不等关系与不等式PPT优秀课件
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不等关系与不等式ppt优秀课件
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
课件高一数学必修：不等关系与不等式PPT课件_优秀版
x
≥
0
y ≥ 0
这是一个二元一次不等式组的问题
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0)，
若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
怎么解决这个数学问题?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢? 这是一个不等式的证明问题
问题 2: 某杂志以每本 2.5 元的价格发行时，可以售出 8 万 册．经过调查，若价格每提高 0.1 元，销售量就相应减少 2000 册．要使杂志社的销售收入不低于 20 万元，每本杂志的价
得到相反的结论，从而误解。
1.不等关系和不等 0
小
a b ab 0
结
a b ab 0
3.作差法的步骤：
（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；通分，分子 /分母有理化等，必要时进行讨论。
4、作商法步骤：（1）作商；（2）变形； （3）判断商与1的大小；（4）结论。
证明: =x2(x－1)+(x－1) ∵ b m b (b m)a (a m)b
作差
a m a (a m)a 今天的天气预报说：明天早晨最低温度t为7℃，明天白天的最高温度t为13℃;
=x2(x－1)+(x－1)
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
不等关系与不等式的性质教学课件ppt
不等式在经济学中的应用
不等式在物理学中的应用
不等式在计算机科学中的应用
不等式的实际应用
不等式与方程的联系与区别
04
在数学表达式中，不等式和方程都包含未知数，这使得它们都可以用来描述数量之间的关系。
表达式中都包含未知数
在求解不等式和方程的过程中，我们都会使用到一些相同的数学方法，比如因式分解、配方等。
柯西不等式的证明
柯西不等式可以通过数学归纳法和向量的性质进行证明。
柯西不等式的应用
柯西不等式在数学和物理中有着广泛的应用，如最优化问题、信号处理等。
柯西不等式的形式
柯西不等式可以表达为`∑(a_i^2) * ∑(b_i^2) ≥ (∑a_i * b_i)^2`，其中a_i和b_i是实数。
柯西不等式
在购买产品时，不同品牌或型号的产品质量之间存在不等关系，如优良和一般。
产品质量不等
03
角度不等
在几何学中，不同的角之间存在角度不等关系，如锐角和钝角。
数学中的不等关系
01
大小不等
在数学中，不同的数之间存在大小不等关系，如大于和小于。
02
距离不等
在几何学中，不同的点之间的距离之间存在不等关系，如靠近和远离。
03
不等式的定义
02
01
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不改变方向。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以（或除以）正数，不等号不改变方向。
反对称性
如果a>b，则b<a；如果a<b，则b>a。
反身性
即任何实数都大于0。
不等式的证明方法
第1讲 不等关系与不等式 课件(共63张PPT)
解析
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是 否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析 答案
角度 2 作商法 例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析 答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是 否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析 答案
角度 2 作商法 例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析 答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.
3.1不等式与不等关系课(共32张PPT)
探究点1
不等式的性质
（对称性) (1)a > b b < a; (传递性) (2)a > b,b > c a > c；
(可加性) (3) a > b a + c > b + c；
由性质（3）可得：
a + b > c a + b +( - b )> c +( - b ) a > c - b .
解：因为15 < b < 36,所以 - 36 < -b < -15. 又因为12 < a < 60,所以12 - 36 < a - b < 60 - 15， 所以 - 24 < a - b < 45. 1 1 1 12 a 60 因为 < < ,所以 < < ， 36 b 15 36 b 15 1 a 所以 < < 4. 3 b
2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5％ ，蛋白质的含量p应不少于2.3％，
f≥2.5% 写成不等式组为 p≥2.3% .
【即时练习】 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.
行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不
等式表示为( B )
A．v≤120 (km/h)或 d≥10 (m)
2.设M=x2，N=x-1，则M与N的大小关系为 ( A ) A．M>N C．M<N B．M=N D．与x有关
【解析】 ∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1 1 3 ＝x －x＋ ＋ 4 4
2
12 3 ＝(x－ ) ＋ >0. 2 4 ∴M>N.
