10=，则BD =______三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于1，则称P 为直线m 的平行点．（1）当直线m 的表达式为y ＝x 时，①在点()11,1P ，(22P ，322P ⎛ ⎝⎭中，直线m 的平行点是______； ②⊙O 10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标．（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线3y x =的平行点，直接写出n 的取值范围．20．（6分）如图所示，点C为线段OB的中点，D为线段OA上一点．连结AC、BD交于点P．（问题引入）（1）如图1，若点P为AC的中点，求ADDO的值．温馨提示：过点C作CE∥AO交BD于点E．（探索研究）（2）如图2，点D为OA上的任意一点（不与点A、O重合），求证：PD AD PB AO=．（问题解决）（3）如图2，若AO=BO，AO⊥BO，14ADAO=，求tan∠BPC的值．21．（6分）西安汇聚了很多人们耳熟能详的陕西美食．李华和王涛同时去选美食，李华准备在“肉夹馍（A）、羊肉泡馍（B）、麻酱凉皮（C）、（biang）面（D）”这四种美食中选择一种，王涛准备在“秘制凉皮（E）、肉丸胡辣汤（F）、葫芦鸡（G）、水晶凉皮（H）”这四种美食中选择一种．（1）求李华选择的美食是羊肉泡馍的概率；（2）请用画树状图或列表的方法，求李华和王涛选择的美食都是凉皮的概率．22．（8分）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（I）如图①，若BC为⊙O的直径，求BD、CD的长；（II）如图②，若∠CAB=60°，求BD、BC的长．23．（8分）如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝DC．求证：BC＝EF．24．（10分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．求证：△ABM ∽△EFA ；若AB=12，BM=5，求DE 的长．25．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在小正方形的顶点上．在图中画出以线段AB 为一边的矩形ABCD （不是正方形），且点C 和点D 均在小正方形的顶点上；在图中画出以线段AB 为一腰，底边长为22的等腰三角形ABE ，点E 在小正方形的顶点上，连接CE ，请直接写出线段CE 的长．26．（12分）如图，在△ABC 中，∠C=90°．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于D ；若AB=10cm ，CD=4cm ，求△ABD 的面积．27．（12分）先化简，再求值：222221412()x x x x x x x x-+-+÷-+，且x 为满足﹣3＜x ＜2的整数．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、B【解题分析】当腰长是2 cm 时，因为2+2<5，不符合三角形的三边关系，排除；当腰长是5 cm 时，因为5+5>2，符合三角形三边关系，此时周长是12 cm ．故选B ．2、C【解题分析】【分析】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ，再根据方差公式进行计算：()()()()222221231n S x x x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦即可得到答案．【题目详解】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ，根据方差公式：()()()()222221231n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦=3，则()()()()22222123122222222n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦ =()()()()222212314444n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×()()()()22221231n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×3=12，故选C ．【题目点拨】本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．3、D【解题分析】先计算出这个队共有1+4+3+2+2=12人，然后根据众数与中位数的定义求解．【题目详解】这个队共有1+4+3+2+2=12人，这个队队员年龄的众数为19，中位数为20202+=1．故选D ．【题目点拨】本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．也考查了中位数的定义．4、D【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【题目详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选D．【题目点拨】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．5、D【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【题目详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选D．【题目点拨】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6、A【解题分析】分析：由方程根的情况，根据根的判别式可求得c的取值范围，则可求得答案．详解：∵关于x的方程x1+1x+c=0没有实数根，∴△＜0，即11﹣4c＜0，解得：c＞1，∴c在1、1、0、﹣3中取值是1．故选A．点睛：本题主要考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．7、C【解题分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相减；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解．【题目详解】A、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；B、a2+a3不能进行运算，故本选项错误；C 、（a 2）3=a 2×3=a 6，故本选项正确；D 、a 12÷a 6=a 12﹣6=a 6，故本选项错误．故选：C ．【题目点拨】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．8、B【解题分析】根据题意求出AB 的值，由D 是AB 中点求出CD 的值，再由题意可得出EF 是△ACD 的中位线即可求出.【题目详解】∠ACB=90°，∠A=30°，BC=AB.BC=2, AB=2BC=22=4,D 是AB 的中点, CD=AB= 4=2.E,F 分别为AC,AD 的中点,EF 是△ACD 的中位线. EF=CD= 2=1.故答案选B.【题目点拨】本题考查的知识点是三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理.9、A【解题分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．【题目详解】方程2410x x +=﹣，变形得：241x x =﹣﹣，配方得：24414x x +=+﹣﹣，即223x =（﹣），故选A ．本题考查的知识点是了解一元二次方程﹣配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式．10、B【解题分析】试题解析：如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB33，根据题意得：AD=BC=x，AE=3，作EM⊥AD于M，则AM=12AD=12x，在Rt△AEM中，cos∠EAD=13263xAMAE x==；故选B．【题目点拨】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM是解决问题的关键.11、B【解题分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【题目详解】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：10000x +10=()147001400x+．故选B．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．12、D【解题分析】解：∵△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，∴HI =AB =2，GI =BC =1，BI =2BC =2，∴AB BI =24=12BC AB ，=12，∴AB BI =BC AB ．∵∠ABI =∠ABC ，∴△ABI ∽△CBA ，∴AC AI =AB BI．∵AB =AC ，∴AI =BI =2．∵∠ACB =∠FGE ，∴AC ∥FG ，∴QI AI =GI CI =13，∴QI =13AI =43．故选D ．点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB ∥CD ∥EF ，AC ∥DE ∥FG 是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1【解题分析】分析：首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°，再由AB ∥NP ，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt △ABP ，得出AB=AP•cos ∠A=1海里．详解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°．∵AB ∥NP ，∴∠A=∠NPA=60°．在Rt △ABP 中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=4海里，∴AB=AP•cos ∠A=4×cos60°=4×12=1海里．故答案为1．点睛：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．14、1【解题分析】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据总价=单价⨯购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．【题目详解】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据题意得：()80x 5050x 3000+-≤，解得：50x 3≤． x 为整数， x ∴最大值为1．