导数应用的题型与解题方法

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导数应用的题型与解题方法
一、考试内容
导数的概念
导数的几何意义
几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式
利用导数研究函数的单调性和极值
函数的最大值和最小值

二、考试要求
⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）
掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义
理解导函数的概念

⑵熟记基本导数公式：c, x (m为有理数)的导数
掌握两个函数四则运算的求导法则会求某些简单函数的导数

⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系
了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号）
会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值

三、双基透视
导数是微积分的初步知识
是研究函数
解决实际问题的有力工具
在高中阶段对于导数的学习
主要是以下几个方面:
1．导数的常规问题：
（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；
（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；
（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高
而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型

2．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型
也是高考中考察综合能力的一个方向
应引起注意

3．曲线的切线
用割线的极限位置来定义了曲线的切线．切线方程由曲线上的切点坐标确定
设为曲线上一点
过点的切线方程为：
4．瞬时速度
用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度

5．导数的定义
　对导数的定义
我们应注意以下三点：
　(1)△x是自变量x在 处的增量(或改变量)．
　(2)导数定义中还包含了可导的概念
如果△x→0时
有极限
那么函数y=f(x)在点处可导
才能得到f(x)在点处的导数．
　(3)由导数定义求导数
是求导数的基本方法
必须严格按以下三个步骤进行：
(a)求函数的增量；
(b)求平均变化率；
(c)取极限
得导数

6．导数的几何意义
　函数y=f(x)在点处的导数
就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此
可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：
　(1)求出函数y=f(x)在点处的导数
即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；
　(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下
求得切线方程为
　特别地
如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴
这时导数不存在
根据切线定义
可得切线方程为
7、 导数与函数的单调性的关系
㈠与为增函数的关系

能推出为增

函数
但反之不一定
如函数在上单调递增
但
∴是为增函数的充分不必要条件

㈡时
与为增函数的关系

若将的根作为分界点
因为规定
即抠去了分界点
此时为增函数
就一定有
∴当时
是为增函数的充分必要条件

㈢与为增函数的关系

为增函数
一定可以推出
但反之不一定
因为
即为或
当函数在某个区间内恒有
则为常数
函数不具有单调性
∴是为增函数的必要不充分条件

函数的单调性是函数一条重要性质
也是高中阶段研究的重点
我们一定要把握好以上三个关系
用导数判断好函数的单调性
因此新教材为解决单调区间的端点问题
都一律用开区间作为单调区间
避免讨论以上问题
也简化了问题
但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题
要谨慎处理

㈣单调区间的求解过程
已知
（1）分析 的定义域；
（2）求导数
（3）解不等式
解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式
解集在定义域内的部分为减区间
㈤函数单调区间的合并
函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增
在单调递增
又知函数在处连续
因此在单调递增
同理减区间的合并也是如此
即相邻区间的单调性相同
且在公共点处函数连续
则二区间就可以合并为一个区间

8、已知
（1）若恒成立 ∴为上
∴ 对任意 不等式 恒成立
（2）若恒成立 ∴ 在上
∴ 对任意不等式 恒成立
四、热点题型分析
题型一：利用导数定义求极限
例1．已知f(x)在x=a处可导
且f′(a)=b
求下列极限：
（1）； （2）













题型二：利用导数几何意义求切线方程
例2．．已知曲线
曲线
直线与都有相切
求直线的方程











题型三：利用导数研究函数的单调性、极值、最值

例3已知函数的切线方程为y=3x+1
（Ⅰ）若函数处有极值
求的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下
求函数在[－3
1]上的最大值；
（Ⅲ）若函数在区间[－2
1]上单调递增
求实数b的取值范围












例4：已知三次函数在和时取极值
且．
(1) 求函数的表达式；
(2) 求函数的单调区间和极值；
(3) 若函数在区间上的值域为
试求、应满足的条件．















例5：已知函数f(x)=－x3＋3x2＋ax＋b在x＝(1
f(1))处的切线与直线12x－y－1＝0平行．
（1）求实数a的值；
（2）求f(x)的单调递减区间；
（3）若f(x)在区间[－2
2]上的最大值为20
求它在该区间上的最小值．












例6：已知函数在处取得极值

（1）用表示；
（2）设函数如果在区间上存在极小值
求实数的取值范围.













例7：已知

(1)当时, 求证在内是减函数;
(2)若在内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.



















例8：设函数．
（1）若的图象与直线相切
切点横坐标为２
且在处取极值
求实数 的值；
（2）当b=1时
试证明：不论a取何实数
函数总有两个不同的极值点．



























题型四：导数与解析几何、立体几何的结合

例9： 所以如图所示
曲线段OMB是函数的图像
轴于A
曲线段OMB上一点处的切线PQ交x轴于P
交线段AB于Q.
（1）试用t表示切线PQ的方程；
（2）设△QAP的面积为
若函数在上单调递减
试求出m的最小值；
（3）
试求出点P横坐标的取值范围.
















例10：用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?






















题型五：利用单调性、极值、最值情况
求参数取值范围
例11：设函数
（1）求函数的单调区间、极值.
（2）若当时
恒有
试确定a的取值范围.




















例12：（2006全国卷）设为实数
函数在和都是增函数
求的取值范围




























例13：已知函数
其中是的导函数
（Ⅰ）对满足的一切的值
都有
求实数的取值范围；
（Ⅱ）设
当实数在什么范围内变化时
函数的图象与直线 只有一个公共点



















例14．（2006年江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x?〔－1
2〕
不等式f（x）?c2恒成立
求c的取值范围

























题型六：利用导数研究方程的根
例15：已知平面向量=(,－1). =(,).
（1）若存在不同时为零的实数k和t
使=+(t2－3)
=-k+t
⊥

试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论
讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.




















例16：设为实数
函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当在什么范围内取值时
曲线与轴仅有一个交点．

























例17： 已知函数.
（Ｉ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直
且线段AB与x轴有公共点
求实数a的取值范围.
















题型七：导数与不等式的综合　
例18：已知函数
设
记曲线在点处的切线为

（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为
证明：①；②若
则

例19：设在上是单调函数.
（1）求实数的取值范围；
（2）设≥1
≥1
且
求证：.








例20：已知为实数
函数
（1）若函数的图象上有与轴平行的切线
求的取值范围
（2）若
（Ⅰ）求函数的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的
不等式恒成立



















例21：设
是曲线在点处的切线方程
并设函数

（I）用

表示；
（II）证明：当时
；















题型八：导数在实际中的应用
例22：某工厂每月生产x吨高附加值产品的总成本包括不变成本和可变成本两部分
不变成本为800（万元）
可变成本为20x（万元）．市场对这种商品的需求函数为p=100－x（0＜x＜100）
其中p为这种商品的单价（单位：万元）
x为市场对这种商品的需求量（单位：吨）
假设每月生产的产品能全部售出（产销平衡）．
（1）把月利润y（万元）表示为产量x（吨）的函数（利润＝销售收入－成本）；
（2）每月生产多少吨时
能获得最大利润？此时产品的单价为多少？









题型九：导数与向量的结合
例23：设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k
使
（1）求函数关系式；
（2）若函数在上是单调函数
求k的取值范围


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文科培优资料 作者：谢立荣

益阳市箴言中学 1 （共12页）