不等式不等关系与不等式ppt
选取满足条件的特殊值或取值范围，说明不等式在这些特定情况下不成立。
特值法
通过构造反例，说明不等式在某些情况下不成立。
反例法
假设反面命题成立，推导出矛盾的结果，从而说明不等式不成立。
反证法
举反例说明不等式不成立
05
不等式的实际应用案例
通过建立不等式模型，可以有效地解决投资组合问题，优化资产配置。
在数学领域中，不等式是数学基础的一部分，它对于理解数学概念、解决数学问题以及推导定理具有重要的作用。
在科学实验中，不等关系是用来描述变量之间的变化关系的，例如化学反应速率、电磁波的传播等。
在经济学中，不等关系被用来比较成本效益、评估投资风险等，对于经济决策的制定具有重要的意义。
在社会学中，不等关系被用来描述社会现象、研究社会结构等，对于理解社会现象和推动社会发展具有重要的作用。
首先将不等式变形为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的形式，然后根据二次函数的图像和性质求解。
一元二次不等式
定义
含有一个未知数，且未知数的最高次数大于2，两边都是整式的不等式。
解法
通过因式分解或者二次方程的解法，将高次不等式转化为多个一元一次不等式或一元二次不等式进行求解。
高次不等式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
交通运输问题
不等式在资源分配问题中具有广泛应用，如任务分配、工作量分配等。
总结词
在任务分配问题中，可以建立不等式模型来约束不同任务的时间和资源需求，从而得到最优的任务分配方案。在工作量分配问题中，也可以通过不等式模型来约束不同部门或人员的工作量，以实现工作量的最优分配。
详细描述
资源分配问题
谢谢您的观看
不等式与不等关系课(共32张PPT)
【错因分析】 作差比较大小，变形后的结果难以
确定时，一般要分类讨论，但需要有统一的分类标 准．这里分类不完全，在 x<－1 时，x2>0，不应有1＋x2 x ≤0，最好把 x＝0 分一类进行讨论，这样比较恰当．
【正解】 ∵1＋1 x－(1－x)＝1＋x2 x， 而 x2≥0， (1)当 x＝0 时，1＋x2 x＝0，∴1＋1 x＝1－x.
＜
至少
≥
大于等于 ≥
不少于 ≥
小于等于 ≤
不多于 ≤
探究点2 作差法比较两个实数大小
关于实数a,b大小的比较，有以下事实：
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零， 那么a=b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对.
这可以表示为
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
C.ad >bc
D.ad <bc
【解析】选 D.因为 c<d<0，所以-c>-d>0，即
得 1 > 1 >0，又 a>b>0，得 a > b >0，从而有 a < b .
-d -c
-d -c
dc
1．已知a>b，c>d，且cd≠0，则C( )
A．ad>bc
B．ac>bc
C．a＋c>b＋d
D．a－c>b－d
a>b>0⇒___a_n_>__b_n
(n∈N,n≥2)
a>b>0⇒__n_a___n__b
(n∈N,n≥2)
⇒
a,b同 为正数
例 已知 a ，b ，m 都是正数,且 a b ,求证: b m b .
不等关系和不等式PPT课件
练 习 ： 比 较 2a
2
+3和 4a的 大 小 .
1 练习 2.已知 a R 且 a 1, 比较 1 a 与 1 a 的大小.
例3 比较大小
1．
1 3 2
和
b bm 2． 和 (a, b, m R ) a am
3、设 a 0 且
比较 log t 1 a 2
(×) a>b>0,c>d>0
性质1 a b b a (反身性) 性质2 a b , b c a c (传 递 性) 性质3 a b a c b c (可 加 性) 性质4 a b , c d a c b d 性质5 a b , c 0 ac bc (可 乘 性) a b , c 0 ac bc
n n
n n
性质8：若 a b 0, 则 a b (n N且n 1)
例题讲析
c c 例1：已知 a b 0, c 0. 求证： . a b
练习1 （1）已知
1 1 a b, ab 0.求证： . a b
（2）已知
a b 0, c d 0.求证ac bd.