故答案为1．【题目点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．15、22(1)x y +【解题分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【题目详解】原式＝2x （y 2＋2y ＋1）＝2x （y ＋1）2，故答案为2x （y ＋1）2 【题目点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 16、100 mm 1 【解题分析】首先根据三视图得到两个长方体的长，宽，高，在分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面积即可．【题目详解】根据三视图可得：上面的长方体长4mm ，高4mm ，宽1mm ，下面的长方体长8mm ，宽6mm ，高1mm ，∴立体图形的表面积是：4×4×1+4×1×1+4×1+6×1×1+8×1×1+6×8×1-4×1=100（mm 1）．故答案为100 mm 1．【题目点拨】此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的表面积，根据图形看出长方体的长，宽，高是解题的关键．17、﹣23π．【解题分析】试题分析：根据题意可得：∠O=2∠A=60°，则△OBC 为等边三角形，根据∠BCD=30°可得：∠OCD=90°，OC=AC=2，则CD=OCD122S =⨯=OBC 60423603S ππ⨯==扇形，则23S π=阴影． 18、2.1 【解题分析】先求出△ABC 是∠A 等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解．【题目详解】解：根据题意，设∠A 、∠B 、∠C 为k 、2k 、3k ，则k+2k+3k=180°，解得k=30°， 2k=60°， 3k=90°， ∵AB=10， ∴BC=12AB=1， ∵CD ⊥AB ， ∴∠BCD=∠A=30°， ∴BD=12BC=2.1．故答案为2.1．【题目点拨】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC 是直角三角形是解本题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）①2P ，3P ;②，(-，(，(-;（2）33n -≤≤．【解题分析】(1)①根据平行点的定义即可判断；②分两种情形：如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1.如图2，当点B 在原点下方时，同法可求；(2)如图，直线OE 的解析式为y =，设直线BC//OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D. 设⊙A 与直线BC 相切于点F ，想办法求出点A 的坐标，再根据对称性求出左侧点A 的坐标即可解决问题；【题目详解】解：（1）①因为P 2、P 3到直线y ＝x 的距离为1，所以根据平行点的定义可知，直线m 的平行点是2P ，3P ，故答案为2P ，3P ．②解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线．设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH ＝1．由直线m 的表达式为y ＝x ，可知∠OAB ＝∠OBA ＝45°．所以2OB =．直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q ．连接1OQ ，作1Q N y ⊥轴于点N ，可知110OQ = 在1Rt OHQ ∆中，可求13HQ =．所以12BQ =．在1Rt BHQ ∆中，可求12NQ NB = 所以22ON =．所以点1Q 的坐标为2,22．同理可求点2Q 的坐标为(22,2--．如图2，当点B 在原点下方时，可求点3Q 的坐标为()22,2点4Q 的坐标为()2,22--，综上所述，点Q 的坐标为()2,22，()22,2--，()22,2，()2,22--．（2）如图，直线OE 的解析式为3y x =，设直线BC ∥OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D ．当CD ＝1时，在Rt △COD 中，∠COD ＝60°， ∴23sin 60CD OC ==︒，设⊙A 与直线BC 相切于点F ，在Rt △ACE 中，同法可得23AC =∴33OA =， ∴433n =根据对称性可知，当⊙A 在y 轴左侧时，43n =，观察图象可知满足条件的N的值为：434333n-≤≤．【题目点拨】此题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20、（1）12；(2) 见解析；(3)12【解题分析】（1）过点C作CE∥OA交BD于点E，即可得△BCE∽△BOD，根据相似三角形的性质可得CE BCOD BO=，再证明△ECP≌△DAP，由此即可求得ADDO的值；（2）过点D作DF∥BO交AC于点F，即可得PD DFPB BC=，AD DFAO OC=，由点C为OB的中点可得BC=OC，即可证得PD ADPB AO=；（3）由（2）可知PD ADPB AO==14，设AD=t，则BO=AO=4t，OD=3t，根据勾股定理求得BD=5t，即可得PD=t，PB=4t，所以PD=AD，从而得∠A=∠APD=∠BPC，所以tan∠BPC=tan∠A=12 OCOA=．【题目详解】（1）如图1，过点C作CE∥OA交BD于点E，∴△BCE∽△BOD，∴=，又BC=BO，∴CE=DO．∵CE∥OA，∴∠ECP=∠DAP，又∠EPC=∠DPA，PA=PC，∴△ECP≌△DAP，∴AD=CE=DO，即=；（2）如图2，过点D作DF∥BO交AC于点F，则=，=．∵点C为OB的中点，∴BC=OC，∴=；（3）如图2，∵=，由（2）可知==．设AD=t，则BO=AO=4t，OD=3t，∵AO⊥BO，即∠AOB=90°，∴BD==5t，∴PD=t，PB=4t，∴PD=AD，∴∠A=∠APD=∠BPC，则tan∠BPC=tan∠A==．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线，构造相似三角形是解决本题的关键，也是求解的难点．21、（1）14；（2）见解析.【解题分析】（1）直接根据概率的意义求解即可；（2）列出表格，再找到李华和王涛同时选择的美食都是凉皮的情况数，利用概率公式即可求得答案．【题目详解】解：（1）李华选择的美食是羊肉泡馍的概率为；（2）列表得：E F G HA AE AF AG AHB BE BF BG BHC CE CF CG CHD DE DF DG DH由列表可知共有16种情况，其中李华和王涛选择的美食都是凉皮的结果数为2，所以李华和王涛选择的美食都是凉皮的概率为=．【题目点拨】本题涉及树状图或列表法的相关知识，难度中等，考查了学生的分析能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22、（1）2（2）BD=5，3【解题分析】（1）利用圆周角定理可以判定△DCB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5，再根据垂径定理求出BE即可解决问题.【题目详解】（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵AD平分∠CAB，∴DC BD，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴2，（2）如图②，连接OB，OD，OC，∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=12∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5，∵AD平分∠CAB，∴DC BD，∴OD⊥BC，设垂足为E，∴53，∴3．【题目点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．23、证明见解析.【解题分析】想证明BC=EF，可利用AAS证明△ABC≌△DEF即可．【题目详解】解：∵AF＝DC，∴AF+FC＝FC+CD，∴AC＝FD，在△ABC 和△DEF 中，A DB E AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （AAS ） ∴BC ＝EF ．【题目点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24、（1）见解析；（2）4.1 【解题分析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD ，∠B=10°，AD ∥BC ，得出∠AMB=∠EAF ，再由∠B=∠AFE ，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM ，得出AF ，由△ABM ∽△EFA 得出比例式，求出AE ，即可得出DE 的长．试题解析：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，∠B=10°，AD ∥BC ， ∴∠AMB=∠EAF ，又∵EF ⊥AM ， ∴∠AFE=10°， ∴∠B=∠AFE ， ∴△ABM ∽△EFA ；（2）∵∠B=10°，AB=12，BM=5， ∴，AD=12， ∵F 是AM 的中点， ∴AF=12AM=6.5， ∵△ABM ∽△EFA ， ∴BM AMAF AE =，即5136.5AE=， ∴AE=16.1， ∴DE=AE-AD=4.1．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．25、作图见解析；CE=4.【解题分析】分析：利用数形结合的思想解决问题即可.详解：如图所示，矩形ABCD和△ABE即为所求；CE=4.点睛：本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题．26、（1）答案见解析；（2）220cm【解题分析】(1)根据三角形角平分线的定义,即可得到AD;(2)过D作于DE⊥ABE,根据角平分线的性质得到DE=CD=4,由三角形的面积公式即可得到结论.【题目详解】解:(1)如图所示,AD即为所求;(2)如图,过D作DE⊥AB于E,∵AD平分∠BAC,∴DE=CD=4,∴S△ABD=12AB·DE=20cm2.【题目点拨】掌握画角平分线的方法和角平分线的相关定义知识是解答本题的关键.27、-5【解题分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【题目详解】原式=[2(1)(1)xx x--+(2)(2)(2)x xx x-++]÷1x=（1xx-+2xx-）•x=x﹣1+x﹣2=2x﹣3由于x≠0且x≠1且x≠﹣2，所以x=﹣1，原式=﹣2﹣3=﹣5【题目点拨】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．。

