三角函数的最大值与最小值

求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴。

一、化成的形式

【例1】在直角三角形中，两锐角为A和B，求的最大值。

【解析】

由，得，则当时，有最大值。【例2】求函数在上的最大值和最小值。【解析】

由，得，

得，

则当x=0时，；当时，

【点评】这类题目解决的思路是把问题化归为的形式，一般而言，，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决。

例2中，令，画出在上的图象（如图1），

图1

不难看出，即。

应注意此题容易把两个边界的函数值和误认为是最大值和最小值。

二、形如的形式

【例3】求函数的最大值和最小值。

【解析】由已知得，

即，

所以

因，

即解得，

故

【点评】上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行。有兴趣的同学不妨试一试其他解法。

三、形如的形式

【例4】求函数的最大值和最小值。

【解析】

由，得，，

，即

【点评】此题是利用了分离分母的方法求解的。若用例3的解法同样可求，有兴趣的同学不妨试一下，并作解法对比。

四、形如的形式

【例5】求的最小值。

【解析】设，则。

从图2中可以看到在区间上是减函数（也可以利用函数的单调性定义来证明这一结论）。

当时，

【点评】若由，可得最小值是错误的。

这是因为当等号成立时，，

即是不可能的。

若把此题改为就可以用不等式法求解了，同学们不妨琢磨一下。

五、利用与之间的关系

【例6】求函数的最大值和最小值。

【解析】设，

则，且。

由于，

故当t=1时，；当时，。

【点评】这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。是纽带，三者之间知其一，可求其二。令换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值。应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法、不等式法等，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下。

【练一练】

1. 求函数的最大值和最小值。

2. 求函数的最大值和最小值。

3. 已知，求函数的最大值和最小值。【答案】

1.

（提示：由）

2.

（提示：由）

3. ，

（提示：令，则。

，

解得。

于是，容易求解）