2016年高考文科圆锥曲线大题

在直角坐标系xOy 中，直线():0l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线

C ：()220y px p =>于点P M ，关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点

H .

（I ）求

OH

ON

； （II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点说明理由.

2. （新课标Ⅱ文数）

已知A 是椭圆E ：22

143

x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 于A ，M 两点，

点N 在E 上，MA NA ⊥.

（I ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积

(II)当2AM AN =2k <<.

已知抛物线2

2C y x =：的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12l l ，分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点.

（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ；

（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.

4. （2016年北京文数）

已知椭圆C ：22

221x y a b

+=过点2,00,1A B （），（）

两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率；

（II ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.

已知椭圆:C ()22

2210x y a b a b

+=>>的长轴长为4，焦距为22.

（I ）求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)过动点()(0)0M m m >，的直线交x 轴与点N ，交C 于点A P ， (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点

B .

(i)设直线PM QM 、的斜率分别为'k k 、，证明'

k k

为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值.

双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两

点.

（1）若l 的倾斜角为

2

π

，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设b = 若l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.

7. （2016年四川文数）

已知椭圆E ： ()22

2210x y a b a b

+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个

顶点，点1)2

P ，在椭圆E 上。 (Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设不过原点O 且斜率为

1

2

的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A B ，，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C D ，，证明： MA MB MC MD =g g

设椭圆13

222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e

OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；学.科.网

（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.

9. （2016年浙江文数）

如图，设抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1.AF - （I ）求p 的值；

（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N AN ，与x 轴交于点.M 求M 的横坐标的取值范围.

答案

1. （Ⅰ）由已知得),0(t M ，),2(2

t p

t P . 又N 为M 关于点P 的对称点，故),(2t p t N ，ON 的方程为x t

p y =，代入px

y 22

=整理得022

2

=-x t px ，解得01=x ，p t x 222=，因此)2,2(

2

t p

t H . 所以N 为OH 的中点，即

2|

||

|=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x t

p t y 2=

-，即)(2t y p t

x -=.代入px y 22=得

04422=+-t ty y ，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H

以外直线MH 与C 没有其它公共点.

2. 【答案】（Ⅰ）144

49

；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k . 试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4

π

， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.

将2x y =-代入22

143x y +

=得27120y y -=， 解得0y =或127y =

，所以1127

y =. 因此AMN ∆的面积11212144

227749

AMN S ∆=⨯⨯⨯=.

（2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22

143x y +

=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.

由2121612(2)34k x k -⋅-=+得212

2(34)34k x k -=+，故12||2|34AM x k =+=+.

由题设，直线AN 的方程为1

(2)y x k

=-+，故同理可得||AN =. 由2||||AM AN =得

22

23443k

k k

=++，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，

所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，

因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在2)2k <<. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

3. 解：（Ⅰ）由题设)

0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且

22111(,),(,),(,),(,),(,)222222

a b a b

A a

B b P a Q b R +---. 记过B A ,学科&网两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则

22

2111k b a

ab

a a

b a b a a b a k =-=-==--=+-=

.