专题2.4 提高复习之数列与不等式相结合问题-备战期末考试2015-2016学年高一下学期数学期

1．已知数列{n a }满足：11a =，2210,1n n n a a a +>-= ()*n N ∈，那么使n a ＜3成立的n 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．8 D ．9 【答案】C 【解析】试题分析：由题知{}2n a 是等差数，221(1)1n a a n n =+-⨯=，3n a <，29n a ∴<，9n ∴<，则n 的最大值为8.故选C.2．已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，第k 项满足1310<<k a ，则=k （） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：由数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，可求得通项公式210n a n =-，所以1021013k <-<，解得1011.5k <<，因为*k N ∈，所以11k =，故选C.3．已知数列{}n a 满足134()n n a a n N +++=∈且19a =，其前n 项和为n S ，则满足1|6|125n S n --<的最小正整数n 为（）A. 6B.7C.8D.9 【答案】B4．已知数列{}n a 满足712,83,8n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩，若对于任意n N *∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D5．已知数列{}n a 的通项公式为327n a n =-，记数列S n 的前n 项和为，则使S 0n ≤成立的n 的最大值为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 【答案】C 【解析】试题分析：123433333,1,3,32175227237247a a a a ==-==-==-==⨯-⨯-⨯-⨯-,531257a ==⨯-6332675a ==⨯-,7332777a ==⨯-,…，所以使0n S ≤成立的n 的最大值为6，故选C.6．已知数列{}n a 是递增数列，且对任意*n N ∈都有2n a n bn =+成立，则实数b 的取值范围是（） A ．7(,)2-+∞ B ．(0,)+∞ C ．(2,)-+∞ D ．(3,)-+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：因为*n N ∈，{}n a 递增，所以322b -<，3b >-．故选D ． 7．若，a ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则a 的值是（）A ．4或5B ．3或4C ．3或2D ．1或2 【答案】A8．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（） A ．6S B ．7S C ．8S D ．15S 【答案】B 【解析】试题分析：由95S S =,得()67897820a a a a a a +++=+=, 由01>a 知,0,087<>a a ,所以7S 最大，故B 正确.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足515S =-，3172d <<，则当n S 取得最小值时n 的值为（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列求和公式得251551522d d S a ⎛⎫=⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭ ，整理得132a d =--，故22215323222222n d d d d d d S n a n n d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+---=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对称轴35=2n d +，因为3172d <<，n Z ∈，故=9n 时取得最小值. 10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >其中正确命题的个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．1 【答案】C11．在数列}{n a 中，12a =，11(1)(1)220()n n n n a a a a n N *++--+-=∈，若5150n a <，则n 的最小值为__________. 【答案】100 【解析】试题分析：令1n n a b -=，则∵11(1)(1)220()n n n n a a a a n N *++--+-=∈，∴11220n n n n b b b b +++-=，∴11112n n b b +-=，∵12a =，∴111b =，∴1111(1)22n n n b +=+-=，∴21n b n =+，∴211n a n -=+，∴211n a n =++，∵5150n a <，∴2511150n +<+，∴99n >，∴n 的最小值为100．所以答案应填：100． 12．数列{}n a 满足141,1211=+=+n n a a a ，记2232221n n a a a a S +⋅⋅⋅+++=，若3012m S S n n ≤-+对任意*∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为_______. 【答案】10 【解析】试题分析：由1n a +=，得221114n n a a +-=，可知数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为4的等差数列，所以()2111443nn n a =+-⨯=-，则2143n a n =-，22212n nS a a a =+++，考查()()222212*********418589n n n n n n n S S S S a a a n n n ++++++---=--=--+++，又1111082858289n n n n ⎛⎫⎛⎫-+->⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，即()()212311*********n n n n S S S S n n n +++---=-->+++，则可知数列{}21n n S S +-是一个递减数列，所以数列{}21n n S S +-的最大项为22313211149545S S a a -=+=+=，又3012m S S n n ≤-+对任意*∈N n 恒成立，所以144530m ≤，即283m ≥，所以m 的最小值是10.13．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式222122n n S a ma n+≥对任意等差数列{a n }及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为____________．【答案】11014．已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，1=1a ,2=(1)n n S n a +，若存在唯一的正整数n 使得不等式2220n n a ta t --≤成立，则实数t 的取值范围为_______.【答案】1(2,1][,1)2-- 【解析】试题分析：由2(1)n n S n a =+得，当2n ≥时有112n n S na --=，所以11222(1)n n n n n a S S n a na --=-=+-，即1(1)n n n a na --=，11n n a na n -=-，又11a =，所以121211n n nn n n a a a a a n a a a a ---=⋅⋅⋅==，所以2220n n a ta t --≤等价于2220n tn t --≤，设22()2f n n tn t =--，由于2(0)20f t =-≤，所以由题意有2222(1)120(2)2220f t t f t t ⎧=--<⎪⎨=--≥⎪⎩，解之得21t -<≤-或112t ≤<，所以应填1(2,1][,1)2--. 15．已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若23n nS S N ≤-≤M 对n *∈N 恒成立，则M -N 的最小值为．【答案】251216．已知数列{}n a 通项为98.5n n a n -=-，若n a ≤M 恒成立，则M 的最小值为．【答案】2 【解析】试题分析：根据题意可知M 的最小值为数列的最小项，因为90.518.58.5n n a n n -==---，可知当8n =时取得最小值，而82a =，所以M 的最小值为2．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n T ,且点(,)n n T 在函数23122y x x =-上，且423log 0n n a b ++=（n N *∈）．（I ）求{}n b 的通项公式；（II ）数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（III ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n B ，设21n n nd b B =⋅，证明：1212n d d d +++<.【答案】（I ）n n b 41=；（II ）nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛+-=4132332；（III ）证明见解析.试题解析：（I ）由点()n T n ,在函数x x y 21232-=上，得：n n T n 21232-= （ⅰ）当1=n 时，1212311=-==T a . （ⅱ）当2≥n 时，231-=-=-n T T a n n n ，∴23-=n a n ．又∵0log 324=++n n b a ， ∴n n n b 414==- （II ）∵()nn n n n b a c ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=4123且n n c c c c S +++=321，∴()nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=4123417414411321 ……①()1432412341741441141+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n n S …②由①-②得：()132412341414134143+⎪⎭⎫⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n S()141412341141116134143+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫⎝⎛-+=n n n n S整理得：nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛+-=4132332.18．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，n N *∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：11b =，12(2)n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：2n T <；（3）若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立，求λ的取值范围. 【答案】（1）12n a n =；（2）证明见解析；（3）29≥λ．【解析】试题分析：（1）本小题是已知n S 与n a 的关系求通项公式的题型，方法是先由11a S =，求出1a ，然后利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-得到n a 与1n a -的关系，再求通项；（2）由已知得1n n b b n --=，已知前后项的差，因此可用累加法求得通项，即由121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-得(1)2n n n b +=，从而用裂项求和法求出1{}nb 的前n 项和n T ，并证得题设结论；（3）不等式2(4)1n λn n ≤++恒成立，可变形为2(1)(4)n λn n ≥++，为此只要求得2(1)(4)nn n ++的最大值即可，这可由基本不等式得到结论．试题解析：（1）1n =时，211111122a a a a =+∴= 21112211211121222n n n n n n nn n n n S a a a a a a a S a a+++--⎧=+⎪⎪⇒=-+-⎨⎪=+⎪⎩ 111()()02n n n n a a a a --⇒+--= 1102n n n a a a ->∴-=∴{}n a 是以12为首项，12为公差的等差数列 12n a n ∴=（3）由2(4)1n λn n ≤++得224(1)(4)5n n n n n λ≥=++++，当且仅当2n =时，245n n++有最大值29，29λ∴≥19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()241n n S a n N *=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）已知()241n n S a =+，要求通项公式，可再写一式2n ≥时，()21141n n S a --=+，利用1n n n a S S -=-，把两式相减可得n a 的递推关系，本题可得{}n a 是等差数列，易得通项；（2）要证明题设不等式，必须求得和n T ，由于12211(21)(21)2121n n a a n n n n +==--+-+，即可用裂项相消法求得和n T 1121n =-+，注意到*n N ∈，不等式易得证．试题解析：（1）1n =时，11a =；2n ≥时，()21141n n S a --=+，又()241n n S a =+，两式相减得()()1120n n n n a a a a --+--=,{}10,2,n n n n a a a a ->∴-=为是以1位首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n⎛⎫⎪⎝⎭在直线11122y x =+上. （1）求数列{}n a 的通项公式；[来（2）设()()13211211n n n b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，并求使不等式20n kT >对一切*n N ∈都成立的最大正整数k 的值．【答案】（1）5n a n =+；（2）max 19k =．【解析】试题分析：（1）由题意，得11122n S n n =+，化为211122n S n n =+，利用递推关系即可得出；（2）利用“裂项求和”可得Tn ，再利用数列的单调性、不等式的性质即可得出．试题解析：（1）由题意，得11122n S n n =+，即211122n S n n =+故当2n ≥时，()()2211111111152222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=+--+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 当n=1时，11615a S ===+, 所以5n a n =+.。

江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年度第一学期期中高一数学试题(原卷版)

