两个变量之间的关系(经典和完整版)(强力推荐)

领航两个变量之间的关系

表示变量的三种方法：列表法、解析法(关系式法)、图象法

◆要点1 变量、自变量、因变量

(1) 在一变化的过程中,可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量,常量和变量往往是相对的,相对于某个变化过程。

(2）在一变化的过程中,主动发生变化的量，称为自变量,而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。例如小明出去旅行,路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。则T为自变量，路程为因变量。

◆要点 2 列表法与变量之间的关系ﻫ(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一,可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

（2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量,谁是因变量。找自变量和因变量时,主动发生变化的是自变量,因变量随自变量的增大而增大或减小

◆要点3 用关系式表示变量之间的关系

(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式,是表示变量之间关系的方法之一。

(2) 写变化式子，实际上根据题意,找到等量关系,列方程，但关系式的写法又不同于方程,必须将因变量单独写在等号的左边。即实质是用含自变量的代数式表示因变量。3(ﻫ）利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值,实质就是求代数式的值;②对于每一个确定的自变量的值,因变量都有一个确定的与之对应的值。

◆要点４用图象法表示变量的关系ﻫ(1)图象是刻画变量之间关系的又一重要方式,特点是非常直观。ﻫ(2) 通常用横轴（水平方向的数轴)上的点表示自变量,用纵轴(竖直方向的数轴）上的点表示因变量。ﻫ(3）从图象中可以获取很多信息,关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。如利用图象求两个变量的对应值,由图象得关系式,进行简单计算,从图象上变量的变化规律进行预测,判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。

(４）对比看:速度—时间、路程—时间两图象ﻫ★若图象表示的是速度与时间之间的关系,随时间的增加即从左向右,“上升的线段”①表示速度在增加;“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动,“下降的线段”③表示速度在减少。

★若图像表示的是距离与时间之间的关系,“上升的线段”①表示物

体匀速运动;“水平线段”②表示物体停止运动，“下降的线段”③

表示物体反向运动。如图ＢL—0１(1)、(2):

二、例题讲解

(一）列表法表示变量之间的关系

BL—01

例1、果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如

下的关系：

ﻫ(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量?ﻫ（2）如果果子经过2秒落到地上,那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米?

例２、在弹性限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表:

ﻫ（１）弹簧不挂物体时的长度是多少？

(2) 如果用x表示弹性限度内物体的质量,用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？请写出ｙ与x之间的关系式。ﻫ(3) 如果此弹簧的最大挂重为25千克,您能够预测当挂重为14千克时，弹簧的长度是多少吗？

（二)、用关系式表示两个变量之间的关系

例1、一辆汽车正常行驶时每小时耗油8升,油箱现有52升汽油。(1) 如果汽车行驶时间为t(时)，那么油箱中所存油量Q (升)与t(时）的关系式是什么?(2) 油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？(3) 当t的值分别为1，2,3时，Q相应的值是多少？

例2、一个梯形，它的下底长比上底长长2ｃｍ,它的高为3cm，设它的上底长为ｘ cｍ，它的面积为y c ｍ２。ﻫ（1) 写出y与x之间的关系式,并指出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量？ﻫ(2) 当x由5变到7时，y如何变化?

(3) 用表格表示当ｘ从3变到１０时(每次增加1),y的相应值；

(４）当x每增加1时,y如何变化?并说明你的理由；ﻫ(5) 这个梯形的面积能等于９cm2吗?能等于2cm2吗?为什么？

例3、长方形的长是20cm，当宽由小到大地变化时，长方形面积也随之变化。

(1) 在这个变化过程中，自变量是____＿____＿__，因变量是_＿_______＿＿。ﻫ（２) 如果长方形的宽为ａcm，面积为S cm2，则Ｓ与a之间的关系式为___＿____＿。ﻫ（3) 当a=15cm时,S是_＿＿_____＿_。ﻫ（４) 当面积S是２80时，这时的宽a是＿__＿_＿_______＿。

例4、某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社承诺:“如果校长买全票一张,则学生可享受半价优惠”；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的6折优惠”,若全票价甲乙旅行社均为２40元。ﻫ(1) 设学生为x,甲乙旅行社收费分别为y甲(元)和y乙(元），分别写出两个旅行社收费的关系式；(２) 哪家旅行社收费更优惠?

例5、某移动通信公司开设了“全球通”和“金卡快捷通”两种业务，前者每月先缴30元月租费,每通话1分钟付费0.4元，后者不缴月租费,但每分钟付费０.6元，若某人的每月通话时间在200分钟左右,则他应选用哪种业务比较合算?并简明叙述理由。（思路1：直接计算200分钟应付的话费进行比较；思路2：先求出付费相同的通话时间,再看2０0分钟比这个时间多还是少。）

(三)用图像法表示两个变量之间的关系

例1、小丽和她的邻居小明一起离家步行上学。ﻫ（１） 小丽一开始就跑，跑累了便走着去,小明开始走着，当他快到学校时跑了起来，他们同时到达学校。图BL —02中,图_____＿_＿表示小丽的行程,图_＿__＿_表示小明的行程最好。ﻫ(2） 若小丽在上学的路上以固定的速度前进，如图BL —03中虚线所示，小明在上

学的路上以小丽速度的2倍行进，小名的速度以实线表示,他们先后到达学校，则图___＿__可以描述这种

情况。

例2、小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留1０分钟,继续骑了5分钟到家,如图ＢL —０4中,哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s （千米）与所用的时间t(分)之间的关系（ )

提高训练一

1、一棵树苗栽下去时高0.8m ，以后１０年内每年平均长高0.4m,ｘ年后树高y m 。

(1) 这个问题中,常量是__＿__＿__＿,变量是_____＿___； ﻫ(2) 这个问题中x 值是___＿___＿量,y 值是＿__＿____＿量;ﻫ(3） 生长5年后树高______＿m,生长了1０年树高___＿＿____＿ｍ；ﻫ(4) 请你写出y 随x 变化而变化的关系式___＿_＿______＿＿_。

2、长方形的长为a c ｍ，宽为6 ｃｍ，则它的周长C 与长a 之间的关系为__＿__＿。

3、某种情况下，声音在空气中传播的速度ｙ(m/s)与气温x (℃)之间存在如下关系:

3315

3

+=

x y , (１） 当气温x=15℃时,声音的速度y=___＿＿___ m/ｓ；ﻫ(2） 当气温x=２2℃时，某人看到烟花燃放5s 后才听到声音响，则此人与燃放的烟花所在地相距_＿＿_____m 。

BL —02

BL —03

BL —04