中考数学总复习_第一章_数与式综合测试题

55
C.(2b2)＝8b5
6
8．如果x a＋2y3与－3x3y2b－1是同类项，那么a，b的值分别是(A)
b＝2⎪b＝2
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎩⎩
数与式
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．－5的倒数是(D)
A.－5
B.5
11
C. D.－
2．下列说法中，正确的是(B)
A.3的平方根是3
B.6的算术平方根是6
C.－15的平方根是±－15
D.－2的算术平方根是－2
3．数字32000000用科学记数法表示应是(A)
A.3.2³107
C.32³106
B.3.2³106
D.0.32³108
4．下列各式计算正确的是(D)
A.2a2＋a3＝3a5
3
B.(3xy)2÷(xy)＝3xy
D.2x²3x5＝6x6
173²²5．在，sin60°，0.1010010001…(每两个1之间依次多一个0)，tan45°，27，π，0.15172中，无
理数的个数是(C)
A.1
B.2
C.3
D.4
6．数轴上的点A到2的距离是5，则点A表示的数为(D)
A.3或－3
B.7
C.－3
D.7或－3
7．若a，b是正数，a－b＝1，ab＝2则a＋b＝(B)
A.－3
B.3
C.±3
D.9
1
3
⎧a＝1，⎧a＝0，
A.⎨
B.⎨
⎪
⎧a＝2，⎧a＝1，
C.⎨
D.⎨
⎪b＝1⎪b＝1
9．如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中AB＝BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在(D)
(第9题图)
A.点A的左边
B.点A与点B之间
C.点B与点C之间
D.BC中点的右边
10．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是(D)
(第10题图)
A.M＝mn
B.M＝n(m＋1)
C.M＝mn＋1
D.M＝m(n＋1)
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．分解因式：4x2－1＝(2x＋1)((2x－1)．
x－1
3⎛1⎫－2
⎝2⎭
a2－a
，然后再从0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入20．(本题8分)先化简： 1－a－1⎭
⎝
a－12a－2
2
12．若代数式－1的值为零，则x＝3．
13．已知a－3b＝－3，那么5－2a＋6b＝11．
14．若a m＝3，a n＝5，则a2m＋n＝45．
15．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.你根据图乙能得到的数学公式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2．
(第15题图)
16．已知直线上有n(n≥2的正整数)个点，每相邻两点间距离为1，从左边第1个点起跳，且同时满足以下三个条件：
①每次跳跃均尽可能最大；
②跳n次后必须回到第1个点；
③这n次跳跃将每个点全部到达，
设跳过的所有路程之和为S
n
，则S
25
＝312．
三、解答题(本题有8小题，共66分)
17．(本题6分)计算：|－3|＋(－1)2015³(π－3)0－8＋ ⎪.
解：原式＝3＋(－1)³1－2＋4＝4.
18．(本题6分)因式分解：mx2－my2.
解：mx2－my2＝m(x2－y2)＝m(x＋y)(x－y)．
19．(本题6分)化简：2
(
a＋3
)(
a－3
)
－
(a－1)2＋7.
解：原式＝2(a2－3)－(a2－2a＋1)＋7＝2a2－6－a2＋2a－1＋7＝a2＋2a.
⎛1⎫a2－4a＋4
⎪÷
求值．
（a－1）－1a（a－1）a
解：原式＝²＝.
(a－2)
当a＝3时，原式＝3.
21．(本题8分)如图①所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图②所示的等腰梯形．
(第21题图))
(1)设图①中阴影部分面积为S
1
，图②中阴影部分面积为S
2
，请直接用含a，b的代数式表示S
1
和S
2
.
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
解：(1)∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴S
1
＝a2－b2，
1
S
2
＝
2
(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)．
(2)根据题意，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
22．(本题10分)阅读材料：
2 部的格点个数为 b ，则 S ＝ a ＋b －1(史称“皮克公式”)．
A
m （m －1）（m －2） (1)
( 求值：1＋2＋22＋23＋24＋ (22016)
解：设 S ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22016，将等式两边同时乘 2，得 2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋22016＋22017， 将下式减去上式，得 2S －S ＝22017－1，
即 S ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22016＝22017－1. 请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋ (210)
(2) 1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n (其中 n 为正整数)． 解：(1)设 S ＝1＋2＋22＋23＋…＋210， 则 2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋211， ∴2S －S ＝211－1.
即 1＋2＋22＋23＋…＋210＝211－1. (2)设 S ＝1＋3＋32＋33＋…＋3n ， 则 3S ＝3＋32＋33＋34＋…＋3n ＋1， ∴3S －S ＝3n ＋1－1，即 2S ＝3n ＋1－1，
1
∴1＋3＋32＋33＋…＋3n ＝ (3n ＋1－1)．
23．(本题 10 分)先阅读下列材料，然后解答问题：
材料 1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6 种不同的排法，抽象成数学问题就是从3 个不同的元 素中选取 2 个元素的排列，排列数记为 A 32＝3³2＝6.
一般地，从 n 个不同的元素中选取 m 个元素的排列数记作 A n m ，n m ＝n (n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)(m ≤n )． 例：从 5 个不同的元素中选取 3 个元素排成一列的排列数为 A 53＝5³4³3＝60.
材料 2：从三张不同的卡片中选取两张，有3 种不同的选法，抽象成数学问题就是从3 个元素中选取 2 个元
3³2
素的组合，组合数为 C 32＝2³1＝3.
一般地，从 n 个不同的元素中选取 m 个元素的组合数记作 C n m ，
n （n －1）（n －2）（n －3）…（n －m ＋1） C n m ＝ (m ≤n )．
6³5³4 例：从 6 个不同的元素选 3 个元素的组合数为 C 63＝3³2³1＝20.
问：
(1)从某个学习小组 8 人中选取 3 人参加活动，有多少种不同的选法？ (2)从 7 个人中选取 4 人，排成一列，有多少种不同的排法？
8³7³6 解：(1)C 83＝3³2³1＝56(种)．
(2)A 74＝7³6³5³4＝840(种)．
24． 本题 12 分)用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点， 以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为 S ，该多边形各边上的格点个数和为 a ，内
1
2
小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个 小正三角形面积为 1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角 形格点中的两个多边形：
(第 24 题图)
根据图中提供的信息填表：
格点多边形各边 上的格点个数和格点边多边形内 部的格点个数格点多边形 的面积
多边形181多边形273
………
一般格点多边形a b
则S与a，b之间的关系为S＝a＋2(b－1)(用含a，b的代数式表示)．…S
解：填表如下：
多边形1多边形2…格点多边形各边
上的格点个数和
8
7
…
格点边多边形内
部的格点个数
1
3
…
格点多边形
的面积
8
11
…
一般格点多边形a b
则S与a，b之间的关系为S＝a＋2(b－1)(用含a，b的代数式表示)．
S。