高一数学试题第 1 页 (共 6 页)高一(上)期中试卷数学 2022.11注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分为150分，考试形式为闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第 Ⅰ 卷 (选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，1}B ．{1}C ．{－1，0}D ．{－1，0，1}2．已知p ：x ≥1，q ：x ＝1，则( )A ．p 是q 的充分条件但不是必要条件B ．p 是q 的必要条件但不是充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 不是q 的充分条件也不是必要条件3．不等式1x －1＜1的解为( ) A ．1＜x ＜2 B ．－2＜x ＜－1 C ．x ＞2或x ＜1 D ．x ＞－1或x ＜－24．已知命题：(1)任何实数的平方都是非负数；(2)有些三角形的三个内角都是锐角；(3)每一个实数都有相反数；(4)所有数与0相乘，都等于0．其中存在量词命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．计算823＋9－12的结果是( )高一数学试题第 2 页 (共 6 页)A ．113B ．133C ．56D ．766．在下列图象表示的函数中，既是奇函数又是增函数的可以是( )A ．B ．C ．D ．7．已知函数f (x )＝|x |＋x 2＋1，g (x )＝f (x －2)＋1，则不等式f (x )＞g (x )的解集为( ) A ．(－∞，2) B ．(1，2) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞)8．设a ＝202122020×2022，b ＝202222021×2023，c ＝202322022×2024，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知a ＞b ＞0，则( )A ．a 2＞b 2B ．2a －b ＞3a －2bC ．1b ＞1aD ．a －1b ＞b －1a10．若U ＝Z ，A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，则( )A ．A ∩B ＝{0} B ．A ∪B ＝UC ．C U B ＝AD ．A ⊂≠B11．约定：如果一个函数的图象上存在一个点，该点的横坐标和纵坐标相等，那么就称该点为该函数的一个回归点，称该函数是一个具有回归点的函数．如果一个函数有且仅有n 个回归点，那么就称该函数为一个具有n 个回归点的函数．例如，点(0，0)和(1，1)都是函数f (x )＝x 2的回归点，函数f (x )＝x 2是一个具有两个回归点的函数．根据约定，下列选项中止确的是( )高一数学试题第 3 页 (共 6 页)A ．函数f (x )＝x 5是个具有回归点的函数B ．具有回归点的函数有无数个C ．存在无数个具有无数个回归点的函数D ．已知点(a ，a )是函数f (x )的一个回归点，则点(2a ，2a )也是函数f (x )的一个回归点12．已知函数f (x )＝x 2＋1x(x ＞0)，则( ) A ．f (x )的图象与x 轴有且仅有1个交点B ．g (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递增C ．f (x )的最小值为334D ．f (－x )的图象在h (x )＝2x(x ＜0)的图象的上方第 Ⅱ 卷 (非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在对数式log a (2－x )＝b (a ＞0，a ≠1)中，实数x 的取值范围是 ▲ ．14．写出命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定： ▲ ．15．多种原因导致国际原材料价格不断上涨．2021年11月，海关总署统计了当年前10个月我国主要大宗商品进口情况，数据如下表：高一数学试题第 4 页 (共 6 页)原材料价格的不断上涨导致终端产品被动提价．由于钢材和铜材这两种原料价格上涨，某出口企业决定根据这两种原料的增幅，对某种产品分两次提价，现有三种提价方案：方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：第一次提价q %，第二次提价p %方案丙：第一次提价p ＋q 2%，第二次提价p ＋q 2%．其中p ＞q ＞0，那么在三种方案中，提价多的是方案 ▲ ．16．已知a ，b ∈R ，若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－2对称，且对于任意正数x 都有x 2－ax ＋t ≥bx 成立，则a ＋b ＝ ▲ ，实数t 的最小值是 ▲ ．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)解不等式：1－x 2－16＜x ＋12； (2)证明不等式：a 2＋b 2≥2a ＋4b －5．.18．(本小题满分12分)(1)求(lg2)2＋lg2lg50＋2lg5的值；(2)已知a 是非零实数，满足a －a －1，分别求a ＋a －1，a 2＋a －2的值．19．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，其中a∈R．(1)若A∩B＝{x|－2≤x≤1}，求a的值；(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，求a的取值范围．20．(本小题满分12分)某单位要建造一间地面面积为12m2的背靠墙的长方体形小房，房屋正面留有一扇宽为1m 的小门，房屋的墙和门的高度都是3m，房屋正面的单位面积造价为1200元/m2，房屋侧面的单位面积造价为800元/m2，屋顶的造价为5800元．若不计房屋背面的费用和门的费用，问：怎样设计房屋能使总造价W(单位：元)最低?最低总造价是多少?高一数学试题第5页(共6页)高一数学试题第 6 页 (共 6 页) 21．(本小题满分12分)我们知道，函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x )为奇函数．有同学发现可以将其推广为如下结论：函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．已知该结论是真命题．(1)求函数h (x )＝x 3－6x 2图象的对称中心；(2)还有同学提出了如下两个命题：命题① 已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，如果函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，那么函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1成轴对称图形；命题② 已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，如果函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1成轴对称图形，那么函数y ＝f (x ＋1)为偶函数；请你在这两个命题中选择一个，判断它是否是真命题，并给出理由．(若两个都选，则只对你选的第一个评分)22．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2－2ax ，a ∈R ．(1)当0≤x ≤1时，求f (x )的最小值；(2)若任意x ≥0，f (x )≥12ax 2－1，求a 的取值范围．。

江苏省张家港高级中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案

2015～2016学年第二学期期中考试三校联考高一年级数学试卷命题学校：张家港高级中学命题人：赵松一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸上．．．．． 1．已知集合{}{}{}1,1,3,2,21,1a A B AB =-=-=，则实数a 的值为 ▲ ．2．化简:sin13ocos17o+cos13osin17o= ▲ ．3．已知数列{n a }的通项公式为22n a n n=+，那么110是它的第 ▲ 项． 4．不等式122x x ->+的解集是 ▲ ． 5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围是 ▲ ．6．若数列1,,,,4a b c 成等比数列，则b 的值为____ ▲ __．7．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且边a=4,c=3，则△ABC 的面积为_ ▲ __．8．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若7916a a +=，77S =，则12a = ▲ ．9．若关于x 的不等式2260tx x t -+<的解集(,)(1,)a -∞+∞，则a 的值为 ▲ ．10．已知数列{}n a 满足===-3711,2,5a a a a a nn n 则▲ ．11．在等式cos()(1)1=★的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是 ▲ .12．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝ ▲ .13．设△ABC 的面积为S ，20S AB AC ⋅=.若||3BC =，则S 的最大值为 ▲ ．14．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x ) 成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2．则数列的通项公式a n ＝ ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()sin()cos 6f x x x π=++（1）求函数()f x 的最大值，并写出当()f x 取得最大值时x 的取值集合；（2）若(0,),()265f ππαα∈+=，求()2f α的值．16．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，244,16a a ==．（1）求公比q ；（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，求数列{}n b 的通项公式．17．在四边形中ABCD ，已知9,6,2AB BC CP PD ===．（1）若四边形中ABCD 是矩形，求AP BP ⋅的值；（2）若四边形中ABCD 是平行四边形，且AP BP ⋅=6，求AB 与AD 夹角的余弦值．18．已知函数2()3f x x ax =++．（1）当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当[]2,2x ∈-时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围．19．如图，甲船从A 处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B 处沿固定方向匀速航行，B 在A 北偏西0105方向且与A相距20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西0120方向的D 处，此时两船相距10海里．（1）求乙船每小时航行多少海里？（2）在C 处的北偏西030方向且与CE ，暗礁E海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？请说明理由．20．设数列{a n }，a 1=1，1122n n n a a +=+，数列{b n }，12n n n b a -=．(1)求证：数列{b n }为等差数列，并求出{b n }的通项公式；（2）数列{}n a 的前ｎ项和为n S ，求n S ； (3) 正数数列{d n }满足n d ={d n }的前n 项和为D n ，求不超过100D 的最大整数的值．答案：一．填空题：1．1 2．123．4 4．{}|52x x -<<- 5．[]3,3- 6．2 7．3 3 8．15 9．-3 10． 4 11．040 12．66 1314．n ·2n 解答题：15．（1）f(x)=23sinx+21cosx+cosx=3sin(x+)3π……………….. 3分当x+3π=2k )2(2πππ∈+k 即x=2k 时)(6Z k ∈+ππ …………….5分f(x)取得最大值3. ……………6分此时x 的取值集合为}⎩⎨⎧∈+=Zk k x x ,62ππ ……………….7分（2）由（1）得f(x)=)3sin(3π+x 又f(533cos 3)36sin(3)6==++=+αππαπα 即cos 53=α ……….8分 54sin )2,0(=∴∈απα ………………….10分2524cos sin 22sin ==ααα 2572cos -=α ………………….12分 ααπαα2cos 232sin 23)32sin(3)2(+=+=∴f ………………... 13分 =5021324- ………………... 14分16．解：（1）由已知得21341416a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，∴24q =， ……4分又0q >，∴2q =． ……6分（2）由（1）可得2n n a =．∴33558,32b a b a ====． ……8分设等差数列{}n b 的公差为d ，则3281253d -==-， ……10分 ∴()83121228n b n n =+-⨯=-． ……14分17．(1)13AP AD DP AD DC =+=+uu u r uuu r uu u r uuu r uuu rQ23B P B C C P B C D C=+=-u ur u uu r u ur u uu r u u ur ……3分 12()()33AP BP AD DC BC DC ∴⋅=+-uu u r uu r uuu r uuu r uu u r uuu rQ 四边形ABCD 是矩形 0AD DC ∴⋅=uuu r uuu r (2)分22()36811899AP BP AD BC DC ∴⋅=⋅-=-⨯=uu u r uu r uuu r uu u r uuu r …….7分②12()()633AP BP AD AB AD AB ∴⋅=+-=uu u r uu r uuu r uu u r uuu r uu u r……10分2212639AD AB AD AB ∴-⋅-⨯=uuu r uu u r uuu r uu u r 1123AB AD ∴⋅=uuu r uuu r …..12分设AB uu u r 与AD uuu r 的夹角为θ，则196cos 123θ⨯⨯= …….13分2c o s 3θ∴=即AB uu u r 与AD uuu r 的夹角的余弦值为23 …….15分18．（1）,()x R f x a ∈≥恒成立，230x ax a ∴++-≥恒成立， (2)则24(3)0,6 2.a a a ∆=--≤∴-≤≤ .........5 故a 的取值范围是[]6,2- (6)（2）22()()3,24a a f x x =++-讨论对称轴与[]2,2-的位置关系，得到a 的取值满足下列条件：222222,,22(2)(2)34a a a a f a f a a ⎧-<-<⎧⎧⎪-≤--≥⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≥≥-≥⎩⎩⎪⎩或或， (12)解得72a -≤≤， (14)∴当[]2,2x ∈-时，()f x a ≥恒成立，a 的取值范围为[]7,2- (15)19．（1）连结AD ，由题意知CD=10，AC=060,10306020=∠=⋅ACD 是等边三角形ACD ∆∴ …………………. 2分∴AD=10，又∠DAB=450 (3)分在10045cos 2AD BD ABD 0222=⋅-+=∆AB AD AB 中，由余弦定理得 BD=10 ， V=10⋅3=30海里 ………………… 5分答：乙船的速度为每小时30海里 ………………….6分（2）延长CE 交BD 于F,过E 分别作EP ，于P AC ⊥EH ⊥BD 于H233430sin 3383000>==∴=∠EP ECP 甲船没有危险 …………………………10分3310tan3010CF 60,30000===∠∴=∠又 DFC HDC0Rt FEH EH 133EF ∴=∆==<在中，..15乙船有危险 ……………………… 16分20．(1)由1122n n n a a +=+，得11221n n n n a a -+=+． ………………2分又12n n n b a -=，所以11n+n b b +=又b 1=a 1=1， ………………4分所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．n b n =． ……………….6分（2）12n n na -= ………………..7分所以01211232222n n n S -=++++①，123112322222n nnS =++++，② 由①-②，得112111[1()]111112212()2122222222212n n n n n n n n n n n n S ---=-=-=--=--+++++ (9)所以1242n n nS -=-+． …………….10分（3）22222222211(1)(1)1(1)(1)nn n n n d n n n n ++++=++=++ ………………11分(1)111111(1)(1)1n n n d n n n n n n ++==+=+-+++， ……………….14分所以100111111111(1)(1)(1)(1)101122334100101101D =+-++-++-+++-=-，.15分所以，不超过100D 的最大整数为100． ……………..16分。