性质3 如果a > b , 那么a + c > b + c .
可 加 性
性质4 如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.
性质5 如果a>b,且c>0,那么ac>bc; 如果a>b,且c<0,那么ac<bc.
可 乘 性
性质6 如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.
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变式：
如果设杂志的单价提高了0.1n元(n∈N*)，如 何用不等式表示销售的总收入仍不低于20万 元呢？你能计算出n在哪个范围内变化吗?
分析：销售量减少了0.2n万本，单价为 (2.5+0.1n)元，则可得到销售的总以收入为不 低于20万元的不等式可表示为： (2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
22.05.2019
练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥 料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷 酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料 需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。 现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基 础上进行生产。请用不等式组把此实例中的 不等关系表示出来。 分析:设分别生产 甲．乙两种肥料为 x吨,y吨
22.05.2019
4 x y 10 18 x 15 y 66 x 0 y 0
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
练习3、某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区 学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解 决开学费用问题，小李所在班级学生（小李 除外）决定承担这笔费用。若每人承担12元 人民币，则多余84元；若每人承担10元，则 不够；若每人承担11元，又多出40元以上。 问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？
22.05.20ห้องสมุดไป่ตู้9
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
例2、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截 成500mm和600mm的两种规格。按照生产 的要求，600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有 不等关系的不等式呢？ 分析：假设截得500mm的钢管x根，截得 600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么 样的不等关系呢？ (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负。
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
三、课后小结
• 本节课我们巩固了初中所学的二元一次不
等式及二元一次不等式组，并且用它来解 决现实生活中存在的大量不等关系的实际 问题。 • 用不等式或不等式组表示实际问题中的不 等关系时，思维要严密、规范。
22.05.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同 时满足的话，可以用下面的不等式组来表示：
500 x 600 y 4000 3x y x 0 y 0 x,y∈N
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
A.f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3%
B.f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
22.05.2019
f 2 .5 % C. p 2 .3 %
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
练习：用不等式表示下面的不等关系：
1、a与b的和是非负数； 2、某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高 4m”
想一想,你还能举出哪 些相似的例子?
22.05.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
二、用不等式来解决生活中的不等关系问题： 例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提 价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢？ 分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少： x2.5 0.2万本 因此，销售总收入为： 0.1 x2 .5 用不等式表示为： ( 8 0 .2 ) x 万元 0 .1 x 2 . 5 ( 8 0 . 2 ) x 20 0 . 1 22.05.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
12 x y 84 分析：设该班除小 10 x y 李外共有x人，这 笔开学费用共y元， 11 x y 40 则： x N * 22.05.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
练习4、制定投资计划时，不仅要考虑可能获 得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某 投资人打算投资甲、乙两个项目。根据预测， 甲乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%。 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确 保可能的资金亏损不超过1.8万元。请用不等 式或不等式组表示些实例中的不等关系。
在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？
22.05.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
4、右图是限速40km/h的路标，指 示司机在前方路段行驶时，应使汽 车的速度v不超过40km/h ，写成 不等式是：_________ v≤40
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂 肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应 不少于2.3%，用不等式可以表示为：( )
3.1不等关系与不等 式
22.05.2019
一、新课引入
现实世界和日常生活中，既有相等关系， 又存在着大量的不等关系，如： 1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为 7℃，明天白天的最高温度为13℃；
7℃≤t≤13℃
2、三角形ABC的两边之和大于第三边；
AB+AC>BC或…… 3、a是一个非负实数。 a≥0
22.05.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长 为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写 出满足上述所有不等关系的不等式组？ 分析: 设698mm与 518mm分别x 与y个
698 x 518 y 4000 x 0 y 0 x, y N