2015—2016学年度第一学期期中质量调研检测试卷

2015—2016学年度第一学期期中质量调研检测试卷七年级数学一、选择题（每小题2分，共12分） 1．4-的绝对值是（）A ．4-B ．4C ．14-D ．142．据统计，我国2013年全年荒废造林面积约6090000公顷，6090000用科学记数法可表示为（） A ．6.09105⨯ B ．66.0910⨯ C ．460910⨯ D ．560.910⨯3．下列各组数中，相等的一组是（） A ．42-与()42- B ．35与53 C ．()3--与3--D ．()51-与()20131-4．下列计算正确的是（）A ．2325a a a +=B ．33a a -=C ．333235a a a +=D ．2222a b a b a b -+= 5．下列说法：①a -表示负数；②最大的负整数是1-；③数轴上表示数2和2-的点到原点的距离相等；④多项式232xy xy -的次数是2，其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为24，则第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，……第2000次输出的结果为（）A ．1B ．3C ．4D ．6二、填空题（每小题2分，共20分）7．13-的相反数是__________，例数是__________．8．单项式23xy -的系数是__________，次数是__________．9．某日，天气预报显示：高淳2--9℃，则该日高淳的温差是__________℃． 10．在下列数中，①3.14； ②5-； ③0.12；④1.010010001…；⑤π；⑥227，其中，无理数是__________．（填序号）11．比较大小：45-__________35-．12．若27m x y -与33n x y -是同类项，则m n -=__________．13．今年小丽a 岁，她的数学老师年轻比小丽年龄的3倍小3岁，小丽的数学老师的年龄用代数式表示为__________岁．14．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简a b a +-的结果为__________．第14题图15．已知21x y -=，则324x y +-的值为__________．16．数轴上有A 、B 两点，A 、B 两点间的距离为3，其中点A 表示数1-，则点B 表示的数是__________．三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17．计算（每小题4分，共16分）（1）()()435-+---；（2）()1822⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭；（3）()()34324⨯---÷；（4）()2411136⎡⎤--⨯--⎣⎦．18．计算（每小题4分，共8分）（1）3531a b a b --+++；（2）()()2222243a b ab ab a b ---．19．（6分）先化简，再求值：已知()()222242x x y x y --+-，其中1x =-，12y =． 20．（4分）任意想一个数，把这个数乘2后减8，然后除以4，再减去原来所想的那个数的12，小时说所得结果一定是2-，请你通过列式计算说明小明说的正确． 21．（4分）自行车厂某周计划生产2100辆电动车，平均每天生产电动车300辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划每天的产量相比有出入，下表是该周的实际生产情况（超产记为正、减产记为负，（1）该厂星期一生产电动车__________辆；（2）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产电动车__________辆；（3）该厂实行记件工资制，每生产一辆车可得60元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 22．（5分）一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续向东走2千米到达小颖家，然后向西走了10千米到达小明家，最后回到超市．（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，在数轴上表示出小明家、小彬家、小颖家的位置；（2）小明家距小彬家多远？（要求写出解答过程）-4-17623．（5分）如图，图①是一个五边形，分别连接这个五边形各边中点得到图②，再分别连接图②中小五边形各边中点得到图③．第23题图③②①n（3）能否分出246个二角形？简述你的理由．24．（6分）第二章，我们学习了有理数的相关运算，在探究“有理数加法法则”的过程中，我们只要通过对几类算式的运算进行归纳总结，就可以得出该法则。

2015-2016年人版初一下学期数学期中考试试题及答案讲解

.2013-2014 学年度第二学期七年级期中质量检测数学试卷（完卷时间：100 分钟满分：120 分）一、选择题：（选一个正确答案的序号填入括号，每小题 3 分，共 30 分）1．下面的四个图形中，∠1 与∠2 是对顶角的是（）。

A．2． 1 的平方根是（ 4 A． 1 2B．）。

B． 1 23．下列式子正确的是（）。

A． 49 =7B． 3 7 = 3 7C．C． 1 2C． 25= 5D．D． 1 16D．（-3）2 = 34．如图，已知 AB⊥CD，垂足为 O，EF 为过O 点的一条直线，则∠1 与∠2 的关系一定成立的是（）。

A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角5．下列说确的是（）。

A．无限小数都是无理数B．带根号的数都是无理数C．无理数是无限不循环小数D.实数包括正实数、负实数6．已知点 P(m，1)在第二象限，则点 Q(－m，3)在（）。

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．已知在同一平面三条直线 a、b、c，若 a‖c，b‖c，则 a 与 b 的位置关系是（）。

A．a⊥bB．a⊥b 或 a‖b C．a‖ bD．无法确定8．如图，把一块含有 45°角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1＝20°，那么∠2 的度数是（）。

A．30°B．25°C．20°D．15°9．一个正数 x 的平方根是 2a－3 与 5－a，则 x 的值是（A．64B．36C．81）。

D．4910．在平面直角坐标系中，已知点 A（－4，0）和 B（0，2）,现将线段 AB 沿着直线 AB 平移，使点 A与点 B 重合，则平移后点 B 坐标是（）。

WORD 版本A．（0，－2）B．（4，2）二、填空题：（每小题 3 分，共 21 分）11. 3 11 的相反数是C．（4，4）.D．（2，4），绝对值是。

12.如果 3=1.732 ， 30 =5.477 ，那么 0.0003 的平方根是。

江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷及答案

南京市鼓楼区2023-2024学年高一上学期期中测试数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集{}2,1,0,1U =--，集合{}1,0A =-，则U A =（）A.{}2,1-- B.{}2,1- C.{}2- D.{}2,1,0--2.已知函数()223,1,3,0,x x f x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩则()()1f f -=（）A .2- B.1- C.35D.533.1a <是21a <的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.学校宿舍与办公室相距m a .3min 来到办公室，停留2min ，然后匀速步行10min 返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度()v t 和行走的路程()S t 都是时间t 的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（）①②③④A.①②B.③④C.①④D.②③C5.已知集合{}20,M x x x =-<∈N ，则（）A.0M∉ B.1M-∈ C.1M⊆ D.{}1M⊆6.已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的偶函数，且在[]0,3上单调递减，则（）A.()00f = B.()()32f f -< C.()()44f f -= D.()f x 在[]0,3上单调递减7.已知：当12m <<时，20log 1m <<成立，若a 是2log 3的小数部分，则2a的值为（）A.34B.43C.32D.238.已知20.7a -=，ln0.5b =，lg0.7c =，则（）A.c a b<< B.a b c<< C.c b a << D.b c a<<二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合通目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.若0x >，0y >，则（）1x =-1y =+C.222xyx y+= D.()lg lg lg x y x y +=+10.若a b >，则（）A.21a b +>- B.2122a b +>- C.2a b>- D.222a b>-11.在教材的“阅读”材料中谈到如下内容.德国数学家康托尔根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之问能建立起一一对应，则称这两个集合等势.由此，下列四组无限集合中等势的有（）A.N 和*NB.N 和RC.Z 和ND.Z 和R12.关于函数()f x 的下列四个说法中，正确的是（）A.若()()1f x f x -<对一切实数x 成立，则()f x 是增函数B.若()()12f x f x +=-对一切实数x 成立，则()()22f x f x -=+C.若()()11f x f x -=-对一切实数x 成立，则()f x 的图象关于y 轴对称D.若()()f kx f kx -=对一切实数x 成立，其中k ∈R 且0k ≠，则()f x 是奇函数或偶函数第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“0x ∀>，210x +>”的否定是______.14.函数()f x =的定义域为______.15.若正数x ，y ，z 满足x y xy +=，3x y xyz ++=，则z 的最大值是______.16.已知函数()21bx f x x a +=+是奇函数，不等式组()()1,f x f x ≥⎧⎪⎨<⎪⎩的解集为()12,x x ，且1x ，2x 满足10x >，122218x x x x b+=，则a =______，b =______.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知集合{}14A x x =≤<，{}20B x x a =->.（1）若1a =，求A B ；（2）若A B ⊆，求a 的取值范围.18.（本题满分12分）（1）求值：123318125-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）已知1102a --=，用a 表示式子：2lg4lg25lg8+-.19.（本题满分12分）随着中国经济高速增长，旅游成了众多家庭的重要生活方式，A ，B 两地景区自2010年开始，采取了不同的政策：A 地提高景区门票价格到120元/人，B 地取消了景区门票.政策实施后，A 地的游客人次近似于直线上升（线性增长），B 地的游客人次近似于指数增长（如图所示）.已知：①2011年度，A 地的游客人次为600万，B 地的游客人次为300万；②从2011年度开始，A 地游客人次的年增加量近似为10万人次，B 地游客人次的年增长率近似为20%；③平均每位游客出游一次可给当地带来500元收入（不含门票）；（1）填空：2014年度，B 地的年度游客人次近似为______万；（2）从2011年度开始，分别估计多少年后，A 地，B 地的年度旅游收入开始超过50亿元？（3）结合（2），谈谈你的看法.（附参考数据：31.2 1.73≈，41.2 2.07≈，51.2 2.49≈，61.2 2.99≈，71.2 3.58≈，81.2 4.30≈）20.（本题满分12分）已知m ∈R ，命题p ：260m m --<，命题q ：函数()221f x x mx =-+在()0,+∞上存在零点.（1）若p 是真命题，求m 的取值范围；（2）若p ，q 中有一个为真命题，另一个为假命题，求m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()223f x x x =-+.（1）求()f x 在()0,+∞上的取值范围；（2）求()f x 的函数关系式；（3）设()1g x x =-，若对于任意[]12,3x ∈，都存在[]2,1x m m ∈+，使得()()()()12f g x g f x =，求正数m 的取值范围.22.（本题满分12分）已知函数()2axf x x =+.（1）求()3f ；（2）当0a >时，试运用函数单调性的定义判定()f x 的单调性；（3）设()()2g x f x =-，若()2g x ≥在25x -≤≤时有解，求a 的取值范围.高一（上）数学期中考试参考答案和评分标准说明：1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，填空题不给中间分数.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.B2.C3.C4.A5.D6.B7.C8.D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.BC10.ABD11.AC12.BC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.0x ∃>，210x +≤14.()1,-+∞或{}1x x >-15.7416.0，3四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）因为1a =，所以12B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，所以{}14A B A x x ==≤< ；（2）2a B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，若A B ⊆，则12a<，所以a 的取值范围为2a <.18.（1）123318459125-⎛⎫+=+=⎪⎝⎭；（2）2lg4lg25lg84lg22lg53lg21lg5+-=+-=+，因为1102a -=，所以1lg21lg5a -==-，所以lg52a =-，1所以252lg4lg38a +=-.19.（1）519；3分（2）设从2011年度开始，估计x 年后，A 地的年度旅游收入为()g x （单位：万元），则()()62010600g x x =+，得()()62010590g x x =+，令()62010600500000x +>，得()62605000x +>，解得20.6x >，所以，估计21年后，A 地的年度旅游收入开始超过50亿元，由题意，m 年后，B 地的年度旅游收入为500300 1.2m⨯⨯万元，5500300 1.2500000⨯⨯<，6500300 1.2500000⨯⨯<，7500300 1.2500000⨯⨯>，所以，估计7年后，B 地的年度旅游收入开始超过50亿元，或者令500300 1.2500000m ⨯⨯>，得101.23m >，因为6101.2 2.993≈<，7101.2 3.583≈>，结合图像，所以，估计7年后，B 地的年度旅游收入开始超过50亿元，（3）指数增长让B 地的游客人次增长很快，取消门票，反而有利于促进消费，拉动经济增长：或者，B 地景区的政策更有利于地方经济的长远发展；或者，一段时间后，B 地景区的收入明显超过A 地景区，不同的政策有不同的结果；或者，（关键词：快速增长，长远发展，政策适合.说出三条或两条正确信息，得3分；一条正确信息，得2分；）20.（1）因为p 是真命题，所以260m m --<成立，解得23m -<<；（2）若q 为真命题，则函数()221f x x mx =-+在()0,+∞上存在零点，则方程2210x mx -+=在()0,+∞上有解，因为该方程在有解时两解同号，所以方程2210x mx -+=在()0,+∞上有两个正根，则280,0,m m ⎧-≥⎨>⎩得m ≥，若p 为真命题，q 为假命题，得2m -<<，若p 为假命题，q 为真命题，得3m ≥，所以m 的取值范围为2m -<<或3m ≥.21.（1）因为223y x x =-+的对称轴为1x =，所以函数()f x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，因为()12f =，所以()f x 在()0,+∞上的值域为[)2,+∞；二解因为()()212f x x =-+，所以()2f x ≥，所以()f x 在()0,+∞上的值域为[)2,+∞；（2）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =；设0x <，则0x ->，所以()()()222323f x x x x x -=---+=++；又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()223f x f x x x =--=---，所以()2223,0,0,0,23,0.x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩（3）因为[]12,3x ∈，所以()112g x ≤≤，所以()()123f g x ≤≤，当1m ≥时，12m +≥，因为()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在[],1m m +上递增，所以()222232m m f x m -+≤≤+，所以()()222221m m g f x m -+≤≤+，所以2213,222,m m m ⎧+≥⎨-+≤⎩2m ≤≤，当01m <<时，112m <+<，因为()f x 在[],1m 上递减，()f x 在[]1,1m +上递增，此时，因为()3f m <，()13f m +<，所以()()22g f x <，所以01m <<不符合题意，2m ≤≤.22.（1）()335a f =；（2）当0a >时，设12x x <，则120x x -<，()()()()()1221121212121222222x x x x x x ax ax f x f x a x x x x -+--=-=++++，显然，()()12220x x++>，当1x ，2x 有一个值为0时，因为12210x x x x -=，所以有()()120f x f x -<；当120x x <<时，因为122112210x x x x x x x x -=-+=，所以有()()120f x f x -<；当120x x <<时，122112210x x x x x x x x -=+<，所以有()()120f x f x -<；当120x x <<时，122112210x x x x x x x x -=-=，所以有()()120f x f x -<；综上，当12x x <时，必有()()120f x f x -<，当0a >时，()f x 在R 上是单调递增函数；[如下解法酌情扣分（至少扣1分，因为()f x 在(),0∞-上的单调性未说清莫]函数()2axf x x =+的定义域为R ，因为()()()22a x axf x f x x x --==-=--++，所以函数()f x 是奇函数，当0x >时，设120x x <<，则120x x -<，因为0a >，所以()()()()()1212121212202222a x x ax ax f x f x x x x x --=-=<++++，即当12x x <时，必有()()120f x f x -<，所以()f x 在()0,+∞上是单调递增函数，且当0x >时，有()0f x >；因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()f x 在(),0-∞上是单调递增函数，且当0x <时，有()0f x <；又因为()00f =，所以当0a >时，()f x 在R 上是单调递增函数；（3）由上知当0a >时，()f t 在R 上是单调递增函数；类似可以证明：当0a <时，()f t 在R 上是单调递减函数；令2x t -=，所以2x t =+，可得，()22f x -≥在25x -≤≤时有解，等价于()2f t ≥在43t -≤≤时有解，当0a >时，由()f t 的单调性知()()max 335a f t f ==，令325a ≥，得103a ≥；当0a <时，由()f t 的单调性知()()max 243a f t f =-=-，令223a -≥，得3a ≤-；当0a =时，无解；综上，a 的取值范围这103a ≥或3a ≤-.。

江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年度第一学期期中高一数学试题(参考答案)

高一(上)数学期中考试参考答案和评分标准 2022.11说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D 7．C 8．A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．AC 10．BC 11．ABC 12．BCD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(－∞，2)或x<2 14．有的矩形不是平行四边形(存在矩形不是平行四边形、有些矩形不是平行四边形等) 15．丙 16．23，5294四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(1)化简得x 2＋3x －4＞0， ……………………………………………………………2分解得x ＞1或x ＜－4， …………………………………………………………………5分所以原不等式的解集为{ x | x ＞1或x ＜－4}(2)左－右=a 2＋b 2－2a －4b ＋5……………………………………………………………7分 =(a －1)2＋(b －2)2……………………………………………………………………………9分 ≥0，所以原不等式成立．………………………………………………………………………10分法二因为(a －1)2≥0，(b －2)2≥0，……………………………………………………………7分所以a 2≥2a －1，b 2≥4b －4，……………………………………………………………8分所以a 2＋b 2≥2a ＋4b －5．………………………………………………………………10分法三因为，m 2＋n 2≥2mn ，所以a 2＋1≥2a ，b 2＋4≥2b ，……………………………………………………………7分所以a 2≥2a －1，b 2≥4b －4，……………………………………………………………9分所以a 2＋b 2≥2a ＋4b －5．………………………………………………………………10分18．(1) (lg2)2＋lg2 lg50＋2lg5＝(lg2)(lg2＋lg50)＋2lg5……………………………………………………………………2分＝2lg2＋2lg5…………………………………………………………………………………4分＝2×(lg2＋lg 5)＝2；…………………………………………………………………………………………6分(2)因为a －a －1＝1，所以(a －a －1)2＝1，所以a 2＋a －2＝3，……………………………………………………………………………9分因为(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝5，所以a ＋a －1＝±5，………………………………………………………………………12分 (±5，少一个，则扣1分)19．解二次不等式x 2－4≤0，可得A ＝{x |－2≤x ≤2}，……………………………………2分解一次不等式2x ＋a ≤0，可得B ＝{x |x ≤－a 2}，…………………………………………3分 (1)因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a 2＝1，……………………………………………5分所以a ＝－2；………………………………………………………………………………6分(2)因为“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件，所以“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以集合A 是B 的子集，……8分(三句话至少说一句，否则扣1分)所以－a 2≥2，………………………………………………………………………………10分所以a ≤－4．………………………………………………………………………………12分20．设房屋正面的长为x m ，则房屋侧面的长为12xm ，……………………………………2分因为小房的墙的高度是3m ，所以房屋正面的需要费用部分的面积为3(x －1)m 2，房屋侧面的面积为36xm 2，因为房屋正面的单位面积造价为1200元/m 2，房屋侧面的单位面积造价为800元/m 2，………………………………………………………………………………………………4分所以W ＝3600(x －1)＋2×36x×800＋5800…………………………………………………6分＝3600x ＋2×36x×800＋2200≥28800＋2200…………………………………………………8分＝31000，当且仅当3600x ＝2×12x×3×800，即x ＝4时等号成立，………………………………10分所以，房屋正面的长为4 m ，房屋侧面的长为3 m 时，总造价W 最低，最低总造价是 31000元．…………………………………………………………………………………12分法二设房屋侧面的长为x m ，则房屋正面的长为12xm ，……………………………2分因为小房的墙的高度是3m ，所以房屋侧面的面积为6x m 2，房屋正面的需要费用部分的面积为3×(12x－1) m 2，因为房屋侧面的单位面积造价为800元/m 2，房屋正面的单位面积造价为1200元/m 2， ………………………………………………………………………………………………4分所以W ＝4800x ＋(12x－1)×3×1200＋5800…………………………………………………6分＝4800x ＋12x×3×1200＋2200≥28800＋2200………………………………………………8分＝31000，当且仅当4800x ＝2×12x×3×1200，即x ＝3时等号成立．………………………………10分所以，房屋正面的长为4 m ，房屋侧面的长为3 m 时，总造价W 最低，最低总造价是 31000元．…………………………………………………………………………………12分21．(1)显然h (x )的定义域为R ，假设函数h (x )＝x 3－6x ²图象关于点P (a ，b )成中心对称图形，因为函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数，所以y ＝h (x ＋a )－b 是奇函数，……………………………………………………………2分所以h (x ＋a )－b ＝－[h (－x ＋a )－b ]，……………………………………………………3分即h (x ＋a )＋h (－x ＋a )－2b ＝0，(x ＋a )3－6(x ＋a )²＋(－x ＋a )3－6(－x ＋a )²－2b ＝0，即(6a －12)x ²＋2a 3－12a ²－2b ＝0关于x ∈R 恒成立，…………………………………4分所以，a ＝2，b ＝－16，……………………………………………………………………5分可以证明函数h (x )＝x 3－6x ²图象关于点P (2，－16)成中心对称图形，………………6分所以函数h (x )＝x 3－6x ²图象的对称中心为点(2，－16)；(2)选择①命题①是真命题，…………………………………………………………………………7分法一因为函数y ＝f (x )的定义域为R ，函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，…………………………………………………………………8分设点P (x ，f (x ))为y ＝f (x )的图象上的任意一点，则由垂直平分线知识得：点P 关于直线x ＝1的对称点为可以为点P ′(2－x ，f (x ))，……………………………9分因为f (2－x )＝f (1＋1－x )＝f [(1－x )＋1]＝f [－(1－x )＋1]＝f (x )，所以点(2－x ，f (2－x ))就是点P ′(2－x ，f (x ))，…………………………………………10分因为点(2－x ，f (2－x ))在y ＝f (x )的图象上，所以点P ′(2－x ，f (x ))也在y ＝f (x )的图象上，即点P 关于直线x ＝1的对称点P ′(2－x ，f (x ))在y ＝f (x )的图象上，…………………11分因为点P (x ，f (x ))为y ＝f (x )的图象上的任意一点，所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1成轴对称图形．………………………………12分法二因为函数y＝f(x)的定义域为R，函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，…………………………………………………………………8分因为f(x＋1)是y＝f(x)图象上横坐标为(x＋1)的点M的纵坐标，f(－x＋1)是y＝f(x)图象上横坐标为(－x＋1)的点M′的纵坐标，所以点M和点M′的纵坐标相等，所以直线x＝1和直线MM′垂直，………………………………………………………9分因为|(x＋1)－1|＝|x|＝|(－x＋1)－1|，所以点M和点M′到直线x＝a的距离相等，所以直线x＝1是线段MM′的垂直平分线，……………………………………………10分所以点M和点M′关于直线x＝1对称，即点M′是点M关于直线x＝1的对称点，因为点M′在y＝f(x)的图象上，所以点M关于直线x＝1的对称点在y＝f(x)的图象上，………………………………11分因为点M是y＝f(x)的图象上的任意一点，所以y＝f(x)的图象上的任意一点关于直线x＝1的对称点都在y＝f(x)的图象上，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1成轴对称图形．………………………………12分法三因为y＝f(x＋1)为偶函数，故y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，………………………8分将y轴向右平移1个单位便可得到直线x＝1，设将y＝f(x＋1)图象向右平移1个单位便可得到y＝k(x)的图象，所以y＝k (x)的图象关于x＝1对称；……………………………………………………9分设点P(x，f(x＋1))为y＝f(x＋1)的图象上的任意一点，把点P向右平移1个单位，设得到的点为点R，则点R在y＝k(x)的图象上，且坐标为(x＋1，f(x＋1))，由点R的横坐标和纵坐标知，点R也在y＝f(x)的图象上，由点R的任意性且y＝f(x)和y＝k(x)的定义域相同，可得y＝f(x)和y＝k(x)是相同函数，…………………………………………………11分因为y＝k (x)的图象关于x＝1对称，…………………………………………12分所以y＝f (x)的图象关于x＝1对称；【下面的说法，可得5分中的2分．选①：因为y＝f(x＋1)为偶函数，故f(x＋1)的图象关于y轴对称，将其图象向右平移1个单位便可得到y＝f(x)的图象，所以y＝f(x)的图象关于x＝1对称；】选择②命题②是真命题，…………………………………………………………………………7分已知函数y＝f(x)的定义域为R，设点P(x，f(x))为y＝f(x)的图象上的任意一点，则由垂直平分线知识得：点P关于直线x＝1的对称点可以为点P′(2－x，f(x))，…………………………………8分因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1成轴对称图形，所以点P′(2－x，f(x))在y＝f(x)的图象上，………………………………………………9分在函数y＝f(x)的图象上，横坐标为2－x的点为P′′(2－x，f(2－x))，由函数定义可知，自变量确定时，函数值也确定，所以f(x)＝f(2－x)，………………………………………………………………………10分令x＝t＋1，则t∈R，2－x＝－t＋1，代入f(x)＝f(2－x)，得f(t＋1)＝f(－t＋1)，令f (t ＋1)＝g (t )，则g (t )＝g (－t )，………………………………………………………11分即对于t ∈R ，g (t )＝g (－t )，所以函数g (t )是偶函数，…………………………………………………………………12分所以函数f (t ＋1)是偶函数，所以函数y ＝f (x ＋1)为偶函数．【下面的说法，可得5分中的2分．选②：因为y ＝f (x )的图象关于y ＝1对称，将其图象向左平移1个单位便可得到y ＝f (x ＋1)的图象，所以y ＝f (x ＋1)的图象关于x=0对称，即关于y 轴对称，所以y ＝f (x ＋1)为偶函数；】22．(1)因为f (x )＝x 2－2ax ＝(x －a )2－a 2，对称轴为x ＝a ．①当a ＜0时，f (x )在[0，1]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝0．②当0≤a ≤1时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2．③当a ＞1时，f (x )在[0，1]上是减函数，所以f (x )min ＝f (1)＝1－2a ．…………………………………………………………………3分(2)任意x ≥0，f (x )≥－1＋12ax 2，等价于任意x ≥0，x 2－2ax ≥－1＋12ax 2，等价于任意x ≥0，(a －2)x 2＋4ax －2≤0，………………………………………………4分令g (x )＝(a －2)x 2＋4ax －2，法一①当a ＝2时，g (x )＝8x －2，g (1)＝6＞0，不合题意，所以a ≠2；…………………5分 ②当a ＞2时，g (1)＝5a －4＞0 (或g (x )的图像开口向上)，不合题意；………………6分③当a ＜2时，g (x )的图像的对称轴为直线x ＝－2a a －2，若a ＝0，g (x )＝－2x 2－2，符合题意；…………………………………………………7分若0＜a ＜2，－2a a －2＞0， g (x )的图像开口向下，对称轴在y 轴右边，顶点的纵坐标是－2－16a 24(a －2)，令－2－16a 24(a －2)≤0，解得－17－14≤a ≤17－14，所以0＜a ≤17－14，…………………………………………………………………9分若a ＜0，－2a a －2＜0，g (x )的图像开口向下，对称轴在y 轴左边， g (x )在x ≥0时单调递减，又因为g (0)＝－2＜0，所以当x ≥0时，g (x )≤0，所以a ＜0符合题意；………………………………………………………………11分综上，a ≤17－14．………………………………………………………………………12分(2)法二任意x ≥0，f (x )≥－1＋12ax 2，等价于任意x ≥0，x 2－2ax ≥－1＋12ax 2，等价于任意x ≥0，(a －2)x 2＋4ax －2≤0，令g (x )＝(a －2)x 2＋4ax －2，特别地，取x ＝1，则g (1)＝a －2＋4a －2≤0，即a ≤45，(类似地，也可以取x ＝2等)，以下同法一③．。

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高一(下)期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．cos 75°＝．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝．3．在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P (1，－2)，则sin2α＝． 4．在△ABC 中，若AC ＝3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则BC ＝． 5．在△ABC 中，若sin A ︰sin B ︰sin C ＝3︰2︰4，则cos C ＝． 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝． 7．若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝5，a 3＋a 5＝20，则a 5＋a 7＝． 8．若关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＞0的解集是(－1，2)，则a ＋b ＝． 9．若关于x 的不等式1＋k x －1≤0的解集是[－2，1)，则k ＝．10．若数列{a n }满足a 11＝152，1 a n +1－1a n ＝5(n ∈N *)，则a 1＝．11．已知正数a ，b 满足1a ＋2b ＝2，则a ＋b 的最小值是．12．下列四个数中，正数的个数是．①b ＋m a ＋m －ba，a ＞b ＞0, m ＞0； ②(n ＋3＋n )－(n ＋2＋n ＋1),n ∈N *； ③2(a 2＋b 2)－(a ＋b ) 2，a ，b ∈R ；④x 2＋3x 2＋2－2，x ∈R . 13．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C tan A ＋tan Ctan B ＝1，则a 2＋b 2c2＝．14．若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋n a n ＝．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)设f (x )＝x 2－(t ＋1)x ＋t ( t ，x ∈R )． (1)当t ＝3时，求不等式f (x )＞0的解集； (2)已知f (x )≥0对一切实数x 成立，求t 的值．16．(本题满分14分)设函数f (x )＝2cos 2 x ＋23sin x cos x (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在0＜x ≤π3的条件下，求f (x )的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12.(1)求角A 的大小；(2)当a ＝5，b ＝4时，求△ABC 的面积．18．(本题满分16分)已知{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12．(1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？如图，扇形AOB 是某个旅游景点的平面示意图，圆心角AOB 的大小等于π3，半径OA＝200m ，点M 在半径OA 上，点N 在AB 弧上，且MN ∥OB ，求观光道路OM 与MN 长度之和的最大值．20．(本题满分16分)设正项数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝11＋a n ， n ∈N *.(1)证明：若a n ＜5－12，则a n ＋1＞5－12； (2)回答下列问题并说明理由：是否存在正整数N ，当n ≥N 时｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＜0.001恒成立?高一(下)期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．6 －24 2．12 3．－45 4． 2 5．－14 6．12 7．80 8．1 9．3 10．1211．12(3＋22) 12．2 13．3 14． (n －1)2n ＋2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)当t ＝3时，不等式f (x )＞0与不等式x 2－4x ＋3＞0同解，得(x －1)(x －3)＞0， ……………………………………… ........................3分不等式f (x )＞0的解集是(－∞，1)∪(3．＋∞); …… ........................6分 (2)不等式f (x )≥0对一切实数x 成立等价于△＝(t ＋1)2－4t ≤0，........................10分即(t －1)2≤0，即t ＝1． ........................14分 16．(1)f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1， …… ........................6分所以，函数f(x)的最小正周期为π; ........................8分(2)0＜x ≤π3时，π6＜2x ＋π6≤5π6， …........................10分函数y ＝sin x 在区间[π6，π2]是增函数，在区间[π2，5π6]是增函数，f (x )的值域是[2sin 5π6＋1， 2sin π2＋1]，即[2，3]． ........................14分17．(1)由cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12得cos(B ＋C )＝－12， ........................4分∴cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3; ........................7分(2) 由c 2＋42－2×c×4 cos π3＝52 及c ＞0得c ＝2＋13， ........................11分△ABC 的面积S △ABC ＝12×4×(2＋13)×sin π3＝23＋39． .........................14分18．(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(a 1＋d )2＝a 1 (a 1＋4d )，∴d ＝0，或d ＝2 a 1， ........................4分当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝a 3＝6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30， ........................6分当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2， .........................8分∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25;(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ， ........................12分当n ≤5时，b n ＞0，当n ≥6时，b n ＜0，当n ＝5时，S n 最大，S n 最大值是9＋7＋5＋3＋1＝25． ........................16分 19．连ON ，设∠MON ＝θ，0＜θ＜π3,在△MON 中，ON ＝200， ∠OMN ＝2π3，200sin 2π3＝MN sin θ＝OMsin(π3－θ)， ........................4分 ∴MN ＝4003sin θ， OM ＝4003sin(π3－θ)， ........................8分MN ＋OM ＝4003[ sin θ＋sin(π3－θ)]＝4003( sin θ＋32cos θ－12sin θ)＝4003sin(π3＋θ)， ........................13分∵0＜θ＜π3，∴π3＜π3＋θ＜2π3，∴当θ＝π6时，sin(π3＋θ) 最大，MN ＋OM 最大，最大值是40033m ． ........................16分20．(1)若0＜a n ＜5－12，则0＜1＋a n ＜1＋5－12，则a n ＋1＝1 1＋a n ＞11＋5－12＝5－12; ........................4分(2)仿(1)可得，若a n ＞5－12，则a n ＋1＜5－12， ........................6分则n ≥2时｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＝｜a n ＋1－a n ｜＝｜1 1＋a n －11＋a n －1｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)，∵a n ＞0，∴a n ＋1＝1 1＋a n＜1 ( n ∈N *)，∴n ≥2时， a n ＝1 1＋a n －1＞12，又a 1＝12，∴n ≥2时， (1＋a n ) (1＋a n －1)＝(1＋1 1＋a n －1) (1＋a n －1)＝2＋a n －1≥52，...................8分∴｜a n ＋1－a n ｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)≤25｜a n －a n －1｜≤(25)2｜a n －1－a n －2｜≤…≤(25)n －1｜a 2－a 1｜＝16×(25)n －1， ........................12分数列{16×(25)n －1}递减，16×(25)7－1＜0．001，只要N ≥7，当n ≥N 时必有｜a n ＋1－a n ｜＜0．001，即｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＜0．001成立． ........................16分。